MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA

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1 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA Econometría I UNLP

2 Modelos de Eleccón Bnara: Introduccón Estamos nteresados en la probabldad de ocurrenca de certo evento Podemos representar la ocurrenca del evento medante un ndcador bnaro que es gual a 1 s el evento ocurre (éxto) y 0 s no ocurre (fracaso). Denotemos a esta varable dependente bnara como Y. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 2 -

3 Algunos ejemplos: Modelos de empleo: Y = 1 s el ndvduo trabaja 0 en caso contraro Performance de entdades fnanceras: Y = 1 s el banco quebró 0 en caso contraro Desercón escolar: Y = 1 s el chco abandonó la escuela 0 en caso contraro Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 3 -

4 Un modelo de eleccón bnara (o de respuesta bnara) es un modelo de la probabldad de ocurrenca del evento denotado por Y, condconal en un conjunto de varables explcatvas ncludas en el vector (kx1) p Prob(Y =1 ) para = 1,, N Ejemplos: Probabldad que un ndvduo esté empleado dado su nvel educatvo y su experenca laboral preva. Probabldad que un banco quebre dada la composcón de su cartera. Probabldad que un chco deje la escuela dada su edad y las característcas socoeconómcas y demográfcas de su famla. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 4 -

5 Importante notar Como Y toma sólo los valores 1 y 0, la dstrbucón de Y condconal en es Bernoull. Entonces, s denotamos Prob(Y =1 ) p Pr(Y = 0 ) 1 p Y por lo tanto: E[Y ]= 1 p + 0 (1 p ) = p Esperanza condconal de Y V[Y ]= p (1 p ) Varanza condconal de Y Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 5 -

6 El modelo lneal de probabldad Cómo especfcamos la forma funconal de Pr(Y =1 )? Una alternatva sería adoptar una forma funconal lneal: Prob(Y =1 )= K K = Modelo Lneal de Probabldad (MLP) Notar: o E[Y ]= p = = K K Los parámetros pueden ser estmados por MCO, regresando Y en. o V[Y ]= p (1 p ) = (1- ) Heterocedastcdad. o Pr ob( Y = 1 ) k = k El coefcente concde con el efecto margnal. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 6 -

7 Lmtacones del MLP: 1- Genera predccones ncoherentes con una probabldad: Vmos que s Y es una varable bnara la esperanza condconal de Y es una probabldad (E[Y ]=p), entonces debería darse que 0 E[Y ] 1. En el MLP, E[Y ]=. Los estmadores MC de pueden tomar cualquer valor. Por lo general, para certos valores de el MLP genera predccones cuyos valores caen fuera del rango admsble para una probabldad (negatvos o mayores que uno). Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 7 -

8 2- Predce efectos margnales constantes Pr ob( Y = 1 ) k = k El efecto margnal del regresor k-ésmo sobre la Prob(Y=1 ) vene dado por k, que es una magntud constante ndependentemente del valor ncal de x k. Aumentos sucesvos de x k provocarían sempre el msmo cambo en la probabldad, lo que eventualmente llevaría a probabldades negatvas (s k <0) o mayores que uno (s k >0). Para un modelo coherente de la probabldad de certo fenómeno esperaríamos efectos margnales que varíen con el valor de x k. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 8 -

9 Modelos no lneales de probabldad: Logt y Probt Ante estos problemas del MLP, proponemos el sguente modelo no lneal Prob(Y ) = p = F ( K K ) = F( ) para = 1,, N en donde F(.) satsface las sguentes propedades: F(- ) = 0 F( ) = 1 f(z) df(z)/dz>0 Notar: estas propedades son satsfechas por cualquer funcón de dstrbucón acumulada. el MLP corresponde a F( )=, que no está acotada entre 0 y 1. Las varables afectan la probabldad sólo a través del índce lneal. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara - 9 -

10 Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara Dos modelos no lneales alternatvos PROBIT LOGIT F(.) es la dst. acumulada Normal estándar F(.) es la dstrbucón acumulada Logístca = = Φ π ) ( ) ( z dz e F 1 ) ( ) ( e e F + = = Λ Notar que las correspondentes funcones de densdad venen dadas por 2 ) ( ) ( ) ( π φ e f = = y (.)] (.)[1 ) (1 ) ( ) ( 2 Λ = Λ + = = λ e e f

11 Gráfcamente: la altura de las curvas mde la probabldad que ocurra el evento correspondente a Y=1 para cada valor posble del índce lneal. Probt vs. Logt Prob(Y=1 b) b probt logt Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

12 Cómo nterpretar los modelos no lneales de probabldad? El efecto margnal de la varable x k es el cambo en la probabldad de Y=1 ante un cambo margnal en la varable x k. Formalmente: p x k = F( x k ) = k f ( ) Dado que f (.) >0 sempre, el sgno del efecto concde con el del coefcente k, por lo tanto el sgno del coefcente es nterpretable pero no su magntud. Al térmno f (.) se lo suele llamar factor de escala. El efecto margnal de x k no es constante, depende del punto donde se la evalúe (del valor que se fje para cada una de las varables explcatvas ). Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

13 Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara Los efectos relatvos comparan los efectos margnales de dos varables explcatvas. Por ejemplo, para las varables x k y x j, el efecto relatvo vene dado por: j k j k j k f f x p x p = = ) ( ) ( Notar: Los efectos relatvos no dependen del valor de las Los efectos relatvos son constantes

14 El efecto margnal de varables bnaras no puede obtenerse dervando. Supongamos que el modelo de probabldad vene dado por: [ Y = 1, d ] = F( δ d ) Pr K K donde d toma úncamente los valores 0 y 1 (por ejemplo, d puede ndcar el sexo del ndvduo) El efecto de d sobre la probabldad de Y se obtene hacendo: [ Y = 1, d = 1] Pr[ Y = 1, d = 0] Pr = F( K K + δ ) F( K 1 K ) que tambén depende del valor que tomen todas las varables. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

15 Qué valores de las usamos para computar los efectos margnales? Una posbldad: evaluar la dervada en las medas muestrales de las varables. Problema: la meda de las varables explcatvas bnaras no tene ntucón. Otra alternatva es evaluar el efecto margnal para la varable explcatva bnara = 1, por ejemplo, y las demás varables en sus valores medos. El valor que se fje para las varables dependerá del nterés del analsta y del problema en cuestón. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

16 Logt o Probt? S z es logístca, V[z]=π 2 /3 Defnamos w = z / (π 2 /3) 1/2. Luego, V[w]=1. Se puede mostrar que la dstrbucón de w (logístca reescalada) es muy smlar a la normal estándar. En general, los coefcentes que se estman a partr del modelo Logt exceden a los del Probt en (π 2 /3) 1/2 1.8, es decr: L 1.8 P Elegr cualquera de las dos especfcacones Pero las comparacones entre ambas serán váldas sólo s se reescalan los coefcentes. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

17 Gráfcamente: Probt vs. Scaled-Logt Prob(Y=1 b) b probt scaled_logt Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

18 Ejemplo: Evaluacón de metodología de enseñanza Motvacón Analzar s una nueva metodología ddáctca resulta efcaz o no en la enseñanza de la economía. Referencas: Ejemplo 19.1 del lbro Análss Econométrco Tercera edcón de Wllam H. Greene. Muestra Muestra de 32 alumnos de un estudo realzado por Spector and Mazzeo (1980). Ver archvo green.dta Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

19 El modelo Varable dependente bnara: MEJORA: = 1 s el alumno mejoró la nota y 0 s no lo hzo. Varables explcatvas: CM: meda de las calfcacones pasadas del alumno. NP: nota del alumno en un examen prevo al perodo de aprendzaje. PSI: varable bnara que vale 1 s el alumno estudó con el nuevo método ddáctco y 0 s estudó con el método vejo. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

20 Datos: Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

21 Estmacón del Modelo Lneal de Probabldad por MCO. regress mejora cm np ps Source SS df MS Number of obs = F( 3, 28) = 6.65 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = mejora Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] cm np ps _cons NOTA: no se pueden nterpretar los estadístcos t porque el modelo es heterocedástco (se ve en las sguentes clases). Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

22 El efecto del pasado académco sobre la probabldad de mejora, según el MLP Los alumnos con mayores calfcacones promedo en el pasado (CM) tenen mayor probabldad de mejorar con la nueva metodología de enseñanza. Dada la especfcacón lneal del modelo este efecto es constante: la probabldad de mejorar aumenta en 0.46 (aprox.) ndependentemente del tpo de alumno. Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

23 Problema: predccones ncoherentes con una probabldad 1 Predccón de probabldad - MLP Observacón Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

24 Estmacón del modelo Probt. probt mejora cm np ps Probt estmates Number of obs = 32 LR ch2(3) = Prob > ch2 = Log lkelhood = Pseudo R2 = mejora Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] cm np ps _cons Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

25 Predccones de probabldad del Probt 1 Predccón de probabldad - mod Observacón Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

26 Probt: efectos margnales I CM = meda, NP = meda, PSI = meda: Coefcentes Meda B Efectos margnales CM NP PSI Dstrbucón normal estand Factor de escala Ver archvo nterpretacon_probt.xls Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

27 Probt: efectos margnales II (1) CM = meda, NP = meda, PSI = 0: Coefcentes Meda B Efectos margnales CM NP PSI Dstrbucón normal estand Factor de escala (2) CM = meda, NP = meda, PSI = 1: Coefcentes Meda B Efectos margnales CM NP PSI Dstrbucón normal estand Factor de escala EFECTO MARGINAL PARA LA DUMMY PSI Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

28 Estmacón del modelo Logt. logt mejora cm np ps Logt estmates Number of obs = 32 LR ch2(3) = Prob > ch2 = Log lkelhood = Pseudo R2 = mejora Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] cm np ps _cons Efectos margnales Msmo procedmento que con modelo Probt. Ver archvo nterpretacon_logt.xls Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

29 El efecto del pasado académco sobre la probabldad de mejora, según el modelo Probt El efecto es postvo y sgnfcatvo al 5%, gual que lo era en el MLP Pero la magntud del coefcente no es nterpretable. El efecto margnal depende del valor de todas las varables explcatvas. Para un alumno que en el pasado tuvo una calfcacón meda de 3, que obtuvo nota en el examen prevo y que estudó con el nuevo método, la probabldad predcha de mejorar es de Cómo camba esta probabldad a medda que aumenta la calfcacón meda (CM)? - De 3.0 a 3.2 puntos De 3.2 a 3.4 puntos De 3.4 a 3.6 puntos De 3.6 a 3.8 puntos De 3.8 a 4.0 puntos Econometría I 2011 Modelos de Eleccón Bnara

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