T (a;b) : R! R x! ax + b. H = T (a;b) : a 2 Q y b 2 R : Probar que H con la operación de nida en el problema anterior es un grupo no abeliano.

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1 9. Determine cuales de las operaciones binarias de nidas en el problema (2) determinan grupos. 10. Sea R el conjunto de los números reales, para a; b 2 R con a 6= 0 de nimos T (a;b) : R! R x! ax + b Probar que G = T (a;b) : a; b 2 R con a 6= 0 funciones, es un grupo. Es G abeliano?. con la operación composición usual entre 11. Si G es el grupo del problema anterior, consideremos H G, donde H = T (a;b) : a 2 Q y b 2 R : Probar que H con la operación de nida en el problema anterior es un grupo no abeliano. 12. Consideremos ahora K H G donde K = T (1;b) : b 2 R : Probar que K con la operación de nida en el problema (9) es un grupo no abeliano. 13. Si G; H; K estan de nidos como en los problemas anteriores y T (a;b) 2 G. a. Probar que para cada T (r;s) 2 H : T (a;b) T (r;s) T 1 (a;b) 2 H. b. Probar que para cada T (r;s) 2 K : T (a;b) T (r;s) T 1 (a;b) 2 K. c. Determine todas las T (a;b) 2 G tales que T (a;b) T (1;x) = T (1;x) T (a;b), para cada x 2 R. 14. En G = R f 1g de nimos la operación a b = a + b + ab Probar que G es un grupo abeliano. 15. En G = Q f1g de nimos la operación a b = a + b ab Probar que G es un grupo abeliano. 16. Sea G = ff :7!: f es funcióng : 3

2 Para f; g 2 G se de ne f + g la función de nida por f + g : [a; b]! R x! (f + g) (x) = f (x) + g (x) Demostrar hg; +i es un grupo abeliano. 17. Sea hg; i un grupo, en G de nimos la operación a b = b a Pruebe que hg; i es un grupo. 18. Axiomas debiles de grupo: Sea G un conjunto junto con una operación binaria tal que: i. La operación es asociativa. ii. Existe e 2 G tal que para cada x 2 G : ex = x. iii. 8a 2 G; 9b 2 G tal que ba = e. Probar que G es un grupo. ( G es llamado un grupo a izquierda). 19. Sea G un conjunto junto con una operación binaria tal que: i. La operación es asociativa. ii. Existe e 2 G tal que para cada x 2 G : xe = x. iii. 8a 2 G; 9b 2 G tal que ab = e. Probar que G es un grupo. ( G es llamado un grupo a derecha). 20. Sea G un conjunto nito con una operación binaria àsociativa tal que todo elemento de G resulte cancelable. Pruebe que G es un grupo. Muestre con un ejemplo,que la conlcusión del problema anterior es falso si omitimos la condición que G sea nito. 21. Sea G un grupo.y a; b; c 2 G; probar que la ecuación xaxba = xbc tiene un única solución en G. 22. Sea G un grupo nito, pruebe que para cada x 2 G;existe n 2 Z + tal que x n = e. Esto muestra que en un grupo nito,todos sus elementos tienen orden nito. 4

3 23. Sea G un grupo nito. Pruebe que existe m 2 Z + tal que para cada a 2 G : a m = e 24. Sea G un grupo y a 2 G tal que (a) = n, si m; n 2 Z son tales que a m = a k, pruebe que m = k(mod n): 25. Sea G un grupo, pruebe que en G existe un único elemento a tal que a 2 = a. Un elemento como el anterior es llamado un elemento idempotente. 26. Si G es abeliano y nito entonces el cuadrado del producto de todos sus elementos es igual a e. En todo los problemas siguientes, G siempre denota un grupo. 27. Si a; x 2 G, probar que 8n 2 Z : (xax 1 ) n = xa n x Si para cada a; b 2 G existen tres enteros consecutivos n; n + 1; n + 2 tales que (ab) k = a k b k ; k = n; n + 1; n + 2; pruebe que G es abeliano. Muestre con un ejemplo que la conlcusión del problema anterior si la condición (ab) k = a k b k ; sólo se cumple para dos enteros consecutivos. 29. Si 8a; b 2 G : (ab) 1 = a 1 b 1 entonces G es abeliano. 30. Si 8a; b 2 G : (ab) 2 = a 2 b 2 entonces G es abeliano. 31. Si 8a 2 G : a = a 1 entonces G es abeliano. 32. Si 8a 2 G : a 2 = e entonces G es abeliano a; b 2 G : (ab) 3 = a 3 b 3 y (ab) 5 = a 5 b 5 entonces G es abeliano. 34. Si a 2 G tiene orden nito entonces a 1 tiene orden nito y (a) = a 1. Sugerencia: nótese que a 1 = aa 1 a y recuerde el problema 27. 5

4 35. Si a; b 2 G son tales que ab tiene orden nito entonces ba tiene orden nito y (ab) = (ba). Sugerencia: nótese que ab = a (ba) a 1 y recuerde el problema Si a; b 2 G son tales que a 5 = e; aba 1 = b 2 y b 6= e: Hallar (b). 37. Si a; b 2 G tales que ab = ba y a m = b n = e: Probar que (ab) k = e, donde d = mcm (n; m) Subgrupos 38. Fraleigh, página 34, problemas: 3.1, 3.2, 3.6, 3.7, 3.8, 3.11, 3.12, 3.13, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, Pruebe que en D 3 hay cuatro elementos que satisfacen x 2 = e. (interpretar geometricamente) y tres que satisfacen y 3 = e. 40. Realizar la tabla de multiplicación de: Q Calcular el centro de D 3 ; Q Realizar el diagrama reticular de D 3 ; Q En D 3 hallar: C( 0 ); C( 1 ); C( 2 ). 44. Sea n 2 Z, demuéstre que nz = fnm : n 2 Zg Z. 45. Si m; n 2 Z, nz; mz son subgrupos de Z y por lo tanto nz \ mz Z, pruebe que nz \ mz = = kz k = mcm(n; m) es el mínimo comun multiplo entre m y n. 46. Sea G el grupo de los números complejos no nulos con la multiplicación probar que cada uno de los siguientes subconjuntos de G es un subgrupo. a. H = f1; 1; i; ig b. K = x 2 C : x 3 1 = Sea G un grupo abeliano, probar que cada uno de los siguientes subconjuntos de G es un subgrupo. a. H = x 2 G : x 2 = e b. Para n 2 Z + : H = fx 2 G : x n = eg 6

5 c. H = fx 2 G : x tiene orden nitog d. Es cierto que H = x 2 G : x 2 = e G si G no es abeliano?. 48. Sea G un grupo y H G, probar que cada uno de los siguientes conjuntos es un subgrupo de G : a. S(H) = x 2 G : x 2 2 H b. ghg 1 = ghg 1 : h 2 H 49. Sea G un grupo abeliano H G y K G, pruebe que HK G. Es cierto lo anterior si G no es abeliano? 7

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