Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso Aritmética binaria

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1 Oliverio J. Santana Jaria 3. Aritmética tica binaria Sistemas Digitales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso Para Los La en conocer muchos aritmética comprender otros binaria tipos los circuitos es de esencial sistemas aritméticos en digitales los ordenadores es necesario y Describir división objetivos los de las principios números operaciones este binarios tema básicos de son: suma, de resta, estas multiplicación operacionesy Introducción Introducir Detallar representación en el formato el los proceso más distintos de números frecuentemente de realización convenios negativos usados de usado: operaciones para complemento la aritméticas a 2 Aritmética binaria 2

2 Introducción Operaciones Representación Suma Resta Multiplicación Divisiónaritméticas básicas Estructura del tema Resumen Signo-magnitud Complemento y bibliografía a de 2números enteros La operación de suma se estructura en columnas Aritmética binaria 3 Las El suma como cuatro bit de menos más acarreo dicha reglas significativo a columna la básicas columna del del de siguiente resultado la suma de binaria de una una son: pasa es la Suma binaria = 00 suma 0, acarreo = 0 suma, acarreo = 0 suma, acarreo 0 + = 0 suma 0, acarreo Aritmética binaria 4 2

3 En nos el vemos momento obligados en el que a sumar aparece tres un bits acarreo en lugar igual de dos a Ejemplo: Suma binaria = 0 suma, acarreo = 0 suma 0, acarreo = 0 suma 0, acarreo + + = suma, acarreo 0 4 Otro ejemplo: Aritmética binaria 5 Suma binaria = Aritmética binaria 6 3

4 La Si el operación minuendo es menor también que el se sustraendo organiza en (0 columnas menos ) Ejemplo: El Se Sumar sustraendo generación resultado produce un 0 acarreo de un de la un - acarreo la siguiente nuevo resta negativo negativo, es acarreo la columna a diferencia un negativo es decir, el entre sustraendo sumamos los dosimplica al la Resta binaria 0 3 Otro ejemplo: Aritmética binaria 7 Resta binaria = Aritmética binaria 8 4

5 Las reglas básicas de la multiplicación binaria son: Ejemplo: parciales, posición multiplicación a desplazando x izquierda se realiza cada y luego nuevo generando sumándolos producto productos todos parcial una Multiplicación n binaria 0 x 0 = 0 x 0 = 0 0 x = 0 x = 3 x 0 x Otro ejemplo: 00 x Aritmética binaria 9 Multiplicación n binaria 0 x x 5 = 30 Aritmética binaria 0 5

6 La de multiplicación división binaria y sigue resta al el que procedimiento estamos acostumbrados tradicional División n Ejemplo: 0 / Aritmética binaria Otro ejemplo: 000 / 0 0 División n binaria Aritmética binaria 2 35 / 6 = 5 (resto = 5) 6

7 Introducción Operaciones Representación Suma Resta Multiplicación Divisiónaritméticas básicas Estructura del tema Resumen Signo-magnitud Complemento y bibliografía a de 2números enteros Los Un tanto sistemas números digitales positivos deben como ser números capaces negativos de manejar Aritmética binaria 3 Vamos magnitud binario con signo caracteriza por su números La El magnitud y su indica signoel valor del Números con signo En Todos de signo bits, todos a los enteros ver por indica ellos, números lo tres que el formatos bit es el en positivo bit más un de significativo ordenador signo binarios o negativo tiene tienen para una representa posición la representar mismo el signo fija cantidad Aritmética binaria 4 7

8 Un El bit más a la izquierda representa el signo del Dado que y el resto de bits representan la magnitud del número tamaño Se número su utiliza que versión fijo, los un negativo supondremos números 0 positiva, para el tiene signo usados pero los números positivo negativo distinto mismos por un de bit ordenador bits 8 bits signo magnitud tienen Signo-magnitud Los Aritmética Dado nbits desde números pueden 0 hasta binarios tener 2n valores naturales que van de binaria 5 Los signo-magnitud un (n que los números usan un en bit formato signo, Rango en signo-magnitud pueden (2n ) ) números bits tener hasta de a representar valores en nbits signo-magnitud +(2n sólo que ) la dedicará van magnitud desde binario decimal Aritmética binaria 6 8

9 Suma Se comparan y resta en el signo-magnitud y la de los operandos Multiplicación Si el mismo se suman las Aritmética Se magnitudes y se mantiene el mismo tica en signo-magnitud Si mayor el signo menos de los la menor operandos y se pone distinto, el se de resta la mayor la magnitud positivo; los multiplican operandos en caso y o división dividen tienen contrario el las mismo en el magnitudes resultado signo-magnitud: es el negativo resultado es La En positivo el formato y otro signo-magnitud negativo, pero con existen el mismo dos ceros, significado uno Aritmética binaria 7 Dado basándose circuitos realizar multiplicación en sumas y la y división restas, pero pueden es necesario hacerse tener Desventajas en signo-magnitud signo que magnitud comparaciones, capaces las operaciones tienden tanto de a los ser sumar de circuitos suma más como lentos y resta aritméticos de de restar necesitan lo deseado Aritmética binaria 8 9

10 Introducción Operaciones Representación Suma Resta Multiplicación Divisiónaritméticas básicas Estructura del tema Resumen Signo-magnitud Complemento y bibliografía a de 2números enteros El complemento a de un número binario se obtiene Aritmética binaria 9 Los cambiando números todos los 0 por y todos los por 0 correspondiente números positivos positivos negativos número en formato se son positivo representan el complemento signo-magnitud igual que a los del Complemento a Aritmética binaria 20 0

11 El valor decimal de los números positivos se calcula de El la misma manera que en signo-magnitud asignando al bit valor de decimal signo el valor y luego de negativo los sumando números del peso uno negativos al correspondiente resultado se calcula Valor complemento a El Aritmética binaria 2 Un números representa bit más en significativo el formato signocomplemento de los a Los (n pueden de nbits sólo dedicará Rango valores en complemento a (2n ) ) números bits tener hasta a representar valores en complemento +(2n que ) la van magnitud desde a binario decimal Aritmética binaria 22

12 El se corresponde calcula complemento restándolo con a la la cantidad base a la potencia menos de dígitos uno de la de del base un número que se y La luego restando uno al resultado realizar conversión Generalización: de forma de n: sencilla, un número complemento dígito a este a dígito formato se puede a la base Sistema binario Complemento a Con 3 bits 0 (2) 000 (2) 0 (2) = 00 (2) Sistema decimal Complemento a 9 Con 2 dígitos decimales 28 (0) 00 (0) 28 (0) = 7 (0) en binario intercambian 0 s y s: 0 (2) 00 (2) en decimal resta cada dígito a 9: 28 La Representando a la resta base de menos dos los números uno números se simplifica se expresa negativos la como operación (0) 7 en complemento suma (0) de resta de un Aritmética binaria 23 número El a la sustraendo minuendo base positivo menos se se mantiene uno y pasa otro a negativo positivocalculando su complemento Generalización: n: complemento a la base con 3 bits 0 (2) 0 (2) = 0 (2) 0 (2) + 00 (2) = (2) = 0 con 2 dígitos decimales 28 (0) 28 (0) = 0 (0) 28 (0) + 7 (0) = 99 (0) = 0 Aritmética binaria 24 2

13 La Por podemos número operación ejemplo, que limitarnos queremos suponiendo de resta a es sumar restar innecesaria: números el complemento de para 8 bits restar ( a byte): del Aritmética tica complemento a La realizarse multiplicación partiendo y la de división la sumatambién pueden = = 24 + ( 25) = La Para Aritmética binaria 25 Por columna, acarreo suma ejemplo, obtener al puede que resultado el suponiendo no valor producir puede correcto la representarse un de suma acarreo nuevo debemos números en en la sumar 8 última bits de este 8 bits: Aritmética tica complemento a = = 25 + ( 24) = Aritmética binaria 26 3

14 Dado Podremos cantidad decir, causa fija los números bits, posible un ordenador un desbordamiento, tienen una que debería que un el identificar tener desbordamiento resultado un tenga resultado demasiados porque como no tendráel incorrecto bitssigno a es Desbordamiento Dos sumandos positivos no pueden sumar negativo La En positivo el formato y otro complemento negativo, pero a con existen el mismo dos ceros, significado uno Aritmética binaria 27 Debido basándose complican multiplicación, en sumas, la división pero los circuitos y la resta sumadores pueden hacerse Desventajas del complemento a complemento que sumar se querría a esta porque un acarreo a complicación, también en determinadas al resultado tienden los circuitos a circunstancias ser más aritméticos lentos hay de en lo Aritmética binaria 28 4

15 Introducción Operaciones Representación Suma Resta Multiplicación Divisiónaritméticas básicas Estructura del tema Resumen Signo-magnitud Complemento y bibliografía a de 2números enteros El sumando complemento uno al a bit a del 2 menos de número un número significativo binario del se obtiene Aritmética binaria 29 Complemento a 2 Un significativo complemento método alternativo hasta a del encontrar resto comenzar del un número y luego por el hacer bit menos el Aritmética binaria 30 5

16 El valor decimal de los números positivos se calcula de El la misma manera que en signo-magnitud asignando al bit valor de decimal signo el valor de negativo los números del peso negativos correspondiente se calcula Valor complemento a El Aritmética binaria 3 Un números representa bit más en significativo el formato signocomplemento de los a 2 Los (n pueden de nbits sólo dedicará Rango valores en complemento a 2 (2n ) ) números bits hasta tener a +(2n representar valores en signo-magnitud ) que la van magnitud desde binario decimal Aritmética binaria 32 6

17 El restándolo complemento a la potencia a la base de de la un base número correspondiente se calcula a Representando la cantidad de dígitos del número a como la base Generalización: la suma simplifica de los un números n: la resta, negativos en complemento complemento positivo permitiendo y otro expresarla a negativo base Sistema binario Complemento a 2 Con 3 bits 0 (2) 000 (2) 0 (2) = 0 (2) Sistema decimal Complemento a 0 Con 2 dígitos decimales 28 (0) 00 (0) 28 (0) = 72 Solo Todas (0) Con 3 bits 0 (2) 0 (2) = 0 (2) 0 (2) + 0 (2) = 000 (2) Con 2 dígitos decimales 28 (0) 28 (0) = 0 (0) 28 (0) + 72 (0) = 00 (0) Aritmética binaria 33 Por sumador, o más complemento estos utilizado existe las motivos, más operaciones una por simple representación a los el y, complemento ordenadores que por pueden el tanto, usado hacerse del más actuales cero por a rápido 2 con signo-magnitud el un formato circuito Ventajas del a 2 binario signo-magnitud complemento a complemento a Aritmética binaria 34 7

18 Dado Vamos A estudiaremos trabajaremos que el complemento a 2 es el formato más usado, existen aritmética con más detalle a suponer que los números con los que Suma Los la hora de sumar tienen dos 8 bits números ( byte) en complemento a 2, en a 2 Ambos El dos cuatro número números negativo positivo situaciones son tienen positivos negativos distinto un posibles valor absoluto signo mayor que el negativo positivo Si Existe también es Aritmética binaria 35 necesita los decir, dos la serápositivo más de posibilidad valores obtener bits de sumados un los de resultado un que desbordamiento son se pueden positivos, incorrecto representar el porque (overflow), resultado Suma en complemento a (max = 2 7 = 27) Overflow!! El resultado debe ser positivo Aritmética binaria 36 8

19 Si Existe también pero los no dos la invalida seránegativo posibilidad valores el sumados resultado de que son aparezca y debe negativos descartarse un acarreo el resultado (carry) Suma en complemento a Si 0 0 existe Carry!! Se descarta y el resultado correcto y, por los dos la tanto, posibilidad valores el resultado sumados de que sea son ocurra incorrecto negativos un desbordamiento también Aritmética binaria 37 Suma en complemento a (min = 2 7 = 28) Overflow!! El resultado debe ser negativo Carry!! Se descarta Aritmética binaria 38 9

20 Si Cuando imposible que descarta los el dos del y negativo valores que el resultado ocurra absoluto sumados puede un es desbordamiento correcto del aparecer tienen número distinto un positivo acarreo, signo es pero es mayor se Suma en complemento a Para del acarreo Carry!! Se descarta y el resultado correcto que número restar ocurra que dos restado pueda un números desbordamiento aparecer y se suman, se calcula y controlando descartando el complemento la cualquiera posibilidad a 2 Aritmética binaria 39 Resta en complemento a = 57 + ( 29) = Carry!! Se descarta y el resultado es correcto Aritmética binaria 40 20

21 Para del acarreo que número restar ocurra que dos restado pueda un números desbordamiento aparecer y se suman, se calcula y controlando descartando el complemento la cualquiera posibilidad a 2 Resta en complemento a = 25 + ( 58) = Para (min = 2 7 = 28) propiedad Overflow!! El resultado debe ser negativo números sumar de asociativa, o dos restar en dos varios es decir, números sumamos aplicamos o restamos la los Carry!! Se descarta Aritmética binaria 4 Sumas restas en cadena = ( ( ) + 4) + 8 = Aritmética binaria 42 2

22 multiplicando suma directa tantas es el veces como más el simple: multiplicador sumar el El La muy Se Multiplicación Cada desventaja lento si el de multiplicador este método muy que puede grandellegar a ser n en complemento a 2 La método multiplica suma producto de más los el común parcial productos multiplicando se es desplaza parciales el por los un cada nos productos bit da bit a la resultado izquierda multiplicador parciales El Aritmética binaria 43 Después números signo del multiplicados mismo resultado depende de los positivo signos de los Es multiplicar Si son distinto signo, el resultado es negativo Multiplicación n en complemento a 2 la representación bastante deben posible comprobar de ser que los pasados los el operandos resultado signos, a binario los tenga números real más bits a que 3 x 3 = 9 x = 00 Aritmética binaria 44 22

23 Ejemplo: Los 83 X 59 = 4897 Pasamos seráun Ignoramos números tienen distinto signo, luego el resultado Multiplicación Deshacemos negativo ignoramos los el números el bit complemento de a binario real n signo del número positivo en complemento a 2 del número negativo a 2 y luego 83 = = 0000 Realizamos entre 83 los = 0000 dos la números multiplicación 59 = = 000 Aritmética binaria 45 Multiplicación n en complemento a 2 positivos x Aritmética binaria 46 23

24 Multiplicando resultado de 3 números bitsde 8 bits hemos obtenido un Una Supondremos que el resultado tiene 6 bits determinado Seráimportante recordar esto para diseñar multiplicadores Multiplicación n en complemento a 2 complemento Dado vez signo que obtenido debe hemos que a ser 2 éste multiplicado del positivo resultado, mismo era negativo, o habráhabido dos y números dado calculamos que un positivos, desbordamiento habíamos el el bit El Dado Aritmética binaria 47 El estábasado división esquema puede las en básico restas la realizarse resta de en división complemento con circuitos usado a en 2 sumadores los son ordenadores sumas, la División n en 2 Tras operandos debe Si signo comprobar son ser del convertido distinto mismo resultado la división los signo, signos, en depende el el positivo resultado cualquier de los corresponidente positivo negativo número signos de negativo los dos Aritmética binaria 48 24

25 Ejemplo: Los 00 / 25 = 4 En seráun números tienen positivo el mismo signo, luego el resultado División n complemento a 2 El número el complemento valor caso negativo de inicial que del alguno a hubiéramos 2cociente de ellos es tenido cero hubiera que sido deshacer un 00 = = Restamos el divisor del dividendo (sumando su complemento a 2) C = 0 Aritmética binaria 49 para uno al obtener cociente el primer resto parcial luego sumamos Si por División n complemento a 2 restando sumar el finalizada resto uno el parcial divisor cociente es del cero positivo, resto o negativo, parcial repetimos y damos volviendo el proceso, la división a = 0000 C = C + = 0 + = Aritmética binaria 50 25

26 Segunda iteración: Tercera iteración: División n en complemento a = C = C + = + = Cuarta = C = C + = 0 + = Aritmética binaria 5 El iteración: Sólo correcto, resto queda parcial en asegurarse este es caso, cero, signo de por que lo positivo el que bit la de división signo es termina el División n en complemento a = C = C + = + = 00 C = 00 7 bits magnitud C = bit de signo positivo C = Aritmética binaria 52 26

27 Introducción Operaciones Representación Suma Resta Multiplicación Divisiónaritméticas básicas Estructura del tema Resumen Signo-magnitud Complemento y bibliografía a de 2números enteros La Aritmética binaria 53 Existen aritmética los comprensión circuitos binaria digitales de las importante que operaciones las realizan para básicas el diseño de la de Los de el varios formatos que permiten la representación Resumen números gran formato números ordenadores medida negativos enteros el complemento diseño actuales porque negativos de los utilizan permite a circuitos 2 para generalmente simplificar representar necesarios en Aritmética binaria 54 27

28 Fundamentos de Sistemas Digitales (7ªedición) Principios Capítulo Capítulo Thomas PrenticeHall, L. Floyd Daniel de Diseño 2000 PrenticeHall, D. 2GajskiDigital Bibliografía 997 Aritmética binaria 55 28

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