DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS EN BUSCA DE UN OPTIMO SOCIAL DESIGN OF A SINGLE SAMPLING ATTRIBUTES IN SEARCH OF A SOCIAL OPTIMUM

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1 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS EN BUSCA DE UN OPTIMO SOCIAL DESIGN OF A SINGLE SAMPLING ATTRIBUTES IN SEARCH OF A SOCIAL OPTIMUM JOHN HENRY RIOS GRIEGO MS., Ponifiia Uniersidad Caólia de Chile, jrios@ing.pu.l. Reibido para reisar Julio 11 de 011, aepado Agoso 19 de 011, ersión final Agoso 1 de 011 RESUMEN: Los planes de uesreo siple son una de las herraienas epleada en la indusria para aepar o rehazar loes. Noralene, los paráeros neesarios -riesgo del produor y riesgo del onsuidor, y niel aepable de alidad y el niel líie de alidad- son asignados por ada uno produor o onsuidor busando su benefiio personal. Toar deisiones en esa fora no iene en uena el daño que un produo no-onfore genera a la soiedad, por ejeplo el daño produido por una aquina defeuosa al operador. En el presene esudio desarrollaos un odelo que obina planes de uesreo siple por aribuo on la ara de onrol del núero de produos noonfores. El odelo axiiza el bienesar soial enonrando políias ópias de preio, aaño de uesra y núero de aepaión. Esa eodología perie idenifiar abios inesperados en el proeso de produión e ipleenar planes de reuperaión de lienes afeados por adquirir produos no-onfores. Finalene, nuesra eodología abién perie ipleenar planes de ejora oninua. PALABRAS CLAVE: Opiizaión, Caras de onrol, Planes de uesreo siple, Aualizaión Bayesiana, Prograaión dináia. ABSTRACT: Single sapling plans is one of he ools used in indusry for aep or reje los. Norally, he neessary paraeers produer and onsuer s risk, and aepable and liiing qualiy leel are assigned by eiher produer or onsuer seeking heir indiidual benefi. Making deisions in his way does no ake ino aoun he daage ha a nononforing produ generae o he soiey, for exaple he injuries produed by a defeie ahine o operaors. In he presen sudy we deelop a odel ha obines single aepane sapling plans by aribue wih he onrol har for nuber of nononforing produs. The odel axiizes soial welfare by finding opial priing poliies, saple size, and aepane nuber. This ehodology allows idenifying unexpeed hanges in he produion proess and ipleening reoery plans for usoer affeed by nononforing produs. Finally, our ehodology also enhanes he ipleenaion of plans for oninuous iproeen. KEYWORDS: Opiizaion, Conrol hars, Single sapling plans, Bayesian updaing, Dynai prograing. 1. INTRODUCCIÓN En el área de onrol de alidad, uno de los prinipales objeios es haer las osas bien desde el oienzo y llear los proesos a ero defeos [1]. Sin ebargo, debido a las fluuaiones naurales de los proesos y a los osos de produión e inspeión, uando se raa de produos asios o seiasios donde se requiere de períodos oros para obener una uesra, en la práia se onsigue reduir onsiderableene la anidad de produo defeuoso, exisiendo la neesidad de olerar una pequeña fraión de ése. Para eso Dodge y Roing [] popularizaron los planes de uesreo para juzgar loes, donde exisen res alernaias de deisión: (1 aepar loes sin inspeión; ( inspeionar el 100% de los produos y ( eplear un uesreo de aepaión, y dependiendo de la araerísia de alidad que se desea ealuar ésa se lasifian por aribuos o por ariables []. Para ayor inforaión sobre planes de uesreo, enajas y desenajas de ésos reíase a Juran e al. [4], Dunan [5] y Mongoery [6]. Enre los planes de uesreo exisene, el de uesreo siple es uno de los ás epleados y probados requiriendo inspeionar sólo una pequeña uesra aleaoria para oar una deisión sobre aepar un loe n, : para un aaño de uesra n, se rehaza el loe si se enuenran ás de produos no-onfores y ese loe rehazado es inspeionado en su oalidad. Reieneene se [7]. Ese plan se denoa por ( Dyna, año 78, Nro. 169, pp Medellín, Oubre, 011. ISSN

2 54 Ríos ha inreenado el inerés por el diseño de planes de ese ipo oo es el aso de Markowski y Markowski [8], Radhakrishnan y Sankar [9] y Jozani y Mirkaali []. En el diseño de planes de uesreo siple, la fraión de produo defeuosa olerada se define oo niel de alidad aepable (NCA, on lo ual se espera que exisa una probabilidad ala de aepar un loe y orrer un riesgo pequeño de rehazar loes buenos (riesgo del produor, α. Tabién, es neesario fijar un alor líie de alidad (NLC, donde los loes que presenen esa fraión de produo defeuoso sean aepados on una pequeña probabilidad (riesgo del onsuidor, β. Es deir, aepar loes de ala alidad [10]. Los alores de n y se pueden esiar on base en una disribuión hipergeoeria, poisson o binoíal [11], en Shilling [1] se presenan oras disribuiones. Finalene, inspeionado el loe y reirado las unidades no-onfores de la uesra, la alidad del loe ejora leeene y la fraión de produo no-onfore reanene reibe el nobre de alidad proedio saliene (CPS. Cuando en el proeso de inspeión se enuenra un produo on probleas de alidad, los osos y la pérdida de dinero, inluyendo los iepos de operaión se relaionan direaene on el produor, ese perjuiio no debe erse sólo de ese puno de isa, dado que un produo defeuoso perjudia a la soiedad en general [1]. Los gráfios de onrol surgen on Shewhar [14] debido a la neesidad de obserar las ariaiones de los proesos en el iepo. Esas ariaiones se deben a ausas naurales propias del proeso o a ariaiones aribuibles debido a agenes exernos que no pereneen al proeso [11]. La fora de realizar esos grafios es on base en la relaión enre la edia µ y la desiaión esándar σ de una araerísia de alidad, su líie de onrol inferior (LCI, la línea enral (LC y el líie de onrol superior (LCS ienen dados por: LCI LC = µ = µ σ LCS = µ + σ (1 Con lo anerior se asegura que bajo onrol esadísio debido a fluuaiones naurales, al seleionar una uesra n del proeso y grafiarla en la ara, exise una probabilidad del 99.7% de que esa se enuenre enre los liies de onrol [5]. Exisen dos ipos de gráfios y esos dependen de la araerísia de alidad que se quiera edir: para ariables, uando se puede edir por un insrueno de ediión y por aribuos uando no se pueden edir on un insrueno. Para ayor inforaión referene a gráfios de onrol, reíase a Juran e al. [4], Dunan [5] y Mongoery [6]. Enre los ipos de gráfios para aribuos se ienen la ara del núero de no-onfores (CCNN, donde se grafia el núero de produos no-onfores enonrados en las uesra n [10]. La prograaión dináia (PD enuenra la soluión ópia de un problea on n ariables desoponiéndolo en n eapas, siendo ada eapa un subproblea de una ariable y funiona de fora reursia, dado que la soluión ópia de un subproblea se eplea oo dao para el siguiene [15]. La reursiidad se lasifia en: aane, uando los álulos se realizan desde el período iniial hasa el final o de reersas, uando los álulos se haen en senido onrario [16]. De auerdo on la inforaión, La PD se lasifia en: 1 probleas deerinísios, uando la inforaión es onoida, probleas esoásios, donde la inforaión es desonoida, pero se puede represenar por una disribuión de probabilidad, y probleas de adquisiión de inforaión, donde se iene ineridubre y on la inforaión reoleada se esian las disribuiones [17]. Para ayor inforaión sobre PD reíase a Taha [15], Bersekas [16] y Powel [17]. La aualizaión Bayesiana (AB es un proediieno ieraio que uplen on algunos de los supuesos de las adenas de Marko [18] de prier orden: el onjuno de resulados es finio, la probabilidad en la siguiene eapa sólo depende de las deisiones aneriores. Pero, on la diferenia que las probabilidades de ourrenia abian en el iepo y esas son aualizadas epleando el eorea de Bayes [19]. El eorea de Bayes resuele el efeo de desesabilizaión de la probabilidad ondiional, donde

3 Dyna 169, se sobre esia la iporania de ieras araerísias de un fenóeno, en dezero de oras enos eidenes pero igualene releanes [0] y iene dado por la expresión: P P = ( a b ( b a P( a P( b ( Donde P ( a son las probabilidades a priori. P ( b a es la probabilidad de b ondiionada a a y P ( a b son las probabilidades a poserior. Para ayor inforaión sobre AB reíase a Powel [17]. La búsqueda Tabú (BT es una eaheurísia uya filosofía se basa en la exploaión de diersas esraegias ineligenes para la resoluión de probleas [1], uo sus origines a finales de los 70s uando fue epleando en probleas lineales de oberura []. Es epleando hoy en día en la eoría de grafos, probleas generales de prograaión pura y enera ixa y se define oo un proediieno adapaio epleado para superar las liiaiones de opialidad loal []. Para ayor inforaión, apliaiones y algorios de TS reíase a Gloer e al. [1], Gloer [] y Gloer [4]. En esa inesigaión proponeos una herraiena que perie diseñar un plan de uesreo siple por aribuos (PMSA, uyo objeio es axiizar el bienesar fijando políias ópias de preios y núero de aepaión, disinuyendo la exernalidad generada por un produo defeuoso. La eodología propuesa eplea una obinaión enre PMSA, CCNN y se basa en el odelo desarrollado por Subrahanyan y Shoeaker [5]. Pero que al eplear una obinaión enre PD de reersa on probleas de adquisiión de inforaión y AB lo oniere en un problea hard e irresoluble opuaionalene en la edida que reen los paráeros, lo anerior se onoe oo el problea de diensionalidad en prograaión dináia [15]. Para resoler probleas hard desribios arias eodologías propuesas en la lieraura exisene y epleadas apliaene hoy en día. El reso de ese rabajo se organiza de la siguiene fora: En la seión, presenaos la desripión, forulaión y eodología de soluión del problea. En la seión, presenaos un aso de esudio donde se ilusra la eodología propuesa. Finalene, presenaos las onlusiones del aríulo y se disuen algunos rabajos fuuros que pueden surgir de esa inesigaión en la seión 4.. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA A la hora de diseñar planes de uesreo siple, ada uno de los inolurados busa su benefiio personal. Es así, oo el proeedor busa α ás pequeños, on el fin de que le rehaen enos loes buenos y el liene busa enores β, on el objeio de aepar enos loes alos. Obiaene, al proeedor y el liene abién inenaran obener ayores alores de β y α, respeiaene. Todo eso desde una perspeia egoísa busando un benefiio personal y sin ener en uena el ipao que ausa en la soiedad un produo defeuoso. Exisen oras ariables y paráeros inolurados, que las eodologías onenionales no ienen en uena a la hora de esiar los paráeros de un plan de uesreo siple, al es el aso de la fraión de produo defeuoso generada en el proeso produio, el preio ópio del produo, el abio en el bienesar debido a una ariaión en el núero de aepaión, el oso de inspeión, el ipao en la soiedad por reibir un produo defeuoso y los osos de reuperaión de los lienes por adquirir esos produos. En esa seión, iniialene se inrodue la noaión a uilizar, los supuesos realizados, y algunas onsideraiones generales. Luego, se presena el odelo de aualizaión Bayesiana. Después, se presena la forulaión del odelo de prograaión dináia probabilísia que busa un ópio soial. Poseriorene, se presena la eodología epleada para enonrar los resulados. Enones, se enuenra el aaño de la uesra a exraer del loe. Por úlio, se presena un apa onepual donde se ilusra la eodología..1 Noaión, supuesos y onsideraiones del odelo Coenzaos nuesra presenaión del odelo ediane la definiión de la noaión, los supuesos epleados y ieras onsideraiones releanes.

4 56 Ríos.1.1 Noaión : período en que se diiden las enregas. j : disribuión de probabilidad (j=1,,. d j : proporión de aríulos defeuoso de la disribuión j. n n : aaño de uesra para CCNN. : aaño de uesra para un PMSA. N : aaño del loe. p : preio por unidad al oienzo del período. δ : asa de desueno de flujos. : núero de aepaión en el período. s : núero de aríulos no-onfores enonrados en la inspeión en el período. hi h p : oso por unidad inspeionada en un PMSA. : oso de produión por unidad. wd : penalizaión por unidad del produo defeuoso después de la inspeión. w : penalizaión por ada unidad en que se inreena el núero de aepaión debido al abio en PMSA en un período. o : abio del núero de aepaión en un período ineredio debido a un abio de plan de uesreo. γ : NCA en fraión..1. Supuesos El proeso de produión se enuenra bajo onrol esadísio. Adeás, la epresa supone dos disribuiones adiionales que podrían represenar el oporaieno fuuro del proeso debido a un abio no esperado. Cada una de las res disribuiones ienen una probabilidad de ourrenia j. Diha probabilidad se irá aualizando a edida que aanza el iepo en funión del oporaieno del proeso. Las res disribuiones de probabilidad se denoan oo f j ( s p, para un esenario que represena el proeso bajo onrol esadísio ( j =, oro que represena el proeso fuera de onrol por un inreeno en la anidad de no-onfores ( j = y el úlio represena una reduión del núero de no-onfores (ejora del proeso, j = 1. La edia de ada disribuión de preios fuuros es dereiene en la edida que ejora la alidad del produo. En oras palabras, enre enor sea la anidad de produo no-onfore del proeso el preio puede disinuir, debido a la reduión de los reproesos y las inspeiones. El horizone del esudio se diide en T períodos. Esos períodos orresponden a los iepos enre despahos y la relaión liene-proeedor perie una libre ouniaión enre los osos de los diferenes proesos, al oo lo sugiere la filosofía jus-in-ie Monden [6] enre oras..1. Consideraiones En esa seión presenaos ieras ondiiones que deben enerse en uena para el buen funionaieno del la eodología propuesa. Los ingresos deriados de las diferenes penalizaiones an a un fondo uuo. Diho dinero se eplea para ipleenar planes de ejora de alidad y para el proeso de reuperaión de los lienes que se ean afeados por seleionar un produo defeuoso. El preio del produo se fija de auerdo on un rango preiaene esableido enre el produor y onsuidor. Ese preio aría de auerdo on el oporaieno del proeso en la edida que ejora o se deeriora la alidad del produo durane el horizone de planifiaión. La epresa puede abiar el núero de aepaión en la edida que se realizan los despahos. Ese abio se realiza anes de ada despaho.

5 Dyna 169, La aualizaión de j( 1 a j depende de s ( 1, p ( 1 y j( 1 obseradas. De esa anera si en el prier período se obsera un núero de aepaión alo, la probabilidad de que el proeso se enuenre fuera de onrol auena y que sea ualquiera de los dos resanes disinuye. Coo j depende de lo que pasó en el período 1 y j depende de lo suedido en el período ás j, se iene que j ( > obedee a odo el hisorial. Eso es que j depende de: ( o1,..., o ; p1,..., p ; q1,..., q ; 1,...,. Diho hisorial se denoa por la ariz K. La razón de operaión para un plan de uesreo siple (ara Deaeron se define oo razón enre las fraiones del NLC y el NCA en oras palabras uanas ees abe el NCA en el NLC y la esiaos on la siguiene euaión: R n d = + n d 1 n ( n d γ ( Donde d LC y n d + n d ( 1 n d el LCS de la CCNN e igual a la fraión del NLC en un PMSA. n represena la línea enral (. Aualizaión Bayesiana Para la aualizaión bayesiana de la probabilidad de ourrenia, nos basaos en la eodología sugerida por Subrahanyan y Shoeaker [5], donde proponeos que la funión g j ( s p, represena la probabilidad de obserar un núero de no-onfores s, ondiionada a un preio p y un núero de aepaión de auerdo on la disribuión de deanda j de la siguiene anera: ( s p f j si s < ( = g j s p, f j ( x p si s = x= s 0 si s > De auerdo on la probabilidad g ( s p, se obiene la disribuión de probabilidades del núero de produos no-onfores s ondiionadas h ( s K, p,. Para eso se neesian la probabilidad de ourrenia de ada deanda. j j h j ( s K, p, = g ( s p, j = 1 j j (5 Esa es la probabilidad de una ena, dado un hisorial K, p y para ada período, luego de obsera la anidad de produo no onfore, se aualizan la probabilidad de ourrenia, asuiendo que el núero de produo no-onfore es real en ada una de las probabilidades de ourrenia j a raés de la regla de Bayes. La aualizaión a abiando la probabilidad de ourrenia y se expresa oo: j g j ( s p, j( + 1 = i hi ( s p, i= 1 (6. Forulaión A oninuaión se planea un odelo de prograaión dináia, el ual preende axiizar el bienesar, eniendo oo ariables de deisión el preio y el núero de aepaión. El odelo queda expresado de la siguiene anera: Ψ w g [ ( K = ax ( n s p, o s j = 0 p h s o ( LCS s wd + Ψ( + 1 K ( + 1 ( s K, p, ( 1 + δ p ( ] (7 En esenia, ese odelo axiiza el bienesar esperado oal en el período, eniendo en uena los ingresos por la ena del loe, osos de los produos no-onfores enonrados por el plan de uesreo, osos generados por un inreeno en el núero de aepaión deriados por un abio de plan en un período ineredio y osos generados por la anidad de produos no-onfores denro del loe después de la inspeión, ás el bienesar esperado dadas las deisiones ópias en los períodos fuuros. En el úlio período, no se onsidera el érino del bienesar a fuuro. Para resoler ese odelo. Priero, esiaos las probabilidades ondiionales y poseriorene se uiliza el poliy ieraion algorih [7], enonrando

6 58 Ríos el bienesar en el período y obeniendo los alores K. ópios en los períodos aneriores ( Dependiendo del esado del proeso, las euaión 7 queda sujea a la resriión de núero de noonfores. LCI LS (8 Donde LCI orresponde al líie inferior uando el proeso se enuenra bajo onrol y LS el líie superior uando se he inreenado la anidad de produo no-onfores, y son iguales a: LCI LS = n d n d 1 ( n d = n d n d 1 d ( n d (9 (10 Por úlio para enonrar el benefiio esperado del produor después de la inspeión, a los ingresos por loe se le resa el oso de inspeión y de elaboraión del produo. ( n ( 1 α + αn h N Φ = p0 N hi p (11 perie soluionar ese ipo de probleas y epleada por nosoros en esa inesigaión, es la desarrollada por Rios e al. [8] que onsise en inspeionar ruas denro del onjuno de soluiones posibles hasa enonrar la ejor soluión. Para eso eplea un algorio de búsqueda Tabú..5 Taaño de uesra PMSA Para deerinar el aaño de la uesra n del plan de uesreo siple, epleaos el éodo Deaeron [10] y los pasos para esa eodología son: Paso1: Enonrar R en la Tabla 1 eniendo en uena α y β aordados preiaene, y el alor de ₀ enonrado. Tabla 1: Razón de operaión éodo de Caeron (Fuene: [10]..4 Méodo de soluión Rios e al. [8] enonraron que ese ipo de probleas se pueden resoler por éodos exaos siepre y uando se upla on la siguiene euaión. T ( i 1 ( i p pin + 1 ( LS + 1 ax 4 10 i= 1 (1 Sin ebargo, para probleas de ayor aaño Rokafellar y Wes [9] proponen haer un análisis de esenarios en donde el problea de opiizaión se diide en subprobleas, para ada subproblea se enuenra una soluión ópia, para luego enonrar una soluión al problea de fondo. Oros auores eplean la prograaión dináia aproxiada [0]. Esa eodología fue inroduida por Werbos [1] que iniialene la llaó diseños ríios de adapaión (ACDs. Tabién es onoida oo prograaión dináia heurísia [], ésa herraiena básiaene onsise en resoler dos probleas: El priero, es seleionar aleaoriaene una uesra que pereneza al onjuno de soluiones posibles. La segunda, es enonrar un rierio para oar deisiones. Para luego realizar siulaiones [17]. Ora eodología que Paso: Eplear la euaión para esiar γ, on el LC que arroja el proeso y R. Paso: Enonrar n, on el γ enonrado en el Paso y los alores de n γ dados en la Tabla 1. Noa: para poder eplear la abla de Deaeron, el aaño de la uesra debe ser al enos diez ees enor que el aaño del loe..6 Diagraa Una ez onoidos los oponenes del plan de uesreo propueso, en la Figura 1 presenaos un esquea del plan, donde se apreian los flujos de produo, dinero e inspeión.

7 Dyna 169, Tabla : Paráeros de las disribuiones. Disr1 Disr Disr La edia y desiaión de los períodos fuuros para ada disribuión se enuenran on base en las euaiones 1. θp ( 1 q e σ = nq ( q µ = n 1 (1 Donde θ represena la sensibilidad al preio e igual a 0.01 para ese ejeplo. Figura 1. Esquea del plan propueso. CASO DE ESTUDIO Un aso de esudio epírio fue lleado a abo on objeo de ilusrar la eodología sugerida. Las ondiiones y araerísias del experieno son: El esudio onsa de dos períodos. En oras palabras solo se haen dos despahos en el horizone de planifiaión. El aaño del loe es de 1,000 unidades. El oso por ada unidad produida es de $10. El oso por inspeionar una unidad es de $1. La penalizaión por ada produo defeuoso después de la inspeión es $4. Adeás, se asue que el núero de aepaión puede abiar en los siguienes períodos y se penaliza on $ por ada unidad que se inreena. El preio ínio del produo es $15, ienras que el áxio es $5. En la Tabla se presena la edia y la desiaión esándar para ada una de las disribuiones sin la sensibilidad al preio. Tabién, se presenas las probabilidades de ourrenia iniiales asignadas por el oador de deisiones a ada disribuión. Se asue un faor de desueno δ igual a 0. El LCS es 8.8% y su fraión es igual al NCL en PMSA. El riesgo del produo es de 0.05 y el del onsuidor de El experieno oienza orriendo el algorio de búsqueda Tabú desarrollado por Rios e al. [6] on la euaión 6 y los paráeros enionados aneriorene. Coo resulado se enuenra un preio de ena igual a $4 y el núero de aepaión 1 obeniéndose un bienesar esperado de $8,047. Epleando los pasos desrios en la seión.4, el aaño de la uesra es 55 y on la euaión 9 el benefiio esperado del produor es $,047. Para inferir sobre el oporaieno del proeso para el segundo período, si se enonraran 5 produos noonfore en la uesra. El loe sería rehazado y las probabilidades de ourrenia para el segundo período serían , 0.116, y para ₁₂, ₂₂ y ₃₂, respeiaene. Lo anerior india un aueno en la Disr ienras que las oras dos disinuyeron. Eso puede indiar que ha auenado la anidad de produo no-onfore en el proeso. Por oro lado, el oso de los produos no-onfores enonrados en la uesra sería de $50, la penalizaión debida a un inreeno en el núero de aepaión sería de $8 y la debida a la CPS de $9. Con eso se endría un fondo de $17 para ipleenar planes de ejoras anes de iniiar el segundo período.

8 60 Ríos 4. CONCLUSIONES En esa inesigaión proporionaos una herraiena que perie diseñar planes de uesreo siple por aribuos, uando se rabaja on produos asios o seiasios, en busa de un ópio soial (axiizar el bienesar. Enonraos que nuesra eodología presena uaro enajas releanes on respeo a la práia noral. La priera, es que inorpora el daño generado por un produo no-onfore a la soiedad, inolurando penalizaiones que perien generar reursos para ipleenar planes de reuperaión y on eso anener la fidelidad de los lienes. Una segunda, es que perie onsaneene onoer los osos generados por la anidad de produo no onfore debido al CPS, on lo ual se esiula la elaboraión de planes de ejora oninua en busa de su reduión. Una erera enaja se debe a que inorpora probabilidades de ourrenia, on las uales se puede inferir sobre el oporaieno del proeso al oeno de haer el uesreo (bajo o fuera de onrol esadísio. La uara enaja se debe a que fija el preio uniario en funión de la alidad del produo. Con eso se logran enores preios en la edida que disinuye el núero de produos noonfores, debido a la reduión en los osos de inspeión y de reproesos, ejorando el resulado operaional de los enes inolurados. De auerdo on lo anerior, la eodología sugerida obliga: al produor, a ipleenar planes de ejora oninua disinuyendo así la anidad de produo no-onfore. Al onsuidor, a anener una ouniaión onsane on el produor sobre la alidad del produo onsiguiendo de esa fora ejores preios. A la soiedad, a anener la fidelidad on el produo, debido a la buena alidad de esé y abién, porque rea fondos que perien desarrollar planes de reuperaión uando un liene se e afeado negaiaene por un produo no-onfore. Sería ineresane exender esa eodología a úliples produos y ener en uena la presenia de susiuión y opleenariedad enre los diferenes loes. Ora direión ineresane, es la de rabajar on aras de onrol uliariadas. REFERENCIAS [1] Crosby P., Qualiy is free: The ar of aking qualiy erain, Aerian Library, New York, [] Dodge H. and Roing H., A ehod of sapling inspeion, The Bell Syse Tehnial Journal, 8, pp , 199. [] Jozani M. and Mirkaali S., Iproed aribue aepane sapling plans based on axia noinaion sapling, Journal of Saisial Planning and Inferene, 140, pp , 010. [4] Jura J. and Gryna F., Qualiy planning and analysis, MGraw-Hill, New York, 199. [5] Dunan A., Qualiy onrol and indusrial saisis, 4h Ediion, MGraw-Hill, New York, [6] Mongoery D., Inroduion o saisial qualiy onrol, John Wiley and Sons, In., Hoboken, New Jersey, 005. [7] Borge I., Laille I., Pai, S. Mihiels A., Merier L., Desaris R. and Bourge P., Appliaion of an aepane sapling plan for posproduion qualiy onrol of heoherapeui bahes in and hospial pharay, European Journal Pharaeuis and Biopharaeuis, 64, pp.9-98, 006. [8] Markowski E. and Markowski C., Iproe aribue aepane sapling plans in he presene of islassifiaion error, European journal of operaional researh, 19, pp , 00. [9] Radhakrishnan R. and Sankar S., Single sapling plan for hree aribue lasses indexed hrough aepane qualiy leel, Inernaional Journal of Saisis and Manageen Syse 4, pp , 009. [10] Guierrez H. y De la Vara R., Conrol esadísio de alidad y seis siga, M Graw Hill, Méxio D.F., 004. [11] Sierra E., Conrol de alidad, 1s Ediion, Biblioea de Gerenia, Uniersidad de los Andes, Sana Fe de Bogoá, [1] Shilling E., Aepane sapling in qualiy onrol, Marel Dekker, New York, 198. [1] Taguhi G., Chowdhury S. and Wu Y., Taguhi s Qualiy Engineering, John Wiley & Sons In., New Jersey, 005. [14] Shewar W., Eonoi onrol of qualiy of he anufaured produ, Qualiy, Van Nosrand, New York, 191. [15] Taha H., Inesigaión de operaiones, Opiizaión, Ed. Prenie Hall, Méxio, 004.

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