CAPÍTULO 4: FIJACIÓN DE LAS PRIMAS Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA

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1 arte III: Análisis de la determinación de las rimas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador cuando los tios de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos CAÍTULO 4: FIJACIÓN DE LAS RIMAS Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA ÉRDIDA ARA DIVERSAS MODALIDADES DE ESTRUCTURAS ACTUARIALES BAJO LA HIÓTESIS DE UN ÚNICO ASEGURADO EN CARTERA 4.. LANTEAMIENTO GENERAL 4... Consideraciones revias A continuación analizaremos la fijación de la rima única ura, y osteriormente, recargada, cuando las restaciones que contemle vengan dadas or las estructuras actuariales unitarias analizadas en el aartado 3. En concreto, analizaremos la fijación de rimas ara: a) Caitales de fallecimiento con vencimiento en el año actual. En este caso, esta estructura corresonde a un seguro de fallecimiento renovable cada año. el análisis de esta estructura debe entenderse como la corresondiente a un seguro de vida entera o temoral actado a rimas eriódicas (al inicio de cada año se aga una rima), siendo esta rima variable en función de la robabilidad de fallecimiento del asegurado en cada uno de los años. b) Caital diferido. Se trata de un caital de suervivencia con vencimiento a t años, siendo esta la restación básica de la mayoría de seguros de ahorro a medio lazo que en muchas ocasiones son comercializados or las entidades financieras como deósitos a lazo. También es la restación básica de algunos seguros de jubilación, si la contrarestación contemlada ara tal contingencia es un caital. Los seguros que toman esta forma en su estado más uro son los seguros dotales. Asimismo, suondremos que el vencimiento del caital es t>0, ya que en otro caso no tiene sentido este tio de cobertura: no existe fenómeno financiero, ya que el caital devenga en el momento de contratación, ni fenómeno aleatorio, ues la robabilidad de cobro del caital es. c) Seguros de fallecimiento temorales y vitalicios. d) Seguros mixtos: En este caso se trata de una combinación de un seguro caital diferido y un seguro temoral, y suele ser la forma que toman habitualmente los deósitos a lazo que ya han sido mencionados o los lanes de jubilación con una restación de jubilación en forma 399

2 4. Fijación de las rimas y análisis de la variable borroso aleatoria érdida ara diversas modalidades de estructuras actuariales bajo la hiótesis de un único asegurado en cartera de caital, ya que en este caso el asegurado no corre el riesgo de erder toda la rima en caso de fallecer antes del vencimiento del contrato. Nosotros contemlaremos únicamente el caso en que el caital de fallecimiento sea igual al caital de suervivencia, es decir, la modalidad comúnmente conocida como x. e) Rentas de suervivencia anticiadas. Este tio de estructura, si es vitalicia, suele estar ligada, en muchas ocasiones, a una renta destinada a cubrir la contingencia de jubilación, siendo en este caso diferidas si el asegurado no se ha jubilado, e inmediatas si dicha contingencia ha acontecido, o en oeraciones de vivienda-ensión. Asimismo, si se busca obtener una renta eriódica invirtiendo una determinada cuantía monetaria, las rentas actuariales, temorales o vitalicias también ueden ser buenos roductos como alternativas a otros existentes en el mercado como los deósitos a lazo, bonos y obligaciones del estado, fondos de inversión con rendimientos eriódicos, etc. Como ya comentamos en el aartado.5.. de esta arte de la tesis, nuestro análisis se va a centrar en el cálculo de las rimas únicas corresondientes a las estructuras actuariales ya descritas, desglosándose dentro de la misma, la rima ura del recargo de seguridad. En un seguro ya iniciado, el cálculo de la rovisión matemática a dotar ara dicho contrato en el momento de valoración y el margen de seguridad que debe considerarse sobre las misma, ara asegurar cierto nivel de solvencia se realizará de forma análoga. Bastará con identificar la rovisión matemática con la rima ura, y el margen de solvencia al recargo de seguridad que se alique al seguro ara hacer frente a desviaciones de siniestralidad Determinación de la rima ura única Como ya fue comentado en el aartado.5., definimos la variable borroso aleatoria érdida ara el asegurador, que notamos como L, a la variable aleatoria cuyas realizaciones borrosas son la diferencia entre el valor actual de las restaciones que satisface el asegurador y de las rimas que se ercibe en cada uno de los años en los que uede fallecer el asegurado. En el suuesto de rimas únicas, si suonemos que la rima única uede venir dada a través de un número borroso, tal que: { x / µ (x)} {, / 0 α } α [ ] la variable borroso aleatoria érdida vendrá dada or: L Z - 400

3 arte III: Análisis de la determinación de las rimas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador cuando los tios de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos donde Z es la variable borroso aleatoria que cuantifica el valor actual de las restaciones que contemle el contrato. Asimismo, L uede ser caracterizada, ara un nivel α, a través de las variables aleatorias inferior y suerior L (α) y L (α): L (α) Z (α) - (α) L (α) Z (α) - (α) donde Z (α) y Z (α) son variables aleatorias cuya forma deenderá de la estructura actuarial que analicemos. En este aartado únicamente estudiaremos las estructuras ya descritas en el aartado 4... Asimismo, y dado que se convierte en una constante ara cada nivel α ara el que trabajemos con L es fácil comrobar que L cumle: E L E Z, siendo - la sustracción habitual ara números borrosos. ) [ ] [ ] ) V [ L] [ Z] y D [ L] [ Z] V 3) V * [L]V * [Z] y V * [L]V * [Z] D A artir de L, definimos como rima ura única y borrosa, al número borroso que hace que la eseranza matermática de la variable borroso aleatoria érdida se anules, es decir, E [ L] 0. De esta forma, ara hallar, deberemos lantear la ecuación borrosa E [ Z] 0, la cual no tiene solución en sentido clásico. ero si utilizamos el conceto de solución de Buckley y Qu, odemos identificar E [ Z], de esta forma, los α-cortes de se odrán hallar como: α E[Z] α, siendo entonces la función de ertenencia de, µ x) µ [ ] (x ). ( E Z Evidentemente, a la hora de fijar un recio del seguro de vida, el asegurador deberá exigir al asegurado una cuantía cierta con vencimiento en el momento actual. De esta forma denominaremos como rima ura única cierta y sin recargos,, a un valor nítido y reresentativo de que roonemos hallar a través de su valor eserado. Dado que el intervalo eserado de la rima ura a cobrar se calcularía, a artir de los α-cortes, como: [ E [ ], E [ ]] EI[ ] dα, dα

4 4. Fijación de las rimas y análisis de la variable borroso aleatoria érdida ara diversas modalidades de estructuras actuariales bajo la hiótesis de un único asegurado en cartera entonces, ara β [0,], el valor eserado de la rima ura se hallaría: EV, β ( β) E [ ] + βe [ [ ] ] El arámetro β cuantifica la aversión al riesgo de interés de la comañía de seguros, de tal forma que, a una mayor aversión al riesgo, se asigna una β mayor. Teniendo en cuenta que uno de los objetivos de la comañía debe ser su solvencia, la rudencia le llevaría a considerar valores de β mayores que Determinación de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria érdida si se cobra la rima ura única, y determinación del recargo a alicar ara carteras de un único asegurado Tras haber cobrado la rima ura única,, el asegurador uede definir, ara el contrato que está analizando, una variable borroso aleatoria érdida que notamos como L, a través de la cual estudiaremos la robabilidad de érdida (o de insuficiencia de las rimas cobradas) si el asegurado cobra únicamente la rima ura única. Así, a través de L determinaremos el recargo a alicar ara asegurar un cierto nivel de solvencia. Evidentemente, odemos utilizar otros criterios usuales en la ráctica actuarial ara determinar dicho recargo, los cuales se basan en la alicación de un orcentaje más o menos arbitrario sobre la rima ura, la varianza o la desviación estándar de la variable aleatoria érdida. Si bien, el camino que seguiremos no será éste, ya que consideramos que el que roondremos es concetualmente mucho más otente, a la vez que los recargos son fijados de forma mucho más fiable. Las herramientas que necesitamos en el rimer caso ya han sido roorcionadas y son: a) Ya hemos rouesto como calcular, or lo que el cálculo del ertinente recargo es inmediato una vez ha sido fijado el orcentaje que este suone sobre. b) Como ya hemos comentado en..., sea cual sea la rima cargada, la varianza o la desviación estándar de Feng de la variable borroso aleatoria érdida ara el asegurador sigue siendo la del valor actual de las restaciones que el contrato contemle. La forma de cálculo de estos arámetros ha sido analizada en todos los casos que lantearemos en este aartado. De esta forma, conociendo V * [Z] y D * [Z], y determinando el orcentaje que sobre la varianza o la desviación estándar de Feng queremos recargar, el recargo de seguridad que finalmente debe satisfacerse al asegurador se halla de forma inmediata. 40

5 arte III: Análisis de la determinación de las rimas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador cuando los tios de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos Ya hemos comentado que ara el análisis que retendemos llevar a cabo, deberemos artir de la variable borroso aleatoria érdida suoniéndose que se ha cobrado la rima ura. A dicha variable borroso aleatoria la notaremos como L con,. Al ser un número cris, que no es más que un caso articular de número borroso, su función característica de dicha cuantía es x µ (x), odemos hallar la variable borroso aleatoria érdida L 0 en otrocaso L Z - como: Siendo las variables aleatorias ciertas, inferior y suerior, L (α) y L (α), ara un nivel de resunción α dado: L (α) Z (α) L (α) Z (α) ara esta variable borroso aleatoria se cumle que: ) 0 so E [ L ], siendo so el soorte del número borroso. ) V [ L ] V [ Z] y D [ L ] D [ Z] 3) V * [L ]V * [Z] y D * [L ]D * [Z] Asimismo ara estudiar la función de distribución y los cuantiles de L, recurriremos a su reresentación a través de las variables aleatorias inferior y suerior que definen los extremos inferiores y sueriores de sus realizaciones. De forma general, odemos reresentar L (α) y L (α) como: L L con t q x, t {0,,,w-x-} y L L con t q x, t {0,,,w-x-} donde L y número borroso L son los extremos inferiores y sueriores resectivamente del α-corte del L que se calcularía como la diferencia entre la t-ésima realización de la variable borroso aleatoria Z y. Asimismo, será de gran utilidad resentar las realizaciones de L y L en orden creciente. Es fácil comrobar que en las estructuras que hemos analizado se cumle que si L L L L realizada en una de las dos variables aleatorias que definen a r r L. De esta forma, la ordenación ara un nivel α es idéntica en la otra, es decir, el número de orden que ocue el extremo del α-corte inferior o suerior- de una realización corresondiente a una de las variables aleatorias, será el mismo que ocue el otro extremo dentro del conjunto de realizaciones de la otra variable aleatoria. 403

6 4. Fijación de las rimas y análisis de la variable borroso aleatoria érdida ara diversas modalidades de estructuras actuariales bajo la hiótesis de un único asegurado en cartera A artir de las variables érdida inferior y suerior, odremos hallar, la función de distribución ara un valor X, F [X], la cual indicará la robabilidad de que la variable aleatoria tome valores inferiores a X, [ L X]. ara un nivel α, el α-corte de F [X], que notaremos como F[X] α, no vendrá dada or un conjunto convexo un intervalo de confianza-, sino or una serie de robabilidades discretas, ya que L es discreta. Asimismo, la función de distribución inferior vendrá determinada or la variable aleatoria suerior, y viceversa. Es evidente que, dadas dos variables aleatorias x e y, que suoniéndolas discretas, cuyo camo de variación ordenado en orden creciente sea, {x i } i n y {y i } i n resectivamente y con [xx i ][yy i ] i, si x i y i i, se cumle siemre que [x X] [y X]. or ejemlo, si disonemos de las variables aleatorias x e y, siendo las dos osibles realizaciones de x {, 3} y las de y {, }, y en ambos casos las realizaciones son equirobables (es decir, con robabilidad /), si tomamos un valor X 5, odemos observar que el valor de la función de distribución de la variable aleatoria con relizaciones menores (y) es [y 5]. En cambio, la robabilidad que acumula el valor X 5 a su izquierda en la variable aleatoria x es: [x 5]/. Así, la función de distribución suerior ara un nivel α, F [X](α)[ L distribución inferior ara X, F [X](α) [ L F [ X] y F [ X] t / L t x X q t / L X], vendrán dadas or: t x X q X] y la función de De forma que los α-cortes de la función de distribución F[X] α serán un conjunto de valores discretos cuyo envoltorio convexo es el intervalo [F [X](α), F [X](α)], tal como comentamos en el aartado de la rimera arte de la tesis, siendo no obstante F [X] un subconjunto borroso que cumle: a) F[X] α' F[X] α si α α, ya que L ( α ) L ( α' ) y L ( ) L ( α' ) F [X](α ) y F [X](α) F [X](α ) b) F[X], ya que L () L () t t t α t, or lo que F [X](α) t, que vendrán definidas or las trayectorias de los intereses de actualización suerior e inferior, resectivamente, con el máximo nivel de verdad. De forma que F [X] es un sunconjunto borroso normal. Sin embargo, no es un número borroso, ya que su función de ertenencia no está definida en los reales. t 404

7 arte III: Análisis de la determinación de las rimas en los seguros de vida y de la solvencia dinámica del asegurador cuando los tios de interés de valoración vienen estimados a través de números borrosos or suuesto, la función de ertenencia de F [X] odremos hallarla a través de F[X] α como: µ (x) {Max α x F[X] }, con x [0,] F[X] α La función de distribución de L, F [X] nos indicará cual es la robabilidad de que el asegurador incurra en érdidas si fija un recargo de seguridad X sobre la rima ura,. Evidentemente, esta robabilidad no uede ser conocida con certeza, ues la suficiencia o no del recargo de cuantía X deenderá no tan sólo del momento de fallecimiento del asegurado sino también de la trayectoria que tomen los tios de interés de actualización. Un comortamiento desfavorable de la mortalidad uede ser comensado con un comortamiento favorable en el interés que se obtiene invirtiendo las rimas y viceversa. Asimismo, si X0, F [0] nos indicará cual es la robabilidad de que la rima ura, sin recargos, sea suficiente ara cubrir las restaciones del seguro. Al conceto de función de distribución, odemos asociar el conceto de cuantil, que no se trata más que de la función inversa de la función de distribución. Así, el - cuantil de L, que denominaremos como Q, indicará la cuantía borrosa con que se debe recargar la rima ura, ara que el asegurador no sufra ninguna érdida con una robabilidad [0,]. De esta forma, y a esar de que los α-cortes de la función de distribución no vienen estrictamente dados mediante un intervalo de confianza, los α-cortes del - ercentil de L, Q α, si lo serán, tal como se muestra en los mencionados trabajos de Kruse y Meyer y de Frühwirth-Schnatter. De esta forma ara hallar Q α [ Q,Q ] Q α deberemos artir de F[X] α, obteniéndose: donde: Q inf X F [X] - y Q inf X F [X] - Es decir, a artir de la inversa de la función de distribución inferior, ara un nivel α, que es la de L, obtendremos el extremo suerior del corresondiente α-corte de Q y viceversa. Ya hemos comentado, en los seguros que analizaremos, que el extremo inferior del α-corte de la variable aleatoria érdida ara el asegurador si el asegurado sobrevive únicamente t años enteros, L t(α )ocua la misma osición en la ordenación sobre las realizaciones de la variable aleatoria inferior, L (α), que el extremo suerior, L t(α), dentro de las realizaciones de la variable 405

8 4. Fijación de las rimas y análisis de la variable borroso aleatoria érdida ara diversas modalidades de estructuras actuariales bajo la hiótesis de un único asegurado en cartera aleatoria suerior L de Q, como los α-cortes de la realización i. De esta forma, también odemos obtener ara un nivel α los α-cortes Min Lt r q x, i, r L i r L i L t, L tα tal que sus extremos inferior y suerior son: Es decir, los α-cortes de la t-ésima realización de ueden ser identificados como Q α, de forma que: Q α [ Q,Q ] L, L [ ] t t L, L t que cumle la condición anterior, y or tanto, si conociéramos la exresión analítica de ( x) sus α-cortes, µ ( x) µ. ( ) Q x L t µ, como L t L t Q ya que coinciden ara acabar de determinar la rima a reercutir al asegurado, deberemos de fijar de forma nítida el recargo a alicar sobre, que denominaremos como Q y se halla desfuzzyficando siemre, roonemos el criterio del valor eserado. Dado que el intervalo eserado de obtiene como: EI[Q [ [Q E ], E [Q ]] ] Q dα, Q 0 0 dα Q. Como Q se ara un grado de aversión al riesgo al riesgo β [0,], el recargo a alicar Q se obtiene a través del valor eserado de EV Q Q, de forma que: [ ] [Q, ' Q ( ') E ] ' E [Q β β + β ] Evidentemente, Q no acumulará exactamente una robabilidad de - o más a su izquierda, sino aroximadamente una igual o suerior a -. La robabilidad de érdida ara el asegurador tras fijarse el recargo cierto sobre, Q, vendrá dada or el subconjunto borroso F [ Q], ara el cual ya ha sido analizada la forma de cálculo de sus α-cortes y su función de ertenencia. De esta forma, la rima única recargada, R, a cobrar al asegurado ara la que la robabilidad de insolvencia en esa hiotética cartera comuesta or un único asegurado sea aroximadamente se obtendrá sumando la rima actuarialmente justa más el recargo, es decir: R + Q 406

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