14. FORMAS CUADRÁTICAS BINARIAS Y GRUPOS DE CLASES

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1 4. 4. Ecuació Pell. Itroducció y orige E su obra A Dictioary of Mathematics Origially, el profesor de la Uiversidad de Oford Christopher Clapham, defie a la Ecuació Pell como ua ecuació diofática de la forma = y +, dode es u etero que o es cuadrado perfecto. Arquímedes (87- a.c.), la recoge e su obra Libro de los Lemas e el problema de los bueyes, dode platea la ecuació = y +, de la que o da solució. E su Aritmética, Diofato de Alejadría (sobre 50 d.c.), platea las ecuacioes = 6y + y = 0y + que, auque o da solució, bie podría cosiderarse como de Pell. E el año 68, el astróomo y matemático hidú Brahmagupta ( ), platea el primer método razoado para la solució de esta ecuació. Este método fue mejorado por otro astróomo y matemático hidú, Bhaskara (4-85), que queda recogido e su obra Lilavati. Fue Joseph-Louis Lagrage (76-8) el que, aprovechado las aportacioes de Pierre de Fermat (60-665) y de Leohard Euler (707-78), y co la ayuda de fraccioes cotiuas, aportó uo de los métodos que se aplica e la actualidad. Fue precisamete Euler el que, por equivocació dio a la ecuació el ombre de Pell, atribuyedo su descubrimieto a Joh Pell (60-685), matemático igles que ha pasado a la historia de las matemáticas, precisamete por esta equivocació. E 799, la ecuació = y + pasó a ser represetada como Dy = ±, cuado Carl Friedrich Gauss ( ) publicó su obra Disquisitioes Arithmeticae, dode epoe la factorizació úica e cuerpos reales y, a partir del cojugado, establece la orma N a b D a b D a Db ( α ) = ( + )( ) = = ± que permite otra solució a la ecuació Pell ( + y D) + ( y D) ( + y D) ( y D) = y = D dode D b 4ac = es el discrimiate o domiio de itegridad de los sistemas cuadráticos.. Alguos métodos de solució La solució a esta ecuació o es fácil, pero tampoco imposible. Requiere, eso sí, la utilizació de ciertas herramietas, como las fraccioes cotiuas o métodos de solució de ua ecuació modular. A cotiuació vamos a epoer alguo de estos métodos... Triágulos y cuadrados: la solució de Euler U úmero es cuadrado si respode a la forma N = m y es triagular cuado es de la forma N = ( + ). A partir de este razoamieto, Euler establece las siguietes igualdades:

2 + = m = 8m = 8m + ( + ) = (4 m) + de dode, si y = ( + ) e = m, resulta Pell y = +, que es u caso particular de ecuació Dy =, co ifiitas solucioes cuado D es libre de cuadrados. E este caso admite como solució =... Método de Carmichael E su obra Diophatie Aalysis publicada e 95, el profesor Robert Daiel Carmichael ( ) partiedo de las teras pitagóricas, propoe para la solució de Dy = z el siguiete geerador: = m + D, y = m, z = m D Por ejemplo, para m = = D = = + = y = = z = = 5,, , 5 0, = 8 Por ejemplo, para m = = D = = + = y = = z = = 6,, 6 5, 6 6, = 6 E el primer caso la solució, mediate úmeros algebraicos, podemos platearla como ( ) ( ) ( )( ) = = = 8 Esto es ua forma cuadrática detro de los campos reales. Si teemos e cueta que la suma de =0, el poliomio míimo resulta = 0 que tiee como solució = 5 ± i, y teiedo e cueta que esto es ua cuadrática ( ) ( ) ( ) = 5 + = 8.. Mediate ecuacioes modulares Al tratarse de ua ecuació co dos variables, el método cosiste e despejar ua e fució de la otra. Supogamos que debemos resolver la ecuació 7y =. Despejamos e fució de : Escribimos la ecuació como ª ( mód.7) El coeficiete idepediete de esta ecuació es, y siempre es resto cuadrático de cualquier ecuació, ya que = 0, por tato la primera raíz es = + 7 t. Es ua solució

3 paramétrica. Gauss os eseña, que si ua ecuació cuadrática móica admite ua raíz, tambié admitirá como seguda raíz, su iversa. La iversa de u úmero, respecto al módulo, es su complemeto. E uestro caso, la iversa de respecto a 7 es 6, ya que 6 + = 7 etoces, la seguda raíz es = t. Observar que la suma de los coeficietes idepedietes de las raíces, e las ecuacioes móicas, da el módulo, 6 + = 7. Al tratarse de ua ecuació multivariable, si la primera tiee dos raíces, la seguda tambié. Por sustitució, despejamos y + ( + 7 t) ( + 7 t) 7y = y = = 0 + t + 7t 7 + (6 + 7 t) (6 + 7 t) 7 y = y = = 5 + t + 7t 7 La solució a la ecuació es: = + 7 t y = 0 + t + 7t ª ( mód.7) = t y = 5 + t + 7t Ahora se trata de que, dado valores a t, busquemos u cuadrado e tal que, restado la uidad y dividiedo por 7 obtegamos u cuadrado. O bie, busquemos u cuadrado que, multiplicado por 7 y sumádole la uidad obtegamos u cuadrado perfecto. Observar que si e = + 7t damos valor a t, resulta 8 = 64 y 64 = 6 = 7 9 = 7, por tato la solució a la ecuació es 8 7 =. Gauss Ahora, observar otra cosa, (8 + 7)(8 7) = es la orma. Aplicado la solució de (8 + 7) + (8 7) (8 + 7) (8 7) = = 8, y = = 7 Hemos dado a la ecuació epoete. Para,,4, las solucioes habría sido = 7,.04,.57, e y = 48, 765, 9, que produce los siguietes resultados = ; = ; = Como verá, es u tipo de ecuació que geera ifiitas solucioes...4 Método de los cuadrados Si se tiee cueta que la ecuació Pell tiee como solució la diferecia de u cuadrado y el producto de otro cuadrado co u etero, que o sea u cuadrado, esta solució puede ecotrarse directamete utilizado cuadrados perfectos.

4 Supogamos que buscamos u cuadrado de la forma 4k + = s, a partir del cual podemos hallar las siguietes solucioes: 4 + = 9 - = = = 4 + = 49 7 = = = = 0 = = 69 4 = = = = = = = = 44 0 = Para úmeros de la forma = = 4k + = s hallamos, etre otros = 99 0 = Es importate observar la progresió que se produce para los valores de k, que poe de maifiesto la estructura de los úmeros etre los de la forma 4k + y 4k +. Si teemos e cueta que = ds es ua solució de la ecuació Pell, dode d,, s Z, a partir de u cuadrado podemos ecotrar alguas de las muchas solucioes e el cuadro siguiete: = = = = 8 = = 4 = 5 = = 5 = 4 = = 6 = 5 = = 7 = 48 = 7 = 8 = 6 = = 9 = 80 = = 0 = 99 = 0 = Así, sucesivamete, se puede geerar ua solució a partir de ifiidad de cuadrados. E la reseña sobre el orige de la Ecuació Pell, hemos aotado las ecuacioes = 6y + y = 0y +, atribuidas ambas a Diofato de Alejadría, pero que o da solució. Bie, osotros lo vamos a itetar, pero igorado las fraccioes cotiuas y los cuerpos cuadráticos, descoocidos e la época e la que vivió Diofato, siglo III de uestra Era. Para la ecuació = 6y + : + = Para =,,, 4,5,6,7,8,9,0, ecotra- Por tateo co, buscamos 6 s. mos que el 0 satisface la ecuació. Efectivamete, to = 60 = 7 = 5, por ta- = 6y + = = dode la orma es (5+ 0 6)(5 0 6) =. Para la ecuació = 0y + : Por tateo co, buscamos = 0 s. Para =,,, 4,5,6,7,8,9,0,, ecotramos que el satisface la ecuació. Efectivamete, = 0 = 5 = 0, por ta- to 4

5 = 0y + = 0 = dode la orma es ( + 0)( 0) =...5 Método de las fraccioes cotiuas El astróomo y matemático hidú Aryabhata ( ), se cree fue el primero e utilizar las fraccioes cotiuas para resolver sistemas de ecuacioes idetermiados. Así se desprede de su obra Aryabhatiya, escrita e verso allá por el año 50. Fue Joh Wallis (66-70), el más importate matemático iglés aterior a Isaac Newto (64-77), el que, e 655, itrodujo y desarrolló el cocepto de fracció cotiua e su obra Arithmética Ifiitorum.. La relació de las fraccioes cotiuas co los cuerpos cuadráticos se basa e que los desarrollos de los irracioales cuadráticos so periódicos.. U úmero irracioal α es cuadrático si, y sólo si, los coeficietes de su fracció cotiua se repite periódicamete a partir de u cierto térmio. Para desarrollar el irracioal cuadrático α vamos a calcular los coeficietes a. al mismo tiempo que los restos α. Cocretamete a es la parte etera de α y α = + α /( a). Para 7, como la raíz cuadrada está compredida etre y, etoces a= Para α= = y a=. Para α = = Para α = = y a =. Para α 4 = = Para α = = = α y a = 4. y a =. y a 4=. Por tato, obteemos 7=,,,, 4, dode la barra idica el periodo que se repite. Observar que e el paso α 5 se repite la fracció de α, co lo que se termia u período y empieza otro. 7 = +,,,, 4 = Ahora, calcularemos los covergetes o reducidas de la siguiete forma: 5

6 a y Dy Observar que los valores de Dy forma ua sucesió que se repite al igual que el período de restos. Tambié, que los úicos valores que satisface a la ecuació so los de las columas 4 y 8. El primero correspode a la orma del cuerpo cuadrático, esto es (8 + 7)(8 7) =, el segudo correspode al epoete (8 + 7) + (8 7) (8 + 7) (8 7) = =7, y = = 48 7 dode 8 7 = (8 7 ) = =. Vamos a resolver la ecuació y =. Como está compredido etre 4 y 5, etoces a 0= 4. + α= = 4 +, a = 4 α = =, = 4 7 a α = =, a = α 4= = 4+, a 4= α5= = = α, a5= Por tato, obteemos = 4,,,,8, dode la barra idica el periodo que se repite. = 4 + = 4,,, a y Dy

7 A partir de estos datos, la orma es (4 + 5 )(4 5 ) = y la solució a la ecuació propuesta (4 + 5 ) + (4 5 ) (4 + 5 ) (4 5 ) = =4, y = = 5 7 Si hubiéramos resuelto mediate ecuacioes modulares, e y = despejamos ª ( mód.) Sabemos que la uidad es raíz de ua ecuació cuadrática, por tato = + t La seguda raíz será la iversa respecto al módulo, esto es = + t Por sustitució despejamos y, luego + ( + t) ( + t) y = y = = 0 + t + t + ( + t) ( + t) y = y = = + 44t + t Observar, que para t =, = + = 4 es el valor de la orma, ( )(4 5 7) =. Para y, y = + = 5 = 5, o tambié..6 Método de los cuerpos cuadráticos 4 = 575 = 5 = 5. Si α = a + b D es u etero perteeciete al cuerpo cuadrático Q D y N α = a + b D a b D = a Db = ± siedo N( a, b ) la orma del cojugado ( ) ( )( ), a b D, ua solució para la ecuació Pell sería + y D)( y D) = Dy =, dode el valor de D puede ser calculado mediate fraccioes cotiuas. Si α, β es ua solució de la ecuació Dy =, tambié α Dβ = y = será solucioes para cualquier valor de co s, etoces ( α Dβ ) Dy = ( α Dβ ) ( + y D)( y D) = ( α + β D) ( α β D) de dode + y D = ( α + β D) y y D = ( α β D) 7

8 Resolviedo el sistema = ( α β D) ( α β D) + +, y = ( α β D) ( α β D) + ( D) que es la solució plateada por Gauss. Por ejemplo, vamos a resolver la ecuació y =. Sabemos que α 0 = D =, raíz que está compredida etre 5 y 6. A cotiuació calculamos los cocietes icompletos que se geera: 5 + α = = =, α a α = = = α a α = = =, α a α4 = = = α a α5 = = =, α4 a α6 = = = α5 a α7 = = =, α6 a α8 = = = α7 a α = = = = α. 9 α8 a Plateamos su desarrollo = 5 + = 5,,,, 5,,,, Fialmete calculamos las reducidas o covergetes a y Dy

9 Como podemos comprobar, (50 7 )(50 7 ) = es la uidad fuda- metal de orma, y la solució a la ecuació 50 7 =. Teiedo e cueta que los valores de las variables viee determiados por ( + y D) + ( y D) ( + y D) ( y D) =, y = D Para =, y, teemos ( ) + (50 7 ) = =.50, , , ( ) (50 7 ) y = = 7, 89.90, , E el cuadro siguiete se recoge, para úmeros primos meores a 0, las uidades fudametales para la orma, así como los cocietes icompletos de los cuerpos cuadráticos K = Q D.,{} ,{,,,,5,,,,,},{,} ,{,5,,} 5 9 4,{4} ,{,,,,4} 7 8,{,,,4} ,{,,7,,,4} 0,{,6} ,{,4,,,,,,,4,,4} ,{,,,,6} ,{5,,,,7,,,,5,6} 7 8 4,{8} ,{,,,7,,,,6} ,{,,,,,8} ,{,.5,5,,,6} 4 5 4,{,,,8} ,{,7,,6} ,{,,,,0} ,{9,8} ,{,,,5,,,,0} ,{,,,,8} 7 7 6,{} ,{,5,,,,,,,5,,8} ,{,,} ,{0} D y a, o { a,, a a} D y a, { a,, a a} o 4. Uidad Fudametal de la Norma. Uidad Fudametal de Norma Sea mu etero positivo libre de cuadrados. Etoces { N N} S = (, y), y, si D,( mód.4) D y S D = (, ) N, y N, y( mód.), si D ( mód.4) Sea ( a, b) SD la solució de a Db =. Si ε = a + b D dode ε es ua uidad de o Q de D ua orma, la uidad ε se llama uidad fudamete de orma. Si teemos e cueta de que 9

10 ε + D +, si D, ( mód.4) + D + 5 ε, si D ( mód.4) etoces ε >. Sea Du etero positivo libre de cuadrados. Sea ε la uidad fudametal de orma, etoces:. ε es la uidad más pequeña e de ua orma que es mayor que. oq D. Cada uidad de de ua orma es de la forma oq D ±ε para cualquier etero.. Si τ es ua uidad de la orma e tal que τ > y cada uidad de oq D orma es de la forma k ± τ para cualquier etero k, etoces τ =ε. de oq D 4. Sea D u etero positivo libre de cuadrados. La uidad fudametal η de se oq D defie como σ si cotiee la uidad de la orma -, y ε e caso cotrario. oq D 5. Sea Du etero positivo libre de cuadrados. Etoces, cada uidad de η de es oq D de la forma ± η, Z, dode η es la uidad fudametal de. Si cotiee las oq uidades de la orma -, estas se da para by ± η co impar, y los de orma para by ± η co par.. Uidad Fudametal de Norma - Sea D u etero positivo libre de cuadrados tal que D cotiee la uidad de la oq D orma -. La úica uidad σ > de orma - de tal maera que cada uidad es de la oq m forma ± σ, Z, y se llama uidad fudametal de de orma -. oq m. Cálculo de la Uidad Fudametal Sea D u etero positivo libre de cuadrados, sea h k, = 0,,,... los covergetes de la fracció cotiua D y sea l el período de epasió. Si l es par, tal que Dy = o tiee solució e los eteros e y, la solució de Dy =, co los eteros positivos e y es, al meos (, y) = ( hl, kl ). Si l es impar, etoces Dy = tiee solució e los eteros e y, y la solució de Dy =, co los eteros positivos e y, viee determiada co, al meos ua dada, por (, y) = ( hl, kl ). Si D,( mód.4) ó D ( mód.8), todas las uidades de so de la forma oq D + y D, co e y eteros, dode la uidad fudametal η de, viee determiada oq l por η = h + k D, N( η) = ( ). l l Si D 5 ( mód.8), puede o ser uidades de de la forma ( + y m), co oq D e y eteros impares. Si o hay uidades de este tipo, η Z + Z D y, como e el caso ate- l rior, η = h + k D, N( η) = ( ). Si hay uidades de este tipo, etoces η Z + Z D, y se l l puede demostrar que η Z + Z D. E este caso, η = + y D, dode e y so eteros D 0

11 positivos que satisface, al meos para, a Dy = ±. La uidad fudametal viee de- l termiada por η = hl + kl D, N( η) = ( ). Si η = ( A + B D), dode A y B so eteros impares positivos, etoces (( + ) ) = l + l A B D h k D y así A + AB D = 8 h, A B + B D = 8k l l por lo tato A h, A < h y / l l h B hl, B l < / A partir de este esquema desarrollamos el siguiete algoritmo que os va a permitir determiar la uidad fudametal η de, para cualquier D etero y libre de cuadrados. oq D h =, k = 0 y Po = 0, Qo =, ao = D, h o D =, ko = Determiar P, Q, a, h, k, co =,,... de forma recursiva a través de P,,,... = a Q P co = D P Q =, co =,,... Q a P + D =, co =,,... Q h = a h + h, co =,,... k,,,... = ak + k co = Igualdad fudametal si N > P = P, Q = Q N N Para N = l, si D,( mód.4) ó D ( mód.8), etoces η = h, ( ) ( ) l l + kl D N η = Si D 5 ( mód.8), determiar todos los divisores impares positivos A de hl meores / / que h l y todos los divisores impares positivos B de kl meores que ( kl D). Si para algú par ( A, B ) teemos A + AB D = 8 h, A B + B D = 8k, etoces l l

12 de otra forma A + B D η l =, N ( η ) = ( ) η = h, ( ) ( ) l l + kl D N η =.4 Determiar la uidad fudametal de D = ( mód.4). Empecemos por calcular los térmios de la fracció cotiua y sus covergetes: = 5,5,,,,5,,,,0,,... y,,,,,,,,, Partimos co los valores de h- =, k- = 0, Po = 0, Qo =, ao = 5, ho = 5, ko = y calculamos, sucesivamete, los de P, Q, a, h, k, co =,,... mediate la siguiete tabla: a P Q h k P = P = 5, Q = Q = 6, ecotramos que Como 9 9 N = 9, l = N - = 8, h = h = 50, k = k = 7 l- 7 l- 7 η = h + k D = + N = = = l 8 l l 50 7, ( η) ( ) ( ) D = ( mód.4) = 8 = 7 4 La uidad fudametal de es de orma. oq de dode Dado que K =Q es u cuerpo cuadrático real dode 50 7 =, el poliomio míimo que lo geera es N a b y ( + ) = = = 0, ya que ( ) + (50 7 ) = 040, por tato la uidad fudametal de es oq ε = de orma. No admite la orma -..5 Determiar la uidad fudametal de D = 4 ( mód.8). Los térmios de fracció y los covergetes so: = 6,,,,,,... y,,,,, El siguiete cuadro recoge los valores ecesarios:

13 a 6 P Q h k El cálculo de P y Q lo hemos determiado de la forma siguiete: P = a Q P : P = 6 0 = 6, P = 5 6 = 4, P = 5 4 = 6, P = 6 = 6, P = 5 6 = Q = ( D P ) Q : Q = (4 6 ) = 5, Q = (4 4 ) 5 = 5, Q = (4 6 ) 5 =, Q = (4 6 ) = 5, Q = (4 4 ) 5 = P = P = 6, Q = Q = 5, ecotramos que Como 4 4 N = 4, l = N - =, h = h =, k = k = 5 l- l- η = h + k D = + N = = = l l l 5 4, ( η) ( ) ( ) D = 4 ( mód.8) 4 = 40 = 5 8 La uidad fudametal de es de orma -. oq 4 de dode Como K =Q 4 es u cuerpo cuadrático real dode 4 5 =, el poliomio míimo que lo geera es N a b y ( + 4) = 4 = 64 = 0, ya que ( + 5 4) + ( 5 4) = 64, por tato la uidad fudametal de es σ = oq 4 de orma -. Vamos a utilizar el programa sobre teoría de úmeros de Keith Matthews, profesor de matemáticas y físicas de la Uiversidad de Queeslad, Australia, para demostrar que el supuesto aterior tambié admite la orma. Para P [ ] 0 P : 0 = (0 + 4) : 4( mód.) la posible solució de P la ecotraremos e el rago ( P + 4) Q = (0 + 4), h k = ( P + 4) Q = (6 + 4) 5, h k = ( P + 4) Q = (4 + 4) 5, h k = 5 ( P + 4) Q = (6 + 4), h k = 97 6 ( P + 4) Q = (6 + 4) 5, h k = ( P + 4) Q = (4 + 4) 5, h k = o o

14 de dode la uidad fudametal de es de orma. oq 4 dode Como K =Q 4 es u cuerpo cuadrático real dode =, el poliomio míimo que lo geera es N( a + b 4) = 4y = de = 0, ya que ( ) + ( ) = 4098, por tato la uidad fudametal de es oq 4 ε = de orma..6 Determiar la uidad fudametal de D = 5 ( mód.8). Los térmios de fracció y los covergetes so: =,,,,,6,,... y,,,,,, 5 8 El siguiete cuadro recoge los valores ecesarios: a 6 P 0 Q h k P = P =, Q = Q = 4, teemos N = 6, l = N - = 5, hl - = h4 = 8, kl- = k4 = 5. / Para u Aimpar, A h, A < h A 9, A < 5. A = ó. Si 6 6 l l / kl l, < 5, <,5 =. Para u B impar, B k B B B B D Del par ( A, B ) = (,), (,) solamete el segudo satisface al par de ecuacioes A + 9AB = 44, A B+B =40 por lo tato la uidad fudametal η ( > ) de es oq η = + =, N( η) = Esta solució es equivalete a 8 5 =. Por qué? E el primer caso geera u poliomio míimo = 0 que tiee como solució ± = ±. E el segudo caso, 6 = 0 es el poliomio míimo geerado que tiee como solució = 8 ± 5. Las coclusioes de por qué de estas variacioes las dejamos e maos del lector. E cuato a D = 5( mód.8) 5 = 8 = 8. 4

15 .7 Determiar la uidad fudametal de 6. Los térmios de fracció y los covergetes so: = 5,0,0,0,0,... y,,,, Utilizado el programa del profesor Keith Matthews, calculamos ( P + 6) Q = (0 + 6), h k = ( P + 6) Q = (5 + 6), h k = 5 0 ( P + 6) Q = (5 + 6), h k = 5 o o o o o o de dode (, y ) = (5,) satisface a la uidad - y (, y ) = (5,0) a la uidad. Por tato la uidad fudametal de es de orma - y de orma. oq 6 Podemos represetar estas ormas como ( ) ( 5 6 ) = y ( )( 5 6) = E la siguiete tabla recogemos valores de D que geera orma doble de y -: D (, y ),( + ) (, y),( ) D (, y ),( + ) (, y),( ),, ,574 99, 5 9,4, , , ,6, 65 9,6 8, 649,80 8, , ,5 7,8 4, ,40 4,5 6 5,0 5, 8 6,8 9, 9 980,80 70, , ,4 7 7, 6, , , ,0, , , ,4 7, 0 0,0 0, ,900 8, , ,89.8 Algoritmo de Lagrage { y} E el año 768, Joseph-Louis Lagrage(76-8), demostró que si Dy = N,, > 0, mcd (, y) = y N < D, etoces y es u covergete A B de la fracció cotiua simple. Ya que si hacemos teemos N D ( + y D)( y D) = N, y D = < + y D + y D > D y y y y y D D < y > D < 5

16 + Si D = ao, a,..., a l, debido a la periodicidad de ( ) ( A DB ), para la solució, solamete teemos que comprobar los valores del rago 0 l. Para ecotrar todas las solucioes, comprobamos el rago 0 l. Por ejemplo, para,,,,,, =. Covergetes,,,,. 5 A B A B 0 / -4 4/ 7/ - / 4 4 8/5 - La solució positiva (, y ) viee determiada por η + y = + η + (4 ), 0 (4 + ), 0 dode η = y 7 + = η ( 4 + ). La solució cuadrática de la ecuació es.9 Método de Gauss Dy = 8 5 =. El método propuesto por Carl Friedrich Gauss ( ) se basa e el siguiete esquema: Supuesto α Dγ = N, dode N 0, D > 0 libre de cuadrados y mcd( α, γ ) =. Su- puesto tambié αδ βγ =, etoces si P = αβ Dγδ, teemos que a) α Pγ ( mód. N ) b P D N β Dδ ) = ( ) y e particular P D( mód. N ) Por ejemplo, para P ( mód.) dode = 5,,,,5,,,... y los covergetes so,,,,,, como ya hemos visto e u supuesto aterior P + D Si teemos e cueta que a, Q P = P + a Q y Q = D P =, de dode Po = 0, Qo =, a o = D y h = ah + h, k = ak + k, etoces para m = ( mód.4) obteemos: Q h =, k = 0, P = 0, Q =, a = 5, h = 5, k = o o o o o y el resto de valores de P, Q, a, h, k los obteemos el siguiete cuadro: 6

17 P Q a h k P = P = 5, Q = Q = 6, obteemos Como 9 9 N = 9, l = N = 8, h = h = 50, k = k = 7, l 7 l 7 l = h + k D = , N η = ( ) = η l l ( ) de dode la uidad fudametal de 0 = de orma. Q ( ) Hemos llegado a las mismas coclusioes que e la solució aterior aplicado otro método distito. 4. Formas Cuadráticas Biarias. Defiició Ua forma cuadrática biaria es u poliomio f y [ y] de grado. La forma cuadrática f (, y ) tiee la forma geeral (, ) Z,, el cual es homogéeo f (, y) a by cy = + + dode < a, b, c > Z so los coeficietes y D = b 4ac el discrimiate. Las propiedades de las formas cuadráticas biarias depede de maera esecial de la aturaleza de los coeficietes. E la ecuació a + by + cy = m, si a = 0 o c = 0 la solució es trivial, ya que ua de las icógitas ha de ser u divisor de m y geerar u úmero fiito de solucioes. Supogamos el caso e que a 0 o c 0. Si factorizamos el poliomio a + by + cy = a( α)( β ), la ecuació se covierte e a( α y)( β y) = m b ± b 4ac dode los úmeros α y β so. a Si D = 0 etoces α = β = b a, que multiplicada por 4a obteemos la ecuació ( a + by) = 4 am, co solucioes fáciles de determiar. Si D = k 0, etoces multiplicado por 4a obteemos ( a + ky)( a ky) = 4am 7

18 que a su vez se reduce a u úmero fiito de sistemas de ecuacioes de la forma a + ky = u y a ky = v dode u y v recorre las factorizacioes de 4 am. Si = 0 la ecuació se reduce a a ± ky = 0, co solució fácil de obteer. Si 0, el úmero de solucioes es fiito. Si D o es u cuadrado perfecto, etoces α y β so elemetos del cuerpo K =Q D. Si llamamos N a la orma e Q D, la ecuació puede ser epresada e la forma N( α y) = m / a A partir de las fucioes hiperbólicas, las formas cuadráticas biarias, que podemos escribir como a + by + cy = m, tiee como solució o bie ± + ± + =, y = a c by y ( b 4 ac) 4 am b ( b 4 ac) 4cm ( a + by) Dy f (, y) = = m 4a Matemáticamete hablado, es importate coocer el maejo de alguas herramietas utilizadas para la resolució de este tipo de ecuacioes: a + b D a b D ( a + b D )( a b D ) = a Db, ( ) ( ) ( ) ( ) a + b D + a b D = a, = D b m y b + cy a = ( ), b m a cy y m ( a + by) y =, c = Ejemplo: Resolver + 5y + y =. Ua solució secilla de ua forma cuadrática + + =, requiere los siguietes pasos: Calcular el discrimiate: b ac = = Calcular la estructura del úmero algebraico: Q D = 7 Calcular la orma: N( α, β ) = ( α + β D)( α β D) = ( + 8 7)( 8 7) = 8

19 Calcular ua variable: ( ) ( + 8 7) ( 8 7) [( α + β D) ( α β D)] / D = = ± 6 7 Calcular la otra variable: = = 0 = = 0 = = = 7 b c ( 7) + 5 6( 7) + 6 =, que podemos ratifi- Por lo que, ua de las muchas solucioes, es car mediate (5 4 ) + 4 5( 7) + 7 (5 4 ) + 4 = = 7, y = = 6 ( a + by) Dy ( ( 7) + 5 6) 7 6 f (, y) = = m = 4a 4 = Los valores de < a, b, c > puede ser determiados mediate las fórmulas m y( b + cy ) 6(5( 7) + 6) a = = = ( 7) m a cy b = y ( 7) 6 = = 5 ( 7)6 m ( a by) ( 7)((( 7) 5 6 )) c = + = + = y 6 La solució a esta ecuació, mediate el programa Mathematicas 7, es: Sea ( ) 4am + b 4ac y by 4am + Dy by a a = = a a ( 8 7 ) ( ) y = ±, co Z, 0 7 ( ) ( ) ( ) ( ) = ± , co Z, 0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = ± ± + ± +, co Z, 0 4 dode ecotramos tatas solucioes como cambios de sigos y/o valores a apliquemos. Vea el cuadro siguiete: 9

20 y y y y Etre las muchas solucioes ecotramos para = 7, y = 6. Vamos a demostrar que so solucioes ciertas. + 5y + y = = ( 7) + 5( 7) am + Dy by a a = = = 7 ( 8 7 ) ( ) y = = 6, co Z, 0 7 ( a + by) Dy ( ( 7) + 5 6) 7 6 f (, y) = = m = 4a 4 = Ejemplo: Resolver la ecuació + 6y + y =. y = y = y = ( 8 7 ) ( ) 7, ( ) ( + ) = ( 8 7 ) ( ) +, co Z, 0 7 s ( 8 7 ) ( ) 7 s, s ( ) ( + ) s s s = ( 8 7 ) ( ), co Z, 0 7 s ( 8 7 ) ( ) 7 s ( ) ( + ) s, s s s = + ( 8 7 ) ( ), co Z, 0 7 0

21 y = s ( 8 7 ) ( ) 7 s, s ( ) ( + ) s s s = ( 8 7 ) ( ), co Z, 0 7 Dejamos e maos del lector la comprobació de estas solucioes.. Método de Harvey Coh E su obra Advaced Number Theory, el profesor Harvey Coh de la Uiversidad de New York, propoe el siguiete geerador para dar solucioes a la ecuació biaria f (, y) = a + by + cy = ( + y ) + ( y ) = m Por ejemplo, para = 5, y = 6 ( + y ) + ( y ) = (5 + 6 ) + (5 6 ) = = 09. Resolver la ecuació + 6y + 4y =. El discrimiate de es esta ecuació es D = = 0 = 5 = 5, que iicialmete o es libre de cuadrados. A partir de las tablas, para N( a + b 5) = 5y = = Esto os lleva a ua forma cuadrática del campo real dode ( )(9 4 5) = y ( ) + (9 4 5) = 8, geera u poliomio míimo de 8 + = 0. Aplicado a la ecuació plateada, como ua de las variables debe teer como solució ( ) (9 4 5) = y = ± = ± 4 5 basta sustituir e ua de las variables para despejar la otra. Por ejemplo, para ± y, teemos + 4 ± 64 = 0, que tiee como solucioes = ±, ±. Por este mismo procedimieto podemos ecotrar alguas otras solucioes como: ±, ± ± 55, ± 77 ± 987, ± 6765 y ± 4 ± 7 ± 7 Por el Programa Mathematicas, ua solució puede ser: y = ± ( ) ( 9 4 5) 5 ( + ) ( ) ( ) ( 4 5) = ± +, Z 5 que tiee ifiitas solucioes, tatas como valores le asigemos a.

22 4.4 Grupos de clases. 4. Propiedades de las formas reducidas Se dice que la forma defiida positiva < a, b, c > es reducida si b a c y e caso de que b = a ó a = c, etoces b 0. Si el discrimiate D < 0, que D ac b a a D b o bie, = 4 4. El úmero de formas reducidas del discrimiate D D a ya es fiito. El etero m se dice que está represetado por la forma cuadrática biaria < a, b, c >, si eiste úmeros eteros e y tales que m = a + by + cy. Así, por ejemplo se represeta por la forma D = = 0 para el segu- forma + 5 y. E el primer caso do, dos discrimiates distitos. + y + y cómo = + +, pero o está represetado por la D = 4 =, y a + b m Como a + b m, a, b Z, ( m =, ) y, a, b Z, ( m =, 7, ) so domiios euclídeos, podemos determiar cuádo u primo p está represetado por cada ua de las formas + y, + y, + y + y, + y + y y + y + y. Para ello aplicaremos las propiedades de la Ley de Reciprocidad Cuadrática de Legedre, valorado p como úmero primo impar.. Si p es u úmero primo tal que p ( mód.4), etoces eiste dos eteros e y tales que p = + y. Ejemplo: 9 = Si p es u úmero primo tal que p,( mód.8), etoces eiste dos eteros e y tales que p = + y. Ejemplo: 8 = Si p es u úmero primo tal que p ( mód.), etoces eiste dos eteros e y tales que p = + y + y. Ejemplo: 4 = 7 + 7( 6) + ( 6). 4. Si p es u úmero primo tal que p,,4( mód.7), etoces eiste dos eteros e y tales que p = + y + y. Ejemplo: = Si p es u úmero primo tal que p,,4,5,9( mód.), etoces eiste dos eteros e y tales que p y y = + +. Ejemplo: 7 = + ( 5) + ( 5). Otras represetacioes podría ser: Si p es u úmero primo tal que p,7( mód.8), etoces eiste dos eteros e y tales que p y =. Por ejemplo: 4 = ( 9) 0. Si teemos e cueta que ( + )( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 9 ( ) ( ) ( ) ( ) y = = 4 Si p es u úmero primo tal que p,( mód.), etoces eiste dos eteros e y tales que, o p y = ó p y =. Por ejemplo: 6 = 9 0.

23 Si teemos e cueta que ( )( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) y = = 6 Por ejemplo: p = y = 7 8 = 8. Como podemos comprobar. Si p es u úmero primo tal que p,5,9, ( mód.4), etoces eiste dos eteros e y tales que, ó p y = 6 ó p y = 6. Ejemplo: Si teemos e cueta que ( )( 5 6 ) = 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 9 y = = ( ) ( ) ( ) ( ) = 95 Por ejemplo: p = 6y = = 67. Como podemos comprobar. Podemos observar que, e las solucioes de estas últimas represetacioes, los valores de e y va epresados co epoete, lo que deota u sistema idetermiado co múltiples solucioes. 4. Calcular las represetacioes de p = + y dode D = (.84). Co u poco de pa- Empecemos por calcular las solucioes de ciecia, obteemos para r: y r mód r = 0,, 4,9,6,8,,, 5, 8,0,6,7,4,46, 49,57,58,60,64,70,7,78,8 = + pue- Si ahora tomamos valores para p = 84 k + r, alguas represetacioes de de ser: p y 77 = 6 + p = + y = 7 = = Podemos ecotrar muchas más. Para el discrimiate D = 84, ecotramos otras represetacioes, tales como + 7 y, + y + y, 5 + 4y + 5y co las que les ivitamos a que, mediate + 7 y r( mód.84), + y + y r( mód.84), 5 + 4y + 5 y r( mód.84)

24 busque úmeros primos p que satisfaga alguas de estas represetacioes. 4. Método de Jeffrey Stopple Jeffrey Stopple, profesor de matemáticas de la Uiversidad de Sata Bárbara, e Califoria, e su obra A Primer of Aalytic Number Theory, os propoe el siguiete método sobre las reducidas que trascribimos a cotiuació. (*) La cuestió de si u úmero primo p se puede escribir, por ejemplo, como + y, obviamete, es la misma que si se puede escribir como + y. Todo lo que hemos hecho es cambiar el papel de e y. U poco meos obvio, es + 4y + 5 y. La razó es que esto es sólo ( + y) + y. Hemos cambiado las variables (, y ) por ( + y, y), y puede fácilmete cambiarse de uevo: + + = + Ua solució (, y ) de + y = p es equivalete a ( y) 4( y) y 5y y. la solució de ( ' = y, y ' = y) de ' + 4 ' y ' + 5 y ' = p. Para evitar este tipo de redudacia, Gauss propuso ua relació de equivalecias de formas tales que f = ( a, b, c) y f ' = ( a ', b', c') so equivaletes. Si hay u cambio de variables, f se covierte e f '. Cocretamete, Gauss defie a f como equivalete a f ' si es u etero de la matriz M, dode (, y) M deota la multiplicació de matrices: (, y) r s se defie como ( r + ty, s + uy) t u dode la iversa resulta r s M = es t u r s ru st t u La iversa es u úmero etero de la matriz cuado ( ru st) es u úmero etero, de modo que, el factor determiate ( ru st) debe ser ±. Se simplifica las cosas si, e uestra relació de equivalecia el determiate de M es +. El cojuto de todas estas matrices costituye otro ejemplo de grupo. E este ejemplo, la operació de grupo, de multiplicació de matrices, e geeral, o es comutativa. El cambio de variables e + y + y correspode a la matriz 0 M =, que cambia (, y) ( y, ). 0 El cambio de variables e + y + 4y + 5y correspode a la matriz 0 M =, que cambia (, y) ( + y, y). El puto de la relació de equivalecia es que las formas equivaletes que toma los mismos valores, tiee el mismo rago de fucioes. Diremos que f represeta u úmero etero si es siempre positivo e el rago de f, es decir, si eiste úmeros eteros e y tales que = f (, y). La multiplicació muestra que 4 ( a + by + cy ) = ( a + by) + (4 ac b ) y Si D = b 4ac < 0, la epresió de la derecha que es siempre positiva, sigifica que la ecuació a + by + cy siempre tiee el mismo sigo que la costate a. E otras palabras, 4

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