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1 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 Las tenologías de la Informaión y Comuniaión apliadas a la enseñanza de las Matemátias Parte III Patriia Cabrera M. Para dar ontinuidad a esta serie de artíulos, que tienen omo objetivo, aportar a nuestros e- un panorama del uso de las TIC s en ada una de las disiplinas que se enseñan en eduaión básia, abordaremos a las Matemátias omo eje de análisis, on una aeramiento desde lo que la organizaión para la Cooperaión y el Desarrollo Eonómios OCDE, nos propone omo niveles de desempeño, abordando el enfoque de enseñanza que nuestro plan y programa de estudio ontiene y aterrizaremos en propuestas onretas desde Red Esolar. En la atualidad la OCDE se ha dado a la tarea de saber hasta qué punto los sistemas eduativos de los países partiipantes (42 en 2003) están preparando a sus estudiantes de 15 años para jugar un papel onstrutivo omo iudadanos partiipes en la soiedad a través de la evaluaión internaional llamada PISA. Para OCDE/PISA la Competenia en Matemátias onierne la apaidad de los estudiantes para analizar, razonar y omuniar efiazmente sus ideas al tiempo que se plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemátios en una variedad de ontextos 1. La evaluaión de OCDE / PISA se onentra en problemas de la vida real que van más allá de las situaiones y problemas que típiamente se enuentran dentro del salón de lase. En el mundo real, las personas se enfrentan freuentemente on situaiones en las uales la apliaión de ténias de razonamiento uantitativo o espaial, así omo de otras herramientas matemátias, puede ontribuir a larifiar, formular o resolver un problema. Este es el aso, por ejemplo, uando las personas van de ompras, viajan, preparan alimentos, revisan sus finanzas personales o tratan de formarse opiniones sobre uestiones de interés polítio, entre otras. El nivel de ompetenia en matemátias de OCDE / PISA se refiere a la medida en la que estudiantes de 15 años pueden ser onsiderados omo iudadanos reflexivos y bien informados además de onsumidores inteligentes. En todo el mundo, las personas se enfrentan a una diversidad ada vez mayor de tareas que involuran oneptos uantitativos, espaiales, probabilístios, et. Por ejemplo, los medios ontienen gran antidad de informaión presentada en tablas, uadros y gráfios sobre temas omo el lima, la eonomía, la mediina, y el deporte, para solo nombrar unos poos. Los iudadanos están sometidos a un bombardeo ontinuo de informaión sobre asuntos tales omo el efeto invernadero y el alentamiento global, el reimiento poblaional, los derrames petroleros en el mar, la desapariión de los bosques nativos. Por último e igualmente importante, las personas enfrentan la neesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenes y buses, realizar transaiones finanieras, et. La ompetenia matemátia de 1 E - / Red Esolar Méxio

2 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 OCDE / PISA se enfoa en la apaidad de los estudiantes de utilizar su onoimiento matemátio para enriqueer su omprensión de temas que son importantes para ellos y promover así su apaidad de aión. OCDE / PISA define de la siguiente manera la ompetenia matemátia: La ompetenia matemátia es la apaidad de un individuo para identifiar y entender el rol que juegan las matemátias en el mundo, emitir juiios bien fundamentados y utilizar las matemátias en formas que le permitan satisfaer sus neesidades omo iudadano onstrutivo, omprometido y reflexivo. El proyeto PISA onsideró las matemátias en relaión on su utilizaión en la vida diaria y evaluó la apaidad de los estudiantes para reonoer e interpretar problemas matemátios; trasladar estos problemas a ontextos matemátios; utilizar los onoimientos y proedimientos matemátios para resolver problemas; interpretar los resultados en términos del problema original; reflexionar sobre los métodos apliados; así omo formular y omuniar los resultados. Ahora miremos lo que el enfoque de enseñanza de las Matemátias del plan y programa de estudio de eduaión básia nos plantea: Para apreiar las matemátias no basta on ontemplar sus resultados, sino que hay que involurarse on ellas, haerse preguntas e intentar responderlas. Así, un aprendizaje signifiativo de las matemátias no puede reduirse a la memorizaión de hehos, definiiones y teoremas, ni tampoo a la apliaión meánia de iertas ténias y proedimientos. Por el ontrario, es neesario que los alumnos aprendan a plantearse y resolver problemas en situaiones que tengan sentido para ellos y les permitan generar y omuniar onjeturas. Los problemas no sólo deben apareer omo apliaiones de proedimientos previamente aprendidos, es onveniente que estén presentes en todas las fases del aprendizaje, omo el ontexto natural donde los onoimientos adquieren sentido y se omprende su utilidad, se introduen nuevas noiones y proedimientos y se aprende a distinguir lo esenial de lo menos importante o superfluo. Un problema es algo más que una oasión para ejeritar los proedimientos aprendidos. O que una situaión interesante, pero sin relaión preisa on los propósitos de la enseñanza. Un problema debe dar a los alumnos la oportunidad de explorar las relaiones entre noiones onoidas y utilizarlas para desubrir o asimilar nuevos onoimientos, los uales a su vez servirán para resolver nuevos problemas. Ésta es, esenialmente, la naturaleza de la atividad matemátia 2. Hoy on las TIC s estamos ante una nueva problemátia pues insertar al interior de esta disiplina la utilizaión de estos reursos plantea, por parte del doente, la neesidad de poner en prátia nuevas estrategias a la hora de pensar e implementar las propuestas del área. Los distintos proesos ognitivos que logra disparar ada herramienta informátia entra neesariamente en relaión on la lógia de ada uno de los ontenidos de la disiplina. Este aspeto es entral en el trabajo a realizar en forma onjunta entre los doentes. Es neesario indagar las posibilidades que trae la informátia on relaión al álulo numério, grafiaión estadístia, porentual, et. El área de la Matemátia reibe, en este sentido, un importante aporte en la medida que existan verdaderos mediadores que logren estrategias de abordaje de la disiplina en olaboraión on la tenología informátia. Como ya se ha menionado, las herramientas poseen 2 Alarón Bortolussi Jesús y otros. Libro para el maestro Matemátias Seundaria. Seretaria de Eduaión Públia. Méxio 2000 pág. 9 E - / Red Esolar Méxio

3 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 lógias operatorias propias que, a la vez, failitan y eonomizan los proedimientos matemátios. Es importante destaar, en este punto, que la omputadora no es mágia ni razona por sí misma; toda operaión que la máquina (en términos tenológios) realiza, lo hae respondiendo a una orden o programaión realizada por el alumno prevista en su elaboraión. Ejemplos en Red Esolar Los alumnos que llegan al Nivel Iniial, generalmente ya han tomado ontato, de alguna manera u otra, on el mundo de la informátia. Los medios masivos de omuniaión, la experienia otidiana, los videojuegos, et, soializan a los hios, quienes ingresan a la esuela on un ierto "sentido omún" que inorpora los valores, estilos, tiempos y ritmos de las nuevas tenologías. Los ontenidos de matemátia se enmaran en ontextos ligados a preguntas que develan uriosidad o bien en situaiones que plantean problemas, omo obstáulos por resolver, de modo tal que inviten a los alumnos a aeptar el desafío de desifrar esas situaiones. En primer lugar, la omputadora trae onsigo un reordenamiento del trabajo al interior del aula que posibilita "nuevos enuentros" entre los alumnos. La neesidad de ompartir una máquina entre varios niños, implia estableer auerdos y normas, respetarlos, y jugar juntos". Los puntos menionados onstituyen pilares de trabajo en el nivel Iniial y atraviesan todas las áreas. Esto debe ser tenido en uenta a la hora de inorporar la informátia a la esuela. Por otro lado, es posible que los niños que ompartan las máquinas, partan de saberes disímiles. Aquellos que estén en ontato on una omputadora en forma otidiana en sus asas, poseerán mayor habilidad en su manejo y mejor onoimiento de las lógias propias. Será interesante aprovehar diha heterogeneidad y propiiar el interambio y la tutoría de los que más saben haia sus ompañeros. (Es neesario tener en uenta que para muhos alumnos la esuela será el únio espaio en el que tendrán aeso a la omputadora). Con relaión a los ontenidos matemátios, si bien los doentes podrán proveerse de una vasta antidad de juegos y atividades que están en el merado, reados diretamente para que los hios aprendan o se ejeriten en los ontenidos del área, deberán tener en uenta que es a ellos a quienes les abe la responsabilidad de evaluar ada uno de los materiales. En muhos asos, si bien están diseñados estétia y armóniamente y resultan divertidos interesantes, pueden no respetar la lógia disiplinar que se intenta "enseñar". Es importante onsiderar, siempre, que detrás de ualquier soporte tenológio existe una lógia, una teoría pedagógia que lo sustenta y sobre la ual fue diseñada la propuesta, analizar y reflexionar sobre esto onstituye una responsabilidad ineludible. E - / Red Esolar Méxio

4 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 En Red Esolar el abordaje de esta disiplina se ha heho desde un apartado llamado Atividades Permanentes, aquí presentamos un enfoque innovador on relaión a lengua y literatura, matemátias, ienia, historia, geografía, eduaión ívia y apreiaión artístia. Inluimos también un apartado dirigido a doentes de eduaión preesolar, en el que tratamos los primeros aeramientos al lenguaje y a los trazos de esritura, así omo una introduión al pensamiento lógiomatemátio de los niños. Esta gama de atividades y estrategias que ofreemos no requieren, por parte del doente o del alumno, alendarizaión ni requisitos de insripión; se adaptan a las neesidades espeífias de la omunidad eduativa (sólo on el uso del CD y sin onexión a Internet), para el trabajo entre grupos de una misma esuela; o los mismos, entre diferentes esuelas. Preesolar Me gusta pensar es un sitio dediado a las profesoras y los profesores de nivel preesolar. El desarrollo del pensamiento lógio en los preesolares es fundamental ya que es la base del pensamiento matemátio que se formará en los siguientes años esolares.aquí enontrarán una serie de atividades o juegos diseñados temátiamente de auerdo a los niveles y a las habilidades que deben promoverse en ada uno de ellos. Si bien estas atividades están lasifiadas en los tres niveles de preesolar, reomendamos que se revisen todas pues, de auerdo al desarrollo del grupo, podrán apliarse a niveles distintos para la formaión del pensamiento lógio, las relaiones geométrias y la numeraión y aritmétia para preesolar Entre las atividades propuestas se enuentran aquellas que abordan:orrespondenia, simetría, pertenenia, orientaión en el espaio, diseño on figuras, inlusión, rellenado, proporiones entre figuras, esalas numérias asendentes y desendentes, números pares e impares. Si bien es neesario revisar este tipo de ejeriios que benefiian el afianzamiento oneptual, es impresindible proponer también tareas que permitan a los alumnos la onstruión onsiente y reflexiva de oneptos a través del trabajo ompartido, la identifiaión del error en forma la analítia y la revisión del mismo a través de la tarea onjunta on ompañeros y doentes. Primaria y Seundaria En Red Esolar el abordaje de estos niveles se hae desde dos sitios Matemátias sin números y Telar de pensamiento matemátio. En el primero no es que no existan los números sino que se trata de explorar su utilidad en relaión on los problemas que permiten resolver, aerándose a los diferentes usos de los mismos, por lo que su estrutura tiene seis opiones que orresponden a las diferentes ejes de la misma disiplina : Lugares aritmétios, geométrios y algebraios Imagina y razona De nombres y expliaiones Anédotas uriosidades y vidas de matemátios El orden del aos Algo más Todos ellos ontienen propuestas desde 1o de primaria, pasando por seundaria e inluso ontenidos para padres de familia y profesores. E - / Red Esolar Méxio

5 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 Para dejar más laro presentamos una propuesta 3 H a g a m o s u a d r a d o s.. m á g i o s Las atividades que se presentarán más adelante están pensadas para estudiantes a partir de terero de primaria, de auerdo a la respuesta que se vaya obteniendo se puede ir avanzando en los distintos grados de difiultad propuestos. El jugar on uadrados mágios es muy divertido, pero además permite desarrollar en los oneptos y habilidades: niños los siguientes - El onepto de orden en los números naturales - Pratiar las operaiones aritmétias básias - Estableer relaiones numérias 3 Tomada de la página E - / Red Esolar Méxio

6 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 - Determinar y rear patrones - Desarrollar estrategias para la resoluión de problemas - Generalizar - Entender, desarrollar y apliar distintos proesos de razonamiento Q u é.. e s.. u n.. u a d r a d o.. m á g i o? Un uadrado mágio es una uadríula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se aomodan iertos números que umplen que la suma de ualquier renglón, la suma de ualquier olumna y la suma de ualquiera de ualquiera de las dos diagonales es siempre la misma. C u á l e s.. s o n.. l o s.. n ú m e r o s.. q u e.. s e.. d e b e n a o m o d a r.. e n.. u n.. u a d r a d o.. m á g i o? Si el uadrado es de 3 x 3, entones tendrá 9 asillas y los números que se aomodan en él son todos los números del 1 al 9 Si el uadrado es de 4 x 4, entones tendrá 16 asillas y los números que se aomodan en él son del 1 al 16 En general, si el uadrado es de n x n, entones tendrá n uadrada asillas y los números que aomodaremos en él serán del 1 a n². P r o p i e d a d e s.. d e.. l o s.. u a d r a d o s.. m á g i o s El orden de un uadrado mágio es el número de renglones o el número de olumnas que tiene. Así un uadrado de 3 x 3 se die que es de orden 3. Al sumar los números de ualquier renglón, ualquier olumna o ualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama onstante mágia. Hay muhas maneras de enontrar la onstante mágia: E - / Red Esolar Méxio

7 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 a. Si se onoe el uadrado mágio basta sumar ualquier renglón o olumna o diagonal. b. Si el uadrado no se onoe, una manera es sumar todos los números que se oloarán en el uadrado y dividir el resultado entre el orden de éste. Por ejemplo: en un uadrado mágio de orden 3 los números que se oloarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Otra manera de alular la onstante mágia de un uadrado mágio es aomodar en la uadríula los números que se van a utilizar en su orden natural (no en forma de uadrado mágio) y sumar los números de ualquiera de las diagonales; el resultado será la onstante mágia de ese uadrado. d. En general la fórmula para enontrar la onstante mágia de un uadrado mágio de orden n es: n ( n² + 1 ) 2 n³ + n 2 Esto quiere deir que: En un uadrado mágio de 3 x 3 debemos aomodar todos los números del 1 al 9 de manera que la onstante mágia sea 15. En un uadrado mágio de 4 x 4 debemos aomodar todos los números del 1 al 16 de manera que la onstante mágia sea 34. En un uadrado mágio de 5 x 5 debemos aomodar E - / Red Esolar Méxio

8 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 todos los números del 1 al 25 de manera que la onstante mágia sea 65. Y así suesivamente. A t i v i d a d e s Para que a los niños les sea más fáil trabajar se pueden imprimir las siguientes figuras, pedirles que las reorten y que vayan oloando los números sobre la uadríula. También pueden resolverse las atividades dibujando los uadrados mágios En todas las atividades que se proponen a ontinuaión es importante pedir a los estudiantes que omparen sus soluiones: Si no son iguales: Todas son iguales? En qué se pareen? En qué son distintas? Hay alguna manera espeial de aomodar los números para que el uadrado sea mágio? Hay varias maneras de transformar un uadrado mágio en otro. Aquí te mostramos dos de ellas... Primera forma: E - / Red Esolar Méxio

9 e REVISTA/No. 04/diiembre Toma el uadrado mágio hino "lo-shu". 2. Piensa en el número que tú quieras. 3. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplíalo on ada uno de los números del uadrado original, aomodando los resultados en los mismos lugares. El uadrado que queda también es mágio. E j e m p l o s a uadrado "lo-shu" b uadrado "lo-shu" uadrado "lo-shu" Se multiplia ada número del original por A ada número del uadro original se le resta A ada número del uadro original se le suma 6 Atividades a partir de uarto de primaria: - Transforma el uadrado mágio "lo-shu" en los uadrados mágios que tú quieras. - Cuál es la onstante mágia en ada uno de los uadrados nuevos? - Funiona este método on fraiones o on deimales? Segunda forma: 1. Piensa en un número ualquiera. 2. Esríbelo en la parte superior izquierda de una hoja. 3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán sumando al número que tenías esrito en la hoja, E - / Red Esolar Méxio

10 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 uno de manera horizontal y el otro de manera vertial hasta obtener nueve números distintos. 4. Haz una lista on estos números ordenándolos de menor a mayor. 5. Esribe el uadrado mágio "lo-shu" y sustituye sus números on los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el terero en el lugar del 3 y así suesivamente hasta que ompletes el nuevo uadrado. El uadrado que queda también es mágio. 1. y E j e m p l o , 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, Este uadrado mágio fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muhísimas propiedades: E - / Red Esolar Méxio

11 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 - Cada renglón suma Cada olumna suma La primera mitad de ualquier renglón suma La segunda mitad de ualquier renglón suma La primera mitad de ada olumna suma La segunda mitad de ada olumna suma Los uatro números de las esquinas más los uatro números del entro suman La suma de los uatro números de ualquier uadrado de 2 x 2 es Los uatro números de una diagonal que sube más los uatro número de la diagonal respetiva que baja suman 260 Podrías enontrar más propiedades de este uadrado mágio? Este es un uadrado mágio hino de 6 x 6 que fue inventado hae 400 años. E - / Red Esolar Méxio

12 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 Intenta onstruir otro uadrado mágio de 6 x Soluiones Continúa on: Ahora si, a jugar!!! Un poo de historia de los uadrados mágios... Atividad Interativa Qué se debería aprender en los grados intermedios? Lo que podemos observar en el ejemplo es un enfoque para que el alumno desarrolle ompetenias on respeto al manejo espaial y a la apaidad de expresar las relaiones que estableen las figuras y los uerpos en el espaio y por otro lado tenga aeso a otra informaión relaionada on la historia y atividades interativas. Resaltan las siguientes atividades que el alumno realiza: omprender el mensaje; E - / Red Esolar Méxio

13 e REVISTA/No. 04/diiembre 04 ejeutar una tarea on indiaiones puntuales; revisar lo realizado volviendo a esuhar las instruiones, orregir; y, finalmente desubrir la figura lograda y ompararla on la imagen lograda por su ompañero que fue siguiendo las mismas instruiones; un segundo paso podría onsistir en la grabaión, por parte de los mismos alumnos, de las onsignas para guiar a sus ompañeros, tarea que involura la apaidad de omuniaión efetiva y lara y, desde lo dinámio, la posibilidad de interambiar on ompañeros v onvertirse mutuamente en olaboradores. Las posibilidades dinámias y de relaión grupal que abre el trabajo de varios alumnos on una misma omputadora, serán trabajadas espeífiamente en otro de los puntos. Se trata de un aspeto de eran importania ya que atraviesa todo el trabajo informátio desde la implementaión y abre nuevos aminos para pensar el interambio, el trabajo olaborativo y fundamentalmente la onsideraión de la heterogeneidad. En relaión on las lógias implíitas en los reursos que se utilizan en las atividades desritas y la relaión que pueden estableer on la lógia de la Matemátia, es posible pensar en la neesidad de exatitud, tanto en el mensaje hablado omo en el trazado de las líneas que vayan onfigurando la figura final. Esto impliará laridad y preisión en la expresión, manejo fluido de las noiones de literalidad, arriba, abajo, habilidad motriz en el trazado, respeto por los pasos a seguir en el programa, para elegir el tamaño) y grosor de la línea, ubiaión y direión de la mirilla, entre otras. En uanto al Telar de pensamiento matemátio el objetivo de este espaio, es presentar temas de matemátias ya preparados para que los profesores y profesoras puedan usarlos al dar sus lases. Cada tema está estruturado on preguntas o atividades que irán guiando al alumno y lo llevarán a entrarse en los oneptos más importantes del tema. Al mismo tiempo, una serie de preguntas dirigidas a los profesores permitirán que éstos puedan reflexionar sobre la enseñanza de diho tema y sobre las habilidades y el tipo de pensamiento matemátio que el alumno neesita desarrollar para llegar a omprenderlo. Cada tema ontiene una artilla de autoevaluaión para los alumnos. Esta artilla está diseñada para que los estudiantes puedan valorar, por sí solos, si ha habido un aprendizaje signifiativo en los oneptos en uestión. La artilla debe llenarse antes de iniiar el estudio del tema, a la mitad de la exposiión y uando el tema se onsidere ompletamente expliado. Al final ada estudiante, al omparar las tres evaluaiones, obtendrá sus onlusiones. Los maestros de matemátias de un mismo plantel pueden, si así lo desean, reunirse a disutir sobre la presentaión de ada uno de los temas y sobre las preguntas dirigidas a los profesores. Se abre un foro ada dos semanas on una lase diferente para disutir entre todos estrategias de la enseñanza de las matemátias. Se trata de un trabajo relaionado on el pensamiento lógio matemátio unido a la posibilidad de expresar verbalmente problemas y relaiones a partir de datos provenientes de la realidad lejana o inmediata. Las herramientas a utilizar en este trabajo proponen al alumno el desafío de respetar, ategorizar, plantear preguntas a partir de informaión, respetar el orden jerárquio, manejarse on preisión y datos reales. Conlusiones La matemátia ontribuye en forma privilegiada al desarrollo individual y soial de los individuo, propiiando la búsqueda de la verdad, el juiio rítio, el rigor en el método de trabajo, la presentaión honesta de resultados, la simpliidad y exatitud en el lenguaje, la valorizaión de las ideas ajenas y del trabajo ompartido. Estas primeras aproximaiones promoverán la onfianza en el alumno para resolver situaiones problemátias. Las atividades que el doente proponga deberán tender a plantear obstáulos aordes on las posibilidades de los alumnos, y al mismo tiempo, desafiar los límites de lo aprendido para que los alumnos onozan más. La estrategia que estableza ada doente será fundamental para que la informátia sea aprovehada genuinamente y preste un verdadero serviio al área. Desde este punto de vista será entral, en la apaitaión, el trabajo que permita desubrir las posibilidades que presenta ada una de las herramientas y «viveniar» la utilidad de las mismas en el trabajo matemátio. Existen otras diversas opiones que podríamos presentar para el tema que nos oupa omo el manejo de bases de datos o el uso amplio de hojas de álulo pero eso lo tratamos ampliamente en los ursos en línea que Red Esolar tiene. E - / Red Esolar Méxio

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