1 Límites de funciones

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1 Límites de funciones"

Transcripción

1 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a Con respecto a ésta, los dos puntos estarán ( o se considerarán) próimos cuando d (, a) = a < δ donde δ > 0 es un número pequeño. Por ejemplo, la condición 0 < a < 10 5 significa que 6= a yladistancia entre ellos es menor que 0, O sea, son bastante parecidos o próimos (aunque distintos). Considere ahora la función f definida por f () = 1 1 en su dominio R {1}. Aunque no es posible calcular f (1), sí podemos evaluar f en puntos tan cercanos de 1 como queramos. Piense por ejemplo en f (0, 9),f(0, 99) f (0, 999),....,f (0, ). Qué comportamiento podemos detectar en estos valores? El siguiente cálculo muestra una tabla de valores para f evaluada en puntos próimos de 1. Obs.- Las cuatro siguientes líneas son para construir la tabla que viene a continuación, no es necesario que las considere o trate de entenderlas. Sólo mire la tabla en la próima página: la primera columna es un valor de y enla segunda aparece su imagen f (). δ = n =5 g (i) =1 δ + i δ n h (i, j) =( j) g (i)+(j 1) f (g (i))

2 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Se ve que: en la medida que se aproima a 1, su imagen f() se acerca al valor L =. Este característica de la f, cerca de 1, se formaliza en la siguiente definición. 1.1 Definición de límite Definición 1 Sea f definida en un intervalo abierto I, con la posible ecepción del punto a I yseal un número real. Se dice que f () =L si y sólo si Considerando que Dado ε > 0, eisteunδ > 0 tal que :0< a < δ f () L < ε 0 < a < δ ]a δ,a+ δ[ 6= a f () L < ε f () ]L ε,l+ ε[

3 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 3 la definición puede reescribirse: Dado ε > 0, eisteunδ > 0 tal que : ]a δ,a+ δ[ 6= a f () ]L ε,l+ ε[ loquedebeentenderseenelsentidoque: si es próimo de a, entonces f () es próimo de L. Ejemplo Use la definición de límite para mostrar que: a) [ +3]=5 1 b) =4 c) =3 9 a) Sea ε > 0. Se debe encontrar δ > 0 tal que :0< 1 < δ ( +3) 5 < ε Cómo se encuentra? Ejercicio 1 Use la definición de límite para mostrar que: [c] = c = a = a,paraa>0 Observaciones En la demostración de f () =L, si primero probamos que, cerca del punto a f () L M a para alguna constante positiva M, entonces dado ε > 0 basta elegir δ = ε/m yse tiene :0< a < ε f () L M a < ε M.- La fórmula para el cálculo del límite de la función también se puede obtener para raíces de otros índices: n = n a 3.- Una observación importante con respecto a la definición de límite es:

4 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 4 puede eistir un número L que verifique la proposición (*) que define a f (), en cuyo caso se dice que f () eiste. obienpuedequenoeistaunnúmerol con esas características, en cuyo caso se dice que f () no eiste. Ahora bien, en el primer caso el valor del límite es único, enelsentidoqueno pueden haber dos números L 1 y L distintos que verifiquen la proposición (*). TRABAJO PARA LA CASA.- Para la función f () =sin 1,definida para 6= 0, investigue el límite f (). 0 O sea, estudie µ 1 sin 0 Para esto: 1. Usando una calculadora, construya una tabla de valores para f considerando al menos 50 valores para, con0 <<0.1. Considere la sucesión n = 1.Calcule nπ n y f ( n ) n n 3. Considere la sucesión y n = π 1.Calcule +nπ y n y f (y n ) n n 4. Es posible que 0 sin 1 = L, paraalgúnl R? 5. Use una graficadora para obtener la gráfica de f, para 1 << 1 1. Teoremas sobre límites Teorema 3 (Algebra de límites).- Sean f y g funciones tales que f () =L y g () =M. Se tiene entonces: 1. [f ()+g ()] = L + M.. [c f ()] = c L. 3. [f () g ()] = L M

5 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 5 f () 4. = L,siemprequeM 6= 0 g () M Dem. De (1).- Sea ε > 0. Por hipótesis eisten: δ 1 > 0 tal que :0< a < δ 1 f () L < ε/ δ > 0 tal que :0< a < δ g () M < ε/ Luego, se elige δ =min{δ 1, δ } ysetiene 0 < a < δ f ()+g () L M f () L + g () M < ε/+ε/ =ε lo que muestra la fórmula Aplicaciones del teorema Ejemplo 4 Cálculo de [ ].- Usando la propiedad número 3: = [ ] = = a a = a Por inducción se generaliza a, n N : [n ]=a n yusandolapropiedadnúmero, n N : [] [] [c n ]=c a n, cualquiera sea la constante real c Ejemplo 5 Cálculo de [4 5 + ].- Usando la propiedad número 1 y el ejemplo anterior: = = 4() 5 +() = 136 Ejemplo 6 Cálculo de [ ].- Usando la propiedad número 1 y el ejemplo anterior: = [ 7] = = 1

6 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 6 El desarrollo en el ejemplo anterior se generaliza para el cálculo del límite de una función polinomial: an n + a n 1 n a + a 1 + a 0 = a n n + a n 1 n a + a 1 + a 0 = a n (a) n + a n 1 (a) n a (a) + a 1 (a)+a 0 O sea el límite se obtiene reemplazando la variable por el punto a. Por ejemplo, π 5 =8 π 1 Las propiedades 1 y del teorema se generalizan a [c 1f 1 ()+c f () c n f n ()] = c 1 f 1 ()+c f () c n f n () siempre que todos los límites del lado derecho eistan. h Ejemplo 7 Cálculo de h Ejemplo 8 Cálculo de 1 Ejemplo 9 Cálculo de i i 1 1 h h i Ejemplo 10 Cálculo de 4 4 i Teorema 11 (de sustitución para límites).- Sean f y g funciones tales que: f () =c, g (y) =L, g f está definida en una vecindad ]a r, a + r[ del y c punto a y f () 6= c para todo en esta vecindad. Entonces se tiene que Este resultado puede escribirse como g (f ()) = L g (f ()) = g (y) y c fórmula que se obtiene al sustituir la variable por la variable y = f ()

7 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Aplicaciones del teorema Ejemplo 1 Cálculo de Con y = f () = +1 se tiene ( +1)=9=c y = y =3 4 y 9 8 Ejemplo 13 Cálculo de Con y = 6 se tiene 6 ==c y = y 3, 3 = y. Luego = 4 y3 8 y y 4 (y ) (y +y +4) = y (y ) (y +) (y +y +4) = y (y +) = 3 Ejemplo 14 Cálculo de r,conr número racional. r = p con p, q enteros y q>0. Luego, q r = p/q = q p Mediante la sustitución y = p,tenemosc = p = a p yportanto r = q p = y a p = q a p = a p/q = a r con las consideraciones para a según el índice q sea par o impar. Teorema 15 (del acotamiento) Sean f,g y h funciones definidasenunintervalode la forma ]a r, a + r[ con f () g () h () en dicho intervalo. Si f () = h () =L, entonces g () =L Idea gráfica.- Gráficos de f, g y h de colores negro, rojo y azúl respectivamente. q y

8 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Aplicaciones del teorema Ejemplo 16 Cálculo de sin 1 0 Podemos considerar los acotamientos evidentes: µ 0 1 sin con 0 [0] = 0 = 0.El teorema garantiza que Gráficamente, sin 1 : µ 1 sin = Ejemplo 17 Cálculo de límites trigonométricos.- En la figura siguiente, para 0 <<π/ ::

9 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 9 Q() P()=(cos,sin) P() O R A A=(1,0) OR =cos, RP =sin, dap =. Deaquísesigue: 0 sin AP dap = 0 1 cos = RA AP dap = Estas desigualdades se pueden etender a π/ <<π/ : 0 sin 0 1 cos Ahora, aplicando el teorema del acotamiento: sin =0y sin = cos =0, (1 cos ) =0y cos = Nuevamente analizamos la figura: Area OAP = sin, Area sector OAP = AQ yarea OAQ = OA = 1 sin cos.de donde se sigue que sin 1 sin cos yluego cos sin 1 Estas desigualdades se etienden a π/ <<π/, 6= 0. Porteoremadel acotamiento sin 0 =1

10 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 10 Ejemplo 18 Otros límites trigonométricos.- 1 cos 1 cos, Límites laterales Cuando una función f está definida en un intervalo de la forma ]a, b[ o ]a, + [ no es posible estudiar el concepto f (), donde se requiere que f esté definida en un intervalo de la forma ]a r, a + r[. Siqueremosestudiarelcomportamientode f (de sus imágenes) cerca del punto a, sólo podemos considerar próimos de a ya la derecha de este punto. Esto da origen al concepto de límite lateral por la derecha: + = L dado ε > 0, δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () L < ε La condición anterior (segunda línea) es la de la definición de límite restringida a puntos que estén a la derecha de a. Por esto es evidente la implicación f () =L f () =L + Ejemplo 19 Para la función f () =, 0, sólo es posible considerar en a =0el límite lateral por la derecha. Mostremos que 0 + =0. Dem. Sea ε > 0. Se debe encontrar un δ > 0 tal que :0<<δ 0 < ε Basta elegir δ = ε ysetiene :0<<ε 0 = <ε Queda de ejercicio definir el concepto de límite lateral por la izquierda: f (). La relación entre los conceptos de límite y límites laterales está dado a continuación: Teorema 0 Sea f definida en un intervalo de la forma ]a r, a + r[. Se tiene entonces: f () =L f () = f () =L + Según el teorema, en el caso que los límites laterales sean diferentes o alguno de ellos no eista, el límite f () no eiste.

11 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Aplicaciones del teorema Ejemplo 1 Estudio del límite. 0 Ejemplo Sea f () = ½ 1 1 si <1 +4 si 1. Calcule 1 f () Continuidad Se nos pide calcular el área de una región circular. Para ello medimos, con una huincha, su diámetro y a partir de esto obtenemos su radio. La huincha indica que su radio es r =30cm. Con este resultado calculamos el área de la región obteniendo A = π (30) = cm. Es este resultado correcto? Mejor dicho, es este resultado eacto? La huincha, como cualquier instrumento de medida, no es eacta. Quizás el valor eacto del radio sea 9, 985 cm. y por lo tanto el valor eacto del área es A = π (9.985). Sin embargo nos damos por satisfechos con el resultado inicial, porque su valor es aproimado al valor eacto. Esta idea está formalizada en la siguiente definición. Definición 3 Sea f : I R y a I. Sedicequef es continua en a si y sólo si f () =f (a) Las condiciones de la definición se pueden detallar en: f está definida en a. f () =L eiste L = f (a) Ejemplo 4 Según vimos anteriormente, para una función polinomial f () =a n n a 1 + a 0 se tiene f () = an n a + a 1 + a 0 = a n (a) n a (a) + a 1 a + a 0 = f (a) Esto muestra que f es continua en todo punto a R.

12 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 Ejemplo 5 Lo mismo resulta para la función f () = r,conr eponente racional. Ya que vimos que r = a r Definición 6 Se dice que f : I R es una función continua, en el intervalo abierto I, cuando f es continua en todo punto a de dicho intervalo. Ejemplo 7 f () =sin, R. Ya vimos que f () = sin =0=sin0=f (0). Luego,f es continua en 0 0 a =0. En a 6= 0: f () = = sin (a + h) h 0 = [sin a cosh + cos a sinh] h 0 = sina = f (a) Luego, f es continua en a. Así, f () =sin es una función continua. Observe que en el ejemplo anterior se usa el hecho que f () =L f (a + h) =L h 0 Queda de ejercicio mostrar que f () =cos es una función continua. Los teoremas sobre límites permiten probar las siguientes afirmaciones: Si f y g son funciones continuas en el punto a, entonces (f + g), (c f), (f g) son funciones ³ continuas en el punto a. También en el caso que g (a) 6= 0,la función es continua en el punto a. f g Debe entenderse que f y g están definidas en una vecindad de ]a r, a + r[ de a. Este resultado puede enunciarse de forma global para dos funciones f,g : I R continuas, indicando que las funciones f + g, cf y f g son continuas. Además, f es continua en su dominio: { I : g () 6= 0}. g Por ejemplo, la función tan = sin es continua en todo punto de su dominio. cos Lo mismo es válido para las restantes funciones trigonométricas.

13 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 13 En general, cualquier combinación de funciones continuas resulta una función continua: por ejemplo: es continua en todo punto R. f () =sin cos Si f es continua en el punto a y g es continua en el punto f (a), entoncesla compuesta g f es continua en a. En efecto: g (f ()) = g (y) =g (f (a)) y f(a) Debe entenderse que la compuesta está definida en una vecindad de a. En forma más general, la compuesta de dos funciones continuas es una función continua. Por ejemplo, las funciones q f () = 4 +, >0 g () = sin( +5), R son continuas. Los siguientes ejemplos discuten casos de discontinuidad de una función. Ejemplo 8 Se define la función f ( sin si 6= 0 f () = 1/ si =0 Es f continua en a =0? sin Como f () = =16= f (0),lafunciónf no es continua en a = Sin embargo, dado que f () eiste se puede redefinir f en 0 poniendo 0 f (0) = 1 y la función resultará continua en a =0. Porestosedicequea =0es una discontinuidad evitable de f. Por otra parte, note que la función f es continua en todo punto a 6= 0. Ejemplo 9 Se define la función f 1 f () = si < si 1

14 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 14 Es f continua en a =1? Se calculan los límites laterales 1 f () = ( +4)= µ 1 f () = = yseconcluyeque 1 f () no eiste. Luego, la función no es continua en a =1. En este caso la discontinuidad no es evitable. Como los límites laterales eisten (son distintos) se dice que a =1es una discontinuidad de salto. Es f continua en un punto a 6= 1? Gráfica de f Límites infinitos Sea f () = 1 1 definida para 6= 0.Estudie 0. Como para >0 se tiene: <δ 1 > 1 δ Dado cualquier número real M>0 (tan grande como quiera) puedo elegir un número δ < 1 positivo tal que M :0<<δ f () = 1 > 1 δ >M Esto muestra que las imágenes de f () = 1 pueden ser tan grande como uno quiera, a condición de elegir >0 suficientemente próimo de 0. Por esto se escribe =+

15 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 15 Debe entenderse que el límite de arriba diverge a +. Esto se produce porque en la fracción el denominador se hace cero, por valores positivos, mientras el numerador se mantiene constante. Geométricamente, la recta =0(eje y) es una asíntota vertical del gráfico de y = En general, se tienen las definiciones: 1. + f () =+ Dado M > 0, eiste δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () >M. + f () = Dado M < 0, eiste δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () <M y las análogas para límite lateral por la izquierda (queda de tarea escribir cada una de ellas). En cualquiera de los 4 casos, la recta = a es una asíntota vertical del gráfico de y = f (). Ejemplo 30 La función f () = 1,6= 0,verifica =+, 0 1 =

16 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC El eje y es asíntota vertical. Ejemplo 31 Para a R fijo, se define f () = 1,6= a, ysetiene a 1 + a =+, 1 a = y Con respecto a límites infinitos se tienen las propiedades siguientes: Teorema 3 a) f () =+, + b) f () =L, + g () =+ + g () =+ + [f ()+g ()] = + + [f () g ()] = + + [f ()+g ()] = + + [f () g ()] = +, cuando L>0 + Ejercicio Determine las asíntotas verticales de f () = dominio es D = { R : 3 + 6= 0}. + [f () g ()] =,cuandol<0 +4, donde el 3 +

17 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 17 Como f eselcuocientededospolinomios,ellaescontinuaentodopuntodesu dominio. Esto es, para cada a D :f () =f (a) yluego = a no es asíntota vertical. Sólo pueden ser asíntotas rectas determinadas por puntos que anulan el denominador. Considerando que resulta: f () = = ( +4) ( +)( 1) +4 f () = =, implicaque =0no es asíntota vertical. 0 0 ( +)( 1) +4 1 f () = = y f () = =. Luego, = 1es asíntota vertical f () = 1 = f () = 1 =+. Luego, = es asíntota vertical. 1 + A partir de aquí se puede describir geométricamente el comportamiento asintótico del gráfico de f. 4 y

18 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Límites al infinito Ahora estudiaremos el comportamiento de f : R R en el infinito. Esto es, cómo son las imágenes f () para muy grande, o bien para grande en valor absoluto pero negativo. Esta característica de la función se representa por f () ypor f (). Más formalmente, se tiene: Definición 33 + f () =L, L R Dado ε > 0, M >0 tal que + : >M f () L < ε f () =L, L R Dado ε > 0, M <0 tal que : <M f () L < ε En cualquiera de los casos anteriores se dice que y = L es asíntota horizontal del gráfico de f. Ejemplo 34 Queda de ejercicio demostrar que con la función f () = 1 se tiene 1 + =0y 1 =0 lo que muestra que la recta y =0(eje ) esasíntotahorizontaldelgráfico de f. La gráfica de f () = 1 es: Observación.- Sepuedeprobarquelosteoremassobrelímitesvistosanteriormente también son válidos para límites al infinito. Como aplicación de éstos se tiene: 1 + = = y por inducción, n N : Ahora, para c constante, =0 1 n =0. c n =0, n N

19 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 19 Con el mismo razonamiento se obtiene también c =0, n N n = = = Lamismaideaseaplicaparaelcuocientededospolinomiosdelmismogrado = = 0 =0 6 4 El mismo resultado se obtiene en cualquier cuociente de polinomios donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. + = + + = = " + # q = Utilizando los límites al infinito se define el concepto de asíntota oblicua para el gráfico de una función f : R R Definición 35 La recta L : y = m+b es asíntota oblicua de la gráfica de y = f () cuando [f () m b] =0 obien [f () m b] =0 Un ejemplo importante son las asíntotas oblicuas y = ± b de la hipérbola a Como a y b =1 [f () m b] = 0 [f () m] =b f () m =0 f () = m se concluye que la gráfica de y = f () tiene asíntota oblicua y = m + b ssi eisten los límites: f () = m [f () m] =b

20 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 0 5 Límites infinitos en el infinito La última situación a considerar está precisada en la siguiente definición. Definición 36 f () =+ + Dado N > 0, eiste M>0 tal que : >M f () >N Queda de ejercicio escribir las definiciones análogas para f () =, + f () =+ y En este conteto se puede mostrar que: [] =+, + También, Cuando c<0, + [ ]=+ y en general f () = + [n ]=+, n N + [c n ]=+, n N, dondec>0 es una constante. + [c n ]=, n N. Para un polinomio f () =a n n + a n 1 n a 1 + a 0,cona n 6=0 ³ f () = h n a n + a n a 1 + a i 0 ½ n 1 n + si an > 0 = si a n < 0 El caso de una función racional donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador se trata en un ejemplo particular = = = Quedadeejerciciorehacertodoslositemsanteriorespara.

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

1. Limite de Funciones

1. Limite de Funciones 1. Limite de Funciones 1.1. Introducción. Consideremos la función f() = { 1+ 2 si > 0 1 2 si < 0 Se observa que la función no está definida en 0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando se consideran valores

Más detalles

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES..

Más detalles

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD Noción intuitiva de límite Leer con cuidado [S1, ] o bien [S, 6] L1- Para la función que aparece abajo determinar los valores que se solicitan

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] IR IR una función continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

Límites de funciones y continuidad

Límites de funciones y continuidad Capítulo 4 Límites de funciones y continuidad 4.. Definición Sea f definida en un entorno reducido de 0 0 < 0 < δ), pero no necesariamente en el mismo punto 0. Diremos que f tiene el ite L en 0 cuando

Más detalles

Funciones reales de variable real: límites y continuidad

Funciones reales de variable real: límites y continuidad Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

3 El Teorema del Valor Medio

3 El Teorema del Valor Medio 3 El Teorema del Valor Medio Este capítulo eplora una serie de conceptos teoremas desarrollados en los albores del siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego introducirnos en el estudio de los ites. Esta unidad consta en el teto base, en el

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA http:/// CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II. FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes:

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo Título: Límites de funciones continuidad Autor: c Juan José Isach Mao Fecha:04 Septiembre del 007 Contents Límites 5. Conceptos previos.......................... 5. Límites de una función en un punto................

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Límites y Continuidad

Límites y Continuidad Universidad de Sonora División de Ciencias Eactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Límites y Continuidad Problemas Resueltos Dr. José Luis Díaz Gómez Versión. Abril de 005 Dr. José Luis Díaz Gómez.

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Series y Probabilidades.

Series y Probabilidades. Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3 3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones

Más detalles

La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v - pies 4

La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v - pies 4 1 Capítulo 1 Límite de funciones de variable real Contenido breve Módulo 1 Noción intuitiva del límite Módulo Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función 64 1 La velocidad en caída libre

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m Funciones vectoriales de variable vectorial Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m x y x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y m ) e y j = f j (x 1, x 2,, x n ), 1 j n n =

Más detalles

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,

Más detalles

CALCULO CAPITULO 1 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

CALCULO CAPITULO 1 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1.6.1.- Definición. Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la

Más detalles

Notaciones y Pre-requisitos

Notaciones y Pre-requisitos Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II

GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Corregido por: Prof. AOUAD Jamil Prof. LAURENTÍN María Prof.

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Límite y continuidad de funciones de varias variables Límite y continuidad de funciones de varias variables 20 de marzo de 2009 1 Subconjuntos de R n y sus propiedades De nición 1. Dado x 2 R n y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 R n

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones.

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones de varias variables

Límites y Continuidad de funciones de varias variables 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..-

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA 1 SEGUNDO SEMESTRE 2015. PROYECTO No. 2

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA 1 SEGUNDO SEMESTRE 2015. PROYECTO No. 2 PROYECTO No. 2 Fecha de publicación: Jueves 7 de septiembre de 205 Entrega: viernes 6 de octubre de 205 Instrucciones: Grupos de tres personas máximo Continuando con el desarrollo de los proyectos del

Más detalles

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas ECT UNSAM MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles