POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS

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1 POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, expresar áreas, volúmenes y otras magnitudes como por ejemplo: - Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el radio de la circunferencia. - Área del cuadrado: S = l 2, donde l es el lado del cuadrado. - Volumen del cubo: V = a 3, donde a es la arista del cubo. Las expresiones algebraicas pueden tener un término (Monomio) o varios términos (Polinomio) MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: 2x 2 y 3 z Partes de un monomio: Parte numérica o coeficiente del monomio: es el número que aparece multiplicando a las variables. En el ejemplo 1, la parte numérica es: 2 Parte literal: está constituida por las letras y sus exponentes. En el ejemplo 1, la parte literal es: x 2 y 3 z El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. En el ejemplo 1, el grado es: 6 Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Ejemplo: 2x 2 y 3 z es semejante a -7x 2 y 3 z OPERACIONES CON MONOMIOS SUMA/RESTA: Sólo podemos sumar monomios semejantes. El resultado es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. MULTIPLICACIÓN/DIVISIÓN: La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene como parte numérica, el producto/cociente de las partes numéricas o coeficientes y cuya parte literal es el producto/cociente de las partes literales, que se agruparán utilizando las propiedades de las potencias. POTENCIA: Para realizar la potencia de un monomio, se eleva cada elemento de éste,

2 al exponente de la potencia (propiedades de las potencias). Ejemplo: 2x 2 y 3 z -7x 2 y 3 z = -5x 2 y 3 z (4x 3 y 5 z 2 )(2 x 2 yz 2 ) = 8x 5 y 6 z 4 (4x 3 y 5 z 2 ):(2 x 2 yz 2 ) = 2xy 4 POLINOMIO Es una expresión algebraica compuesta por la suma de varios monomios. Ejemplo: 3xyz + 3xy 2 z - 0.1xz Grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Si el polinomio es de una sola variable, es el mayor exponente al que está elevada la variable Valor numérico de un polinomio es el resultado de sustituir la (las) variable (variables) por un número (números) cualquiera. Ejemplo: Si P(x)= 2x 3 + 5x 3, el valor numérico de P(x) para x=2 es: P(x=2)= = =23 OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA/RESTA: Se suman/restan los monomios que sean semejantes. Ejemplo: si P(x) = 2x 3 + 5x 3 y Q(x) = 4x 3x 2 + 2x 3 P(x) + Q(x) = 2x 3 + 5x 3 + 2x 3 3x 2 + 4x= 4x 3 3 x 2 + 9x 3 P(x) - Q(x) = 2x 3 + 5x 3 (2x 3 3x 2 +4x)= 3x 2 +x-3 MULTIPLICACIÓN: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. Ejemplo: si P(x) = 2x 2 3 y Q(x) = 2x 3 3x 2 + 4x P(x) Q(x)=(2x 2 3) (2x 3 3x 2 +4x)= 4x 5 6x 4 +8x 3 6x 3 +9x 2 12x= 4x 5 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 12x DIVISIÓN: el proceso es similar a la división por cajas que se aprenden primaria. Lo vamos a ver con un ejemplo dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para averiguar el primer término del cociente. En este caso: x 5 :x 3 =x 2 efectuamos el producto de x 2 por todos los términos del divisor y los vamos colocando, cambiados de signo, debajo de cada término

3 correspondiente del dividendo. A continuación efectuamos la suma de los términos semejantes y bajamos el siguiente término del dividendo. Repetimos el proceso con el resultado de la suma anterior, es decir 5x 3 :x 3 =5 que es el segundo término del cociente como el grado de -15x+1 es menor que el de x 3 +2x, no se puede seguir dividiendo. Siendo C(x)=x 2 +5 el cociente y R(x)=-15x+1 el resto de la división. Si hemos lo hemos hecho bien, se tiene que verificar que: x 5 +7x 3-5x+1 = (x 3 +2x)(x 2 +5) + (-15x+1) IDENTIDADES NOTABLES Existen entre los polinomios determinados productos que aparecen con tanta frecuencia que son fácilmente reconocibles y de los que podemos poner el resultado directamente sin necesidad de efectuar la operación. Se llaman identidades notables. I) Cuadrado de un binomio: (a+b) 2 y (a-b) 2 Elevar un binomio al cuadrado, es multiplicar ese binomio por si mismo: (a+b)(a+b)= aa+ab+ba+bb= a 2 +2ab+b 2 (a-b)(a-b)= aa-ab-ba+bb= a 2-2ab+b 2 en general: ± = + ± II) suma por diferencia: (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=aa+ab-ba-bb=a 2 -b 2 es decir: (a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4 DESOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS Cuando realizamos las multiplicaciones: 1. 2x(x 2 3x + 2) = 2x 3 6x 2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x x + 35 vemos que las expresiones de la izquierda están expresadas como producto de factores mientras que las de la derecha están expresadas en forma de sumas/restas de varios términos. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto de varios factores. En el ejemplo anterior, sería pasar de las expresiones de la derecha a las expresiones de la izquierda. Existen varias formas de factorización: 1. Sacar factor común a) Factor común de un monomio: es el factor que está presente en cada término de la polinomio: Ejemplo n 1: cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z? entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 2x + 6 3y - 6 4z = 6(2x + 3y - 4z ) Ejemplo n 2: Cuál es el factor común monomio en : 5a 2-15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a 2-15ab - 10 ac = 5a a - 5a 3b - 5a 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo n 3: Cuál es el factor común en 6x 2 y - 30xy x 2 y 2? El factor común es 6xy porque 6x 2 y - 30xy x 2 y 2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios : 1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x 2 = 5. 14m 2 n + 7mn = 6. 4m 2-20 am = 7. 8a 3-6a 2 = 8. ax + bx + cx = 9. b 4 -b 3 = 10. 4a 3 bx - 4bx = a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad = x - 12xy + 4xz = 14. 6x 4-30x 3 + 2x 2 = x 2 y - 15xy xy = m 2 n + 24m 3 n 2-36m 4 n 3 = 17. 2x 2 + 6x + 8x 3-12x 4 = p 2 q p 3 q 2-18p 4 q 3-16p 5 q 4 =

5 19. m 3 n 2 p 4 + m 4 n 3 p 5 - m 6 n 4 p 4 + m 2 n 4 p 3 = x y xy = a b + a b a b + a b = a b ab + a b a b = b) Factor común de un polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión: Ejemplo n 4. Factoriza: x(a + b) + y( a + b ) Existe un factor común que es (a + b) por lo que: = x(a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y ) Ejemplo n 5. Factoriza: 2a(m - 2n) - b (m- 2n ) aquí, el factor común es (m- 2n ), por lo que: 2a(m - 2n) - b (m- 2n ) = (m- 2n )( 2a - b ) EJERCICIOS. Saca factor común en las siguientes expresiones: 23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = 25. x 2 ( p + q ) + y 2 ( p + q ) = 26. a )- b (a ) = 27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x )-( 2 + x ) = 29. (x + y )(n + 1 )- 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a- 1 )- 2 ( a - 1 ) = 31. a( a + b )- b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r )-(2x- 5 )( 3 - r ) = 2. Localizar identidades notables a) Cuando nos encontramos con expresiones que tengan tres términos, puede ocurrir que se correspondan con el cuadrado de un binomio: (a+b) 2 o (a-b) 2. Se trata de localizar los cuadrados a y de b, y comprobar que el término que queda corresponde al doble producto de a por b. Ejemplo n 6. Factoriza: x 2 + 6x + 9 x 2 es el cuadrado de x (a), 9 es el cuadrado de 3 (b) y el término que queda es exactamente el doble producto de x por 3, con signo positivo, por lo que: x 2 + 6x + 9 = (x+3) 2

6 b) Cuando nos encontramos una diferencia de dos términos, se puede corresponder con una suma por diferencia, se trata de comprobar que estos términos son cuadrados conocidos. Ejemplo nº 7: Factoriza: 9x 2-16 es una diferencia de cuadrados pues 9x 2 es el cuadrado de 3x y 16 es el cuadrado de 4, por lo que: 9x 2-16 = (3x+4)(3x-4) EJERCICIOS 33. 9a 2-25b 2 = x = 35. 4x 2-1 = 36. 9p 2-40q 2 = m 2 n 2-25 = x 2-64t 2 = m n 2 = x k 2 = a b = x y = x 2-12 = f 2 = 45. 8y 2-18 = 46. 3x 2-75y 2 = m 3 n - 20mn = 48. 2a a 3 = EJERCICIOS: 49. b 2-12b + 36 = x xy + 49y 2 = 51. m 2-2m + 1 = 52. x x + 25 = m 2-40mn + 25n 2 = x 2-14x + 1 = x 2-84xy + 49y 2 = 56. 4a 2 + 4a + 1 = ª + 9a 2 = m 2-70 mn + 49n 2 = a 2 c acd + 4d 2 = a abc + 4b 2 c 2 = x 6 y 8-8 x 3 y 4 z 7 + z 14 =

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