Particiones binarias del espacio (BSP)

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1 (BSP)

2 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

3 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

4 Para representar en pantalla parte del mundo virtual almacenado en memoria hay que determinar para cada píxel de la pantalla el objeto que es visible en ese píxel: Eliminación de superficies ocultas. Otras aplicaciones: Localización. Detección de colisiones.

5 Algoritmo z-buffer Algoritmo del pintor

6 Particiones del espacio * Subdividen el espacio creando un árbol, de forma que en cada región la geometría sea simple. * Técnicas de subdivisión Basadas en el espacio: quadtrees, octrees. Basadas en los objetos: BSP. Los dos tipos tienen ventajas e inconvenientes, y el rendimiento depende muchas veces de la aplicación y el tipo de datos que aparezcan.

7 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

8 Quadtrees

9 Quadtrees

10 Quadtrees

11 Quadtrees

12 Quadtrees Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 10 Q 11 Q 12

13 Quadtrees Análogo 3-dimensional: octrees. Aplicaciones: Localización. Detección de colisiones. Intersección de regiones. Ventaja: facilidad de construcción y manejo. Inconveniente: no se adapta a la geometría.

14 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

15 Definición del árbol BSP La BSP se obtiene dividiendo recursivamente con una ĺınea. Las ĺıneas divisorias cortan también los objetos en fragmentos. La división continúa hasta que hay sólo un fragmento en el interior de cada región.

16 Definición del árbol BSP Árbol que corresponde a la BSP. Cada hoja corresponde a una cara de la subdivisión final, y el fragmento que hay en esa cara se almacena en la hoja. Cada nodo interno corresponde a una ĺınea divisoria, almacenada en el nodo.

17 8< : d Definición del árbol BSP = 2, h recta ax+by+c=0; h +, h semiplanos; d = 3, h plano ax+by+cz+d=0; h +, h semiespacios. S Conjunto de objetos T (S) Árbol binario correspondiente

18 Definición recursiva del árbol binario T (S): - Si card(s) 1: T (S) es una hoja, v; En la hoja se almacena el objeto (si existe), S(v). - Si card(s) > 1: La raíz ν de T (S) almacena: una recta (plano) h ν, conjunto S(ν) de objetos contenidos en h ν. Hijo izquierdo de ν: raíz de un árbol T (S ), con S = {h ν S : s S}. Hijo derecho de ν: raíz de un árbol T (S + ), con S + = {h + ν S : s S}.

19 Hojas del árbol T (S)? Regiones (convexas) con un solo objeto. Tamaño del árbol T (S)? Se define como el tamaño total de los conjuntos S(ν), ν T. Observación: Si no utilizamos divisiones inútiles, el número de nodos es lineal en el tamaño del árbol.

20 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

21 Si el observador está en h + ν, ningún elemento en h ν ninguno en h + ν. tapa a p: punto de vista. h + ν h p h ν

22 Algoritmo PINTOR (T, p) 1. Sea ν la raíz de T. 2. if ν es una hoja 3. then pintar objetos en S(ν) 4. else if p h + ν 5. then PINTOR (T, p) 6. pintar objetos en S(ν) 7. PINTOR (T +, p) 8. else if p h ν 9. then PINTOR (T +, p) 10. pintar objetos en S(ν) 11. PINTOR (T, p) 12. else % p h ν % 13. PINTOR (T +, p) 14. PINTOR (T, p)

23 De qué depende la eficiencia del algoritmo?

24 De qué depende la eficiencia del algoritmo? Esencialmente, del tamaño del BSP.

25 De qué depende la eficiencia del algoritmo? Esencialmente, del tamaño del BSP. Dado un conjunto de objetos en R 2 ó R 3, admiten un BSP de tamaño pequeño?

26 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

27 Sea S R 2 un conjunto de segmentos rectiĺıneos que no se cortan.

28 Sea S R 2 un conjunto de segmentos rectiĺıneos que no se cortan. Consideraremos auto-particiones, i.e., sólo consideramos ĺıneas que contienen uno de los segmentos como ĺıneas divisoras.

29 Sea S R 2 un conjunto de segmentos rectiĺıneos que no se cortan. Consideraremos auto-particiones, i.e., sólo consideramos ĺıneas que contienen uno de los segmentos como ĺıneas divisoras. Sea l(s) la ĺınea que contiene un segmento s.

30 Sea S R 2 un conjunto de segmentos rectiĺıneos que no se cortan. Consideraremos auto-particiones, i.e., sólo consideramos ĺıneas que contienen uno de los segmentos como ĺıneas divisoras. Sea l(s) la ĺınea que contiene un segmento s. Algoritmo recursivo para construir un BSP.

31 Algoritmo 2DBSP(S) Input. Conjunto S = {s 1, s 2,..., s n } de segmentos. Output. Un árbol BSP de S. 1. if card(s 1) 2. then crear árbol T con una sóla hoja y almacenar S en dicha hoja. 3. return T 4. else % usar l(s 1 ) como línea divisoria % 5. S + = {s l(s 1 ) + : s S}; T + := 2DBSP (S + ) 6. S = {s l(s 1 ) : s S}; T := 2DBSP (S ) 7. Crear BSP con raíz ν, subárbol izqdo T, subárbol dcho T +, S(v) = {s S : s l(s 1 )}. 8. return T.

32 Cuál es el tamaño del BSP?

33 Cuál es el tamaño del BSP? puede llegar a ser cuadrático.

34 Cuál es el tamaño del BSP? puede llegar a ser cuadrático. Podemos escoger s 1 con más cuidado?

35 Cuál es el tamaño del BSP? puede llegar a ser cuadrático. Podemos escoger s 1 con más cuidado? Quizás sí, pero resulta complicado

36 Cuál es el tamaño del BSP? puede llegar a ser cuadrático. Podemos escoger s 1 con más cuidado? Quizás sí, pero resulta complicado Qué ocurre si lo escogemos aleatoriamente?

37 Proposición.- Sea S una permutación aleatoria de los segmentos de S. El número esperado de fragmentos generados por 2DBSP(S ) es O(n log n).

38 Proposición.- Sea S una permutación aleatoria de los segmentos de S. El número esperado de fragmentos generados por 2DBSP(S ) es O(n log n). Dem. s i segmento fijo. Si cortamos por l(s i ), a cuántos segmentos cortamos?

39 Proposición.- Sea S una permutación aleatoria de los segmentos de S. El número esperado de fragmentos generados por 2DBSP(S ) es O(n log n). Dem. s i segmento fijo. Si cortamos por l(s i ), a cuántos segmentos cortamos? d = 2 d = 1 s i d = 1 d = 0 d = 0 d = 2

40 Sean N = # segmentos que cortan l(s i ) entre s i y s j

41 Sean N = # segmentos que cortan l(s i ) entre s i y s j dist si (s j ) = 8< : N, si l(s i ) s j ;, en otro caso.

42 Sean N = # segmentos que cortan l(s i ) entre s i y s j dist si (s j ) = 8< : N, si l(s i ) s j ;, en otro caso. s j1, s j2,..., s j2, los segmentos entre s i y s j.

43 Sean N = # segmentos que cortan l(s i ) entre s i y s j dist si (s j ) = 8< : N, si l(s i ) s j ;, en otro caso. s j1, s j2,..., s j2, los segmentos entre s i y s j. Entonces: P r[l(s i ) corte s j ] = dist si (s j ).

44 Sean N = # segmentos que cortan l(s i ) entre s i y s j dist si (s j ) = 8< : N, si l(s i ) s j ;, en otro caso. s j1, s j2,..., s j2, los segmentos entre s i y s j. Entonces: P r[l(s i ) corte s j ] = dist si (s j ). (i debe ser el menor índice del conjunto {i, j, j 1,..., j k })

45 Podemos acotar el número esperado de cortes generados por s i : E[# cortes generados por s i ] X j i 2 Xn 2 k= dist si (s j ) 1 k ln n

46 Podemos acotar el número esperado de cortes generados por s i : Por tanto, E[# cortes generados por s i ] X j i 2 Xn 2 k= dist si (s j ) 1 k ln n E[# cortes generados por todos los segmentos ] 2n ln n

47 Podemos acotar el número esperado de cortes generados por s i : Por tanto, E[# cortes generados por s i ] X j i 2 Xn 2 k= dist si (s j ) 1 k ln n E[# cortes generados por todos los segmentos ] 2n ln n Observación: Se puede demostrar que al menos la mitad de las permutaciones conducen a una BSP de tamaño n + 4n ln n

48 Cuál es la complejidad del algoritmo?

49 Cuál es la complejidad del algoritmo? n ln n llamadas recursivas, O(n) para cada llamada, En total, O(n 2 ln n)

50 Problema abierto Es cierto que para un conjunto S de segmentos en el plano existe siempre un BSP de tamaño O(n), o existen conjuntos que requieren O(n ln n)?

51 Problema abierto Es cierto que para un conjunto S de segmentos en el plano existe siempre un BSP de tamaño O(n), o existen conjuntos que requieren O(n ln n)? En R 3, todo análogo pero más complicado. En particular, S: conjunto de n triángulos. El tamaño esperado del BSP es O(n 2 ).

52 Contenido 1. Introducción. 2. Quadtrees. 3. Árboles BSP. 4. Aplicación al algoritmo del pintor. 5. Construcción de un árbol BSP. 6. Conclusiones.

53 Particiones binarias del espacio * Herramientas originalmente desarrolladas para eliminar partes ocultas. * Útil también para clipping-culling detección de colisiones * Parte esencial de juegos como Doom ó Quake.

54 Otras aplicaciones de las BSP Para representar en pantalla parte del mundo virtual en memoria hay que: Determinar qué parte del modelo queda dentro del volumen de visión - clipping, culling. Representar los objetos del volumen de visión en pantalla: Eliminación de partes ocultas z-buffer Algoritmo del pintor Rasterización (nivel de pixel) Si el entorno es dinámico, detectar colisiones.

55 Preguntas?

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