2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

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1 . Funciones, sucesiones, límites y continuidd en R.. Funciones reles de vrible rel Un función f es un regl que sign cd uno de los números x de un conjunto D R un único número rel f (x). A D dom f se le llm dominio de f. y f (x) es el vlor de f en x. Imgen o recorrido de f es f (D) im f { f (x): x D}. f : D f (D) x y f (x) Muchs veces f dmite un expresión lgebric como f (x) = x, f (x) = senx,...), pero otrs no será expresble ni con plbrs. Un f estrá determind si conocemos todos los x de D y los vlores y correspondientes. Esto llev un definición más teóric, unque más precis: Un función f es un conjunto de pres ordendos que no contiene dos distintos con el mismo primer elemento. [Así, l función x serí {(x, x ) : x R} ] (Si no se precis más, dom f es el conjunto de x pr los que f tiene sentido). Geométricmente, f se puede representr en un sistem de coordends como un conjunto de puntos (gráfic de f ) en el plno xy. Así, l gráfic de f (x) = mx+b es un conjunto de puntos que constituyen un rect (m es su pendiente y b su corte con el eje y ). Dds dos funciones f y g se pueden definir otrs funciones f +g, f g, f g, f /g y f g : b m ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ( f g)(x) = f (x) g(x), ( f g)(x) = f (x) g(x) pr x dom f domg. ( f /g)(x) = f (x)/g(x) pr x dom f domg {x : g(x) 0}. ( f g)(x)= f [g(x)] (composición de f y g) pr x con x domg y g(x) dom f. Sum y producto de funciones, como es inmedito ver, son conmuttivs, socitivs y hy distributiv; l composición es socitiv, pero no conmuttiv: Si f (x) = x, g(x) = x se tiene que ( f g)(x) = 4x 4x + x = (g f )(x). f es inyectiv en A R si f (x) = f (x ) x = x, x,x A [o lo que es lo mismo, si x x f (x) f (x ) ]. x x f (x) = x no es inyectiv en A=R ( x y x = x les corresponde el mismo vlor). Sí lo es en A=[0, ), o en A=[ 7, ], por ejemplo. L gráfic de un función inyectiv no cort más de un vez culquier rect horizontl. Si f : x y = f (x) es inyectiv existe l función invers f : y x= f (y). f : f (A) A y = f (x) x = f (y) [Si no es inyectiv, o se, si hy x x con f (x)= f (x )=y, no podemos signr un único x l y ]. En términos de pres ordendos, l función invers es f = {(y,x) : (x,y) f }. 9

2 Propieddes inmedits son: dom f =im f, im f =dom f, ( f f )(x) = ( f f )(x) = x L gráfic de f (x) y l de f (x) son simétrics respecto l rect y=x [pues (x,y) e (y,x) lo son]. Pr escribir y= f (x) explícitmente (cundo se pued; en generl será imposible) se despej l x en función de y de y= f (x) y se cmbi el nombre ls vribles. L invers de y = x 3 5 es y = (x + 5) /3 [pues x = (y + 5) /3 l despejr]. y=f(x) y=f (x) f es estrictmente creciente en A R si x,x A con x < x se tiene f (x) < f (x ). Es estrictmente decreciente si f (x) > f (x ). Es creciente si f (x) f (x ). Es decreciente si f (x) f (x ). Culquier de ells se dice monóton (estrictmente monótons, ls dos primers). f (x) = [ x] = máximo entero menor o igul que x [llmd prte enter de x ] es creciente en todo R [no estrictmente]. f (x) = x es estrictmente decreciente en {x 0} y es estrictmente creciente en {x 0}. 3 3 f estrictmente monóton en A f inyectiv en A [y existe su f ] [si x x o bien es f (x) < f (x ) o bien f (x) > f (x ) ] [Pr ver si un f es monóton (y por tnto inyectiv) cudiremos en el futuro ls derivds]. Definición y gráfics de ls funciones elementles: y = x n, y = x /n = n x, n N Cundo n impr, y = x n es inyectiv en todo R y es f (R) = R. Su invers x /n está definid en R y su imgen es R. Si n pr, no es inyectiv en R. Se llm entonces y = x /n l invers de y = x n restringid l intervlo [0, ), con lo que l y = x /n tiene por dominio e imgen [0, ) (l función y = x /n, pr n pr, es l invers de y = x n restringid (,0] ). x 3!x _ x 3 x3 x _!x 3 _!x y = x n = x n y = x /n = x /n n N /x /x _ /!x /x y = x m/n = n x m, m,n N x 3/ x /3 /x 0

3 Ls curvs (cónics): (x ) + (y b) = R, x + y b = ( ), x y b =, (circunferenci) (elipse) (hipérbols) b y b x =. b R b b b No definen un únic función (por ejemplo, ( ) define dos: y = b x e y = b x, x [,] ). Funciones trigonométrics (siempre en rdines): Uns definiciones ntes: f se dice pr si f ( x) = f (x) e impr si f ( x) = f (x) ; f es de periodo T o T -periódic si f (x + T ) = f (x) x.! cos x!/!/4!/ sen x! tn x!!/! senx y cosx son de periodo π, senx es impr y cosx es pr, tnx es π-periódic e impr. Aceptremos l definición clásic de sen x [ddo un número x, se tom el punto P sobre l circunferenci P unidd tl que x se l longitud del rco que une (,0) longitud x senx x con P ; el ángulo orientdo formdo por ls semirrects que unen (0,0) con mbos puntos es el ángulo de x rdines y senx es l ordend de P ], pesr de no ser cosx nd riguros, por bsrse en el concepto de longitud de un curv cuy definición no tenemos bien estblecid. [Se le puede dr rigor utilizndo integrles, lo mismo que senx : ver Spivk]. A prtir del sen x definimos: cosx = sen(x + π senx ), x ; tnx = cosx, si x π + kπ, k Z. [Nos será más útil est definición de cosx que l equivlente bscis del punto P. Ls otrs clásics funciones trigonométrics cotn x, sec x y cosec x no serán utilizds en estos puntes, puesto que se pueden expresr fácilmente en términos de ls dds]. Admitimos que sus gráfics son ls de rrib y repsemos lguns de sus propieddes clásics [lguns otrs se proponen en los problems].

4 Recordemos primero l equivlenci entre grdos y rdines. Como un ángulo recto son π rdines (l longitud de l circunferenci unidd es π) o 90, es = π 80 rdines. En prticulr, los fmosos ángulos de 30, 45 y 60 son, respectivmente, π 6, π 4 y π 3 rdines. Ls funciones trigonométrics tienen un infinidd de vlores exctos conocidos como: sen(kπ) = cos( π + kπ) = tn(kπ) = 0, sen( π + kπ) = cos(kπ) =, sen( π + kπ) = cos[(k )π] =, que son inmeditos, y los siguientes que se deducen fácilmente del teorem de Pitágors: sen π 6 = cos π 3 =, sen π 4 = cos π 4 =, sen π 3 = cos π 6 = 3 tn π 6 = 3 3, tn π 4 =, tn π 3 = 3 (demás de los similres de otros cudrntes). De Pitágors tmbién se deduce: sen + cos = + tn = cos A prtir de ls últims igulddes es fácil hllr, dd culquier de ls rzones trigonométrics de un ángulo y el cudrnte en el que se encuentr, los vlores de ls restntes: Si tnα = 4 3 y α ( 3π,π), los vlores del seno y el coseno de este ángulo son: cosα = + +tn = = 3 α +(6/9) 5, senα = cosα tnα = 4 5. Más difíciles de probr son ls siguientes importntes identiddes (válids,b): sen( ± b) = sencosb ± cossenb, cos( ± b) = coscosb sensenb, pero prtir de ells y es fácil comprobr tods ls siguientes (de hecho, nos bstbn ls fórmuls pr +b, pues ls de b son consecuenci inmedit de ells). Por ejemplo: sen = sen cos, cos = cos sen = sen = cos sen = [ cos], cos = [ + cos] Clculemos usndo ls igulddes nteriores el cos 35π. Primero observemos que cos 35π = cos( 35π π) = cos π = cos(π π ) = cos π. Como cos ( π ) = [ + cos π 6 ] = cos 35π = + 3. Podemos dr un expresión más bonit: cos π = cos( π 3 π 4 ) = Vemos otrs propieddes que tmbién utilizremos. Ést es csi inmedit: tn( ± b) = tn±tnb tntnb tn = En ls siguientes bst desrrollr los segundos miembros: tn tn sensenb = [cos( b) cos(+b)] coscosb = [cos(+b) + cos( b)] sencosb = [sen(+b) + sen( b)] 3 = En l últim, llmndo A=+b y B=b, result ser = A B y b = A+B con lo que: sena senb = sen A B cos A+B

5 ! rccos x!/ Pr definir ls funciones trigonométrics inverss debemos restringir los intervlos de definición pr que senx, cosx y tnx sen inyectivs: rcsenx ( dom = [,], im = [ π, π ] ) es l invers de senx restringid [ π, π ]. rccosx ( dom = [,], im [0,π] ) es l invers de cosx restringid [0,π]. (El rco seno de un x no es simplemente el ángulo cuyo seno vle x ; rcsen x hy infinitos x con el mismo seno; incluso hy si sólo nos preocupmos!/ de [0,π] ).!/ rctnx [ dom = R, im = ( π, π ) ] rctn x es l invers de tnx definid en ( π, π ). rctn(tn 3π 4 ) = rctn( ) = π 4. L función rctnx prece muchs veces en el cálculo, por ejemplo hllndo primitivs. Exponenciles y logritmos: b x es fácil de definir si x Q [ b m/n = n b m ] pero no si x es irrcionl ( qué es π?) y por tnto log b x tmpoco tiene sentido. Definiremos primero el logritmo neperino sí: logx lnx = x dt t, pr x > 0!/ [ logx será siempre neperino, el deciml log 0 x no se utilizrá] que es l form más cort de definirlo, unque hbrí que esperr ls integrles pr deducir tods sus propieddes. Admitimos que log x es estrictmente creciente en {x > 0} y que su imgen es R. Tmbién dmitimos ls propieddes clásics: log( b) = log + logb, log b = log logb, log(c ) = clog, si,b > 0 A prtir de l función logritmo, definimos: e x es l invers de logx, con lo que su dominio es R y su imgen x > 0. x b e blogx, x > 0 ; ex logx b x (0<b<) b x (b>) log x b (b>) b x e xlogb, b > 0, x ; log b x logx logb, b>0, b, x > 0. log x b (0<b<) De ests definiciones se podrín deducir: b 0 =, b x+y = b x b y, b x = b x, (b x ) y = b xy [ b xy represent siempre b (xy) ],... Ls definiciones son nturles, si hn de stisfcerse ests propieddes. Así, por ejemplo: x b = [exponencil invers del logritmo] = (e logx ) b = [pues (b x ) y = b xy ] = e blogx [L definición de rrib de x b sólo vle pr los x>0 si b es un rel culquier, pero no olvidemos que, por ejemplo, si b=7 ó b=/3 está x b definid x ]. 3

6 Más en generl (por este mismo rgumento) se define: f (x) g(x) = e g(x)log[ f (x)], pr los x tles que f (x) > 0. [Según l definición dd, el número e serí quel que cumpliese log e = e dt t =. Utilizndo ls propieddes de l integrl se podrí proximr su vlor, pero esto será mucho más corto hcerlo cundo estudiemos Tylor. Admitimos que proximdmente es e ]. Acbmos con ls funciones hiperbólics (seno, coseno y tngente hiperbólics) definids: shx = ex e x, chx = ex + e x thx = shx chx, x, sh x ch x th x Tienen propieddes similres ls trigonométrics (tods muy fáciles de comprobr): sh( x) = shx, ch( x) = chx, th( x) = thx, ch x sh x =, th x = ch x,... 4

7 .. Sucesiones de números reles { n } =,,..., n,... es un sucesión: cd nturl n corresponde un rel n. Mtemáticmente, como un función es un regl que sign cd elemento de un conjunto un único elemento de otro: : N R Un sucesión de números reles es un función de N en R n (n) n Un sucesión tiende hci si en todo entorno de, por pequeño que se, están csi todos los términos de l sucesión (todos slvo un número finito). Por ejemplo { n } =,, 3,... tiende hci 0 y que fijdo un entorno culquier del origen todos los términos de l sucesión prtir de uno ddo cbn metiéndose dentro. Precisndo: { n } tiene por límite (o tiende hci o converge hci ) si pr todo ε >0 existe un número nturl N tl que pr todo nturl n N es n < ε. Lo representremos por lím n = ó n. Si un sucesión { n } no es convergente n n se dice divergente. Est definición es l primer de ls definiciones riguross de límite de specto similr que veremos en los puntes. Hgmos uns cunts observciones sobre ell: Decir que n <ε es equivlente que n B(,ε). Pr todo ε hemos de encontrr un N tl que N, N+, N+,... estén dentro del entorno. El N no es único: si los n B(,ε) pr n N, tmbién están dentro pr n N si N N. No se trt de hllr el menor N, bst con dr uno pr el que se cumpl. En sucesiones escribiremos simplemente n, pues sólo tiene sentido el límite pr n (en funciones, l x podrá tender 0,,,... y sí hbrá que precisrlo). Formlicemos que n 0 : ddo culquier ε (por pequeño que se) existe N tl que N <ε. Por tnto, si n N, n 0 N <ε. Se ve que N depende del ε ddo (si ε =0,, bst tomr N =, pero pr ε =0,00 debemos tomr N =00 o número myor). /N ( )! 0! L sucesión {( ) n } =,,,,... diverge, pues está clro que no todos sus términos prtir de un N están en todo entorno de, ni de, ni de culquier otro rel. Aunque hy infinitos términos en culquier entorno de (por ejemplo) otros infinitos se escpn. Si ε = todos los n pertenecen l entorno B(,), pero esto debe ocurrir ε y no sólo pr ε grndes. El cálculo de límites con ε y N es, en generl, complicdo. Pero, grcis los teorems que veremos (demostrdos utilizndo los ε), sólo en contds ocsiones y pr sucesiones muy extrñs deberemos en el futuro cudir l definición. Pr mnejr ést (en ejemplos y en teorems) se suele prtir de lo que uno quiere hcer pequeño ( n ) y, trs lgunos < ó (l desiguldd tringulr suele precer), se lleg un expresión de l que se y fácil decir pr qué n es < ε : { n+5 Probemos sólo con l definición (pronto será innecesri) que { n } = n } n+. n + 5 n = 5 n 5 n + 3 < ε n > 3 n + n + n n ε n > 9 Por tnto, ddo culquier ε, si N es un nturl > 9/ε, pr n N se cumple que n < ε. [No es l únic form de precisr el N, podrímos, por ejemplo, no hber quitdo el del denomindor y hbrímos llegdo otro N; lo que, desde luego, no funcionrí serí empezr hciendo n n +, pues no hbrí form de hcer esto menor que culquier ε ]. ε 5

8 { n } convergente { n } cotd. Se ε= (por fijr un número); sbemos que N / si n N n n <, n +. Por tnto, llmndo M = máx{,..., N, +} se tiene n M n. No es cierto que tod sucesión cotd se convergente. Por ejemplo, {( ) n } es cotd y diverge. Lo que sí se deduce del teorem (no q no p) es que un sucesión que no está cotd seguro que diverge. Definimos hor un pr de tipos importntes de sucesiones divergentes (y no cotds): { n } diverge hci + ( lím n = ) si K N / n N se cumple n K. n { n } diverge hci ( lím n = ) si K N / n N se cumple n K. n [+ y son sólo símbolos, no números; ests sucesiones no convergen ningún número rel] n + n, pues K, n + n n > K si n N con N culquier nturl K.,0,,0, 3,0, 4,... no diverge hci. A pesr de que conteng términos tn pequeños como quermos, no es cierto que ddo culquier K queden su izquierd todos los términos prtir de un N (pr los K < 0 es evidente que es flso). Clrmente, tmpoco tiende 0. { n } es creciente si n n+ n. { n } es decreciente si n n+ n. Culquier de ls dos se dice monóton. 3, 3, 33, 43, 53,... (no cotd, divergente hci + ) es creciente.,, /, /, /3, /3, /4, /4,... es decreciente (y tiende hci 0 ). { n } creciente y cotd superiormente { n } convergente. { n } decreciente y cotd inferiormente { n } convergente. El xiom del extremo superior segur que { n } tiene supremo l que llmmos. Vemos que es el límite de { n } : Se ε > 0, N tl que N > ε (si no, existirín cots más pequeñs que ). Por tnto, si n N, n N > ε n = n < ε. [Análog l otr]. N (! Dd un sucesión { n }, se llm subsucesión de { n } culquier sucesión formd escogiendo ordendmente infinitos términos de { n }, es decir: { n j }= n, n, con los n j N tles que n <n < es subsucesión de { n }, 4, 6, 8, 0...,,,,,... ó 5, 6, 7, 8,... son subsucesiones de { n }. No lo es, en cmbio,,, 4, 3, 6, 5,..., formd con elementos desordendos de { n }. Está clro que si { n } tmbién culquier subsucesión suy { n j }. Por tnto, un form de probr que un sucesión no tiene límite es encontrr dos subsucesiones suys que converjn hci límites distintos o lgun subsucesión que no converj. [A ls subsucesiones de ls sucesiones divergentes pueden psrle, sin embrgo, todo tipo de coss. Por ejemplo,,,,,,3,,,3,4,... tiene subsucesiones convergentes infinitos límites distintos ( cd número nturl), otrs que divergen + y otrs que no tienen límite ni finito ni infinito;,0,,0, 3,0, 4,... tiene subsucesiones que tienden 0 y otrs ;,,3,4,... no tiene subsucesiones convergentes... Si l sucesión es cotd veremos que sí podemos scr lgun conclusión]. 6

9 Con los siguientes teorems podremos clculr un montón de límites de sucesiones sin usr ε y N (sólo los más sencillos, otros muchos exigen técnics de límites de funciones y hbrá que esperr). Si { n } y {b n } b entonces: { n + b n } + b, { n b n } b, { n b n } b, y si b 0, { n b n } b. +) Ddo ε, N /n N n < ε y N b /n N b b n b < ε. Por tnto, n + b n ( + b) n + b n b < ε, si n N = máx{n,n b }. ) Csi igul que +). ) n b n b = n b n b n + b n b n b n + b n b. Hgmos pequeño esto: {b n } b ddo ε, N b tl que n N b b n b < ε si 0 (y si =0, b n b = 0 < ε ); {b n } convergente está cotd: B tl que b n <B ; y como { n }, N / n N n < ε B. Por tnto: nb n b < εb B + ε = ε. /) n b n b = b n b+b b n bb n Kε K + b Kε b K = ε, si n N =máx{n,n,n 3 } donde: como {b n } b 0, N / n N b n K > 0 ; como {b n } b, N / n N b n b < b Kε ; y como { n }, N 3 / n N 3 n < Kε. Ls operciones que involucrn ls sucesiones que tienden + o son sólo lgo más complicds y vienen formlizr l form intuitiv en que se trbj con los infinitos: Sen {c n } 0, {p n } p > 0, {q n } q < 0, { n } cotd, {i n }. Entonces: { n + i n }, { n i n }, {c n n } 0, { n /i n } 0, {p n i n }, {q n i n }, {i n /p n }, {i n /q n },... [como {c n }, {p n } y {q n } están cotds, los resultdos con { n } son tmbién ciertos con ells] Probemos pr cnsrnos poco sólo un pr de ells, por ejemplo l primer y l últim: Se n A, K, n + i n i n A K, pues i n K + A, si n es suficientemente grnde. Si n grnde i n > 0 y Q/Q < q n < 0 K, i n /q n < i n /Q < K, pues i n > QK si n grnde. Podemos brevir el teorem ( pero recordndo que es sólo un notción!) escribiendo: cot± = ±, 0 cot=0, cot = 0, (±) = ±, ± = ±,... y tmbién es cierto: + = ", (± ) = ± ", ( ) ( ) = ",... Es tentdor escribir /0 = ", pero es flso en generl [ {( ) n /n} 0, pero su invers {( ) n n} no tiene límite]. Sí es cierto que si {p n } p > 0, {c n } 0 y c n > 0 entonces p n /c n. Los límites con potencis se deducirán de los límites de funciones. Por hor, dmitimos: Sen {b n } b, {p n } p > 0, {q n } q < 0, {i n }. Entonces: {p b n n } p b, {i p n n }, {i q n n } 0, {p i n } { si p > 0 si 0< p< Podrímos resumir: =, = 0, = ó ( ) = 0. Obsérvese que en ningun l bse es negtiv [por ejemplo, no está escrito ( ) ni ( ) ]: ls potencis rcionles (y menos ls reles, definids trvés del logritmo) pueden no existir [l sucesión{( ) /n }, por ejemplo, no existe pr ningún n ]. 7

10 A pesr de tnto teorem ún quedn ls llmds indeterminciones que resumimos:, 0, 0 0,,, 0 0, 0 Hy que leerls en términos de sucesiones. Así, l primer dice que si dos sucesiones no se puede, en principio, segurr hci qué tiende su diferenci (por ejemplo: n n, n n 0 y n n ). Pr resolver lguns bstrá un truco lgebrico como los de los ejemplos siguientes, pero en otros csos, insistimos, se necesitrá L Hôpitl o Tylor pr hll los límites. Grcis todo el trbjo con los ε hor y csi nunc hbrá que cudir l definición. n + ( ) n 3n 3 + n = /n + ( )n /n /n = 0, n 3 + ( ) n 3n 3 + n = + ( )n /n /n = 3, n 4 + ( ) n 3n 3 + n = n + ( )n /n /n =. [Ls tres son indeterminciones y hy que reescribir l sucesión; en el cálculo hemos utilizdo vrios teorems: n 3 = n (n n) porque el producto de dos sucesiones que tienden tiende ; ( ) n /n 3 0 porque cotdo/ =0"; +( ) n /n 3 porque l sum de sucesiones tiende l sum de los límites; límites de cocientes, más límites con...]. n 3 n 5n 7 n = n 3 n 5 n 7 n = 0, o bien, n 3 n 5n 7 n = n n 4 n n 5 0 = 0. n [Aquí hemos utilizdo demás que lím n = lím n y = que son csos prticulres de los límites de potencis vistos; lo probremos directmente en problems]. Como se ve, pr clculr límites de cocientes de polinomios o ríces de ellos bst comprr los términos con l máxim potenci de numerdor y denomindor (y se podrán hcer ojo: si el numerdor es más pequeño, el cociente tenderá 0, si mbos son del mismo orden precen los coeficientes de los términos más gordos y si el denomindor es myor el límite será + o infinito). ( ) n 3n n + diverge, pues hy subsucesiones con distintos límites (pres 3, impres 3 ). ] n 3 n = n[ n ( ) = " n [Hemos scdo fctor común (lo hbitul pr ) pr dejr clro que término mndb]. [ n n ][ n + n ] n n = = 0 n + n n + n [Los ern del mismo orden y h hbido que rcionlizr; scr fctor común no serví quí]. + + n n + = n(n + ) (n + ) [El número de sumndos crece con n ; no es cierto que como n n 0 nuestr sucesión tmbién lo hg]. n (n 7)! = n (n 7)(n 6) (n 5)! 0 = 0 [ ( ) n + n ] 3 (cot+ ) 3 = 3 = " 3 n + n+ 3 n+ + n = + (/3)n 3 + (/3) n = 3 8

11 Clculemos el límite de n pr todos los R sin hcer uso de teorems no demostrdos: si >, = + h, con h > 0 ; desrrollndo el binomio: n = ( + h) n = + nh + > nh > K, K, si n gordo n ; si =, n =,,,... (esto no es ningun indeterminción); si (0,), / >, n = (/) n = 0 ; si = 0, 0 n = 0,0,0,... 0 (no estb en el teorem de ls potencis) ; si (,0), n = ( ) n ( ) n cot 0 = 0 (tmpoco estb); si =, ( ) n =,,,,... diverge; si <, n = ( ) n ( ) n ; como ( ) n, n tom vlores grndes positivos y negtivos diverge (ni siquier tiende + o ). [Cundo vemos que sen x, cos x, log x,... son funciones continus en todo su dominio podremos decir que si {b n } b entonces: {senb n } senb, {cosb n } cosb, {logb n } logb (b > 0),... ]. Dmos pr cbr definiciones y teorems importntes en mtemátics vnzds (ls usremos en ls demostrciones de.4). El primer teorem es uno de esos típicos de mtemátics que segurn que existe lgo pero no dicen ni cómo es ese lgo ni como buscrlo (y precen no servir pr nd): Tod sucesión cotd posee un subsucesión convergente. Como { n } es cotd, existe un intervlo cerrdo [c 0,b 0 ] { n }. Dividimos [c 0,b 0 ] en otros dos igules. En uno de ellos, l menos, hy infinitos términos de { n }. Le llmmos [c,b ]. Volvemos dividir y elegir [c,b ] con infinitos n... Tenemos sí un sucesión de intervlos [c k,b k ], cd uno con infinitos términos de l sucesión. L sucesión c 0,c,... es creciente y cotd superiormente por b 0. L b 0,b,... es decreciente y cotd inferiormente por c 0. Así mbs tienen límite y es c 0 [ ] b 0 c [ ] c [ ] 3[ b3 c ] intuitivmente clro que el límite de ls dos es el mismo. Le llmmos. Construimos un subsucesión de { n } que tiende hci : elegimos n0 [c 0,b 0 ], n [c,b ] con n > n 0 (podemos, pues hy infinitos n en [c n,b ] ),... No es difícil formlizr que n j. {senn} = , , 0.4.., , , , , , 0.4..,... [funciones trigonométrics siempre en rdines]; prece no tener límite y se prueb (es difícil) que es sí. Como es cotd, tendrá subsucesiones convergentes, pero no sbemos cuáles. L siguiente definición tmpoco tendrá much utilidd práctic pr nosotros: { n } es sucesión de Cuchy si ε N N tl que n,m N se tiene que n m <ε. [l diferenci entre dos términos suficientemente ltos es tn pequeñ como quermos] Prece clro que si todos { n } se cercn un límite se cercrán tmbién entre sí, es decir, que tod sucesión convergente será de Cuchy. Lo contrrio tmbién es cierto pr ls sucesiones en R: { n } converge { n } es de Cuchy ) ε N / k N k < ε ; sí pues, si n,m N, n m n + m < ε + ε = ε. ) Se puede probr que: { n } de Cuchy { n } cotd (l demostrción es precid l de ls convergentes). Por lo tnto, existe subsucesión { n j } convergente hci lgún rel. Vemos que tod l sucesión { n } tiende hci ese : { n } de Cuchy N tl que n,n j N n n j < ε. { n j } convergente N tl que n j N n j < ε. Por tnto: n n n j + n j < ε + ε = ε si n N=máx{N,N }. b b 9

12 Un conjunto se dice completo si tod sucesión de Cuchy converge hci un elemento del propio conjunto. Acbmos de ver que R lo es. Pero, por ejemplo, Q no lo es: hy sucesiones de Cuchy en Q que no convergen un rcionl (como l 3, 3., 3.4, 3.4, 3.45, 3.459,... obtenid ñdiendo decimles de π, que es de Cuchy pero su límite se escp de Q). Ello se debe l inexistenci en Q del xiom del extremo superior (por est mism rzón, en Q hy sucesiones monótons y cotds sin límite en Q o sucesiones cotds sin subsucesiones convergentes en Q). L definición de conjunto completo es importnte en nálisis funcionl. El último resultdo relcion conjuntos cerrdos y sucesiones y lo utilizremos en demostrciones: Si { n } y { n } A cerrdo A Pues el límite de un sucesión, si tiene infinitos términos distintos, es un punto de cumulción de ell, y, por tnto, tmbién de A que es cerrdo. Y si { n } tom sólo un número finito de vlores, debe ser n = prtir de un N, con lo que, clrmente, A. [Pr biertos es flso: hy sucesiones { n } A bierto cuyo límite / A, como le ocurre { n } (0,) ]. 0

13 .3. Límites de funciones y funciones continus f tiende L (o tiene por límite L ) cundo x tiende hci si ε > 0 δ > 0 tl que si x cumple 0 < x < δ entonces f (x) L < ε. Esto se represent: f (x) L o bien lím f (x) = L. x x [Es decir, ε >0 δ >0 tl que si x B (,δ) f (x) B(L,ε) ]. [En l definición está implícito que es punto interior de dom f {} pr que f teng sentido en B (,δ) ; tmbién está clro que no import nd el vlor de f en, ni siquier si f está o no definid en el punto]. Gráficmente: Pr todo tl que esté dentro de l bnd debe ser posible encontrr [evidentemente el δ no es único: si hemos encontrdo un δ nos vle tmbién culquier δ más pequeño]. L+! L L! " + " f (x) = x. Gráficmente prece clro que lím x f (x) =. Comprobémoslo pr = 0 : Ddo culquier ε debe ser x 0 = x <ε si x 0 = x es suficientemente pequeño. Tomndo δ = ε se tiene que: 0 < x < δ x < ε. [Pr otros no es fácil hllr el límite utilizndo simplemente l definición, pero será un límite trivil cundo dispongmos de los teorems que veremos]. f (x) = x 3 rctn x. Est función no está definid en 0, pero vemos que f (x) 0 si x 0. Como x 3 rctn x π x3 = π x 3, bstrá tomr x < δ = 3 ε π pr que x 3 rctn x < ε. [Como siempre, pr trbjr con definiciones de este tipo prtimos de lo que queremos hcer pequeño y utilizmos desigulddes crecientes hst que quede clro el δ que grntiz que lo inicil es < ε ]. { { si x < 0 f 3 (x) = si x > 0. Es clro que f si < 0 3(x) x si > 0 Pero no tiene límite cundo x 0. Pr ε < hy x con x <δ pr los que f 3 (x) L ε, por pequeño que se δ, se quien se L (, u otro número). (bst tomr δ < ). [L negción de que f L si x es est firmción: existe un ε tl que pr todo δ existen x con x < δ pero cumpliendo f (x) L ε (l negción de que en tod clse hy lgún estudinte que, si se exmin, prueb, es que hy un clse en que todos los estudintes que se exminn suspenden )]. Pero f 3 se cerc ó cundo x 0 si sólo mirmos los x positivos o negtivos. Definmos límites lterles: f L por l derech (izquierd) cundo x [ lím f (x)=l ( lím f (x)=l )] x + x si ε >0 δ >0 tl que si x cumple 0<x <δ ( 0< x<δ ) f (x) L <ε. Como 0 < x < δ 0 < x < δ y 0 < x < δ, es inmedito que:

14 lím f (x) = L existen lím x x + f (x) y lím x f (x), y coinciden con L Por tnto, si no existe un límite lterl, o si existiendo no coinciden, no existe el límite. f 3 (x), pues ε, pr culquier δ que escojmos, si 0 < x < δ es f 3(x) = 0 < ε. x 0 + f 3 (x), pues ε pr culquier δ, 0 < x< δ δ <x< 0 f 3(x) ( ) = 0 < ε. x 0 + Esto prueb que no existe el lím f 3 (x). [Sí existen lím f 3(x) = lím f 3(x) = = lím f 3 (x) ]. x 0 x x + x En generl, pr ver si un f tiene límite no será necesrio clculr los lterles. Sólo lo hremos cundo cundo l f se diferente mbos ldos de (como en el ejemplo nterior en x = 0 ). El siguiente teorem será muy útil pr demostrr fácilmente bstntes otros usndo ls propieddes de ls sucesiones y, en el futuro, pr clculr límites de sucesiones que ún no sbemos hcer. lím f (x) = L tod sucesión { n} dom f {} con { n } x n stisfce { f ( n )} L. n ) Sbemos que ε δ / si 0< x <δ f (x) L <ε. Como n, N / n N n <δ f ( n ) L <ε, con lo que { f ( n )} L. ) Si f (x) no tiende L existe ε >0 tl que pr todo δ > 0 existe lgún x con 0 < x < δ pero f (x) L > ε. En prticulr, pr todo n existe lgún n con 0 < n < n pero f ( n) L > ε : existe, pues, { n } que converge hci pero con { f ( n )} L. Grcis l teorem, pr ver que un f no tiene límite en bstrá encontrr un { n } (formd por puntos de dom f ) que tiend hci y tl que { f ( n )} diverj, o bien encontrr dos sucesiones { n } y {b n } tles que { f ( n )} y { f (b n )} tiendn hci distintos límites. Esto puede permitir formlizr de form sencill l no existenci de límites sin tener que cudir l negción de l definición: Como n = ( )n n 0 pero { f 3 ( n )} =,,,,... diverge f 3 no tiene límite en x = 0. [Pr otrs sucesiones b n 0 sí existe el límite de { f 3 (b n )} (por ejemplo, pr culquier {b n } con b n >0 dicho límite es ); pero el teorem pide que tods converjn y que el límite de tods se el mismo]. f 4 (x) = { si x rcionl 0 si x irrcionl. Intuitivmente prece clro que f 4 no tiene límite pr ningún (rcionl o irrcionl). Por ejemplo, no puede tender f 4 hci cundo x pues por pequeño que se el δ hy x del entorno (los irrcionles) con f 4 (x) > ε (pr los ε < ). Lo mismo sucede con otros posibles límites. Esto es mucho más fácil de formlizr con sucesiones: f 4 no tiene límite en pues si { n } es un sucesión de rcionles y {b n } de irrcionles tendiendo hci, se tiene que f 4 ( n ) mientrs que f 4 (b n ) 0. (Ests sucesiones siempre existen, pues en todo entorno de hy infinitos rcionles e irrcionles). L

15 Ls siguientes definiciones incluyen " " (no son límites normles; como siempre es sólo un símbolo): lím f (x)=l [ lím f (x)=l ] si ε >0 M tl que si x>m [x<m] f (x) L <ε x x lím f (x)= [ ] si K δ >0 tl que si 0< x <δ f (x)>k [ f (x)<k ] x lím f (x) = si K M tl que si x > M f (x) > K x [Análogmente lím f (x) =, lím f (x) =,... ] x x Un pr de interpretciones geométrics: f (x) x L K f (x) x L M L función f 5 (x) = x 0 cundo x pues ε > 0 M = ε tl que si x > ε x 0 < ε, y tiende cundo x 0 + pues K δ = K tl que si 0 < x 0 < K x > K. f 6 (x) = 3 x + thx x, porque K M tl que f 6 (x) > 3 x > K si x > M = (K+) 3. Se pueden probr relciones entre estos nuevos límites y los de sucesiones. Por ejemplo: lím f (x) = L tod sucesión { n} dom f con n cumple f ( n ) L x n n En prticulr, como l sucesión {n}, deducimos que f (x) x L f (n) n L. lím f (x) = tod sucesión { n} dom f {} con n cumple f ( n ) x n n Como consecuenci de los límites de sucesiones se puede demostrr hor fácilmente: f (x) x L, g(x) x M f ± g x L ± M, f g x L M. Si demás M 0 f g L x M. Lo nterior es válido si se sustituye por +,, + ó. Tods se demuestrn igul, relcionndo sucesiones y funciones. Por ejemplo, l primer: Se culquier n, n. Por tender l sum de sucesiones l sum de los límites: lím ( f ± g)( n) = lím f ( n ) ± lím g( n ) = L ± M lím ( f ± g)(x) = L ± M n n n n 3

16 L continuidd se define usndo el concepto de límite. Ahor import el vlor de f (): f es continu en un punto (interior l dominio de f ) si lím x f (x) = f (), es decir, si ε > 0 δ > 0 tl que si x cumple x < δ entonces f (x) f () < ε. [luego f no es continu si no existe límite o no existe f () o si existiendo no coinciden] Tres sencills funciones continus en culquier punto son: c f (x)=c : ε >0 vle culquier δ pr que x <δ c c =0<ε. f (x)=x : ε >0 bst tomr δ =ε pr que x <δ =ε x <ε. f (x)= x : ε >0 tomndo δ =ε es x x <ε si x <δ. f (x) = x 3 rctn x no es continu en 0, pues no está definid f (0). Pero si definimos f (0) = 0 sí lo es, pues vimos que f (x) x 0 0. Si fuese f (0) = 7 serí discontinu. f 3 no puede hcerse continu en 0 definiendo decudmente f 3 (0), pues no existe lím x 0 f 3 (x). El teorem similr de límites nos d l crcterizción de l continuidd con sucesiones: f es continu en tod sucesión { n } dom f con n n cumple f ( n ) n f () [por tnto lím f ( n ) = f ( lím n ) si f es continu (no, si es discontinu)] n n De los teorems pr los límites de funciones se deduce tmbién: Si f y g son continus en entonces f + g, f g, f g son continus en. Si demás g() 0, tmbién f /g es continu en. Por ejemplo, lím( f g)(x) = (propiedd x de límites) = lím x f (x) lím x g(x) = f () g(). Ls otrs igul. [Se podrín probr directmente prtir de l definición; l de l sum por ejemplo: ε, f (x) + g(x) f () g() f (x) f () + g(x) g() < ε si x < δ = mín{δ,δ }, siendo δ y δ tles que: f (x) f () < ε si x < δ, g(x) g() < ε si x < δ, y estos δ existen por ser f y g continus en ]. g continu en y f continu en g() f g continu en. n g( n) g() ( f g)( n) = f (g( n )) f (g()) = ( f g)() g cont. en f cont. en g() f continu en y estrictmente monóton en un entorno de f continu en f (). Se f estrictmente creciente (si fuer decreciente, serí nálogo). ε buscmos δ tl que y f () <δ f (y) <ε [o se, f () δ <y< f ()+δ ε < f (y) < + ε ]. El dibujo sugiere δ = mín{ f (+ε) f (), f () f ( ε)}>0. Entonces: f () δ < y < f () + δ f ( ε) < y < f (+ε) [porque f ()+δ f (+ε), f ( ε) f () δ ] ε < f (y)<+ε [porque f creciente]. f(+!) f() f(!) "! +! 4

17 Hemos definido l continuidd en un punto. En intervlos: f es continu en (,b) si es continu en todo x de (,b). f es continu en [,b] si es continu en (,b), lím f (x)= f () y lím f (x)= f (b). x + [No podemos decir simplemente continu en todo x [,b], pues y b no son puntos interiores]. Comprobemos que tods ls funciones elementles (de.) son continus en su dominio Los polinomios P(x) = 0 x n + x n + + n son continuos en todo R (y que son sums y productos de funciones continus en todo de R). Ls funciones rcionles (cocientes de polinomios P(x) Q(x) ) son continus con Q() 0. Ls ríces n x son continus en su dominio: R si n impr, R+ si n pr (en x=0 hblmos de lím x 0 + n x ), por ser inverss de funciones estrictmente crecientes y continus. Ls funciones trigonométrics y sus inverss tmbién son continus en su dominio: Comencemos probndo que f (x) = senx es continu R : ε >0, si x <δ =ε se cumple: senx sen = sen x x b x+ x cos sen x < ε. cosx = sen(x+ π ) es continu por ser composición de funciones continus. tnx = senx cosx es continu si cosx 0, es decir, si x π + kπ, k Z. rcsenx, rccosx en [,] y rctnx x son inverss de monótons continus. Pr probr l continuidd de exponenciles y logritmos, con l definición dd, hy que esperr l estudio de ls integrles. El teorem fundmentl de cálculo integrl que probremos en 5. segurrá que logx x dt t es continu x > 0. De hí deducimos l continuidd de ls demás: e x es continu en R por ser invers de continu. Y por ser composición de continus: x b e blogx continu en (0, ) [si b>0 en [0, ), tomndo 0 como su vlor en 0 ], b x e xlogb (b>0) continu x, log b x logx logb (b>0, b ) continu x > 0. Ls funciones hiperbólics, sums y cocientes con denomindores no nulos de funciones continus, son tmbién continus en todo su dominio R. Combinndo todo lo nterior podemos firmr que muchísims funciones son continus en csi todos los puntos sin necesidd de plicr l definición (el trbjo con los ε lo hemos hecho en los teorems, sobre todo en los de sucesiones, y sólo pr funciones muy rrs hbrá que cudir ellos). f 7 (x) = ex/(x ) + rctn[log(x + )] cos 3 x + 4 x shx [3 + rcsen x 3 ] es continu en (0,) (,3] : el numerdor lo es en [0, ) {}, pues rctn[log(x + )] cos 3 x es continu en R (sum de composiciones de continus), l ríz en R + y l exponencil si x ; el denomindor es continuo en [ 3,3] (por el rcsen 3 x ) y sólo se nul en 0 ( rcsen como mucho vle π y sólo sh0 = 0 ). 5

18 Teniendo tnts funciones continus el cálculo de límites será csi siempre un cálculo tonto, pues bstrá sustituir x por en l expresión de l función: f 7 (x) f 7 () si x, por ejemplo, por ser f 7 continu en. Tmbién son sencillos lgunos límites con infinitos, utilizndo propieddes nálogs ls de sucesiones (demostrbles bsándose en quells, y utilizndo los teorems que relcionn límites de funciones y de sucesiones (o directmente)) que podemos esquemtizr: c ± = ±, cot ± = ±, + =, =, 0 cot = 0, c ± =0, cot ± =0, p (± )=± (p>0), ± p p =± (p>0), ±0 =± (p>0), log(+0) =, log( ) =, e =, e = 0, rctn(± ) = ± π,... y que, como siempre, hy que leer en sentido de límites; por ejemplo, c ± = ± signific que si f tiende c y g + ó (cundo x, +,, + ó ), l sum f +g, respectivmente, tiende + ó. L notción +0 ( 0 ) signific quí que f 0 siendo f >0 ( f <0 ). [ Con esto, se tiene que lím f 7(x) = ( c+ x + p ) y lím f 7(x) = rctn[log] cos3 + ]. x sh[3 + rcsen 3 ] Como en sucesiones, pesr de tnto teorem quedn límites difíciles: los indetermindos, l myorí de los cules (los que no dmitn trucos lgebricos como los de sucesiones) sólo sbremos hllr un vez que estudiemos ls derivds (por ejemplo, el lím f x si x 0 +, que es de l form 0 0 ). Recordmos que ls indeterminciones son:, 0, 0 0,,, 0 0, 0 El siguiente teorem permite clculr un límite indetermindo que pronto necesitremos: Si f (x) g(x) h(x) y lím f = límh = L límg = L ( x, +,, + ó, todos vlen ) L ε < f (x) g(x) h(x) < L+ε g(x) L < ε, y los < de los extremos se dn pues f,h L. Clculemos el siguiente límite indetermindo (que será inmedito con L Hôpitl o Tylor), usndo sólo propieddes trigonométrics (bsds en l no muy riguros definición de senx, que y hemos dicho que ceptmos) y el teorem nterior: senx. Si x>0, por el significdo geométrico de senx y tnx : x x 0 senx<x< senx cosx < x senx < senx cosx cosx< x <. Como cosx, el teorem nterior prueb el límite pr x>0. x 0 + Si x<0, por ser senx x = sen( x) x, reducimos el límite l nterior. 0 x senx [ senx Más fáciles de clculr serín (no son indetermindos): lím = x π x π, lím senx = cot x ± x ± = 0 ]. Hllndo límites será, en ocsiones, conveniente relizr cmbios de vrible como: [t = g(x)] g continu en, g(x) g() si x y lím f (t)=l lím f (g(x))=l t g() x [csi igul que l demostrción de l continuidd de f g ] tnx 6

19 Con este teorem podemos deducir del límite indetermindo hlldo lgún otro del tipo 0 0 : sen(x+5) lím = [ t = g(x) = x+5 es continu, no se nul si x 5 y sent x 5 x + 5 t ]. Otro que exige lgo de ingenio (pero que será muy fácil con los desrrollos de Tylor): cosx lím x 0 x = lím x 0 + cosx lím cos x x 0 x = ( senx ) lím = x 0 x. Complicándolo un poco: tn(x ) sen(x ) lím = lím x 0 x x 0 x x lím x 0 cos(x ) = 0 = 0. Como ningún teorem nos dice nd sobre el siguiente, tendremos que cudir l definición: tn(x ) lím no existe porque l función se v ± infinits veces ( si x = [ π ) x x +kπ]/ y por tnto su gráfic se sle de l bnd limitd por y = L+ε e y = L ε se cuál se el L. De cd límite de funciones se deduce un infinidd de límites de sucesiones grcis los teorems que los relcionn (pero por hor solo sbemos clculr muy pocos indetermindos). Por ejemplo: lím cos n n n+ =, porque n n+ 0, cosx es continu en x = 0 y cos0 =. Por rzones nálogs: {sen n+ nπ } sen π n+5 =, {log n } log = 0,.... lím n sen =, porque 0 y g(x) = sen(x) n n n x cundo x 0. Admitimos hor estos límites de sucesiones que necesitremos en series (no son clculbles ún): logn n 0, > 0 ; n n ; {( + c n ) /c n } e, si {c n } 0 [El primero ( logx /x ), será consecuenci de que: lím x x = lím = 0. De él sle el segundo: L Hôp x x x /x = e logx/x e 0 =. El último ( ) se deducirá de que (+x) /x e. En vez de con integrles, se puede definir el número e como el límite de l sucesión creciente y cotd ( + n )n x 0. Hllemos los límites de lgun sucesión más utilizndo los nteriores y/o resultdos y vistos: 3 n + logn + logn 3 n [pues hemos dmitido que logn es 3 = n + logn 3 + logn mucho más pequeño que n, > 0 ] n n /n = 0" ; n /(n ) = (n /n ) n n = ; (7n 3 ) /n = (n /n ) 3 ( 7 n 3 ) /n = [el primero no er indetermindo; en los otros usmos ( b ) c = bc y el límite dmitido n /n ] [ ] 6n + n = 3n + = 0 ; [ 3n ] n [ ] n + ( ) (3n 3n = +) 3n + e /3 + 3n + [l primer otr vez er sencill, pero como es indetermindo, en l segund buscmos el número e identificndo l {c n } 0 y poniendo lo que sobr fuer del corchete] 7

20 .4. Teorems sobre funciones continus en intervlos f continu en c y f (c) > 0 [< 0] δ > 0 tl que f (x) > 0 [< 0] si x (c δ,c + δ) Ddo ε = f (c), δ > 0/ si x c < δ f (x) f (c) < f (c) f (x) f (c) > f (c) f (x) > 0 [si f (c) < 0 tommos ε = f (c)] (de Bolzno pr funciones continus): f continu en [,b], f ()<0< f (b) existe lgún c (,b) tl que f (c) = 0 [L gráfic cort el eje x en lgún punto (el teorem no dice dónde), quizás en más de uno]. Se A = {x [,b] : f (x) 0} = φ ( A) y cotdo superiormente (por b) existe c = sup A. Probemos que f (c) = 0 : Si f (c) < 0 δ/ f (x) < 0 en (c δ,c + δ) y c no serí cot de A. Si f (c) > 0 δ/ f (x) > 0 en (c δ,c + δ) y hbrí cots menores. En ninguno de los dos csos c podrí ser el supremo de A. no es cot c de A cot más pequeñ f continu en [, b] f tom todos los vlores comprendidos entre f () y f (b) b b [Normlmente tomrá más y si f no es continu, no tiene que tomrlos, como muestrn los dibujos de l izquierd]. Si f ()< f (b), se p con f () < p< f (b). L función g = f p es continu en [,b] con g() < 0 < g(b). El teorem de Bolzno segur que existe c (,b) con g(c) = 0, es decir, con f (c) = p. Si f () > p > f (b), como f es continu y f () < p < f (b) c (,b) tl que f (c) = p. Hemos hbldo de conjuntos cotdos y definido máximo de un conjunto, pero no de un función. De modo nturl, se dice que f está cotd en A R si lo está el conjunto. f (A) = { f (x) : x A} y se define vlor máximo de f en A como el máximo del conjunto f (A) (en cso de que exist). Análogmente se define vlor mínimo de f en A L función del dibujo (que sí es cotd) no tiene vlor máximo en [,b], unque sí vlor mínimo (se lcnz en b y su vlor es 0 ); está clro que no es continu en [,b]. f continu en [, b] f cotd en [, b] Si f no estuviese cotd superiormente podrímos escoger un x n I [,b] con f (x n )>n pr cd n N. Como {x n } cotd, existe {x n j } x o I (por ser cerrdo). Como f es continu en x o tendrímos f (x n j ) f (x o ), lo que es imposible pues { f (x n j )} no está cotd (> n j ) y no puede converger. [Análogmente se verí que está cotd inferiormente]. c c b b 0 ( ) El teorem no es cierto pr (, b) ó [, ) : f (x) = /x es continu pero no cotd en (0,) y f (x) = x le ps lo mismo en [0, ). x 8

21 f continu en [,b] existen los vlores máximo y mínimo de f en [,b] O se, existen y,z [,b] tles que f (z) f (x) f (y) pr todo x [,b]. [estos y,z no tienen porque ser únicos, desde luego] b Se M=sup f (I). Existe {y n } I tl que M n < f (y n) M n. Por tnto, f (y n ) M. Podrí {y n } no ser convergente pero, siendo cotd, existirá seguro {y n j } subsucesión convergente hci un y I. Como f continu en I, f (y) = lím f (y n j ) = M y, por tnto, el supremo pertenece f (I). Análogmente, o considerndo f, se ve que el ínfimo tmbién se lcnz. [En l demostrción se ve que el teorem es válido en conjuntos cerrdos y cotdos (se les llm compctos y son importntes en el cálculo más vnzdo)]. Tmpoco este teorem es cierto sustituyendo [,b] por (,b) o por [, ): f (x) = /x es continu en (0,) pero no lcnz su máximo ni su mínimo en (0,). f (x) = x no tiene máximo en [0, ) (su vlor mínimo existe y vle 0 ). Avnzmos hor hci l definición de función uniformemente continu en un intervlo I: f er continu en I si lo er en cd x de I (límites lterles en los posibles extremos de I ), es decir, si x I y ε existe un δ(ε,x) tl que y I si y x < δ entonces f (y) f (x) < ε. Consideremos f (x) = x. En (0,) sbemos que es continu: x y ε existe un δ tl que si y x < δ y x < ε Pero ddo un ε se ve que el δ que debemos tomr es más pequeño según elijmos un x más pequeño. Intuitivmente está clro que no podemos encontrr un δ que vlg pr todos los x de (0,): por pequeño que se δ, si x es muy pequeño, l función tomrá vlores muy diferentes en (x δ,x + δ). Pero pr l mism f en [, ) se ve que ddo un ε existe un δ válido pr todos los x del intervlo (el que vlg pr x= vldrá pr tmbién pr los x> ). M m f es uniformemente continu en I si ε existe un δ(ε) tl que x,y I si y x < δ entonces f (y) f (x) < ε Acbemos de formlizr que f (x) = x no es uniformemente continu en (0,) : Se ε =. Por pequeño que se δ encontrmos x,y (0,) con y x <δ pero y x >ε. Por ejemplo, x= δ 4, y=δ stisfcen y x = 3δ 4 < δ pero y x = 3 δ > (pues δ < ). Formlizmos hor que f (x) = x sí es uniformemente continu en [, ) : ε δ = ε tl que x,y [, ) con y x < δ y x = y x xy y x < ε Evidentemente: f uniformemente continu en I f continu en I. L implicción es flss en generl; unque sí es válid cundo I = [,b] : f continu en [, b] f uniformemente continu en [, b] Por reducción l bsurdo. Supongmos l vez f continu y no uniformemente continu en [, b]. Existe, pues, ε > 0 tl que δ > 0 podemos encontrr x,y con y x < δ pero f (y) f (x) ε. En prticulr, pr cd δ = n tenemos {x n},{y n } [,b] con y n x n < n y f (y n) f (x n ) ε n. {x n } cotd {x n j } convergente un c ( [,b] por ser cerrdo) f (x n j ) f (c) ( f continu). Como y n j x n j < /n j 0 tmbién f (y n j ) f (c) y por tnto f (y n j ) f (x n j ) 0, lo que está en clr contrdicción con el hecho de que f (y n j ) f (x n j ) ε n j. [En l demostrción se ve que tmbién este teorem será válido en culquier conjunto compcto]. 9

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