LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

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1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista de los resultados anteriores, te parece razonable afirmar que, cuando se aproima a 5, el valor de f () se aproima a 7? Lo epresamos así: f () = 7 Si f () =, entonces: f (,999) = 6,9995; f (,9999) = 6,99995; f (,99999) = 6, f () = Calcula, análogamente, f () = 5,5; f (,9) = 5,95; f (,99) = 5,995; f (,999) = 5,9995; f (,9999) = 5,99995 f () = Página 75. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: + a) y = b) y = c) y = si? d) y = si = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

2 . Eplica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas: a) y = 5 b) y = 5, <, 0 Ì < c) y = d) y = +, Ó, Ì < 5 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en 5]. Las funciones dadas mediante una epresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el : las dos ramas toman el mismo valor para = : = 9 = 5 + = 5 Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (, 5). La función es también continua en =. d) También las dos ramas empalman en el punto (, ). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5). Página 78. Calcula el valor de los siguientes ites: a) b) (cos ) a) b) 0. Calcula estos ites: a) + 5 b) log , a) b) Página 79. Calcula k para que la función y = f () sea continua en Á: f () = + k,? 7, = 8 f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 8 k = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

3 UNIDAD Página 8. Calcula los ites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del ite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados: a) f () = en, 0 y b) f () = en, 0 y ( ) c) f () = + en y d) f () = en 0 y + + a) f () = ( + ) ( ) f () f () = No eiste 8 f (). 8 0 f () = f () f () = No eiste 8 f (). b) f () = ( ) ( ) 8 f () 8 0 f () = 8 f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = f () = f () No eiste 8 f (). Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

4 d) f () = ( + ) 8 0 f () = f () f () = No eiste 8 f (). Página 8. Di el ite cuando 8 de las siguientes funciones dadas por sus gráficas: y = f () y = f () y = f () y = f () f () f () = f () = f () no eiste. Página 8. Di el valor del ite cuando de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = 5 b) d) 0 e) 0 f Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

5 UNIDAD. Como ( 00 ) = halla un valor de para el cual sea 00 > Por ejemplo, para = 000, f () = Como = 0, halla un valor de para el cual sea: 0 0 Por ejemplo, para = 000, f () = 0,0000 ) 0. < 0,000 Página 8. Calcula f () y representa sus ramas: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 a) 0 b) 0 c) 0 d) + 5. Calcula f () y representa sus ramas: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 + b) 0 c) d ) Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5

6 Página 85. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = a) 8 f () f () = 8 + = es asíntota vertical. b) f () = 8 f () 8 + = es asíntota vertical.. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = a) f () = f () f () f () = = 0 es asíntota vertical. = es asíntota vertical. b) f () = f () = = es asíntota vertical. 6 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

7 UNIDAD Página 87. Halla las ramas infinitas,, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota: a) y = b) y = + + a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) y = + 8 y = es asíntota oblicua. +. Halla las ramas infinitas,, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus asíntotas, si las hay: a) y = + b) y = + 7 a) f () = 8 y = es asíntota horizontal. b) grado de P grado de Q Ó f () = 8 rama parabólica hacia arriba. Página 88. Halla f () y representa la rama correspondiente: f () = + 7 f () = 7 = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7

8 . Halla f () y traza las ramas correspondientes: a) f () = ( + )/( ) b) f () = /( + ) a) f () = = = 0 b) f () = = = Página 89. Halla las ramas infinitas, de estas funciones, y sitúa la curva respecto a las asíntotas: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = 8 y = es asíntota horizontal. d) y = + 8 y = es asíntota oblicua. + 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

9 UNIDAD. Halla las ramas infinitas, cuando y si tienen asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = + + c) y = + d) y = + a) grado P grado Q Ó f () = 8 rama parabólica. b) f () = 8 y = es asíntota horizontal. c) y = y = + es asíntota oblicua. + d) f () = ( ) = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 9

10 Página 95 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Discontinuidades y continuidad a) Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad. a) b) c) d) e) f) a) Solo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. 8 f ) No está definida en =. Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones: a) y = + 6 b) y = ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 + a) Continua. b) c) d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 0 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

11 UNIDAD Comprueba si las siguientes funciones son continuas en = 0 y en = : a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = e) y = 5 f) y = a) Á b) [, c) Á {0} 5 d) 0] f) Á ( ] 5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la epresión analítica dada y di si son continuas o discontinuas en =. a) f () = si si > + si < b) f () = si > c) f () = si si = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua. Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

12 6 Comprueba si la función f () = si < 0 es continua en = 0. si Ó 0 Recuerda que para que f sea continua en = 0, debe verificarse que: f () = f (0) 8 0 f () = f () = f () = = f (0) Es continua en = 0. 7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican: ( )/ si < a) f () = en = + si > si < b) f () = en = (/) si Ó si Ì c) f () = en = + si > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en = c) f () =? f () =. No es continua en = Página 96 Visión gráfica del ite 8 f () f () Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones: f () = y f () = ( + ) + Cuál es el ite de cada una de estas funciones cuando 8? Observa la función cuando 8 por la izquierda y por la derecha. Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

13 UNIDAD f () = f () = 8 f () = f () = f () No eiste 8 f (). 9 Sobre la gráfica de la función f (), halla: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () g) f () h) f () a) c) d) 0 e) 0 f ) g) h) 0 Límite en un punto 0 Calcula los siguientes ites: a) ( 5 ) b) ( ) c) d) 8 8 0,5 e) 0 + f) log 8 8 g) cos h) e a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) h) e Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

14 Dada la función f () = + si < 0, halla: + si Ó 0 a) f () b) f () c) f () Para que eista ite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los ites laterales. a) 5 b) c) f () = f () = f () = Calcula los siguientes ites: a) b) c) h h d) h 7h h 8 0 h h 8 0 h Saca factor común y simplifica cada fracción. ( + ) a) = b) = 8 0 ( ) 8 0 c) h (h ) h (h 7) 7 = 0 d) = h 8 0 h h 8 0 h Resuelve los siguientes ites: a) b) 8 8 c) + d) 8 e) + f) ( + ) ( ) a) = 8 ( ) b) + = ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) e) = f ) ( + )( ) = 8 ( + ) ( + ) 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

15 UNIDAD Calcula el ite de la función f () = en =, = 0 y =. + 8 f () = f () = f () = 8 + f () Límite cuando o 5 Calcula los siguientes ites y representa la información que obtengas: a) (7 + ) b) c) + 7 d) (7 ) ( 0 5 Dale a valores grandes y saca conclusiones. 6 Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior cuando y representa la información que obtengas. Resolución de los ejercicios 5 y 6: ) a) (7 + ) (7 + ) = b) 0 = 8 5 c) ( + 7) 8 d) (7 ) = 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5

16 7 Comprueba, dando valores grandes a, que las siguientes funciones tienden a 0 cuando. a) f () = b) f () = 0 7 c) f () = d) f () = 00 0 a) f () = 0 b) f () = 0 c) f () = 0 d) f () = 0 8 Calcula el ite cuando y cuando de cada una de las siguientes funciones. Representa los resultados que obtengas. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () = Cuando : a) f () = b) f () = c) f () d) f () Cuando a) f () b) f () = c) f () = d) f () 6 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

17 UNIDAD Página 97 9 Calcula los siguientes ites y representa las ramas que obtengas: a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) + g) h) + 0 Calcula el ite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) = 0; = 0 ( ) ( ) b) = c) = 0; = 0 d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + + Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7

18 f) = g) = ; = + + h) = ; = 5 5 Resuelve los siguientes ites: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) a) c) 0 d) Calcula el ite cuando y cuando de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = + 5 a) f () = 0; f () = 0 b) f () f () = c) f () = f () d) f () = ; f () = 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

19 UNIDAD Asíntotas Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntotas: b) Asíntotas: = ; y = = ; y = c) Asíntotas: d) Asíntotas: = ; y = = ; y = 0 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntota: y = b) Asíntota: y = 0 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 9

20 c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntota: = 5 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: + a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = e) f () = + 9 f) f () = ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = b) Asíntota vertical: = 5 Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. 0 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

21 UNIDAD e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f ) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 6 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: a) f () = b) f () = + + c) f () = d) f () = + e) f () = f) f () = + a) = Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = + Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

22 e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = PARA RESOLVER 7 Calcula los ites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = f () b) f () = 8 0 ( ) f () f () = f () f () = c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = = ; f () = f () t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a) y = ( ) 5 b) y = c) y = + 7 d) y = e) y = f) y = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

23 UNIDAD 9/ a) y = + + Asíntotas: = ; y = b) Asíntotas: y = ; = c) Asíntotas: y = 0; = ± 6 6 d) Asíntotas: y = 6 6 e) y = + ( + ) ( ) Asíntotas: y = ; =, = 6 6 f ) Asíntotas: = ; y = 6 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

24 9 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva: a) y = ( + ) b) y = c) y = ( + ) d) y = e) y = f) y = a) f () = f () = Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = 6 6 f) f () = f () = Asíntota vertical: = 5 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

25 UNIDAD Página 98 0 Prueba que la función f () = solo tiene una asíntota vertical y otra horizontal. Al hallar f () verás que no 8 f () = ; f () f () = f () = Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Calcula los siguientes ites y representa los resultados que obtengas: a) 6 b) a) 6 ( ) ( + ) = = 8 8 ( ) 5 b) + ( ) ( ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: = 8 8 No eiste Calcula los siguientes ites y representa los resultados que obtengas: a) b) c) d) Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5

26 a) ( ) = = ( + ) 8 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = 8 0 ( + ) ( + ) b) + = ( + ) = ( + ) Calculamos los ites laterales: 8 + = c) ( ) ( = ) = 8 8 d) 8 ( ) ( + ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = ( + ) Halla las asíntotas de estas funciones: a) y = b) y = + c) y = + 5 d) y = ( ) e) y = + f) y = a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) = 5, y = f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

27 UNIDAD Representa las siguientes funciones y eplica si son discontinuas en alguno de sus puntos: si < a) f () = 5 si Ó si Ì 0 b) f () = + si > 0 c) f () = si < si > a) Discontinua en =. 5 6 b) Función continua c) Discontinua en =. 5 5 a) Calcula el ite de las funciones del ejercicio anterior en = y = 5. b) Halla, en cada una de ellas, el ite cuando y cuando a) f () = 7; f () = 0; f () f () b) f () = ; f () = 6; f () = f () = c) 8 f () = 7; 8 5 f () = 5; f () = f () = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7

28 6 Calcula los ites cuando y cuando de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = 0,75 c) f () = + e d) f () = /e a) f () = f () = 0 b) f () = 0; f () = c) f () = f () = d) f () = 0; f () = 7 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones eponenciales: a) y = + b) y =,5 c) y = + e d) y = e a) f () = f () = 0 Asíntota horizontal cuando y = 0 b) f () = f () = Asíntota horizontal cuando y = c) f () = f () = Asíntota horizontal cuando y = d) f () = 0; f () = Asíntota horizontal cuando y = 0 8 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f () sea continua en todo Á. a) f () = si Ì 6 (/) si < b) f () = + k si > + k si Ó ( c) f () = + )/ si? 0 k si = 0 a) 8 f () = 5 = f () f () = + k = + k 8 k = 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

29 UNIDAD b) f () = f () = + k = f () 5 = + k 8 k = / ( + ) c) f () = = 8 k = Estudia la continuidad de estas funciones: si < a) f () = / si Ó si Ó b) f () = si < < si Ó c) f () = si Ì 0 + si > 0 a) f () = f () = f () = 8 Continua en = 8 8 +? 8 Continua Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 8 Continua en = f () = f () = f () = 0 8 Continua en = 8 8 +? y? 8 Continua Es continua en Á. c) f () =? f () = 8 Discontinua en = Si? 0, es continua. 0 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en = : + si Ì ( a) f () = b) f () = )/( ) si? a si > a si = a) 8 f () = = f () f () = a 8 + ( ) ( + ) b) f () = = 8 8 ( ) f () = a = a 8 a = a = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 9

30 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin eperiencia depende de los días de entrenamiento según la función M(t) = (t en días). 0t t + a) Cuántos montajes realiza el primer día? el décimo? b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más largo? a) M () = 6 montajes el primer día. M (0) =, 8 montajes el décimo día. b) t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t 8 Página 99 CUESTIONES TEÓRICAS Se puede calcular el ite de una función en un punto en el que la función no esté definida? Puede ser la función continua en ese punto? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? más de dos asíntotas horizontales? Pon ejemplos. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0, = y = como asíntotas verticales. ( )( ) No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia y otra por ejemplo: 0 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

31 UNIDAD El denominador de una función f () se anula en = a. Podemos asegurar que tiene una asíntota vertical en = a? Pon ejemplos. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = = Si f () = 5, podemos afirmar que f es continua en =? 8 No. Para que fuera continua debería ser, además, f () = 5. 6 Representa una función que verifique estas condiciones. Es discontinua en algún punto? f () = f () = 0 f () = f () Es discontinua en =. PARA PROFUNDIZAR 7 Calcula los siguientes ites: + a) b) c) + d) + + a) = = = = + b) = = = 0 + Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

32 c) + = = = d) = = + = 8 Halla un valor de para el cual f () = 5 sea menor que 0,00. Por ejemplo, para = 000, f () = 0, Halla los siguientes ites: a) ( ) b) ( ) c) d) (0,75 ) e b) c) 0 d) 50 Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su ite cuando : a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = b) Asíntota vertical: = f () = Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

33 UNIDAD Página 99 AUTOEVALUACIÓN 5, Ì. Calcula el ite de f () = en los puntos de abscisas 0, y 5. 7, > Di si la función es continua en esos puntos. 5, Ì f () = 7, > f () = 0 5 = f () = = f () = 5 = 8 f () f () = 7 = No tiene ite en =. 8 + Es continua en = 0 y en = 5. No es continua en =, porque no tiene ite en ese punto.. Halla los siguientes ites: a) b) c) ( ) 8 a) = = b) = = c) = (Si 8 + o si 8, los valores de la función son positivos). 8 ( ). a) b) Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes ites f (); f (); f (); f () 8 8 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

34 a) f () No tiene ite en =. 8 f () 8 f () = f () = 0 f () = b) f () = f () f () = f () = 8 f () = f () f () = No tiene ite en = Halla las asíntotas de la función f () = y estudia la posición de la curva respecto a ellas. Simplificamos: = 8 y = Asíntota vertical: = Posición 8 = 8 + Asíntota horizontal: = ; y = 8 Posición, y > y < Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

35 UNIDAD 5. Justifica qué valor debe tomar a para que la función sea continua en Á: a si Ì f () = a si > f () = a si Ì a si > La función es continua para valores de menores que y mayores que, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en =, debe cumplirse: f () = f () f () = a 8 f () f () = a f () = a Para que eista el ite, debe ser: a = a 8 a = 6 8 a = 8 6. Halla el ite de f () = cuando 8 ; 8 ; ; y representa la información que obtengas. 0 = ( ) Simplificamos: = ( )( ) 8 = = = 9 = = = f () f () = 9 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5

36 7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones: f () f () = f () = 0 f () = Estudia las ramas infinitas de f () = y sitúa la curva respecto a su asíntota. + No tiene asíntotas verticales porque +? 0 para cualquier valor de. No tiene asíntotas horizontales porque = y + + Tiene una asíntota oblicua, porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador y = = Asíntota oblicua: y = Posición curva < asíntota curva > asíntota 6 Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

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