GENERACIÓN DE SECUENCIAS BINARIAS PSEUDO ALEATORIAS POR MEDIO DE UN MAPA CAÓTICO 3D. C.M. González, H. A. Larrondo, C. A. Gayoso, L. J.

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1 GENERACIÓN DE SECUENCIAS BINARIAS PSEUDO ALEATORIAS POR MEDIO DE UN MAPA CAÓTICO 3D. C.M. Gozález, H. A. Larrodo, C. A. Gayoso, L. J. Aroe Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Mar del Plata Argeta Jua B. Justo 430. C. P Mar del Plata Argeta ABSTRACT Ths paper deals wth both the theoretcal ad practcal realzato of a pseudo-radom umber geerator based o a dscrete 3D verso of a Lorez chaotc attractor. The practcal realzato s made o a medum sze FPGA. Ma dffereces wth other schemes already preseted the ope lterature are: a) a 3D map s used stead of a D map; b) oly the least sgfcat byte of oe of the state varables s used to geerate the prmary sequece; c) Ths sequece s perodcally perturbed usg aother state varable to elarge the perod of the pseudo-radom sequece. d) Istead of the floatg pot umbers requred by cotuous-value cphers, atural umbers are used here to smplfy the hardware. A comparso wth stadard umber geerators as well as the evaluato usg stadard statstcal tests ad hardware smulatos, are also cluded. RESUMEN Este trabajo preseta el desarrollo teórco y ua mplemetacó práctca de u geerador de úmeros pseudo aleatoros basado e ua versó dscreta del sstema dámco 3D de Lorez. La realzacó práctca se mplemeta e ua FPGA de tamaño medo. Las prcpales dferecas co otros esquemas presetados so las sguetes: a) se utlza u mapa 3D e lugar de mapas D; b) se utlza sólo el byte meos sgfcatvo de ua de las varables de estado del sstema para geerar la secueca prmara; c) esta secueca es peródcamete perturbada usado otra de las varables de estado del sstema para aumetar el período de repetcó de la secueca pseudo aleatora. d) E lugar de utlzar úmeros e puto flotate, como lo requerría los sstemas de ecrptado cotuos, se utlza úmeros eteros, smplfcado el hardware ecesaro. Se cluye la comparacó co geeradores stadard, los resultados de pruebas estadístcas báscas y la smulacó temporal del hardware dseñado..

2 GENERACIÓN DE SECUENCIAS BINARIAS PSEUDO ALEATORIAS POR MEDIO DE UN MAPA CAÓTICO 3D. C.M. Gozález, H. A. Larrodo, C. A. Gayoso, L. J. Aroe Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Mar del Plata Argeta Jua B. Justo 430. C. P Mar del Plata Argeta La geeracó de secuecas aleatoras sempre ha atraído mucho la atecó debdo a que los úmeros aleatoros juega u rol muy mportate e muchas áreas del coocmeto tales como Igeería, Ecoomía, Físca, Estadístca, etc. E partcular so muy utlzados e smulacoes, método de Mote Carlo, crptografía y telecomucacoes. Toda secueca producda por ua máqua de estados ftos o puede ser realmete aleatora, debdo a que so determístcas por aturaleza y su salda es predecble. Por lo tato, por estos medos, se geera secuecas pseudo aleatoras co u período fto, pero s ese período es sufcetemete largo la pseudo aleatoredad es sufcete para muchas de estas aplcacoes[][]. E este trabajo se preseta u método de geeracó de secuecas baras pseudo aleatoras por medo de la dscretzacó de u sstema caótco 3D, e partcular se utlza la porcó meos sgfcatva de las varables de estado como fuete de pseudo aleatoredad. El sstema se mplemeta e u dspostvo lógco programable de tamaño medo. La estructura de este trabajo es la sguete: e la seccó se cluye la dscretzacó del sstema dámco de Lorez para obteer el mapa 3D, la modfcacó para poder mplemetarlo e artmétca etera y el método perturbatvo empleado para alargar el período de la secueca pseudo aleatora geerada. E el puto 3 se efectúa el aálss estadístco de las secuecas baras pseudo aleatoras geeradas y se compara los resultados co los obtedos co otros sstemas coocdos. E el puto 4 se desarrolla la mplemetacó físca empleado el dspostvo lógco programable EPF0K0TC44-3 de Altera.. GENERACIÓN DE SECUENCIAS CAÓTICAS El sstema dámco que se utlzó como puto de partda es u sstema de Lorez goberado por las sguetes ecuacoes dferecales: dx δ ( x y) dt dy xz Γx y, () dt dz xy bz dt dode δ, Γ y b so los parámetros de cotrol. El sstema cotuo se coverte e u sstema dscreto trdmesoal (mapa 3D) utlzado la aproxmacó de Euler de prmer orde. El resultado es: ~ x ~ y ~ z ~ x k δ ~ y k ~ z k [ ( ~ x ~ y )] [ ~ x ~ z Γ~ x ~ y ] [ ~ x ~ y bz ~ ], () dode k es el parámetro de escala de tempo. Para reducr el hardware ecesaro el sstema trabaja co artmétca etera bara, y para smplfcar las dvsoes ecesaras (se hará desplazado bts) se utlza múltplos del tpo. Para ello se efectúa las sguetes trasformacoes de polarzacó y cambo de escala: x ( ~ x B) S y ( ~ y B) S, (3) z ( ~ z B) S

3 dode B y S so respectvamete los parámetros de polarzacó y cambo de escala. El resultado fal es: x y z x kδ ( y x ) ( k) y ( kb kγ) k kbz x z S k x y S ( kb) z kb( x y ) x ( kbs kγbs kb S ) ( kb S kbbs ) Los parámetros adoptados e este trabajo so:,(4) Fgura. Vsta e 3D del atractor de Lorez k ; δ 8; Γ 4; b ; B 40; S 5 64 Estos valores se elgero para asegurar la establdad estructural del sstema (pequeñas modfcacoes de los parámetros o altera el comportameto cualtatvo del sstema), y para facltar la mplemetacó e artmétca bara etera. Reemplazado e (4) resulta: x y z y x x 8 8 y z z y x 64 8 x z z z x 3 x y ( x y ) ( x y ) 8,(5) Nótese que todas las operacoes volucradas e (5) so sumas, restas y dvsoes por potecas de dos, y solamete se utlza dos multplcadores. La fgura es ua vsta 3D de la trayectora del sstema co codcoes cales x , y 0 35 y z Puede verse la típca marposa de Lorez. La fgura també revela que el rago de las varables de estado es [0,6x0 4 ] y por lo tato se ecesta al meos 7 bts para represetarlas. [3][4][5]. Debdo al úmero fto de dígtos utlzados para represetar las varables de estado y al efecto de trucado producdo por la dvsó bara, es evtable que exsta u período de repetcó de la secueca. Por lo tato el mapa (5) o es caótco so pseudo caótco. Icremetado e (4) el factor de escala S es posble cremetar el período de repetcó debdo a que el efecto del trucado dsmuye. Los expermetos umércos realzados mostraro que el máxmo período de repetcó que podía obteerse por este método es Para muchas aplcacoes este período puede o ser sufcetemete largo. E ese caso se lo puede aumetar cosderablemete aplcado pequeñas perturbacoes a algua de las varables de estado. E la fgura se muestra ua posble estratega de perturbacoes e la que se modfca la varable cada N cclos de reloj. S se utlzara ua perturbacó de valor fjo (por ejemplo sumar a u valor costate) la perodcdad o se altería e forma sgfcatva. E cambo s la perturbacó es pseudo aleatora como se muestra e la Fgura el período se extede cosderablemete. El método cosste e realzar ua OR exclusva (OR) etre el byte meos sgfcatvo de x (x [7..0]) y el byte meos sgfcatvo de y (y [7..0]). obteédose el byte meos sgfcatvo de x. El byte más sgfcatvo de x cocde co el de x. La varable se evía a la etrada del sstema de Lorez. La secueca pseudo aleatora fal empleada toma sólo el bt meos sgfcatvo de la varable geerada.

4 Fgura. Dagrama e bloques del geerador co perturbacoes peródcas. 3. GENERADOR DE SECUENCIAS DE BITS PSEUDO ALEATORIAS. E las fguras 3a y 3b puede verse que las dstrbucoes de prmer y segudo orde del byte meos sgfcatvo de la señal x so cualtatvamete uformes. Por otro lado la trasformada rápda de Fourer, del byte meos sgfcatvo de x (fgura Fgura 3. b) Trayectora 3D. Fgura 3. a) Trayectora D para C [7..0] (byte meos sgfcatvo de ). 4) muestra que el espectro es smlar al del rudo. Este comportameto justfca la eleccó realzada e el dseño pero sólo aporta ua vsó cualtatva. Para determar las característcas de la secueca geerada y poder compararla co la de otros geeradores se realzaro cco pruebas estadístcas báscas, comúmete utlzadas (estas pruebas so codcoes ecesaras pero o sufcetes para demostrar que ua secueca luzca aleatora) [6][7][8]. Las pruebas se efectuaro sobre ua secueca de bts de logtud 65536: s s 0, s, s,..., s -.. Se realzaro cco pruebas báscas.

5 4 ( ) (7) ( 0 ) que sgue aproxmadamete ua dstrbucó χ co dos grados de lbertad. El resultado obtedo es: , 0 645, 0 646, 630, 0 389, 377, Tomado α 0,05 y ν S < A(ν,α ) 5.995, etoces se acepta la hpótess. Fgura 4. Trasformada rápda de Fourer (FFT) de C evaluada sobre muestras. 3.. Prueba de frecueca Esta prueba determa s el de 0 s ( 0 ) es aproxmadamete gual al de s ( ), como debería esperarse s la secueca fuera aleatora. Se calcula: ( 0 ) (6) que respode aproxmadamete a ua dstrbucó χ co u grado de lbertad. Los resultados obtedos so: 0 389, 377, Tomado α 0,05 (vel de sgfcaca) y ν (grados de lbertad) S < A(ν,α ) ( dstrbucó χ ), etoces se acepta la hpótess 3.. Prueba sere El propósto de esta prueba es determar s es aproxmadamete gual el úmero de ocurrecas sucesvas de las secuecas 00, 0, 0,, como debería esperarse s la secueca fuera aleatora. Defmos 00 ( de ocurrecas de la combacó 00), 0 ( de ocurrecas de la combacó 0), 0 ( de ocurrecas de la combacó 0), ( de ocurrecas de la combacó ), o y como e el caso ateror. Debdo a que se permte el solapameto de las combacoes, Se evalúa: 3.3. Prueba del Poker E esta prueba se separa la secueca de bts e grupos de m bts s solapameto (Ej. s m3 [s0 s s] [s3 s4 s5]...). La secueca se dvde e k cojutos de m bts. Luego se computa el de ocurrecas de cada ua de las m posbles combacoes, deomádose, para m. Esta prueba determa s las secuecas de logtud m aparece aproxmadamete el msmo úmero de veces, como debería esperarse s la secueca fuera aleatora. Se computa la sguete expresó: m m 3 k k (8) que sgue aproxmadamete ua dstrbucó χ co m - grados de lbertad. Se tomó el bt meos sgfcatvo (65536) y para el caso m8 (por lo tato k89) el resultado es: Tomado α 0,05 y ν 55 S 3 < A(ν,α ) , etoces se acepta la hpótess Prueba de rachas El propósto de esta prueba es determar s el úmero de rus (rachas de 0 s o de s) de logtud varable e la secueca s es el esperado para ua secueca aleatora. El úmero esperado de blocks de s (o gaps de 0 s) de logtud e ua secueca aleatora de logtud es: ( 3) e (9)

6 Sea k el mayor úmero etero tal que e 5 y sea B y G el úmero de blocks y de gaps respectvamete, de logtud co k. Se computa la expresó: 4 e ) e k k ( B ( G e ) e (0) que sgue aproxmadamete ua dstrbucó χ co k- grados de lbertad. E este caso k. Los resultados obtedos so: Tomado α 0,05 y ν 0 S 4 < A(ν,α ) 3.404, etoces se acepta la hpótess Autocorrelacó Cálculo de la autocorrelacó co desplazameto d Se calcula: d 0 A ( d) s s d () d ( A( d) ) d 5 () que sgue aproxmadamete ua dstrbucó ormal N(0,) Se tomó d y el resultado obtedo es: Tomado α 0,05 S 5 <.6449, etoces se acepta la hpótess. Para determar la caldad de los resultados obtedos se le realzaro las msmas cco pruebas a secuecas geeradas por tres geeradores pseudo aleatoros de ampla utlzacó: ) LFSR (Lear Feedback Shft Regster) de 34 bts. Este geerador se mplemeta e hardware y se utlza e comucacoes. ) LCG (Leal Cogruetal geerator). Algortmo determístco para ser utlzado e software, e partcular se utlzó el algortmo de Lehmer usado por la fucó rad() de Matlab ( Z 6807*Z - mod ) que geera úmeros etre (0,). Se lo covrtó a ua secueca de bts ( s Z > 0.5, 0 s Z < 0.5 ) ) Algortmo de Marsagla, determístco para ser utlzado e software. Z (*Z -4 49*Z *Z - 55*Z - c ) mod^3 c floor(z /^3). La secueca de bts se geeró de ua maera smlar al caso ateror. E la tabla I se resume los resultados obtedos, e todos los casos se utlzaro muestras de bts. Tabla I. Cco pruebas estadístcas báscas sobre muestras de logtud 64Kbts geeradas por dsttos geeradores de secuecas pseudo aleatoras.

7 De los cálculos realzados se desprede que la secueca evaluada cumple co las cco pruebas báscas realzadas, sedo sus resultados comparables, desde el puto de vsta de estas cco pruebas báscas, co los obtedos co los otros métodos. Se está realzado pruebas adcoales más exhaustvas para reafrmar la hpótess de pseudo aleatoredad de este geerador propuesto, que será comucadas e su mometo. 4. IMPLEMENTACIÓN EN DISPOSITIVOS LÓGICOS PROGRAMABLES El geerador fue mplemetado e el crcuto tegrado EPF0K0TC44-3 de Altera, utlzado el software de desarrollo Max-Plus II. La fgura 5 muestra la arqutectura del dseño realzado, como se ve sgue, e líeas geerales, el dagrama e bloques presetado e la fgura. La etrada deomada reloj, es el reloj prcpal del sstema, a esta señal se la dvde por cuatro y se obtee la frecueca de geeracó de cada estado. Las etradas que caracterza al sstema so: las codcoes cales ( x[6..0], y[6..0] y z[6..0] ) y la señal [3..0] que da el período de repetcó de la perturbacó realzada, por lo tato la llave o semlla del geerador está compuesta por u úmero de 65 bts. La salda se toma sobre el byte meos sgfcatvo de la señal x, xsal[7..0] o drectamete se utlza el bt meos sgfcatvo xsal[0]. El bloque deomado DIV_N tee la fucó de etregar u pulso, a la seleccó del multplexor BUSMU, cada N períodos de la señal de geeracó de estados (es decr cada 4N cclos del reloj prcpal). El multplexor mecoado rutea, la salda de OR (OR exclusva etre xsal[7..0] e ysal[7..0]) ua vez cada N estados, o xsal[7..0] drectamete el resto del tempo e la etrada del bloque lorez_p. El bloque lorez_p es el ecargado de realzar los cálculos ecesaros para satsfacer las ecuacoes del sstema, metras que el bloque REGIS5 realza el regstro y la realmetacó de los datos. Los bloques fuero dvdualmete mplemetados e leguaje VHDL, partcularmete e la mplemetacó de las ecuacoes del sstema se utlzaro los Módulos Parametrzados de Bbloteca sumstrados por el software Max-Plus II ( LPM s), ya que éstos se ecuetra optmzados e fucó del dspostvo utlzado. Las dos multplcacoes ecesaras se mplemetaro e u úco multplcador e forma secuecal, el resto de las ecuacoes fuero mplemetadas e paralelo, por lo tato la lmtacó e la máxma frecueca de trabajo será determada por el retardo de las dos multplcacoes. Esto se hzo de esta maera para que el sstema pueda ser mplemetado e el tegrado EPF0K0TC44-3 que es el que se dspoía, de hecho todo el sstema ocupó 676 celdas lógcas, es decr el 58 % del total de tegrado. Queda claro que s se utlzara u tegrado co más recursos lógcos se podría duplcar la frecueca de Fgura 5. Implemetacó co Dspostvos Lógcos Programables.

8 geeracó de estados, ya que se realzaría las multplcacoes e paralelo. Medate la smulacó temporal y el aálss de temporzacó que realza el software Max-Plus II se llegó a que la máxma frecueca de reloj del sstema es de 5.9MHz, por lo que la máxma frecueca de geeracó de estados sería de.475mhz. S se toma este dseño como prototpo y se realza el msmo sstema e u crcuto tegrado sem o full-custom se podría aumetar cosderablemete la frecueca de trabajo. 5. CONCLUSIONES. E este trabajo se presetó u geerador de secuecas baras pseudo aleatoras realzado e hardware, obtedo a partr de la dscretzacó de u sstema caótco del tpo de Lorez. Se parte de la base de que la porcó meos sgfcatva de dchas secuecas caótcas tee ua dstrbucó uforme y u espectro plao. De este modo utlzado el bt meos sgfcatvo se geera la secueca bara. Se realzaro pruebas báscas de aleatoredad, por lo que para las aplcacoes más geerales puede ser utlzado, s embargo para utlzarlo e aplcacoes más exgetes e dode la segurdad es crítca queda pedetes pruebas de aleatoredad que se está realzado actualmete. E cuato a su mplemetacó físca se realzó e u dspostvo lógco programable de medao tamaño, co ua velocdad de geeracó de.475 Mbts/s, pudédose lograr velocdades mucho mayores explotado el cálculo e paralelo de los mapas caótcos, utlzado crcutos tegrados sem y full-custom. Moder Commucato Systems. IEEE Trasacto o Crcuts ad Systems-I, vol. 48, N, 00. [4] M. Hasler. Sychrozato of Chaotc Systems ad Trasmsso of Iformato. Iteratoal Joural of Bfurcato ad Chaos, vol. 8, N 4, 998, pp [5] F. Dachselt, W. Schwarz. Chaos ad Cryptography. IEEE Trasacto o Crcuts ad Systems-I, vol. 48, N, 00. [6] A, Papouls. Probablty, Radom Varables, ad Stochastc Processes. Mc Graw-Hll, Ic.. Thrd Edto, 99. [7] A. Meezes, P. Va Oorschot, S. Vestoe. Hadbook of Appled Cryptography. CRC Press [8] U. Maurer. A Uversal Statstcal Test for Radom Bt Geerator. Joural of Cryptology, vol. 5, N, 99, pp AGRADECIMIENTOS Agradecemos el facameto de la Uversdad Nacoal de Mar del Plata, CONICET y ANPCyT.. Agradecemos los cometaros y sugerecas de Eduardo Boemo. 6. BIBLIOGRAFÍA. [] R. Berard, G. Cortelazzo. Tools for Desgg Chaotc Systems for Secure Radom Number Geerato. IEEE Trasacto o Crcuts ad Systems-I, vol. 48, N 48, May 00, pp [] T. Stojaovsk, L. Kocarev. Chaos-Based Radom Number Geerators-Part. I: Aalyss. IEEE Trasacto o Crcuts ad Systems-I, vol. 48, N 3, March 00, pp [3] L. Kocarev, G. Maggo, M. Ogorzalek, L. Pecora, K Yao. (eds). Specal ssue o Applcatos of Chaos