cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Mecatrónica TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

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1 cendet Centro Naconal de Investgacón Desarrollo Tecnológco Deartamento de Ingenería Mecatrónca TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Vsón Estereoscóca Estmacón de Pose ara el Posconamento de un Brazo Robótco Presentada or: Ing. en Electrónca Ángel Ernesto Gómez Sánchez Ing. en Electrónca Danel Iván Zamorano Acosta Como requsto ara la obtencón del grado de: Maestría en Cencas en Ingenería Mecatrónca Drectores de tess: Dr. José Ruz Ascenco Dr. Juan Manuel Rendón Mancha Cuernavaca, Morelos 3 de abrl de 8

2 cendet Centro Naconal de Investgacón Desarrollo Tecnológco Deartamento de Ingenería Mecatrónca TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Vsón Estereoscóca Estmacón de Pose ara el Posconamento de un Brazo Robótco Presentada or: Ing. en Electrónca Ángel Ernesto Gómez Sánchez Ing. en Electrónca Danel Iván Zamorano Acosta Como requsto ara la obtencón del grado de: Maestría en Cencas en Ingenería Mecatrónca Drectores de tess: Dr. José Ruz Ascenco Dr. Juan Manuel Rendón Mancha Jurado: Dr. Alejandro Rodríguez Palacos Presdente Dr. Mosés González García Secretaro Dr. José Ruz Ascenco Vocal Dr. Juan Manuel Rendón Mancha Segundo Vocal Cuernavaca, Morelos 3 de abrl de 8

3 CONTENIDO Lsta de fguras...v Lsta de tablas...v Smbología... Abrevaturas acrónmos... v Prefaco...v. Vsón Robótca.... Antecedentes..... Vsón Robótca en el CENIDET.... Planteamento del roblema..... Objetvos Alcances lmtacones Estado del Arte Prmeros trabajos en vsón Trabajos en vsón actuales Conclusones del caítulo...8. Calbracón de cámaras Geometría roectva en D..... Reresentacón homogénea de líneas untos..... Grados de lbertad Geometría roectva en D D Interseccón de líneas Y untos undos or rectas Líneas al nfnto... 4

4 ..7 Prnco de dualdad Cóncas Modelo de una Cámara Modelo de cámara Pnhole Traslacón de un unto rncal Matrz de calbracón Rotacón traslacón en 3-D Matrz de cámara Cámara roectva fnta Cámara roectva Transformacones roectvas en D Transformacones de untos Transformacón de líneas Transformacón de cóncas Jerarquía de transformacones Estmacón de una homografía cálculo de la matrz de cámara P Solucón homogénea Algortmo de transformacón lneal drecta Confguracones degeneradas Solucón a artr de líneas otras entdades Solucón no homogénea Solucón mínma Solucón sobre-determnada... 36

5 .5 Resultados de la calbracón de cámaras Patrón de calbracón Fjacón de las cámaras Proceso de calbracón Obtencón de la matrz de cámara Conclusones del caítulo Recueracón de coordenadas en tres dmensones Pruebas de algortmos de rocesamento de mágenes Procesamento dgtal de mágenes usando Matlab Recueracón de coordenadas en 3D usando cámaras fjas Resultados ara cámaras FIJAS Recueracón de coordenadas en 3D usando estmacón de ose Resultados ara estmacón de ose Conclusones del caítulo El Robot PUMA su control Estructura mecánca del robot uma Esaco de trabajo Construccón de la 4 ta artculacón Funconamento del servomotor Redseño de las tarjetas de control ara el robot PUMA Funconamento de la tarjeta de control Adatacón de los rogramas de la PC del mcrocontrolador ara su uso con las nuevas tarjetas Alcacón de un controlador PID sobre el Robot PUMA... 76

6 4.5. Ajustes del controlador PID Conclusones del caítulo Resultados Interfaz gráfca en matlab Descrcón del rograma Modo de oeracón de la nterfaz Prueba del sstema de control del robot el sstema de vsón Pruebas de la cnemátca nversa del robot con su efector fnal Resultados del modo cámaras fjas Resultados del modo estmacón de ose Conclusones Objetvos cubertos Aortacones Trabajos futuros... Bblografía... ANEXO... 4 A. Imágenes del sstema comleto...4 B. Crcuto fnal de la tarjeta de control...5 v

7 LISTA DE FIGURAS Caítulo Fgura -: Shake de Artfcal Intellgence Center SRI Internatonal....5 Caítulo Fgura -: Reresentacón de untos en el esaco D... Fgura -: Geometría roectva en D... Fgura -3: Geometría roectva en D...3 Fgura -4: Esquema de cámara oscura...6 Fgura -5: Esquema de una cámara CCD...7 Fgura -6: Esquema smlfcado de una cámara...8 Fgura -7: Modelo Pnhole smlfcado...8 Fgura -8: Esquema smlfcado de cámara...9 Fgura -9: Trángulos semejantes... Fgura -: Sstema de coordenadas de la magen (, ) de la cámara ( cam, cam )... Fgura -: Transformacón eucldana entre el marco coordenado del mundo la cámara...3 Fgura -: Dstorsón orgnada or una trasformacón de afndad lana....3 Fgura -3: Trasformacón roectva entre líneas...3 Fgura -4: Patrón de calbracón...38 Fgura -5: Soortes...39 Fgura -6: Fjacón de los soortes...39 Fgura -7: Fjacón de las cámaras a los soortes...4 Fgura -8: Imágenes ara la calbracón de cámaras fjas....4 Fgura -9: Resultados de la calbracón, untos reales calculados v

8 Caítulo 3 Fgura 3-: Dagrama con los casos fundamentales en el rocesamento de mágenes..49 Fgura 3-: Valores de RGB en un LED....5 Fgura 3-3: Tres LEDs en una escena, su etraccón sus centrodes encontrados...5 Fgura 3-4: Estructura del rograma detector de tres LEDs recueracón de sus coordenadas en 3D....5 Fgura 3-5: Raos de roeccón en cada magen Fgura 3-6: Tres LEDs frente a dos cámaras fjas calbradas...55 Fgura 3-7: Ilustracón geométrca de tres untos en el esaco Fgura 3-8: Imagen del objetvo ara la estmacón de ose Fgura 3-9: Gráfca de la solucón obtenda ara la estmacón de ose Caítulo 4 Fgura 4-: Eslabones, artculacones motores del brazo Fgura 4-: Esaco de trabajo (vsta sueror lateral) Fgura 4-3: Dseño de la 4 ta artculacón Fgura 4-4: Dseño fnal de la 4ta artculacón...68 Fgura 4-5: Servomotor cámara usados en la 4ta artculacón Fgura 4-6: Funconamento de un servomotor...7 Fgura 4-7: Interfaz construda ara el control del robot....7 Fgura 4-8: Etaa de adquscón de datos Fgura 4-9: Dagrama de flujo ara el rograma de la PC Fgura 4-: Dagrama de flujo del rograma del PIC Fgura 4-: Dagrama de flujo de la nterrucón rogramada en el PIC Fgura 4-: Movmento cclodal (S) su velocdad (S ) aceleracón (S ) v

9 Caítulo 5 Fgura 5-: Interfaz gráfca mostrando el modo de oeracón de dos cámaras fjas....8 Fgura 5-: Dagrama de flujo del rograma de la nterfaz de usuaro...8 Fgura 5-3: Modo de oeracón...83 Fgura 5-4: Interfaz gráfca mostrando el modo de oeracón de cámara en mano Fgura 5-: Confguracón del manulador lano XY do Fgura 5-: Proeccón en el lano formado or el er 3 eslabón Fgura 5-3: Lazo de control usado en el sstema de vsón control del robot...9 Fgura 5-4: a) Cámaras fjas objeto buscado, b) Vsta sueror del sstema de ejes sobre el robot, c) Orgen sobre del sstema coordenado...9 Fgura 5-5: Poscón ncal del robot...9 Fgura 5-6: Interfaz gráfca fnal mostrando el modo de cámaras fjas Fgura 5-7: Acercamento al efector fnal sobre el LED Fgura 5-8: Trángulos azul can con los untos de sus vértces Fgura 5-9: Plano de la cámara vectores de dreccón c, c...95 Fgura 5-: Acercamento al efector fnal sobre el objetvo de rueba...98 v

10 LISTA DE TABLAS Caítulo Tabla -: Puntos ara la calbracón de la cámara...4 Tabla -: Puntos ara la calbracón de la cámara...4 Tabla -3: Resultados de ruebas ara P...44 Tabla -4: Resultados de ruebas ara P...44 Caítulo 3 Tabla 3-: Resultados de la localzacón de coordenadas esacales de los tres LEDs...56 Tabla 3-: Pruebas de la estmacón de ose...6 Caítulo 4 Tabla 4-: Esecfcacones del robot...66 Tabla 4-: Característcas rncales del servomotor...69 Tabla 4-3: Constantes utlzadas en los controladores Caítulo 5 Tabla 5-: Valores de los arámetros del robot...88 Tabla 5-: Resultados de las ruebas con el sstema de dos cámaras fjas...9 Tabla 5-3: Resultados de las ruebas de estmacón de ose...97 v

11 SIMBOLOGÍA D D 3D R R 3 R T, T a, b, c, d, e, f, k Ρ Ρ l,, 3 Una dmensón. Dos dmensones. Tres dmensones. Coordenada cartesana abscsa. Coordenada cartesana ordenada. Esaco eucldano undmensonal. Esaco eucldano bdmensonal. Esaco eucldano trdmensonal. Símbolo remarcado reresenta un vector columna. Transuesta de un vector o matrz. Puntos en la magen. Transuesta de vector columna. Constantes generalzadas. Esaco roectvo undmensonal. Esaco roectvo bdmensonal. Vector columna de una recta. Coordenada arbtrara generalzada. X w Punto en el mundo reresentado or un vector homogéneo T (,, z,). Factor de escalamento ara coordenadas homogéneas. Producto cruz o roducto vectoral. Vector untaro en la dreccón del eje. j Vector untaro en la dreccón del eje. k Vector untaro en la dreccón del eje z. C c l Matrz de coefcentes. Vector de coefcentes. -ésmo unto de una sere de untos. Línea al nfnto.

12 -ésma coordenada abscsa del -ésmo unto. -ésma coordenada ordenada del -ésmo unto. C P Centro de roeccón. Punto en el esaco. f Dstanca focal o dstanca del centro de roeccón al lano de la cámara. X,Y, Z Coordenada,, z de un unto en el esaco P. I Matrz dentdad de dmensón 3 3. P j Matrz homogénea de 3 4 llamada matrz de cámara. Elemento de la matrz de cámara. Coordenada de un unto en la cámara (abscsa). cam Coordenada de un unto en la cámara (ordenada). cam K Matrz de calbracón. Coordenada del unto rncal de la cámara (abscsa). Coordenada del unto rncal de la cámara (ordenada). X Puntos del mundo reresentado or un vector homogéneo cam localzado en el orgen del sstema coordenado de la cámara. m m α α El número de íeles or undad de dstanca en coordenadas de magen en la dreccón. El número de íeles or undad de dstanca en coordenadas de magen en la dreccón. Longtud focal en térmnos de las dmensones de los eles en la dreccón. Longtud focal en térmnos de las dmensones de los eles en la dreccón. Punto rncal en térmnos de las dmensones de los eles en la dreccón. Punto rncal en térmnos de las dmensones de los eles en la dreccón.

13 s Parámetro de oblcudad entre los ejes, de los eles. X % Vector no homogéneo reresentando las coordenadas de un unto en el marco coordenado del mundo. X % Vector que reresenta un unto en el marco coordenado de cam la cámara. R Matrz de rotacón de 3 3. C ~ Coordenadas del centro de la cámara en el marco coordenado del mundo. M Matrz no sngular de 3 3 roducto de K R. H h h ( ) ε H E s t t t Matrz de transformacón. Funcón nvertble en Funcón nvertble en Ρ. Varable de grado de sometría. Ρ del -ésmo unto. Matrz de transformacón sométrca. Factor de escalada sotróco utlzada en las smlardades (transformacones roectvas). Vector de traslacón. Traslacón en la dreccón. Traslacón en la dreccón. H s Matrz de transformacón de smlardad. A H A Matrz no sngular que reresenta la afndad. Transformacón de afndad. R (θ) Matrz de rotacón en el ángulo θ. R (φ) Matrz de rotacón en el ángulo φ. D λ λ H P T v v Matrz Dagonal. Factor de escalamento en la rotacón en. Factor de escalamento en la rotacón en. Matrz de transformacón roectva. Vector de escalamento de transformacones roectvas. Factor de escalamento de transformacones roectvas.

14 h Vector de 9 elementos hechos a artr de los elementos de la matrz de transformacón H. jt h j-ésmo renglón de la matrz de transformacón H. h -ésmo elemento de h. A Matrz cuadrátca de coordenadas de untos ara la solucón del sstema de transformacón lneal drecta. w Factor de escalamento de coordenadas homogéneas. n W Coefcente generalzado. Factor de escala arbtraro. Vector que contene los elementos de la matrz P. ρ a, b, c,, 3 Factor de escala arbtraro de untos en la magen. -ésmo unto en el sstema coordenado de la cámara. Constante generalzada, dstanca de un cateto del trángulo objetvo. Puntos conocdos del esaco del trángulo de ruebas. s Dstanca del centro de ersectva al unto del trángulo. s Dstanca del centro de ersectva al unto del trángulo. s 3 Dstanca del centro de ersectva al unto 3 del trángulo. q Punto del trángulo roectado en la magen. q Punto del trángulo roectado en la magen. q 3 Punto 3 del trángulo roectado en la magen. u v -ésma coordenada del -ésmo unto q (abscsa). -ésma coordenada del -ésmo unto q (ordenada). j -ésmo vector untaro del centro de ersectva al -ésmo unto observado del trángulo. α Ángulo ouesto al cateto a. β Ángulo ouesto al cateto b. γ Ángulo ouesto al cateto c. u Varable generalzada roorcona la relacón entre s s.

15 v Varable generalzada roorcona la relacón entre s 3 s. T t t t z ' r j Vector de traslacón que es la dstanca del centro de roeccón hasta el unto. Coordenada comonente del vector T en la dreccón. Coordenada comonente del vector T en la dreccón. Coordenada comonente del vector T en la dreccón z. -ésmo unto en el sstema coordenado del mundo. j-esmo elemento de la matrz de rotacón. S Funcón de oscón. S Funcón de velocdad. S Funcón de aceleracón. τ T K K K d θ θ n Constante de temo. Temo total de movmento. Constante roorconal. Constante ntegral. Constante dervatva. Vector de los ángulos de las artculacones del robot. n-ésmo ángulo del n-ésmo eslabón del robot. Vector de la coordenada esacal deseada. Coordenada comonente del vector en la dreccón. Coordenada comonente del vector en la dreccón. z a d Coordenada comonente del vector en la dreccón z. -ésmo deslazamento sobre el eje coordenado. -ésmo deslazamento sobre el eje coordenado z. α -ésmo ángulo de gro sobre el eje coordenado del - ésmo eslabón. θ -ésmo ángulo de gro sobre el eje coordenado z del - ésmo eslabón. P -ésmo unto del trángulo de la rmera solucón (método

16 P c de Grunert). -ésmo unto del trángulo de la segunda solucón (método de Grunert). -ésmo vector erendcular al lanos de la solucón obtenda (trángulo de la rmera segunda solucón). a ' Dstanca en eles del cateto a. b ' Dstanca en eles del cateto b. c ' Dstanca en eles del cateto c. r Relacón entre los catetos a ' a' b' b' c' b '. r Relacón entre los catetos b ' c '. r Relacón entre los catetos c ' c' a' a '. v

17 ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS CCD CENIDET CIL CNAD CVC EMVA GDL LED NHTE PC PC PC PIC PID PUMA PWM RGB UAB UPF Vcd Charge-Couled-Devce. Centro Naconal de Investgacón Desarrollo Tecnológco. Comutatonal Imagng Lab. Centro Naconal de Actualzacón Docente. Centro de Vsón or Comutador. Assocaton of Euroean Machne Vson Comanes. Grados de lbertad. Lght-Emttng Dode. Núcleo Híbrdo de Transcón de Estados. Personal Comuter. Comutadora que controla al sstema de vsón. Comutadora que controla al robot. Controlador de Interfaz Perférco. Proorconal Integral Dervatvo. Programmable Unversal Manulator for Assembl. Pulse-Wdth Modulaton. Red, Green, Blue. Unversdad Autónoma de Barcelona. Unverstat Pomeu Fabra. Voltaje de corrente drecta. v

18 PREFACIO La vsón robótca es un camo joven multdsclnaro, a que engloba conocmentos de dversos camos, como son: la robótca, la vsón artfcal el control. Este camo avanza en forma ráda frecuentemente aarecen nuevos resultados, dando a conocer nuevas mejores técncas de vsón, ara alcacones cada vez más comlcadas egentes. En los rmeros años de la robótca móvl, el enfoque utlzado ara calcular controlar los movmentos del robot, se basaba en el conocmento comleto del ambente donde se movía. Entre las característcas rncales odemos destacar que no se tenía contemlada la aarcón de objetos no modelados (Cazorla, Otto Sáez ). Ho en día el control ntelgente en robots tene como objetvo el oder realzar tareas en un ambente cada vez menos estructurado varante, resondendo aroadamente a obstáculos objetvos cua oscón es varable desconocda. Para ello es necesaro ncororar sensores más adecuados ara ercbr el ambente, conocerlo oder nteractuar en él. La vsón es un sentdo mu oderoso ero a la vez comlcado, otorga gran cantdad de nformacón acerca del entorno da auta a una nteraccón ntelgente con éste, roorconando además la dentfcacón de la oscón de la relacón entre los objetos. Entre las formas más comunes de vsón robótca está la cámara fja que uede nclur al robot dentro de la escena la cámara montada sobre o cerca del efector termnal ( ojo en mano ). El rmer aso a realzar al mlementar un sstema de vsón robótca es la calbracón de la cámara que será su sensor de ercecón del entorno. Este trabajo de nvestgacón contrbue a la asmlacón de técncas de vsón artfcal de robótca en el CENIDET, hacendo la aortacón de un sstema físco comuesto de un brazo robótco to PUMA (Programmable Unversal Manulator for Assembl), con un sstema de vsón la mlementacón de un algortmo ara calbracón de cámaras. Esto constturá una base ara futuros trabajos en estas áreas. Para el desarrollo de esta nvestgacón se arovechó el trabajo realzado en el 5, Construccón de un brazo robótco de tres grados de lbertad (GLB) su control medante el Núcleo Híbrdo de Transcón de Estados, como lataforma eermental, desarrollando algunas modfcacones ara la adatacón al nuevo sstema de vsón. v

19 La maor arte de los rogramas usados fueron elaborados en Matlab R6b de Mathworks, con la auda de las herramentas de adquscón rocesamento de mágenes. Tambén fue necesara la utlzacón de otros softwares como son: SoldWorks de SoldWorks Cororaton, ara la elaboracón en 3D de ezas a construr; Protel DXP 4, de Altum, necesaro ara la elaboracón de crcutos electróncos mresos esquemátcos; MPLAB de Mcroch Technolog Inc, usado en la rogramacón de los mcrocontroladores del robot; Turbo C++ de Borland, donde se rerogramó al brazo robótco un control PID (Proorconal Integral Dervatvo). Para resentar este trabajo de tess, el documento se dvde en las sguentes artes: El caítulo mencona antecedentes en el camo de robótca vsón artfcal, en el CENIDET en otros centros de nvestgacón en el mundo. Se resenta el lanteamento del roblema, los objetvos, el alcance del roecto las lmtacones de éste. Tambén se aborda el estado del arte en vsón robótca. En el caítulo se muestra la teoría básca resecto a la calbracón de cámaras, se abordan los temas de geometría roectva modelos de cámaras, se muestran además los resultados obtendos en la calbracón de cámaras, como requsto mínmo ara desarrollar este sstema de vsón. El caítulo 3 trata el tema de recueracón de coordenadas en tres dmensones, arovechando la calbracón de las cámaras alcando los métodos de cámaras fjas estmacón de ose. Además, se muestra la técnca de rocesamento de mágenes usada ara la localzacón de un objeto, que funconará como blanco ara osconar el efector fnal del robot. En el caítulo 4 se muestran las característcas mecáncas eléctrcas del robot, las adatacones necesaras que se le hceron en la arte mecánca, eléctrca, de rogramacón de control ara que funcone con el sstema de vsón. En el caítulo 5 se resenta la ntegracón de los sstemas de vsón robótco, las ruebas fnales hechas los resultados obtendos usando los métodos de cámaras fjas estmacón de ose. El caítulo 6 resenta los objetvos cubertos, las aortacones, las lmtantes los trabajos futuros dervados de esta nvestgacón. v

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21 CAPÍTULO. VISIÓN ROBÓTICA La alcacón de la vsón artfcal en sstemas robótcos, llamado vsón robótca, es una dsclna que va adqurendo desde hace unas décadas un desarrollo mu sgnfcatvo. Comutadoras más veloces el crecmento en el desarrollo de sstemas robótcos, hacen osble la mlementacón de métodos de vsón desarrollados teórcamente décadas atrás, sobre sstemas robótcos actuales. En este trabajo se usaron dos métodos de vsón: Vsón estereoscóca Estmacón de ose con el fn de localzar un objeto en el esaco osconar el efector fnal de un brazo robótco sobre dcho objeto. En las sguentes seccones se resentan trabajos de vsón robótca, desarrollados en el CENIDET (Centro Naconal de Investgacón Desarrollo Tecnológco); se descrben el roblema, objetvos alcances de este trabajo de tess el estado del arte de la vsón robótca.. ANTECEDENTES.. VISIÓN ROBÓTICA EN EL CENIDET La vsón robótca en el CENIDET es un camo en el cual se ha ncursonado en deartamentos como Cencas Comutaconales, en el área de Intelgenca Artfcal en el deartamento de Mecatrónca. En el caso del deartamento de mecatrónca se desarrollaron trabajos como: Construccón de un brazo robótco de tres GDL su control medante el núcleo híbrdo de transcón de estados (Vllalobos Ramírez 5), donde se realzó la construccón de un brazo robótco de tres grados de lbertad to PUMA como lataforma ara robar la efcenca de la metodología del Núcleo Híbrdo de Transcón de Estados (NHTE) como controlador de una lanta no lneal. Este brazo se utlzó ara anearle una cámara en su efector fnal e mlementar algortmos de calbracón de cámaras, deteccón de objetos en mágenes cálculo de sus coordenadas en 3D, ara llevar a cabo el control de sus movmentos, obtenendo con esto un rototo de vsón robótca real en el CENIDET.

22 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco Por arte del gruo de ntelgenca artfcal se realzaron tess como: Dseño de un sstema de calbracón automátca ara un sstema de vsón robótca modular (Pérez Ramírez ), donde se aborda el tema de calbrar un sstema modular de vsón robótca, estando el sstema de vsón, el robot el sstema de calbracón en módulos que no están drectamente lgados, esto se desarrolló en un sstema comutaconal donde al selecconar un unto en una magen éste era envado al sstema de referenca del robot ara que el brazo se movera haca ese unto. En la smulacón, la cámara no estaba montada en el robot, además, la matrz de calbracón de la cámara los arámetros del robot se suuseron conocdos. En trabajos como: Detallador de tareas ara rocesos de Vsón Robótca (Lóez Solórzano 3) Esquema ara la ntegracón de Sstemas de Vsón Robótca (Peralta Abundez 3), fueron abordados temas como la ntegracón entre sstemas de vsón artfcal or comutadora sstemas de control de robots artculados.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La roblemátca a resolver es la calbracón de cámaras, necesara ara etraer nformacón métrca a artr de mágenes bdmensonales del mundo en tres dmensones. Aunque esten técncas ara nferr esta nformacón desde mágenes catadas or cámaras no calbradas, estas técncas lmtan la osbldad de realzar alcacones efectvas en vsón, tal como nteraccón en ambentes, segumento reconstruccón en tres dmensones, los cuales se basan en el conocmento de la traslacón rotacón de la cámara (Aracena Pzarro, Camos Cléso 5). Los rocesos de calbracón roorconan una matrz que contene la nformacón de rotacón, traslacón escala de la cámara, ésta es llamada matrz de cámara. La matrz de cámara contene arámetros que reresentan una transformacón lneal del mundo real a la cámara, es decr, traslada cada unto del mundo real a un unto en una magen, sn embargo el roceso nverso no es osble, uesto que se erde una dmensón (rofunddad) (Zsserman Hartle 3), de tal manera, que es necesaro, a artr del conocmento de la matrz de cámara, alcar métodos como vsón estereoscóca estmacón de ose ara recuerar dcha dmensón. El roblema se resume al cálculo de los arámetros de la matrz de cámara la recueracón de coordenadas en 3D a artr de los métodos de vsón estereoscóca estmacón de ose.

23 Caítulo Vsón Robótca.. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Usar la vsón estereoscóca rovsta or dos cámaras calbradas la estmacón de ose de una cámara calbrada montada sobre el robot, ara localzar un unto en el esaco usar esta nformacón dentro de un lazo de control que lleve el efector fnal de un brazo robótco to PUMA al unto fnal deseado. OBJETIVOS PARTICULARES ) Dseño construccón de una artculacón de al menos un grado de lbertad adconal ara el eslabón termnal del brazo PUMA. ) Construccón de un eslabón termnal con base ara cámara e índce osconal. ) Imlementar el método de calbracón drecta. v) Imlementar dos métodos de recueracón de coordenadas en 3D: vsón estereoscóca (un ar de cámaras fjas) estmacón de ose (cámara en mano). v) Reconocer localzar un blanco (objetvo) en una magen; un LED en caso de vsón estereoscóca 3 LEDs en caso de estmacón de ose, controlando todas las varables osbles (lumnacón, control de la escena, color, etc.) ara facltar la tarea al sstema de vsón. v) Resolver la localzacón esacal del blanco alcando el método de vsón estereoscóca realzar la aromacón del eslabón fnal al blanco. v) Realzar deslazamentos ara localzar el blanco, resolver la localzacón esacal del blanco alcando el método de estmacón de ose realzar la aromacón del eslabón fnal al blanco... ALCANCES Y LIMITACIONES Los alcances de este trabajo de tess de maestría son los sguentes: Asmlacón de las técncas báscas de vsón artfcal en un ambente estructurado. Estudo de algunos modelos de cámara asmlacón de las técncas báscas de calbracón. Conocer suerfcalmente la cnemátca dnámca del robot to PUMA. 3

24 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco Instrumentacón del brazo con una artculacón un eslabón termnal que orte una cámara un índce de oscón. Desarrollo de la secuenca de control de oscón algortmo de calbracón con auda de Matlab. Programacón de dcha secuenca rocedmento de calbracón. Evaluacón eermental del sstema. Entre las lmtacones que se resentaron durante el desarrollo de la nvestgacón se encuentran: Sólo se alcó un método de calbracón de cámaras, llamado calbracón drecta, se usó sólo este método a que resenta oca comlejdad en la resolucón de sus ecuacones. La falta de herramenta equo ara la construccón de la cuarta artculacón ocasonó defcencas smétrcas, que se reflejaron en el cálculo de la cnemátca nversa del robot. No se desarrolló el control del robot en la lataforma de MatLab, debdo a la lmtante del temo ara el desarrollo de la nvestgacón. El estado mecánco del robot fue la lmtante más sgnfcatva ara la evaluacón del sstema, a que el modelo dnámco que lo reresentaba no fue el correcto ocasonó roblemas en su control or consguente errores de oscón..3 ESTADO DEL ARTE.3. PRIMEROS TRABAJOS EN VISIÓN Muchas han sdo las nvestgacones hechas décadas atrás en trabajos relaconados con vsón, calbracón de cámaras estereoscócas, estmacón de ose ara el caso de una sola cámara reconstruccón en tres dmensones, dchas nvestgacones aortan múltles métodos formalsmos matemátcos útles ara la resolucón de los roblemas tratados en este trabajo de tess. A fnales de los 6s el Artfcal Intellgence Center SRI Internatonal reortaron el desarrollo de un robot móvl llamado Shake, dotado con una lmtada habldad ara ercbr modelar ambentes, odía realzar tareas laneadas, buscar rutas reacomodar objetos smles (Fu, González Lee 987). 4

25 Caítulo Vsón Robótca Fgura -: Shake de Artfcal Intellgence Center SRI Internatonal. Los rmeros trabajos en rocesamento automátco de mágenes se hceron en la década de los 7s or gente como: Hans Moravec, Gerald J. Sussman. Aunque aun no estía la robótca o vsón comutaconal tal cual, a aarecían las rmeras alcacones ndustrales se hacía nvestgacón en robótca, mágenes médcas aéreas (Haet 7). En 973 Bolles Paul de Stanford mostraron un sstema retroalmentado con vsón, con un brazo robótco una comutadora PDP-, ara el ensamblado de bombas de agua de automóvles (Fu, González Lee 987). Los roblemas de recursos de comutacón lmtados, hacían dfícles de realzar los sueños de los oneros, la nocón de dfcultad de los roblemas a resolver entre máqunas humanos era dferente, lo que es fácl ara humanos (reconocer caras, moverse acolando sensores motorzacón) no lo es ara las máqunas. A fnales de los 7s Davd Marr roone una dreccón en cuanto a la vsón artfcal: abandonar toda búsqueda de modelzacón smbólca de los rocesos de reconocmento de atrones reconstruccón roone una teoría nsrada 5

26 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco comletamente en estudos sobre la vsón humana, algortmos reactvos basados en comortamentos elementales (Haet 7). En los años 8s 9s, abordaban el tema de calbracón de cámaras, análss reconstruccón 3D, nvestgacones como: Camera Self-Calbraton: Theor and Eerments (Faugera, Luong Mabank 99), A Guded Tour Through Multvew Relatons (Moons 998), Camera Calbraton Usng Lne Corresondences (R. Hartle 993), se enfocaron en la búsqueda de mejores métodos ara el cálculo de los coefcentes de la matrz de cámara, que contene la nformacón de rotacón, traslacón escala de la cámara, que establece la corresondenca entre el sstema de coordenadas en tres dmensones del mundo físco del sstema vsual (coordenadas de una magen en dos dmensones), estos estudos se basaron en el modelo de cámara Pnhole. Otro tema de nvestgacón mortante fue el estudo de reconstruccones en 3D abordando el roblema de encontrar un unto en el esaco a artr de mágenes rovenentes de cámaras con ose o calbracón conocda, ara el caso de dos cámaras calbradas o vsón estereoscóca el roceso requere la nterseccón en el esaco de dos raos, éste método es comúnmente llamado Trangulacón (Hartle Sturm 997). En el 3, Rchard Hartle Andrew Zsserman, resentan el lbro Multle Vew Geometr n Comuter Vson, el cual se tomó como base teórca de esta tess, mostrado en el Catulo, ara el estudo de geometría roectva, transformacones en D 3D, estudo de modelos de cámaras, calbracón de cámaras donde se obtuvo la matrz de cámara las bases de la reconstruccón en 3D..3. TRABAJOS EN VISIÓN ACTUALES Actualmente, un sstema de vsón robótca es una tecnología que ntegra alcacones nformátcas, ótcas electróncas caaces de dotar del sentdo de la vsta a máqunas robots, que así ueden ercbr su entorno reacconar según unas normas egdas. La adquscón de mágenes su análss automátco, sn necesdad de establecer contacto físco alguno, en cualquer momento lugar, ermte controlar rocesos ndustrales con gran efcenca total segurdad. El cometdo de un sstema de vsón artfcal es dotar a las máqunas del sentdo de la vsta ara que uedan catar el asecto las cualdades de un objeto o escena (color, lumnosdad, forma tamaño). Un sstema de vsón artfcal catura mágenes ndvduales o secuencas de vídeo, que luego son rocesadas nformátcamente con el fn de analzar medr una o varas característcas del objeto en cuestón. Toda esta nformacón debe facltar la toma de la decsón más adecuada en un roceso roductvo. 6

27 Caítulo Vsón Robótca Los comonentes báscos de un sstema de vsón artfcal se descrben a contnuacón. La cámara cata la magen, la comutadora, rovsta de una tarjeta de vídeo del software adecuado, dgtalza rocesa la señal vsual. Se requere tambén una lumnacón aroada ara la escena el trabajo encomendado. Actualmente este una gran varedad de los comonentes báscos que ntegran un sstema de vsón artfcal. Muchos de estos elementos esencales ueden combnarse confgurar el sstema más adecuado a cada necesdad (Banesme 6). El sstema robótco uede ser defndo desde dversos untos de vsta: Con ndeendenca resecto a la defncón de "robot": "La Robótca es la coneón ntelgente de la ercecón a la accón"... (Banesme 6) En base a su objetvo: "La Robótca consste en el dseño de sstemas. Actuadores de locomocón, manuladores, sstemas de control, sensores, fuentes de energía, software de caldad, todos estos subsstemas tenen que ser dseñados ara trabajar conjuntamente en la consecucón de la tarea del robot"... (Banesme 6) Tomando esta últma defncón, el sstema robótco consta de: Estructura mecánca Transmsones Sstema de acconamento (actuadores) Sstema sensoral (sensores) Elementos termnales Sstema de control (controlador) Almentacón La funcón del controlador es gobernar el trabajo de los actuadores (los dsostvos que orgnan el movmento) las transmsones (modfcadores del movmento). La almentacón roorcona la energía necesara ara todo el sstema. Además de estos tres subsstemas, los robots de segunda generacón ncororan sensores que recben la señal de realmentacón rocedente de los actuadores asando la nformacón al controlador, que debe calcular la correccón del error. El entorno roorcona tambén nformacón que recben los sensores se envía de nuevo al controlador ara hacer los ajustes necesaros ara la realzacón de la tarea (González Fernández 3). Esten dversos ortales en nternet que contenen nformacón relevante resecto a vsón robótca actual como son: Machne Vson Portal, con notcas una guía de roductos tambén Machne Vson Onlne, que resenta una gran bbloteca de artículos técncos descrcones de alcacones ndustrales. Las revstas 7

28 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco esecalzadas aortan muchos datos de nterés: The Journal of Electronc Imagng Vson Sstems Desgn e ncluso Machne Vson Tech Grou, de la Socet of Manufacturng Engneers (SME), que cuenta con un actvo foro de dscusón e ntercambo de nformacón. Algunos deartamentos unverstaros, centrados en la nvestgacón básca alcada, auestan fuerte or el tema, como el Centro de Vsón or Comutador (CVC, de la UAB), el Comutatonal Imagng Lab (CILab, de la UPF) el Gruo de Automátca, Robótca Vsón Artfcal (Escuela Poltécnca Sueror de la UA). Muchas emresas ofrecen su gama de roductos alcacones, como Natonal Instruments, DALSA Coreco, The Imagng Source Euroe The Comuter Vson Industr. Entre las emresas, DataPel, eertos en vsón 3D, ótca, electrónca e ngenería de software DCM Sstemes, esecalzados en lumnadores ara vsón artfcal. Para cerrar esta lsta arcal, Assocaton of Euroean Machne Vson Comanes (EMVA), que reúne las emresas las asocacones del sector..4 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO En éste caítulo se resentó detalló el roblema de nuestro tema de nvestgacón, así como los objetvos, alcances las lmtacones del msmo. En el estado del arte resentado en la seccón anteror se mostraron algunos trabajos relaconados con la solucón del roblema, en artcular el lbro Multle Vew Geometr n Comuter Vson, de donde se obtuvo la base teórca del tema de calbracón el estudo de la geometría roectva. El rmer aso ara encontrar la solucón al roblema de calbracón, fue el estudo del modelo de la cámara su reresentacón matemátca, el cual se muestra en el sguente caítulo. Los métodos de vsón estereoscóca estmacón de ose se usaron ara la recueracón de la nformacón en 3D de un objeto en el esaco arovechando el conocmento de la calbracón de las cámaras, elcándose más a detalle en el caítulo 3. 8

29 CAPÍTULO. CALIBRACIÓN DE CÁMARAS El rmer aso ara desarrollar un sstema de vsón robótca real es el de calbracón de cámaras, con la calbracón de cámaras se obtenen los arámetros nternos (ntrínsecos) eternos (etrínsecos) de la cámara. El roceso de calbracón de cámara, es necesaro ara oder etraer nformacón métrca a artr de mágenes en D del mundo 3D. El roceso de calbracón de cámara abre la osbldad de realzar alcacones efectvas en vsón, tal como el reconocmento, segumento reconstruccón 3D, los cuales se basan en el conocmento de la calbracón ose de la cámara (Aracena Pzarro, Camos Cléso 5). Para comrender la técnca de calbracón los métodos de recueracón de coordenadas utlzados, es necesaro tener conocmento de la geometría roectva, ues concetos como coordenadas homogéneas modelos de cámaras tenen su fundamento en ella. Las seccones de este caítulo roorconan concetos, fundamentos, reresentacones, termnologías notacones que serán usadas a lo largo de este documento, como arte central ara el análss, comrensón e mlementacón de las técncas de calbracón recueracón de coordenadas en 3D. En la rmera seccón de este caítulo se abordan concetos ara la reresentacón de las dferentes entdades geométrcas (unto, línea cónca), así como la transformacón roectva en D D (una dmensón dos dmensones resectvamente). Esta seccón es una ntroduccón a la geometría roectva. En la seccón dos, se resentan de forma general el esquema de cámara Pnhole, su funconamento básco el modelo matemátco. Tambén se resentan algunas cuestones matemátcas relevantes ara comrenderlo entenderlo mejor e r resentando de forma gradual un modelo más comleto de la cámara en la que se desarrollará un análss matemátco de una transformacón roectva, hasta llegar a obtener un modelo de la matrz de calbracón sus dferentes casos tícos. En la tercera seccón de este caítulo, se resentan con maor detalle concetos desarrollos ara las transformacones roectvas en dos dmensones. Tambén se resentan las transformacones de líneas, untos, cóncas, así como las jerarquías de transformacones. En esta seccón se estudan las transformacones roectvas su descomoscón. 9

30 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco En la cuarta seccón se resentan los concetos alcados ara comrender, realzar obtener la calbracón de una cámara. Se ndca el cálculo estmacón de una homografía, así como algunas de sus confguracones osbles ara el cálculo de una osble solucón a artr de líneas otras entdades geométrcas (untos, cóncas). En ésta seccón se obtenen los fundamentos báscos ara oder realzar la calbracón de cámara, obtenendo la solucón en dferentes enfoques, la homogénea, la mínma la sobre determnada. En la últma seccón se resentan la metodología emleada los resultados obtendos en la calbracón de las cámaras con las que se trabajaron ara el desarrollo del roecto.. GEOMETRÍA PROYECTIVA EN D Esta seccón ntroduce los rncales concetos geométrcos la notacón que se requere ara entender el materal resentado en éste caítulo. Algunos de estos concetos son famlares, como la formacón de untos o la reresentacón de líneas, mentras que otras son más comlejas. Estos concetos serán lanteados en el caso lanar o D orque así son más fáclmente vsualzados. Comenzaremos or descrbr la reresentacón de untos, líneas cóncas en coordenadas homogéneas cómo estas entdades se dbujan bajo transformacones roectvas... REPRESENTACIÓN HOMOGÉNEA DE LÍNEAS Y PUNTOS Un unto en un lano uede ser reresentado or un ar coordenado (, en ) R. Se consderará la roeccón entre esacos vectorales se reresentarán tales roeccones como matrces. El roducto de una matrz un vector es otro vector, esto lleva a la dstncón entre vectores columnas vectores renglones, a que una matrz uede ser multlcada or un vector columna or la derecha or la zquerda or un vector renglón. Las entdades geométrcas or defecto serán reresentadas or vectores columna. Un símbolo remarcado semre reresenta un vector columna T su transuesta es el vector. De acuerdo con esta convencón, un unto en el lano T será reresentado or el vector columna (, ). Por lo que se escrbrá (, T = ). Una recta uede ser eresada or una ecuacón de la forma a + b + c =, donde los coefcentes a, b c ueden tener dferentes valores, ermtendo reresentar así dferentes líneas. De este modo, una línea uede ser reresentada or un vector a, b, c T. La corresondenca de las líneas no es uno a uno, a que las ecuacones ( )

31 Caítulo Calbracón de cámaras a + b + c = ( ka ) + ( kb) + kc = reresenta a la msma línea, esto es ara cualquer valor de k dferente de cero. S la relacón entre dos vectores es un factor, que al ser multlcado or uno de ellos obtenemos el otro vector, se consderan a estos vectores equvalentes. Un vector equvalente bajo este to de relacón es conocdo como vector homogéneo. Cualquer vector artcular ( a, b, c) T es un reresentatvo de la clase equvalente. Una sere de vectores de clases equvalentes en R 3, a ececón del vector (,,) T, forman el esaco roectvo Ρ., T está stuado sobre una recta l = ( abc,, ) T s solo s a + b + c =. Esto uede ser escrto en térmnos de un roducto nterno de vectores reresentantes T de los untos, como: (,,)( abc,, ) = (,,) l =, donde el unto (, ) T en R es reresentado como un vector de tres elementos (3-vector) al agregar al fnal la coordenada. Nótese que ara cualquer valor dferente de cero ara la constante k la línea l, la ecuacón ( k, k, k ) l = s solo s (,,) l =. Por consguente es normal consderar la sere de vectores ( k, k, k) T ara cualquer valor de k como T una reresentacón del unto (, ) en R. Así como las líneas, los untos ueden ser reresentados or vectores homogéneos. Un vector homogéneo arbtraro de la forma = (,, 3) T reresenta al unto (, ) T 3 3 en R. Un unto = ( ).. GRADOS DE LIBERTAD Para reresentar un unto en el esaco R se requere roorconar dos valores, llamados coordenadas, así tambén ara reresentar una recta de la forma ( a + b + c = ) se defne un ar de arámetros ndeendentes dados or las relacones entre los coefcentes { a : b : c}. Entonces los grados de lbertad son el número mínmo de arámetros que se requere ara esecfcar un unto, una recta o cualquer otra entdad geométrca sn consderar los valores de sus coefcentes. Fgura -: Reresentacón de untos en el esaco D.

32 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco..3 GEOMETRÍA PROYECTIVA EN D Y D Para contnuar, se estudará el caso artcular de D dmensón así entender el conceto fundamental de la geometría roectva. Se uede observar que ara reresentar un unto X en R se requere sólo de un coefcente. En la fgura - se muestra de manera gráfca la reresentacón de este unto. Una forma de reresentar un unto en coordenadas homogéneas es agregando al fnal una coordenada más, T tenendo como resultado un unto X = (, w) en R ara un lano roectvo Ρ. Con la geometría roectva se logra la reresentacón de un unto en un lano roectvo. Una forma de vsualzar esto, es suonendo un unto como orgen del que arten líneas en todas dreccones. En la fgura - se muestra gráfcamente esta dea. Fgura -: Geometría roectva en D. La geometría roectva en D es un caso generalzado de la geometría roectva en D. Con la dferenca de que en éste, los untos en R son reresentados or tres T =, w, ara un lano roectvo P. coefcentes ( ) En la fgura -3 se observa la dea de rofunddad en los untos, se uede ver que los vectores cua relacón es un coefcente k que los multlca, son equvalentes reresentan al msmo unto en coordenadas homogéneas.

33 Caítulo Calbracón de cámaras Fgura -3: Geometría roectva en D...4 INTERSECCIÓN DE LÍNEAS Y PUNTOS UNIDOS POR RECTAS T Dadas dos líneas l = ( abc,, ) = ( a, b, c ) l en R, queremos encontrar su nterseccón. Se defne el vector = l l, donde es el roducto vectoral o roducto cruz. Por la dentdad del trle roducto escalar, l ( l l ) = l ( l l ) = tenemos que T l = l T =. De esta forma, s es la reresentacón de un unto, entonces se encuentra en la línea l en la línea l. Por lo tanto, la nterseccón de dos líneas l l es un unto = l l. Por ejemlo s se desea determnar la nterseccón de las líneas = =. Se tene que la línea = es equvalente a + =, su reresentacón homogénea es = (,,) T l, la línea = es equvalente a + =, su reresentacón homogénea l =,, T, s alcamos la relacón = l l tenemos que: es ( ) j k = l l = = T 3

34 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco Una eresón ara una línea que asa a través de dos untos uede ser dervada de un análss smlar al anteror, defnendo a la línea como l =. Los untos = ( )..6 LÍNEAS AL INFINITO,, 3 T tales que 3 corresonden a untos fntos en R. Los untos con la últma coordenada 3 = son conocdos como untos deales, o untos al nfnto. Estos untos ueden ser escrtos como (,, ) T están sobre una línea sngular llamada línea al nfnto, se reresenta con el vector l = (,,) T. El rnco de dualdad dce:..7 PRINCIPIO DE DUALIDAD A cada teorema de la geómetra roectva bdmensonal le corresonde un teorema dual, el cual es dervado ntercambando los roles de untos líneas en el teorema orgnal. T Por ejemlo la ecuacón l =, mlca que l T =. El rnco de dualdad uede ser trasladado a concetos como el de nterseccón de dos líneas observar que es dual al de líneas que unen a dos untos...8 CÓNICAS La cónca es una de las entdades geométrcas mortantes cua reresentacón en coordenadas no homogéneas es: a b c d e f = Homogenzando al hacer las sguentes susttucones: eresada en forma matrcal: α 3 α tenemos: 3 a + b + c + d + e + f 3 = (.) 3 3 4

35 Caítulo Calbracón de cámaras donde la matrz de coefcentes C está dada or: T C = (.) a b/ d/ C = b/ c e/ (.3) d/ e/ f Note que la matrz de coefcentes de la cónca C es smétrca. Como en el caso de la reresentacón homogénea de líneas untos, sólo las roorcones de los elementos de la matrz son mortantes, uesto que s a C se le multlca or un escalar dferente de cero éste no afecta a la ecuacón sueror. Así C es la reresentacón homogénea de una cónca. Suonga que desea construr una cónca que ase or una sere de untos. Para defnr a una cónca que esta sea únca, cuántos untos son necesaros? De la ecuacón. cada unto aorta una restrccón a los coefcentes de la cónca, uesto que la cónca asa a través de (, ) T entonces: a + b + c + d + e + f = (.4) Esta restrccón se uede escrbr como: Donde ( ) T tenemos: c = a b c d e f ( ) c =, s agruamos las restrccones de cnco untos c = (.5)

36 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco La ecuacón anteror muestra una cónca determnada comletamente or cnco untos en cualquer oscón en general.. MODELO DE UNA CÁMARA Es mortante conocer el conceto básco de la cámara PINHOLE de la cámara CCD que en la actualdad es la tecnología comúnmente utlzada ara las cámaras dgtales a sea ara cámaras de vdeo, fotográfcas o WebCam's. La cámara es el sensor que ermte realzar una transformacón entre el mundo trdmensonal (3D) una magen bdmensonal (D). En esta seccón se comenzará con un modelo smle de cámara que es la cámara Pnhole básca. Los modelos desarrollados están rncalmente dseñados ara cámaras con sensor to CCD (charge-couled-devce), que se consdera deal que no este dstorsón radal. A contnuacón se rán desarrollando los concetos báscos, así como su modelo matemátco... MODELO DE CÁMARA PINHOLE En la fgura -4 se resenta un esquema de la cámara oscura. Este esquema reresenta de forma básca la cámara Pnhole, la cual medante un orfco mu equeño C en una ared deja entrar la luz eterna que es roectada en una ared nteror de la cámara oscura. El resultado en esta cámara es una magen nvertda del mundo eteror sobre un lano que se encuentra en el nteror de ésta. Fgura -4: Esquema de cámara oscura. El modelo de cámara oscura uede ser consderado ara ser utlzado como modelo de una cámara normal CCD, como el esquema que se muestra en la fgura -5, en la que 6

37 Caítulo Calbracón de cámaras un lente es el encargado de dejar asar la luz como el equeño orfco del esquema anteror tenemos como la arte osteror de la cámara un sensor to CCD que es el encargado de recbr la luz del eteror convertrla a valores de voltajes. La cámara CCD es un sensor de magen que utlza elementos semconductores fotosensbles en forma de arreglos matrcales. Los sensores actvos de este arreglo son dstrbudos en íeles ndvduales. Las cámaras CCD son dsostvos que oseen una mu baja deformacón geométrca de la magen, una mu buena sensbldad a la luz una mu buena resolucón llegando tícamente a los 4, eles. El temo de catura de la magen esta tícamente en el rango de /6s /s. S nos fjamos en la fgura -5, odemos ver que la magen en el CCD está nvertda, ero medante rocesamento electrónco las cámaras dgtales nos entregan una magen derecha, es decr el lano de la magen que nosotros vemos está en forma normal sn nversón. Con esto odemos reresentar de una forma más smlfcada el modelo anteror suonendo un lano entre la lente mundo real lo que nos dará una roeccón del mundo real sobre una magen bdmensonal en forma no nvertda tal como se obtene en una cámara normal. Esta suoscón nos smlfcará el modelo de la cámara. Esta se muestra de manera gráfca en el esquema de la fgura -6. Fgura -5: Esquema de una cámara CCD. 7

38 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco Fgura -6: Esquema smlfcado de una cámara. Fgura -7: Modelo Pnhole smlfcado. A la roeccón de untos que asan or un centro de roeccón C se le conoce como roeccón central es mostrada en la fgura -7, donde la línea de roeccón del unto P asa or un centro de roeccón. Consdérese una roeccón central de untos en el esaco sobre un lano. Dejando que el centro de roeccón sea el orgen de un sstema de coordenadas cartesanas consdérese el lano z = f, que es llamado el lano de la magen o lano focal. Bajo el T modelo de la cámara Pnhole, un unto en el esaco con coordenadas P = ( XYZ,, ) es roectado a un unto en el lano de la magen donde una línea une el unto P con el centro de roeccón a través del lano de la magen. Esto se uede ver en la fgura 8

39 Caítulo Calbracón de cámaras -8. Se tomará el modelo smlfcado hacendo la consderacón a antes menconada quedando un esquema que se muestra en la fgura -9. Por trángulos semejantes, se uede observar que el unto ( X, Y, Z ) T es roectado al T fx, fy sobre el lano de la magen. Z Z unto ( ) T ( XYZ,, fx ) (, fy Z Z ) T a (.6) S el mundo untos de la magen son reresentados or vectores homogéneos, entonces la roeccón es smlemente eresada como una funcón lneal entre estas, los vectores en coordenadas homogéneas ueden ser escrtos en térmnos de una multlcacón de matrces como: X X fx f Y Y α fy = f (.7) Z Z Z tambén uede ser escrta como dag ( f, f,) [ I ], donde dag ( f, f,) es una matrz dagonal [ I ] reresenta a una matrz comuesta or un bloque de 3 3 (la matrz dentdad) más un vector columna de ceros. S se ntroduce la notacón X ara los untos en el mundo reresentados or un vector homogéneo ( XYZ,,,) T, ara los untos de la magen reresentados or un vector homogéneo vector-3, P ara una matrz homogénea de 3 4 defnda como P = dag( f, f,) [ I ] llamada matrz de cámara, odemos escrbr la ecuacón.7 de forma comacta como = PX. Fgura -8: Esquema smlfcado de cámara. 9

40 Vsón estereoscóca estmacón de ose ara el osconamento de un brazo robótco Fgura -9: Trángulos semejantes. Fgura -: Sstema de coordenadas de la magen (, ) de la cámara ( cam, cam )... TRASLACIÓN DE UN PUNTO PRINCIPAL En la ecuacón.6 se asume que el orgen de las coordenadas en la magen está en el unto rncal. En la ráctca esto no es así, en general la roeccón es: (, z) T, α f f +, + z z T Donde (, ) T son las coordenadas del unto rncal, fgura., or lo que odemos reescrbr las ecuacones en coordenadas homogéneas como:

41 Caítulo Calbracón de cámaras X X fx + Z f Y Y α fy + Z = f (.8) Z Z Z..4 MATRIZ DE CALIBRACIÓN Ahora s se defne, f K = f (.9) Entonces la ecuacón.8 uede ser eresada de forma comacta como: [ ] = K I X (.) cam La matrz K es llamada la matrz de calbracón de cámara. X cam es el unto en el mundo reresentado or un vector homogéneo ( XYZ,,,) T asume que estos untos se encuentran localzados en el orgen del sstema de coordenadas Eucldanas con el eje rncal de la cámara, orentado en línea recta haca el eje Z. En la matrz K se suone que las coordenadas de la magen están en coordenadas no homogéneas tenen una escala gual ara ambos ejes de dreccones. En el caso de las cámaras CCD, este la osbldad de que los eles no sean cuadrados, además s las coordenadas de la magen son meddas en eles, esto tendrá el efecto de ntroducr factores de escala dferentes en cada dreccón. S el número de íeles or undad de dstanca en coordenadas de magen son m m en las dreccones resectvamente, entonces la transformacón desde las coordenadas del mundo a las coordenadas de íeles se obtene al multlcar la matrz de la ecuacón.9 or un factor dag m, m,), así la forma general de la matrz de calbracón de cámara es: ( α K = α (.) Donde α = fm = fm α reresentan la longtud focal en térmnos de las dmensones de los eles en las dreccones resectvamente. De manera