Análisis Numérico: Matrices y Métodos directos de resolución de SEL

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1 Matrces, aplcacoes leales y métodos drectos de resolucó de sstemas de ecuacoes leales Grupo de Dámca de Flujos Ambetales Uversdad de Graada Mauel Díez Mguto

2 Ídce Ídce... 2 Lsta de Fguras...3 Lsta de Tablas... 3 Lsta de Algortmos... 4 Motvacó... 5 Fudametos: Defcoes y propedades de sstemas de ecuacoes leales y matrces... 9 Defcó: Sstema de ecuacoes leales... 9 Propedades: SEL, operacoes elemetales y matrces... 9 Defcoes: Matrz y vector... Defcó: Igualdad etre matrces... Defcó: Depedeca e depedeca leal... Defcoes: Tpos especales de matrces... Propedades: Suma de matrces y producto extero por escalares... 2 Defcó: Matrz extedda... 3 Defcó: Producto (tero) de matrces... 3 Defcó: Matrz detdad... 4 Propedades: Producto de matrces... 4 Defcó: Matrz versa... 4 Propedades: Iversó de matrces... 5 Defcó: Determate de ua matrz... 5 Defcó: Meor prcpal... 5 Propedades: Determates... 5 Defcó: Matrz traspuesta... 6 Propedades: Matrces traspuestas... 6 Defcó: Matrz ortogoal... 7 Teorema: Exsteca y ucdad de solucoes... 7 Defcó: Producto escalar etre vectores... 7 Propedades: Producto escalar etre vectores... 8 Defcó: Matrz defda postva... 8 Defcó: Matrz dagoalmete domate... 8 Defcó: Rago de ua matrz... 8 Defcó: Normas vectorales... 9 Teorema: Relacó etre la orma euclídea y la orma fto... 9 Defcó: Dstaca etre dos vectores... 9 Defcó: Covergeca Defcó: Norma matrcal Defcó: Norma subordada y ormal atural Defcó: Codcoameto de matrces... 2 Defcó: Autovalores y autovectores... 2 Propedades: Autovalores y autovectores... 2 Defcó: Polomo característco Defcó: Multplcdad algebraca y geométrca Propedades: Polomo característco Defcó: Matrz dagoalzable Propedades: Matrces dagoalzables Defcó: Rado espectral de ua matrz Mauel Díez Mguto

3 Teorema: Relacó etre rado espectral y orma de ua matrz Defcó: Matrz covergete Propedades: Matrces covergetes Equato Chapter Secto Sstemas secllos de resolver Matrz dagoal Matrz tragular feror Matrz tragular superor Matrces reducbles a tragulares medate permutacoes de flas Solucó de SELs por elmacó Método de Gauss co susttucó haca atrás Lmtacoes Orde del algortmo Método de Gauss co susttucó haca delate Método de Gauss-Jorda Lmtacoes Orde del algortmo Otros métodos Método híbrdo Métodos de Gves (o de las rotacoes) y Householder... 4 Método de Cramer y de la matrz versa... 4 Métodos a medda Estrategas de pvotaje Pvotaje máxmo e la columa o pvotaje parcal Lmtacoes Pvotaje de columa escalada Orde del algortmo Factorzacó de Matrces Teorema: Descomposcó LU () Teorema: Descomposcó LU () Teorema: Factorzacó de Cholesk Corolaro: Factorzacó y matrces dagoalmete domates Método de Doolttle Método de Crout Método de Cholesk Ejerccos Eleccó de u método para resolver SELs Bblografía Lsta de Fguras Fgura. Crcuto eléctrco cuya resolucó medate las leyes de Krchoff da lugar a u sstema de ecuacoes leales... 5 Fgura 2. Placa y dstrbucó de temperaturas... 6 Lsta de Tablas Tabla. Órdees de los algortmos Mauel Díez Mguto

4 Lsta de Algortmos Algortmo. Matrz dagoal Algortmo 2. Método de susttucó haca delate Algortmo 3. Método de susttucó haca atrás Algortmo 4. Método de Gauss co susttucó haca atrás Algortmo 5. Método de Gauss co susttucó haca atrás y búsqueda de pvote Algortmo 6. Método de Gauss-Jorda co búsqueda de pvote Algortmo 7. Método de Gauss co susttucó haca atrás y búsqueda de pvote máxmo e la columa Algortmo 8. Método de Gauss co susttucó haca atrás y búsqueda pvote de columa escalada Algortmo 9. Factorzacó LU por el método de Doolttle Algortmo 0. Factorzacó LU segú el método de Crout Algortmo. Factorzacó LU segú el método de Cholesk Mauel Díez Mguto

5 Motvacó Qué es u sstema de ecuacoes leales y por qué ecestamos resolverlo? E prmer lugar advertremos que los sstemas de ecuacoes leales aparece por doquer e las cecas expermetales, téccas e geería. Muchos de los problemas que aparece e estas dscplas puede reducrse a resolver sstemas de ecuacoes leales (SEL). Etre los problemas que así puede ser tratados está la solucó de ecuacoes dferecales e dervadas parcales resueltas medate dferecas ftas, problemas geométrcos e matemátcas, la solucó de sstemas de ecuacoes dferecales, problemas de valores propos e físca matemátca, el ajuste por mímos cuadrados y la aproxmacó de fucoes por polomos. Alguos ejemplos secllos de sstemas cuyas leyes físcas da lugar a SEL se muestra a cotuacó. Ejemplo : El prmer ejemplo se trata de u caso típco de teoría de crcutos. Para coocer las caídas de tesó y la tesdad de correte etre todos y cada uo de los odos, uo requere echar mao de las leyes de Krchoff. Estas esecalmete establece la coservacó de la eergía: os dce que el flujo de correte debe coservarse e cada odo, esto es, que la suma de tesdades que etra y sale de cada odo debe ser ula. Fgura. Crcuto eléctrco cuya resolucó medate las leyes de Krchoff da lugar a u sstema de ecuacoes leales. Teedo éstas e cueta, supoedo setdos para las corretes etre cada dos odos y calculado co cudado, se llega al SEL (.), cuya solucó debe ser úca. E auseca de otras codcoes, los valores de las resstecas R, 8 y de la fuete de almetacó V 0 puede supoerse coocdos determado uívocamete todos los coefcetes del sstema. 5 Mauel Díez Mguto

6 V B 3 R k V C R k V D R k V E R k V 0 R = k k= {,2,4,8} k= {,2,8 } k= {,2,4} k= {,4,8} k= { 2,4,8} VB( R6) + V C R k VD( R4) = 0 k = { 4,6} V B R k V C R k V D 2 R k V E R k= { 5,6} + k = 0 k= { 5,8} k= { 5,6,8} k= { 6,8} V B R k V D R k V E 3 R k V 0 R + = k k= { 3,5,7} k= { 2,3,7} k= { 2,3,5,7} k= { 2,3,5} (.) Ejemplo 2: Este ejemplo ha sdo tomado de [Gerald y Wheatley, 2000] y se correspode co el problema de determacó del mapa de temperaturas e ua placa metálca bdmesoal de dmesoes 2m 2m. Los bordes, como se dca e la Fgura 2, se halla a temperatura costate (magíese e cotacto co u termostato a la temperatura dcada). Se pretede determar las temperaturas e el teror de la placa, dscretzado su teror e 9 odos, deomados u (Fgura 2). Las temperaturas e los odos vee dadas por la ecuacó de dfusó, y que e equlbro se reduce a la ecuacó de Laplace. Aplcada a este sstema y debdamete dscretzada medate dferecas ftas da lugar al SEL (.2). E la práctca, la temperatura u es smplemete el resultado de cosderar el promedo artmétco de las temperaturas de los 4 odos crcudates. De uevo, es sstema tee solucó úca e equlbro. Fgura 2. Placa y dstrbucó de temperaturas. 6 Mauel Díez Mguto

7 4u + u + u = u 4u + u + u = u 4u + u = u 4u + u + u = u + u 4u + u + u = u + u 4u + u = u 4u + u = u + u 4u = u + u 4u = (.2) Ejemplo 3: Otro ejemplo provee de Químca. Se mezcla bajo codcoes cotroladas CH 7 8 tolueo, ácdo ítrco HNO 3 para producr trtrotolueo CHON y agua HO 2 x C 7H 8 + y HNO3 z C 7H 5O 6N 3 + w H2O (.3) E qué proporcó debe ser mezclados los compoetes? El úmero de átomos presetes ates de la reaccó debe cocdr co el úmero después de la msma. Por tato, 7x 7z = 0 8x + y 5z 2w = 0 y 3z = 0 3y 6z w = 0 (.4) Ejemplo 4: E [Ruz] hay otro ejemplo aplcado a saldad e estuaros. E este capítulo os propoemos resolver umércamete este tpo de sstemas de ecuacoes. Para ello emplearemos los llamados métodos drectos. Se deoma métodos drectos de resolucó de SELs a aquellos que emplea operacoes elemetales e el SELs para obteer otro equvalete más secllo co la msma solucó [O'coor, 993]. E el apartado sguete se establece de forma rgurosa el problema, proporcoado las defcoes, propedades y teoremas ecesaros para tratar co los métodos umércos. El lector que tega uos coocmetos báscos de SEL y que tega soltura co el álgebra de matrces puede pasar la seccó posteror. 7 Mauel Díez Mguto

8 El esquema a segur será el sguete. Daremos u repaso sucto a los fudametos báscos del álgebra matrcal y de aplcacoes leales, hacedo especal éfass e las propedades que os será útles a la hora de tratar co los métodos umércos. Presetaremos los sstemas más secllos posbles y el algortmo requerdo para su solucó. El objeto geeral de los métodos umércos para resolver SEL es reducr cualquer sstema a aquéllos más secllos. Segudamete, descrbremos los algortmos de los métodos más populares. Falmete, se hará u breve cometaro sobre el orde de los algortmos empleados y su doedad a la hora de ser mplemetados e u computador. 8 Mauel Díez Mguto

9 Fudametos: Defcoes y propedades de sstemas de ecuacoes leales y matrces Defcó: Sstema de ecuacoes leales U sstema de ecuacoes leales (cada ua defda como E, co ) co m cógtas tee la forma geeral sguete ax + a2x2 + + a mxm = b a2x + a22x2 + + a2mxm = b2 (.5) ax+ a2x2 + + amxm = b, dode aj, b so úmero reales dados co y j m, m,. El problema que se platea es determar la -upla (,, x xm ) de tal forma que el cojuto de ecuacoes (.5) se satsfaga. Dremos además que obteer el vector ( x,, xm ) e fucó de los coefcetes a j y b es resolver el sstema. E geeral, los sstemas podemos clasfcarlos segú la solucó. Así, dremos que u sstema es compatble cuado o tega solucó y compatble cuado tega, al meos, ua solucó. S u sstema es compatble, será determado s preseta ua úca solucó e determado cuado presete ftas solucoes. Propedades: SEL, operacoes elemetales y matrces Basados e la lealdad de las ecuacoes es fácl comprobar que s u SEL se trasforma e otro por efecto de algua o varas de las operacoes sguetes:. Itercambar ua ecuacó por otra ( E Ej). 2. Multplcar la ecuacó completa por u factor c 0, real ce E 3. Reemplazar ua ecuacó por la suma de ella y múltplos de otra u otras, esto es, por ua combacó de leal de la dada y otras ( E E + ckek, k ck ). Los dos sstemas, el orgal y el trasformado, preseta la msma solucó, esto es, el vector ( x,, xm ) es la solucó de ambos sstemas. Dremos, por tato, que ambos sstemas so equvaletes. A las operacoes aterores os referremos como operacoes elemetales. U caso especalmete secllo de SEL es el llamado homogéeo, que verfca b = 0,. Los sstemas homogéeos preseta, al meos, la solucó trval, esta es, 9 Mauel Díez Mguto

10 x = 0,. E el ejemplo (.4), el caso de la reaccó químca, está goberado por u SEL homogéeo. Exste algortmos efcetes, que mostraremos e las sguetes seccoes, para el cálculo de la solucó de ua SEL dada. Pero prevamete, es recomedable platear el problema (.5) desde otro puto de vsta: el puto de vsta matrcal. Hacedo uso de otacó matrcal y vectoral el problema de resolver u SEL se faclta eormemete, e vrtud de la relacó, matemátcamete be defda, etre matrces y aplcacoes leales. Queda fuera del objetvo de estas otas presetar u estudo completo de esta relacó, por lo que remtmos al lector a otros trabajos más especalzados [Lag, m 987]. No obstate, dremos que s fa Hom (, ) es ua aplcacó leal m (homomorfsmo) de e exste ua úca matrz A M m( ), la matrz asocada a la aplcacó leal f A, tal que x m fa :, fa( x,, xm) = A, (.6) x m sedo a a m A =. (.7) a am Así se establece ua relacó uívoca etre matrces y aplcacoes leales, esto es, u somorfsmo etre el espaco vectoral de matrces m co coefcetes reales M m( ) y el de las aplcacoes leales ( m Hom, ), pudedo estudar el problema (.5) e ambos espacos vectorales co détcos resultados. Por ejemplo, la composcó (o comutatva, e geeral) de aplcacoes leales se puede ver como producto de matrces, y la traspuesta de ua matrz tee su cotrapartda e la aplcacó leal traspuesta. A partr de (.6) es fácl comprobar que, e efecto, f A es leal, puesto que verfca fa( x + λy) = fa( x) + λfa( y ) (.8) habedo hecho uso del propedades elemetales de suma y producto extero de matrces, que defremos u poco más adelate e esta msma seccó. De este modo, recurredo a operacoes elemetales del álgebra de matrces, que defremos algo más adelate, es fácl ver que el SELs (.5) se reduce a A x = b (.9) dode A está dado por (.7) y x b m x = y b =. (.0) x m b Por otro lado, el uso de matrces es mperatvo cuado se trata de mplemetar algortmos de resolucó de SEL e ua computadora, puesto que ésta o etede de SEL o aplcacoes leales, so de matrces, vectores y operacoes etre ellos. 0 Mauel Díez Mguto

11 Por ello, damos a cotuacó ua lsta de defcoes y propedades (o demostradas) báscas de vectores y matrces, prcpalmete, que emplearemos e las seccoes sguetes [Burde y Fares, 985; Cote y Boor, 980; Kcad y Cheey, 990; Lag, 987]. Defcoes: Matrz y vector Ua matrz A es ua coleccó de elemetos ordeados e flas y columas. Dremos que A es de orde m s tee flas y m columas, y real s tee coefcetes reales. E tal caso, A es u elemeto del espaco vectoral de matrces M m( ), es decr, A M m( ). Se deota de forma explícta, a a m A = (.) a am o e forma reducda A ( aj ) =. Sguedo la msma otacó, defmos como m vector columa -dmesoal a cualquer matrz A M ( ) a A = (.2) a y como vector fla m -dmesoal a cualquer matrz A M m ( ) ( m ) A= a a (.3). Defcó: Igualdad etre matrces Dos matrces A M m( ) y B M p q( ) so guales s so del msmo orde ( = p y m = q) y so détcas elemeto a elemeto aj = bj, j,. Defcó: Depedeca e depedeca leal Se dce que u cojuto de elemetos ( x,, xm ) V, dode V es u espaco vectoral arbtraro, so lealmete depedetes s guo puede ser escrto como combacó leal del resto, esto es, s λx+ + λmxm = 0 (.4) sólo exste la solucó trval λ = = λ m = 0. Por el cotraro, se dce que so lealmete depedetes s λ,, λm o todos ulos tal que se verfca (.4). Defcoes: Tpos especales de matrces Admtedo A M ( ) ua matrz cuadrada se defe matrz tragular (o reducda) superor a aquella e la que los elemetos por debajo de la dagoal prcpal so todos ulos, es decr, a j = 0 para cada = j +, j + 2,,. Por ejemplo, la sguete matrz es ua matrz tragular superor Mauel Díez Mguto

12 a a2 a 0 A = a 0 0 a (.5) De forma aáloga se defe matrz tragular feror aquella e la que a j = 0 para cada = j +, j + 2,, : a 0 0 a 2 A = (.6) 0 a a a Ua matrz tragular feror y superor a la vez tee la forma explícta a A =, (.7) a deomádose matrz dagoal. Otro tpo de matrces que aparece e certas aplcacoes so las matrces A= a e las que trdagoales. Como su propo ombre dca, so matrces ( j ) a j = 0 para todas las parejas j, que verfque j >, esto es, e la -ésma fla, sólo los a, a y a + so dsttos de cero. De forma explícta: a a2 0 0 a2 a 22 A = 0 0. (.8) a a 0 0 a a Geeralzado el cocepto de matrz tragoal se defe las matrces e bada, e las que exste eteros pq, tales que a = 0 sempre y cuado + p j y/o j + q. La matrz asocada al segudo ejemplo dado e la motvacó, el (.2), es ua matrz e bada. j Propedades: Suma de matrces y producto extero por escalares Las sguetes propedades de las matrces so heredadas de las propedades del espaco vectoral. Sea ABC,, M m( ) matrces y λμ,, etoces se verfca que λa= λ a (.9) ( j ). 2 Mauel Díez Mguto m

13 La suma de matrces se realza sumado los coefcetes e poscoes cocdetes, esto es A+ B = ( aj + bj ). (.20) m Nótese que ecesaramete ambas matrces debe teer el msmo orde. Además se tee que. A+ B = B + A, suma comutatva 2. ( A+ B) + C = A+ ( B + C), suma asocatva 3. A+ 0 = 0+ A, elemeto eutro para la suma: 0 = ( 0) m 4. A+ ( A) = ( A) + A=, 0 elemeto verso para la suma 5. λ( A+ B) = λa+ λb, propedad dstrbutva para el producto extero (comutatvo) 6. ( λ + μ)a= λa+ μa 7. ( λμ) A= λ( μa) 8. A= A, elemeto eutro para el producto extero Defcó: Matrz extedda Dado u SEL como (.24), la matrz extedda o amplada asocada a este SEL es la formada por la matrz de la aplcacó leal A yuxtapuesta al vector de coefcetes depedetes b, ambos dados e (.26). El resultado es ua matrz ( A b ) M m + ( ). De forma explícta a a m b ( A b ) =. (.2) a am b Esta defcó resultará útl a la hora de resolver computacoalmete SEL. Defcó: Producto (tero) de matrces El producto de matrces tee su aálogo e la composcó de aplcacoes leales y se defe como sgue. Sea A M m( ) y B M m q( ) etoces defmos el producto de matrces C = A Be fucó de las etradas c j de C como c j m = a b (.22) k= para cada y cada j p. Nótese que el úmero de flas de A debe cocdr co el úmero de columas de B de tal forma que la matrz resultate sea C M p( ). El cálculo de los coefcetes c j de la ueva matrz se puede ver como la multplcacó de la -ésma fla de A co las correspodetes etradas de la j - ésma columa deb, segudos por ua suma. Por ejemplo, C = A B = =. (.23) Mauel Díez Mguto k kj

14 El producto de matrces o es comutatvo, e geeral. E el ejemplo (.23), el producto B A o puede realzarse, puesto que el úmero de columas de B o cocde co el de flas de A. Pero aú e el caso de que cocdera, como e matrces cuadradas, la gualdad A B = B A o está garatzada. A partr de esta defcó se etede co clardad que el SEL (.5) ax + a2x2 + + a mxm = b a2x + a22x2 + + a2mxm = b2 (.24) ax+ a2x2 + + amxm = b, pueda escrbrse como A x = b (.25) dode a a m x b A=, x y b = =, (.26) a a x b sedo A M ( ) y xb, M ( ). m m Defcó: Matrz detdad La matrz detdad es ua matrz cuadrada de orde, y se deota I, e la que los úcos elemetos dsttos de cero so los de la dagoal prcpal, que vale. De I = δj, sedo δ j forma reducda se expresa de la sguete forma ( ) la delta de Kroeker. δ j s = j = 0 s j (.27) Propedades: Producto de matrces Sea A M m( ), BC, M m p( ), D M p q( ) y λ, etoces se verfca. ABD ( ) = ( ABD ), asocatva para el producto tero 2. AB ( + C) = AB+ AC, dstrbutva para el producto tero I B = B I, elemeto eutro para el producto 3. p 4. λ( AB) = ( λa) B Defcó: Matrz versa La dvsó de matrces o está defda, e geeral. S embargo, para matrces cuadradas puede defrse u cocepto aálogo: producto por la matrz versa. Dremos que ua matrz cuadrada A M ( ) es vertble o o sgular s B M ( ) tal que 4 Mauel Díez Mguto

15 A B = B A= I (.28) A la matrz B se la deoma matrz versa de A y se deota A. Además, s exste, es úca. Ua matrz o vertble es sgular. Propedades: Iversó de matrces Sea AB, M m( ) y λ. Se verfca. AA = A A = I 2. ( A ) = A 3. ( ) AB = B A A B Defcó: Determate de ua matrz U cocepto especalmete útl e álgebra leal es el de determate. Se defe determate de ua matrz A M ( ) por duccó. Para =, det( A) = a ; para > det( A) = a A = a A j j j j j= = (.29) + j para cualquer fjo o cualquer j fjo, dode Aj = ( ) Mj so los cofactores asocados a los meores M j que su vez so los determates de la submatrz ( ) ( ) obteda de elmar la fla -ésma y la columa j -ésma. Nótese que det( A), es decr, det( A) : M ( ). Es comú deotar també del determate de A por A. La expresó geeral para determates de matrces de orde 2 es a a2 a aa22 a2a2, 2 a = (.30) 22 y para orde 3 (tomado = ) a a2 a3 a2 a22 a2 a23 a22 a22 a2 a22 a23 = a3 a 2. 3 a + a a 32 a3 a + 33 a32 a (.3) 32 a a a Defcó: Meor prcpal Se defe el k -ésmo meor prcpal de la matrz A M ( ) como a a k Ak =, k. ak akk (.32) Propedades: Determates Sea AB, M ( ) y λ, defedo ahora E como la fla (ecuacó) o la columa (dsttamete) de ua matrz dada, se tee las sguetes propedades. 5 Mauel Díez Mguto

16 . S ua columa o fla de A tee todos sus elemetos ulos, det( A ) = 0 2. Al tercambar ua fla (columa) E por otra E', el determate de la matrz modfcada A ' es det( A') = det( A) 3. S A tee dos o más flas o columas guales E = E', det( A ) = 0 4. Al multplcar ua fla o columa E por u escalar λ, el determate de la matrz resultate es det( A') = λ det( A) 5. det( AB) = det( A) det( B) 6. S ua fla o columa E es combacó leal del resto de flas o columas ( E p = λ E ), det( A ) = 0 k k k= k 7. S A ' es obteda de A medate la operacó det( A') = det( A) p E + λ E E, k k k= Defcó: Matrz traspuesta Dada ua matrz A ( aj ) T A ( aj ) m =, se deota la matrz traspuesta comoa T y se defe como m =. Por ejemplo, Se verfca además que ( A saber, ( aj ) ( aj ) m ( aj ) ( aj ) m T ) T T a = ( a a ). (.33) a = A. La matrz que tee la propedad de = se la deoma matrz smétrca, metras que s T A = A, a = será ua matrz atsmétrca. Sólo las matrces cuadradas puede m m ser smétrcas o atsmétrcas. Propedades: Matrces traspuestas Sea AB, M ( ), etoces se verfca T. det( A ) = det( A) 2. ( ) T T T A+ B = A + B 3. ( ) T T T AB = B A T 4. ( A ) T = A 5. S A es vertble ( ) T T A = ( A ) 6 Mauel Díez Mguto

17 Defcó: Matrz ortogoal Se dce que ua matrz A M ( ) es ortogoal cuado verfca T T A A= A A = I. Es comú que trasformacoes dadas por estas matrces represete rotacoes. Teorema: Exsteca y ucdad de solucoes E seccoes posterores trataremos exclusvamete co matrces cuadradas co coefcete reales. Esta restrccó se justfca mostrado que u SEL como (.24) o puede teer exactamete ua sola solucó para cada b M ( ) a meos que la matrz de coefcetes A M ( ) sea cuadrada [Cote y Boor, 980]. A partr de ahora, y por ahorrar otacó, deotaremos al espaco vectoral de matrces cuadradas co coefcetes reales del modo sguete M ( ) M( ). El teorema se establece de la forma sguete: El SEL (.25) tee como mucho ua solucó (.e. la solucó, s exste, es úca) s y sólo s el correspodete sstema homogéeo preseta sólo la solucó trval, esta es, x = 0,. Es más, o se puede obteer ua solucó úca a o ser que uestro SEL tega tatas ecuacoes como cógtas. E efecto, cualquer SEL homogéeo como meos ecuacoes que cógtas preseta solucoes o trvales. Además, s A M ( ) y xb, M ( ) se tee que los sguetes putos so equvaletes (préstese especal atecó a los 4 prmeros putos). El sstema homogéeo A x =0 asocado a A x = b tee sólo la solucó trval x = 0 2. b, A x = b tee ua úca solucó 3. A es vertble, esto es, o sgular 4. El determate de A es o ulo: det( A) 0 5. Los vectores columa que forma A so ua base de 6. Los vectores fla que forma A so ua base de 7. 0 o es u autovalor de A Remtmos al lector a las sguetes referecas para profudzar e los coceptos de autovalores y bases: [Kcad y Cheey, 990; Lag, 987]. Por lo que a estas otas respecta, os será sufcete co los cuatro prmeros putos. Defcó: Producto escalar etre vectores Sea los vectores xy,. Se defe su producto escalar como T xy, = x y= xy. (.34) Recuérdese que los vectores está defdos como vectores columas, por lo que se hace T ecesaro, para que tega setdo el producto x y, traspoer el vector x. = 7 Mauel Díez Mguto

18 Propedades: Producto escalar etre vectores Sea los vectores xy,, la matrz A M ( ) y el escalar α, etoces se tee las sguetes propedades relatvas al producto escalar de vectores:. xy, = yx,. 2. αxy, = α xy,, α. 3. x + y, z = x, z + y, z. T 4. xay, = Axy,. Además, dremos que dos vectores xy, so ortogoales s y solo s xy, = 0. Defcó: Matrz defda postva U cocepto mportate es el de matrz defda postva. Se dce que ua matrz A M ( ) es defda postva s T x Ax > 0, x M ( ). (.35) Defcó: Matrz dagoalmete domate Como veremos e la seccó sguete, otras matrces especales permte reducr el úmero de operacoes a la hora de resolver SEL. Ua clase de estas matrces so las llamadas matrces dagoalmete domates. Esta propedad, para ua matrz A M ( ), puede expresarse por la desgualdad a > aj ( ). (.36) j= j Por ejemplo, la matrz sguete es dagoalmete domate 5 2 A = 3. (.37) 2 4 Es mportate otar que la desgualdad e (.36) es estrcta. Eso es mportate a la hora de demostrar que matrces dagoalmete domates puede descompoerse e el producto de dos matrces tragulares feror y superor. Defcó: Rago de ua matrz Defmos el rago de ua matrz A M ( ) como el úmero de flas (o columas, al ser cuadrada) lealmete depedetes. 8 Mauel Díez Mguto

19 Defcó: Normas vectorales El espaco es u espaco ormado co la aplcacó : co las sguetes propedades. x 0, x. 2. x + y x + y, x, y. 3. λx = λ x, x, λ. 4. x = 0, sí y sólo s x 0. Para defr ua dstaca e se emplea la ocó de orma. Es posble defr ftas ormas e. Las más útles so la orma l 2, o orma euclídea, defda para el vector (,, x= x x ) como y la orma l, o orma fto, x x 2 = x, (.38) = 2 = max x. (.39) Es trval comprobar que ambas verfca las propedades de orma (hágase como ejercco). Teorema: Relacó etre la orma euclídea y la orma fto Se verfca que para todo x x x x (.40). 2 Defcó: Dstaca etre dos vectores Ua vez que se dspoe de ua orma e u espaco (ormado), como defr la dstaca etre dos vectores como para la orma euclídea y x y = x y 2, se puede ( ) 2, (.4) = x y = max x y, (.42) para la orma del máxmo, sedo xy,. La dstaca etre vectores os hablta para determar errores e la estmacó de solucoes medate métodos umércos. Así, por ejemplo, supógase que la solucó 3 real de u sstema de ecuacoes leales es x r = (.0,.0,.0), metras que u método umérco empleado ha arrojado el sguete resultado: 3 x a = (.200,.002, ). E tal caso, el error (que depede de la orma empleada) será: ( ) ( ) ( ) 9 Mauel Díez Mguto e= xa xr = , (.43) 2 para la orma l 2 y para la l es

20 { } e= xa xr = max.0.2,.0.002, = 0.2. (.44) Como se puede comprobar errores grades, auque sea sólo uo o pocos putos, doma la orma. Defcó: Covergeca Ua sucesó de vectores ( k ) { x } k = de se dce que coverge a x co respecto a la orma s, dado ε > 0, exste u úmero atura N( ε ) tal que ( k ) x x < ε k N( ε ). (.45) A partr de la defcó puede demostrarse que se tee (.45) s y sólo s ( k ) lm x = x. (.46) k Esto es, s coverge compoete a compoete. Véase ejemplos (.43) y (.44). Asmsmo, se puede demostrar que las ormas euclídea y la orma fto so equvaletes co respecto a la covergeca. Defcó: Norma matrcal Para medr la dstaca etre dos matrces es també ecesaro recurrr al cocepto de orma. El espaco M( ) es u espaco ormado co la orma matrcal, que es ua aplcacó de M( ) e, verfcado las sguetes propedades [Mola, 996]. A 0, A M ( ). 2. A+ B A + B, A, B M ( ). 3. λa = λ A, A M ( ), λ. 4. S A = 0, etoces A = A B A B, A, B M ( ). Nótese que la últma propedad hace dferete la orma matrcal de las ormas vectorales usuales. La dstaca etre matrces puede etoces defrse de la forma usual como A B, A, B M ( ). Del msmo modo que e es posble defr múltples ormas matrcales, pero aquí os vamos a restrgr a las dervadas de la orma euclídea y la orma matrcal. Defcó: Norma subordada y ormal atural Dada ua orma matrcal M, se dce que es compatble co ua orma vectoral V s se verfca Ax A x V, A M ( ), x. V M (.47) Así, se defe la orma matrcal M subordada o ducda por la orma vectoral V como A = sup Ax : x =. (.48) M { V } 20 Mauel Díez Mguto V

21 Esta se deoma orma atural. Es evdete demostrar que esta orma subordada es compatble co la orma vectoral dada. Las ormas ducdas más empleadas so. A = max a, j j ducda por x = x = =. 2. /2 2 A max a, 2 j j 2 = ducda por x 2 = x. = = 3. A = max aj, j ducda por = x = max x, j. { } Defcó: Codcoameto de matrces E cualquer método umérco, además del coste computacoal, es mportate teer e cueta la precsó de los msmos, es decr, los errores de redodeo que se comete. Estos hace que e vez de cosegur la solucó exacta x M ( ) del sstema Ax = b, A M ( ) y b M ( ), se llegue a ua solucó x* M ( ), que satsface o Ax = b, so Ax* = b + r, (.49) dode r M ( ). Llamaremos al vector r el resdual. Por tato el error cometdo es e = x * x, e M ( ). (.50) El resdual o es u dcatvo de la magtud del error cometdo. Para ello, ecestamos de ua medda apropada, dada por la orma (o dstaca matemátca) del espaco ormado M( ). Segú la orma adoptada e la defcó ateror, s deotamos por CA ( ) a la aplcacó sguete CA ( ): M( ), A A, se puede demostrar fáclmete [Cote y Boor, 980] a partr de las ecuacoes (.49) y (.50) que r e r CA ( ). (.5) CA ( ) b x b Las desgualdades aterores os da ua cota superor y otra feror del error relatvo e / x. Las cotas so fáclmete calculables, dado u sstema y su solucó (estmacó). Al úmero CA ( ), se le deoma codcoameto de la matrz A o del sstema Ax = b. Cuato más cercao a esté CA, ( ) más próxmos estará CA ( ) y su verso y mejor será etoces la estmacó del error relatvo. Defcó: Autovalores y autovectores Sea A M ( ). Etoces dremos que u escalar λ es autovalor de A s exste u vector o ulo v tal que Av = λv, (.52) e cuyo caso se dce que v es u autovector de A asocado al autovalor λ. Propedades: Autovalores y autovectores Sea v u autovector de A asocado al autovalor λ, y αλμ,,. Etoces se cumple:. αλ es u autovalor de α A co autovector v. 2 Mauel Díez Mguto

22 2. ( λ μ) es u autovalor de αa μi co autovector v. 3. k k λ es u autovalor de A co autovector v. 4. S q() es u polomo, etoces q( λ ) es autovalor de qa ( ) co autovector v. 5. S A tee versa, etoces λ 0 y λ es autovalor de A co autovector v. T 6. A y A tee los msmos autovalores, auque los autovectores so, e geeral, dsttos. Defcó: Polomo característco Sea A M ( ) y λ u autovalor de A, etoces se defe el polomo característco de A como det ( A λi ) = 0. (.53) E efecto, (.53) es u polomo de grado. Defcó: Multplcdad algebraca y geométrca Sea A M ( ) y λ u autovalor de A, etoces se defe:. Multplcdad algebraca de λ 0, deotada por m ( ) a λ 0, a la multplcdad de λ 0 como raíz del polomo característco q( λ) = det( A λi ) = 0. El polomo m ( 0 ) q( λ ) puede factorzarse como ( ) ( 0 ) a λ q λ = λ λ p( λ), sedo p( λ ) u polomo de grado m ( ) a λ0 que o se aula e λ 0 ( p( λ0 ) 0). 2. Multplcdad geométrca de λ 0, deotada por mg ( λ 0), al úmero de vectores lealmete depedetes asocados al autovalor λ 0. La relacó etre ambos es mg( λ0) ma( λ0). Propedades: Polomo característco m Sea A M ( ) y { λ } = autovalores de A. Etoces el polomo característco es m ma( λ) ma( λ2) ma( λm) q( λ) = ( ) ( λ λ) ( λ λ2) ( λ λm ), (.54) el determate de A cocde co det( A) = λ λ2 λm (.55) y la traza de la matrz A es Traza( A) = λ+ λ2 + + λ m. (.56) Defcó: Matrz dagoalzable Se dce que ua matrz A M ( ) es dagoalzable s exste ua matrz P M ( ) vertble (o sgular) tal que 22 Mauel Díez Mguto

23 D d = P AP = ( δj ) = 0 (.57) 0 d es ua matrz dagoal. Etoces, cada columa de P es u autovector de A asocado al correspodete elemeto de D, que será u autovalor de A. Puesto que la matrz P es o sgular, recuérdese que las flas so lealmete depedetes, luego forma ua base de. Propedades: Matrces dagoalzables Sea A M ( ). Etoces se tee:. A es dagoalzable s y sólo s tee autovectores lealmete depedetes. 2. S { k} k { k} k v, co v, so autovectores de A co autovalores reales asocados = k λ, dsttos dos a dos (.e. λ = k = λ j, s y sólo s k = j), etoces los v k = autovectores { k} so lealmete depedetes. E otras palabras, a autovalores dsttos de A le correspode autovectores lealmete depedetes. 3. A es dagoalzables s y sólo s m ( λ) = m ( λ) para todo λ autovalor de A. a g Defcó: Rado espectral de ua matrz El rado espectral de ua matrz A M ( ) se defe como ρ( A) = max λ (.58) λ autovalor. El cocepto de rado espectral está estrechamete relacoado co la orma de ua matrz. Teorema: Relacó etre rado espectral y orma de ua matrz Dada ua matrz A M ( ), se cumple: /2 T. ρ( AA ) = A 2 2. ρ( A) A para cualquer orma l p p. U resultado ítmamete relacoado co el puto (2) de este teorema es que, dada ua matrz A, se verfca que exste ua orma A y u ε > 0 tal que A < ρ( A) + ε. p p Defcó: Matrz covergete Se defe matrz covergete a aquella matrz A M ( ) que verfca 23 Mauel Díez Mguto

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