TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.

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1 Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de dicho espacio estará defiido por sus coordeadas: a, a,..., a. ( NOTA: Cuado =, las coordeadas se deotará, idistitamete, por (, o por (. Cuado =3, las coordeadas se deotará, idistitamete, por (,,z o por,,. ( 3 Defiició. Deomiaremos distacia (euclídea etre dos putos cualesquiera a= a, a,..., a b= b, b,..., b al valor: ( Defiició. Siedo v u vector de ( (euclídea del vector v al valor: Propiedades. º d( b = a b º d( b = d( b = 0 a b, b R d a b d b a a b ( a k b k k= R de compoetes ( v v,..., v v = (, = (,,, (simetría d a b d a c d c b R a b v k k = (, (, + (,,, (desigualdad triagular 3º v = 0 v 0 λ. v = λ.. v, λ R, v R v u v u, v u R (desigualdad triagular + +, R, se deomia orma Defiicioes. Siedo a= ( a,... a u puto de R dado u valor ε real positivo, se deomia bola abierta de cetro a radio ε al cojuto de todos los putos de R tales que d( < ε : B( ε = { R / d( < ε} Siedo a= ( a,... a u puto de R dado u valor ε real positivo, se deomia bola cerrada de cetro a radio ε al cojuto de todos los putos de R tales que d( ε :

2 Fucioes de varias variables (I B( ε = { R / d( ε} Siedo a= ( a,... a u puto de R dado u valor ε real positivo, se deomia bola reducida de cetro a radio ε al cojuto de todos los putos de R, distitos del propio puto tales que d( < ε : B * ( ε = { R / d( < ε} Defiicioes. Siedo C u subcojuto de R, se dice que a es u puto iterior a C si eiste algú valor ε >0 para el que B( ε C. Al cojuto de todos los putos iteriores de C se le deomia iterior de C. U cojuto que coicida co su iterior se deomia cojuto abierto. Siedo C u subcojuto de R, se dice que a es u puto eterior a C si eiste algú valor ε >0 para el que B ( ε C = { φ}. Al cojuto de todos los putos eteriores de C se le deomia eterior de C. Siedo C u subcojuto de R, se dice que a es u puto frotera de C si para todos los valores ε >0 se verifica B( ε C B ( ε C { φ} Al cojuto de todos los putos frotera de C se le deomia frotera de C. U cojuto que iclua todos sus putos frotera se deomia cojuto cerrado. Defiició. U cojuto C de que lo cotega. R se deomia acotado si eiste ua bola abierta de radio fiito Defiició. U cojuto C de R se deomia coeo si todo par de putos de C puede uirse mediate ua curva cotiua coteida e su totalidad e el cojuto C. Defiició. Se deomia etoro de u puto a a todo cojuto abierto coeo que iclua al puto a. Defiició. Ua sucesió de putos {a m } de R se dice que coverge hacia el puto a cuado se verifica: ε > 0, N = N( ε / > N : d( a, a < ε. Fucioes de varias variables. Defiició. Siedo C u cojuto de R, se deomia fució defiida e C co valores e R a toda aplicació f : C R que asocia a cada puto de C u valor real. El cojuto C sobre el que se defie la fució se deomia campo de defiició (o domiio de la fució. 3. Límite de ua fució de varias variables. Defiició.

3 Fucioes de varias variables (I 3 Sea f( ua fució defiida sobre el cojuto C R sea a u puto de R. { f ( = A} { ε > 0, δ = δ ( ε / d(, a < δ, C, a f ( A < ε} NOTA: Defiicioes equivaletes: ª { f ( = A} { ε > 0, δ = δ ( ε / B * ( δ : f ( A < ε} ª Se dice que el úmero A es el límite de la fució f( e el puto cuado para toda sucesió de putos {a m } de C covergete hacia el puto a se verifica que el límite de la sucesió de úmeros reales {f(a m } es el úmero A. Propiedad. Si eiste el límite de la fució f( e el puto dicho límite es úico. Propiedad. Sea f( g( dos fucioes tales que: f ( = F g( = G Se verifica etoces las igualdades siguietes: a ( f ( + g( = f ( + g( = F + G b ( f ( g( = f ( g( = F G c ( f (. g( = f (. g( = F. G d Si G 0, ( f ( / g( = f ( / g( = F / G 3.. Caso de fucioes de dos variables. Límite doble de f(, e el puto a=(a,a : f (, Límites reiterados: f (, : f (, Límite direccioal segú la curva = ϕ( (co a = ϕ a ( f (, ϕ( Límites radiales: caso particular de los límites direccioales e el que: = k( a + a Propiedad 3. Si los límites direccioales tiee diferetes valores segú la direcció, etoces el límite doble o eiste. Criterio para aalizar la eistecia de límite doble segú los reiterados. a Si o eiste iguo de los reiterados: el límite doble puede eistir o o eistir o se dispoe de iformació sobre él. (

4 Fucioes de varias variables (I 4 b Si eiste sólo uo de los reiterados su valor es L: el límite doble puede eistir o o eistir pero e el caso de que eista valdrá L. c Si eiste los dos reiterados: c- si ambos tiee el mismo valor L: el límite doble puede eistir o o eistir pero si eiste tomará el valor L; c- si los reiterados tiee distito valor: el límite doble o eiste. Propiedad 4 (Criterio de la fució maorate. Ua codició ecesaria suficiete para que la fució f(, admita L como límite e el orige es que la fució f ( ρ.cos( θ, ρ.se( θ L admita ua fució maorate F (ρ e todo el campo de variació de θ que tieda a 0 cuado ρ tiede a 0 por la derecha. = ρ.cos( θ ( Cambio de las variables (, a las variables polares ( ρ, θ :. = ρ.se( θ NOTA: E el caso de que el límite doble o se busque e el orige sio e el puto (a,a, el criterio de la maorate puede ser aplicado trasladado previamete el orige de coordeadas al puto (a,a, es decir mediate el cambio: X = a, Y = a 3.. Caso de fucioes de variables. Límite múltiple de f( e el puto a = a, a,..., a : Límites reiterados: dode { i, i,..., i } eteros {,,..., }. i i a Μ ( f (,..., ( (...( ( f (,..., i i i i so las diferetes permutacioes que puede realizarse de los Criterio para aalizar la eistecia de límite múltiple segú los reiterados. a Si o eiste iguo de los reiterados: el límite múltiple puede eistir o o eistir o se dispoe de iformació sobre él. b Si eiste sólo alguos de los reiterados: b- si todos los que eiste toma el mismo valor L: el límite múltiple puede eistir o o eistir pero e el caso de que eista valdrá L; b- si los que eiste o tiee todos el mismo valor: el límite múltiple o eistirá. c Si eiste todos los límites reiterados: c- si todos tiee el mismo valor L: el límite múltiple puede eistir o o eistir pero si eiste tomará el valor L; c- si los límites reiterados tiee distito valor: el límite múltiple o eiste. 4. Cotiuidad de ua fució de varias variables.

5 Fucioes de varias variables (I 5 Defiició. Sea f( ua fució defiida e u cojuto C de R sea a u puto de C. La fució f( se dice cotiua e a si: º f (a º f ( 3º f ( = f ( a NOTA: Defiició equivalete de cotiuidad: f( es cotiua e el puto a si: ε > 0, δ = δ ( ε / d(, a < δ f ( f ( a < ε NOTA: Otra defiició equivalete de cotiuidad: f( es cotiua e el puto a C si: { a } C / a = a : f ( a f ( a m m m = m m Propiedad 5. Si las fucioes f( g( so cotiuas e el puto tambié so cotiuas e a las fucioes suma (f(+g(, diferecia (f(-g( producto (f(.g(. Además si g ( a 0 tambié es cotiua e a la fució cociete (f(/g(. Defiició. Si ua fució es cotiua e todos los putos del cojuto C se dice que es cotiua e el cojuto C. Los putos de C e los que ua fució o es cotiua se deomia putos de discotiuidad de la fució. Propiedad 6. Si C es u cojuto cerrado acotado de R f( es ua fució cotiua e C, etoces: º f( está acotada e C: k / f ( k, C º f( alcaza valores máimo míimo e C: a, b C / m = f ( a f ( f ( b = M, C Bibliografía. T.M. Apóstol (99, Calculus, ed. Reverté, Vol.. J. de Burgos (995, Cálculo ifiitesimal de varias variables, ed. McGraw-Hill. M. Krasov, A. Kiseliov, G. Makareko, E. Shiki (994, Curso de matemáticas superiores para igeieros, ed. Mir, Vol..

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