Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria"

Transcripción

1 Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra

2 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó geométrca de la suma y el producto + S y so complejos, qué represeta el úmero. Cuál es el lugar geométrco de los putos λ + µ s λ y µ so reales y verfca λ + µ =? Solucó: Gráfcamete el afjo del úmero complejo + x + x y + y = + represeta el puto medo del vector que ue el orge co el afjo del úmero complejo + Los putos de la forma λ + µ so los putos de la recta ( ) ( ) λ + µ = µ + µ = + µ es decr, la recta que pasa por y cuyo vector drector es. Demuéstrese que s los putos,, so los vértces de u trágulo equlátero, etoces: + + = + + ya que arg( ) e = = e arg( ) e arg( ) e = = e arg( e ) arg = + ( ) arg( ) Profesora: Elea Álvare Sá

3 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I arg ( ) + = arg( ) Por lo tato, = + = = + + Veamos s es certo o o el recíproco, es decr, veamos s es certo que dados,, so los tres dferetes verfcado + + = + + etoces forma u trágulo equlátero. * Se reala la traslacó del tragulo llevado o al orge: =. Los úmeros so ahora: {, } { * *, =,, } Etoces, la gualdad + + = + + se trasforma e despejado * * * * = + * ( ) + = = + * * * * * * * * 4 resolvemos la ecuacó de segudo gradoe * * * * * = ( ± ) = ± * * Esto sgfca que es grado radaes (6 grados) y como ± = se tee =. Por lo tato, {, * *}, { * *, +, + } = {,, }. * * que forma u trágulo equlátero lo que sgfca que U tragulo equlátero tee su cetro e el orge y u vértce e el puto (,). Determar los otros dos vértces. Profesora: Elea Álvare Sá S

4 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Los águlos que forma dos lados de u trágulo equlátero so de radaes, luego hay que avaar + =. Por lo tato, como uo de los vértces es = = e, se tee que = e e = e = cos + se = = e e e = e = cos + se = so los otros dos. E forma bómca (,),,,, Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observado s los afjos de,, forma u trágulo equlátero etoces = = y el águlo etre y es el msmo que etre y y el msmo que etre. Por esta raó los tres vértces so las tres raíces cúbcas de la udad. E efecto, y k 4 = e k=,, = e, = e, = e Coordeadas complejas cojugadas 4 Hállese la ecuacó de la crcufereca ax ( + y ) + bx+ cy+ d= e fucó de las coordeadas complejas cojugadas (es decr, e fucó de y de su cojugado) Sea = x+ y y = x y etoces + = x = y x + y = = Susttuyedo e la ecuacó dada de la crcufereca 4 Profesora: Elea Álvare Sá

5 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I + a ( ) + b c + + d= a+ b+ b c+ c+ d= a+ b ( c) + b ( + c) + d= Módulo 5 Idcar s es correcto o falso el eucado sguete, raoado la respuesta: Sea, C de módulo, etoces + = = Como, C de módulo, llamado φ= ( ) y ( ) expoecal será = e φ y = e ψ. Luego, arg ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = ψ= arg e forma E cosecueca, = = = + + = 4 = Re( ) = ( φ ψ) Re( e ) = cos( φ ψ) = φ= ψ+ k y, por tato, como = e φ y = e ψ la últma afrmacó es lo msmo que decr, =. La mplcacó e el setdo es trval ya que s = etoces + =, y, por tato + = = Otra forma.- També puede realarse la demostracó smplemete operado e forma bómca. Teedo e cueta que y so de módulo udad su represetacó es Profesora: Elea Álvare Sá S 5

6 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos = cosφ+ seφ = cosψ+ seψ se cumplrá ( φ ψ) ( seφ seψ) = + = cos + cos + + operado, = cos φ+ cos ψ+ cosφ cosψ+ seφ+ seψ+ seφseψ = ( φ ψ seφseψ) ( φ ψ) = + cos cos + = + cos Luego, ( ) = + 4= + = cos φ ψ ϕ ψ= k ϕ= ψ+ k = por hpótess = = y, por tato =. 6 Dos úmeros complejos o ulos so tales que + =. Probar que es magaro. Método.- Por hpótess, + = + = ( )( ) ( )( ) + + = = + ( ) ( ) + = Re = luego dode se ha aplcado que ( ) ( ) + ( ) ( ) Re Im Im = = = Re = y, por tato, es magaro. 6 Profesora: Elea Álvare Sá

7 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Método.- Sea = a+ b = c+ d ( c d)( a b) ( )( ) + ca+ db+ da ( cb) ca+ db da cb = = = + a+ b a b a + b a + b a + b () Por otro lado, por hpótess + = luego, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c b d a c b d a c ( b d) ( a c) ( b d) = = + a + c + ac+ b + d + bd = a + c ac+ b + d bd 4ac= 4bd ac= bd Falmete, susttuyedo e () da cb = a + b que demuestra que es u úmero magaro puro. 7 Calcular el valor de a y b para que b a 4 sea real y de módulo udad Operado (b a)(4+ ) b 8a+ 9b+ 6a b+ 6a 9b 8a = = = + (4 )(4+ ) S se quere que sea real 9b 8a 8a = 9b 8a= b= 5 9 S además es de módulo uo b+ 6a 96a = b+ 6a = 5 + 6a = 5 a= 5 9 Profesora: Elea Álvare Sá S 7

8 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Luego, los valores peddos so a 4 = b= Lugares geométrcos 8 Descrbr los cojutos de putos del plao determados por las sguetes ecuacoes (a) Sea = a+ b etoces = a+ ( b ), se cumplrá a + ( b ) a + ( b ) El cojuto buscado es el teror del círculo de cetro (,) y rado. (b) > Sea= x+ y etoces = ( x ) + y y = ( x ) + y, sus módulos = ( x ) + y = ( x ) + y y por tato, > ( x ) + y > ( x ) + y La solucó es el cojuto 5 x + 4 4x+ y > x + 9 6x+ y x> 5 x> { / 5 /, xy, } R= x+ y x> R (c) + + = Forma : Por defcó de elpse se trata de ua elpse de focos los putos y = y semeje mayor 5 8 Profesora: Elea Álvare Sá

9 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Forma : Sea = x+ y, etoces = ( x ) + y, + = ( x+ ) + y, luego ( ) ( ) + + = x + y + x+ + y = Pasado ua de las raíces al segudo membro y elevado al cuadrado x + y = x+ + y ( ) ( ) ( ) x + x+ y = + ( x+ ) + y x+ + y Elevado uevamete al cuadrado, Completado cuadrados ( ) 8x 8= x+ + y ( ) x+ 7= 5 x+ + y ( ) ( 7) 5 ( ) x+ = x+ + y 4x x= 5( x+ ) + y = 5( x x+ y ) x + 4x+ 5y = 54 Se trata de la elpse ( x + x) + 5y = 54 ( x ) ( + ) + 5y = 54 ( x+ ) + 5y = 55 (d) > 4 Sea = x+ y, = x y etoces ( x+ ) y ( x+ ) y + = + = ( )( ) > 4 x+ y x y = x + y = > 4 > Luego > 4 es la regó del plao exteror de la crcufereca de cetro (,) y rado. Profesora: Elea Álvare Sá S 9

10 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos (e) = 4 Sea = x+ y, = x+ y ( ) etoces = 4 x + ( y ) = 6 Se trata de la crcufereca de cetro (,) = y rado 4. (f) <, Im> Se trata del cojuto { x+ y / x + y <, y> } es decr, del teror del semcírculo superor de rado. (g) + = Sea = x+ y, = x y, etoces 4 4 ± e + = + = = = e 6 6 Luego: e e 6 = e = e e 6 = e Cosderemos el úmero complejo: = x+ y= + cost + set Probar que cuado t vara e los umeros reales, se mueve sobre la crcufereca cuyo dámetro es el segmeto que uo los putos (/,),(,). Profesora: Elea Álvare Sá

11 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Calculamos e prmer lugar la expresó de x y de y e fucó de t. Multplcado por el cojugado del deomador Luego (+ cos t set) = (+ cos t+ set)(+ cos t set) + cost set + cost set = = t (cos t) + set 4+ cos t+ 4cost+ se 5+ 4cost 5+ 4 cost + cost set x= y= 5+ 4 cost 5+ 4cost Para comprobar que ( xy, ) está e la crcufereca de cetro (, ) + =. E uestro caso ( ab) x a y b r que ( ) ( ) cualquer puto de la forma cost set +, 5+ 4cost 5+ 4 cost cumple la ecuacó de la crcufereca. E efecto, ab y rado r basta verfcar, =, y r=. Es evdete que t cos set + x + y = + = 5+ 4cost 5+ 4cost ( 6+ cos 8 cos ) t t se t = + = 9 5 4cos (5+ 4cos t) ( ) ( + t) ( + t) 4 5 cost + 9set 6+ 5 cos t+ 4 cost+ 9set = = = cos 9(5+ 4 cos t) 5+ 6 cos t+ 4 cost = = = 9(5 4cos t) 9 + Profesora: Elea Álvare Sá S

12 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Potecas de expoete atural Escrbr e forma bómca el complejo: + cosx+ sex = + cosx sex Método.- Sea x x x x e + e e e = + cosx+ sex= + + = x x e + e = + + = + e x x e e e + e e e = + cosx sex= + = x x x x x Por lo tato, x x e + e = + = + e x x e e x ( ) x ( e ) x x x e e e + + x e + + = = = = e x Método.- Sea = + cosx+ sex = + cosx sex etoces = = = S cosderamos que e forma expoecal la expresó de es re θ se tee ( ) cosθ+ θ ( cos θ+ θ) r = = = se r = se r r r Profesora: Elea Álvare Sá

13 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Smplfcado, = cosθ+ se θ Para obteer la expresó e fucó de x se cosdera que sex cos x cosx x x θ= arctg = arctg = arctg = arctg tg = + (+ cos x) + cosx cosx dode se ha utlado x x cosx= se + cosx= cos Por lo tato, = = cos θ+ se θ= cosx+ sex Sabedo que + = cost, t R, C, hallar lo más smplfcado posble + Se tee que + = cost + = cost ( cost) + = (cos 4cos 4 cos cos cos = t± t = t± t = t± set Por lo tato, = cost± set. Por otro lado, cost set = = = cost set = cost set cost± set cos t+ set La expresó que os pde smplfcar será + = cos t ± set + cos t set + = cos t Profesora: Elea Álvare Sá S

14 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Raíces eésmas Calcular 6 = Calculado su módulo y argumeto r= = + = φ= arg( ) = arctg = se tee que sus raíces sextas so: k = 6 k=,,,,4,5 + k 6 (a) Demuestre que la suma de las raíces -ésmas de la udad es cero. (b) Demuestre que el producto de las raíces - eésmas de la udad es ó. (a) Las raíces - eésmas de la udad so de la forma: k = e k=,,..., k Por tato, κ 4 k = e = + e + e + + e k= k= Esto es la suma de los prmeros térmos de ua progresó geométrca de raó prmer termo, es decr, e y k k= e = = e (b) Cosderado ahora el producto, * * *... * k k= = e e e = e = e k k= 4 Profesora: Elea Álvare Sá

15 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I como, ( ) k= se tee k= k= spar ( + ) k = e = smpar Logartmos complejos 4 De etre todas las raíces -ésmas del complejo +. Hay algua raí cuyo logartmo prcpal sea real? Calculamos e prmer lugar +. Por defcó, so los úmeros complejos de módulo: r de argumeto: φ+ κ co k=,,,...( ) ; E este caso = +, luego r= + ( ) = φ= arctg = arctg =. Por tato, + tedrá por módulo: es decr, por argumeto: + κ co k=,,,...( ) k = co k=,,,...( ) + k k k + + k cos se = + co k=,,,...( ) Profesora: Elea Álvare Sá S 5

16 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Teedo e cueta que el logartmo prcpal de k es se cumplrá que es decr, log = l + arg( ) k k k ( ) log R arg = k + k = + k= k= = 6 Como los valores posbles de k so,,,...( ) etoces la preguta plateada sobre s hay algua raí cuyo logartmo prcpal sea real tee por respuesta que o exste gua raí cuyo logartmo prcpal sea real. k 5 Calcular el sguete úmero complejo: Como + = log + ( + )( + ) = = ( )( + ) log= + k El valor peddo es: = log = + 4k k Z 6 ω Dado a+ b= log ω sedo ω tal que + es real y el módulo de ω es la udad. Hallar a+ b. Se cosdera ω= c+ d cumpledo ω = c + d =. Se cumplrá que 6 Profesora: Elea Álvare Sá

17 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I ω r= + ω = R r = + c + d = ( c+ d)( ) ( )( ) R ( c d ) ( c d) r c + d= = R 4 c + d = c + d = c=± d=± ω= + ω= Luego + k log ω = l e k k = + + k Z, k=, 6 + k log ω = l e = + k+ k k, k=, Z Observacó: Puede ser teresate cosderar la expresó de ω de la forma: t ω= e = cost+ set ya que al teer módulo uo quedará perfectamete determado s se cooce arg( ) ω = t. 7 (a) Escrbr la forma bómca y expoecal el úmero complejo lsta del alumo e clase) + x (b) Calcular log= log + x = dado x= (umero de + Supogamos que x= + = ( ) ( )( ) 4*8+ + = = = = = = E forma expoecal se expresará Profesora: Elea Álvare Sá S 7

18 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos = + = = φ = e ya que φ arctg = Calculamos su logartmo x log= log = log + = + = l + arctg + k k Z La rama prcpal se obtee para k= log= l + arctg Potecas complejas 8 Sea u úmero complejo de represetacó bómca = a + b y cosderamos la poteca ( ) +. Se pde, para cada ua de las codcoes sguetes el cojuto de todos los complejos que la cumple y u ejemplo: ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( x+ y) ( log + ( + k) ) log x y log + = e = e = e 4 = x log y log ( k y x k ) 4 = e e k Z A - Que la poteca tega algú valor real. se y log + x + k = y log + x + k = k k 4 4 Z 8 Profesora: Elea Álvare Sá

19 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I k y log x= + k 4 kk, Z Basta dar valores a y, k y k para obteer x. E esos casos = x+ y verfcara que su poteca tee algú valor real. B Que la poteca tega resultado úco. S x es etero, y= el resultado es úco. x log cos x e se x C Que la poteca tega sólo u úmero fto de resultados S x= p / q e y = sólo hay q resultados correspodetes a k=,,,..., q. D Que la poteca tega todos los resultados co el msmo modulo e x log y k + 4 = cte y= E Que la poteca tega todos los resultados co el msmo argumeto. y log x + + k = cte x 4 Z 9 Calcular log ( + ) Aplcado la defcó ( k) ( ) log( + ) l + + log 4 ( + ) = = = log( ) l + + k ' 4 ( ) ( ) m k m k ' = ( m ) + ( + k ' ) 4 Profesora: Elea Álvare Sá S 9

20 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos sedo kk Z, Polomos Hallar los úmeros complejos tales que = Sea = a+ b debemos ecotrar a y b de forma que: ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) = a b + ab+ a b 4ab+ b+ 9= a b + = 9 (a b + 9) + ( ab+ b) = ab+ b= Se dstgue dos casos: Caso : b=, etoces por la prmera ecuacóa =, esto es absurdo pues a y b so úmeros reales. Caso : b, etoces a=+, y susttuyedo e la prmera ecuacó b b=± Luego los úmeros complejos so: =+ + =+ Cuátas raíces tee los polomos? Puedes decr algo sobre el úmero de raíces reales? Por qué? px ( ) = + x + x + (a) ( ) 5 5 raíces e C. No se puede decr ada sobre las reales porque px ( ) o es u polomo co coefcetes e R. Profesora: Elea Álvare Sá

21 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I 7 6 (b) px ( ) = x + x + 7 raíces e C. Tee al meos ua real por ser el grado mpar. 5 (c) px ( ) = x + x + 5 raíces e C. Tee al meos ua real por ser grado mpar. 7 6 (d) px ( ) = x + ( + x ) + 7 raíces e C. No se puede decr ada sobre las reales porque px ( ) o es u polomo co coefcetes e R. S F( ) es u polomo co coefcetes reales y F( + ) = a qué es gual F( ) determada F( a b) coocedo F( a+ b), s los coefcetes de F( ) o so todos reales?. Queda a) Sea F ( ) = a+ a a a, etoces como sus coefcetes so reales luego, ( ) F ( ) = a + a a = a + a a = F ( ) F( ) = F( ) = = + b) E el caso de que los coefcetes de F( ) o sea todos reales o se determa el valor de F( a b) coocdo el de F( a b) +. Por ejemplo, e el caso def ( ) = F(+ ) = (+ ) = (4+ 9) = ( 5+ ) = 5 F( ) = ( ) = (4 9) = ( 5 ) = 5 Hallar la relacó que debe verfcar los coefcetes a, b, c, d reales para que las raíces de la ecuacó tega el msmo argumeto. + ( a+ b) + ( c+ d) = Sea, las raíces. Expresádolas e forma expoecal será Profesora: Elea Álvare Sá S

22 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos θ = ρ θ = ρ e e Como, ( )( ) = ( + ) + = + ( a+ b ) + ( c+ d) se cumple que c d = + y ( a b) + = +. Por lo tato, luego, De dode, θ * ρρ = c+ d e = c+ d + = θ ( ρ + ρ) e θ ( ρ + ρ) e = a b + = ( a+ b) ρρ cosθ= c ρρ seθ= d ( ρ+ ρ) cosθ= a ( ρ+ ρ) seθ= b d b tgθ= tgθ= c a de relacoar la tagete del águlo doble co la tagete se ecotrará la relacó etre los coefcetes. Como seθ seθ cosθ tgθ tgθ= = = cos cos θ θ seθ tgθ Etoces b d ab = a = c b a b a La relacó buscada es d ab = s a b c a b Nota: S e la solucó de algú ejercco crees que hay algú error pote e cotacto co la profesora para su correccó. Profesora: Elea Álvare Sá

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es (Feb03-ª Sem) Problema (4 putos). Se dspoe de u semcoductor tpo P paraleppédco, cuya dstrbucó de mpurezas es ( x a) l = A 0 dode A y 0 so mpurezas/volume, l es u parámetro de logtud y a la poscó de ua

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS

Más detalles

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos Dreccó Facera Pág Sergo Alejadro Herado Westerhede, Igeero e Orgazacó Idustral 5. INTRODUCCIÓN Los prcpales métodos para la seleccó y valoracó de versoes se agrupa e dos modaldades: métodos estátcos y

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Números complejos. Números complejos. Las tribulaciones del estudiante Törless LITERATURA Y MATEMÁTICAS

Números complejos. Números complejos. Las tribulaciones del estudiante Törless LITERATURA Y MATEMÁTICAS Números complejos SOLUCIONARIO Números complejos LITERATURA Y MATEMÁTICAS Las trbulacoes del estudate Törless Dme, etedste be todo esto? Qué? Ese asuto de los úmeros magaros. Sí, o es ta dfícl. Lo úco

Más detalles

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE

Más detalles

V Muestreo Estratificado

V Muestreo Estratificado V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,

Más detalles

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito. MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales.

Más detalles

1.1 INTRODUCCION & NOTACION

1.1 INTRODUCCION & NOTACION 1. SIMULACIÓN DE SISEMAS DE COLAS Jorge Eduardo Ortz rvño Profesor Asocado Departameto de Igeería de Sstemas e Idustral Uversdad Nacoal de Colomba jeortzt@ual.edu.co 1.1 INRODUCCION & NOACION Clete Servdor

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional.

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional. 7 ELEMETOS DE MUESTREO COTEIDOS: OBJETIVOS: 7.. Muestreo aleatoro smple. 7. Muestreo aleatoro estratfcado. 7.3 Muestreo aleatoro de coglomerados. 7.4 Estmacó del tamaño poblacoal. Determar el dseño de

Más detalles

Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal Itroduccó a la Programacó Leal Clauda Llaa Daza Garzó cldaza@uversa.et.co Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Rego Rego Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Distribución conjunta de variables aleatorias

Distribución conjunta de variables aleatorias FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras E uchos probleas práctcos, e el so expereto aleatoro, teresa estudar o sólo ua varable aleatora so

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Topología General Capítulo 0-2 -

Topología General Capítulo 0-2 - Topología Geeral Topología Geeral apítulo - - - - Topología Geeral apítulo - 3 - Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f)

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE :

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE : Dpto. Ecoomía Facera y otabldad Pla de Estudos 994 urso 008-09. TEMA 3 Prof. María Jesús Herádez García. TEMA 3.- OPERAIONES DE AMORTIZAION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3..-LASIFIAIÓN DE LOS PRÉSTAMOS

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo

Más detalles

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1 MUESTREO E POBLACIOES FIITAS Atoo Morllas Coceptos estadístcos báscos Etapas e el muestreo 3 Tpos de error 4 Métodos de muestreo 5 Tamaño de la muestra e fereca 6 Muestreo e poblacoes ftas 6. Muestreo

Más detalles

6.2.- Funciones cóncavas y convexas

6.2.- Funciones cóncavas y convexas C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes.

Más detalles

UNA PROPUESTA DE GRÁFICO DE CONTROL DIFUSO PARA EL CONTROL DEL PROCESO

UNA PROPUESTA DE GRÁFICO DE CONTROL DIFUSO PARA EL CONTROL DEL PROCESO UNA POPUESTA DE GÁFICO DE CONTOL DIFUSO PAA EL CONTOL DEL POCESO VIVIAN LOENA CHUD PANTOJA (UDV) vvalorea16@gmal.com NATHALY MATINEZ ESCOBA (UDV) atta10@gmal.com Jua Carlos Osoro Gómez (UDV) juacarosoro@yahoo.es

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO ECEL D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Estadístcas Ecoómcas y Socodemográfcas. Isttuto Cátabro de Estadístca. Dª.

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

Transformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas

Transformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformada Z Defcó y Propedades Trasformada Iversa Fucó de Trasfereca Dscreta Aálss de Sstemas 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález fracsco.alvarez@uca.es Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá

Más detalles

11. TRANSFORMADOR IDEAL

11. TRANSFORMADOR IDEAL . TAFOMADO DEA.. TODUCCÓ Cuado el flujo magético producido por ua bobia alcaza ua seguda bobia se dice que existe etre las dos bobias u acople magético, ya que el campo magético variable que llega a la

Más detalles

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula

Más detalles

ÁLGEBRA II (LSI PI) VALORES Y VECTORES PROPIOS UNIDAD Nº 6. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

ÁLGEBRA II (LSI PI) VALORES Y VECTORES PROPIOS UNIDAD Nº 6. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO 6 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 6 VALORES Y VECTORES PROPIOS Facultad de Cecas Exactas y Tecologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto.

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC

Más detalles

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño

Más detalles

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL

Más detalles

MS Word Editor de Ecuaciones

MS Word Editor de Ecuaciones MS Word Edtor de Ecuacoes H L. Mata El Edtor de ecuacoes de Mcrosoft Word permte crear ecuacoes complejas seleccoado símbolos de ua barra de herrametas y escrbedo varables y úmeros. medda que se crea ua

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n. Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

CÁLCULO FINANCIERO. Teoría, Ejercicios y Aplicaciones

CÁLCULO FINANCIERO. Teoría, Ejercicios y Aplicaciones 2 CÁLCULO FINANCIERO Teoría, Ejerccos y Aplcacoes 3 Uversdad de Bueos Ares Facultad de Cecas Ecoómcas Autores: Jua Ramó Garca Hervás Actuaro (UBA) Master e Ecoomía y Admstracó (ESEADE). Docete de Posgrado

Más detalles

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

a es la parte real, bi la parte imaginaria.

a es la parte real, bi la parte imaginaria. CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes Guía para la Presetacó de Resultados e Laboratoros Docetes Prof. Norge Cruz Herádez Departameto de Físca Aplcada I Escuela Poltécca Superor Uversdad de Sevlla Curso 0-03 6 de octubre de 0 I Itroduccó Las

Más detalles

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Educagua.com MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Las meddas de cetralzacó so estadístcos que releja algú valor global de la sere estadístca. Las prcpales meddas de cetralzacó so: Meda artmétca smple. Meda artmétca

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA TERCERA: APLICACIÓN DEL CALCULO MERCANTIL Y FINANCIERO A LAS OPERACIONES BANCARIAS

UNIDAD DIDÁCTICA TERCERA: APLICACIÓN DEL CALCULO MERCANTIL Y FINANCIERO A LAS OPERACIONES BANCARIAS Coceptos (cotedos soporte) Udad de trabajo sexta: Geeraldades. Retas auales costates. Retas costates fraccoadas. Retas varables. Udad de trabajo séptma Geeraldades. mortzacó de u préstamo por el sstema

Más detalles

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - 1 - ÍNDICE CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Tema 1: Itroduccó a la estadístca - 1.1. Itroducc ó a la estadístca descrptva - 1.2. Nocoes báscas o 1.2.1.

Más detalles

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros . alcular el motate que obtedremos al captalzar 5. euros al 5% durate días (año cvl y comercal). Solucó: 5., euros (cvl); 5.,5 euros (comercal). 5. o ' 5,5 5,8 5,5 ' 5. 5.,5) 5,5) 5., 5.,5. alcular el

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Uverstat de les Illes Balears Col.leccó Materals Ddàctcs INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Joaquí Alegre Martí Magdalea Cladera Muar Palma, 00 ÍNDICE INTRODUCCIÓN: Qué es...? Qué

Más detalles

ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES

ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES Uversdad Rey Jua Carlos ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES Lus Rcó Córcoles Lceso J. Rodríguez-Aragó Programa. Itroduccó. 2. Defcó de redmeto. 3. Meddas para evaluar el redmeto. 4. Programas para

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

2.5. Área de una superficie.

2.5. Área de una superficie. .5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra

Más detalles

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral ÁLISIS D DTOS CULITTIVOS José Vcés Otero va Meda Moral ero 005 . COSTRUCCIÓ D U TL D COTIGCI Para aalzar la relacó de depedeca o depedeca etre dos varables cualtatvas omales o actores, es ecesaro estudar

Más detalles

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES

Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES Repaso de º de Bachllerato Núeros Coplejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad agara? Es u eleeto del que cooceos úcaete su cuadrado:.obvaete, o se trata de u úero real.. Qué es u úero coplejo? Es

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades:

Más detalles

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se CAPÍTULO III. METODOLOGÍA III. Tpos de Medcó De acuerdo co la clasfcacó de Amartya Se (200), las meddas de desgualdad se puede catalogar e u setdo objetvo o ormatvo. E el setdo objetvo se utlza algua medda

Más detalles