PRESENTACIÓN DE LA TESIS 1 1. INTRODUCCIÓN 4 2. ESTRUCTURA Y METODOLOGÍA DE LA TESIS 8

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1 Índice ÍNDICE PRESENTACIÓN DE LA TESIS 1 1. INTRODUCCIÓN 4 2. ESTRUCTURA Y METODOLOGÍA DE LA TESIS 8 PARTE I: INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TEORÍA DE LOS SUBCONJUNTOS BORROSOS 19 CAPÍTULO 1: ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LOS SUBCONJUNTOS BORROSOS Subconjunto borroso Definición y concepto Definiciones sobre conjuntos borrosos Operaciones conjuntistas básicas con subconjuntos borrosos Principio de extensión de Zadeh Principio de extensión de Zadeh generalizado Principio de extensión Aplicación del principio de extensión de Zadeh a través de conjuntos de nivel Relaciones borrosas binarias Números borrosos Definición y concepto Operaciones con números borrosos Operaciones monarias Operaciones binarias Evaluación de funciones reales de números borrosos Algunos tipos especiales de números borrosos Números borrosos L-R de Dubois y Prade Operaciones con números borrosos L-R de Dubois y Prade Números borrosos trapezoidales Números borrosos triangulares Operaciones con números borrosos trapezoidales y triangulares Resolución de ecuaciones borrosas Método clásico de resolución de ecuaciones Planteamiento general Desconvolución de la suma y el producto utilizando el concepto clásico de resolución de ecuaciones Desconvolución de la suma y el producto utilizando el concepto clásico de resolución de ecuaciones cuando los parámetros que intervienen son números borrosos L-L de Dubois y Prade Método de resolución de ecuaciones de Buckley y Qu Aproximación de números borrosos Aproximación a través de un número L-L de Dubois y Prade una función de números L-L de Dubois y Prade Una metodología para medir la calidad de la aproximación a través de un número borroso triangular de una función de números borrosos triangulares que mantenga su mismo soporte y núcleo Una metodología para la aproximación de cualquier número borroso a través de un número trapezoidal o triangular 62 III

2 1.5. Desfuzzyficación de números borrosos Métodos de desfuzzyficación clásicos Mean of maxima (MOM) Centro de área (COA) Media borrosa (FM) El indicador de valor de Delgado et al. (1998) El valor esperado 68 CAPÍTULO 2: ALGUNOS MODELOS DE REGRESIÓN BORROSA Consideraciones previas El modelo de Tanaka e Ishibuchi de regresión borrosa Regresión con intervalos de confianza Regresión con números borrosos El modelo de Sakawa y Yano (1992) Regresión posibilística con inputs ciertos y outputs borrosos Regresión posibilística con inputs y outputs borrosos 85 CAPÍTULO 3: DIVERSAS ASOCIACIONES ENTRE LA ALEATORIEDAD Y LA INCERTIDUMBRE Consideraciones previas Subconjuntos aleatorio borrosos Probabilidad de eventos borrosos Números híbridos Haz de números borrosos Variables borroso aleatorias Conceptos y definiciones Esperanza, varianza y desviación estándar de una variable borroso aleatoria Función de distribución y cuantiles de una variable borroso aleatoria Inferencia estadística en muestras donde las observaciones vienen dadas por números borrosos Media muestral, varianza muestral y desviación estándar muestral Función de distribución muestral y cuantiles muestrales Variables aleatorias normales con media y varianza borrosas Función de distribución, cuantiles e intervalos de confianza para variables aleatorias normales Función de distribución, cuantiles e intervalos de confianza para variables aleatorias normales con media y desviación estándar borrosas 113 CAPÍTULO 4: VALORACIÓN FINANCIERA CON INTERESES BORROSOS Introducción Análisis del factor de descuento con interés borroso Planteamiento general Análisis del factor de descuento cuando el interés viene estimado a través de números borrosos triangulares Aproximación triangular del factor de actualización cuando los interés futuros vienen dados por números borrosos triangulares Aproximación triangular del factor de actualización cuando el interés triangular aplicado es variable a lo largo del tiempo 122 IV

3 Índice Aproximación triangular al factor de actualización cuando el interés triangular aplicado es constante a lo largo del tiempo Valoración de rentas financieras con capitales y número de términos ciertos con intereses estimados a través de números borrosos Planteamiento general Valor actual de rentas temporales valoradas a través de números borrosos constantes a lo largo de todo el periodo de valoración Valor actual de rentas temporales con intereses de valoración estimados a través de números borrosos triangulares Aproximación triangular del valor actual de renta valorada con intereses estimados por números borrosos triangulares 140 PARTE II: ESTIMACIÓN DE LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS A TRAVÉS DE SUBCONJUNTOS BORROSOS Y ESTIMACIÓN DE LOS TIPOS DE INTERÉS FUTUROS 151 CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS Análisis de las tasas de interés que rigen en el mercado de deuda pública Rendimiento interno de un título de renta fija Los tipos spot y la estructura temporal de los tipos de interés Tipos de interés implícitos a plazo o tipos forward Teorías explicativas de la estructura temporal de los tipos de interés La teoría pura de las expectativas racionales La teoría de la preferencia por la liquidez La teoría de la segmentación de mercados La teoría del hábitat preferido Aplicaciones de la estimación de la estructura temporal de los tipos de interés Métodos estimativos de la estructura temporal de los tipos de interés Modelos empíricos Modelos de equilibrio dinámico Modelos econométricos Estimación de los intereses futuros a través de números borrosos mediante una estimación fuzzy de la ETTI 177 CAPÍTULO 2: MÉTODOS ECONOMÉTRICOS DE ESTIMACIÓN DE LA ETTI Estimación de la ETTI a través de la curva de rentabilidades Algunos modelos para ajustar la curva de rentabilidades Estimación de la curva de rentabilidades a través de la interpolación lineal de las TIRs de los títulos Ajuste polinómico de la TIR de los títulos El modelos de Cohen, Kramer y Vaugh (1966) El modelo de Bradley y Crame (1973) Estimación de la ETTI a través de la estimación de la curva de rentabilidades Estimación de los tipos forward Estimación de la ETTI a través del ajuste de la función de descuento El modelo de McCulloch Splines cuadráticos en la modelización de la función de descuento Splines cúbicos en la modelización de la función de descuento El modelo de Vasicek y Fong 203 V

4 Comentarios a los resultados obtenidos en las estimaciones Estimación de los tipos forward a través de la estimación directa de la ETTI 208 CAPÍTULO 3: ESTIMACIÓN DE LA ETTI MEDIANTE EL EMPLEO DE LA REGRESIÓN POSIBILÍSTICA Estimación de la ETTI a través de la curva de rentabilidades Planteamiento general e hipótesis Implementación de los diversos modelos de estimación de la curva de rentabilidades considerando los datos de partida como números borrosos triangulares Ajuste de la curva de rentabilidades mediante interpolación lineal Estimación polinómica de la curva de rentabilidades El modelo de Cohen, Kramer y Vaugh El modelo de Bradley y Crame Comentarios a los resultados obtenidos Estimación de la ETTI a través de la curva de rentabilidades Estimación del precio del bono par Estimación de de los precios de los bonos par a partir de una estimación triangular de la curva de rentabilidades: análisis de los diferentes modelos planteados Estimación de los factores de descuento al contado Estimación de los factores de actualización spot a partir de una aproximación triangular de la curva de rentabilidades: análisis de los modelos planteados Estimación de la ETTI Estimación de los tipos spot a partir de una estimación triangular de la curva de rentabilidades: análisis de los diversos modelos planteados Comentarios a los resultados obtenidos Estimación de la ETTI mediante la estimación de la función de descuento Planteamiento general e hipótesis El modelo de McCulloch El modelo de Vasicek y Fong introduciendo la incertidumbre en los precios negociados Estimación de la ETTI a través de la estimación posibilística de los factores de actualización Comentarios a los resultados obtenidos 261 CAPÍTULO 4: PREDICCIÓN DE LOS TIPOS DE INTERÉS FUTUROS A TRAVÉS DE NÚMEROS BORROSOS Introducción Obtención de los tipos de actualización forward a un año a través de números borrosos Análisis de la existencia de solución en sentido clásico cuando realizamos la estimación directa de los factores de actualización spot Estimación de los tipos de interés futuros a través de números borrosos Estimación de los tipos fituros a través de números borrosos triangulares Resultados obtenidos con los métodos de estimación de la ETTI basados en la curva de rentabilidades Resultados obtenidos con los métodos de estimación del factor de actualización Algunos comentarios sobre los métodos de estimación de los tipos futuros propuestos 279 VI

5 Índice PARTE III: ANÁLISIS DE LA DETERMINACIÓN DE LAS PRIMAS EN LOS SEGUROS DE VIDA Y DE LA SOLVENCIA DINÁMICA DEL ASEGURADOR CUANDO LOS TIPOS DE INTERÉS DE VALORACIÓN VIENEN ESTIMADOS A TRAVÉS DE NÚMEROS BORROSOS 283 CAPÍTULO 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS Seguros de vida: consideraciones previas Breve análisis sobre el tratamiento del fenómeno de la mortalidad en los seguros de vida Propuestas sobre el interés a aplicar en los contratos de seguros de vida Consideraciones previas Modelización de la incertidumbre del interés técnico en la literatura actuarial Propuestas para la determinación del tipo (los tipos) a aplicar en el cálculo de la prima de un seguro de vida Propuestas para la determinación de un tipo de interés único Propuestas para la utilización de un tipo de interés variable Utilización de tipos de interés con periodicidad inferior al año Intervalo esperado y valor esperado del factor de actualización Formulación del principio de equivalencia estático en el supuesto de interés incierto Enfoque borroso estocástico en la valoración de los seguros de vida Un breve análisis del enfoque estocástico en la valoración actuarial Enfoque borroso estocástico en la valoración de los seguros de vida y utilización de variables borroso aleatorias 315 CAPÍTULO 2: ANÁLISIS DE LAS PRINCIPALES ESTRUCTURAS ACTUARIALES CON CERTEZA EN EL TIPO DE INTERÉS DE VALORACIÓN Capital de fallecimiento Capital de supervivencia Seguro inmediato de vida entera Seguro inmediato temporal Seguro mixto o endowment Rentas vitalicias anticipadas Rentas temporales anticipadas Análisis del comportamiento de los momentos representativos del valor actual de las diferentes estructuras actuariales respecto al tipo de interés de valoración 327 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LAS PRINCIPALES ESTRUCTURAS ACTUARIALES CON EL TIPO DE INTERÉS ESTIMADO A TRAVÉS DE NÚMEROS BORROSOS Consideraciones generales y metodología Capital de fallecimiento Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante 340 VII

6 Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Capital de supervivencia Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Seguro vida entera Planteamiento genera Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Seguro temporal Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Seguro mixto o endowment Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Renta vitalicia anticipada Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica Renta temporal anticipada Planteamiento general Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante Análisis cuando el tipo de interés es un número borroso constante y triangular Aplicación numérica 392 CAPÍTULO 4: FIJACIÓN DE LAS PRIMAS Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA PÉRDIDA PARA DIVERSAS MODALIDADES DE ESTRUCTURAS ACTUARIALES BAJO LA HIPÓTESIS DE UN ÚNICO ASEGURADO EN CARTERA Planteamiento general Consideraciones previas Determinación de la prima pura única Determinación de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única y determinación del recargo a aplicar para carteras de un único asegurado Análisis del capital de fallecimiento con vencimiento en el año actual Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis del seguro de capital diferido Determinación de la prima pura única 413 VIII

7 Índice Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis del seguro de vida entera Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis del seguro temporal Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis del seguro mixto Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis de las rentas vitalicias anticipadas Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica Análisis de las rentas temporales anticipadas Determinación de la prima pura única Análisis de la función de distribución y los cuantiles de la variable borroso aleatoria pérdida si se cobra la prima pura única Determinación de las primas cuando el interés de valoración vienen dado a través de un único número borroso triangular a lo largo de todo el contrato Aplicación numérica 454 CAPÍTULO 5: FIJACIÓN DE LA PRIMA ÚNICA Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA PÉRDIA A TRAVÉS DE LA TEORÍA CLÁSICA DEL RIESGO Consideraciones generales y metodología Análisis de la función de distribución de la variable borroso aleatoria pérdida para una cartera de pólizas idénticas tras haberse cobrado la prima pura única Fijación del recargo de seguridad para conseguir un nivel de solvencia dado por el asegurador Aplicaciones numéricas 467 IX

8 CAPÍTULO 6: FIJACIÓN DE LA PRIMA ÚNICA Y ANÁLISIS DE LA VARIABLE BORROSO ALEATORIA PÉRDIDA UTILIZANDO SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA Consideraciones generales y metodología Determinación mediante simulación estocástica de la variable borroso aleatoria pérdida para todo el colectivo tras cobrarse la prima pura Análisis de la función de distribución de la variable borroso aleatoria pérdida para una cartera de pólizas idénticas tras haberse cobrado la prima pura única. Fijación del recargo de seguridad Aplicaciones numéricas 482 CONCLUSIONES CONCLUSIONES PROPIAS DE LA TESIS CONCLUSIONES PROYECTIVAS DE LA TESIS 500 BIBLIOGRAFÍA 503 X

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