Trabajo No 2. Análisis Supervivencia y Seguros de Vida

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1 Trabajo No 2. Análisis Supervivencia y Seguros de Vida Norman Giraldo Gómez Curso de Actuaría - Escuela de Estadística Octubre, Notas 1. La notación (xm) indica mujer de edad x y (xh) hombre de edad x. 2. Parámetros de la distribución Gompertz-Makeham (GM), t p x = s t g cx (c t 1). a) Tabla ISS80-89, Hombres, A = , B = , C = , s = , g = b) Tabla ISS80-89, Mujeres, A = , B = , C = , s = , g = c) Tabla ISS 2010, Hombres, A = , B = , C = , s = , g = d) Tabla ISS 2010, Mujeres, A = , B = , C = , s = , g = La ley de supervivencia de DeMoivre se define para cada 0 x 109 por 110 x t para 0 t 110 x, 110 x tp x = 0 para t 110 x. (1) 1

2 La fuerza de mortalidad correspondiente es: µ x+t = t ln tp x = 1/(110 x t). Lo anterior equivale a afirmar que T (x) U(0, 110 x), es decir, la variable aleatoria T (x) se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 110 x]. 4. Suponga que w es la edad límite en una tabla de vida, por ejemplo, w = 110 en la tabla colombiana de mortalidad Entonces q w = La Hipótesis de Linealidad consiste en suponer como válida la identidad siguiente: tq x = t(q x ), t (0, 1). (2) La hipótesis es equivalente a asumir que K(x) y S(x) son independientes y S(x) U(0, 1) 6. El teorema de probabilidad total en caso continuo: Si A es un evento cualquiera y T es una variable aleatoria continua positiva con fdp f T entonces 2. Problemas P (A) = 0 P (A T = t)f T (t)dt (3) 1. Calcule las siguientes cantidades, asumiendo la hipótesis de linealidad (2): a) P (T (35) 15 T (35) 5) b) P (K(35) > 17 K(35) > 5) c) E(T (35) K(35) = 3) d) E(v T (35) K(35) = 3), v = 1/(1 + i), i = Con base en las tablas de vida ISS80-89 y 2010, mujeres. Calcule lo siguiente y compare. a) La probabilidad de que (18) sobreviva la edad 65. b) La probabilidad de que (25) fallezca entre las edades 40 y 45. c) La probabilidad de que (30) fallezca antes de la edad 60. d) 3 p

3 e) Suponga la ley Gompertz-Makeham. Evalúe los puntos a)-d) anteriores. Compare. Hay diferencias apreciables entre usar las tablas y usar la distribución paramétrica?. 3. Suponga las variables T (40m) y T (30m), asumidas independientes. a) Son idénticamente distribuídas?. b) Compruebe que si X y Y son variables i.i.d. positivas entonces P(X < Y ) = 1/2. c) Compruebe que P(T (40m) + 10 < T (30m)) = p 30. Sugerencia: use el teorema de probabilidad total (3) y el punto b). Cómo se interpreta esta identidad?. d) Calcule esta probabilidad usando la distribución GM tabla ISS 2010 mujeres. e) Desarrolle una expresión para P(T (40h)+10 < T (30m)) y evalúela usando la distribución GM para H y M tabla ISS Suponga las variables T (40), T (30) y T (20) distribuídas GM según tabla ISS2010 hombres y asumidas independientes. a) Interprete la probabilidad P(T (40) + 20 < T (30) + 10 < T (20)) (4) y desarrolle una expresión usando el teorema de probabilidad total (3), condicionando sobre T (30). b) Compruebe que para una variable X continua positiva con fda F (x) y fdp f(x) = F (x) se cumplen las identidades P(X > x)f(x)dx = 1/2 y 0 P(X > x) 2 f(x)dx = 1/3. 0 c) Compruebe que (4) es igual a p p 20 d) Evalúela usando la distribución GM especificada. 5. Compruebe que las siguientes identidades son válidas cuando se asume la función de supervivencia de DeMoivre (1). 3

4 a) A x = a 110 x 110 x, A1 x:n = a n 110 x b) (IA) x es la expresión para la prima neta de un seguro completo para (x), pagadero al final del año de fallecimiento, tal que el valor asegurado se incrementa anualmente en 1, con valor asegurado inicial de 1. (IA) 1 x:n es la expresión para el mismo seguro anterior, temporal a n años. Compruebe que: (5) (IA) x = (Ia) 110 x 110 x, (IA)1 x:n = (Ia) n 110 x c) Justifique la siguiente expresión para la prima neta de un seguro temporal a n años para (x), pagable al final del año de fallecimiento, con valor asegurado c para el primer año, con incrementos anuales de ρ en el valor asegurado. (6) Prima Neta = (c + ρ i ) a n 110 x ρnvn+1 d(110 x) d) Calcule el valor de la prima neta de un seguro de vida temporal a 5 años, para una vida de edad 30, asumiendo una tasa técnica i=0.13 un valor asegurado inicial de $ , con incrementos anuales en el mismo de $ e) Se propone la siguiente alternativa para el seguro anterior: pagar cada año un seguro temporal por un año, con valor asegurado igual al valor que se obtenga de agregar cada vez $ La prima neta o total es la suma de los valores presentes de las primas de cada año. Calcule esta prima y compare con los resultados del problema anterior. 6. Se definió la variable S m (x) = ms + 1 /m {1/m, 2/m,..., 1} tal que P (S m (x) = j/m) = 1/m, j = 1, 2,..., m donde m = 2, 4, 6, 12. Asuma la hipótesis de linealidad, tal que K(x) y S m (x) sean independientes y defina c 1 (m) y c 2 (m) por medio de las dos identidades siguientes: c 1 (m) = E((S m (x) 1)v Sm(x) 1 ) = i i (m) ( 1 d (m) 1 ) 1 i (m) (7) 4

5 c 2 (m) = E(v Sm(x) 1 ) = i i (m) (8) a) Defina un seguro pagable al final del m-simo período, tal que el valor asegurado se incrementa en 1/m al final de cada período m. Justifique por qué el valor presente de este pago es igual a: Z = (K + S m (x))v K+Sm(x). b) Suponga la ley de supervivencia de DeMoivre (1). Utilizando el supuesto de independencia y las fórmulas (5), (6), (7), (8), compruebe que la prima neta de este seguro es: = P = c 1 (m)a x + c 2 (m)(ia) x ( c 1 (m) + c 2(m) d ) a110 x 110 x + c 2(m)v 110 x+1. d c) Calcule la prima neta para un seguro de vida entero para (45) tal que se incrementa cada semestre en $ 6 mill, con un valor inicial de $ 300 mill, con base en una tasa técnica efectiva anual de 4 %. 7. Suponga que la población de fumadores (F) de edad x tiene una fuerza de mortalidad doble que la de los no fumadores (NF). Asuma que la fuerza de mortalidad de los NF es la GM, t p x = s t g cx (c t 1). a) Compruebe que para una variable X continua positiva con fda F (x) y fdp f(x) = F (x) se cumple la identidad 0 P(X > x) 2 f(x)dx = 1/3. b) Compruebe que t p F x < t p x. c) Suponga que (x) y (x F ) son dos vidas la primera NF y la segunda F. Calcule la probabilidad de que la vida residual de (x F ) sea menor que la de (x), P(T (x F ) < T (x)) asumiendo que las variables T (x F ) y T (x) son independientes. Sugerencia: use la identidad de la parte a). d) Se cumple en este caso que la prima para un seguro de vida entera para un F es mayor que para un NF?. Es decir, A F x > A x es cierta?. e) Evalúe A F x y A x para x=48, i=0.07, usando la distribución GM para ISS80-89 mujeres. f ) Calcule e 56 F < e 56. En qué porcentaje se reduce la esperanza de vida e 56 con respecto a la de 56 F?. 5

6 8. Una fuerza de mortalidad sub-estándar se obtiene al añadir una constante k > 0 a la fuerza de mortalidad. Con símbolos: µ s x+t = µ x+t + k. Por tanto, la fuerza de mortalidad sub-estándar es mayor, en cualquier edad. Este procedimiento se utiliza para modelar la fuerza de mortalidad de personas inválidas o con problemas de salud que incidan en su supervivencia (arterioesclerosis,diabetes, VIH, cáncer). Denote por T (x s ) la vida media residual de una vida (x) con fuerza de mortalidad sub-estándar. a) Justifique por qué se cumple que t p s x < t p x. b) Encuentre una expresión para P (T (x) < T (x s )). Evalúela asumiendo x = 56, k = 0.1 y la Tabla ISS2010 hombres. c) Evalúe A s x y A x para x=48, i=0.07, usando la distribución GM para ISS80-89 mujeres. Se cumple que A s x > A x?. d) Encuentre una expresión para E(T (x s )) = e x s. e) Calcule e 56 s< e 56, asumiendo k = 0.1. En qué porcentaje se reduce la esperanza de vida e 56 con respecto a la de 56 s?. 9. Suponga que (x a ) es una vida a quien se le diagnostica arterioesclerosis. El riesgo de fallecer debido a una enfermedad del corazón es mayor que en una persona sana. Denote por T (x a ) su vida residual y por T (x) la de una persona de la misma edad cuyo estado es normal. Asuma que la fuerza de mortalidad de (x a ) se modela añadiendo a la fuerza de mortalidad una constante k > 0, es decir, t 0, µ a x+t = k + µ x+t. a) Justifique por qué se cumple que t p a x < t p x. b) Encuentre una expresión para E(T (x a )) = e x a. c) Suponga x s = 56, k = 0.1, en qué porcentaje se reduce la esperanza de vida de (x s ) con respecto a otra vida (x) con la fuerza de mortalidad µ x+t?. d) Encuentre t p a x si k=0.01. e) Encuentre A a x y A x si x=38, i=0.3 y c=0.01. En qué porcentaje se recarga la prima de una persona con arterioesclerosis 1 con respecto a la de una persona declarada normal? 1 La hipótesis expresada en este problema sobre una posible asociación entre la arterioesclerosis y la mortalidad no se basa en evidencia de estudios médicos 6

7 10. Considere un seguro de vida temporal a n años para una vida (x) por C mill. Denote por Π la prima única pagadera al inicio del contrato. Suponga que se invierte el capital Π en un fondo que ofrece una tasa de rendimiento efectiva anual aleatoria i(k), k = 1, 2,... tal que δ(k) = log(1 + i(k)) i.i.d.n(δ, σ 2 ). Defina i a = E(i(k)). Compruebe o desarrolle lo siguiente. a) Si se define la variable N = K(x) + 1 entonces el saldo de esta inversión al final del año k, F (k), cumple que F (k) = (1 + i(k))f (k 1) CI(N = k), k = 1,..., N n, (9) donde a b = min(a, b) y F (0) = Π. Se definen las variables Z(k) = 1/(1 + i(k)) y X(k) = Z(1)...Z(k). Compruebe que la solución de (13) es: donde S N = C N n k=1 X(k)I(N = k). F (N n) = X(N n) 1 (Π S N ), (10) b) Explique por qué es S N = CX(N)I(N n). c) Compruebe que E(S N ) = A 1 x:n i a, si esta última se calcula con la tasa i a. d) Calcule el valor de la prima neta Π = A 1 x:n i a, para una vida (30) mujer, y n = 30 años, C = 100 mill, utilizando una distribución GM con base en la tabla ISS 2010 mujeres, δ = y σ = Suponga un seguro de vida temporal a n años para una vida (x) por C mill. Denote por Π la prima única pagadera al inicio del contrato. Suponga que se invierte el capital Π en un fondo que ofrece una tasa de rendimiento efectiva anual aleatoria i(k), k = 1, 2,... tal que δ(k) = log(1 + i(k)) i.i.d.n(δ, σ 2 ). Si se define la variable N = K(x) + 1 entonces el saldo de esta inversión al final del año k, F (k), cumple que F (k) = (1 + i(k))f (k 1) CI(N = k), k = 1,..., N n, (11) donde a b = min(a, b) y F (0) = Π. Se definen las variables Z(k) = 1/(1+i(k)) y X(k) = Z(1)...Z(k). Entonces la solución de (11) cumple donde S N = C N n k=1 X(k)I(N = k). X(N n)f (N n) = Π S N, (12) 7

8 a) Explore la distribución de S N mediante simulación, para (32) mujer, con un seguro a n = 20 años, usando la distribución Gompertz-Makeham ISS2010 para mujeres y δ = , σ = Use el siguiente algoritmo. 1) Genere un valor de N. Si N n siga al paso siguiente. Si no, haga S N = 0 y repita este paso. 2) Genere Z(k) LogNor( δ, σ 2 ), k = 1, 2,..., N. 3) Calcule S N = CZ(1)...Z(N) 4) Repita los pasos anteriores un número grande de veces, por ejemplo, veces y obtenga una muestra de S N. b) Grafique el histograma y la densidad estimada de S N. c) Encuentre la media y el percentil de 95 % de S N. d) Calcule Π = A 1 32:20 usando como tasa técnica i a = E(i(k)). Compare con E(S N ). 12. Considere un seguro de vida temporal a n años para una vida (x) por C mill. Denote por Π la prima única pagadera al inicio del contrato. Suponga que se invierte Π en un fondo que ofrece una tasa de rendimiento efectiva anual i(k), k = 1, 2,... tal que δ(k) = log(1 + i(k)) sigue un proceso MA(1), δ(k) = δ + ɛ(k) θɛ(k 1), k = 1, 2,..., con ɛ(k) i.i.d.n(0, σ 2 ), para k = 0, 1,.... a) Si se define la variable N = K(x) + 1 entonces el saldo de esta inversión al final del año k, F (k), cumple que F (k) = (1 + i(k))f (k 1) CI(N = k), k = 1,..., N n, (13) donde a b = min(a, b) y F (0) = Π. Se definen las variables Z(k) = 1/(1 + i(k)) y X(k) = Z(1)...Z(k). Compruebe que la solución de (13) es: donde S N = C N n k=1 X(k)I(N = k). F (N n) = X(N n) 1 (Π S N ), (14) b) Explique por qué es S N = CX(N)I(N n). 8

9 c) Compruebe que E(S N ) = e θσ2 A 1 x:n i a (:= Π), si esta última se calcula con la tasa i a = e δ σ2 (1 θ) 2 /2 1. Para esta parte modificar las fórmulas para el caso de tasas MA asumiendo que ɛ(0) N(0, σ 2 ), y no una constante como se colocó en la exposición en clase. d) Calcule el valor de la prima neta Π = e θσ2 A 1 x:n i a, para una vida (30) mujer, y n = 30 años, C = 100 mill, utilizando una distribución GM con base en la tabla ISS mujeres, δ = , σ = y θ = e) Simule muestras de la variable S N utilizando el código R siguiente. Los parámetros de la distribución GM son sm, gm, cm, la función rgm simula muestras aleatorias de esta distribución y las variables X(k) aparecen como prod(1/ir). La función ecdf es la función distribución acumulada empírica. Esta función calculada con la muestra de S N permite calcular P(Π < S N ) mediante 1-FS(mean(S)). Reporte esta probabilidad, y la gráfica de la ecdf de S N. Además, calcule el percentil del 95 % de S N, calculado con la función quantile. S = double(10000) for(j in 1:10000){ N = floor(rgm(1,sm,gm,cm,x))+1 if( N <= nx){ ir = exp( delta + arima.sim( list(c(0,0,1),ma=theta), n=n, sd =sigma)) S[j] = 100*prod(1/ir) }else{ S[j] = 0 } } (exp(theta*sigma^2)*ax1n(sm,gm,cm,x,nx,ia)) mean(s) FS <- ecdf(s) plot(fs) plot(fs, verticals= TRUE, do.points = FALSE) (1-FS(mean(S)) quantile(s,0.95) 9

10 3. Presentación y Valor del Trabajo La presentación se sugiere que sea con formato de artículo, es decir, título, autores (nombre, carnet, carrera), resumen, en la primera página y luego: desarrollo, conclusiones, bibliografía, con páginas numeradas. Elaborado en lo posible en world o latex. Se solicita no empastar. El valor de este trabajo es 35 %. La fecha de entrega se fijó en clase. Nota: para quienes escojan elaborar el informe en latex se incluye el archivo latex (.tex) de este trabajo. Se puede usar este archivo para empezar a elaborar el trabajo, borrando los puntos no asignados. 10

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