Apuntes de Matemáticas II. Ruth Martínez-Valenzuela y Jorge Oviedo

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1 Apuntes de Matemáticas II Ruth Martínez-Valenzuela y Jorge Oviedo 994

2 Índice General Conjuntos, Relaciones y Aplicaciones 3. Noción de conjunto Operaciones con conjuntos Pares ordenados y producto cartesiano Relaciones binarias Relaciones de equivalencia Relaciones de orden Elementos maximales, elementos minimales Correspondencias y aplicaciones... Espacio Euclídeo: Estructura algebraica 9. Espacios vectoriales Subespacios Vectoriales..... Combinaciones lineales Dependencia e independencia lineal de vectores Base y dimensión Matrices y Determinantes El espacio vectorial de las matrices M m n (IR) Producto de Matrices Determinante: propiedades Aplicaciones Lineales Transformaciones Lineales Cambio de base Sistemas de Ecuaciones Lineales 4 4. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas lineales homogéneos Sistema Lineales no homogéneos Vectores Propios y Formas cuadráticas Valores propios y vectores propios Diagonalización Diagonalización Ortogonal. Matrices Simétricas Formas cuadráticas Clasificación de las formas cuadráticas... 56

3 ÍNDICE GENERAL 6 El espacio euclídeo: estructura topológica Funciones de IR n en IR m Definiciones y ejemplos Representación gráfica. Curvas y superficies de nivel Límite y continuidad Conceptos básicos Sucesiones Definición de límite Continuidad La derivada en IR n 7 7. La derivada de una función escalar respecto de un vector Derivadas direccionales y derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Derivadas direccionales y continuidad Diferenciabilidad Condición suficiente de diferenciabilidad Diferenciabilidad de funciones vectoriales Diferenciabilidad y derivación de funciones compuestas Ejercicios Adicionales 87 Bibliografía 8 Apéndice 9

4 Capítulo Conjuntos, Relaciones y Aplicaciones. Noción de conjunto Como ya sabemos un conjunto es una colección de distintos objetos que reciben el nombre de elementos. Un conjunto está bien definido si tenemos un criterio por el cual podemos determinar si un elemento pertenece al conjunto o no. Si un elemento x pertenece al conjunto A, escribiremos x A. Existen dos alternativas para escribir un conjunto una es por descripción y la otra por enumeración. En la primera, lo que se da es una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y en la segunda se dan todos los elementos. Si queremos escribir el conjunto A formado por todos los números naturales mayores que y menores que 8 podemos escribirlo por enumeración como A = {3, 4, 5, 6, 7} y por descripción A = {x IN :<x<8} Si damos el conjunto S = {x IR :<x<8}, o en forma abreviada S = {x :<x<8}, estamos indicando al conjunto de todos los números reales mayores que y menores que 8. Por ejemplo, 5 S pero, 5 / A, ésta última relación se lee 5 no pertenece al conjunto A. Al conjunto que no tiene ningún elemento lo llamamos conjunto vacío y lo denotamos por. También podemos relacionar conjuntos, por ejemplo, podemos decir que los conjuntos A y S, dados arriba, son distintos pues no tienen los mismos elementos. Pero observamos que cualquier elemento de A también es un elemento de S yésto lo escribimos como A S, se lee A está contenido en S o A está incluído en S o A es un subconjunto de S. A esta relación se le llama relación de inclusión. Formalmente A B (x A x B) Si todo elemento de A pertenece a B y existe un elemento b que pertenece a B y no pertenece a A, diremos que A B y se lee A está contenido estrictamente en B. Si A B y B A, diremos que A = B, es decir A = B A B B A Podemos concluir, que la relación de pertenencia relaciona elementos con conjuntos (x A) y la relación de inclusión relaciona conjuntos, (A B). 3

5 4 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES.. Operaciones con conjuntos Las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos se definen como sigue A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x/ B} es decir, que dichas operaciones nos dan como resultado otro conjunto. Ejemplo.. Si A = {, 3, 5, 7} y B = {,, 3, 4, 5}, tenemos A B = {,, 3, 4, 5, 7} A B = {, 3, 5} A B = {7} B A = {, 4} Ejemplo.. Si A B, entonces A B = B, A B = A y A B =. Queda como ejercicio la demostración. Cuando tenemos una familia de conjuntos, A,A,..., A n, la unión e intersección de dichos conjuntos se representan, respectivamente, ni= A i = A A... A n ni= A i = A A... A n Dado un subconjunto A de U, se llama complemento de A respecto de U al conjunto de elementos de U que no pertenecen a A. Lo indicaremos por A c al complemento respecto de U, si éste es el conjunto universal o referencial, es decir A c = {x : x/ A} Si U no es el conjunto referencial, al complemento lo indicaremos por en particular C U A = {x U : x/ A} C U U = C U = U No es difícil demostrar las siguientes afirmaciones (a) (A c ) c = A (b) A B B c A c

6 .. PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO 5 (c) A A c = U (U es el conjunto referencial) (d) A A c = (e) (A B) c = A c B c (f) (A B) c = A c B c Si consideramos todos los subconjuntos de un conjunto E, obtenemos el conjunto P(E) definido por Si E = {,, 3}, tenemos que P(E)={A : A E} P(E)={, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3},E} Si el conjunto E tiene n elementos, entonces P(E) tiene n elementos.. Pares ordenados y producto cartesiano Como ya sabemos los conjuntos {a, b} y {b, a} son iguales, no importa el orden con que aparecen los elementos a y b. En muchos casos, es significativo el orden en que aparecen los elementos a y b, y en este caso estamos en presencia de lo que se llama par ordenado, que lo indicaremos por (a, b). Al primer elemento del par ordenado se le llama primera componente o primera coordenada, en forma análoga al segundo elemento. Dos pares ordenados son iguales si son iguales componente a componente, es decir: (a, b) =(c, d) a = c b = d por lo tanto si a b tenemos que {a, b} = {b, a}, pero (a, b) (b, a). Ejemplo.. Con la edad y el peso de cada estudiante de una clase podemos formar pares ordenados (e, p), en los que el primer elemento indica la edad de un alumno y la segunda coordenada indica su peso. El par (5, 5) indica que hay un estudiante de 5 años que pesa 5 kilos, en cambio el par (5,5) es obviamente distinto al primero, además no creo que haya ningún estudiante que se ajuste a esas características. Podemos extender el concepto de par ordenado a n uplas ordenadas (a,a,..., a n ). Definición.. Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se representa por A B, a otro conjunto al que pertenecen todos los pares ordenados que se puedan formar con los elementos de A ydeb. A B={(a, b) :a A b B} En forma análoga podemos definir producto cartesiano de tres o más conjuntos A A... A n = {(a,a,..., a n ):a A... a n A n } Ejemplo.. El producto cartesiano de A = {,, 3} y B = {a, b} es A B = {(,a),(,b),(,a),(,b),(3,a),(3,b)} Los productos cartesianos se suelen representar mediante diagramas cartesianos o sagitales. La representación correspondiente al ejemplo (..) están dadas en las figuras. y.

7 6 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES b a (,b) (,a) (,b) (,a) (3,b) (3,a) a b 3 3 Fig..: Diagrama cartesiano Fig..: Diagrama sagital.3 Relaciones binarias Nosotros conocemos relaciones entre elementos, entre conjuntos y entre elementos y conjuntos. Por ejemplo, existen relaciones de amistad entre personas; relaciones de inclusión entre conjuntos; relaciones de mayor entre números; relaciones de paralelismo entre rectas de un plano, etc. Ahora estudiaremos estos sucesos. Definición.3. Una relación binaria R definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A A. Escribiremos arb para indicar que a y b están relacionados según la relación binaria R Según la definición, dos elementos estarán o no relacionados según la relación binaria R, si la pareja formada por ellos pertenece o no a R, es decir: arb (a, b) R es decir R = {(x, y) A A : xry} Ejemplo.3. (a) La perpendicularidad entre las rectas de un plano es una relación binaria, porque dadas dos rectas cualesquiera, se puede saber si son o no perpendiculares. (b) La inclusión entre conjuntos entre los elementos de P(U). (c) La relación es madre de es una relación binaria entre personas. (d) es una relación binaria definida en los números reales. Como dijimos en producto cartesiano, podemos representar a las relaciones mediante los diagramas cartesianos o sagitales. Vamos a ver a continuación las propiedades que puede tener una relación binaria: Una relación binaria R definida en un conjunto A es (a) Reflexiva: si a, ara (b) Simétrica: si a, b, ( arb bra) (c) Transitiva: si a, b, c, ( arb brc arc) (d) Antisimétrica: si a, b, ( arb bra a = b) (e) Completa: si a, b, ( arb bra) Ejemplo.3. Analizemos el ejemplo (.3.)

8 .3. RELACIONES BINARIAS 7 Reflexiva Simétrica Transitiva Antisimétrica Completa P In Ma Ejercicio.3. Justifica las respuestas dadas en el ejemplo (.3.)..3. Relaciones de equivalencia Definición.3. Si R es una relación binaria definida en A, se dice que es una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo.3.3 Sea IR ++ = {x IR : x>} el conjunto de todos los números reales positivos. Definimos en el conjunto IR ++ IR ++ la relación binaria G como sigue: (x, y)g(x,y ) xy = x y G es claramente una relación de equivalencia, en efecto: es reflexiva porque xy = yx (recuerda que el producto de números reales es conmutativo), por lo tanto, (x, y)g(x, y), es simétrica porque ((x, y)g(x,y ) xy = x y x y = xy (x,y )G(x, y)) es transitiva (demostrarlo) Definición.3.3 Una partición F de un conjunto A es una familia de subconjuntos de A, no vacíos, dos a dos disjuntos y tal que M F M = A Dada una relación de equivalencia definida en un conjunto A y un elemento a A, definimos la clase de equivalencia de a como [a ={x A:x a} Es claro que si b/ [a, entonces [a [b =. Además si b [a, entonces [a =[b. Se puede demostrar que una clase de equivalencia definida en un conjunto A origina una partición de A. Los subconjuntos que forman la partición son las clases de equivalencias. A ésta partición se la denota por A/, es decir A/ = {[a :a A} A la partición que origina se le llama conjunto cociente. Ejemplo.3.4 Sea ZZ y la relación definida por m n p ZZ:m n=p Acá tenemos solamente dos clases de equivalencia, la [ que es el conjunto de todos los números cuyo valor absoluto es un número par y [ que es el conjunto de aquellos cuyo valor absoluto es un número impar. Por lo tanto: ZZ/ = {[, [}

9 8 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES Ejercicio Ejercicio.3. Dos clases de equivalencia o son disjuntas o coinciden..3.3 Idem al ejemplo (.3.4), pero definimos Cuáles son las clases de equivalencia?.3. Relaciones de orden m n p ZZ:m n=3p Definición.3.4 Una relación binaria R se dice que es una relación de orden si posee las propiedades reflexiva, transitiva y antisimétrica. Así como las relaciones de equivalencia nos permite clasificar a un conjunto, las relaciones de orden nos permite ordenar a los conjuntos donde está definida. Cuando en un conjunto definimos una relación de orden, diremos que dicho conjunto está ordenado respecto a la relación de orden dada. Hay dos ejemplos muy conocidos: Ejemplo.3.5 Consideremos la relación definida en el conjunto P(U), donde U = {,, 3} P(U)={, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}} La relación de inclusión dada es una relación de orden (verifícala), por lo tanto podemos ordenar el conjunto P(U): y así sucesivamente. {} {,} U {} {,3} U {} {,} U {} {,3} U Ejemplo.3.6 El conjunto de los números naturales IN queda ordenado si definimos en él la relación 3... n... Si analizamos los dos ejemplos podemos observar que en el ejemplo (.3.6) tenemos que dado cualquier par de elemento m y n naturales se cumple que m n n m (.) es decir que todos los elementos de IN son comparables, en cambio, en el ejemplo (.3.5) existen elementos no comparables, por ejemplo {} no está contenido en {}, ni {} está contenido en {}. Es decir, ambos conjuntos pertenecen a P(U) y no están relacionados por. Por (.) tenemos que es una relación binaria completa. Definición.3.5 Diremos que una relación de orden R, definida en un conjunto A es de orden total, o que ordena totalmente al conjunto A si dicha relación es completa, es decir, que todos los elementos de A son comparables.

10 .3. RELACIONES BINARIAS 9 Las relaciones de orden que no son totales se les denomina relaciones de orden parcial y decimos que el conjunto está parcialmente ordenado. Por lo analizado en los ejemplos (.3.5) y (.3.6), observamos que la relación define un orden parcial en P(U) y la relación ordena totalmente a IN. Definición.3.6 Una relación binaria R definida en un conjunto A, que cumple las propiedades reflexiva y transitiva, se dice que es un preorden. Ejemplo.3.7 Sea ZZ el conjunto de los números enteros, definamos en él la siguiente relación binaria R = {(a, b) ZZ ZZ : a b} Esta relación no es de orden pues no es antisimétrica, ya que pero si es un preorden. siendo Si R es una relación de orden definida en un conjunto A, y se verifica que arb, diremos que a está relacionada con b según la relación R (cuidando mucho el orden con que se mencionan a y b) o también que a es anterior a b según la relación R o aprecede a b según la relación R, o que b es posterior a a o que b es sucesor de a. Diremos que a precede estrictamente a b si ocurre: arb a b En el ejemplo (.3.5) tenemos, por ejemplo, que {} es anterior a {, }, pero no es anterior a {, 3}. Podríamos representarlo mediante flechas, como lo muestra la figura.3: {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} Fig..3 {,, 3} {, } {,3} {} {} {3} Fig..3 Observando la gráfica podemos deducir que {3} precede a {, 3}, pero no a {, } y que {3} precede a {,, 3} (por propiedad transitiva).

11 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES Ejercicio de orden.3.4 Demostrar que la siguiente relación binaria R definida en IR es una relación (a, b)r(c, d) a c b d Definición.3.7 Dado un preorden R, definido en A y B A, diremos que a A es una cota superior de B si se cumple que para todo x B implica que xra. Ejemplo pues.3.8 En el ejemplo (.3.5) tenemos que U = {,, 3} es cota superior de P(U), A P(U),A U Ejercicio.3.5 Dado el conjunto de los números naturales y la relación de orden, demostrar que IN no es un conjunto acotado superiormente con dicha relación de orden, pero sí está acotado superiormente por la relación. Si un conjunto posee una cota superior decimos que dicho conjunto es acotado superiormente. Definición.3.8 Dado un preorden R, definido en A y B A, diremos que b A es cota inferior de B cuando para todo elemento x B, se cumple que brx. Si un conjunto posee una cota inferior decimos que dicho conjunto es acotado inferiormente. Ejemplo.3.9 Definamos en IN la relación de orden yseain p ={n IN: m IN n=m}, es decir IN p es el conjunto de los números pares. es cota inferior pues n para todo n IN p, también es cota inferior. Definición.3.9 Dado un preorden R, definido en A y B A un conjunto acotado superiormente, diremos que s A es el supremo de B cuando para toda cota superior b de B se cumple que srb, es decir, el supremo de B es la menor de las cotas superiores. Indicaremos por sup B a s. Cuando el sup B B, diremos que es un máximo del conjunto B. Definición.3. Dado un preorden R, definido en A y B A un conjunto acotado inferiormente, diremos que i A es el ínfimo de B cuando para toda cota inferior b de B se cumple que bri. Indicaremos por inf B a i. Cuando el inf B B, diremos que es un minimo del conjunto B. Teorema.3. Si R es un orden definido en A y B es un suconjunto de A, el elemento máximo de B, si existe, es único. Demostración: Supongamos que hay dos máximos, x y x. Dado que x y x son elementos que pertenecen a B, si x es un elemento máximo de B se ha de verificar, por definición, x Rx. De la misma manera, si x es un elemento máximo de B se ha de verificar xrx. Por propiedad antisimétrica implica que x = x. Ejemplo.3. Definamos en IN la relación de orden yseab={n IN :5 n 7}. El conjunto de las cotas superiores es {n IN : n 7} ( Porqué?) y sup B =7.El conjunto de las cotas inferiores es {,, 3, 4, 5} ( Porqué?) y el inf B =5. Cuando un conjunto es acotado superiormente e inferiormente decimos que dicho conjunto es acotado. El conjunto dado en el ejemplo (.3.) es un conjunto acotado.

12 .3. RELACIONES BINARIAS.3.3 Elementos maximales, elementos minimales Definición.3. Sea A un conjunto y R un preorden definido en él: (a) Si existe un elemento a de A tal que [x A arx x = a se dice que a es un elemento maximal de A. (b) Si existe un elemento a de A tal que [x A xra x = a se dice que a es un elemento minimal de A. Dicho de otra manera, un elemento de A es maximal si no hay en A elementos que le sucedan estrictamente, y es minimal si no hay en A elementos que le precedan estrictamente. Observación.3. Si R es una relación de orden, es evidente que si A tiene un máximo, entonces dicho elemento es un maximal; y es único. En forma análoga, si A tiene un mínimo, entonces dicho elemento es un minimal; y es único. rm Demostración: La siguiente demostración vale lo mismo si cambiamos máximos por mínimos y maximales por minimales. Para probar que a es un maximal debo mostar que x A arx x = a sea x A que cumple que ar x, como a es un máximo (por hipótesis) entonces xra. Es decir x y a cumplen que xra ar x esto implica (por ser antisimétrica R) que a = x como queríamos probar. Observación.3. Si un conjunto es totalmente ordenado y si a es un elemento maximal, entonces a es único, por lo que deducimos que es un máximo. (En forma análoga vale este resultado para elemento minimal). Mostraremos que a es único. Sean a,a A dos elementos maximales entonces por ser R una relación completa se cumple que a Ra a Ra si ocurre que a Ra entonces por ser a maximal se cumple que a = a. Sí a no está en relación con a entonces tenemos que a Ra (por ser R completa) entonces por ser a maximal tenemos que a = a. Esto prueba la primer parte. Veamos que a es máximo. Debemos ver que x A xra Sea ˆx A un elemento arbitrario (ˆx a). Por ser R completo tenemos que ˆxRa arˆx

13 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES Si arˆx por ser a maximal (por hipótesis) implica que a =ˆxpero esto contradice que a ˆx. Por lo tanto ˆxRa. Podemos observar que la noción de elemento maximal y minimal nos interesa solamente para aquellos conjuntos parcialmente ordenados. En el ejemplo (.3.5) tenemos que es un elemento minimal y es mínimo; además, U es el máximo. Ejemplo.3. Sea A el conjunto de todos los seres humanos y R la relación binaria que dice que dos seres humanos, x e y están relacionados si se verifica una de las dos condiciones siguientes: (a) x e y son la misma persona (b) x es descendiente de y Sea B = {Daniel,Juan,María,Rita,Pablo} el conjunto de seres humanos que viven en una misma villa. Daniel es hijo de Juan y Rita, y Pablo es hijo de María y Daniel. En las figuras.4 y.5 se ha representado esta relación en un diagrama cartesiano y una de flecha, respectivamente. P R M J D D J M R P Juan Rita M aria Daniel P ablo Fig..5 Fig..4 Dada esta relación, vemos que María, Rita y Juan son elementos maximales, pues no hay ninguna persona en el conjunto B que les sigan, es decir que ellos no son descendientes de ninguna persona que vive en la villa. Pablo es un minimal y más aún, es un mínimo pues es el único minimal del conjunto B..4 Correspondencias y aplicaciones La noción de relación binaria se puede extender al caso en que asociamos elementos de conjuntos diferentes, para este caso hablaremos de correspondencia entre elementos de un conjunto A y un conjunto B. Una correspondencia entre los conjuntos A y B no es más que una regla que nos permite asociar a los elementos de A con elementos de B. Definición.4. Una correspondencia Φ entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano, Φ A B. Si el par ordenado (a, b) Φ, diremos que al elemento a A le asociamos al elemento b B y escribiremos b Φ(a). La imagen del elemento a se define como el conjunto de todos los elementos de B que están asociados al elemento a. Formalmente, Φ(a) ={b B:(a, b) Φ}. Ejemplo.4. Sea A = {,, 3, 4} y B = {,, 3, 4, 5, 6} y definamos la correspondencia Φ como sigue: (a, b) Φ b a Gráficamente podemos representarla mediante el siguiente diagrama:

14 .4. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES (,6) (,5) (,4) (,3) (,) (,6) (3,6) (,5) (,4) 3 4 Fig..6 Por ejemplo Φ() = {4, 5, 6}, también podemos decir que 3 Φ(). Podemos observar que Φ(4) = Definimos la preimagen de un elemento b B como el conjunto de los elementos del conjunto A que están asociados a él. Por ejemplo 5 tiene como preimagen al yal. Formalmente, la preimagen de b B es el conjunto Φ (b) ={a A:(a, b) Φ}. Es decir, Φ (5) = {, }. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de partida y al B conjunto de llegada. Una correspondencia del conjunto A al B es denotado por Φ : A B. Dado un conjunto U A, su imagen según la correspondencia Φ está definida como Φ(U) ={b B: a U b Φ(a)}. El dominio de una correspondencia Φ es el conjunto de puntos del conjunto de partida de tal manera que no tengan imagen vacía. En nuestro ejemplo tenemos que domφ ={,,3}.El recorrido o imagen de una correspondencia es el conjunto de puntos del conjunto de llegada que tienen una preimagen no vacía. Formalmente, recφ ={b B: a A b Φ(a)} Definición.4. Sea Φ:A B una correspondencia. Se dice que Φ es Inyectiva si a, a, (a a Φ(a) Φ(a )= ) Suprayectiva (o exhaustiva) si b B, a A, b Φ(a) Unívoca si b, b B,(b Φ(a) b Φ(a) b = b ) Semiunívoca si a A, (Φ(a) Φ(a ) Φ(a) =Φ(a )) Biyectiva (o biunívoca) si es unívoca, inyectiva, suprayectiva y el domφ = A a Φ a Γ a Ψ b c 3 c b 3 b 3 Fig..7

15 4 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES En la figura.7, la correspondencia Φ es semiunívoca, inyectiva, no unívoca y suprayectiva, la Γ es biyectiva y la Ψ no es inyectiva. Entre las correspondencias, caben destacar por su importancia las llamadas aplicaciones o funciones Definición.4.3 Una aplicación o funcin f : A B es una correspondencia unívoca. En la figura.7, Γ y Ψ son aplicaciones, pero la Φ no lo es pues no es unívoca. Consideremos las correspondencias f : A B y g : B C tal que recf domg, podemos encontrar una tercera corresponcia h : A C, definida por h(a) =g(f(a)) y que normalmente denotamos por h = g f, llamada composición de correspondencias y se lee g compuesta con f. La composición de aplicaciones o funciones no es nada más que un caso particular de composición de correspondencias. h f g a b c A B C Fig..8 Ahora nos dedicaremos a estudiar funciones donde el dominio son subconjuntos de IR n yla imagen subconjuntos de IR. Ejemplo.4. Sea f : IR IR tal que para todo x IR, f(x) =x. La gráfica de dicha función en un sistema de coordenadas cartesianas está dada en la figura.9. 4 y 4 Y Fig..9 x.5.5 Fig.. X Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, tenemos que el recf = {y : y }. A la gráfica de la dada función f se le llama parábola.

16 .4. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 5 Ahora si consideramos Ejemplo.4.3 Sea g : IR + IR tal que para todo x IR, g(x) =x. La representación gráfica de dicha función en un sistema de coordenadas cartesianas está dada en la figura. La función dada en el ejemplo (.4.) no es igual a la dada en el ejemplo (.4.3), pues el domf domg. Ejemplo.4.4 Sea f : IR IR tal que para todo x IR, y = f(x), definida por y x =. Grafiquemos dicha correspondencia en un sistema de coordenadas cartesianas 3 y x Fig.. Esta correspondencia no es una función pues no es unívoca ya que y son imágenes diferentes de, es decir f() = {, } A la gráfica de ésta correspondencia se le llama hipérbola. Ejercicio.4. Sea f : IR IR +, definida como en el ejemplo (.4.4). Realiza la gráfica y demuestra que es una función. Ejemplo.4.5 Sea f : IR IR tal que para todo (x, y) IR,z = f(x, y), definida por z =x+3y. La figura. nos muestra la representación de dicha función en un sistema de coordenadas cartesianas (la gráfica de esta función es lo que llamamos plano). 5 Z Y X - Figura.

17 6 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES Ejemplo.4.6 Sea f : IR IR tal que para todo (x, y) IR,z = f(x, y), definida por z = x + y. La gráfica de dicha función en un sistema de coordenadas cartesianas está representada en la figura.3,es lo que llamamos paraboloide. Acá se puede observar que la recf = IR Z X - Figura.3 - Y Ejemplo.4.7 Sea f : IR IR tal que para todo (x, y) IR,z = f(x, y), definida por z x + y =.Las figuras.4a y.4b corresponden a esta funcións. Ambas gráficas corresponden a la misma función, pero de diferente punto de vista y es la que llamamos hiperboloide. 4 Z Y X - Fig..4a

18 .4. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 7 4 Z X - Y Fig..4b

19 8 CAPÍTULO. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES

20 Capítulo Espacio Euclídeo: Estructura algebraica. Espacios vectoriales Diremos que un conjunto no vacío E tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o simplemente E es un IR-espacio vectorial o E es un espacio vectorial si satisface las siguientes condiciones:. Se ha definido una operación binaria interna (suma), + : E E E que cumple las siguientes propiedades: (a) Asociativa: x, y, z E,x +(y+z)=(x+y)+z (b) Conmutativa: x, y E,x + y = y + x (c) Elemento neutro: E, x E,x + = x (d) Elemento simétrico: x E, y E,x + y =. Se ha definido una operación binaria externa. : IR E E que cumple las siguientes propiedades: (a) Distributiva: x, y E, α IR, α(x + y) =αx +αy (b) Distributiva: x E, α, β IR, (α + β)x = αx + βx (c) Asociativa: x E, α, β IR, α(βx) =(αβ)x (d) x E,x = x Al elemento simétrico de un vector x se denota por -x. Si tenemos x +( y), se usa la notación x y. Es sencillo comprobar que el espacio euclídeo IR n con las operaciones de suma de vectores y el producto de un vector por un escalar es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. El elemento neutro es el vector nulo, = (,,..., ) y, dado un vector x =(x,x,..., x n ), el simétrico es el vector -x =( x, x,..., x n ). Nota Nota.. Oζ es un Oζ-espacio vectorial, pero Oζ no es un IR-espacio vectorial... El conjunto de las funciones reales continuas son un IR-espacio vectorial. 9

21 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO: ESTRUCTURA ALGEBRAICA.. Subespacios Vectoriales Definición.. Sea E un espacio vectorial y L E un subconjunto no vacío. Diremos que L es un subespacio vectorial de E si se satisfacen las siguientes condiciones: (a) x, y L, x + y L (b) α IR, x L, αx L Es fácil demostrar que un subespacio vectorial L es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Ejemplo.. Sea L = {(x, y) :y=x},les un subespacio vectorial de IR, pues Sean x =(x,x ) L,y=(y,y ) Lyα IR x+y = (x +y,x +y ) = (x +y,(x + y )) αx = (αx,αx ) = (αx, αx ) (.) por lo obtenido en (.) y de acuerdo a la definición (..) podemos concluir que L es un subespacio vectorial de IR. Ver figura (.a) y y y=x 3 y= x x Fig..a Fig..b Ejemplo.. Sea L = {(x, y) :y=},lno es un subespacio vectorial de IR, pues Sean x =(x,) L, y =(y,) L y α IR x + y = (x +y,+) = (x +y,4) (.) por lo obtenido en (.) y de acuerdo a la definición (..) parte (a) podemos concluir que L no es un subespacio vectorial de IR. Ver figura (.b) Proposición.. Si L y S son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, la intersección L S también lo será.

22 .. ESPACIOS VECTORIALES Demostración: L S, pues L S. Comprobemos que se cumple la definición (..): Sean x L S y y L S, por definición de intersección de conjuntos tenemos que x L y y L, además como L es un subespacio vectorial entonces x + y L y αx L. En forma análoga se demuestra que x + y S y αx S. Por lo tanto x + y L S y αx L S y resulta que L S es un subespacio vectorial. Ejercicio.. Si L y S son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, L S es un subespacio vectorial?. Si la respuesta es afirmativa, demuéstralo, caso contrario da un contraejemplo... Combinaciones lineales Definición.. Diremos que el vector z IR n es combinación lineal del conjunto de vectores {x, x,..., x m } de m vectores de IR n si existen m números reales α,α,..., α m tales que m z = α x + α x α m x m = α i x i i= Ejemplo..3 Por ejemplo los vectores y =(4,3) y z =(, 3 ) son combinaciones lineales de los vectores x =(, ) y x =(3,4). Al vector y lo podemos expresar como combinación lineal de x y x : y = x + x. Y el vector z = x + 3 x. Ver la figura siguiente 4 y 3 z x y x - - x Fig.. Uno de los problemas que deberemos resolver es, dado un vector z determinar si él es o no combinación lineal de un conjunto dado de vectores. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo..4 Comprobemos que el vector z =(, 3) es combinación lineal de los vectores x y x dados en el ejemplo (..3). Si existe la combinación lineal, deben existir escalares λ y λ tales que (, 3) = λ (, ) + λ (3, 4) (.3) de (.3) obtenemos

23 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO: ESTRUCTURA ALGEBRAICA λ +3λ = λ +4λ = 3 Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos que λ = 7 4 y λ = 7 y por lo tanto z = 7 4 x 7 x. Ejemplo..5 Veamos si el vector z =(, 3) es combinación lineal de los vectores y = (, ) y y =(, ). Si suponemos que existe la combinación lineal, entonces deben existir escalares λ y λ tales que (, 3) = λ (, ) + λ (, ) (.4) es decir, λ + λ = λ λ = 3 este sistema de ecuaciones no tiene solución, es decir no existen escalares λ y λ tales que verifiquen (.4), por lo tanto, z no es combinación lineal de los vectores dados. Esto lo podemos observar en la figura.3 4 y 3 y x - - y z -3 Fig..3 Notación Sea E un espacio vectorial y A = { x, x,..., x n} E. Al conjunto de todas las combinaciones lineales posibles con los vectores de A lo representaremos por < A >,es decir: { n } <A>=<x,x,..., x n >= α i x i : α i IR x i A, i {,..., n} (.5) i=

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