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1 Relaciones binarias Matemática discreta 1

2 Relación binaria en A Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB Dados a A y b B, a está relacionado con b por R si (a,b) R, arb. Si a no está relacionado con b, es decir, (a,b) R, escribimos arb. Si B=A, R es una relación binaria en A. 2

3 3 Representación de una relación Formal: arb si a y b cumplen una cierta propiedad P. Diagrama sagital: arb Matriz de adyacencia: arb y arc a b b c a

4 Diagrama sagital Representación gráfica con flechas. a A arb a a b ejemplo: A={a,b,c,d} R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)} a b c d 4

5 5 Matriz de adyacencia Matriz booleana M R =(m ij ) A={a 1,..., a n } m ij =1 si a i Ra j m ij = si a i Ra j ejemplo: A={a,b,c,d} R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)} = MR Suponemos un orden en los elementos de A, en este caso el alfabético.

6 Operaciones con relaciones 1 Dadas R 1 y R 2 sobre A Unión: R 1 R 2 ={(a,b) AxA / ar 1 bóar 2 b} Composición o producto: R 1 R 2 ={(a,b) AxA / c A ar 1 cy cr 2 b} En general, R 1 R 2 R 2 R 1 La composición es asociativa: R n+1 =R n R 6

7 Operaciones con relaciones 2 M(R 1 R 2 )=MR 1 MR 2 M(R 1 R 2 )=MR 1 MR 2 suma booleana producto booleano

8 Operaciones con relaciones 3 Dada R sobre A={a 1,..,a n } y M R su matriz de adyacencia: M R = O R R= (matriz nula de orden n) M R = 1 R R=AxA (matriz de unos de orden n) MR m = (M R ) m, m Z + (m-ésima potencia booleana) R m está formada por los pares de elementos que se pueden conectar mediante un camino de longitud m. 8

9 9 ejemplo = R M a c d b R={(a,b),(b,c),(c,d)} = R M a c d b a c d b R 2 ={(a,c),(b,d)} R 3 ={(a,d)} = 1 3 R M

10 Propiedades R definida sobre A, con matriz de adyacencia M y Card(A)=n Reflexiva: [ x A xrx] I n M=M Simétrica: [ x,y A xry yrx] M=M t Transitiva: [ x,y,z A xry, yrz xrz] M M 2 =M Antisimétrica: [ x,y A xry, yrx x=y] en M+M t no aparece ningún 2 salvo, a lo sumo en la diagonal. 1

11 Cierre de relaciones 1 Cierre reflexivo: CR(R) menor relación reflexiva que contiene a R. R CR(R). CR(R) es reflexiva Si S es reflexiva y tal que R S, entonces CR(R) S. Cierre simétrico: CS(R) menor relación simétrica que contiene a R. R CS(R). CS(R) es simétrica Si S es simétrica y tal que R S, entonces CS(R) S. Cierre transitivo: CT(R) menor relación transitiva que contiene a R. R CT(R). CT(R) es transitiva Si S es transitiva y tal que R S, entonces CT(R) S. 11

12 Cierre de relaciones 2 R definida sobre A={a 1,..,a n }, con matriz de adyacencia M R. M CR(R) = M R I n M CS(R) = M R M t R M CTR(R) = M R M 2 R M3 R... Mn R 12

13 Relaciones de orden Relaciones de orden Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de orden en A si verifica las propiedades: reflexiva antisimétrica transitiva Se dice entonces que a está ordenado por R o que el par (A,R) es un conjunto ordenado. 13

14 Relaciones de orden Notación Utilizaremos el símbolo para las relaciones de orden. arb a b Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual) Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados. a,b A son comparables si arb o bra 14

15 Relaciones de orden ejemplo En N, a b n N / b=a n Es una relación de orden: reflexiva: a=a 1 a N antisimétrica: a,b N si a b y b a n,m N / b=a n y a=b m, entonces b= [b m ] n =b m n luego m n=1 y como n,m N m=n=1, así a=b transitiva: a,b,c N si a b y b c n,m N / b=a n y c=b m, entonces c= [a n ] m =a n m luego si k = n m, k N /c=a k, es decir, a c 15

16 Relaciones de orden Diagrama Hasse 1 Dada una relación de orden R en A y R 1 una relación asociada a R tal que ar 1 b arb y a b (a<b a b y a b) el diagrama Hasse de R es el diagrama sagital de la relación H R =R 1 -R 1 2 Si Card(A)=n, matricialmente: MH R =(MR-In)-(MR-In) 2 16

17 Relaciones de orden Diagrama Hasse 2 Permite asociar a una relación de orden un diagrama más sencillo que el diagrama sagital. Construcción del diagrama Hasse a partir del diagrama sagital: eliminar los bucles eliminar todas las flechas que puedan derivarse de aplicar la propiedad transitiva. 17

18 Relaciones de orden ejemplo a e a e b d b d c c 18

19 Relaciones de orden Orden total y parcial (A, ) está totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que es de orden total. En otro caso, se dice que (A, ) está parcialmente ordenado y que es de orden parcial. C es una cadena de (A, ) si C A y (C, ) está totalmente ordenado. 19

20 Relaciones de orden Elementos notables 1 Dados (A, ) y C A, C a Aes cota superior de C si c C, c a. C está acotado superiormente La menor de las cotas superiores es el supremo. a Aes cota inferior de C si c C, a c. C está acotado sinferiormente La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo. El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente. 2

21 Relaciones de orden Elementos notables 2 Dados (A, ) y C A, C a C es elemento maximal de C si c C, a c a=c. m C es máximo de C si c C, c m. si existe, es el único elemento maximal de C a C es elemento minimal de C si c C, c a a=c. m C es mínimo de C si c C, m c si existe, es el único elemento minimal de C 21

22 Relaciones de orden Elementos notables 3 Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y minimal. El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento maximal (minimal). Si en C existe supremo (ínfimo) es único. Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo (ínfimo). 22

23 Relaciones de orden ejemplo a b c e d {a,b,e} d es cota superior y supremo {b,e} son elementos maximales no tiene máximo a es cota inferior, ínfimo, mínimo y el único elemento minimal. 23

24 Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de equivalencia en A si verifica las propiedades: reflexiva simétrica transitiva 24

25 Relaciones de equivalencia Clase de equivalencia Dada R una relación de equivalencia en A y a A, se define la clase de equivalencia de a como [a]={x A / xra }. [a] pues a [a]. [a]=[b] a,b A arb [a] [b]= a,b A arb a A [a]=a Cualquier elemento de [a] es un representante de la clase. 25

26 Relaciones de equivalencia Conjunto cociente Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos no vacíos de A, {A i } disjuntos entre sí y cuya unión es A. i A i ; A j A i = i j; A i =A La relación de equivalencia R define en A una partición formada por las clases de equivalencia. Llamamos conjunto cociente de A por R a A/R={[a]/ a A}. Cada partición de A está asociada a una relación de equivalencia definida en él. 26

27 Relaciones de equivalencia A={palabras de n bits} ejemplo 1 w(a) el número de unos que contiene a R es de equivalencia: arb w(a) w(b) (mod 2) Reflexiva: ara w(a) w(a)(mod 2) Simétrica: arb bra w(a) w(b)(mod 2) w(b) w(a)(mod 2) Transitiva: arb y brc arc w(a) w(b)(mod 2) y w(b) w(c)(mod 2) w(a) w(c)(mod 2) 27

28 Relaciones de equivalencia ejemplo 2 R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2 n-1 elementos. []={a A / a tiene un número par de unos} [1]={a A / a tiene un número impar de unos} Para n=3 []={, 11, 11, 11} [1]={1, 1, 1, 111} 28

29 Planificación de tareas Planificación de tareas 1 Tareas entre las que hay relaciones de dependencia, unas han de realizarse antes que otras. Uno o varios equipos, simultáneamente, realizan las tareas. Objetivo: distribuir las tareas entre los equipos disponibles, acatando la dependencia entre tareas. Planificación: asignación ordenada de tareas a cada equipo. 29

30 Planificación de tareas Planificación de tareas 2 A: lista de tareas a realizar. R relación binaria sobre A arb a es previo a b, es decir, a debe realizarse antes que b. m A es minimal si a A, arm Eliminar m de (A,R) consiste en suprimir todos los pares de R en los que a parezca m. A es realizable R se puede extender a un orden topológico. 3

31 Planificación de tareas Orden topológico 1 Un orden topológico < es una extensión de un orden parcial sobre un conjunto A si se verifica que: si a b entonces a<b. 31

32 Planificación de tareas 1 Iniciar T=[] 2Mientras A Orden topológico 2 si m A minimal Incluir m en T Eliminar m de (A,R) Volver a (2) En otro caso, A no es realizable. Salir 3 Salida T orden topológico. 32

33 Planificación de tareas 1 Iniciar T=[] Planificación correcta 2Mientras A si m A minimal y primera tarea de un equipo E Incluir m en T Eliminar m de (A,R) y de E Volver a (2) En otro caso, P no es correcta. Salir 3 Salida T orden topológico. 33

34 Planificación de tareas Tiempo de realización de tareas coste de m, w(m), es el tiempo que se necesita para realizar la tarea m, una vez terminadas las tareas previas a m. t(m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m. t(m)=w(m) + max{t(a i ) / a i Rm} t(r)=max{t(a) / a A } es el tiempo mínimo en el que se pueden realizar las tareas de A. 34

35 Planificación de tareas Tiempo mínimo para la realización de tareas 1 Mientras existan tareas no marcadas en A si existe m A minimal no marcado Calcular t(m)=w(m)+max{t(b) / brm} Marcar m Volver a (1) En otro caso, A no es realizable. Salir 2 Salida t(r)=max{t(a) / a A} 35

36 Planificación de tareas Tiempo para la realización de planificaciones 1 t p (m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m en la planificación P, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m y las anteriores a m en su equipo. t p (m)=w(m) + max{t p (a i ) / a i Rm ó a i es anterior a m en su equipo} t p (R)=max{t p (a) / a A } es el tiempo mínimo en el que se pueden realizar las tareas de A en la planificación P. 36

37 Planificación de tareas Tiempo para la realización de planificaciones 2 1 Mientras existan tareas no marcadas en A si existe m A minimal no marcado y primera tarea no marcada de un equipo. Calcular t p (m)=w(m)+max{t p (b) / brm ó b es el anterior a m en su equipo} Marcar m Volver a (1) En otro caso, P no es correcta. Salir 2 Salida t p (R)=max{t p (a) / a A} 37

38 Planificación de tareas Optimización del número de W=Σw(a), a A equipos equipos 1 A conjunto de n tareas Si P es una planificación con n equipos, se verifica W n t(r) n W/t(R). Esto nos da una cota inferior para el número de equipos necesarios para ejecutar las tareas en el menor tiempo t(r). 38

39 Planificación de tareas Optimización del número de equipos equipos 2 1 Iniciar los equipos E i =[] y los tiempo t i =, 1 i n 2 m A minimal Encontrar el menor k / t k = ; x k = m ; t k = w(m) ; incluir m en E k 3 Mientras existan tareas no marcadas en A Si E i / t i j / t j = min{t i /t i }, marcar x j (último elemento de E j ) ; t j = t j ; t j = a / x j Ra y todos sus previos están marcados Encontrar el menor k / t k = ; x k =a ; t k = t j + w(a) ; incluir a en E k Volver a (3) R no es realizable. Salir 4 Salida P={E i / E i []} 39

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