TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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1 TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños (- ). 4 7 Considera la función f (). Si analizamos las imágenes por f() de valores muy grandes en una tabla de valores: 4 7 f() Diremos que el límite de f() cuando tiende a es : ,95961 Gráficamente la situación es: , ,9995 Si consideramos ahora la función f () de valores enormemente pequeños. Diremos que el límite de f() cuando tiende a es : Gráficamente la situación es: 6 5 y analizamos las imágenes f() -100, , , En ambos casos la gráfica de la función f() se aproima a una recta horizontal tanto como queramos. Dicha recta se llama asíntota horizontal. Una función tiene límite l cuando si los valores de f() se aproiman a l tanto como se quiera cuando toma valores suficientemente grandes: f ( ) l Una función tiene límite l cuando si los valores de f() se aproiman a l tanto como se quiera cuando toma valores suficientemente pequeños: f ( ) l También puede suceder que cuando ± la función no se estabilice acercándose a un nº real (AH), sino que f () ±. Estos comportamientos se pueden epresar también con límites de la siguiente forma: 1/1 IBR IES LA NÍA

2 1º) Analiza los límites en el infinito de las funciones cuyas gráficas son las siguientes y da las ecuaciones de sus asíntotas horizontales: a) b) d) e) f) g) h) i) º) Analiza, mediante tablas de valores: a) () b) 1 1 Cálculo efectivo de límites cuando ó A) El límite de las funciones polinómicas f ( ) an an 1... a1 a0 es el de su monomio de mayor grado. Este límite siempre será, sólo debemos averiguar si es ó, dependiendo de si n es par o impar y del signo de a n : n n1 /1 IBR IES LA NÍA

3 Ejemplos: ( ( ( 4 ( 4 14) ( 14) ( 14) ( 4 14) ( 4 ) ) ) ) B) El límite de funciones racionales (cociente de polinomios) n n1 an an1... a1 a0 f ( ), dependerá del grado del numerador y del denominador m m1 bm bm1... b1 b0 ya que esto determinará quién aumenta más rápidamente: si n > m n n1 an an1... a1 a0 m m1 0 si n < m bm bm1... b1 b0 an si n m bm En el primer caso, el signo ó dependerá de si ó, y del signo de los coeficientes de mayor grado. Ejemplos: º) Calcula los siguientes límites y representa gráficamente la información obtenida: a) (1 5) b) ( 7 8) º) Calcula el valor de los siguientes límites en el infinito: a) (8 5) b) d) e) (5) ( 5) ( 7 9) (5 ) f) ( 7 ) 6 g) d) ( ) e) () h) i) 7 4 j) 6 9 k) 6 9 l) /1 IBR IES LA NÍA

4 m) n) o) 5 9 p) 4 7 5º) Calcula las asíntotas horizontales de: 4 f ( ), 7 g() q) 8 r) 8 s) , 1 h() 4 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Si conocemos la imagen de una función en a, f () a, realmente no sabemos mucho sobre los valores que toma f() en los alrededores de a. El comportamiento de la función cuando toma valores muy cercanos al número a es lo que estudia el límite: Utilizaremos la notación a (que se lee tiende a a ) para epresar que toma una sucesión de valores, distintos de a, pero muy cercanos a a. Si al hacer que a resulta que los valores de f() se acercan cada vez más a un valor l, diremos que l es el límite de la función cuando a. Se escribe: f ( ) l a Ejemplo: Vamos a analizar los valores de f() en las proimidades de 1,,, 4 y 5: Para valores muy cercanos a 1, las imágenes están cada vez más próimas a y4: () f 4. 1 Para valores muy cercanos a, las imágenes están cada vez más próimas a y5: () f 5. Observa que sin embargo f () Para valores muy cercanos a, las imágenes no se aproiman a ningún nº real: () f. Ocurre lo mismo en 4 : () f 4 Para valores muy cercanos a 5, las imágenes están cada vez más próimas a y: () f. Observa que sin embargo f (5). 5 4/1 IBR IES LA NÍA

5 Cuando la variable se acerca al valor a pero tomando valores menores que a se dice que tiende hacia a por la izquierda y se escribe a. Análogamente la epresión a indica que tiende hacia a pero tomando valores mayores que a y se dice que tiende a a por la derecha. Estos conceptos se conocen como límites laterales: f ( ) l a 1 y f ( ) l a Para que una función tenga límite en un punto es necesario que los dos límites laterales coincidan: Si f ( ) f ( ) l entonces f ( ) l a a a () f 1 () f 1 / () f 1 () f () 1 1 f 6º) En el ejemplo anterior (página 4) calcula los límites laterales en 1,,, 4 y 5 y justifica por qué eiste límite en 1, y 5, y no eiste en y en 4. 7º) A partir de la gráfica dada en la figura, calcula, si eisten () f, () f, () f, () f 1 y 15 4 () f º) A partir de la gráfica dada en la figura, calcula: a) f (0) f) () f 0 b) f () g) () f f () d) f (4) h) () f e) f (,5) i) () f 4 5/1

6 9º) Representa gráficamente las siguientes funciones y determina, si es posible, el límite de cada una de ellas en el punto indicado: a. f () < 10º) Estudia si eisten 1 cuando 1 b. 1 () f, 1 () f, g() () f, () f < cuando y () f sin hacer la 1 representación gráfica, siendo f () 1 1 <. 1 > 11º) Haz la gráfica de la función del ejercicio anterior y comprueba gráficamente los resultados obtenidos en dicho ejercicio.. INFINITOS Observa el comportamiento de las siguientes funciones: En las figuras anteriores observa que las ramas de la curva se acercan cada vez más a una recta de ecuación a ( 0, 1 y -, respectivamente). Dicha recta recibe el nombre de asíntota vertical. Observa que esos valores anulan los denominadores de las tres funciones. f(), 0 y -0, , , f(), 0 y 0, , , En dichos valores, si intentamos calcular el límite de la función cuando a, observamos que los valores de f() son mayores que cualquier nº real cuando toma valores próimos a a. Se dice entonces que la función yf() tiene límite cuando a. (En este caso las ramas de la función van hacia arriba y los dos límites laterales son ). Si los valores de la función son menores que cualquier nº real cuando toma valores próimos a a, diremos que la función yf() tiene límite - cuando a. (En este caso las ramas de la función van hacia abajo y los dos límites laterales son ). Cuando los límites laterales en un punto son y, se escribe por convenio. En particular si la función viene epresada como un cociente, las asíntotas verticales (límites infinitos) se buscarán entre los valores que anulen el denominador. 6/1 h(), y -,1-0 -, , h(), y -1,9 0-1, ,

7 1º) A la vista de las gráficas de las funciones 1 1 f () y g(), calcula el límite de cada ( ) una cuando -. Construye tablas de valores adecuadas para comprobar los resultados obtenidos. 1º) Calcula el valor de los siguientes límites sobre la gráfica de estas dos funciones: () f, () f, () f () f, 14º) Epresa las situaciones marcadas con una flecha mediante un límite: 15º) A la vista de la gráfica de la figura calcula: a) f ( ) f) () f b) () f 4 () f d) f ( ) 0 e) () f g) () f 5 h) f ( ) i) f(0) j) f(-) k) f(1) l) f() 7/1

8 16º) A la vista de la gráfica de la figura calcula: a) f ( ) e) () f b) f ( ) d) () f () f 1 f) g) 1 () f 4 () f 7 17º) Estudia si las gráficas de las funciones dadas poseen asíntotas verticales y horizontales, y representa gráficamente la situación en las proimidades de las asíntotas verticales: a. f () 4 c. f () 9 b. f () d. f () 5 1 < 9 18º) Dada la función f () <, obtén el valor de los siguientes límites: 1 6 a) () f b) () f () f d) () f e) () f f) () f g) () f h) () f i) () f 0 19º) Calcula el valor de los siguientes límites: a) ( 1) b) ( 1) ( 1) d) 1 0 e) 1 f) 1 g) 1 ( ) h) 1 ( ) i) 1 ( ) j) ( 1) k) l) ( 1) ( 1) j) () f 5 m) 1 1 n) 1 o) p) 5 5 q) 4 10 r) 4 10 s) 1 1 t) 1 u) 1 v) 1 0º) Como consecuencia de los límites calculados en el ejercicio anterior, razona en qué casos se puede justificar la eistencia de alguna asíntota. 8/1

9 4. CONTINUIDAD EN UN PUNTO En cada una de las figuras siguiente puedes observar el comportamiento de distintas funciones cuando toma valores cercanos a. Calcula, a partir de la gráfica, y en los tres casos: a) f ( ), f ( ) y f() b) Es continua f() en? Durante mucho tiempo fue asumida como idea intuitiva la siguiente definición: una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Observa las gráficas de las siguientes funciones y di cuáles son continuas en a y cuáles no. En los casos que no lo sea di la causa. Luego, una función f() es continua en a si cumple: 1º) Eiste f(a) (tiene imagen) º) Eiste f ( ) a º) Ambos valores coinciden: f ( ) f ( a) a 9/1

10 1º) Di en qué puntos no son continuas las siguientes funciones y eplica por qué: º) Representa gráficamente las siguientes funciones y di si son continuas o discontinuas en 1: 1 1 < 1 1 a) f () b) g() h() 1 > 1 > CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Cuando falla alguna de las condiciones de la definición de función continua en un punto, se dice que la función es discontinua en ese punto. Según cuál sea la condición que no se cumple da lugar a un tipo distinto de discontinuidad: A) Discontinuidad evitable: cuando eiste f ( ), pero o no coincide con f(a) o f(a) no eiste. a B) Discontinuidad no evitable: cuando no eiste el f ( ) a B1) De salto finito: los límites laterales eisten y son finitos pero distintos. B) De salto infinito: cuando uno o los dos límites laterales son infinitos. 10/1

11 º) Determina el dominio, recorrido, clasifica los puntos de discontinuidad y escribe las ecuaciones de las asíntotas: 6. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES: Las funciones polinómicas son continuas. Las funciones racionales son continuas en todos los números reales salvo en los que anulan el denominador. Las funciones irracionales de índice par son continuas en los valores que hacen el radicando positivo o cero. Si el índice es impar, son continuas. Las funciones eponenciales son continuas en todo R. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la epresión de la que queremos hallar el logaritmo es cero o negativa. De las funciones trigonométricas son continuas la función seno y la función coseno, y no es continua la función f () tg. Para estudiar la continuidad de las funciones definidas a trozos debemos analizar cada una de sus epresiones y los valores de donde cambian los intervalos de definición. 4º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f () b) f () 1 d) f () ln(1) 1 f ( ) 4 11/1 e) f) 1 f ( ) 4 9 f ( )

12 5º) Estudia la continuidad de la función y clasifica sus discontinuidades. a) f () < 5 < 4 >, [ evitable; salto finito] b) f () > f () < 16 > 6º) Calcula el valor de a para que f() sea continua en R : f () a 1 4 > 1 7º) Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en R : a si < 0 f ( ) b si 0 < 5 si 5 [a18, b -18] 8º) Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en R : f () a b 1 < 4 a > 4 [a1, b1/] 1/1