TEMA 6. Radiación electromagnética. Miguel Ángel Solano Vérez

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1 TM 6 Rdición electomgnétic Miguel Ángel Solno Vée

2 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic Índice 6. Intoducción 6. Potenciles en el dominio de l fecuenci 6.. l potencil vecto 6.. l potencil vecto Utilición de los potenciles vectoes Constucción de ls soluciones 6.3 Potenciles Φ en el dominio del tiempo 6.4 Multiplicidd de los potenciles 6.5 Potenciles de het 6.5. Potenciles de et mgnético en el dominio del tiempo 6.5. Potenciles de et eléctico en el dominio del tiempo 6.6 Solución de l ecución de ond no homogéne 6.7 Potencil del cmpo electomgnético gn distnci del emiso 6.8 Cmpo electomgnético de l dición dipol leos de ls fuentes 6.8. pesiones p el cmpo electomgnético en l on len 6.9 Refeencis

3 3 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic TM 6: RDICIÓN LCTROMGNÉTIC 6. Intoducción n este tem se v hce un intoducción l teoí de l dición electomgnétic. st ho se hn estudido poblems de popgción en medios infinitos en los que ls fuentes están fue del ecinto estudi. sí ls ecuciones de Mwell o ls ecuciones de ond que h que esolve p obtene el cmpo electomgnético h que tomls sin fuentes. Los poblems de dición son quellos en los que ls fuentes están dento del ecinto de estudio. Ls fuentes pueden se de tipo eléctico o de tipo mgnético. P eli este estudio se intoducián los potenciles vectoes pimemente en el dominio de l fecuenci posteiomente sólo uno de ellos) en el dominio del tiempo. llo es debido que l esolución de l ecución de ond p los potenciles en el dominio del tiempo pemite intoduci pefectmente los potenciles etddos esenciles p compende el compotmiento de l popgción de un ond electomgnétic el concepto de cción no inmedit de un petubción electomgnétic. Posteiomente se epesá el cmpo electomgnético en función de los potenciles se obtendán epesiones poimds más sencills p l egión del espcio led de l fuentes tmbién llmd on de dición. s un páctic mu común en l esolución de poblems electomgnéticos l utilición de potenciles uilies como ud en el cálculo de los cmpos eléctico mgnético. isten dos conuntos de vectoes uilies: el de los vectoes denomindos potencil vecto mgnético eléctico espectivmente el de los vectoes Π e Π h denomindos vecto de et eléctico mgnético espectivmente. l potencil vecto mgnético es nálogo l potencil de et eléctico el potencil vecto eléctico es nálogo l potencil de et mgnético. Los cmpos eléctico mgnético epesentn cntiddes físicmente medibles sin embgo los potenciles uilies sólo son hemients mtemátics útiles sin ningún significdo físico inmedito. L intoducción de estos potenciles ún equieiendo de l intoducción de funciones dicionles simplific l esolución los poblems electomgnéticos.

4 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 4 6. Potenciles en el dominio de l fecuenci n este cpítulo usemos el p de vectoes. 6.. l potencil vecto n un egión sin fuentes l densidd de fluo mgnético B es siempe solenoidl; po lo tnto se puede epesent como el otcionl de oto vecto culquie. 6.) donde es un vecto bitio. sí podemos defini B 6.) es deci 6.3) donde el subíndice signific cmpos debidos l potencil. Sustituendo l ecución 6.3) en l ecución de d 6.4) se obtiene [ ] lo que indic que el témino ente cochetes es iotcionl po lo que se podá pone como el gdiente de un escl bitio Φ e sí que se puede pone como Φe ) Φe Φe 6.5)

5 5 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic plicndo l identidd vectoil l ecución 6.). ) ). ) que p medios homoegéneos se puede pone como. ) 6.6) utilindo l ecución de mpée J 6.7) más l ecución 6.5) l ecución 6.6) se puede pone como J. Φ ) e 6.8) donde. Sbemos po el teoem de elmholt que un vecto está definido si de él se conoce su otcionl su divegenci. l otcionl de lo d l ecución 6.) po lo que podemos defini l divegenci de fom libe. Con el ánimo de simplific l ecución 6.8) definimos. Φe Φe. que se conoce como condición de Loent. Ots condiciones igulmente válids se pueden defini de fom nálog l vist. Sustiuendo est condición en l ecución 6.8) qued J 6.9) que es l ecución de ond p el potencil vecto mgnético. demás l ecución 6.5) p el cmpo eléctico es. ) Φe 6.)

6 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 6 Un ve que se conoce se puede encont pti de l ecución 6.4). l cmpo eléctico se puede obtene de l ecución 6.) o bien pti de l ecución de Mwell-mpèe 6.7) con J. L ecución de ond p el potencil vecto mgnético es simil l vist p el cmpo eléctico o mgnético. Po lo tnto sus soluciones en los sitems de coodends ectngules esféics o cilíndics son idéntics ls vists en cpítulos nteioes. 6.. l potencil vecto De l mism mne que p el potencil vecto mgnético se puede defini el potencil vecto eléctico. P ello supongmos un egión sin fuentes eléctics es deci un egión donde en todos los puntos se cumpl que. D. Po lo tnto el vecto desplmiento se puede pone como el otcionl de oto vecto poque se cumple l identidd vectoil ). donde es un vecto bitio. sí podemos defini D como D 6.) donde el subíndice indic cmpo debido l potencil vecto eléctico. De l elción de constitución pti de l ecución 6.) 6.) Sustituendo l ecución 6.) en l ecución de mpèe se tiene ) luego el sumndo ente péntesis es iotcionl con lo que se puede pone como el gdiente de un función escl biti es deci

7 7 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic Φm 6.3) dode Φ m es el potencil mgnético escl que es función únicmente de l posición. Tomndo el otcionl de 6.) tenemos unto con l ecución de Mwell-d se tiene que M. M. ) sustituendo 6.3) en l ecución nteio qued M. Φ ) m 6.4) hciendo. Φm Φm. 6.5) que es l condición de Loent p el potencil vecto eléctico l ecución 6.4) qued M 6.6) que es l ecución de ond p el potencil vecto eléctico. L ecución 6.3) es entonces. ) 6.7) Un ve que el vecto eléctico se conoce el cmpo eléctico se puede encont usndo l ecución 6.) el cmpo mgnético se obtiene de l ecución 6.7) o de l ecución de Mwell-d con l densiddd de coiente mgnétic M. Ls soluciones de l ecución de ond 6.6) son similes ls vists p el cmpo eléctico o el mgnético.

8 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic Utilición de los potenciles vectoes n ls dos secciones pevis se hn obtenido ls epesiones necesis p clcul el cmpo electomgnético poveniente de un potencil vecto oto. l cmpo totl seá l supeposición de mbos. l pocedimiento segui es el siguiente. specific el poblem electomgnético con ls condiciones de contono. L egión puede o no contene fuentes h que especific el tipo de modo o modos equeidos.. Obtene el potencil pti de J 6.8) donde es el númeo de ond en el medio ). Obtene el potencil pti de M 6.9) 3. l cmpo eléctico es. ) 6.) 4. l cmpo mgnético es. ) 6.) 6..4 Constucción de ls soluciones P un poblem electomgnético genéico de vloes de contono eisten muchs configuciones de cmpo electomgnético modos) que cumplen ls ecuciones de Mwell ls condiciones de contono. Los modos más conocidos utilidos son los Tnsvesles lectomgnéticos TM) Tnvsesles lécticos T) Tnsvesles Mgnéticos TM). Los modos TM son modos cuo cmpo electomgnéticos no tiene ningun componente en l diección de popgción de l enegí. De l mism mne los modos T son los que no tienen componente de cmpo eléctico en l diección de popgción es deci el cmpo eléctico está contenido en un plno pependicul

9 9 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic l diección de popgción. nálogmente p modos TM peo en elción l cmpo mgnético. Tmbién es conveniente nomb un tipo de modos que no son ninguno de los nteioes. Son los denomindos modos híbidos que tienen ls seis componentes de cmpo electomgnético. Culquie modo híbido puede ponese como combinción linel de modos TM T TM. Sistem de coodends ectngules l potencil vecto mgnético en coodends ectngules es ) ) ) ) stisfce l ecución de ond sin fuentes 6.) que se puede desdobl en componentes 6.3) De l mism mne p el potencil eléctico tendemos ) ) ) ) 6.4) stisfce l ecución de ond sin fuentes 6.5) que se puede desdobl en componentes 6.6) Desdoblndo en componentes l ecución 6.) se obtiene

10 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 6.7) hciendo lo mismo con l ecución del cmpo mgnético 6.) tendemos 6.8) Los modos TM l diección se obtienen pti de ; 6.9) e ) e ) 6.3) e ) e ) 6.3) Tmbién se pueden obtene pti de sólo l componente o de sólo l componente. Los modos T l diección se obtienen pti de ) ; 6.3) con ls ecuciones de los cmpos dds po

11 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic 6.33) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.34) Los modos T l diección se obtienen pti de ) ; 6.35) con ls ecuciones de los cmpos dds po 6.36) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.37) Los modos T l diección se obtienen pti de ) ; 6.38) con ls ecuciones de los cmpos dds po

12 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 6.39) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.4) Los modos TM l diección se obtienen pti de ) ; 6.4) con ls ecuciones de los cmpos dds po 6.4) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.43) Los modos TM l diección se obtienen pti de ) ; 6.44) con ls ecuciones de los cmpos dds po

13 3 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic 6.45) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.46) Los modos TM l diección se obtienen pti de ) ; 6.47) con ls ecuciones de los cmpos dds po 6.48) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.49) Sistem de coodends cilíndico Sepndo en componentes los potenciles tendemos ) ) ) ) 6.5) ) ) ) ) 6.5) po tnto los cmpos eléctico mgnético son

14 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 4 ) ) ) ) ϕ ϕ ϕ 6.5) ) ) ) ) ϕ ϕ ϕ 6.53) Los modos T l diección se obtienen pti de ) ; 6.54) con ls ecuciones de los cmpos dds po 6.55) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.56)

15 5 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic Los modos TM l diección se obtienen pti de ) ; 6.57) con ls ecuciones de los cmpos dds po 6.58) donde debe cumpli l ecución de ond escl ) ) 6.59) 6.3 Potenciles Φ en el dominio del tiempo n est sección se vn estudi los potenciles vectoes en el dominio del tiempo. Nos centemos en el potencil vecto su potencil escl eléctico socido Φ e que po comodidd denotemos simplemente Φ. pti de l le de Guss B B. de l le de d ) t t t t B donde tods ls cntiddes son instntánes es deci dependientes de l posición del tiempo. L cntidd ente cochetes en l últim ecución es iotcionl luego se puede pone como el gdiente de un función escl biti Φ t t Φ Φ 6.6)

16 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 6 P obtene ls ecuciones que veificn los potenciles utiliemos l le de mpèe genelid Φ J t Si se multiplic l ecución nteio po se sustitue el vlo del cmpo eléctico de l ecución 6.6) se tiene que J t Φ t l ecución nteio se Como B. ) puede pone como Φ. J t t 6.6) Medinte l le de Gus.D. Φ. luego t Φ. t 6.6) Ls ecuciones 6.6) 6.6) son ls ecuciones de ond p los potenciles Φ. Si se plic l siguiente condición Φ. t que se llm condición de Loent ls ecuciones de ond p los potenciles Φ stisfcen el mismo tipo de ecución J 6.63) t

17 7 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic Φ Φ t 6.64) Si el medio se conside con un conductividd σ es deci J σ J' donde J ' es l densidd de coiente debid ls fuentes ls ecuciones nteioes quedn Φ. σ Φ t Condición de Loent σ J t t Φ Φ Φ σ t t 6.4 Multiplicidd de los Potenciles Los potenciles definidos po ls ecuciones nteioes no son únicos. Consideemos un nuevo potencil ' definido como ' Ψ donde Ψ es un función escl biti. Si signmos ese nuevo potencil ' un potencil escl eléctico Φ se obtendí un nuevo cmpo eléctico ' ddo po ' ' Φ ' Φ' t Ψ ) t Ψ ' Φ t t Ψ de fom que si Φ ' Φ el cmpo eléctico ' seá igul. Po tnto los t potenciles ' Φ definen el mismo cmpo que los potenciles Φ. demás se puede obtene un ecución que debe veific Ψ en el cso en que los nuevos potenciles cumpln l condición de Loent. sí Φ. t '.' Φ Ψ Ψ t t luego los potenciles ' Φ cumplián l condición de Loent siempe que

18 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 8 Ψ Ψ t 6.65) que como se puede obsev es l ecución de emlhot homogéne. 6.5 Potenciles de et De l mism mne que los potenciles vectoes se pueden obtene oto tipo de potenciles con ls misms ccteístics utiliddes que son los potenciles de et mgnético Π m eléctico Π e. l desollo es mu simil l elido nteioemente po lo que sólo se escibián ls ecuciones coespondientes Potencil de et mgnético Π m en el dominio del tiempo n un egión sin fuentes eléctics l divegenci del vecto desplmiento es ceo luego se puede escibi.d Π D m t donde Π m es el potencil de et mgnético. Pocediendo de l mne vist en ptdos nteioes se obtiene el cmpo mgnético como Π Φ m m t donde Φ m es el potencil escl mgnético. Imponiendo l condición. Π m Φm el cmpo mgnético se puede escibi sólo como función de Π m l ecución que veific Π m es supuesto que no h fuentes mgnétics) Π m Π m t

19 9 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic 6.5. Potencil de et eléctico Π e en el dominio del tiempo n un egión sin fuentes mgnétics l divegenci de l inducción mgnétic es ceo luego.b Π e B t donde Π e es el potencil de et eléctico. Pocediendo de l mne vist en ptdos nteioes se obtiene el cmpo eléctico como Π e Φe t donde Φ e es el potencil escl eléctico. Imponiendo l condición. Π e Φe el cmpo eléctico se puede escibi sólo como función de Π e l ecución que veific Π e es supuesto que no h fuentes eléctics) Π e Π e t l pso de ests ecuciones l dominio de l fecuenci es inmedito. 6.6 Solución de l ecución de ond no homogéne Ls ecuciones de ond 6.9) 6.6) que veificn los potenciles vectoes mgnético eléctico son ecuciones de elmhot no homogénes cus soluciones son fomlmente igules. n este ptdo no se v ve eplícitmente el desollo que conduce l solución de dichs ecuciones; sólo coment que es un poceso mtemático que involuc el uso de l tnsfomd de ouie tvés de un función de Geen solución de un ecución con fuente unidd) po tnto del método de supeposición. L solución p el potencil vecto mgnético es J t ) 4 ' 4 π π R ' ) V' V' ' t ± ' / c ) [ J ' ) ] dv' dv' 6.66)

20 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic ) [ ] Φ ' t ± ' / c ' ) t ) dv' dv' 4 ' 4 π π R ' ) 6.67) V' V' donde R ' ) ' es el vecto de posición ' es el vecto de posición del punto fuente. Soluciones nálogs se tienen con el potencil escl eléctico su potencil escl mgnético socido. L notción empled en ls ecuciones nteioes indic lo siguiente: culquie cntidd ente cochetes está evlud en uno de los tiempos siguientes Notción : [] ' τ t c ; * ' τ t c Ls ecuciones 6.66) 6.67) dn ls denominds ecuciones de los potenciles etddos ls que se evlún en el tiempo etddo τ) de los potenciles vndos ls que se evlún en el tiempo vndo τ * ). Los potenciles vndos son un solución mtemáticmente posible de l ecución de ond no homogéne. Sin embgo no son físicmente posiblesl que si lo fuen significí que l espuest l ecitción se poducií ntes que l popi ecitción lo cul no es posible. Po lo tnto los únicos potenciles físicmente posibles son los potenciles etddos. Su significdo físico es esencil en el desollo de l electodinámic de l inicición l teoí de l eltividd especil. Si en un punto ddo ' se poduce un ecitción electomgnétic su efecto en oto punto sepdo de él un distnci R ' ) ' sólo se veá ts un tiempo t que es el que td l ond electomgnétic en ' R ecoel t ). c c 6.7 Potencil del cmpo electomgnético gn distnci del emiso Supongmos un volumen con un fuente electomgnétic eléctic un punto P fue de ese volumen como indic l figu 6..

21 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic R ' P V' J ' t ) ' t ) ' L O igu 6..- squem de dición de un fuente electomgnétic Ls integles dds en ls ecuciones 6.66) 6.67) son mu complicds R que deben evluse en un instnte de tiempo τ t que es difeente p c cd punto fuente dento del volumen V. Supongmos que el punto cmpo P está mu ledo de l fuente es deci que >> 'L donde L es l máim dimensión linel del volumen V. n genel es suficiente con tom 'L V' / 3. l denomindo de 6.67) se puede poim utilindo l poimción ) n n si << po R '.' ' ) / /.' '.' con lo que el potencil escl eléctico seá Φ t ) 4 π V'. ' ' t ' / c ) dv' 4 π V' ' t ' / c ). ' ' t ' / c ) dv' 4 π V' ) dv' n est ecución h que not que el denomindo del pime sumndo puede scse fue de l integl pues no depende del punto fuente. Sin embgo

22 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic dv' todví no es l cg totl del sistem el esto que es ' t ' / c ) v' poque l densidd de coiente h que evlul en distintos instntes tempoles p cd difeente punto fuente. Po tnto l integl es complicd todví de eli. poimemos el vlo de R utilndo lo nteio R '.' ' ) /.' ' /.' con lo que el tiempo de etdo seá R '.'.' τ t t t τ ; donde τ t c c c c c c Po lo tnto el tiempo de etdo R/c está compuesto de dos ptes. /c: es el tiempo de etdo del sistem de efeenci es deci el tiempo que td l señl en ecoe l distnci que sep el oigen del punto cmpo P..'. : se llm tiempo de etdo popio es el tiempo que td l señl c.' en lcn los límites del sistem que poimdmente c L' c. Si >>L implic que L /c es mu pequeño compdo con /c po lo que se podá desoll en seie de Tlo.' ' τ ) especto l pámeto ; c sí.'.' ' τ ) ' τ ) ' τ ) τ τ τ ; donde τ τ τ c τ c es deci.'.. ' τ ) ' τ ) ' τ ) ; donde ' τ ) c τ τ τ

23 3 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic L poimción dd po l ecución nteio no seá válid si en el tiempo.' que ecodemos es poimdmente el tiempo que td l ond c electomgnétic en ecoe el sistem) l distibución de cgs que ce el cmpo ví fuetemente. sto signific que l cg en el instnte τ t / c es deci en el instnte en que l señl h llegdo l punto cmpo P) l cg en el.' instnte τ t es deci en el instnte en el que l señl h lcndo los c límtes del sistem) son mu difeentes. n ots plbs si ls cgs se mueven un velocidd v el espcio que ecoen ls cgs en el tiempo que td l.' L' señl en lcn los límites del sistem tiempo de etdo popio ) c c L' seá v. Po tnto l poimción seá válid si l distnci que ecoen ls c cgs en ese tiempo no es significtiv fente l tmño del sistem es deci es mucho meno que los límtes del sistem L' v << L' v << c c lo que indic finlmente que l poimción dipol de ls ecuciones nteioes seá válid siempe que l velocidd l que se mueven ls cgs se mucho meno que l velocidd l que se popg l enegí electomgnétic. Con esto vemos que el desollo teóico que estmos llevndo cbo no es válido p estudi l dición de cgs se muevn velociddes póims l de l lu. Sustituendo ls poimciones p l coiente p R en l epesión 6.68) del potencil qued después de despeci el segundo sumndo que es mucho meno que el pimeo distncis gndes del emiso >>L ) Φ t ) 4 π 4 π V' ' t R / c ) dv' ' τ ) n. ' ' ) dv' c τ V' ; 4 π V' donde n dv' 6.69) n est epesión el pime sumndo sí que epesent l cg totl del sistem pues se evlu l densidd de cg en cd punto del volumen V en el mismo instnte de tiempo τ es deci v' ' t R / c ) dv' QT

24 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 4 Supongmos un sistem electicmente neuto es deci con cg totl nul. l potencil escl eléctico seá n. Φ t ) ' ' τ ) dv' 4 π c 6.7) V' l integl seá.. t ' ' τ ) dv' ' dv' ' t τ V' V' v' '.J τ ) dv' donde se h plicdo l ecución de continuidd que t τ. Not que en el opedo divegenci se h denotdo con p indic deivción especto ls coodends de ls fuentes. plicndo ho l identidd vectoil G.n ) ds G. dv G. ) dv. 6.7) s v v hciendo ' G J considendo l integl de supeficie eteio l volumen V en un on donde no h coientes po lo tnto nul tendemos v ' ' J. ' τ ) dv' J ' τ ). ' ) ' dv' v Como J. ' ) ' J' J ' ' J ' ' ' J' J' J' ' ' ' ) podemos escibi J ' τ ). ' ) ' dv' J ' τ ) dv' v v luego

25 5 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic n Φ t ) J ' τ ) dv' 4 π c 6.7) V' nálogmente se obtendí p el potencil vecto mgnético t ) J ' τ ) dv' 4 π 6.73) V' Como c se cumpliá que Φ t ) c n t ) 6.74) De ls ecuciones nteioes se veific J.. ' τ ) dv' ' ' τ ) dv' ' ' τ ) dv' p τ ) τ v' v' v'. donde p τ ) es l deivd del momento dipol especto l tiempo en ττ. Po lo tnto ls epesiones p los potenciles en función de l deivd del momento dipol son. n. p τ ) Φ t ) 6.75) 4 π c. p ) t ) τ 6.76) 4 π Ls epesiones dds po ls ecuciones 6.75) 6.76) desciben l poimción dipol de los potenciles gn distnci de ls fuentes.

26 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic Cmpo electomgnético de l dición dipol leos de ls fuentes Tomndo el otcionl de 6.76) se obtiene l inducción mgnétic. p ) B t ) τ 4 π plicndo l identidd vectoil. Ψ ) Ψ Ψ despecindo los témino en / qued B. p τ ) 4 π plicndo l identidd d [ u ) ] u du se tiene d B τ d τ medinte [ t ) ] τ t ). τ t c c c n c se puede escibi... p ) n B n n τ 6.77) c c 4 π c l cmpo eléctico se obtiene pti de l ecución 6.6) evlud en el instnte de tiempo τ. l gdiente de Φ se puede pone como

27 7 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic d Φ. n d Φ d Φ d t d Φ. Φ τ Φ ; que Φ d τ c d τ d t d τ d t po lo tnto..... n n Φ c.n n. n. c t c... n n n n n n donde se h utilido l ecución 6.74). Sustiuendo el vlo del potencil vecto mgnético.... t ) p τ ) n n p ) n 4 τ π 4 π c 6.78) Compndo ls epesiones del cmpo eléctico con l del mgnético se puede escibi t ) c B t ) n 6.79) lo que indic que el cmpo eléctico el mgnético l diección del vecto dil fomn un tiedo ecto. Como los cmpos son función del momento dipol de su segund deivd) en el instnte τ t-/c los módulos de los cmpos seán de l fom f t / c ) t ) C f t / c ) t ) C sts epesiones indicn que los cmpos didos po un fuente electomgnétic gn distnci del emiso son onds esféics que ls supeficies de fse constnte quells que cumplen cte) son esfes. inlmente es necesio punt que el desollo quí elido es el que intees p plic en el cso de estudi l dición de ntens lineles. Peo de ningun mne es el único cso que se puede plnte en l elidd. Po eemplo uno se puede pegunt qué sucede si el momento dipol es nulo: eistiá dición?. L espuest es que puede que sí. n efecto l poimción

28 lectodinámic Tem 6: Rdición electomgnétic 8 dipol elid se bs en el desollo de ls mgnitudes popids en desollo en seie de Tlo hst el segundo témino es deci hst el témino linel. isten pticuls con l mism ms cgs difeentes que din enegí sin embgo su momento dipol es nulo. n este cso ls poimciones linees elids se quedn cots es necesio tom más téminos en los desollos. sí se tiene que ls epesiones poimds p los potenciles tienen más téminos no sólo el que hemos clculdo o témino coespondiente l dición dipol) sino otos coespondientes l dición dipol mgnétic el potencil está ddo en función del momento dipol mgnético) l dición cudipol eléctic el potencil está ddo en función del momento cudipol eléctico) 6.8. pesiones p el cmpo electonmgnético en l on len Vmos obtene uns epesiones poimds p el cmpo electomgnético en l on len en el dominio de l fecuenci es deci en notción fsoil. Sepndo el fso potencil vecto mgnético en componentes θ θ θ ) po lo que l fso inducción mgnétic es pti de l ecución 6.77) ) θ θ c B es deci θ θ θ θ θ Z B Z B l cmpo eléctico es ) ) ) θ θ θ θ n n. de fom que se puede pone bevidmente como ) dil componente l ecepto 6.8)

29 9 Tem 6: Rdición electomgnétic lectodinámic demás θ Z ; θ Z o lo que es lo mismo 6.8) Z donde está ddo po l ecución 6.8). Notemos que en l on len el cmpo electomgnético no tiene componente dil que l elción ente el cmpo eléctico el mgnético es l mism que l que se cumple en ls onds plns. 6.9 Refeencis Constntine. Blnis: dvnced engineeing electomgnetics John Wile&Sons 989. J.. Sttton: "lectomgnetic theo" McGw-ill 94. Pnofsi W. & Phillips M.: "Clssicl electicit nd mgnetism" ddison- Wesle 96. Levich B.J.: "Theoeticl Phsics" Volume Noth-ollnd 97. J. Vndeline: Clssicl electomgnetic theo John Wile&Sons 993. I.S. Gnt & W.R. Phillips: lectomgtetism second edition John Wile&Sons 99.

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