Elementos almacenadores de energía

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1 Elementos almacenadores de energía Objetivos. Explicar los conceptos esenciales sobre capacitores e inductores, utilizando los criterios dados en el texto. 2. Ampliar los conocimientos sobre dualidad, mediante los criterios dados en el texto. Sumario Elementos almacenadores: el capacitor (condensador) y el inductor, relaciones tensióncorriente, condiciones de continuidad, potencia y energía. Bibliografía básica: Texto. Análisis de Circuitos en Ingeniería William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 7. Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción Hasta el momento se han analizado circuitos elementos activos: con fuentes independientes, fuentes dependientes, con amplificadores operacionales y transistores. También se han analizado circuitos con un elemento pasivo: el resistor, que recibe energía (ver epígrafe 2.4). Se comienza hoy el trabajo con el inductor y el capacitor, elementos pasivos capaces de almacenar energía en campo magnético y eléctrico respectivamente, que pueden cederla al circuito pero no de manera indefinida como se verá posteriormente. Estos son elementos dinámicos, o sea, la relación tensión-corriente para estos dos elementos involucran a la rapidez de cambio de una de las variables. Todas las componentes reales tienen resistencia, capacitancia e inductancia inherentes, aunque en la práctica tales valores quizás sean muy pequeños. Sin embargo, a medida que un mayor número de aplicaciones en computación y comunicaciones tienden a funcionar con frecuencias cada vez más altas, incluso las pequeñas capacitancias e inductancias afectarán de modo significativo el desempeño del circuito. Ya se vieron los procesos energéticos a los cuales están vinculados el inductor y el capacitor. A cuál proceso energético está asociado el capacitor? A cuál el inductor? Cuál es la relación tensión-corriente en un inductor? Cuál en un capacitor? Estas interrogantes serán respondidas en esta actividad, y serán apoyadas en los conocimientos de Física, Electricidad y Magnetismo, y matemática con derivadas e integrales.

2 a) El capacitor De los conocimientos de Física: elemento almacenador de energía en un campo eléctrico Símbolo según la norma cubana (no es el del texto) Elemento ideal de circuito: el capacitor. Es un buen modelo en muchas aplicaciones de un condensador (dispositivo físico), si las pérdidas en el dieléctrico no son apreciables. Parámetro: capacidad C (o capacitancia) que depende de la forma geométrica, de las dimensiones de las placas y del tipo de dieléctrico. Unidad: farad (F), F=C/V, μf=0-6 F, pf=0-2 F a.) Concepto de capacitor lineal Cómo se definió el concepto de resistor lineal? v=ri En el capacitor, la capacitancia C es constante para cualquier tensión aplicada entre las placas (modelo de capacitor ideal y lineal) y por tanto q=cv, ecuación de una recta de la forma y=mx, como se muestra en la anterior figura. Si se derivan ambos miembros respecto al tiempo se tiene la relación tensión-corriente en el capacitor, donde v e i satisfacen las convenciones para un elemento pasivo, como se muestra en la Figura 7. del texto y en la figura anterior. Las variables tensión y corriente son funciones del tiempo y se acostumbra a escribir v( e i(. a.2) Relación tensión-corriente Puntualice que el capacitor ideal definido por la siguiente ecuación para la corriente, sólo es el modelo matemático de un dispositivo real, como es conocido. t dv ι = C ntegrando ι : v( = ι( dt + v(0) dt C 0 En el texto en la página 90 se realiza la integral y se explica en el pie de página el cambio de variable realizado. Esto es conocido de matemática. Por ejemplo, para un capacitor de capacidad C= 0, μf y tensión v= 2 sen (w V, la corriente será i = w cos (w A. Si w = 0 3 rad/s la amplitud será 0,2mA, pero si w = 0 6 rad/s, la amplitud será 0,2 A, esto es, la respuesta depende de cuán rápidamente varía el estímulo en función del tiempo. Si v es constante entonces dv/dt=0, por lo que para señales de corriente directa, el capacitor ideal se comporta como un circuito abierto, cuando la tensión NO varía entre sus terminales. Analizando físicamente la expresión integral para la tensión, se observa que v(0) o v(t o ) es la condición inicial que resume la historia del capacitor. 2

3 a.3) Condición de continuidad: v(t o - )= v(t o + ). Por el principio de conservación de las cargas eléctricas, si la carga no puede variar bruscamente pues la corriente sería infinita en ese salto brusco, lo cual no es físicamente posible, tampoco la tensión podrá variar bruscamente, q=cv. Esto implica que la tensión en un condensador, físicamente es una función continua, NO PUEDE VARIAR A SALTOS. Implicación. Si hay un cambio brusco en un circuito en un instante t = t o, el capacitor comienza a variar su tensión a partir de la que inicialmente tenía cuando se efectuó ese cambio, y se puede decir que en el instante del cambio, el capacitor se comporta como una fuente ideal de tensión. Esto se utilizará en los cálculos de los circuitos. a.4) Potencia y energía p = vi y a diferencia del resistor puede ser positiva o negativa El texto demuestra que la energía eléctrica almacenada en el capacitor cumple w c ( = ½ C v 2 la cual siempre es positiva. Por qué? Estudie detenidamente el cuadro resumen de la página 94. b) El inductor De los conocimientos de Física: elemento almacenador de energía en un campo magnético. El texto comienza el Epígrafe 7.3 con algunos comentarios sobre la teoría del campo magnético que debe leer y refrescar lo aprendido en Física. Símbolo según la norma cubana (no es el del texto). Existen otros símbolos. Elemento ideal de circuito: el inductor. Puede ser un buen modelo para una bobina de resistencia despreciable, caso contrario se utiliza como modelo una combinación de L-R. Parámetro: inductancia L que depende de la geometría, del número de vueltas, dimensiones del enrollado, y del tipo de material magnético. Ψ = NΦ (concatenaciones de flujo) Unidad: henry (H), H=V-s/A, mh=0-3 H b.) Concepto de inductor lineal En el inductor, la inductancia L es constante para cualquier corriente en el enrollado (modelo del inductor ideal y lineal) y por tanto Φ = L i, Ψ= NΦ=Li. La característica weber-ampere es lineal como se muestra en la figura, ecuación de una recta de la forma y=mx. Fórmula: L = Ψ/i = NΦ/i b.2) Relación tensión-corriente Puntualice que el inductor ideal definido por la siguiente ecuación para la tensión, sólo es el modelo matemático de un dispositivo real. t di v = L ntegrando ι : i( = v( dt + i(0) dt L 0 En el texto en la página 99 se realiza la integral. 3

4 Si i es constante entonces di/dt=0, por lo que para señales de corriente directa, el inductor ideal se comporta como un cortocircuito, cuando la corriente NO varía entre sus terminales. Analizando físicamente la expresión integral para la corriente, se observa que i(0) o i(t o ) es la condición inicial que resume la historia del inductor. b.3) Condición de continuidad: i(t o - )= i(t o + ). Por el principio de conservación del flujo (concatenaciones de flujo), si la corriente varía bruscamente en un momento de cambio, entonces la tensión sería infinita en ese salto brusco, lo cual no es físicamente posible. Esto implica que la corriente en un inductor, físicamente es una función continua, NO PUEDE VARIAR A SALTOS. Implicación. Si hay un cambio brusco en un circuito en un instante t = t o el inductor comienza a variar su corriente a partir de la que inicialmente tenía cuando se efectuó ese cambio y se puede decir que en el instante del cambio, el inductor se comporta como una fuente ideal de corriente. Esto se utilizará en los cálculos de los circuitos. b.4) Potencia y energía p = vi y a diferencia del resistor puede ser positiva o negativa El texto demuestra que la energía eléctrica almacenada en el inductor cumple w L ( = ½ L i 2 la cual siempre es positiva. Por qué? No se puede interrumpir, sin tomar medidas especiales un circuito inductivo, es peligroso. Estudie detenidamente el cuadro resumen de la página 203 y el párrafo siguiente que habla de la dualidad, la que ya se puede apreciar entre ambos elementos y sus ecuaciones. El Epígrafe 7.4 y el 7.6 se dejan de autoestudio. En el epígrafe 7.6 y en el Ejemplo 7.9 se estudian 2 circuitos con amplificadores operacionales que serán usados en muchos circuitos electrónicos en las asignaturas electrónicas y en la teoría de control, entre otras. Es muy importante entenderlos y se insistirá en ellos. c) Dualidad Para qué sirve el concepto? Qué plantea el principio de dualidad? Lea el Epígrafe 7.7. En actividades anteriores se vio la dualidad entre resistencia y conductancia, tensión y corriente, LKC y LKT, fuente de tensión y fuente de corriente, circuito serie y circuito paralelo y ahora vemos la dualidad entre inductancia y capacitancia, tensión en el capacitor y corriente por el inductor, corriente por el capacitor y tensión en el inductor, cortocircuito y circuito abierto. El texto plantea ahora la dualidad definida en términos de las ecuaciones del circuito y dice: Dos circuitos son duales si las ecuaciones de malla que caracteriza uno de ellos tiene la 4

5 misma forma matemática que las ecuaciones nodales que caracterizan al otro. Las ecuaciones, leyes, conceptos, conexiones, enunciados, teoremas etc., válidos para un circuito tienen un correspondiente planteamiento dual también válido en su circuito dual. Observe que se plantea que las variables de corriente y de tensión por sí mismas no pueden ser idénticas. No se realizará la construcción del circuito dual. La tabla ejemplifica algunas magnitudes, relaciones y conceptos duales. Es dual de Es dual de Thévenin Norton v C i L v I i C v L LKT LKC circuito abierto Cortocircuito Fuente de tensión Fuente de corriente Lazo Nodo circuito serie circuito paralelo i C = C dv/dt V L = L di/dt C L divisor de tensión divisor de corriente R G q = C v Ψ= Li Ejemplo Halle las gráficas de tensión, potencia y energía en el inductor Conclusiones Sobre la base del ejemplo, escribir para cada intervalo las ecuaciones de la corriente, la tensión en el inductor v L = L di/dt, la potencia p = vi y la energía w L ( = ½ L i 2 - Si la corriente por el inductor no puede cambiar a saltos, puede hacerlo la tensión? - Si la corriente por el inductor aumenta, la tensión en el inductor aumenta o disminuye? - Si la corriente por el inductor disminuye, la tensión en el inductor aumenta o disminuye? - Físicamente en cada intervalo, por qué la energía es siempre positiva? Sugerencia: dibuje los sentidos y polaridades reales de corriente y tensión en el inductor en cada intervalo. Orientaciones para el trabajo independiente Estudiar la bibliografía señalada. Se ha ido señalando lo que debe puntualizarse en el texto. Se ejercitará lo estudiado. Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba 5

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