Trabajo Especial de Licenciatura en Física:

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1 Trabajo Especial de Licenciatura en Física: Datos iniciales axisimétricos para colisiones binarias en la clase conforme con invariante de Yamabe positivo Gastón A. Avila Director: Dr. Sergio Dain Facultad de Matemática Astronomía y Física Universidad Nacional de Córdoba Marzo de

2 Resumen Se construye una variedad 3-dimensional y se dene sobre esta una métrica riemanniana axialmente simétrica que, dependiendo de un parámetro d, puede interpretarse como conteniendo dos agujeros negros de tipo Kerr. Mostrando que el escalar de curvatura de Ricci es positivo para valores grandes del parámetro d, se obtiene la positividad del invariante de Yamabe. Esto hace posible la utilización de esta construcción en el método conforme, como métrica de fondo, para generar datos iniciales para las ecuaciones de evolución de Einstein. Luego se muestra una segunda construcción axialmente simétrica con características similares, pero con la ventaja de permitir una generalización para espines en direcciones arbitrarias. Clasicación q Classical General Relativity Ex Initial value problem, existence and uniqueness of solutions Palabras Clave: Problema de Cauchy, Invariante de Yamabe, Agujeros Negros 2

3 Índice 1. Introducción Formulación de Valores Iniciales El Método Conforme El invariante de Yamabe Descripción de la Construción Preliminares Métricas de Brill Construcción de la métrica suma tipo A Escalar de Curvatura de H A ij Aplicación a un dato inicial para dos agujeros negros Construcción de la métrica suma tipo B Escalar de Curvatura de H B ij Aplicación a un dato inicial axisimétrico para dos agujeros negros Conclusión 19 A. Apéndice: Espacio-Tiempo de Kerr 19 A.1. Métrica inducida A.2. Detalles de u, R y A A.2.1. Schwarzschild a = A.2.2. Kerr no extremo 0 < a < m A.2.3. Kerr Extremo a = m

4 1. Introducción A diferencia de las ecuaciones diferenciales en las que la geometría del espacio tiempo debe ser especicada a priori (por ejemplo las del campo electromagnético o el campo escalar), las ecuaciones de Einstein la involucran de una manera esencial: la geometría resulta como la solución del problema. Esta geometría viene dada por una variedad V sobre la que se dene una métrica Lorentziana g ab. Se tiene una solución si se cumple R ab 1 2 Rg ab = 8πT ab (1) donde R ab es el tensor de Ricci, R el escalar de curvatura asociados a la métrica g ab y T ab es el tensor de energía momento. Aun cuando se conocen familias de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein, estas carecen de libertad suciente para modelar algunos de los escenarios de interés astrofísico. Un ejemplo son las soluciones de Kerr-Newmann, en las que los parametros de la familia son M, a y e. Estas soluciones pueden interpretarse como agujeros negros estacionarios y serán importantes en lo que sigue de este desarrollo (en particular la subfamilia con e = 0, Kerr).[13] Solo es posible resolver en forma explícita los más simples de los sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Los que no pueden resolverse exactamente se enfrentan en muchos casos utilizando métodos numéricos. Por su complejidad y no-linealidad, este es el caso de la relatividad general en cuanto se intenta prececir el comportamiento de algunas situaciónes astrofísicas. Uno de los desafíos que enfrenta la relatividad numérica actual es lograr modelar y simular espacio-tiempos que puedan interpretarse como situaciones dinámicas y físicamente aceptables en que se produzca radiación gravitacional. Las colisiones de objetos supermasivos son candidatas a emitir esta radiación y constituyen el objeto del presente estudio Formulación de Valores Iniciales La formulación de valores iniciales o problema de Cauchy de la teoría de la gravitación de Einstein consiste en su interpretación como un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de evolución. Para ello la identicación de los datos iniciales que resultan en soluciones es crucial. Un dato inicial (S, h ij, K ij ) para las ecuaciones Einstein de vacío consiste de una variedad 3-dimensional S dotada de una métrica riemanniana h ij y 4

5 un tensor simétrico K ij satisfaciendo las llamadas ecuaciones de vínculo R ( K ij hij ) 2 + K ij Kij = 0 (2) D j Kij D i ( K ij hij ) = 0 (3) donde R es el escalar de Ricci y D es la derivada covariante ambos respecto de la métrica h ij. Las ecuaciones (2) y (3) son las ecuaciones de Gauss-Codazzi y expresan condiciones necesarias y sucientes para que ( h ij, K ij ) sean la métrica y la curvatura extrínseca de S como subvariedad de V. [2] 1.2. El Método Conforme El objetivo es distinguir en las ecuaciones de vínculo que porciones de un dato inicial pueden prescribirse arbitrariamente y resolver el sistema resultante para las demás cantidades involucradas. Además de restringir nuestra atención a soluciones de vacío, consideraremos como hipótesis adicional que la curvatura extrinseca de S tiene traza nula, es decir K ij hij = 0. Inicialmente propuesto por Lichnerowicz [11], este método consiste en trabajar en la clase equivalente de métricas conformemente relacionadas a h ij, es decir h ij = φ 4 hij φ > 0 (4) y considerar a h ij como especicable libremente. Esta descomposición transforma a la ecuación de vínculo (2) en una equación elíptica para el factor conforme, φ 1 8 Rφ K ij Kij φ 5 = 0 (5) donde las cantidades denotadas con un tilde se referirán en lo que sigue a propiedades de métrica h ij, más pecisamente = D i Di es el laplaciano y R el escalar de curvatura de Ricci. Existe una variedad de métodos para construir un tensor simétrico K ij que resuelva, junto con h ij, las ecuaciónes de vínculo. El más general de ellos, propuesto por York en [14], está basado en una descomposición de tensores simétricos en tres componentes: transversal y sin traza, longitudinal y escalar. Resulta adecuada al presente estudio porque desacopla las ecuaciones de vínculo y permite el tratamiento de (2) en forma independiente la curvatura extrinseca [4]. Se dene una curvatura extrínseca conforme Ãij mediante K ij = φ 10 Ã ij ; Kij = φ 2 Ã ij (6) y se obtiene como resultado una versión simplicada de la llamada ecuación de Lichnerowicz φ 1 8 Rφ + 1 8ÃijÃij φ 7 = 0 (7) 5

6 Nos referiremos a las variables libremente especicables en este método como dato de York. En nuestro caso, esto es una métrica de fondo h ij y un tensor transversal y sin traza Ãij. Otro método que, aunque menos general que el anterior, es aplicable al presente caso, involucra la especicación de la curvatura extrínseca en un dato inicial con simetría axial [5] [6]. La ventaja en este caso es que no es necesario resolver ninguna ecuación, lo que reduce la complejidad de la construcción El invariante de Yamabe El problema en geometría diferencial que tiene como objeto la busqueda de una métrica que tenga curvatura escalar constante dentro de una clase conforme es conocido como el Problema de Yamabe [10]. En el caso en que la variedad (S, h ij ) considerada es compacta, se dene el invariante de Yamabe como λ h = ínf f C (S) f 0 S 8 f 2 + R( h)f 2 dv h f 2 L 6 (8) donde dv h, y R( h ij ) son el elemnto de volumen, la conexión y la curvatura escalar respecto de la métrica h ij. Además f L 6 = ( f 6 1/6 dv h) y el ínmo S es respecto de las funciones innitamente diferenciables C (S) que no son identicamente nulas. La solución al problema de Yamabe muestra que (S, h ij ) está en la misma clase conforme que (S, h ij ), con curvatura escalar constante R(h), si el signo de esta constante coincide con el de λ h. Se a demostrado una conexión interesante de este problema con el anáisis de la ecuación de Lichnerowicz (7), en cuanto a la existencia y unicidad de soluciones. En [9], se detallan las conclusiones de las investigaciones para variedades compactas, completamende caracterizadas de esta manera. La situación para variedades no compactas es diferente. En el caso especial en que la variedad es asintoticamente euclidea (AE) (vease [3] para una denición de esta propiedad) se tiene el resultado de Maxwell [12] en que se demuestra que una variedad AE (S, h ij ) puede, mediante una transformación conforme, llevarse a una variedad (S, h ij ) con curvatura escalar nula si y solo si λ h = ínf f Cc (S) f 0 S 8 f 2 + R( h)f 2 dv h f 2 L 6 (9) donde Cc (S) son las funciones innitamente diferenciables con soporte compacto en S. 6

7 Este resultado puede ser utilizado para demostrar que existe la solución a (7) en el caso AE si y solo si λ h > 0 2. Descripción de la Construción En lo que sigue se describen dos contrucciones de variedades (S, H ij ) que tienen escalar de curvatura positivo. En ambos casos, la variedad utilizada es S = R 3 \ {s 1, s 2 } Estas observaciones y el lema 4.1 del trabajo de Cantor y Brill [1] permiten asegurar la positividad del invariante de Yamabe asociado, λ H ínf f Cc (S) f 0 S 8 f 2 dv H f 2 L 6 (S) 1 C C > 0 (10) y consecuentemente la existencia de una solución a la ecuación de Lichnerowicz para el factor conforme. Luego H ij = φ 4 Hij es una solución para las ecuaciónes de vínculo y puede utilizarse en un dato inicial Preliminares Si dos métricas están relacionadas por una transformación conforme de la forma h ij = ψ 4 h ij, entonces se tiene R hψ 5 = (R h 8 h ) ψ (11) donde R h y R h son las curvaturas escalares de h ij y h ij respectivamente y h es el laplaciano (con autovalores negativos) respecto de h ij. Nota: El signo es el opuesto al utilizado en [10, eq.(2.1)] 2.2. Métricas de Brill Denominaremos a una métrica de Brill si puede escribirse de la forma h ij = A(dρ 2 + dz 2 ) + ρ 2 dφ 2 (12) con A := A(ρ, z) y A > 0. Para asegurar la regularidad en el eje z se consideran funciones A tales que A ρ=0 = 1 y ρ A ρ=0 = 0. El escalar de curvatura de una métrica de Brill resulta R h = ln(a) A 7 (13)

8 donde es el laplaciano plano respecto de ρ y z, es decir = ρ 2 + z 2 Una propiedad importante del escalar de curvatura de las métricas de Brill es que no tiene signo denido, como consecuencia de la siguiente integral R h dv h = 0 (14) R 3 Esto se deduce utilizando el teorema de la divergencia, de las condiciones para A en el eje ρ = 0 y su decaimiento en innito [8]. El laplaciano h correspondiente a esta métrica es h = 1 A [ R 3 + ( A 1 ρ 2 ) 2 φ Si se dene, a partir de una métrica de Brill, una nueva métrica h ij = ψ 4 h ij ] (15) y si además el factor conforme ψ es independiente de φ, la aplicación de las identidades (13) y (15) en la ecuación (11) adquiere la forma R hψ 5 = R h ψ 8 A R3ψ (16) 3. Construcción de la métrica suma tipo A (1) (2) Partiendo de dos variedades S 1 y S 2 dotadas de métricas h ij y h ij respectivamente, es posible construir una nueva variedad S y una métrica H ij que representen, en cierta medida, una suma o superposición de las originales. Si las variedades originales tienen simetría axial, es posible descomponer sus métricas mediante factores conformes ψ k y métricas de Brill h (k) ij = ψkh 4 (k) ij k = 1, 2 (17) Una posible construcción surge de denir una nueva métrica de Brill con A = A 1 A 2, donde los factores A k provienen de las h (k) ij y son desplazados mediante un cambio de coordenadas A 1 (ρ, z; d) := A 0 1(ρ, z + d/2) A 2 (ρ, z; d) := A 0 2(ρ, z d/2), de manera que la nueva métrica depende del parámetro d. Se obtiene H ij = [A 1 (ρ, z; d)a 2 (ρ, z; d)] (dρ 2 + dz 2 ) + ρ 2 dφ 2 (18) 8

9 Finalmente puede construirse otra métrica, denotada con un tilde, utilizando un factor conforme Ψ = ψ 1 + ψ 2 1 construido a partir de los factores conformes originales mediante una transformación de coordenadas idéntica a la anterior, para obtener H ij = (ψ 1 + ψ 2 1) 4 { A 1 A 2 (dρ 2 + dz 2 ) + ρ 2 dφ 2} (19) En el caso en que las componentes de la métrica A i sean tales que cada función 1 A i sea de soporte compacto, resulta evidente que siempre es posible elegir un parámetro d sucientemente grande y obtener una variedad que consiste de dos regiones separadas, cada una de estas provistas de una métrica idéntica a una de las originales. Aun cuando las funciones A i no tienen soporte compacto en nuestra aplicación, estas decaen a la unidad al alejarse de una región compacta, y el parámetro d representará de igual forma la separación 3.1. Escalar de Curvatura de H A ij Si se aplica la denición de Ψ y la ecuación (11) a la curvatura escalar R H de la métrica H ij se obtiene R HΨ 5 A = 8 R 3 (ψ 1 + ψ 2 1) + (ψ 1 + ψ 2 1)AR H (20) y como H ij también es una métrica de Brill, se tiene además AR H = A 1 R 1 + A 2 R 2 (21) donde R k son las curvaturas escalares de las métricas h ij. Deniendo u k = ψ k 1 R k = R h(k) y utilizando (16) puede escribirse la ecuación (20) como R H = ψ5 1A 1 Ψ 5 A ( R 1 + R ) 1 u ψ ψ5 2A 2 Ψ 5 A ( R 2 + R ) 2 u ψ2 5 1 (22a) (22b) (23) Una posibilidad para el análisis de esta ecuación consiste en disponer dos sistemas de coordenadas polares esféricas centrados en los puntos ρ = 0 z = ±d, denotados respectivamente por x 1 y x 2. De esta manera pueden utilizarse las características de las métricas h (k) ij originales. 9 como funciones de sus coordenadas

10 3.2. Aplicación a un dato inicial para dos agujeros negros Considérese el caso particular de la construcción anterior en que se eligen dos espacio-tiempos de Kerr, caracterizados por constantes m k y a k. Estos (k) inducen métricas riemannianas h ij en las subvariedades t = cte de las coordenadas de Boyer-Lindquist. Estas subvariedades son del tipo y la variedad S utilizada es S i = R 3 \ {s i } S = R 3 \ {s 1, s 2 } donde los s i son puntos de R 3. Cada una de estas métricas puede expresarse precisamente como se muestra en la ecuación (17) y las características de las funciones que resultan se detallan en el Apéndice. Debe notarse que las propiedades de la descomposición particular elegida garantiza que la nueva métrica está bien denida. Más precisamente, ψ i > 1 = Ψ > 1 y A ρ=0 = 1; ρ A ρ=0 = 0 El que sigue es el resultado principal de esta sección. Teorema 3.1. Existe un valor d c R + tal que la construcción (S, H ij ) satisface R H 0 d > d c donde H ij está denido por la ecuación (19) y resulta de utilizar dos espaciotiempos de Kerr con a k m k Para la prueba se analizarán las dos expresiones de la ecuación (23) encerradas en paréntesis, a las que llamaremos K k para k = 1, 2. Durante el análisis se considerará solo uno de los K k (el término K 1 ) en un sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ) centrado en x k ; la extensión del argumento al segundo término es inmediata. K 1 = R 1 + R 1 u ψ1 5 2 (24) La prueba consiste de dos pasos: 10

11 Existencia de una región compacta E, independiente del parámetro d, tal que K 1 > 0 en su exterior Existencia de un valor del parámetro d tal que K 1 > 0 dentro de E Se omitirá la dependencia trivial en φ en lo que sigue y se utilizarán coordenadas cilíndricas o esféricas cuando sea conveniente, asumiendo las relaciones usuales entre ellas. Los siguientes lemas enuncian propiedades especícas de esta construcción. Lema 3.2. R k 0 en S k y se cumple la igualdad R k = 0 solo en ρ = 0 para k = 1, 2 Demostración. La primera armación es inmediata si se considera que en una supercie t = cte del espacio-tiempo de Kerr en coordenadas de Boyer- Lindquist se tiene K (k) ij = K (k) h (k) ij = 0. La ecuación del vínculo hamiltoniano resulta R k = K (k) ab K ab (k) 0 Las características especiales de las mismas hipersupercies permiten expresar el cuadrado de la curvatura extrinseca mediante un potencial Y (vease [7][8]) de la siguiente forma K ab Kab = a Y a Y 2Aρ 4 ψ 12 (25) donde el denominador de esta expresion es positivo denido fuera de ρ = 0. El numerador representa el cuadrado del gradiente del potencial Y en el plano ρz con la métrica plana. Resulta una suma de dos expresiones denidas positivas, por lo que es necesario considerar los lugares donde ambas se anulan simultaneamente. Un cálculo explicito revela ( 2ma sin a 3 ) 2 { (θ) (2a Y a Y = 2 sin(θ) cos(θ) r ) 2 + rσ 2 + ( 3 r 4 + a 2 r 2 + a 2 cos 2 (θ)( r 2 a 2 ) ) 2 } (26) El primer término dentro de la llave tiene como posibles candidatos a zeros θ = 0, π/2, π y un valor particular de r en el que la función se anula. De estos, solo θ = 0 y θ = π logran anular la expresión completa. De esto se deduce que solo en ρ = 0 se tiene R = 0. 11

12 Considerese ahora la siguiente expresión para K 1 en términos de una suma de sus partes con signo denido: K = K + + K K = mín{0, K} K + = máx{0, K} Lema 3.3. K1 tiene soporte compacto E que no contiene a ρ = 0 Demostración. (1) Caso a < m: Si la métrica h ij proviene de un espacio-tiempo de Kerr no extremo, las características de la función R 1, detalladas en las ecuaciones (69), permiten armar que existen constantes r <, r > y ρ 0 tales que R 1 > 0 fuera de un compacto E dado por E = {(r, θ, φ) / r < r < r + ρ 0 < ρ} (27) Este compacto, que se muestra esquemáticamente en la Figura 1, consiste del espacio que se encuentra entre dos esferas con radios r < y r >, del que se excluye un cilindro de radio ρ 0 alrededor del eje z. Esta observación, y el hecho de que ψ es siempre mayor a la unidad, permiten garantizar la positividad de R 1 /ψ 5 fuera del compacto E. Además la función u 2 es positiva en S y la función R (1) 1, que representa la curvatura de h ij, es positiva en S excepto en el eje z, donde se anula, como se pueba en el Lema 3.2. Esto es lo que hace necesario extraer un cilindro del compacto E. Por lo tanto K 1 0 en el espacio exterior al compacto E. (1) Caso a = m: Si la métrica h ij proviene de un espacio-tiempo de Kerr Extremo, es necesario redenir el radio interior r < del compacto E. Utilizando las expansiones de R h y ψ para r << 1, puede obtenerse la siguiente expresión para R 1 /ψ1 5 y para R 1 cerca del origen R 1 u ψ1 5 2 = 4(3 cos2 (θ) 1) m 2 1(1 + cos 2 (θ)) 3 2 sin R 2 (θ) 1 = m 2 (1 + cos 2 (θ)) ( 1 + cos 2 (θ) 4m 2 1 ) 1/4 m 2 r +O (r) (28) 2d +O (r) (29) La primera expresión solo resulta negativa cuando cos 2 (θ) < 1/3 y la segunda es positiva excepto en θ = 0, π, donde se anula. Como la primera expresión es de orden r 1/2, siempre existe un r < tal que sumadas sean positivas para todo θ [0, π]. 12

13 z ρ 0 r > E ρ r < Figura 1: Una sección φ = cte del compacto E. Es importante notar que las condiciones con que se denió al compacto E solo mejoran cuando se toma un parámetro d más grande, lo que resulta esencial para el resto del argumento. En lo que sigue se prueba el teorema 3.1. Demostración. Lo que se descibió anteriormente como el primer paso el la prueba, queda garantizado por el Lema 3.3. El segundo paso consiste en observar que, dentro del compacto E, la función R 1 puede tomar valores negativos (de hecho se verica que lo hace). Como las funciones involucradas son continuas dentro de E, alcanzan sus extremos en este compacto, es decir, existen Además se tiene mín x E mín x E ( R1 ψ 5 1 ) = [ R1 ψ 5 1 ] < 0 R 1 = R 1 > 0 máx x E (u 2) = u + 2 (d) > 0 K 1 > R 1 + [ R1 ψ 5 1 ] u + 2 (d) (30) 13

14 y la función u + 2 (d) tiende a cero cuando se hace crecer el parámetro d. Es por esto que existe d 1 tal que K 1 > 0 dentro del compacto E, y por lo tanto en S, cuando d > d 1 El mismo análisis es valido para K 2, por lo que existe un valor para el parámetro d c máx (d 1 + d 2 ) tal que d d c R H 0 x S (31) 4. Construcción de la métrica suma tipo B Una alternativa a la construcción anterior, que resulta atractiva por permitir una generalización para espines en direcciones arbitrarias, consiste en utilizar en lugar de la métrica (18) el siguiente procedimiento: Sea S la misma variedad utilizada en la construcción A y δ ij una métrica plana en R 3. Se disponen dos sistemas de coordenadas cilíndricas, centrados cada uno en los puntos extraidos {s 1, s 2 }, pero orientados en direcciones arbitrarias. Se denen ahora las 2-formas asociadas a cada uno de esos sistemas de coordenadas [dρ 2 + dz 2 ] (k) y la nueva métrica H B ij := δ ij + f (1) [dρ 2 + dz 2 ] (1) + f (2) [dρ 2 + dz 2 ] (2) (32) donde se denen las funciones f (k) f (k) := A k (ρ, z; d) 1. (33) con las coordenadas ρ y z asociadas a cada sistema en forma separada. Finalmente se utiliza a Ψ como el mismo factor conforme que se usó en el caso A: Ψ = ψ 1 + ψ 2 1 donde cada ψ k depende solamente de las coordenadas cilíndricas centradas en s k obteniendose H B ij := (ψ 1 + ψ 2 1) 4 { δ ij + f (1) [dρ 2 + dz 2 ] (1) + f (2) [dρ 2 + dz 2 ] (2)} (34) 4.1. Escalar de Curvatura de H B ij Si se procede de manera análoga al caso A, puede obtenerse la siguiente expresión para el escalar de curvatura de la métrica H B ij, R B HΨ 5 A B = ψ 5 1A 1 ( R 1 + R ) ( 1 u ψ ψ2a R 2 + R ) 2 u ψ V 1 + V 2 + ΨD (35)

15 donde se utilizaron las siguientes deniciones: D := A B R H A 1 R 1 A 2 R 2 (36) V i := 8 (A H A i h i) ψ i (37) 4.2. Aplicación a un dato inicial axisimétrico para dos agujeros negros A continuación se prueba un resultado idéntico al obtenido en la construcción A, es decir, que la curvatura escalar de la métrica construida H B ij es positiva para valores del parámetro d mayores a un cierto d c. La nueva métrica se reduce, en el caso axisimétrico, a una del tipo de Brill H B ij : = δ ij + f (1) (dρ 2 + dz 2 ) + f (2) (dρ 2 + dz 2 ) (38) = A B (dρ 2 + dz 2 ) + ρ 2 dφ 2 (39) en la que la función A B está denida por A B : = ( 1 + f (1) + f (2)) = A 1 + A 2 1 (40) Esto hace posible utilizar algunos de los resultados anteriores. En lo que sigue debe notarse una diferencia con la construcción anterior: solo deben considerarse valores del parámetro d que resulten en una métrica positiva denida, es decir, tales que A B > 0. Al respecto se tiene el siguiente resultado preliminar: Lema 4.1. P tal que 0 < P < 1/4 existe d p tal que d d p se tiene P < A B < 1 en S Demostración. Si se considera a la función A 1 < 1 en el eje z, para valores de r 1 >> 1 y r 1 << 1, es posible garantizar la existencia de un compacto tipo manzana M 1 tal que en su exterior se cumple que α 1 < A 1 α 1 < 1 Además se tiene la desigualdad 1/4 < A 2 < 1 en S, que implica α 1 3/4 < A 1 + A 2 1 < 1 fuera de M 1 y por lo tanto, para todo 0 < p 1 < 1/4, puede encontrarse un M 1 tal que p 1 < A B < 1 15

16 fuera de M 1. Si se repite la construcción para la función A 2 se obtiene de la misma manera, dado p 2 < 1/4, un compacto M 2 tal que en su exterior p 2 < A B < 1 Finalmente, existe un d c tal que d d c, la unión de los exteriores de M 1 y M 2 es igual a S, con lo que se obtiene el resultado deseado. Las nuevas contribuciones al escalar de curvatura son V i = 0 D = β ( ) 2 β 1 β + (1 β) 2 ( ) ( ) 1 1 β := 1 1 A 1 A 2 = 1 AB A 1 A 2 ( β ) 2 := ( z β) 2 + ( ρ β) 2 El segundo término es positivo denido y de otro que involucra al laplaciano plano β. Si se dene J i = 1 A i 1 = β = J 1 J 2 (41) 1 4 < A i < 1 = 0 < J i < 3 (42) puede expandirse sobre el producto β para obtener ( β = J 2 R 1 + ( A ) 1 ) 2 + J 1 (R 2 + ( A ) 2 ) 2 A 2 1 A J 1 J 2 (43) se obtiene una expresión para el escalar de curvatura de la siguiente forma: (revisar si es A o Ab) R HΨ 5 A = { ψ1a 5 1 R 1 + u ( 2 [R ψ (1 A ) 2) Ψ + ΨA 2 u 2 A B A B J1 u J 2 { 2 + ψ2a 5 2 R 2 + u ( 1 [R (1 A ) 1) Ψ + ΨA 1 ψ Ψ ( ( ) ) 2 2 A1 A 2 β + ΨA 1A 2 A B A B ]} + ]} + u 1 A B A B J2 u J 1 1 { (1 A2 ) ( A 1 ) 2 + (1 A 1) ( A 2 ) 2 A 1 16 A 2 } (44)

17 En esta expresión pueden reconocerse, en la última linea, contribuciones al escalar de curvatura que resultan positivas al requerir que el parámetro d sea mayor que el d p del Lema 4.1. El análisis del escalar de curvatura (35) tiene una estructura similar al del caso A. Los dos primeros términos de (35) serán denotados nuevamente por K k (k = 1, 2) y analizados en forma separada en una primera etapa. K 1 := R 1 + u 2 ψ 1 5 [R 1 ( 1 + Ψ A B (1 A 2 ) u 2 ) + ΨA ] 2 A B J1 u J 2 2 (45) El argumento consistirá en probar que las contribuciones de los términos dentro del corchete se reducen a R 1 para valores grandes del parámetro d. El resto de la prueba consiste en usar la misma estrategia que en el caso A. Lo primero que debe notarse, es que el segundo miembro dentro del paréntesis en K 1 es denido positivo. Además, se tiene que la parte de la función que solo depende de las coordenadas respecto de x 2 puede ser expandida asintóticamente como (1 A 2 ) = 2a 2 u 2 m 2 2 sin 2 (θ) r 2 Dentro de un compacto E 1 asociado a R 1 como el descripto el la parte A (donde R 1 puede tomar valores negativos), los demás factores involucrados toman valores nitos positivos, por lo que puede incrementarse la distancia lo suciente de forma que esta contribución resulte despreciable. Para analizar el siguiente término, considérese el siguiente lema Lema 4.2. Existen constantes d q y Q k (k = 1, 2) tales que si d > d q se cumple J1 J 2 Q k d 3 r k (1 + r k ) 7 k = 1, 2 (46) Demostración. Si se utilizan coordenadas cilíndricas respecto de cada x k, puede decirse que Luego se obtiene que z 1 = z 2 d ρ 1 = ρ 2 := ρ J 1 J 2 = J 1 ρ J 2 ρ + J 1 z 1 J 2 z 2 (47) 17

18 Utilizando las expansiones asintóticas de estas derivadas respecto de cada origen y en innito, es posible garantizar la existencia constantes Q k ρ y Q k z que permiten acotar a estas funciones: J k ρ Qk ρ J k z k Qk z r k (1 + r k ) 4 (48) r 3 k (1 + r k ) 6 (49) y consecuentemente J1 J 2 Q r 1 r 2 (50) (1 + r 1 ) 4 (1 + r 2 ) 4 Para jar ideas, en lo que sigue del lema se particulariza esta cota respecto del origen x 1. Usando el hecho de que existe N 1 > 0 tal que r 2 (1 + r 2 ) N 1 4 (1 + r 2 ) N 2 (51) 3 (1 + r 1 d ) 3 es posible pensar en la equación (50) en función de la coordenada radial respecto de x 1. El siguente paso es notar que la función positiva denida r 1 (52) (1 + r 1 ) 4 (1 + r 1 d ) 3 tiene como posibles máximos a r 1 = d y los puntos críticos (ceros de la derivada) para valores de r 1 que son de orden d. El valor de la función en los ceros de la derivada decrece al ritmo de O (1/d 6 ) y en r 1 = d decrece como O (1/d 3 ). Por ello, existe una cota para el máximo de la función (52) que decrece como O (1/d 3 ) y usando nuevamente los comportamientos en r = 0 y r tenemos J1 J 2 Q 1 r 1 (53) d 3 (1 + r 1 ) 7 Si se repite el análisis respecto del otro centro x 1, se obtiene el resultado deseado. Nótese además que la cota se hace pequeña al ritmo de O (1/d 4 ) y que es crucial que las derivadas de J 1 son acotadas en S. Este resultado permite obtener la cota ΨA 2 A B J1 u J U 1 d 3 (54) (1 + r 1 ) 5 Esta equacion y las expansiones de R 1 en r = 0 y r permiten asegurar que la expresión dentro del corchete en K 1 tiene las mismas propiedades que R 1 en el sentido de que su parte negativa se encuentra limitada por un compacto independiente de d. Con esto se obtiene la positividad del escalar de curvatura R B H. 18

19 5. Conclusión Se construyeron dos métricas que pueden interpretarse como conteniendo dos agujeros negros de Kerr, dependiendo de un parámetro d que puede interpretarse como su separación. La primera de ellas es axisimétrica. Se obtuvo como resultado la positividad de su invariante de Yamabe y, en consecuencia, la solubilidad de la ecuación de Lichnerowicz para el factor conforme. Esto garantiza esta métrica es un posible dato de York para el método conforme. La prueba se extiende para incluir los casos de Kerr Extremo. La segunda construción se formuló de forma tal que pudiese ser interpretada como dos agujeros negros de Kerr rotando en direcciones arbitrarias, también dependiendo de un parámetro d con la misma interpretación. La restricción de esa construcción al caso axisimétrico fue analizada y se concluyó que también tiene invariante de Yamabe positivo. A. Apéndice: Espacio-Tiempo de Kerr El espacio-tiempo de Kerr está dado por una variedad M =?S 2 R 2 y una métrica [13, eq.(12.3.1) con e = 0 y cambiando r por r] dada en coordenadas de Brill-Lindquist (t, r, θ, φ) por ( a 2 sin 2 ) (θ) g ab = dt 2 2a sin2 (θ)( r 2 + a 2 ) dtdφ+ Σ Σ donde = r 2 + a 2 2m r, Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ, [ ( r 2 + a 2 ) 2 a 2 sin 2 ] θ X = sin 2 θ Σ + Σ d r2 + Σdθ 2 + Xdφ 2. (55) (56a) (56b) (56c) A.1. Métrica inducida Sea una hipersupercie espacial S M dada por t = cte. Su vector normal viene dado por n a = g ab (dt) b (57) 19

20 La métrica Kerr induce sobre una supercie t = cte una métrica h ij = Σ d r2 + Σdθ 2 + Xdφ 2. (58) Si se dene una nueva coordenada r como r = r + m + m2 a 2 4r. (59) la métrica puede escribirse en coordenadas (r, θ, φ) y asume la forma h = ψ 4 h donde h es de Brill con ψ 4 = X ρ 2, donde ρ = r sin θ y z = r cos θ. El potencial Y viene dado por [8] A = sin2 θσ X, (60) Y = 2ma(cos 3 θ 3 cos θ) 2ma3 cos θ sin 4 θ. (61) Σ A.2. Detalles de u, R y A A.2.1. Schwarzschild a = 0 En el caso en que a = 0, las funciones ψ y A toman la forma ψ = ( 1 + m 2r ), A = 1, (62) y las métrica se reduce a la de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas. En este caso, las funciones denidas en (22) resultan R h = 0, R h = 0, u = m 2r A.2.2. Kerr no extremo 0 < a < m Es posible obtener las siguientes expresiones asintóticas para ψ: ψ 4 = 1 + 2m ( ) 1 r + O u = m ( ) 1 r 2 2r + O r 2 ψ 4 = (m2 a 2 ) 2 16r 4 ( ) 1 + O ψ = r 3 (63) r >> 1 (64) m2 a 2 + O ( r 0) r << 1 (65) 2r Además, ψ es siempre mayor a uno, por lo que la función u es siempre positiva. 20

21 La función A es tal que 1 (1 + ) 2 1 (a/m) 2 4 < < A < 1, A(ρ = 0) = 1 (66) ( 4 ) 1 A 1 = 1 + O r >> 1 (67) r 2 A 1 = 1 + O ( r 2) r << 1 (68) La curvatura escalar R h de la métrica h ij, es tal que ( ) R h = 2a2 1 + O R h = 2 r 4 ( 4a m 2 a 2 r 5 r >> 1 (69a) ) 2 + O ( r 2) r << 1 (69b) R h > 0 ρ = 0 (69c) A.2.3. Kerr Extremo a = m La función ψ es discontinua cerca del origen de coordenadas r = 0: ψ 4 = 1 + 2m ( ) 1 r + O u = m ( ) 1 r 2 2r + O r 2 ψ 4 = 4m cos 2 (θ) r + O 2 ( ) 1 r ( ψ 4m cos 2 (θ) ) 1/4 1 r r >> 1 (70) r << 1 (71) Además, ψ es siempre mayor a uno, por lo que la función u es siempre positiva. La función A es tal que 1 < A < 1, A(ρ = 0) = 1 (72) 4 ( ) 1 A 1 = 1 + O r >> 1 (73) r 2 ( 1 + cos 2 (θ) A = 2 ) 2 + O (r) r << 1 (74) La curvatura escalar R h de la métrica h ij, tiene el siguiente comportamiento: ( ) R h = 2m2 1 + O r >> 1 (75a) r 4 r 5 [ 3 cos 2 (θ) 1 R h = 16 (1 + cos 2 (θ)) 4 ] 1 r 2 + O ( ) 1 r r << 1 (75b) R h > 0 ρ = 0 (75c) 21

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