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1 Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 1 de 48

2 CONTENIDO: Número Real Introducción a las funciones reales de una variable Continuidad Derivada Función inversa Derivadas segundas y superiores Material preparado por: Prof. Ana María Tosetti Revisado y complementado por: Ing. Freddy Rabín (Catedrático de Matemática) BIBLIOGRAFÍA: Spivak, Michael. Calculus, cálculo infinitesimal. 2da.ed. Reverté. Apostol, Tom Calculus. 2da.ed. Bs.As.: Reverté, vol.1 y vol.2. De Burgos, Juan. Cálculo Infinitesimal de una Variable, Mc. Graw Hill. Haim, Isi. Funciones de IR en IR, Universidad ORT. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 2 de 48

3 (I) NÚMEROS REALES Aquí no haremos una construcción del conjunto de los números reales solo observaremos algunas de sus características. 1. Valor absoluto Definición I.1. Consideramos un número real x (x IR). Denominamos valor absoluto de x (lo anotamos x ) al número real que cumple: x = x si x 0 y x = x si x 0. Por ejemplo: 4 = 4, 3 = ( 3) = 3 y 0 = 0. Propiedades I.2. x 0 x IR. x = 0 x = 0. λx = λ x λ,x IR. Desigualdad triangular: x + y x + y x,y IR. x y x y x,y IR. x = y x = y o x = y. x 2 = x 2 = x 2 x IR. x y = x y x,y IR,y 0. x x x x IR. Para r > 0, x r r x r. Para r > 0, x r x r o x r. x + 3 < 4 4 < x + 3 < 4 7 < x < 1. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 3 de 48

4 2. Conjuntos acotados, ínfimos y supremos, mínimos y máximos Definición I.3. Sean S IR, S y k IR. Si x k x S diremos que k es una cota superior de S y S está acotado superiormente. Es evidente que si k es cota superior de S entonces cualquier k / k > k es también una cota superior. Definición I.4. Sean k y S como en la definición I.3, diremos que k es un máximo de S sii k es cota superior y además k S (notación k = max(s)). Ejemplos I.5. Sea S = {x IR / 0 x 1}, S está acotado superiormente por k tal que k 1. Como 1 es cota superior y además 1 S entonces 1 es máximo de S. Consideramos ahora T = {x IR / 0 x < 1}, k será cota superior sii k 1. En este ejemplo a diferencia del anterior 1 / T por lo cuál no es máximo de T. Pruebe que este conjunto no tiene máximo. Definición I.6 (Supremo de un conjunto). Un número k IR se denomina supremo de S (conjunto no vacío de números reales), si k es la menor de las cotas superiores de S, o sea si cumple: 1. k es cota superior (x k x S) 2. Si k es cota superior de S, entonces k k. Notación k = sup(s). Observación I.7. Si S tiene máximo, entonces este máximo será el supremo de S (pruébelo). El recíproco no es cierto es decir un conjunto puede no tener máximo y sin embargo sí tener supremo. En el segundo de los ejemplos I.5 muestra esto pues 1 es el supremo de T pero no es máximo de T. Propiedades I.8. Si existe el supremo de un conjunto, es único. Axioma de completitud de los números reales (axioma del supremo) Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene supremo. Esto es, dado S IR, S, k IR / sup(s) = k. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 4 de 48

5 De manera análoga como definimos cota superior, máximo y supremo se puede definir cota inferior, mínimo e ínfimo. Queda a cargo del lector hacerlo y revisar sus propiedades. Dejamos a continuación un par de propiedades importantes en relación al supremo (el lector podrá formular propiedades análogas para el ínfimo). Proposición I.9. Sean a y b números reales tales que a b + ε ε > 0 entonces a b. Demostración: Supongamos por absurdo que b < a entonces tomando ε = a b 2 se tiene a b + ε = b + a b 2 = a + b 2 < a + a 2 = a lo cual es absurdo. L.Q.Q.D. La siguiente propiedad establece que todo conjunto acotado superiormente y por lo tanto con supremo, contiene elementos tan próximos al supremo como se quiera. Proposición I.10 (Aproximación al supremo). Sea h IR, h > 0 y S IR un conjunto de reales entonces: Si S tiene supremo, entonces x S / x > sup(s) h. Análogamente si S tiene ínfimo, entonces x S / x < sup(s) + h. Demostración: Supongamos nuevamente por absurdo que x sup(s) h x S, entonces sup(s) h sería cota superior de S pero como h > 0, sup(s) h < sup(s) lo cual es absurdo (habría una cota superior menor que el supremo). Para el ínfimo se demuestra de manera análoga y se deja como ejercicio al lector. L.Q.Q.D. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 5 de 48

6 3. Intervalos de números reales Definiciones I.11. Dados dos números reales, a,b IR con a < b, llamamos: Intervalo abierto al conjunto (a,b) = {x IR / a < x < b}. Intervalo cerrado al conjunto [a,b] = {x IR / a x b}. Intervalo semiabierto derecho al conjunto [a, b) = {x IR / a x < b}. Intervalo semiabierto izquierdo al conjunto (a, b] = {x IR / a < x b}. La siguiente figura (1) muestra la representación usual de los reales en la recta y se indican los distintos tipos de intervalos. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 6 de 48

7 Figura 1: Intervalos en los reales La siguiente figura (Figura 2) muestra casos particulares o si se quiere límites de intervalos que por su interpretación geométrica los llamamos semirrectas. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 7 de 48

8 Figura 2: Semirrectas en los reales Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 8 de 48

9 (II) FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE 1. Propiedades generales Definición II.1 (Función real de una variable). f : I B es una función sii f I B x I, y B tal que (x,y) f si (x,y) f (x,z) f y = z El conjunto I recibe el nombre de dominio y lo notamos D(f) o Dom(f). En el caso que estamos estudiando será I IR y en general un intervalo. El conjunto B recibe el nombre de codominio y lo notamos Cod(f). Escribimos y = f(x) sii xf y sii (x,y) f y en este caso decimos que y es la imagen de x, o que x es la preimagen de y. Definición II.2 (Recorrido o Imagen de una función). Dada la función f : I B definimos el recorrido o conjunto imagen como el conjunto de los elementos de B que son imagen de algún elemento de I. Lo notamos R(f) o Rec(f) o f(i). Definición II.3 (Función inyectiva). Decimos que la función f : I B es inyectiva sii x 1,x 2 I x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) o lo que es equivalqente x 1,x 2 I f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Definición II.4 (Función sobreyectiva). Decimos que la función f : I B es sobreyectiva sii B = R(f) o sea si el recorrido de la función coincide con el codominio. Definición II.5 (Función biyectiva). Decimos que la función f : I B es biyectiva sii es inyectiva y sobreyectiva. En este caso la relación es uno a uno y ambos conjuntos, dominio y recorrido tienen el mismo cardinal (la misma cantidad de elementos si estuviéramos hablando de conjuntos finitos). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 9 de 48

10 Definición II.6 (Relación y función inversa). Sea f : I B una relación. Llamamos relación inversa de f (y la notamos f 1 ) a la relación: f 1 : B I tal que f 1 = {(y,x) / (x,y) f}. Cabe preguntarnos si f es una función, f 1 lo será?. El siguiente teorema responde esta pregunta. Teorema II.7 (Una condición necesaria y suficiente de invertibilidad). f es una función biyectiva si y solo si f 1 es una funcin, y en este caso f 1 es biyectiva. Observación II.8 (Gráfico de una función invertible y su inversa). Figura 3: Gráfico de una función invertible y su inversa La figura (Figura 3) muestra una función f : I J invertible y su inversa g = f 1, donde los respectivos dominios de cada una son I = [ 6,6] y J = [ 6,2]. Los gráficos que representan a f y g son simétricos con respecto a la primera diagonal del primer y tercer cuadrante, es decir la recta de ecuación y = x. En efecto, esta simetría transforma un punto cualquiera M = (x,y) en un punto M = (y,x). M pertenece a la curva gráfico de f si y solo si M pertenece a la de g. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 10 de 48

11 Definición II.9 (Función compuesta). Dadas las funciones f : I B y f : J C, tales que R(f) J, definimos la siguiente función: g f : I C tal que g f(x) = g(f(x)) x I. La siguiente figura (Figura 4) muestra a través de diagramas de Venn esta definición. Figura 4: Diagramas de Venn correspondientes a la función compuesta 2. Las funciones más usuales Solo mencionaremos las funciones más usuales e indicaremos algunas de sus propiedades Funciones trigonométricas Función seno: sen(x), R(sen) = [ 1,1], función periódica de período 2π. La siguiente figura (Figura 5) muestra el gráfico de la función. Les recomiendo consultar este link: b sincostan.html Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 11 de 48

12 Figura 5: Gráfico de la función seno Función coseno: cos(x), R(cos) = [ 1,1], función periódica de período 2π. La siguiente figura (Figura 6) muestra el gráfico de la función. Figura 6: Gráfico de la función coseno Función tangente: tg(x) = sen(x) cos(x), R(tg) = IR, función periódica de período π, no está definida para los valores π 2 + k π con k Z. La siguiente figura (Figura 7) muestra el gráfico de la función. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 12 de 48

13 Figura 7: Gráfico de la función tangente Propiedades II.10 (Algunas fórmulas trigonométricas). 1. cos 2 (x) + sen 2 (x) = 1 x IR tg 2 (x) = 1 cos 2 (x) x IR { π 2 + k π / k Z}. 3. cos ( x π 2) = sen(x) x IR. 4. cos( x) = cos(x) x IR. 5. sen( x) = sen(x) x IR. 6. cos(x + y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y) x,y IR. 7. Algunos valores: ángulo 0 o = 0 rad. 30 o = π 6 rad. 45o = π 4 rad. 60o = π 3 rad. 90o = π 2 rad. 0 sen 2 = = 1 2 cos 4 2 = tg Funciones polinómicas 2 2 = = = = = Se denomina función polinómica a una función cuya expresión puede escribirse de la siguiente forma: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde los a i son constantes reales. Llamamos grado del polinomio a n, con a n 0. En las siguientes figuras se muestran gráficos para distintas situaciones. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 13 de 48

14 Figura 8: Gráficos de polinomios de grado 0 Figura 9: Gráficos de polinomios de grado 1 Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 14 de 48

15 Figura 10: Gráficos de polinomios de grado 2 Figura 11: Gráficos de polinomios de grado 3 y Exponenciales y Logaritmos Función exponencial: e x o exp(x), R(exp) = (0,+ ), función definida para todos los reales. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 15 de 48

16 Existen otras exponenciales (varian la base, siempre reales positivos), en particular las de bases menores que 1 son cualitativamente diferentes. En las siguientes figuras se muestran gráficos para distintas situaciones. Figura 12: Gráfico de exponencial de base mayor que 1 Figura 13: Gráfico de exponencial de base menor que 1 Función logaritmo: L(x) o log(x) (utilizaremos solamente el logaritmo neperiano, logaritmo en base e), R(L) = IR, función definida para todos los reales positivos. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 16 de 48

17 Lo definimos mediante: L(x) = y e y = x. En las siguientes figuras se muestran gráficos para distintas situaciones. Observando que la función logaritmo resulta función inversa de la función exponencial establezca coherencia entre los gráficos. Figura 14: Gráficos de logaritmos Propiedades II.11 (Algunas propiedades de la exponencial y el logaritmo neperiano). 1. e x > 0 x IR, e 0 = e x+y = e x e y x,y IR. 3. (e x ) 2 = e 2x x IR. 4. L(x) 0 x [1,+ ) y L(x) 0 x (0,1], L(1) = L(xy) = L(x) + L(y) x,y (0,+ ). 6. L(x α ) = α L(x) x (0,+ ). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 17 de 48

18 (III) CONTINUIDAD Trabajamos en este capítulo con funciones de una variable y valores en IR, f : I IR IR (llamaremos indistintamente I o D al dominio de f). 1. Límites y continuidad 1.1. Punto de acumulación de un conjunto Definición III.1 (Punto de acumulación). Sea S IR y x IR (x no tiene porque pertenecer a S), x es punto de acumulación de S si y solo si todo entorno de x contiene algún punto de S distinto de x. Ejemplos III.2. El conjunto de puntos de acumulación del intervalo cerrado [a,b] es el intervalo [a,b] (cerrado). El conjunto de puntos de acumulación del intervalo abierto (a,b) es el intervalo [a,b] (cerrado) Límites en un punto y en el infinito Intuitivamente, el límite de f(x) con x a es el valor al cual se acerca f(x) cuando x se acerca a a. Para que esto pueda tener sentido, x debe poder acercarse a a en puntos del dominio de f. Formalicemos la definición. Definición III.3. Sean f : I IR IR, a un punto de acumulación de D y L IR. Entonces { } x a < δ lim f(x) = L ε > 0, δ > 0 tal que si x a x D, x a f(x) L < ε E(L,ε), E (a,δ) / f (E (a,δ) D) E(L,ε) En la siguiente figura (Figura 15) se representa esta definición. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 18 de 48

19 Figura 15: Representación de la definición de límite También lim f(x) = + H IR, δ > 0 tal que si x a { x a < δ x D, x a } f(x) > H En la siguiente figura (Figura 16) se representa esta definición. Figura 16: Representación de la definición de límite Si I no está acotado superiormente podemos definir { } lim x + f(x) = L ε > 0, x 0 IR tal que si x > x 0 x D f(x) L < ε Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 19 de 48

20 Les recomendamos consultar este link: lemat/funciones/nivel1/teoria/funciones15.htm Observación III.4. Si a D, el valor de la función en a no interviene en la definición del límite (interesa lo que ocurre al acercarse a a, no en el propio a). La figura ((Figura 18)) muestra distintas situaciones (para su mejor comprensión es bueno tener las definiciones de límites laterales que veremos más adelante). Observación III.5. En forma similar se definen lim f(x) =, lim f(x) = L, lim f(x) = +, etc. x a x x Ejercicio III.1. Observar la gráfica de la función f(x) (Figura 17) y calcular los límites indicados. Figura 17: Función f(x) del ejercicio III.1 Observación III.6 (Equivalentes). Recordemos el concepto de equivalentes: Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 20 de 48

21 Si f(x) y g(x) tienen ambas límite 0 o, con x a, se dicen equivalentes con x a cuando f(x) g(x) = 1. lim x a 1.3. Límites laterales { 1 si x 0 La función f(x) = claramente no tiene límite cuando x 0, pero si cuando x se 0 si x < 0 acerca a 0 por la derecha (por valores mayores que 0) o por la izquierda (por valores menores que 0). Esto nos lleva a definir: Definición III.7. Diremos que el límite por la derecha de f(x) cuando x a es L si: lim f(x) = L x a + ε > 0, δ > 0 / si x (a,a + δ) D se tiene f(x) L < ε Diremos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x a es L si: lim f(x) = L x a En el ejemplo, lim x 0 ε > 0, δ > 0 / si x (a delta,a) D se tiene f(x) L < ε x 0 f(x) = 1 y lim f(x) = 0. + Se definen análogamente límites laterales infinitos. En la siguiente figura (Figura 18) se representan algunos casos. Figura 18: Límites laterales y valor funcional en el punto Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 21 de 48

22 Propiedades III.8 (Algunas propiedades de los límites). 1. Si lim x a f(x) = l 1 y lim x a g(x) = l 2, entonces lim x a [f(x) + g(x)] = l 1 + l Si lim x a f(x) = l 1 y lim x a g(x) = +, entonces lim x a [f(x) + g(x)] = Si lim x a f(x) = l 1 y lim x a g(x) = l 2, entonces lim x a [f(x)g(x)] = l 1 l Si lim f(x) = l 1 > 0 y lim g(x) = 0 +, entonces lim[ f(x) x a x a x a g(x) ] = Límite de la función compuesta: Si lim f(x) = b y lim g(x) = l, entonces x a x b lim g f(x) = lim g(f(x)) = l. x a x a Observación III.9 (Indeterminaciones). Hemos recordado propiedades de los límites que nos permiten, en algunos casos, determinar el límite de un producto o de una suma simplemente conociendo los límites de las funciones que intervienen. En otros caso encontrar el límite no se realiza directamente (nos referimos a aplicar alguna de la propiedades anteriores) sino que debemos calcularlos. Estos casos denominados límites indeterminados (antes de calcularlos) son: Veamos algunas herramientas que nos permiten entre otras cosas levantar alguna de las indeterminaciones anteriores. Comparación de infinitos Si lim x a f(x) = y lim x a g(x) = (f(x) y g(x) son dos infinitos en a), decimos: f(x) que f(x) y g(x) tienen el mismo orden sii lim x a g(x) = k 0. f(x) que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) sii lim x a g(x) =. f(x) que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) sii lim x a g(x) = 0. f(x) que no son comparables cuando no existe lim x a g(x). Los siguientes son los llamados órdenes de infinitos básicos (logarítmico, potencial, exponencial y potencial-exponencial en orden de aparición) y las desigualdades siguientes se cumplen para x tendiendo a infinito: orden[l(x)] < orden[x α ] < orden[e x ] < orden[x x ] Propiedades III.10 (Utilización de los órdenes de infinito). 1. Una suma de infinitos es equivalente al infinito de mayor orden. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 22 de 48

23 2. Puede sustituirse un factor de un producto por otro equivalente. 3. Puede sustituirse en un cociente el numerador o el denominador por su equivalente. Ejemplo III.11. Calcular lim x 0 +(L(x))2 (x 1)2 x. Este es un límite indeterminado del tipo. Para levantar esta indeterminación o sea para hallar el límite aplicamos órdenes de infinitos: Como orden [ (x 1) 2 x ] = orden[x] > orden[(l(x)) 2 ], se deduce que lim (x 1)2 x 0 +(L(x))2 x =. Otra herramienta que podemos utilizar para el cálculo de límites son los llamados límites tipo, algunos de ellos son: lim x + ( x) x = e lim x 0 (1 + x) 1 x = e L(1 + x) e x 1 lim = 1 lim = 1 x 0 x x 0 x sen(x) 1 cos(x) lim = 1 lim x 0 x x 0 x 2 = 1 tg(x) (1 + x) m 1 lim = 1 lim 2 x 0 x x 0 x De los límites tipo anteriores se deducen las siguientes equivalencias: L(1 + x) x cuando x 0 L(x) x 1 cuando x 1 e x 1 x cuando x 0 Ejercicio III.2. Calcular los siguientes límites: sen(x) x cuando x 0 1 cos(x) 1 2 x2 cuando x 0 tg(x) x cuando x 0 (1 + x) m 1 m x cuando x 0 (x 2 + 1) 2 3x lim x x 3 5 L(x 8 5) lim x + x Continuidad lim [ x x 2 + x] x + (1 + x) 2 1 lim x 0 x sen(3x) + tg(2x) lim x 0 2x lim x 3 x 2 9 x 2 5x sen(x) cos(x) lim x 0 x x 7 + x 5 + x 3 lim ( x + 1 x 2) ( lim 1 2 ) x + 3x = m El concepto de continuidad de una función responde a la idea de que ésta no varía bruscamente, en otras palabras si a D y x se acerca a a, la función debe ser tal que f(x) se acerque a f(a). La siguiente definición formaliza estas ideas: Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 23 de 48

24 Definición III.12. Si a D, a punto de acumulación de D, f(x) es continua en a sii { } x a < δ ε > 0, δ > 0 / f(x) f(a) < ε x D E(f(a),ε), E(a,δ) / f (E(a,δ) D) E(f(a),ε) f es continua (en D) sii es continua en a a D. Observación III.13. La definición anterior equivale a pedir lim x a f(x) = f(a). Así el concepto de continuidad y el de límite van de la mano. Observación III.14. En primer lugar, los polinomios son funciones continuas en todos los puntos y las funciones racionales (cocientes de polinomios) lo son en todos los puntos que no sean raíces del denominador. Esto es consecuencia de las propiedades algebraicas de los límites. La función f : (0,+ ) IR / f(x) = x es continua x 0. Se puede ver también (no lo haremos aquí) que las funciones x α, e x, log(x), sen(x), cos(x) son continuas en sus respectivos dominios. Por otra parte, la composición de funciones continuas es continua, como surge de la siguiente proposición. Proposición III.15. Si f : D IR es continua en a D y g : D IR con f(d) D es continua en b = f(a), entonces g f : D IR es continua en a. Ejemplo III.16. e sen( x) es continua en x Teoremas para funciones continuas en un intervalo Teorema III.17 (Bolzano). Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, entonces existe c (a,b) tal que f(c) = 0. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 24 de 48

25 Figura 19: Representación del Teorema de Bolzano Ejemplo III.18. Comprobar que la ecuación x 3 + x 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1]. Consideramos la función f(x) = x 3 + x 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo: f(0) = 1 < 0 y f(1) = 1 > 0. Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c (0,1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que la ecuación tiene una solución en ese intervalo. Ejemplo III.19. Demuostrar que el gráfico de la función f(x) = x 2 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2]. Se puede decir lo mismo de la función: g(x) = 2x 3 x 1?. La primera función es continua en todo IR. f(0) = 2 > 0 y f(2) = 2 < 0, aplicando el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo (0,2) tal que f(c) = 0 y por lo tanto su gráfico corta al eje de abscisas. No podemos afirmar lo mismo de la segunda función ya que no es continua en x = 1, no podemos aplicar el teorema y por lo tanto hasta aquí no podemos afirmar nada (puede que sí y puede que no). Si estudiamos un poco más la función observamos que g(x) = 0 x = 3 2 [0,2] por lo que la respuesta es afirmativa. Corolario III.20 (Teorema de los valores intermedios o Teorema de Darboux). Si f es continua en [a,b] y λ es un valor intermedio entre f(a) y f(b) (f(a) < λ < f(b) o f(b) < λ < f(a), según el caso), entonces, existe c (a,b) tal que f(c) = λ. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 25 de 48

26 Figura 20: Representación del Teorema de Darboux o de los valores intermedios Demostración: Si g(x) = f(x) λ, g está en las hipótesis del teorema III.17 y por lo tanto se deduce que c (a,b) / g(c) = 0, o sea f(c) = λ. L.Q.Q.D. Teorema III.21 (Teorema de Weierstrass). Si f : [a,b] IR es continua [a,b], entonces f tiene máximo y mínimo en [a,b], o sea m,m IR / m f(x) M x [a,b], siendo m = f (x m ) y M = f (x M ) con x m,x M [a,b]. Figura 21: Representación del Teorema de Weierstrass Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 26 de 48

27 Observación III.22. El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo ni el mínimo, solo afirma que existen. Ejercicio III Dar un ejemplo de f continua en (a,b] y no acotada en ese dominio. 2. Si f es continua en (a,b] y lim f(x) = +, probar que f tiene mínimo en (a,b]. x a + Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 27 de 48

28 (IV) DERIVADA 1. Definición y primeras propiedades La noción de derivada responde a la idea de la velocidad con que cambia la función f(x). En un intervalo, esta velocidad (velocidad media) puede expresarse por la razón: f f(x) f(a) = x x a (cociente incremental) Si buscamos una versión local, es decir la velocidad con que está variando f(x) en el punto a, lo natural es tomar límite con x a. Geométricamente, esto equivale a considerar la pendiente de la recta por los puntos P = (a,f(a)) y Q = (x,f(x)) y al tomar límite, si éste existe, obtener la pendiente de la recta r, tangente en el punto P (ver la Figura 22). Figura 22: Definición de derivada Llegamos a la siguiente definición: Definición IV.1. Sea f : D( R) R función real y a tal que existe E(a,r) D. f(x) f(a) f es derivable en a sii existe lim x a x a. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 28 de 48

29 En ese caso, al límite se le llama derivada de f en el punto a y se lo denota f (a) o también df dx (a). Les recomendamos consultar este link: Observación IV.2 (Toda función derivable es continua). Una consecuencia inmediata de la definición es que toda función derivable es continua. En efecto, f(x) f(a) lim = f (a) lim(f(x) f(a)) = 0 x a x a x a lim f(x) = f(a) x a De hecho, la derivabilidad es una condición más exigente que la continuidad, como lo muestra el ejemplo f(x) = x en el punto x = 0. En ese caso, f(x) f(0) x 0 = x x = sgn(x) que no tiene límite en x = 0. La función valor absoluto de x es continua pero no derivable dejando en claro que el recíproco no es cierto. Ejemplo IV.3. f(x) = e x, ex e a x a ( ) = e ea x a 1 x a x a ea y por lo tanto f (a) = e a. La función exponencial tiene derivada en cualquier punto y (e x ) = e x. En forma similar se puede probar: (x α ) = αx α 1 ; (log ( x )) = 1 x ; (sen(x)) = cos(x) ; (cos(x)) = sen(x). Proposición IV.4. Si f y g son derivables en a, también lo son f + g, f g, fg y f g si g(a) 0, y se cumple: (i) (f ± g) = f ± g Demostración: (ii) (fg) = f g + fg en particular: (kf) = kf si k IR, constante ( ) f (iii) = f g fg g g 2 Veamos por ejemplo (ii), las otras son similares. f(x)g(x) f(a)g(a) = (f(x) f(a)) g(x) + f(a)(g(x) g(a)) ( ) ( ) f(x)g(x) f(a)g(a) f(x) f(a) g(x) g(a) = g(x) + f(a) x a x a x a Tomando límite con x a, el segundo miembro tiende a f (a)g(a) + f(a)g (a). L.Q.Q.D. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 29 de 48

30 Teorema IV.5 (Derivada de la función compuesta (Regla de la Cadena)). Si f es derivable en a y g es derivable en b = f(a), entonces g f es derivable en a y (g f) (a) = g (b)f (a) Demostración: Una primera aproximación a la prueba es la siguiente: ( )( ) g (f(x)) g (f(a)) g (f(x)) g (f(a)) f(x) f(a) = x a f(x) f(a) x a Cuando x a, f(x) f(a) y los dos factores del segundo miembro tienden respectivamente a g (b) y f (a). Un inconveniente para que esta fuese la demostración correcta es que f(x) f(a) podría anularse para x arbitrariamente cerca de a, en el caso f (a) = 0. Modifiquemos el argumento anterior para que el caso f (a) = 0 quede incluido. Sea ε(y) = g(y) g(b) y b g (b), definido para y en un entorno reducido de b. Por definición de derivada, lim y b ε(y) = 0. Si definimos ε(b) = 0, ε(y) es continua en b y la igualdad g (y) g (b) = (y b) (g (b) + ε(y)) vale para y en un entorno de b, incluso en el punto b. Ponemos y = f(x), y dividimos por x a: g (f(x)) g (f(a)) x a ( ) f(x) f(a) (g = (b) + ε(f(x)) ) x a Tomando límite con x a, se prueba la tesis. L.Q.Q.D. Deducimos del teorema que (g f) (x) = g (f(x))f (x), lo cual resulta útil para el cálculo de derivadas. Ejemplo IV.6. ( e sen(x) ) = e sen(x) cos(x). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 30 de 48

31 Observación IV.7 (Tabla de derivadas). A continuación dejamos una tabla con las derivadas de funciones elementales. Con las propiedades vistas pueden calcularse derivadas de funciones más complicadas. Ejercicio IV.1. Función f(x) Derivada f (x) cte 0 x 1 x 2 2x x 3 3x 2 x 1 2 x x n n IR {0} nx n 1 e x e x 1 L(x) x sen(x) cos(x) cos(x) sen(x) tg(x) 1 + tg 2 (x) = 1 cos 2 (x) Hallar la función derivada f (x), de las siguientes funciones: i) f(x) = (3x 2 1)(5x + 2) ii) f(x) = 2x 5x2 + x 3 (2x 8)(3x 4) iv) f(x) = 2x + 3 x 1 ( ) 1 x v) f(x) = L x 1 + x ( vii) f(x) = e 2x2 e x 2 viii) f(x) = L iii) f(x) = 1 x x ( ) 4 vi) f(x) = sen x )) 7 ( 7x x 1 + 7x ) ix) f(x) = x 2 e x (x + 1) 5 x) f(x) = L( x Teoremas para funciones derivables 2.1. Extremos relativos y derivadas Definición IV.8. f tiene un máximo relativo en el punto a sii existe un entorno E(a,δ) en el dominio de f, tal que f(x) f(a) x E(a,δ). f tiene un mínimo relativo en el punto a sii existe un entorno E(a,δ) en el dominio de f, tal que f(x) f(a) x E(a,δ). Si se da alguno de los dos casos decimos que f tiene un extremo relativo en el punto a. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 31 de 48

32 Ejemplo IV.9. Sea la función f definida en un intervalo [c, d], cuya representación gráfica es la siguiente (Figura 23): Figura 23: Función del ejemplo IV.9 Puede verse que f(x 1 ) es un máximo relativo y f(x 3 ) es un máximo relativo (y el máximo absoluto) de la función en [c,d]. Análogamente, f(x 4 ) es un valor mínimo relativo y f(x 2 ) es un mínimo relativo (y el mínimo absoluto) de la función en [c,d]. Ejemplo IV.10. f(x) = x tiene un mínimo relativo en x = 0. Proposición IV.11 (Condición necesaria de extremo relativo). Si f tiene un extremo relativo en el punto a y es derivable en a, entonces f (a) = 0. Demostración: Supongamos que f (a) > 0 para x en un entorno E(a,δ), se cumple f(x) f(a) x a tiene el mismo signo que x a. > 0 o sea f(x) f(a) Por lo tanto, y f(x) > f(a) si x (a,a + δ) f(x) < f(a) si x (a δ,a) Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 32 de 48

33 y resultaría que a no es extremo relativo. En forma similar se descarta f (a) < 0 y concluimos f (a) = 0, la tesis. L.Q.Q.D. Ejercicio IV.2. Realizar el ejercicio indicado en esta dirección: Observación IV.12. La condición f (a) = 0 no alcanza para asegurar que f tiene extremo relativo en a, como lo muestra el ejemplo f(x) = x 3 en el punto x = 0. Figura 24: Función de la observación IV.12 Teorema IV.13 (Teorema de Rolle). Si f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(b) = f(a), entonces existe c (a,b) tal que f (c) = 0. La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas (observar la Figura 25, se anima a realizar otras representaciones?, es único el c resultante del teorema?, puede no corresponder a un extremo relativo?). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 33 de 48

34 Figura 25: Interpretación gráfica del teorema de Rolle Demostración: Por el teorema III.21 (Weierstrass), existen máximo M y mínimo m de f en [a,b]. Si ambos ocurren en los extremos a y b del intervalo, como f(a) = f(b) tendríamos m = M y por tanto f sería constante en [a,b]. En ese caso f (c) = 0 c (a,b). Supongamos ahora que uno de ellos (por ejemplo el máximo) se da en un punto de (a,b), es decir existe c (a,b) tal que f(c) = M. Entonces f tiene un máximo relativo en c y por tanto, por el teorema IV.11 (condición necesaria de extremos relativo) f (c) = 0. En cualquier caso, c (a,b) / f (c) = 0. L.Q.Q.D. Ejemplo IV.14. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = x 1 en el intervalo [0,2]?. La función es continua en [0,2]. No es aplicable el teorema de Rolle porque la función no es derivable en el punto x = 1. Observamos que, en este caso, no existe c que verifique la tesis del teorema. Dar un ejemplo similar a éste pero que el c exista. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 34 de 48

35 Ejemplo IV.15. Estudiar si la función f(x) = x x 3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [ 1,0] y [0,1]. En caso afirmativo determinar los valores de c. f(x) es una función continua en los intervalos [ 1,0] y [0,1] y derivable en los intervalos abiertos ( 1,0) y (0,1) por ser una función polinómica. Además cumple que f( 1) = f(0) = f(1) = 0. Por tanto es aplicable el teorema de Rolle. f (x) = 1 3x 2 por lo que 3 f (c) = 0 c = ± c = ( 1,0) mientras c = 3 3 (0,1) Teorema IV.16 (Teorema del valor medio o de Lagrange). Si f continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe c (a,b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante (observar la Figura 26. Figura 26: Interpretación gráfica del teorema de Lagrange Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 35 de 48

36 El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange en el que f(a) = f(b). Demostración: Sea ( ) f(b) f(a) g(x) = f(x) (x a) b a g está en las hipótesis del teorema IV.13 (Rolle), ya que g(a) = g(b) = f(a). Entonces O sea Ejemplo IV.17. c (a,b) / g (c) = f (c) f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) b a = 0 L.Q.Q.D. Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x 3 en [ 1,2]?. f(x) es continua en [ 1,2] y derivable en ( 1,2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio: Por lo tanto c = 1 ( 1,2). 8 ( 1) 2 ( 1) = f (c) 3 = 3c Derivada y crecimiento Un corolario útil del teorema IV.16 (Lagrange) es que el signo de la derivada en un intervalo determina el crecimiento de la función. Proposición IV.18 (Derivada y crecimiento). Si f es derivable en un intervalo (a,b), f (x) > 0 en (a,b), entonces f es estrictamente creciente en (a,b), es decir x < x f(x) < f(x ). Demostración: Sea x,x (a,b), x < x. Si fuese f(x) f(x ), se deduce que f(x ) f(x) x x (Lagrange), c (x,x ) / f (c) 0, lo cual es absurdo por hipótesis. 0 y por el teorema IV.16 L.Q.Q.D. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 36 de 48

37 En forma análoga, si f (x) < 0 en (a,b), f es estrictamente decreciente en (a,b). Observación IV.19. De lo anterior surge que estudiando el signo de f (x) se puede bosquejar el crecimiento de la función f(x). Para una representación gráfica más completa de una función, es usual estudiar la concavidad, que nos indica si la pendiente de la curva está creciendo o decreciendo con x (concavidad positiva o negativa, ver figuras). Como la pendiente es f (x), su crecimiento está dado por el signo de la derivada de f (x), si ésta existe. A la derivada de f (x) se le llama derivada segunda de f, y se denota f (x) o también d2 f dx 2. No entraremos aquí en más detalles (asíntotas, etc) del estudio analítico y representación gráfica de funciones, que es un tema usual en los cursos de secundaria. Teorema IV.20 (Teorema de Cauchy). Si f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b), entonces c (a,b) tal que f (c)[g(b) g(a)] = g (c)[f(b) f(a)] La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c,f(c)) y (c,g(c)) de los gráficos de las funciones f(x) y g(x) respectivamente, tales que la pendiente de la tangente al gráfico de f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente al gráfico de g(x) en el segundo punto y el valor de k se relaciona con los incrementos de las funciones como lo indica el teorema. Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado. Demostración: Sea h(x) = f(x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)]. Entonces h(a) = h(b) = f(a)g(b) g(a)f(b). Por el teorema IV.13 (Rolle), c (a,b) tal que h (c) = 0. Calculando h (c) se tiene la tesis. L.Q.Q.D. Observación IV.21. El teorema IV.16 (Lagrange) queda como un caso particular de este teorema, para g(x) = x. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 37 de 48

38 Teorema IV.22 (Regla de L Hopital). Si f y g son continuas en E(a,δ) con f(a) = g(a) = 0 y derivables en E (a,δ) con g (x) 0 en E (a,δ), entonces Demostración: f (x) lim x a g (x) = λ lim f(x) x a g(x) = λ Sea x > a. Aplicando el teorema IV.20 (Cauchy) a f y g en [a,x], tenemos para algún c (a,x) Si x a +, c a + y por tanto Entonces f (c) g (c) f(x) f(a) = g(x) g(a) = f(x) g(x) f (c) lim x a + g (c) = λ f(x) lim x a + g(x) = λ Procediendo igual para x a se completa la tesis. Ejemplo IV.23. Buscamos lim e x 1 x x 0 x 2. Utilizando la regla de L Hopital dos veces se tiene e x 1 x e x 1 e x lim x 0 x 2 = lim = lim x 0 2x x 0 2 = 1 2 L.Q.Q.D. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 38 de 48

39 (V) FUNCIÓN INVERSA 1. Definición y primeras propiedades Si f : D( IR) R es una función inyectiva (f(x) f(x ) para x x ), y D = f(d) es su recorrido, puede definirse una función inversa f 1 : D D tal que f 1 (y) = x f(x) = y en otras palabras f 1 f = id D y f f 1 = id D donde id H es la función identidad en H, id H (u) = u u H. Un caso particular en que la inyectividad está asegurada es el de una función estrictamente monótona (creciente o decreciente). Una pregunta que es natural es la siguiente: si f es continua o derivable, lo será también f 1?. Los siguientes teoremas dan resultados sobre este punto. 2. Función inversa y continuidad Teorema V.1 (Función inversa y continuidad). Si f : I J es continua y estrictamente monótona en el intervalo I, entonces el recorrido de f es un intervalo J y f 1 : J I es continua y estrictamente monótona. Demostración: J = f(i) es un intervalo por el corolario III.20 (teorema del valor intermedio) (si f es continua y toma dos valores, toma todos los intermedios. La monotonía es también sencilla. Sea por ejemplo f estrictamente creciente y consideremos y,y J, y < y. Si fuese f 1 (y) f 1 (y ), tendríamos, por la monotonía de f, que f ( f 1 (y) ) f ( f 1 (y ) ) o sea y y lo que es absurdo. Por lo tanto f 1 (y) < f 1 (y ), o sea f 1 es estrictamente creciente. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 39 de 48

40 Veamos la continuidad. Sea y 0 J y estudiemos lim y y0 f 1 (y). Como para y < y 0 se tiene f 1 (y) < f 1 (y 0 ) y además f 1 (y) crece con y se deduce fácilmente que existe lim y y 0 f 1 (y) = L y además L f 1 (y 0 ). Si fuese L < f 1 (y 0 ) f 1 (y) L f 1 (y 0 ) y < y 0. Aplicando f, se deduce que y f(l) < y 0 y < y 0 absurdo. Entonces Análogamente, lim y y + 0 lim y y 0 f 1 (y) = f 1 (y 0 ) f 1 (y) = f 1 (y 0 ), concluyéndose la demostración. 3. Función inversa y derivabilidad L.Q.Q.D. Teorema V.2 (Función inversa y derivabilidad). Si f es derivable en I = (a,b), f (x) > 0 en I, J = f(i), entonces f 1 es derivable en J y o, lo que es lo mismo, Demostración: ( f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) ( f 1 ) (y) = 1 f (x) donde x = f 1 (y) o sea y = f(x) Por la proposición IV.18, f es estrictamente creciente y por lo tanto J es un intervalo abierto. Por el teorema V.1, existe f 1 y es continua. Sean x = f 1 (y) y x 0 = f 1 (y 0 ), entonces f 1 (y) f 1 (y 0 ) y y 0 = x x 0 f(x) f(x 0 ) Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 40 de 48

41 Por la continuidad de f 1, cuando y y 0 se tiene x x 0 y el segundo miembro tiene límite 1 f (x 0 ), por lo tanto f 1 es derivable en y 0 y ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )) L.Q.Q.D. Observación V.3. La expresión ( f 1) (y) = 1 permite deducir que si f tiene derivadas de mayor orden (segundas, f (f 1 (y)) terceras, etc.), también las tiene f 1 y pueden obtenerse derivando la fórmula anterior por la regla de la cadena. Ejemplo V.4. f(x) = sen(x), con x ( π 2, π 2 ) f 1 (y) = arcsen(y) para y ( 1,1) x = arcsen(y) y = sen(x) Podemos calcular la derivada de la función arcsen definida anteriormente (arcsen) (y) = 1 (sen) (x) = 1 cos(x) siendo x = arcsen(y) o sea y = sen(x) En el intervalo definido, si y = sen(x), cos(x) = 1 y 2 y por lo tanto (arcsen) (y) = 1 1 y 2 Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 41 de 48

42 (VI) DERIVADA SEGUNDA Y SUPERIORES 1. Definición y propiedades Así como se definió la derivada y obtenemos, si la función f(x) es derivable en todo su dominio, un nueva función la función derivada f (x), podemos definir las derivadas sucesivas de una función. La derivada segunda de f(x) es, si existe, la función derivada de f (x) y la notamos f (x). Así sucesivamente tendremos f (x) (derivada segunda), f (x) (derivada tercera), f iv (x) (derivada cuarta),..., f n (x) (derivada n-ésima). Propiedades VI.1. Geométricamente, la derivada segunda nos da la concavidad del gráfico de la función, decimos que, cuando f (x) > 0 se tiene concavidad positiva ( El gráfico está hacia arriba o El gráfico sonríe ), mientras que, cuando f (x) < 0 se tiene concavidad negativa ( El gráfico está hacia abajo o El gráfico está triste ). Dado que el signo de f (x) nos da el crecimiento o decrecimiento de f(x), el signo de f (x 0 ) nos permite saber si en el punto x 0, que verifica f (x 0 ) = 0, la función presenta un mínimo relativo o máximo relativo (omitimos las condiciones de regularidad): Si f (x 0 ) > 0, la función presenta un mínimo relativo. Si f (x 0 ) < 0, la función presenta un máximo relativo. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 42 de 48

43 (VII) EJERCICIOS DE ESTA TERCER PARTE Ejercicio VII Dada una función f : IR IR, c, α IR, se definen las siguientes funciones: f 1 (x) = f(x) + c f 2 (x) = f(x + α) f 3 (x) = f(x) Bosquejar f(x), f 1 (x), f 2 (x) y f 3 (x) para las siguientes funciones (a) f(x) = 1 (b) f(x) = x 2 (c) f(x) = x 3 (d) f(x) = e x (e) f(x) = e x Mostrar cómo se pasa geométricamente del gráfico de f(x) a cada uno de los otros. 2. Deducir de la parte anterior cómo es la gráfica de f(x) = x 2 + αx + β con α,β IR. 3. Graficar f(x) = cos(x) y g(x) = sen(x) y deducir de la primer parte que g(x) = f ( x π ) 2 x IR. Ejercicio VII.2. Si f(x) es una fórmula o expresión analítica en una variable x, llamaremos dominio natural de definición de f al máximo dominio dentro de los reales donde la expresión f(x) esté bien definida con valores reales. Si no se indica lo contrario se estará trabajando con su dominio natural. Bosquejar f(x), en su dominio natural, para las siguientes funciones (a) f(x) = x (b) f(x) = log(x) (c) f(x) = x (d) f(x) = 1 x Ejercicio VII.3. Sea f : IR IR tal que f(x) = x 2 4(sen(α))x 2(sen(α)) + 2, con α [0,2π). 1. Graficar f(x) discutiendo según α. 2. Indicar el dominio natural de f(x). Ejercicio VII.4. Determinar f g y g f e indicar sus respectivos dominios, para las siguientes funciones f y g definidas en sus dominios naturales. (a) f(x) = x 2 g(x) = x 2 (b) f(x) = x g(x) = 4 x 2 Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 43 de 48

44 Ejercicio VII.5 (Funciones pares e impares). Sea f : D( IR) IR una función, donde D verifica x D x D (o sea D es simétrico respecto del origen). Decimos que f es par sii f(x) = f( x) x D. Decimos que f es impar sii f(x) = f( x) x D. 1. Qué particularidad tienen los gráficos de funciones pares e impares?. 2. Sea g : D IR una función cualquiera. Mostrar que: a) g(x)+g( x) 2 es una función par. b) g(x) g( x) 2 es una función impar. c) g se puede escribir como suma de una función par y una función impar. Ejercicio VII.6. Se considera la función real, f : IR IR representada por la gráfica: 1. f es inyectiva?, f es sobreyectiva?. 2. En cuáles intervalos f es creciente y en cuáles decreciente?. 3. f es par?, f es impar?. 4. En qué intervalos f es invertible?. Ejercicio VII.7 (Funciones sinusoidales). Se llama función sinusoidal a una función f(x) = Acos(ωx + α), donde A > 0 es la amplitud, α el ángulo de fase y ω la pulsación o frecuencia angular (se llama frecuencia a f = 2π ω ). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 44 de 48

45 1. Hallar el período de una función sinusoidal (el período es el menor real positivo T tal que f(x + T) = f(x)). 2. Probar que se puede escribir f(x) = acos(ωx) + bsen(ωx) y expresar a y b en función de A y α. Ejercicio VII.8. Graficar la función f : IR IR tal que f(x) = { x si x 0 x 2 si x > 0 Comprobar que f es biyectiva. Hallar f 1 y graficarla. Ejercicio VII.9. Graficar la función f : IR IR tal que f(x) = { 1 x si x > 0 Comprobar que f es biyectiva. Hallar f 1 y graficarla. Ejercicio VII.10. x si x 0 Qué relación hay entre la monotonía y la invertibilidad de una función definida en todo IR?. Utilice los ejercicios VII.8 y VII.9 para reafirmar su respesta. Ejercicio VII.11. Graficar cada una de las funciones definidas en IR \ {0} y determinar si es posible asignar un valor f(0) de modo que resulten continuas en IR. (a) ( ) 1 f(x) = xsen x (c) ( ) 1 f(x) = sen x Ejercicio VII.12. (b) f(x) = sen(x) x (d) f(x) = ex e x Hallar a,b IR tales que la siguiente función sea continua. sen(πx) si x < 1 f(x) = ax + b si 1 x 2 x 2 si x > 2 x Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 45 de 48

46 Ejercicio VII.13. Utilizar el teorema del valor intermedio o teorema de Bolzano para probar que: 1. la ecuación sen(x) x + 1 = 0 tiene alguna solución. 2. si f : [0,1] [0,1] es continua, entonces existe c [0,1] tal que f(c) = c. 3. cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. Ejercicio VII.14. Demostrar que una función f : I Rec(f), continua es invertible si y solo si es monótona estricta. Sugerencia: hay que probar que si es monótona estricta, es invertible, y también que si no es monótona estricta, no es invertible. Para probar esta última afirmación, por hipótesis existen tres puntos en el dominio, x 1 < x 2 < x 3 tales que si se ordenan sus imágenes con la relación menor que, resulta que la imagen por f de exactamente uno de los puntos x 1 o x 3 queda ubicado entre las imágenes de los otros dos puntos. Aplicar el teorema del valor intermedio a estos dos puntos y la función f para concluir que f no es inyectiva, y por lo tanto, no es invertible.) Ejercicio VII.15. Considerar la gráfica de la función dada por f(x) = x 2 +ax+b, donde a y b son constantes. Determinar los valores de a y b de manera que la recta y = 2x sea tangente a esta gráfica en el punto (2,4). Ejercicio VII.16. Sea f : IR IR, derivable con f(1) = 1 y f (1) = Probar que g : IR IR tal que g(x) = f(x)arctg(f(x)) es derivable en x = 1 y calcular g (1). 2. Probar que h : IR IR tal que h(x) = f(f(f(f(f(x))))) es derivable en x = 1 y calcular h (1). Ejercicio VII.17. Sea f : IR IR, tal que f(x) = x3 3 + x2 2 6x Hallar el intervalo de longitud máxima, que contenga al 0 en el que se puede definir la inversa de f (sea g esta inversa). 2. Graficar g y hallar g (4). Ejercicio VII.18. Sea f : IR IR tal que f(x) = e 2x. 1. Verificar que f(x) está en las hipótesis del teorema de Lagrange (teorema del valor medio) en el intervalo [0,1]. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 46 de 48

47 2. Representar gráficamente mostrando el resultado del teorema. Mostrar que el punto intermedio que resulta de dicho teorema es único y hallar su valor. Ejercicio VII.19. Utilizando la expresión de suma de arcos para sen(a + b) como única fórmula trigonométrica probar que: ( cos (x) + cos x + 2π 3 Sugerencia: Considere f(x) = cos (x) + cos ( x + 2π 3 Ejercicio VII.20. ) ( + cos x + 4π ) = 0 3 ) ( ) + cos x + 4π 3 y calcule su derivada. Demuestre que la ecuación cúbica x 3 3x + b = 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [ 1,1], cualquiera sea el valor de b. Ejercicio VII.21. Sea h una función tal que h(1) = 3, h (1) = 1/2, h (1) = 4. Si k(x) = x 3 h(x), calcular k (1) y k (1). Ejercicio VII.22. Sean f,g : IR IR funciones con derivadas segundas continuas. Hallar una expresión para la derivada segunda de g f, en función de las derivadas de f y g. Ejercicio VII.23. Dado k > 0, con k 1, mostrar que la función f : (0,+ ) IR tal que f(x) = x k kx posee un extremo relativo en x = 1, tratándose de un máximo si 0 < k < 1, y de un mínimo si k > 1. Graficar la función para k = 2 y k = 3. Ejercicio VII.24. Sea f : IR IR derivable en todo IR que cumple: f (x) = 0 x { 1,0,1,2,4}. f( 1) = 7, f(0) = f(8) = 3, f(1) = 6, f(2) = 4 y f(4) = 5. Probar que existen y hallar los extremos absolutos de f en [0,8]. Ejercicio VII.25. Estudiar la existencia de extremos absolutos de f en I y hallarlos en caso afirmativo; f(x) = sen(log(x)) x, I = [e π,1]. f(x) = sen(log(x)) x, I = (e π,1). Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 47 de 48

48 f(x) = sen(log(x)) x, I = [e π,1). f(x) = sen(log(x)) x, I = (e π,1]. Ejercicio VII.26. Probar o refutar que si f es continua en IR y tiene límites en ± finitos, entonces tiene máximo y mínimo en IR. Ejercicio VII.27. Sea f : IR IR, tal que f(x) = xe x. Analizar si f tiene máximo y mínimo absoluto en IR. En caso afirmativo hallarlos. Ejercicio VII.28. Hallar el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, teniendo la base inferior en el diámetro. Ejercicio VII.29. Un trozo de madera de 1,2 m. de largo tiene forma de un tronco de cono circular de diámetros 40 cm. y (40 + h) cm. en sus bases, donde h 0 es conocido. Determinar, en función de h, el volumen del mayor cilindro circular recto que se puede cortar de este trozo de madera, de manera que su eje coincida con el del tronco de cono. Ejercicio VII.30. Se desea ingresar una escalera de 125 dm de alto a una torre de 27 dm de profundidad y 125 dm de altura (no se consideran los anchos, ver figura). Cuál es la mínima altura de la puerta (h) que lo hace posible?. Material de Conocimientos Previos, Funciones Reales Hoja 48 de 48