Límites de funciones y continuidad

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1 Capítulo 4 Límites de funciones y continuidad 4.. Definición Sea f definida en un entorno reducido de 0 0 < 0 < δ), pero no necesariamente en el mismo punto 0. Diremos que f tiene el ite L en 0 cuando para toda sucesión,,, n pertenecientes al Domf, distintos de 0 ), es válido que, si la sucesión converge a 0, la sucesión correspondiente f ), f ),, f n ), converge a L cuando n, este hecho denotaremos por 0 f) = L Si nos limitamos a considerar las sucesiones que convergen a 0 por la derecha > 0 ), pondremos f) = L, de forma análoga por la izquierda < 0 ), + 0 denotaremos f) = L. 0 Evidentemente si f tiene ite en = 0, L = L = L. La definición anterior dada, es equivalente a la siguiente definición: Definición f) = L ε > 0, δε) > 0;, 0 < 0 < δ = f) L < ε 0 análogamente definimos:

2 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad a) f) = L ε > 0, δε) > 0;, 0 < 0 < δ = f) + 0 L < ε b) f) = L ε > 0, δε) > 0;, 0 < 0 δ = f) L < ε 0 c) Si 0 = +, f) = L, ε > 0, Mε) > 0;, > Mε) = + f) L < ε en forma similar para f) = L. Observación. Evidentemente 0 f) = L L = L = L. 4.. Teoremas Básicos Es facil verificar los teoremas básicos antes mencionados para las sucesiones convergentes, dan lugar a los correspondientes teoremas básicos para ites de funciones. Supongamos: 0 f) = L y 0 f) = L ; entonces se verifican i) 0 [f) ± g)] = 0 f) ± 0 g) = L ± L ii) iii) 0 f) g) = 0 f) 0 g) = L L f) f) 0 g) = 0 g) = L, L 0) L 0 De aquí se sigue que una serie de operaciones matemáticas elementales verificadas con funciones todas las cuales tienen ite en 0, originará una nueva función que también tendrá un ite en 0, el que se obtiene verificando las mismas operaciones con los correspondientes de las funciones dadas siempre que no aparezca el cero en el denominador). Notas

3 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3. Para todas las funciones elementales en cualquier punto de su dominio, se cumple f) = f ) = f 0 ) 0 0. Son de uso frecuente los ites siguientes: sen = ; + = + z) z = e; 0 + ) z 0 log + ) a = ; = loga), a > 0) 3. Nótese que la idea de ite descarta lo que sucede en 0 se interesa únicamente lo que ucede en los entornos de Continuidad Sea f definida en algún entorno del punto 0. Diremos que f es continua en 0, si tiene ite en 0 y este ite es igual a f 0 ), es decir: 0 f) = f 0 ) ) De manera análoga decimos que la función es continua a la derecha izquierda) en 0, cuando f) f 0 ) cuando ). Las reglas básicas para ites dados anteriormente muestran en forma inmediata que cualquier serie de operaciones matemáticas elementales permisibles llevadas a cabo con funciones que sean continuas en 0, lleva a otra función que también es continua en 0. El que una función sea continua en un intervalo completo significa simplemente que es continua en todos los puntos de dicho intervalo, en forma gráfica no tiene saltos. en el intervalo Notas. La afirmación ) es equivalente a: [f 0 + ) f 0 )] = 0 0

4 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 4. Evidentemente, la afirmación ) también es equivalente a ε > 0, δε) > 0; : 0 < δ = f) f 0 ) < ε. 3. Las funciones que no cumplen con ), se llaman discontinuas en 0 y se tienen: dos tipos de discontinuidades que llamaremos evitables y no evitables. i) Sea 0 Domf, se llama discontinuidad de primera especie, evitable sii f) = f) f 0 ) y se llama discontinuidad de primera especie, no evitable ii) Si al menos uno de los ites: sii f) f) f) ó + 0 f), no eiste o es 0 infinito, entonces se dice que el punto 0 es una discontinuidad de segunda especie. evidéntemente no evitable) 4. Si la función u = g) es continua en 0 y la función y = fu) es continua en u 0 = g 0 ), entonces la función y = fg)) es continua en Propiedades de una función continua en [a, b]. Sea f) continua en [a, b], entonces posee las siguientes propiedades: i) f) está acotada en [a, b] ii) f) tiene los valores máimo y mínimo en [a, b] iii) Valor intermedio) Si m = mín. de f) y M = má. de f); [a, b] entonces ε, que satisfaga: m ε M, 0 [a, b] tal que: f 0 ) = ε En particular si fa) fb) < 0 = 0 a, b) tal que: f 0 ) = 0.. Si la función f) esta definida y es continua y estríctamente monótona en un intervalo, entonces eiste una función inversa = gy) definida, continua y también estríctamente monótona en el campo de la función y = f).

5 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Funciones Infinitesimales e Infinitas Definición Diremos que la función ø) es infinitesimal cuando 0 ó sii y se dice que es infinita sii: ø) = 0 ó ø) = 0 0 ø) = ó ø) = 0 Las funciones infinitesimales poseen las propiedades siguientes:. La suma y el producto de cualquier número finito de funciones infinitesimales cuando 0 son también infinitesimales.. El producto de una función infinitesimal por una función acotada es una función infinitesimal Comparación de Infinitesimales α) Sean las funciones α) y β) infinitesimales cuando 0 y si 0 β) = c, donde c es finito distinto de cero, entonces, las funciones α) y β) se llaman inifinitesimales del mismo orden. Si c =, entonces α) y β) se llaman equivalentes y se denotan: α) β). Si c = 0, entonces se dice que la función α) es infinitesimal de orden superior respecto de β), y se denota por α) = oβ)), β) es infinitesimal de orden inferior respecto de α)). α) Si 0 [β)] n = c; 0 < c < + entonces se dice que la función α) es infinitesimal de n-ésimo orden respecto de β). De manera análoga se introduce el concepto de funciones infinitas de diversos ordenes.

6 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Aplicación para calcular ites Si α) y β) son infinitesimales cuando 0 y si α) γ), β) δ), entonces α) 0 β) = γ) 0 δ) Si 0 f) = k; 0 < k < entonces f)α) kα). Si α) γ) β) γ) entonces α) β). Nota. Para que dos funciones infinitesimales sean equivalentes es necesario y suficiente que su diferencia sea un infinitesimal de orden superior respecto de cada una de las dos Funciones Infinitesimales comunes Sea α) infinitesimal cuando 0. sen α) α). tg α) α) 3. cosα) α)) 4. Arc senα) α) 5. Arctgα) α) 6. log[ + α)] α) 7. a α) α)loga) a > 0) en particular e α) α) 8. [ + α)] p pα), en particular, n + α) n α)

7 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Asíntotas Una recta recibe el nombre de asíntota de la función y = f) si la distancia desde el punto variable M de f) a la recta tiende a cero cuando el punto M tiende hacia infinito a lo largo de la curva. Distinguiremos 3 clases de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. Asíntotas Verticales = 0 es una asíntota vertical si al menos uno de los ites de f): f) = ± + 0 f) = ± 0 Asíntotas Horizontales Si f) = A, entonces la recta y = A es una asíntota horizontal. ± Asíntotas Oblicuas Si los ites: f) + = m, [f) m ] = n, + eisten, entonces la recta y = m + n es una asíntota oblicua a la derecha) y si: f) = m, [f) m ] = n eisten, entonces la recta y = m + n es una asíntota oblicua a la izquierda). OBSERVACION Para m = m = 0, se tiene una asíntota horizontal. 4.. Gráfico de curvas Hasta aquí podemos enriquecer un poco más el trazado del gráfico de una función f) visto en el párrafo., es decir, podemos seguir la pauta: Dominio, raíces y signos, simetrías periodicidad y acotamiento, Asíntotas que no son otra cosa

8 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 8 que el comportamiento de f): en las fronteras de su dominio y para valores etremos de ). Como lo dicho anteriormente estos puntos no agotan el análisis para la Gráfica de f), como se verá más adelante. 4.. Ejercicios Resueltos. Comprobar, usando directamente la definición, que las a) f) = m + n b) f) = c) f) = n n d) f) = a i i ; a n 0), i=0 son continuas en R Solución. a) ε > 0, f) f 0 ) = m + n m 0 n = m 0 < ε de donde: 0 < ε m, así δ = ε m, m 0 En caso m = 0, cualquier número positivo sirve para δ, pero esto se ε ε puede incluir tomando a, δ = que es menor que δ = + m m, por ε lo tanto: ε > 0, δ = + m ;, 0 < δ = f) f 0 ) < ε. b) Consideremos los tales que 0 < = < 0 < = 0 < < 0 + = 0 < + 0 < 0 +, sea M = má{ 0, 0 + } entonces + 0 < M, ahora como 0 = bastará que 0 < ε M y que 0 < ε así: 0 < ε. Por lo tanto, ε > 0, siendo

9 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 9 δ = mín ε ), ;, 0 0 M < ε. c) De inmediato se tiene: n n 0 = 0 n + 0 n + 0 n n 0 luego si 0 < δ 0 n + 0 n + + n 0 < δ n + 0 n + + n 0 < δ{ n + 0 n + 0 n n 0 } tomando δ < de manera que < 0 < 0 + < δ{ 0 n 0 n + 0 n n } < δ{ 0 + ) n ) n ) n } < δn 0 + ) n. Por lo tanto, bastará que: δn 0 + ) n < ε δ < ó δ <. d) De inmediato ε ε luego es suficiente escoger δ = n 0 + ) n f) f 0 ) = a n n n 0 ) + a n n n 0 ) + +a ) a n n n a 0 de donde podemos concluir por c), que: n 0 + ) n f) f 0 ) < Mδ{n 0 + ) n + n ) 0 + ) n + } donde M es el mayor de los a i ; i = 0,,, n. En consecuencia f) f 0 ) < Mδ{n 0 +) n +n 0 +) n + ε } luego es suficiente escoger δ < Mn ó δ < según 0 + ) n lo que sea menor.

10 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 0. Pruebe que: a) f) = 4 + es continua en 0 = b) f) = es continua en 0 = 5 Solución. En una aplicación inmediata del problema anterior, es decir para: a) Tómese, δ = ε + 4 = ε 5, ε > 0 nótese que también sirve ε 4. b) Tómese, δ = mín, ε ), ε > 0 luego si, 0 5 < δ = 5 < ε y 0 5 < 4 < < 6 o < + 4 < < 0 por tanto: < ε 0 0 = ε 0 < ε ) 8 < ε f) f5) < ε. 3. Pruebe que f) = es continua en 0 = 3. Solución. Como < ε 3 < 0ε si + > 4 ε > 0, elegimos δ = mín, 0ε).Así, si 3 < δ = 3 < 0ε y 3 < 3 0 < ε y 3 < < < ε y 4 < + < < ε

11 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad y + > < ε ) + 3) ) + ) ) 6 5 < ε < ε < ε 4. Demuestre que f) = con n Z, n. es continua en todo intervalo de la forma [n, ], Solución. ε > 0, se desea hallar δ de tal modo que:, n < δ = < f f ) f ) = = ε en efecto para n y < n, n es suficiente escoger δ = n ε luego ε > 0, δ = n εse tiene < δ = f ) f ) = n < n ε n = ε. 5. Demostrar que si f) = sen, f) =. Para algún entre 0 y π. Solución. π ) Como f = π > ) 5π y f = 3 6 5π < por el teorema del valor intermedio y como f) es continua en 0, π) y más aún en [ π, 5π ] entonces 6 f 0 ) = [ π para algún 0ε, 5π ] Si f) es continua en = 0 y si f 0 ) > 0 demuéstrese que el dominio de f contiene un intervalo abierto en torno a 0 tal que f) > 0. Solución.

12 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad ε > 0, ε = f 0) eiste δ tal que f) f 0 ) < ε siempre que 0 < δ. Por lo tanto, en un entorno δ de 0, f 0) < f) f 0 ) = f) > f 0) > Demuéstrese que si f) es monótona en [a, b] y satisface la propiedad del valor intermedio, entonces f) es continua. Solución. Supongamos que f no es continua en 0, entonces para algún ε > 0 y δ > 0, : f) f 0 ) > ε y 0 < δ. De aquí se desprende que todo entorno de 0 contiene una infinidad de estos valores, en particular para los intervalos 0 a, 0 ) ó 0, 0 + a). Todo intervalo de por lo menos uno de los dos conjuntos contiene esos valores de. Supongamos f) creciente y que todo intervalo 0, 0 + a) contiene un punto i tal que f i ) f 0 ) > ε, entonces f 0 + a) f i ) > f 0 ) + ε > f 0 ). El valor f 0 ) + ε no puede ser tomado, lo que contradice la suposición de la propiedad del valor intermedio. Luego f es continua. 8. a) Demuestre que n es monótona > 0. Por lo tanto, pruebe para a > 0 que n = a tiene una solución positiva única: n a b) Sea f) = n a i i ; a n 0. Demuéstrese que: i=0 i) Si n es impar, entonces f) tiene por lo menos una raíz real; ii) Si a n y a 0 son de signos opuestos, entonces f) tiene por lo menos una raíz positiva, si n es par n 0), entonces f) tiene también una raíz negativa. Solución. a) Si > > 0 = > tiene n > n > 0. > 0 y al multiplicar repetídamente, se

13 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3 Si 0 < a, entonces a es valor intermedio entre 0 y n. Si a, entonces a es valor intermedio entre y a n. En ambos casos queda asegurada la eistencia de una raíz positiva, puesto que n es monótona, no puede haber dos raíces positivas distintas. b) i) Si n es impar, podemos poner f) = a n n + a n n + a n 3 n 3 + [ f) = a n n + a n + a ] n 3 a n + a n Si > nk +, donde k es el mayor de los números a i a n, i = 0,,, n, entonces: a n + a n 3 a n + a n < = f) tiene el mismo signo que a n n. De esta manera para positivos y negativos grandes f) cambia de signo, luego el teorema del valor intermedio, fc) = 0, c R. ii) Si a n y a 0 tienen signos opuestos, entonces para los valores positivos y grandes de, f) tiene el signo de a n y como f0) = a 0 entonces f) tiene una raíz positiva por el teorema del valor intermedio). Si n es par, entonces f) tiene el signo a n, cuando los valores de son negativos y grandes en valor absoluto, entonces análogamente f) tiene una raíz negativa. 9. a) Demostrar que dado cualquier triángulo, hay en cada dirección del plano que la contiene, una recta que lo bisecta, esto es, que lo divide en dos partes de igual área. b) Demostrar que dados dos triángulos en el mismo plano hay una recta que los bisecta simultaneamente. Solución.

14 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 4 a) Sea A l área de la parte del triángulo que queda sobre la recta l. Sea B l área de la parte del triángulo que queda por debajo de la recta l, por demostrar que A l = B l. En efecto: sea øl) = A l B l, ø continua, al desplazar l manteniendo su dirección A l aumenta o disminuye en la misma cantidad en que B l disminuye o aumenta, luego eiste l 0 tal que: øl 0 ) = A l0 0 = A l0 > 0). Eiste l tal que øl ) = 0 B l = B l < 0), así por el teorema del valor intermedio: l tal que øl) = 0 = A l B l = 0 = A l = B l. b) Tomemos, para cada dirección ø, la recta Lø) que divide al primer triángulo en dos partes iguales. Sea Lø) orientada positivamente en la dirección ø. Sea gø) = Aø) Bø), donde Aø) y Bø) constituyen las porciones del área del segundo triángulo que quedan a la derecha y a la izquierda de Lø). Si gø) > 0 entonces gπ+ø) = Bø) Aø) < 0, y por el teorema del valor intermedio, gø) = 0 = Aø) = Bø) para algún valor determinado de ø. 0. a) Muéstrese que una recta sólo puede cortar la gráfica de una función polinomial de grado mayor que uno en un número finito de puntos. b) Obténgase el mismo resultado para las funciones racionales. c) Verifíquese que las funciones trigonométricas no son racionales. Solución. a) Los gráficos de y = m + b e y = puntos en que: m + b = n a i i se intersectan para los i=0 n a i i es decir: i=0 a 0 b) + a m) + a + + a n n = 0 ) cuando el número de intersecciones es infinito, ) tiene que ser nulo y así a 0 = b, a = m, a = a 3 = = a n = 0, lo que contradice la suposición de que n >.

15 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 5 b) Propuesto. c) Debido a la periodicidad, la recta y = tiene una infinidad de intersecciones con el gráfico de cualquier función trigonométrica, luego por b) las funciones trigonométricas no son racionales.. Demuéstrese que las funciones trigonométricas elementales sen y cos son continuas en R. Demostración. Sea f) = sen, demostraremos que sen es continua para cualquier α R. Así: f) fα) = sen senα = sen α = sen α cos + α sen α α < δ y que: sen α < α cos + α y dado que: se tiene: α f) fα) < δ; así sea δ = ξ con ξ > 0, arbitrariamente pequeño, queda demostrada la continuidad de f) = sen. Análogo para f) = cos.. Demostrar que si f es continua en [a, b], con fa) < a y fb) > b, necesariamente hay algún en [a, b] donde f) =. Interpretar geométricamente. Demostración. Sea g) = f), también continua en [a, b], entonces: ga) = fa) a < 0 gb) = fb) b > 0

16 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 6 luego por el teorema del valor intermedio, [a, b] tal que g) = 0, es decir, f) = 0 = f) =. 3. Demostrar que si f es continua en a, b) y,,, n son valores cualquiera de este intervalo, hay entre el mayor y el menor de los i un valor ξ tal que fξ) = n [f ) + f ) + + f n )]. Demostración. Sean f j ) y f k ) el máimo y el mínimo de {f ), f ),, f n )} así: n n f k) n [f ) + f ) + + f n )] n n f j) de donde f k ) n [f ) + f ) + + f n )] f j ) Luego por teorema del valor intermedio ξ [ k, j ] tal que fξ) = n f i ), n i= con mayor razón ξ en el intervalo formado por el menor y el mayor de los i tal que fξ) = n f i ). n i= 4. Demostrar que toda función periódica y continua en toda la recta real es acotada, alcanza un máimo y un mínimo y además tiene cuerdas horizontales de cualquier longitud dada. Demostración. i) Si f es constante de inmediato es acotada. Si no es constante tiene un período p, asi la estudiaremos en un intervalo [a, b], f continua en [a, b] <= 0 [a, b], ξ > 0, δ > 0 tal que 0 < δ = f) f 0 ) < ξ f 0 ) ξ < f) < f 0 ) + ξ.

17 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 7 Si ξ = resulta de inmediato que f 0 ) es cota inferior de f)y f 0 ) + es cota superior de f, luego es acotada. ii) Ahora demostraremos que f alcanza su máimo en [a, b]. El conjunto {f)/ [a, b]} es acotado superiormente, luego tiene supremo s luego s f) < ξ, si s f) entonces s f) > con lo que esta ξ función siendo continua no es acotada contradicción, luego [a, b] tal que f) = s un máimo de f en [a, b]. En forma análoga se demuestra que f alcanza un mínimo en [a, b]. iii) Cuerdas de cualquier longitud dada, l R buscamos puntos, R tales que f ) = f ) y = l luego = + l, así bastará buscar R tal que f ) = f +l), tal punto se encuentra en la intersección de los gráficos de : y = f) e y = f+l), así entonces: Sea c donde f alcanza su máimo M, y sea d donde f alcanza su mínimo m y también la función g) = f) f l), entonces gc) = fc) fc l) 0 gd) = fd) fd l) < 0 luego por el teorema del valor intermedio, R tal que f ) f l) = 0 f ) = f l) como se quería. 5. Demostrar las siguientes propiedades de las funciones continuas. Si f es continua en 0, y a) f 0 ) > 0, hay un intervalo 0 δ, 0 + δ) donde f es positiva. b) f) se anula en puntos arbitráriamente cerca de 0, necesariamente f 0 ) = 0. Demostración. a) f continua en 0 sii ξ > 0, δ > 0 : 0 < δ = f) f 0 ) < ξ f) ξ < f) < f 0 ) + ξ tomando ξ < f 0 ) y como f 0 ) > 0 por continuidad δ > 0 tal que 0 < δ = 0 < f 0 ) ξ < f) < f 0 ) + ξ lo que nos asegura que f) es positiva

18 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 8 para 0 < δ. Compare esta demostración con la del ejercicio 6. b) Supongamos f 0 ) 0, entonces f 0 ) > 0 ó f 0 ) < 0, en cualquiera de estos casos, por ejemplo f 0 ) > 0 para ξ < f 0 ), δ < 0 tal que 0 < δ = 0 < f) < f 0 ) + ξ así f) no se anula para puntos arbitrariamente cercanos a 0 contradicción, luego f 0 ) = Será necesariamente discontinua en un punto dado 0 el producto, de dos funciones f) y g) si a) La función f) es continua y la función g) es discontinua en este punto. b) Ambas funciones f) y g) son discontinuas en 0. Solución. a) No. Por ejemplo f) = es continua R g) = sen es discontinua en = 0 y f) g) = sen es continua R ya que sen = 0. b) No. Por ejemplo si 0 f) = si < 0 g) = f) son funciones discontinuas en = 0, pero en cambio f) g) = 4, continua R.

19 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 9 7. Dada la función f) = + ) + ) si 0 0 si = 0 Asegurarse de que la función toma en [, ], todos los valores desde f ) hasta f) aunque es discontinua en qué punto?). Solución. Nótese que f) la podemos escribir como: f) = + si < 0 0 si = 0 + ) si 0 < además en [, 0], f) = + es creciente y continua es decir, toma todos los valores desde - a análogamente en el intervalo [0, ], f) = +) toma todos los valores desde 0 a 3. La función es discontinua en = 0 ya que f0) + = 0, f0) =. 8. Sea f) =. Si f) =, hallar δ para ξ = 0.00 tal que f) < 0.00 cuando 0 < < δ. Solución. f) = ) = = ; por lo tanto, como se quiere: < 0.00 cuando 0 < < δ ó < cuando 0 < < δ, luego si tomamos δ = se tiene que: 0 < < = f) < 0.00

20 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 0 Observe que cualquier número positivo menor que se puede emplear para el mismo efecto, en general si 0 < δ < , entonces si 9. Demuestre que 3 + 5) = Demostración. 0 < < δ = f) < Queremos demostrar ξ > 0, eiste δ > 0 tal que 3+5) ) < ξ cuando: 0 < ) < δ, en efecto: como 3+5) ) = 3+) = 3 +, entonces se quiere que 3 + < ξ cuando 0 < + < δ, lo cual nos indica que basta tomar δ = ξ 3, puesto que: ξ > 0) δ = ξ 3 ) ; 0 < + < δ = 3 + < 3δ = 3 + < 3 ξ 3 = 3 + 5) ) < ξ. 0. Demuestre que la función f) =, 0, no tiene ite en = 0. Demostración. Debemos demostrar que para cualquier número L, ξ > 0 tal que δ > 0 : 0 < 0 < δ = f) L > ξ, en efecto: Caso : Si L 0 tomemos ξ =, para cualquier δ > 0, tomemos a de tal manera que, δ < < 0 entonces, f) L = L = L + = ξ. Caso : Si L < 0, tomamos ξ =, para cualquier δ > 0, tomemos a de tal manera que: 0 < < δ entonces. Demostrar que: f) L = L > = ξ a) 0 = 0 b) 0 = 0

21 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad aplicar para 3 = 9 Demostración. a) f) 0 = 0 < ξ como 0 < 0 < δ bastará tomar δ = ξ, luego ξ > 0) δ = ξ)0 < 0 < δ = 0 < ξ) luego 0 = 0. b) Por ejercicio resuelto N del capítulo, resulta de inmediato y ab + a ) y b + b a si a <, ahora en la epresión 0 se obtiene ) si 0 < ; si 0 < 0 < δ = )δ + 0 δ = + 0 )δ, como 0 < ξ queda + 0 )δ < ξ = δ = mín, ), lo cual demuestra que 0 = 0 ξ + 0 Para = 9, resulta 0 = 3, )δ < ξ de donde 3 δ < ξ 7 si 3 < es decir debemos tomar un δ = mín, ξ ). 7. Demostrar que: ) = 5 Demostración. Debemos demostrar ξ > 0, δ > 0, tal que 3 + ) 5 < ξ cuando: 0 < 4 < δ, en efecto como: 3 + ) 5 = 4) + ) = 4 + Si 4 < = 3 < < 5 = 4 < + < 6 = + < 6, luego 3 + ) 5 < 6 4 si 4 < ξ 6, entonces 3 + ) 5 < ξ lo cual nos dice que debemos tomar δ = mín, ξ ) 0 < 4 < = 6

22 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3 + ) 5 < 6 4 y 4 < ξ 6 = 3 + ) 5 < ξ). 3. Demostrar que: = 0. Demostración. Debemos encontrar δ > 0, ξ > 0, si 0 < 0 < δ = 0 < ξ en efecto, como: 0 = = y 0 = < δ hacemos δ = ξ, tenemos entonces 0 < < ξ = δ = 0 < < ξ, así 0 < 0 < δ = ξ = 0 < ξ, lo que queríamos demostrar. 4. Hallar el + 5). Solución. Aplicando los teoremas básicos pertinentes y la continuidad de las funciones en 0 =, se tiene + 5) = + 5 = ) ) + 5 = 8 obsérvese que f ) = ) ) + 5 = 8 = + 5) no siempre es cierto, esta propiedad sólo la tienen las funciones continuas en el punto en cuestión. 5. Hallar Solución. Aquí f) f );ya que la función no está definida para = y para calcular el ite procederemos de la siguiente manera: = + ) ) + ) + ) = + = + = + =

23 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3 observemos dos cosas fundamentales, primero que el concepto de ite no involucra al punto 0 = en este caso), por consiguiente podemos proceder a simplificar y segundo que la función + es continua en 0 =, luego aplicamos el teorema de continuidad, es decir, 0 f) = f 0 ). Nota: En ejercicios posteriores supondremos el conocimiento de los teoremas pertinentes que se aplican, tratando de ser lo más escuetos posible. 6. Demuestre que f) = + sen ; 0 es convergente en 0 = 0 y determine su ite. Demostración. De inmediato: sen, 0 = sen = + sen + y como ) = = + ) se tiene que + sen + sen ) =. sen 7. Demuestre que = Demostración. es convergente y por el teorema del sandwich De la figura se tiene: Area OSP <área sector circular OSP < área OSQ por tanto,

24 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 4 sen < < tg = sen < < tg = < sen < sen = cos < < esto para 0 < < π cos, también la relación se cumple para π sen y cos = cos0 = se tiene = < < 0 y como = 8. Demuestre que la eistencia del ite, [f) + g)], no implica la 0 eistencia de los ites: f) y g). 0 0 Demostración. ), y g) = La haremos con un contraejemplo. Sean f) = sen ) sen, 0, observemos que ninguna de las dos funciones tiene ite cuando se aproima a cero, pero en cambio: ] [f) + g)] = [ sen + sen = =. 9. Demostrar que a f) = h 0 fa + h), aplicar para. Demostración. Sea a f) = L y definamos gh) = fa + h) así: ξ > 0) δ > 0) )0 < a < δ) = f) L < ξ ahora si 0 < h < δ = 0 < a + h) a < δ y por lo tanto, fa + h) L < ξ = gh) L < ξ luego h 0 gh) = L es lo mismo que fa+h) = L, análogamente se prueba que si fa+ h 0 h 0 h) = L f) = L. Así, un ite eiste si eiste el otro y viceversa y a

25 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 5 en este caso son iguales. Para ; f) =, a =, así: f + h) = + h) + h = h + h h = + h) =. h 0 = + h y 30. Calcular los ites: + a) 3 + cos c) π ) e) cotg cotg sen g) sen i) cos π sen ) b) d) Arcsen sen f) + sen cos h) )tg π j) π Arctg sen k) π 3 sen π ) 3 cos l) senπ cosπ) sen m) π 3 tg 3 3tg cos + π ) n+ n + ) + n n) ) ; n N 6

26 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 6 o) a n a n a ; n N q) 3 4 p) + 3 ) 3 r) log + ) ) ) + tg s) t) sen + sen a u) ; a > 0) a log) loga) ) a ); a > 0) z) e e sen sen v) a e ; a > 0); a b y) ; a, b > 0) e e α) + e + e ; e e e + e a + β) a a + b ) γ) ; a, b > 0) + m) n + n) m δ) ; m, n N Solución. a) = + ) + + ) 3 + ) ) 3 + ) + + ) 3 + ) ) + 3 ) + ) 3 + ) = ) + ) + + ) = 3 + ) ) = 3

27 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 7 b) = ) ) + ) = + = c) cos cos = + cos) + cos + cos sen = + cos) + cos = = 4 Arcsen d) ; sea Arcsen = θ senθ =, 0 = θ 0 e) Así queda: θ 0 θ senθ = θ 0 senθ θ = =. π ) cotg cotg = cotg tg f ) cos = sen sen cos = cos cos = sen + sen cos = sen + sen cos ) nótese que sen, si > 0 de aquí sen + = 0 análogamente sen = 0, luego sen = 0, ahora cos = así ) queda: = sen g) sen sen = sen sen + cos) = = 0 = 0 sen sen + cos) = 0

28 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 8 h) π [ π )tg = )tg π ] ) = )cotg π ) = ) cos π ) sen π ) = π cos π ) π sen ) π ) = π = π i) cos π sen ) de inmediato como la función coseno es continua, éste ite vale -. j ) π Arctg sen π ) = Arc tg sen sen ; notemos que π ) Luego calculemos Arc tg, sea Arc tg = θ tgθ =, si = θ π, así queda: π ) π ) π ) tg θ θ = cotg θ θ = θ π = θ π π ) cos θ π θ π ) θ π ) = sen θ finalmente entonces el ite pedido tiende a. k)

29 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 9 π 3 sen π ) 3 cos = π 3 cos sen π [ 3 π 3 ) ) + π ] 3 = π 3 = π 3 sen π 3 [ cos π ) 3 sen cos π 3 ) ) π ) sen 3 sen π ) ] 3 π ) 3 sea π 3 = z, si π 3 = z 0, así: = z 0 senz z cosz z + 3 senz z ) = = 3 l) m) sen π cosπ) = π 3 senπ sen π sen π π + cosπ) = π3. tg 3 3tg tgtg π cos + π ) 3) = π cos sen) sen = cos 3 π 3 sen 3cos sen = 3cos) π 3 sen sen cos 3 sen + 3cos) 3 ) = 3 3 ) 3 + = 4

30 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 30 n) n+ n + ) + n ), n N Sea = z +, si = z 0 z + ) n+ n + )z + ) + n z 0 z = z 0 + n + )z + z 0 z 0 n + )n z + o) a n a n a n+ n + k k=0 ) z k n + )z + ) + n n + )n z + + z n+ n + )z n + n z n + )nn ) z z n+ 3 z = nn + ) = a) n + n a + + a n + a n ) = na n a a) p) + 3 ) ) + ) 3 = 3 = ) + + ) = = q) 3 4, sea z =, si = z, asi se tiene z 4 z z 3 = z )z 3 + z + z + ) z z )z = 4 + z + ) 3 log + ) r) = log+) = log + ) = loge) = nótese que la función logaritmo es continua para los positivos. z s)

31 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3 ) = ) +3 = + 4 ) +3 = + 4 ) 4 + 3) 4 = e = e 4 t) ) + tg sen = + + sen ) + tg sen sen + sen = + ) + sen tg sen tg sen + sen sen cos) e sen + sen)cos = e 0 = tg sen sen + sen u) Nota: como en s y t hemos calculado f) g), donde f) = a a, g) =, entonces se puede recomendar la transformación a a a f)g) = + f) ) g) = e g)[f) ] a a a log) loga) = a ) a ) = a a log a ) log a a a a log + ) a a = a log + ) a a a = a loge) = a nótese que a > 0. a v) ; a > 0), como e loga = a tenemos

32 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 3 a e loga =, sea e loga = z si 0 = z 0, con lo que e loga = z + = loga loge = logz + ) loga = log + z) = log + z) loga e loga zloga luego = z 0 log + z) = loga = loga z 0 log + z) z e de inmediato = loge = ) a ), a > ) = a ); sea = z, si = z 0 a z = = loga, por ejercicio v). z 0 z a b y) log a b. = a b ) = a b = z) e e sen sen = e sen e sen = sen)e sen sen como sen) 0, tenemos que el ite vale. e sen α ) e e + e + e = e e + e + = e e + + = e e e e + e = e e + =

33 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 33 β) a + a = + a + ) a = + ) a + ) a a = e a = ea a γ) a + b ) = + a + b ) = + a + b ) = + a + b ) a + b e a b ) + = e loga + logb) = e logab) = ab a + b = δ) + m) n + n) m = = n k=0 ) n m) k k m k=0 ) m n) k k nn )m + + m) n mm )n + + n) m [ = nn )m mm )n + ) n m ) n m n n n ) + m m) n m m ] = nmmn m nm + n) = nmn m). 3. Calcular

34 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 34 a) z + sen z + sen z) b) + + ); c) ; d) ± cos sen + + ) + Solución. a) Sea z =, si z + = 0+, luego queda z + sen z + sen z) = +sen + sen ) por otra parte: sen + sen = + sen + cos + pero como: cosµ, µ se tiene que: sen + sen + sen y también: sen µ µ, µ

35 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 35 sen + sen + = + sen + sen + ) + + ahora como + + sen + sen + + ) + + = + + = 0 por el teorema del sandwich f) = a, se tiene de inmediato + nótese que b) De inmediato: + sen sen + + ) = = 0, además como: f) = a = + + sen + sen ) ) = 0, no eiste. + + ) ) ) = = ), así: + ) + + = + = ) + + = + =

36 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 36 c) Si = 3 0 y = Si 0 + entonces, + 3 = 3 + y como = 0 d) 3 + así: cos f) = = sen = cos sen + cos = sen sen + cos = sen sen + cos f) = = y f) =. + + ) [] 3. Demuestre que 0 < < δ = )[] < 000? Demostración. Si < < = )[] = )[+] = Cuál es el mayor valor de δ tal que = cuando +. Si 0 < < = )[] = )0 = ) [] =. cuando, luego Como )[] = < δ si 0 < < δ <, δ = 0 3 es el número más pequeño tal que 0 < < δ = )[] < Calcular los ites cuando 0, de

37 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 37 a) f) = cotg [ ] b) g) = ) sen Solución. a) cotg ) cos ) = sen de donde: cos ) + sen = + cos sen cos ) sen = = 0 ) cos ) luego sen = 0 b) Como: luego < [ y cos sen ) ) = 0 [ ] [ ] = < 0,, 0 ] ) sen = 0, por estar [ ] ) acotada. 34. Sea F centro de una circunferencia dada de radio r. ABC isósceles, AC = BC inscrito en la circunferencia. Calcular: Area AF C a) AB 0 Area sector circularaf B Area ABC b) AB 0 Area sector circularaf B Solución.

38 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 38 a) Area sector circular AF B = αr, DF = rsen α 4 AC = AD = r cosα 4 Area AF C = AC DF = r sen α 4 cosα 4 Area AF C = r senα r sen α α 0 ahora como AB 0 = α 0, se tiene que r senα α sen = α 0 α = αr b) Area ABC = AB EF = r r senα cos α ) + r = r sen α + cos α ) α = α r sen α 0 α + cos α ) = α Sea el ABC rectángulo, no isósceles, de base dada AB; HC altura; M punto medio de AB; D punto en que el lado AB es tangente a la circunferencia inscrita. Demuestre que HM a b) 0 DM = + cos α ). Demostración. Si a b 0 = a b HM = c, pero b = b c de aquí = b c y HM = c b c = c b c b ) b c = a b c DM = c AD pero AD = S a luego DM = c a + b + c a b de donde: HM DM = = a + b = a + b c a + b, finalmente: c a b c = ) a = a b,

39 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Calcular: cos π cos ) a b a + b a + b = a) sen [ π )] cos cos b) + ) ) 4 b = = b Solución. a) b) π ) π cos cos sen sen = π ) cos sen = sen π = π π cos) cos) sen π cos) π cos) π cos) sen + cos + cos + cos = π = π 4 [ π )] cos cos + ) ) 4 = π )) sen cos + ) ) 4 π )] [ + cos cos + ) } {{ } A

40 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 40 = { }} { π )) sen cos + ) [ π )] cos + ) B [ π )] cos + ) [ ) + )] 4 A sen B = B sen 4 π + ) π ) 4 + ) 4 π ) 4 ) 4 [ + cos π ] + ) A nótese que si = B 0 y A, así queda el ite: 37. Probar que: Prueba = π = π4 048 tg n sen = cos n ) tg m cos) ; n m tg n sen m = sen n n m n m sen m cos n este ite vale 0 si n > m y vale si n = m, así también cos n ) tg m cos) = sen n sen m cos m + cos) sen + cos n ) sen n m = n sen m n m) este ite vale 0 si n > m y vale si n = m. sen + cos + cos n 38. Hallar las asíntotas de la curva y = + Solución. Cuando 0 = y + ; 0 + = y, por consiguiente, la recta = 0 es una asíntota vertical.

41 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 4 m = n = y ± = + ± = [ + ] ± = y ) = ± ± + ) = ) = ± por lo tanto, y = + es una asíntota oblicua de la curva considerada. Para estudiar la disposición relativa de la asíntota y de la curva eaminemos la diferencia de las ordenadas de la curva y de la asíntota para un mismo valor de : + + ) =, la diferencia es negativa para > 0 y positiva para < 0 entonces para < 0 la suma se encuentra por encima de la asíntota. Observese su gráfica. 39. Bosquejar los gráficos de las siguientes funciones, señalando sus puntos de discontinuidad y analizando el carácter de estos. a) f) = b) f) = cos c) f) = + sen π d) f) = e) f) = f ) f) = sen g) f) = ) h) f) = 3 + sen + i) f) = cos π + )

42 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 4 Solución. a) f) = + 3 +, Domf = R { } la función es muy simple para el gráfico si. f) = + ) + ) + = + una parábola). Nótese que f) = 3 = f), + luego posee una discontinuidad evitable, quedando así: b) f) = cos f) = i) Dom f =, 0) 0, + ) ii) Raíces y signos signos si 3 si = cos = 0 cos = = kπ, k Z π π 4π nótese que f) 0, 0. iii) Simetrías: f) = cos ) ) con el eje Y. = f), es par luego es simétrica iv) Acotada: cos cos 0 cos 0 cos

43 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 43 v) Continuidad ± cos 0 + cos + cos + cos = sen + cos = tiene una discontinuidad evitable en = 0. c) f) = + sen π i) Dom f =, 0) 0, ) ii) Raíces y signos: + sen π = 0 senπ = 0 π = kπ, k Z k 0 = k iii) Simetrías: f ) = + sen π = f), es impar luego ) simétrica con el origen. iv) Acotada: sen π + + sen π + v) Continuidad: Nótese que f) = + senπ, así π sen π + + π sen = π; π + π π = π + sen π no eiste debido a que senπ oscila entre - y, por lo tanto, es discontinua inevitable para = 0.

44 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad d) f) = 4 i) Dom f = ± de donde 7 ± ii) Raíces y signos: = 0 = 7 + = 9 = = pero se descarta porque no pertenece al dominio de f iii) De inmediato no es simétrica con el eje Y ni el origen. iv) Continuidad: Nótese que f 7) = 3 45 y f) = 7 + 3) ) ) = 4) ), así entonces, e) f) = + ) ) = 4 ; + ) ) = ± luego en = hay una asíntota vertical discontinuidad inevitable) y en = hay una discontinuidad evitable, además, f) = + 0+, es decir, el eje X es una asíntota horizontal para los positivos. i) Domf = > 0 = < o > ii) Signos: f) > 0, Domf. Raíces no tiene. iii) Simetrías: f ) = f) con el eje Y. iv) Asíntotas y continuidad: f) =

45 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 45 m = n = ± + = + { ) = ) + = + + ) ) + = + + ) = 0 análogamente, por la simetría cuando, m = n = 0 así: y = ± son asíntotas oblicuas de la curva que no intersectan a esta en ningún punto. f) =, discontinua inve- Además f) = + + vitable para = y =. f ) f) = sen, i) Dom f = R {0, } ii) Raíces: f) = 0 sen = 0 = kπ, k 0, k Z, = k π Signos: π π 3π 0 π

46 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 46 iii) Simetrías: No tiene iv) Asíntotas y continuidad g) f) = f) + f). + En = hay una asíntota vertical luego una discontinuidad inevitable. ± sen ) = sen ± cos = luego en = 0 la discontinuidad es evitable m = ± sen 3 = 0, n = por lo tanto, y = 0 es una asíntota horizontal. ) ; i) Como > 0, luego Dom f = R. ii) Raíces: f) = 0 = =, Signos f) 0, iii) Simetrías: no tiene iv) Asíntotas y continuidad m = ± ) sen ± = 0 + m = ± 4 + +, m = + ± ± = ±, es decir, m = cuando + y m = cuando, así:

47 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 47 n = ) ) = ) n = + + n = ) ) = ) + ) ) = = 4 = 9 4 así y = 9 4 ; nótese que n = ] no eiste análoga- [f) mente se obtiene: y n = n = ) ) = 9 4 [f) + ] no eiste. + Intersecciones de f) con las asíntotas, = + ) como el miembro es positivo ó 0 entonces

48 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 48 de donde resolviendo la ecuación resultan =.89 = las dos válidas). Análogamente 9 4 = ) ; 9, resultan las mismas =.89 = que se descartan porque no 4 satisfacen 9, por lo tanto, no hay intersección. 4 Además: f) = + ± h) f) = 3 + sen + i) Dom f =, ), + ) ii) Raíces: f) = 0 sen = 3, de donde graficando por separado sen y 3 las raíces de f) se encuentran para los puntos en que dichos gráficos se intersecan. Signos: iii) Simetrías: no tiene iv) Asíntotas y continuidad: f) = luego en = hay una asíntota vertical + f) = +

49 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 49 m = n = 3 + sen 3 ± = + sen + ± + 3 ) + sen 3 ± sen 3 ) 3 = ± + = 3 3 = + sen ± + = 3 luego y = sen es una asíntota oblicua, además nótese que ± + ±. Estudiemos las intersecciones de la curva con su asíntota oblicua, si las hay. Así entonces: 3 + sen = 3 3 sen = = + kπ π, k Z infinitas intersecciones). i) f) = cos π + ) i) Domf = R {±} ii) Raíces y Signos: cos π + ) = 0 = 4k, k Z, k 0 obsérvese que cos π + ) 0, Domf luego los signos dependen únicamente del denominador. O sea: + iii) No tiene simetrías.

50 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 50 iv) Discontinua en = ±, determinemos de que tipo, para lo cual calculamos: f) f) + + luego es inevitable para =, en cambio para =, se tiene [ π ] [ π ] cos + ) sen = + ) π + ). π ) la discontinuidad es evitable. [ π ] sen + ) [ + cos [ π + ) ]] = 0 Observación Nótese la similitud de las funciones dadas en f) y en i) y quizás con b) 40. Las funciones que se dan a continuación son discontinuas en = 0. Definir la función en dicho punto de tal manera que sea continua, si es posible. a) f) = + )n ; n N b) f) = log + ) log ) Solución. a) Calculemos + ) n =! nn ) + + n + n + = n +! ) nn ) + + n = n, así f0) = n

51 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 5 log + ) log ) b) Análogamente: ) + log 30, β con a =, así f0) = = log ) + = = loge = ; en virtud al ejercicio resuelto N 4. Dada f) = 8 si 0 3 si 0 < 4 si < 3 si > 3 estudie la continuidad de esta función y grafique. Solución. De inmediato f) = f) = 0 y f) = f) = luego es continua en = 0 y = 3 como también,, ahora como: f) = + 4) = y f) = = luego como estos ites son distintos, no eiste f), por lo tanto, es discontinua inevitable en =. 4. Determine los valores A y B para que la función sen si π f) = Arcsen + B si π < < π cos si π

52 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 5 sea continua en R. Grafique. Solución. Debe cumplirse a) π f) = π f) = f π ) + π ) b) π f) = π f) = f así se tiene: + f π ) = sen π ) = π sen) = = π A sen + B) + de donde: A + B = ) en forma análoga: π ) π A sen + B) = π cos = f = 0 + de donde: A + B = 0 ), resolviendo el sistema formado por ) y ) se obtiene A = y B = que son los valores indicados para que f) sea continua en R así queda sen si π f) = sen si π < π cos si π 43. Averiguar si son continuas y construya el gráfico de las siguientes funciones: a) f) = n + n, 0 b) f) = Arc tg n) n

53 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 53 Solución. a) Es discontinua en =, ya que f) = n + n = f) = n + n = f) = + + n + n = 0 la discontinuidad es inevitable. b) Nótese que π si 0 f) = π si < 0 por tanto f) es continua 0, debemos estudiar su continuidad en = 0, luego ) f0) = π 0 = 0 ) f) = = π o + + = 0 f) = π ) o = 0 luego f) = f0) = 0 f) es continua en = 0, finalmente f) es continua en todo R. 44. Estudiar la continuidad de: a) f) = n b) f) = n + n c) f) = n n n +,

54 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 54 Solución. a) Si > 0, f) = 0, f) = ) = 0 si = 0, f) no esta definida, si < =, luego f) no eiste ya que f) = 0 = f), por lo tanto, la discontinuidad es inevitable. + b) Nótese que f0) = n, 0, así: = 0 y n n + n = n f) = f) = =, + entonces en = 0 hay una discontinuidad evitable, o sea queda: n n + n si 0 f) = si = 0 c) consideremos tres casos: i) >, en este caso n n =, luego f) = n n + = n ii) <, en este caso n n = 0 por lo tanto, f) =. = n + iii) = ± en este caso n = para todo n, por lo tanto f) = 0 así la función puede escribirse si > f) = si < 0 si = ± la que es evidentemente discontinua inevitable en = ±.

55 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Haciendo uso del método de sustituición de un infinitesimal por otro equivalente es decir, mediante 4.3*), hallar los ites siguientes: sen7 a) log + ) b) log + sen4) e sen5 c) Arc tg 3 Arc sen e) 3sen + 3 tg + sen g) + cos d) cos cos f) + + sen h) Solución. a) Tenemos: sen7 7; log + ) ; así: sen7 log + ) = 7 = 7 b) Tenemos: log + sen4) sen4 4 e sen5 ) sen5 5; por lo tanto, log + sen4) 4 e sen5 = 5 = 4 5 c) Análogamente: Arctg3 3; Arcsen, así: Arctg3 Arcsen = ) d) cos) ; cos ) cos cos = 3 = 3 = 8 ; así: 8 = 4

56 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 56 e) sen ; tg ; por lo tanto: 3sen + 3 tg + sen = = f ) + + ) + ; sen4 4, así: + + sen4 g) + ) ; cos) = 4 = h) 3 como: + 3 ) y ) = cos = 3 3 = 9 ; = = ) =, se tiene que 4 = = = Ejercicios Propuestos. Comprobar usando directamente la definición, que las funciones: a) f) = a + b

57 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 57 b) f) =, 0 c) f) = 3 d) f) = Arc tg son continuas en R.. a) Demostrar que toda función continua que cambia de signo tiene al menos una raíz. b) Demostrar que la ecuación = 0 tiene una solución entre - y 0. c) La ecuación = 0 tiene cuatro soluciones reales; encontrar cuatro intervalos cada uno de los cuales contenga eactamente una de ellas. d) Tiene alguna raíz la ecuación sen + = Demostrar que una ecuación algebraica cualquiera de una potencia impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. a 0 n+ + a n + + a n + a n+ = 0 4. Sea la función f) continua en [a, b] y la ecuación f) = 0 tiene un número finito de raíces en [a, b]. Disponiéndolas en la forma: a < < < < n < b. Demostrar que en cada uno de los intervalos a, ),, ),, 3 ),, n, b) la función f) mantiene el mismo signo.

58 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad A una torta circular de radio R se le corta un trozo de ángulo del centro θ; el trozo es colocado en un plano de radio r. Cuál grande debe ser r en función de θ)?. Es la función continua enθ? Indicación: Considerar separadamente: θ = 0; 0 < θ π ; π < θ π y π < θ < π. Respuesta. r es función continua de θ, ecepto para θ = Hacer ver, mediante un raciocinio basado en argumentos de continuidad, que en todo instante hay en la superficie de la tierra dos puntos que son antipodales entre si y que tienen la misma temperatura y presión barométrica. 7. Dada la función en el intervalo [, ], por: + si < 0 f) = + ) si 0 Eiste algún punto en este intervalo tal que f) = 0? 8. Demostrar que en un intervalo cualquiera [a, b] de longitud mayor que la unidad, la función f) = [] alcanza su valor mínimo pero nunca su valor máimo. 9. Demostrar que la función + si 0 f) = si 0 < es discontinua en el punto = 0 y tiene el valor máimo y el valor mínimo en [, ].

59 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad Encuentre una función que toma todo valor y para 0 y una y sola una vez para valores de en [0, ] y que es discontinua para alguno s) en [0, ].. Mediante razonamiento de ξ δ, demostrar que la función f) = es continua para = 5. Determinar el valor de δ para valores de ξ : ; 0, ; 0, 0; 0, 00; Respuesta. ) ξ δ = mín ;.. Sea f) = y ξ = 0, 00. Para los valores 0 = 0, ; 0, 0; 0, 00; Hallar los números positivos más grandes δ, tales que de la desigualdad 0 < δ se deduzca la desigualdad f) f 0 ) < ξ. Respuesta. a) δ = 0 5 b) δ = 0 7 c) δ = Se necesita hacer una placa metálica cuadrada de lado 0 = 0cm. Entre que ites se puede alterar el lado de esta placa si su área y = puede diferenciarse de la proyectada y 0 = 00cm no más de: a) ±cm b) ±0.cm c) ±0.00cm d) ±ξcm Respuesta. a) 9.95 < < 0.05 b) < < d) 00 ξ < < 00 + ξ 4. En que entorno máimo del punto 0 = 00 la ordenada de la gráfica de la función y = se diferencia de la ordenada y 0 = 0 en una cantidad

60 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 60 menor que 0 n ; n 0, n N?. Calcular la amplitud de este entorno para n = 0,,, 3. Respuesta. 00[ 0 n+) ] < < 00[ + 0 n+) ] 5. Usa la desigualdad sen, R, para demostrar que la función seno es continua en = 0. Usar este hecho, junto con la fórmula. senα senβ = sen α β cos α + β para demostrar que la función seno es continua en cualquier punto de R. 6. Demostrar que si un polinomio de grado para alcanza al menos un valor cuyo signo sea opuesto al del coeficiente del término de mayor potencia del polinomio entonces, éste tiene al menos dos raíces reales. 7. Demostrar, partiendo de la definición del ite de una función en términos de ξ δ, ξ M, etc.) que: a) 4 3) = c) + = 3 b) + 5 ) = 6 d) a cos = cosa e) 3 [] = f) + Arctg = π g) 3 = 0 i) + a = + a > ) k) + + ) = h) sen = 0 j) =

61 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 6 8. Si f) = + probar que f) = 3. Encuentre el valor de δ tal que 5 0 < < δ = f) 3 5 < Demuestre que ninguno de los siguientes ites eiste. a) ) c) sen e) Demuestre que: b) sen d) π sen f) tg a) 0 f) = 0 0 f) = 0 b) Si 0 f) = L 0 f) = L = L = L c) 0 f) = L 0 f) L) = 0. Comprobar que la función f) = + el supremo M =. tiene en [0, ] el ínfimo m = 0 y Una función f) está definida y es monótona creciente en [a, b]. A qué son iguales el ínfimo y el supremo de dicha función en [a, b]? Respuesta. fa) y fb). Nota: Recordemos Ejercicios Algebra I, mismo autor), que: El número m = ínf a,b) {f)} se llama ínfimo de la función f) en a, b) El número M = sup a,b) {f)} se llama supremo de la función f) en a, b)

62 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 6. Determinar el ínfimo y el supremo para las funciones a) f) = en [, 5] b) f) = + en 0, + ) c) f) = sen + cos en [0, π] d) f) = [] i) en 0, ) y ii) en [0, ] e) f) = [] en [0, ] Respuesta. a) 0; 5 b) ; no tiene c) ; d) i) 0; ii) 0; e) 0; 3. Sea donde a n 0 y b m 0. Demostrar R) = a 0 + a + + a n n b 0 + b + + b m m R) = si n > m a n b m si n = m 0 si n < m 4. Calcular los siguientes ites a) + ) 5 + 5) + 5 b) 3) ) 30 + ) 50

63 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 63 ) c) + d) e) a f ) b a b a, a > b) g) n n n a n ) na n a) h) a a), n N) m i) m n ) n m, n N n 3 j ) n n 3 n ) k) l) 3 9 m) n) ñ) ) Respuesta. ) 3 30 a) 0 b) c)

64 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 64 d) 0 e) 4a a b f) g) nn + ) h) nn )an i) m n) j) m) 44 k) l) 6 n) - o) 5. Calcular los siguientes ites a) m + α n + β, m, n N m + α n + β b) m, n N ) 3 c) 3 d) 3 + ) 3 ) 3 + e) + ) n + ) n, n N ) 3 f ) g) + ) + h) i) n + j ), n N k)

65 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 65 Respuesta. a) α m β n b) α m + β n c) d) 4 3 e) n f) 9 g) h) 4 i) 4 j) n k) Calcular los siguientes ites: tg a) sen3 b) sen ) tg π ) c) tg π sena + ) + sena ) sena d) + cos e) sen f ) 4) sen g) π 6 sen + sen sen 3sen + tgα + ) tgα + ) + tgα h) π ) i) tg tg 4 π 4 j ) cos cos3 k) cos cos cos3 cos

66 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 66 + tg + sen l) 3 m) +sen + sen ) cos n) cos ñ) π 4 cotg 3 cotg cotg 3 Arc cos ) o) ) + tg cosec 3 p) + sen π cos q) sen π ) ) Solución. a) 3 b) 0 c) d) sena e) 4 f) 0 g) -3 h) senα cos 3 α α k + )π, k Z) i) j) 4 k) 4 l) 4 m)0 n) 0 o) 3 4 p) q) e r) 0 7. Hallar los siguientes ites: 3 ) 3 + a) + + ) + b) +

67 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 67 c) d) + a a ) e) + senπ) cotgπ cos ) f ) cos [ π )] cotg g) tg 4 h) i) + j ) sen + cos ) cos cosn n log k) a a l) a a π )) tg 4 + a sen b a > 0) m) h 0 a +h + a h a h a > 0) log + e 3 ) n) + log3 + e ) ) o) n tgn π 4 + n e α e β p) senα senβ a + b + c ) q) ; a, b, c, R + 3

68 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 68 r) + log + )log + 3 ) Respuesta. a) 0 b) c) e d) e a e) e f) e 3/ g) e h) e i) e j)e k) a b a ) l) a a log e m) a log a n) 3 o) e p) q) 3 abc r) log8) 8. Calcular los ites: a) + logloga)) log b) cose ) cose ) 3 c) cosh loga) log a ) senh d) + senh + cosh e) + sen cos sen cos e sen e sen f ) tgh ) + log g) Arctg + ) Arctg ) h) Arc tg + a > )

69 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 69 i) Arc cos + ) + [ ] j ) Respuesta. a) loga ) b) - c) d) senh e) - f) g) h) 3 4 π i) π 3 j) 9. Hallar las constantes a y b de la condición ) + + a b = 0 Respuesta. a =, b = 30. Hallar las constantes a i y b i i =, ) de las condiciones: y + a b ) = 0 + a b ) = 0 + Respuesta. a i = ±; b i = i =, ). 3. Hallar las asíntotas y hacer el gráfico de las siguientes curvas: a) f) = 3 +

70 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 70 b) f) = + c) f) = 3 3 d) f) = log + e ) Respuesta. a) =, =, y = si, y = b) Si +, y = + c) y = 3 d) Si, y = 0. Si +, y = 3. Estudiar la continuidad y bosquejar la gráfica de las siguientes funciones: 4 si a) f) = A si =, A por determinar b) f) = sen si 0 y f0) = c) f) = sen si 0 y f0) = d) f) = e si 0 y f0) = 0 e) f) = [ ] f ) f) = +

71 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 7 g) f) = Arc tg + + ) 0 si < 0 si 0 < h) f) = + 4 si < 3 i) f) = si 3 j ) f) = e k) f) = ) + + ) sen 3 + l) f) = [ ] m) f) = n) f) = []sen π ñ) f) = [ ] o) f) = ) [ ] p) f) = 3)3 ) Respuesta. a) Es continua si A = 4 y es discontinua para = si A 4. b) Es continua.

72 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 7 c) Es discontinua para = 0. d) Es continua. e) Es discontinua para = k, k Z. f ) = 0 y = son puntos de discontinuidad evitable; = es una discontinuidad infinita, por lo tanto inevitable. g) = 0, =, = son puntos de discontinuidad de primera especie. h) Es continua. i) Discontinua evitable en =. j ) = 0 es un punto de discontinuidad de segunda especie. k) Es continua. l) Discontinua evitable en = 0. m) = k Z) son puntos de discontinuidad inevitable. = 0 es punto k de discontinuidad evitable tiende a. Ver ejercicio resuelto N 4 b) del capítulo ). n) La función es continua. o y p) = ± k k N) son puntos de discontinuidad de primera especie. q) Discontinua inevitable en =. 33. Estudiar la discontinuidad y construir los gráficos de las siguientes funciones: n n a) f) = n n + n

73 Luis Zegarra. Límites de funciones y continuidad 73 n b) f) = + n n c) f) = n cosn d) f) = [ Arctgn cotg)] n e) f) = n + sen) n f ) f) = n e n Respuesta. a) = 0 punto de discontinuidad de primera especie. b) y =, si ; y = si > y continua. c) y = 0, si k; y = si = kπ k Z); = kπ son puntos de discontinuidad de primera especie. d) y = π si kπ < < kπ+ π ; y = π si kπ+ π < < kπ+π; y = 0 si = kπ + π k Z); = kπ primera especie. e) y = si π 6 + kπ < < π 6 + kπ si 0 si = ± π 6 + kπ π 6 + kπ < < 5π 6 + kπ son puntos de discontinuidad de = ± π + kπ son discontinuidad de primera especie k Z) Estudie la gráfica de las funciones compuestas f o g y g o f, señalando sus puntos de discontinuidad, para:

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