Límites y Continuidad de funciones de varias variables

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1 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..- Determinar si las siguientes funciones son acotadas: y y a) z sen ycos - e b) z y e c) 1 1 z sen y sen y 3.- Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: y 9 a) f(, y) = ln( y 6) b) g(,y) =. y c) h(,y) = arc cos d) p(,y) = y.- Hallar las curvas de nivel de las funciones: a) z y b) z sen(y) c) z y 5.- La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (, y) de una placa circular de 10m de radio es: T = 600-0,75-0,75y Donde e y se miden en metros. Calcular y dibujar algunas curvas isotermas: 6.- Calcular los siguientes límites: 5 y y y a. lím b. lím c. lím,y 1, y,y 1, 1 y,y 1,1 3 y y y y y e 1 lím e. lím,y 0,0 y,y 0,0 f. lím y,y 0,0 sen ln(1 y) d. 7.- Estudiar la continuidad de las funciones: y si (, y) (0,0) f(,y)= y ; g(,y)= 0 si (, y) (0,0) y si (,y) (0,0) y 0 si (,y) (0,0) 8.- Dada la función: y si, y f, y 3y y k si, y a. Hallar, si eiste, lím f (, y).,y 0,0 0,0 0,0, se pide: b. Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 9.- Estudiar la continuidad en (0, 0) de las siguientes funciones: y si, y 0,0 a. f, y y 0 si, y 0,0 y g, y si, y 0,0 b. h, y y, siendo g(, y) una función continua en (0,0) 0 si, y 0,0 1 tal que g (0, 0) =0. Nota: Utilizar que y y. y y si, y 0,0 c. j, y y. 0 si, y 0,0 sen seny 10.- Dada la función f(,y)= y k a) Hallar, si eiste, lím f (, y).,y 0,0 si (, y) si (, y) (0,0) (0,0) b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k.. Se pide: 1 y 1 ysen 11.- Dada la función z. Se pide: y a) Dominio de la función. b) Límites reiterados en el punto (0,0). c) A la vista del resultado anterior eiste el límite de f en (0,0)? En caso afirmativo calcularlo. d) Es continua la función en (0,0)? e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto. 1.- Para las siguientes funciones, probar que el valor de lím f (, y) camino elegido para acercarse a (0,0): y a) f(, y) = y y 3 y b) f(, y) = 6 y,y 0,0 depende del y 13.- Consideremos lím y, y 0,0. Se pide: a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y = m. b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y =. c) Eiste el límite? Justifica la respuesta. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 1 1.- Demostrar aplicando la definición de límite que lim y cos 0,y 0, Dada la función y si (, y) (0,0) f (, y) y se pide: k si (, y) (0,0) a) Límites radiales en (0, 0) b) Límites reiterados en (0, 0) c) Eiste límite en (0, 0)? d) Eiste algún valor de k para el cual la función sea continua en todo R? lim 16.- Eiste el,y 0,0 y y y? Caso afirmativo, calcularlo Sea, sin y si,y 0, 0 f y y. Se pide: 1 si,y 0, 0 a) Dominio de f. b) Estudiar la continuidad de f Sea f,y y si,y 0, 0 y 1 si,y 0, 0 a) Dominio de f. b) Estudiar la continuidad de f.. Se pide: y y si, y 0, Sea f, y y k si, y 0,0 a) Hallar, si eiste, lim f, y.,y 0,0 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? 0.- Sea, y y y k lim f f a) Hallar, si eiste,, y y si, y 0,0,y 0,0. si, y 0,0.. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? 1.- Sea f:r Rla función: Obtener lím f (, y) (,y) (0,0) según los valores de p y q p q y si (,y) (0,0) f(,y) 3y y 0 si (,y) = (0,0) con p>0 y q>0..- Sea f. f:r Rla función: f(,y) y y 3 5 si (,y) (0,0) 0 si (,y) = (0,0) Estudiar la continuidad de 3.- Sea f. f:r Rla función: y si (,y) (0,0) f(,y) y 0 si (,y) = (0,0) Estudiar la continuidad de.- Sea f:r Rla función: f según los valores de k>0. f(,y) y k y si (,y) (0,0) 0 si (,y) = (0,0) Estudiar la continuidad de y 5.- Sea f:d Rla función: si (,y) (0,0) 8 8 f(,y) y y 1 si (,y) = (0,0) continuidad de f en los siguientes casos:. Estudiar la a) D R b) D,y R / y, y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

5 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h. Solución: El volumen V del depósito depende de los valores que tengan r y h, y es único para cada par (r,h) por lo que es una función de r y h. V(r,h) = r h + 3 r 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 .- Determinar si las siguientes funciones son acotadas: y y a) z sen ycos - e b) z y e c) 1 1 z sen y sen y Solución: y y a. z sen ycos - e, 1 sen ycos - e 1, luego, es acotada: y b. z y e No es acotada pues, por ejemplo, a lo largo del eje OX (y = 0): lím e 1 1 c. z sen y sen y Es acotada, por serlo los dos sumandos: 1 lím sen 0 1 0, lím sen 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 3.- Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: a) f(, y) = ln( y 6) b) g(,y) = y Solución: a) f(, y) = ln( y 6) 9 y.c) h(,y) = arc cos d) p(,y) = y e) j(,y) = y. 6 y si 0 Dominio: y-6 > 0 6 y si 0 Imagen: R (al acercarse el punto (, y) a la hipérbola y=6, tiende a ; cuando e y crecen, f tiende a ) f b) g(,y) = y 9. Dominio: y Si 0, y y 3 3 Si 0, y y Recorrido: R lím ym g, y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 y c) h(,y) = arc cos y Dominio: Si 0, y Si 0, y Recorrido: [0, ] d) p(,y) = y Dominio: R (0,0) Recorrido: R lím 0 y p, y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

9 e) j(,y) = Límites y Continuidad de funciones de varias variables y. Dominio: y 0 y y 1 que es una elipse con los puntos de su interior Recorrido: [0,] U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

10 .- Hallar las curvas de nivel de las funciones: a) z y b) z sen(y) c) z a) z y y d) y z e e) z = 6-3 y y = c Son hipérbolas. En el dibujo: vector (y = c, c, 1, 10) b. z sen(y) sen(y) c 1,1 y d k, d arc sen c -, Son hipérbolas. En el dibujo: vector (sin(y) = c, c, -1, 1, 0.5). c. z y d) En el dibujo: vector ( z e y y c. Son circunferencias centradas en el origen. y c, c, 1, 5). Las curvas de nivel de esta función son de la forma c e ln c y que corresponden a hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas. y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 10

11 e) z = 6-3 y Esta función es un plano inclinado y sus curvas de nivel son las rectas c = 6-3 y, donde c = 0,,, 6, 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

12 5.- La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (,y) de una placa circular de 10m de radio es: T = 600-0,75-0,75y Donde e y se miden en metros. Calcular y dibujar algunas curvas isotermas: Solución: Observemos que las condiciones del problema nos indican que 0 10, 0 y 10, con y 10, por tanto tenemos que la función temperatura T(,y) está acotada, por ejemplo, entre T(0,0) =600 y T(10,10) = 50. Si queremos precisar más y obtener la temperatura mínima de la placa, hemos de tener en cuenta que T = 600-0,75-0,75y = ( +y ) y que el valor máimo que puede alcanzar y 10, luego la temperatura mínima de la placa es T = = 55. Por lo tanto 55 < c < 600 y las curvas isotermas para c = 55, 50, 555, 570, 585, 600, son, respectivamente: 0,75-0,75y = 75; 0,75-0,75y = 60; 0,75-0,75y = 5; 0,75-0,75y = 30; 0,75-0,75y = 15; 0,75-0,75y = 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

13 6.- Calcular los siguientes límites: a. lím 5 y y b. lím,y 1, y,y 1, 1 y y y y d. lím e. lím,y 0,0 y,y 0,0 y Solución: 5 y 10 a. lím,y 1, y 5 y c. lím,y 1,1 3 y y e 1 f. lím,y 0,0 sen ln(1 y) y 0 yy b. lím? lím lím y,y 1, 1 y 0,y 1, 1 y,y1, 1 y c. lím,y 1,1 3 y a lo largo de la recta = 1: 1 y lím lím1 1 y1 1 y y1 a lo largo de la recta y = 1: lím? lím Luego, no eiste el límite, pues de eistir, sería único y no coinciden los límites radiales. y y 0 d. lím?,y 0, 0 y 0 Límites reiterados: lím límf (, y) lím lím( 1) 1 0 y0 0 0 Luego, No eiste. lím límf (, y) y lím y0 y, lím1 1 y0 0 De hecho los radiales tampoco coinciden (valen y 0 e. lím?,y 0,0 y 0 m 1 ). m 1 a lo largo de la recta y = : lím lím () a lo largo de la recta y = -: lím lím 0 () 0 Luego, no eiste el límite, pues de eistir, sería único. y e 1 0 f. lím? indeterminación.,y 0,0 sen ln(1 y) 0 y e 1 y lím lím lím 1 1,,y0,0 sen ln(1 y),y0,0 y,y0,0 utilizando las equivalencias de infinitésimos siguientes en 0: e y 1 y, sen, ln(1 y) y. () () y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 13

14 7.- Estudiar la continuidad de las funciones: y y si (, y) (0,0) si (,y) (0,0) f(,y)= y ; g(,y)= y 0 si (, y) (0,0) 0 si (,y) (0,0) Solución: y si (, y) (0,0) a) f(,y)= y ; 0 si (, y) (0,0) Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim f(, y) lim lim 0 ( y, ) 0,0 0 0 m 1m 1 ym Límite a lo largo de la parábola =ay : ay y a a lim lim, que depende del valor de a. y0 0 ay y y a 1 a 1 Luego no eiste el límite lim f (, y) y, por tanto, f no es continua en (0, 0). (,y) 0,0 Si (, y) (0, 0), f es continua en (, y) por ser compuesta de funciones continuas. y si (,y) (0,0) b) g(,y)= y 0 si (,y) (0,0) Límites reiterados en (0, 0): lim lim g(, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim g(, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim gy (, ) lim lim 0 ( y, ) m 1m 1 ym Luego de eistir el límite, valdría 0. Pasando a polares, se obtiene: rcos rsen lím g r cos, rsen lím 0 r0 r0 rcos + rsen Depende de α? r sen cos No, ya que lim lim g r hr,, siendo gr r una función que tiende a r0 cos r sen r0 cero cuando r tiende a cero y sen cos h r, una función acotada. En efecto: cos r sen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

15 lim g r lim r 0 y h cos r, sen 11 1, ya que el numerador cos r0 r0 cos r sen es menor ó igual que el denominador cos r sen (pues se diferencian en un sumando positivo). y Por tanto, se verifica que lim 0 y, g es continua en (0, 0). (,y) (0,0) y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

16 8.- Dada la función: y si, y f, y 3y y k si, y a) Hallar, si eiste, lím f (, y).,y 0,0 0,0 0,0, se pide: b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k. Solución: f(, y) está definida en todo R ya que +3y -y>0 (, y) (0, 0). En efecto, pasando a coordenadas polares: +3y -y = (r cos +3r sen -r sen cos = r (cos +3sen -sen cos ) = r [+sen -1/ sen( )] > r [+0-(1/)] = (3/)r > 0 para (, y) (0, 0). a) Es fácil probar que los límites radiales son 0. r cos r sen cos sen 1 f(,y) 0 r rg(r) r sen sen( ) sen sen( ) Y lim g( r) 0. Luego, por el criterio de la mayorante, lim f (, y) 0 (,y) (0,0) r0 b) Si (, y) (0, 0), f es continua en (, y) por ser compuesta por funciones continuas independientemente del valor de k. En (0,0): Si k = f(0, 0) = 0 = lim f (, y) entonces f es continua en (0, 0). (,y) (0,0) Luego: Si k = 0, f es continua en todo R. Si k 0, f es continua en R {(0, 0)}. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 16

17 9.- Estudiar la continuidad en (0, 0) de las siguientes funciones: y si, y 0,0 a. f, y y 0 si, y 0,0 y g, y si, y 0,0 b. h, y y, siendo g(, y) una función continua 0 si, y 0,0 1 en (0,0) tal que g (0, 0) =0. Nota: Utilizar que y y. y y si, y 0,0 c. j, y y. 0 si, y 0,0 Solución: lim f, y pues es fácil comprobar que los a) f no es continua en (0, 0) ya que no eiste,y 0,0 límites radiales dependen de m (pendiente de la recta por la que nos acerquemos al origen). 1 b) Como f, y tiende a cero, luego lim h, y 0 h0,0 1,y 0,0 La acotación de arriba se obtiene haciendo: y z sen z cos y 1 y. c., y 1 z, h(, y) es el producto de una función acotada por una función que sen cos y y si, y 0,0 0 j y si, y 0,0. 1 z, luego, h es continua en (0, 0). sen 1 1 z y Es un caso particular del apartado anterior para Luego, j es continua en (0, 0). g, y y. y z U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

18 sen seny 10.- Dada la función f(,y)= y k a) Hallar, si eiste, lím f (, y).,y 0,0 si (, y) si (, y) (0,0) (0,0) b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k. Solución: a) sen seny y 0 lím f (, y) lím lím?,y0,0,y0,0 y,y 0,0 y 0. Se pide: Es fácil comprobar que los límites reiterados y los radiales son nulos. Pasando a polares en este último límite, se obtiene: r0 lím f r cos, rsen lím r0 r cos rsen límr cos sen lím g r hr, r r0 r0 siendo, g r = r y hr, cos sen una función acotada). Luego lím f (, y) 0.,y 0,0 que verifican que lím gr 0 r0 y que h r, es b) Si k = 0, f es continua en todo el plano (en el origen por el apartado anterior y en cualquier otro punto por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador). Si 0 R 0,0 por el mismo motivo. k, f es continua en U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 18

19 1 y 1 ysen 11.- Dada la función z. Se pide: y a) Dominio de la función. b) Límites reiterados en el punto (0,0). c) A la vista del resultado anterior eiste el límite de f en (0,0)? En caso afirmativo calcularlo. d) Es continua la función en (0,0)? e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto. Solución: a) Dom = R 0, y / y R y no se anula para ningún (, y) salvo para (0, 0)., ya que en = 0 no está definido 1 ; además, el denominador b) lím límf (, y) lím 1, límlímf (, y) límno No eiste. 0 y 0 0 y0 0 y0 c) No podemos saber si eiste límite o no en (0, 0). Sólo sabemos que de eistir, vale 1 1 r sen 1 rsensen r cos r cos, y 1 1 f r cos rsen 3 3 r sen r sen sen r 1 r cos r cos r 3 sen rsen sen 1 cos r cos rsen sen r sen cos 1 r cos sen 1 R Luego lím f (, y) 1.,y 0,0 d) Es continua la función en (0,0)? f es discontinua en (0, 0) pues (0, 0) Dom f. e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto. Tendría que ser f 0,0 lím f (, y) 1.,y0,0 g(r), con lim g(r) 0. r0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

20 1.- Para las siguientes funciones, probar que el valor de lím f (, y) depende del camino elegido para acercarse a (0,0): 3 y y a) f(, y) = b) f(, y) = 6 y y y,y 0,0 Solución: y a) f(, y) = y y Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo). y y Límite a lo largo de la parábola y : lím lím 1 1 y0 y y 0 y0 3 y b) f(, y) = 6 y Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo). 3 Límite a lo largo de la curva y : lím 0 lím 0 lím Eisten dichos límites? No, ya que de eistir, los límites a lo largo de todos los caminos deberían coincidir. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 0

21 y 13.- Consideremos lím y, y 0,0. Se pide: a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y = m. b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y =. c) Eiste el límite? Justifica la respuesta. Solución: a) Cuando eiste, se ha de verificar que : y y 1 m 1 m 1 m lím = lím = lím = lím =., y0,0 y y y m 0 m 0 m 0 m Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos para acercarnos. Así para m=1, el límite vale pero para m=-1, el límite vale -. b) Cuando eiste, se ha de verificar que: y y lím = lím = lím = lím, y0,0 y y y c) Los resultados anteriores indican que el valor depende del camino de acercamiento al (0,0) y como el límite para eistir ha de ser único, la conclusión es que el límite no eiste. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

22 1 1.- Demostrar aplicando la definición de límite que lim y cos 0,y 0,0. Solución: 1 Sea 0. Buscamos un 0 tal que si 0 < y, entonces y cos Si es y, entonces: y cos 0 y cos y 1 y y. Basta, por tanto, tomar para que se cumpla la definición. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

23 15.- Dada la función y si (, y) (0,0) f (, y) y se pide: k si (, y) (0,0) a) Límites radiales en (0, 0) b) Límites reiterados en (0, 0) c) Eiste límite en (0, 0)? d) Eiste algún valor de k para el cual la función sea continua en todo R? Solución a) lím 3 m m lím m 1m 0 0 ym 0 b) lím lím lím 0 0, lím lím lím 0 0 y0 y y 0 y y y 0 0 y 0 0 r cos rsen r c) f r cos,rsen 0 r cos rsen r g(r), con límg r 0 luego el límite eiste y vale 0. d) f es continua en (, y) 0,0 para cualquier valor de k, por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador. Para k = 0, también es continua en (0, 0) pues será: lím f (, y) 0 k f(0,0). (,y) (0,0) r0, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

24 lim 16.- Eiste el,y 0,0 y y y Solución Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo).? Caso afirmativo, calcularlo. Límite a lo largo de la parábola 0 y : lím lím Luego, no eiste el límite estudiado ya que depende del camino. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

25 17.- Sea, sin y si,y 0, 0 f y y. Se pide: 1 si,y 0, 0 a) Dom f. b) Estudiar la continuidad de f. Solución a) El dominio de la función es todo R b) En todo (,y) (0,0) la función es cociente de funciones continuas cuyo denominador es distinto de 0. En (0,0) hemos de estudiar si el límite es 1. Pasamos a polares SIN( + y ) SIN((r COS(α)) + (r SIN(α)) ) SIN(r ) #13: = = + y (r COS(α)) + (r SIN(α)) r SIN(r ) #1: lim = 1 r 0 r Luego f también es continua en (0,0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

26 18.- Sea f,y y si,y 0, 0 y 1 si,y 0, 0 a) Dom f. b) Estudiar la continuidad de f. Solución a) El dominio de la función es todo R b) Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0. Se pide: Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim f(, y) lim lim 0 ( y, ) m m m ym Límite a lo largo de la parábola y=a : a a a lim lim, que depende del valor de a. 0 0 a 1a 1 a Luego no eiste el límite lim f (, y) y, por tanto, f no es continua en (0, 0). (,y) 0,0 Si (, y) (0, 0), f es continua en (, y) por ser compuesta de funciones continuas. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

27 19.- Sea, y y k lim f y si, y 0,0 y a) Hallar, si eiste, f, y,y 0,0. si, y 0,0 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? Solución: a) Es fácil ver que los límites radiales todos valen.. Aplicamos el criterio de la mayorante: (r cos) rsen f r cos,rsen rsen r 5 r cos sen sen cos pues cos sen 1, y r cos sen sen cos 1 sen cos. r 1/ rsen (r cos) (r cos) r g(r) Esta última desigualdad puede verse con la gráfica: O bien viendo hallando su valor mínimo con el método habitual (igualando a cero la derivada primera, etc.). Como limg r lim(r) 0 lim f, y. ro ro b) f continua en (0, 0) lim f, y, ya puede asegurarse que,y 0,0 y, 0,0 = f(0,0) = k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

28 0.- Sea, y y y k lim f f a) Hallar, si eiste,, y y si, y 0,0,y 0,0. si, y 0,0 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? Solución: a) Es fácil ver que los límites radiales todos valen 0. Aplicamos el criterio de la mayorante: r f r cos,rsen 0 5 r cossen sen cos (rsen) r cos rsen r cossen sen cos rsen r 1/ pues sen 1 cos 1, y sen cos. Esta última desigualdad puede verse con la gráfica:. (r cos) (r cos) r g(r) O bien viendo hallando su valor mínimo con el método habitual (igualando a cero la derivada primera, etc.). Como lim g r lim(r) 0 lim f, y 0. ro ro b) f continua en (0, 0) lim f, y, ya puede asegurarse que,y 0,0 y, 0,0 = f(0,0) 0 = k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

29 1.- Sea Límites y Continuidad de funciones de varias variables f:r Rla función: Obtener lím f (, y) (,y) (0,0) según los valores de p y q Solución: p q y si (,y) (0,0) f(,y) 3y y 0 si (,y) = (0,0) f(, y) está definida en todo R ya que +3y -y>0 (, y) (0, 0). En efecto, pasando a coordenadas polares: con p>0 y q>0. +3y -y = (r cos +3r sen -r sen cos = r (cos +3sen -sen cos ) = r [+sen -1/ sen( )] > r [+0-(1/)] = (3/)r > 0 para (, y) (0, 0). Ahora, epresando f(,y) en coordenadas polares: Primer caso: p q p q r cos r sen pq cos sen r 1 1 sen sen( ) f(,y) r sen sen( ) Si p+q< se cumple que lím f (, y) (,y) (0,0) no eiste, pues p q (,y) (0,0) r Segundo caso: Si p+q= se cumple que lím f (, y) (,y) (0,0) no eiste, pues depende α Tercer caso: Si p+q> Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 p q p q r cos r sen pq cos sen pq 1 pq 1 1 sen sen( ) 3/ 3 r sen sen( ) f(, y) 0 r r r g(r) Y lim g(r) 0 Luego, por el criterio de la mayorante, lim f (, y) 0 (,y) (0,0) r0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

30 .- Sea Límites y Continuidad de funciones de varias variables f:r continuidad de f. Solución: Rla función: f(,y) y si (,y) (0,0) y 0 si (,y) = (0,0) 3 5 Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,y) (0,0) Veamos en particular para (,y)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Límites radiales en (0, 0): m m 0 lim f (, y) lim lim 0 m (1m ) 1 (,y) ym Límite a lo largo de la parábola y=a : a (1a ) 0 lim lim 0, a 1 a 1 Veamos con el criterio de la mayorante y y y y y f(,y) 0 = y y y y y y y Que cumple y 0 cuando (,y) (0,0) resulta f(,y) (0,0) La función es continua en (0,0) y por lo tanto en todo R. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 30

31 3.- Sea Límites y Continuidad de funciones de varias variables f:r continuidad de f. Solución: Rla función: y si (,y) (0,0) f(,y) y 0 si (,y) = (0,0) Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,y) (0,0) Veamos en particular para (,y)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Límites radiales en (0, 0): 5 3 m m 0 lim f (, y) lim lim 0 m (1m ) 1 (,y) ym Límite a lo largo de la parábola y=a : 5 3 a a 0 lim lim 0, a 1 a 1 Sin embargo, Límite a lo largo de la parábola =ay : ay a a lim lim, y0 0 ay y a 1 a 1 El último límite depende de a luego no eiste el límite cuando (,y) (0,0). En consecuencia f no es continua en (0,0) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 31

32 .- Sea f:r Rla función: f(,y) continuidad de f según los valores de k>0. Solución: y k si (,y) (0,0) y 0 si (,y) = (0,0) Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,y) (0,0) Veamos en particular para (,y)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 Primer caso: lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Si 0<k< se cumple que lím f (, y) (,y) (0,0) no eiste, pues no es finito k 1 k lim f (, y) lim lim (,y) y En consecuencia f no es continua en (0,0) Segundo caso: Si k= se cumple que lím f (, y) (,y) (0,0) no eiste, pues depende m m m m lim f (, y) lim lim m 1m 1m (,y) ym En consecuencia f no es continua en (0,0) Tercer caso: Si k> Ahora, epresando f(,y) en coordenadas polares: k k k r cos r sen (k) cos sen r f(,y) r cos sen cos sen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

33 k k (k) cos sen (k) 1 (k) f(,y) 0 r r r g(r) cos sen 1/ Y lim g(r) 0 Luego, por el criterio de la mayorante, lim f (, y) 0. (,y) (0,0) r0 En consecuencia f es continua en (0,0) y por lo tanto en todo R cuando sea k> Nota: La función G( ) cos sen tiene un mínimo absoluto para U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 33

34 y 5.- Sea f:d R la función: si (,y) (0,0) 8 8 f(,y) y y 1 si (,y) = (0,0) continuidad de f en los siguientes casos: a) D R b) D,y R / y, y Solución: a). Estudiar la Obviamente f es continua por ser cociente de funciones continuas en todo punto distinto de (0,0). Analizamos las función f en (,y)=(0,0) Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, y) lim(0) 0 0 y0 0 lim lim f (, y) lim(0) 0 y0 0 y0 Límites radiales en (0, 0): m m lim f (, y) lim lim 1 m m m (1m) (,y) ym La función no tiene límite cuando (,y) (0,0). En consecuencia f no es continua en (0,0) b) Sin embargo en el nuevo dominio eiste el límite y vale 1: y y y y y y y y y y y y y y y y y y 0 y y y y 1 1y 6 6 y 6 6 y Resulta que f es continua en (0,0) y por lo tanto en todo D,y R /y, y U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

35 Dominio de definición o campo de eistencia. Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la epresión analítica de la función. n D R tales que, eiste y f

36 Una función f :D todo en D. Función acotada R está acotada, si eiste un número real positivo k, tal que f() k para

37 Concepto de límite Sean z=f(,y) una función real de dos variables reales cuyo dominio es un subconjunto DR, L un número real y ( o,y o ) un punto de acumulación del dominio D. Diremos que el límite de la función z=f(,y) cuando (,y) tiende a ( o,y o ) es el número L y escribiremos (,y) lím o, y o f (, y) L si y solo si: Para cualquier núm ero >0, eiste un núm ero >0 tal que para todos los puntos (,y)d, siendo (,y) ( o,y o ), que verifiquen que d((,y),( o,y o ))< entonces sus imágenes verifican que d(f(,y),l)<. Es decir: (,y) lím o, y o f (, y) L o 0, 0, tal que, todo (, y), y o con y y f (, y) L o o.

38 Límites reiterados Dos caminos usuales para especular sobre el va lor del límite de una función z=f(,y) en un punto ( o,y o ), son los dos caminos determinados por dos lados del rectángulo de la figura : Estos dos caminos proporcionan los siguientes límites que se denominan límites reiterados: lím o lím f (, y) y yo = L 1 y lím y yo lím f (, y) o = L

39 Continuidad en un punto Una función z=f(,y) es continua en un punto ( o,y o ) si y solo si verifi ca las tres condiciones siguientes: 1. Eiste f( o,y o ), es decir ( o,y o ) es un punto del dominio de la función.. Eiste lím f (, y) L, siendo L un número real finito. (,y) 3. L=f( o,y o ). o, y o

40 Sea f:r Imagen de una función f R una función, Imagen de f es: Im f f R y R / V, f y R.

41 Curva de nivel Dada la función z=f(,y) y una constante c. Una curva de nivel es el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales f(,y)=c. Isoterma Curva de nivel correspondiente a la misma temperatura en un mapa cartográfico.

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