MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Educación Primaria TEMA 22

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1 MAGISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Euión Primri TEMA LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVA. INTRODUCCIÓN. 1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS. 3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO Definiión el onjunto e los números nturles. 3.. Operiones e álulo on los números nturles. Propiees e álulo Orenión en el onjunto e los números nturles. 4. LOS NÚMEROS ENTEROS Definiión el onjunto e los números enteros. 4.. Operiones en los números enteros. Propiees e álulo Conepto e múltiplo y ivisor. Proeimientos e álulo: M... y m..m. e vrios números Orenión e los números enteros. 5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS Definiión el onjunto e los números rionles. 5.. Operiones en los números rionles. Propiees e álulo Orenión e los números rionles Representión e los números rionles en l ret. 6. LOS NÚMEROS DECIMALES Definiión e expresiones eimles. Posiiones eimles. Tipos e eimles. 6.. Operiones en los números eimles. Propiees e álulo Algoritmo pr el álulo e ríes exts.

2 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem 7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. 8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. 9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA Cálulo esrito. 9.. Cálulo mentl Estimiones en expresiones eimles: Cifrs signifitivs, notión ientífi y reoneo. ) Aproximión por ifrs signifitivs. ) Aproximión meinte notión ientífi. ) Proeso e reoneo ) Estimión e ríes Clulor. 10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA Trtmiento en el urríulo 10.. Reursos iátios. BIBLIOGRAFÍA.

3 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem INTRODUCCIÓN. Los ontenios referentes mtemátis en Primri se hn orgnizo en utro loques: El primero e toos orrespone l onepto e número y sus operiones. En iho tem se pretene r un pnorámi tul e lo que represent el onepto e número, los iferentes tipos e números que existen, su neesi y priniples utiliziones y sus métoos funmentles e álulo. Se h e r espeil relevni tnto l sistem e numerión que se utiliz, el eiml, omo ls reliones y propiees que preen en sus álulos pr el esrrollo e un orreto álulo mentl. Con too ello se us que el lumno lule on fluiez y hg estimiones rzonles, trtno e logrr un equilirio entre omprensión oneptul y ompeteni en el álulo. 1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. Los números son el onepto que suye en too proeso e meiión, orenión, operión o omprili e mgnitues eslres. L esuel Pitgóri en su elere frse Too es número querí expresr, entre otrs oss, que el origen e too unto existe en el universo puee ser esrito meinte estos oneptos. Ls mtemátis e toos los tiempos no onsiern los números on simples símolos sino omo verers estruturs oneptules suseptiles e explir ulquier fenómeno geométrio, físio, químio, tenológio, et. El grn eifiio e los números h sio onsustnil l propi evoluión humn, ese ls ris iviliziones one y preieron los números nturles, enteros o rionles omo instrumento pr el progreso e ls soiees hst l funmentión e los números reles o l priión e los números omplejos que oeee más ien uestiones profuns e igulmente útiles pr el esrrollo e l tenologí. El álulo numério es el onjunto e operiones y proeimientos pr operr on los números. L plr álulo proee el ltín lulus que no ern sino ls pequeñs piers on ls que los romnos relizn sus uents numéris. Durnte too este tiempo se hn reo múltiples expresiones lgeris, símolos y proeimientos e álulo numério pr poer esrrollr ests ies que l postre hn servio pr que l evoluión tul e l soie.. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS. Distinguimos en este tem utro grnes onjuntos e números unos inluios entro e otros: los números nturles, los enteros, los rionles (frionrios) y los reles (eimles). El onepto e número nturl está presente ese el iniio e l tivi en mtemátis en tos ls iviliziones. L neesi pr l introuión e estos números es eviente: poer ontr o enumerr elementos por lo que l nturlez e l noión e número nturl está estrehmente lig l onepto e onjunto. Atulmente los números nturles se utilizn pr ls misms funiones que los utilizrí ulquier ntigu ivilizión. 3

4 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Los números enteros fueron introuios por ls iviliziones ntigus en el momento en que se plnteron reliones e eito y omerio. Por lo tnto, estos números son tn rios omo ls reliones eonómis e ls primers iviliziones. Otros usos que urnte l histori se hn o estos números son el e meiión e etermins mgnitues: tiempo, tempertur, et. Así omo pr l resoluión e euiones uy soluión esp e los números nturles. Ejemplo 1: Si en un vgón e metro hy 50 persons y en un pr e metro se suen 4 vijeros, en l siguiente se jn 5 y se suen y en l terer se suen y se jn 7. Cuántos vijeros hrá en el vgón trs l terer pr?. Soluión: vijeros Ejemplo : L tempertur h isminuio os gros í urnte los últimos quine ís. Si estámos 3º C, Qué tempertur mr hoy el termómetro?. Soluión: 3º º 15 7º Ejemplo 3: Resolver l siguiente euión: x Soluión: x 1 5 x 4 x L motivión históri pr l introuión e los números rionles es l neesi e rterizr l prtiión e un totl en prtes igules o lo que es lo mismo, r soluiones e euiones e l form: x, sieno, 0 números enteros os y x un "número" eterminr. Do que en generl no es ivisor e, l nterior euión no tiene soluiones en el onjunto Z e números enteros. Como onseueni, eemos usr un onjunto e números más grne que Z, en el que plnter y resolver tles euiones. L onstruión e este onjunto se reliz prtir e Z no sentio ojetos e l form /, 0, sieno, 5 Z. Lo esenil es efinir un estrutur lgeri pr tles ojetos e form que ls euiones x se resuelvn meinte x/. Ls friones y números rionles se utilizn igulmente pr álulos e suis y isminuiones porentules, pr resoluión e prolems e prtiiones e un iert nti y omo operor en iertos proesos. Ejemplo 1: Clulr el preio e un ohe que sin IVA uest Soluión: Si el IVA es el 16% entones lulmos el umento el siguiente moo: Por lo que el ohe ostrá

5 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Ejemplo : Un utoús llev 40 persons. En l primer pr jn ls 3/5 prtes y en l segun un urto e ls que queron. Cuánts queron en el trnsporte?. Soluión. Clulmos primermente ls que se jron en l primer pr: Por lo tnto queron 16 persons. Clulno un urto e 16 otenemos ls que se jron en l segun pr: Luego en el utoús queron 1 persons. Ejemplo 3: Clulr ls os quints prtes e un terreno e 4 h h Los números rionles son inluso nteriores en sus orígenes los números enteros negtivos puesto que su nturlez es l e reprtir mientrs que l e los otros es e eito. Civiliziones omo l egipi y l ilóni y isponín e un omplejo sistem frionrio. L implntión e los números eimles oeee funmentlmente riterios e meiión y álulo e ierts longitues sore mgnitues eslres sí omo pr r expliión eterminos números omo π que preen en ojetos geométrios tn importntes omo l irunfereni y que no proeen e frión lgun. Aemás, l estrutur e los números eimles o reles permite representrlos omo un líne ret infinit sin hueos, ontinu y ens. Too el formlismo e los números reles y expresiones eimles se funmentó entre finles el siglo XIX y primer mit el siglo XX gris Cuhy, Weierstrss, Deekin o Cntor. 3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO Definiión el onjunto e los números nturles. El onjunto e los números nturles está formo por los números 0, 1,, 3,.. N {0, 1,, 3, 4,... } A este onjunto se le enomin on l letr N y se verifi que es un onjunto infinito pero on un primer elemento que es el 1. Figur 1: Representión e los números nturles. 5

6 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Como y ijimos nteriormente, los números nturles sirven nte too pr os oss: ontr y orenr elementos. En muhs osiones l número 0 no se le onsier número nturl sino entero por uestiones históris er e l inlusión trí el ero omo ompensión l ie e n que hst entones no se not en los álulos. Por ello muhos no le suelen otorgr el rngo e nturl. 3.. Operiones e álulo on los números nturles. Propiees e álulo. Entenemos por operión intern en el onjunto e los números nturles N to operión que prte el onjunto rtesino N x N y uyo resulto está en el propio onjunto N. Ls priniples operiones interns en el onjunto e los nturles son l sum y l multipliión. L sum se entiene moernmente omo el proeso por el ul se uentn los elementos e l unión e os o más onjuntos. Así, os os onjuntos A y B on elementos n y m respetivmente, se efine l sum e n + m omo el número e elementos el onjunto AΩB. Ls propiees que preen en N prtir e l operión sum son, entre otrs, ls siguientes: Asoitiv.,, N, + ( + ) ( + ) + Elemento neutro. N, Conmuttiv., N, + + Cneltiv.,, N, + + El prouto o multipliión e números nturles se entiene e moo nálogo el siguiente moo. Dos os onjuntos A y B on elementos n y m respetivmente, se efine el prouto e n por m y se enot meinte n m omo el número e elementos el onjunto rtesino AxB. Ls propiees que preen en N prtir e l operión prouto o multipliión son, entre otrs, ls siguientes: o Asoitiv.,, N, ( ) ( ) o Elemento neutro. N, 1 1 o Conmuttiv., N, o Cneltiv.,, N 0, o N 0 0 o Distriutiv respeto e l sum.,, N ( + ) + A prtir e l multipliión se puee efinir l poteni e números nturles. Un poteni es un multipliión iter e moo que os y n nturles, l poteni elevo n es el prouto n n 6 vees

7 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Al vlor se enomin se e l poteni y l vlor n exponente e l mism. Como onseueni e lo iho nteriormente, l poteniión será tmién un operión intern en N y present ls siguientes propiees: ) N, ) N, ), n, m N, n m n+ m n ), n, m N on n m, : n n m e) n m N ( ),,, m m n m L operión e riión o ríz es l operión invers e l operión e poteni e moo que os los nturles y n l ríz n ésim e, enot por n, es el resulto si y sólo si l elevr el resulto l exponente n otenemos el vlor. Es eir, n n Al número n lo llmremos ínie e l ríz y l vlor lo enominremos rino., riz n ésim el siguiente moo: Diremos que l ríz n- ésim e un número Ejemplo 1: 4 porque 4 Ejemplo : porque 3 7 Por último, l operión e ivisión en los números nturles onllev un proeso e reprto en el que hrá un totl D reprtir (ivieno), un onjunto e elementos quienes se reprte (ivisor), l nti que quiere uno e estos elementos (oiente) y un sornte r (resto). De este moo se ee umplir el llmo teorem e ivisiili eulies, vulgrmente llmo prue e l ivisión, D + r one el resto es siempre menor que el ivisor Orenión en el onjunto e los números nturles. Dos os números nturles, 5 N, se ie por efiniión que es menor o igul que y se esrie si existe lgún nturl 5 N tl que Ejemplo: 3 5 porque

8 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem 4. LOS NÚMEROS ENTEROS Definiión el onjunto e los números enteros. Consiermos el onjunto e los números nturles N (que llmremos enteros positivos) l que unimos el número 0 y los números nturles on signo menos (llmos negtivos). El onjunto unión e toos esos números es el onjunto e números enteros. Z {...,, 1, 0, + 1, +,... } Este nuevo onjunto se enot meinte l letr Z y se oserv que es un onjunto infinito, omo los números nturles, pero ifereni el nterior no tiene elemento primero o mínimo. 4.. Operiones en los números enteros. Propiees e álulo. Ls priniples operiones interns en el onjunto e los enteros son l sum, l rest y l multipliión. Pr poer efinir e un moo más ómoo ls priniples operiones en los números enteros, mos previmente l efiniión e vlor soluto e un número entero. Llmmos vlor soluto e un número entero, y lo enotmos meinte, l número nturl que result e suprimir el signo iho número entero. Ejemplos:, +4 4 Extenieno hor el onepto e sum e nturles los números enteros, poemos r regls prátis pr l sum/rest e números enteros el siguiente moo: Pr sumr os números enteros el mismo signo, se sumn los vlores solutos e los números y se ñe el signo el más grne en vlor soluto. Ejemplo: ( + 5) + 7 Ejemplo: 7 ( + 7) 9 Pr sumr os números enteros e istinto signo, se restn los vlores solutos e los números y se ñe el signo e quel e myor vlor soluto. Ejemplo: + 5 (5 ) 3 Ejemplo: (7 ) + 5 Bjo ests premiss, poemos oservr que l sum e enteros tiene, entre otrs, ls siguientes propiees: o Asoitiv.,, Z, + ( + ) ( + ) + o Elemento neutro. Z,

9 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem o Elemento simétrio. Z, Z, 0 o Conmuttiv., N, + +. De igul moo, pr el prouto poemos r regls prátis el siguiente moo: Pr multiplir os números enteros el mismo signo, se multiplin los vlores solutos e los números y se ñe el signo ms. Ejemplo: (+ ) (+ 5) + ( 5) + 10 Ejemplo: ( ) ( 7) + ( 7) + 14 Pr multiplir os números enteros e istinto signo, se multiplin los vlores solutos e los números y se ñe el signo menos. Ejemplo: (+ ) ( 5) ( 5) 10 Ejemplo: ( ) (+ 7) ( 7) 14 Así, entre otrs, el prouto umple on ls siguientes propiees: o Asoitiv.,, Z, ( ) ( ) o Elemento neutro. Z, 1 1 o Conmuttiv., N, + +. o Distriutiv respeto e l sum.,, Z, ( + ) + Con ests operiones Z quiere estrutur e nillo onmuttivo on elemento uni (que es el 1). Oservr que hor too número entero tiene su opuesto mientrs que, lgunos, siguen sin tener su inverso. Por último, l poteniión extiene su efiniión y propiees efinieno l poteni e exponente negtivo, el siguiente moo: Ejemplo: Clulr 3 3 n 1 1 n 1 n 4.3. Conepto e múltiplo y ivisor. Proeimientos e álulo: M... y m..m. e vrios números Z A prtir e l multipliión y ivisión ext (l que tiene resto ero) preen efiniiones muy utilizs en ls mtemátis: o Dos os enteros y, se ie que es múltiplo e si existe un entero tl que 9

10 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Ejemplo: Múltiplos el número 6 son 6, 1, 4, 36,... o Dos os enteros y, se ie que es ivisor e si existe un entero tl que Por lo tnto, l ivisión e entre ee ser ext (resto 0) Ejemplo: Divisores el número 1 son 1,, 3, 4, 6, 1. o Un número se irá primo uno sólo es ivisile entre el mismo y 1. Si un número no es primo es ompuesto. Ejemplo: Números primos son 13, 17, 3, 37,... mientrs que números ompuestos son 5, 36, 7, 11,... En ests oniiones se puee efinir el máximo omún ivisor y mínimo omún múltiplo e os o más números: o Dos os enteros y, se ie llm Máximo omún ivisor e y, y se enot por, M...(,) l myor entero que ivie l vez mos números. Ejemplo: Clulr el M...(1, 18, 9). Puesto que los ivisores e número son: 1 : 1,, 3, 4, 6 y 1; 18: 1,, 3, 6, 9 y 18; 9 1, 3 y 9 El myor número entero que ivie toos es 3. Existe un regl muy útil que permite lulr el M... e vrios números, previ esomposiión en números primos e toos ellos, en l que se tomrá el prouto e los ftores primos omunes on el myor exponente on el que hyn preio en lgun e ls esomposiiones. Ejemplo: Clulr el m...(1, 18, 9) Por lo tnto, 1 3, 18 3, 9 3 por lo que m...(1, 18, 9) 3. 10

11 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem o Dos os enteros y, se ie llm mínimo omún múltiplo e y, y se enot por, m..m.(,) l menor entero que es múltiplo l vez mos números. Ejemplo: Clulr el m..m.(1, 18, 9). Puesto que los primeros múltiplos e número son: Múltiplos el 1 : 1, 4, 36, 48, 60, 7, 84,... Múltiplos el 18: 18, 36, 54, 7, 90,... Múltiplos el 9 1, 9, 18, 7, 36, 45, 54, 63, 7, El menor número entero que es múltiplo e toos ellos es 36. Existe un regl muy útil que permite lulr el m..m. e vrios números, previ esomposiión en números primos e toos ellos, en l que se tomrá el prouto e toos los ftores primos on el menor exponente on el que hyn preio en lgun e ls esomposiiones. Ejemplo: Clulr el m..m.(1, 18, 9) Utilizno ls esomposiiones ntes luls, m..m.(1, 18, 9) Orenión e los números enteros. Dos os números enteros, 5 Z, se ie por efiniión que es menor o igul que, y se esrie, si 5 N Ejemplo: 1 4 < porque ( 4) 5 N. 5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS Definiión el onjunto e los números rionles. Consiermos el onjunto e los números enteros Z y el onjunto e los número reles menos el ero Z *. Se el prouto rtesino: ZxZ *, Z, 0 A este onjunto se le enomin onjunto e friones y uno e sus elementos es un frión. 11

12 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem En iho onjunto, iremos que os friones y son equivlentes si el prouto e meios es igul que el prouto e extremos, es eir: De este moo, llmremos número rionl l onjunto formo por l frión y tos sus equivlentes. El onjunto formo por los números rionles se es por efiniión el onjunto e los números rionles y se enot meinte Q. Ejemplo: L lse 3 es l form por 3 y tos sus equivles. Oservr igulmente que elemento el onjunto Q sí efinio tiene un representnte nónio exlusivo e l form on m...(,) 1, Est es l llm frión irreuile e número rionl. Ejemplo: L frión 6 4 tiene omo irreuile 3. Del mismo moo, poemos eir que simplifir (mplifir) un frión onsiste en enontrr un frión equivlente iviieno (multiplino) numeror y enominor por el mismo número entero. Tos ests friones son puntos e l mism ret y por lo tnto, el mismo número rionl. De entre ls efiniiones más omunes en ls friones poemos estr: Frión propi: Si el vlor soluto el numeror es menor que el vlor soluto el 15 5 enominor. Ejemplos:,,, Frión impropi: Si el vlor soluto el numeror es myor o igul que el vlor soluto 5 3 el enominor. Ejemplos: 3,,, En este so siempre existirá un esomposiión e l frión impropi omo un número entero más un frión propi: impropi,, n Z,, n 0 y < on n + 1

13 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Frión positiv: D l frión, iremos que es positiv si > 0. Si un frión es positiv, su número rionl tmién es positivo y que tos ls friones que son equivlentes hn e tener el mismo signo. Ejemplos: +,,, Frión negtiv: D l frión, iremos que es negtiv si < 0. Si un frión es negtiv, su número rionl tmién es negtivo y que tos ls friones que son equivlentes hn e tener el mismo signo. Ejemplos:,,, Frión nul o ero: D l frión, iremos que es nul si 0. Si un frión es nul, su número rionl tmién es nulo. Ejemplos:,,, Operiones en los números rionles. Propiees e álulo. Pr otr l onjunto Q que mos e efinir e un ráter numério eemos otrlo e un serie e propiees lgeris. Esto será muy fáil y que str seguir ls regls que semos e l ritméti on friones. Dos os números rionles, Q poemos efinir, prtir e ls operiones sum y prouto en los enteros, l sum e los números rionles omo: + + Ejemplo: De igul moo pr el prouto se tenrá que: Ejemplo: Ests efiniiones no epenen e los representntes utilizos pr lse e equivleni. Con ests operiones Q quiere uerpo onmuttivo y que umple respeto e operión ls siguientes propiees: 13

14 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem 14 Sum. o Asoitiv. f e f e Q f e ,,, o Elemento neutro. { } * ) / (0, 0 0 0, Z n n Q + + o Elemento simétrio. 0,, + Q Q o Conmuttiv. Q + +,,. Prouto. o Asoitiv. f e f e Q f e,,, o Elemento neutro. { } * ) /, ( 1 1 1, Z n n n Q o Elemento simétrio. 1,, Q Q o Conmuttiv. Q,,. o Distriutiv respeto e l sum. f e f e Q f e + +,,, En unto l poteni, se extiene l efiniión e potenis e exponente frionrio, no l equivleni entre poteni y riz el siguiente moo: q p q p / Por lo tnto, l riión, no es más que un poteni e exponente frionrio. Ejemplo: Clulr (4/9) 1/ / Oserviones. 1. L rest e friones se efine e igul moo que l sum meinte l propie el elemento opuesto pr l sum: ( ) + + Ejemplo:

15 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem. L ivisión se efine prtir e l efiniión e multipliión y l propie el elemento inverso. : 1 Ejemplo: : Orenión e los números rionles. Dos os números rionles esrie si, Q, se ie por efiniión que es menor o igul que y se 0 Ejemplo: porque > Representión e los números rionles en l ret. Pr representr el punto en el que el número rionl / ee onsierrse en l ret e los enteros. Deemos iviir uni en ls prtes que inique el enominor y ontr, ese el punto 0 e los enteros, tnts prtes igules omo inique el numeror. Si este es positivo, ontremos l ereh y si es negtivo, ontremos hi l izquier. Ejemplo: Representión gráfi e l frión 6/5. Pr ello se oserv que uni se h iviio en ino prtes igules y se h proeio ontr prtir el 0 hi l ereh seis prtes igules. 6. LOS NÚMEROS DECIMALES Definiión e expresiones eimles. Posiiones eimles. Tipos e eimles. El onjunto e expresiones eimles e l form ± n,

16 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem on n 0 es un nturl ulquier y i números nturles tles que 0 i 9 pr too i nturl one eliminmos los sos en que i 9 pr too n prtir e uno o, proporion el onjunto e número eimles. Este onjunto es equivlente l onjunto e números reles R. Ests expresiones se interpretn omo ±(n ) one llmremos n l prte enter y l expresión restnte prte eiml. Ejemplo: El número tiene prte enter 3 y prte eiml Too número rionl tiene un esrrollo eiml soio únio que se puee lulr iviieno su numeror entre su enominor. Esto onstituye un inmersión el onjunto e los rionles en los eimles que onserv ls operiones e sum y prouto l vez que l orenión e los números. Ejemplo: Psr número eiml los siguientes números rionles: Soluión: Diviieno, en so, numeror entre enominor enontrmos que 4 0 4, 1 3, Los números eimles se lsifin, por su esrrollo eiml, en tres grupos según su formión. Los os primeros son esrrollos que preen prtir e los números rionles mientrs que el último grupo onstituye un nuevo tipo e número no trto hst hor: los números irrionles., 5 4, 3 9 Deimles extos: Si ±(n ) tiene únimente un número finito e ifrs i no nuls. Se puee pror que ests expresiones son equivlentes un número rionl. Por ejemplo, l expresión n 43 7 se puee multiplir por 100 otenieno: 100n De one se otiene que: n 100 Deimles perióios: De igul moo si l suesión e ifrs tiene un estrutur periói prtir e lgun e ells, entones el número se enomin perióio y l onjunto finito e ifrs que se repiten inefinimente se enomin perioo. Existen os tipos e perióios, los puros (el perioo pree prtir e l om) y los mixtos (el perioo no pree prtir e l om). En este seguno sugrupo llmmos nteperioo l onjunto e ifrs entre l om y el perioo. Se puee emostrr que tmién too número eiml perióio es rionl. 16

17 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem o Como ejemplo l expresión eiml periói pur n, se puee multiplir por 1000 otenieno: 1000n Restno ls expresiones nteriores: De lo que se eue que Otro ejemplo puee ser l expresión eiml periói mixt n 0, se puee multiplir por 10 otenieno: 10n Nuevmente multiplino por 100: 1000n Restno ls expresiones nteriores: De lo que se eue que Deimles no extos ni perióios (números irrionles): L negión e los nteriores sos nos llev por último, que l suesión e ifrs se e ráter infinito pero sin ontener ningun estrutur periói. Se puee emostrr que est lse e expresiones eimles no orresponen ningún número rionl por lo que son expresiones irrionles que n lugr los llmos número irrionles. Un ejemplo e este so, porí ser el número 1, uy expresión no es finit y no tiene perioo. Números muy populres que tienen esrrollo eiml irrionl son π , e ó Operiones en los números eimles. Propiees e álulo. Es eviente que, slvo en situiones muy prtiulres, sólo poremos efetur operiones sore números eimles e ráter exto o perióio. L rterizión e este tipo e esrrollos eimles omo números rionles permite poer efetur ulquier álulo meinte los números rionles orresponientes. 17

18 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem De ulquier moo, poemos relizr operiones on números eimles extos meinte los propios esrrollos eimles el siguiente moo. Dos los esrrollos (n p 10 -p ) (m q 10 -q ) on n, m, p, q 0 nturles (sin peri e generli) y i i números nturles tles que 0 i 9, tenremos que l sum e estos os números venrá por: (n+m) + ( ) ( + ) ( ) Por lo tnto, pr sumr (restr) números eimles hy que sumr (restr) ls ifrs e l mism posiión y relizr ls equivlenis respetivs (proeso e llevrse). L rest se puee efinir prtir el elemento opuesto pr l sum. Ejemplo 1: Clulr Ejemplo : Clul Del mismo moo, el prouto venrá o por: (n m) + ( 1 m + 1 n) L ivisión se puee efinir prtir el elemento inverso pr el prouto. Ejemplo 3: Clul 1 34 x 03 Ejemplo 4: Clul : 3 Con ests operiones R quiere estrutur e uerpo onmuttivo. L ifereni entre Q y R se eriv en que R es un onjunto enso y por lo tnto es representle omo un ret mientrs que Q no es enso y su representión omo un ret es inomplet y unque le fltn los números irrionles Algoritmo pr el álulo e ríes exts. El lgoritmo e álulo e ríes está so en métoos e proximión e ríes e ierts funiones. Explimos el lgoritmo meinte el esrrollo el mismo en el álulo e l ríz ur e : 18

19 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Se tomn grupos e os en os prtir e l om tnto ereh omo izquier e l mism. Se onstruye el sillero l ereh one irá ini l soluión l finlizr el lgoritmo. Se us el número que l uro quee más próximo por efeto l último grupo e os ifrs situo totlmente l izquier (1). Se olo en el sillero soluión y se lul l rest entre el vlor proximo y el rel (1 1). Se j el siguiente grupo e os ifrs (41). Se multipli por os l resulto que pree en l sill superior ereh y se us quell ifr nturl entre 0 y 9 tl que l multipliión el sillero ( x ) queé más próxim por efeto l número reo en l prte e l izquier (41). Se olo ih ifr enontr en l sill el resulto (1), se efetú l multipliión y se lul l rest entre el vlor proximo y el rel (41 1 0). Se j el siguiente grupo e os ifrs (61). Al psr l om, se olo l om en el sillero soluión. Se multipli por os l resulto que pree en l sill e soluión (11) y se us quell ifr nturl entre 0 y 9 tl que l multipliión el sillero ( x ) queé más próxim por efeto l número reo en l prte e l izquier (061). Se olo ih ifr enontr en l sill el resulto (9), se efetú l multipliión y se lul l rest entre el vlor proximo y el rel ( ). El resulto es el inio en el sillero soluión En el so e no r resto ero se jn el siguiente grupo e ifrs que en este so serín

20 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem 7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. El sistem e numerión ráigo que utilizmos tulmente pr representr nuestros números es posiionl y so en 10 símolos (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En unto que el sistem e numerión es eiml o e se 10 es onseueni e l utilizión e iez símolos pr esriir ulquier número. No hy ningun rzón intrínse por l que en usrse potenis e 10 en lugr e potenis e otros números. L rzón más exteni es l simple estrutur e nuestrs mnos en iez eos. Sin emrgo huo otrs ulturs que utilizron sistems e numerión iferentes omo por ejemplo los ilonios que usron l numerión sexgesiml e l que toví respetmos en l mei el tiempo o los ángulos. Posiionl, signifi que símolo que utilizmos signifi iferente en funión e l posiión en l que este. Por ejemplo, en nuestro sistem e numerión, los números 47 y 74 son iferentes ún uno se esrien on ls misms ifrs. Esto es eio que número es un polinomio e l poteni 10 on oefiientes os por números ese el 0 hst el 9. Así De este moo, posiión e un ifr que esrie un número entero reie un nomre. De entre ls más ests tenemos: Al oefiiente e l poteni e iez on gro 0 se le enomin unies. Al oefiiente e l poteni e iez on gro 0 se le enomin eens. Al oefiiente e l poteni e iez on gro 0 se le enomin entens. Al oefiiente e l poteni e iez on gro 0 se le enomin unies e millr. Oservr omo en el sistem e numerión eiml, y según su expresión omo polinomios e potenis e se 10 se tenrá que: 1 uni e millr 10 éntens 1 énten 10 eens 1 een 10 unies. Pr ilustrr el sistem e numerión eiml es ueno onstruir l siguiente tl en l que se muestrn ls unies, eens, entens,... e lgunos números nturles: Centens e millr Unies e millr Centens eens unies Nturl

21 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Como ijimos nteriormente, to expresión eiml onst e un prte enter y un prte eiml. Tenieno en uent que l prte eiml e un esrrollo en se 10 se puee tmién reesriir omo un polinomio en potenis e se 10 y exponente negtivo, poemos efinir nuevs posiiones omo son ls siguientes: Al oefiiente e l poteni e iez on gro 1 se le enomin éims. Al oefiiente e l poteni e iez on gro se le enomin entésims. Al oefiiente e l poteni e iez on gro 3 se le enomin milésims. Al oefiiente e l poteni e iez on gro 4 se le enomin iez milésims. Y por tnto, 1 uni 10 éims 1 éim 10 entésims 1 entésim 10 milésims 1 milésim 10 iezmilésims Pr ilustrr el sistem e numerión eiml es ueno onstruir l siguiente tl en l que se muestrn ls posiiones numéris e los símolos que integrn lgunos números eimles Centens Deens Unies Déims Centésims Milésims Nturl Existen otros sistems e numerión iferentes l que usulmente utilizmos. En l tenologí e orenores informátios se utilizn tmién sistems e numerión on se (inrio) que suele utilizr los símolos 0 y 1 mientrs que otr e ls ses más interesntes tenológimente hlno es l 16 (hexeiml) que utiliz los símolos 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E. Pr ejemplifir, supongmos que los os símolos pr un sistem inrio sen 0 y 1. En ese so los primeros números el sistem e numerión inrio on esos símolos serán: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,... que orresponerán suesivmente los números 1 10, 10, 3 10, 4 10, 5 10, 6 10, 7 10,... el sistem numério eiml. Así, si queremos onoer qué número eiml orrespone l inrio 1001, no tenremos más que utilizr el polinomio en potenis e se el que proee:

22 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Otros ejemplos son: Por otr prte, si queremos ses que número inrio orrespone l número eeremos iviir reitermente entre l número y sus suesivos oientes y tomr not el último oiente y suesivos restos en el oren mro inverso omo los hemos otenio. Dih letur nos proporionrá el número inrio equivlente, según se muestr en el ejemplo: Los strónomos ilonios usn un sistem on se 60 (sexgesiml). Un resto e est práti es l uni gro que utilizmos pr meir ángulos, iviieno el írulo en 360 prtes. Otr reminiseni e ih se es l ivisión e l hor en 60 minutos y el minuto en 60 segunos. 8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. Los utro tipos e números esritos nteriormente se relionn meinte inlusiones e unos en otros según muestr el siguiente esquem: Números enteros ( Z ) Números...,, 1,0, + 1, +,... rionles ( Q ) 8 /, 4 / 3,... Números frionr ios no reuiles n / 1 Números 3 / 4, 6 / 5, eimles o reles ( R ) 0 73, 1 7, 13, Números Irrionl es ( I ), π, e, Números nturles ( N ) 0, 1,, 3, 4,... Números enteros negtivos..., 4, 3,, 1

23 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem 9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA Cálulo esrito. Tos ls propiees its nteriormente sore uno e los onjuntos ren l llm jerrquí e operiones en R que sirve pr onoer el lugr por el que hy que empezr ulquier álulo numério y el oren h seguir. Si el álulo es esrito, un yu importnte suele ser l inlusión e préntesis y orhetes on el fin e r ls siguientes regls: 1. En ulquier álulo se efeturán siempre los préntesis y orhetes lo primero y entro e estos nuevmente se usrán estos elementos.. En useni e préntesis, orhetes se efeturán los proutos, potenis y ivisiones. 3. En useni e préntesis, orhetes, proutos, potenis y ivisiones, se efetún ls sums y ls rests. Ejemplo 1: [ 4 30 : ( 16 7) ] [ 4 30 : ( 16 14) ] [ 4 30 : ( + ) ] : [ 4 15] [ 11] Ejemplo : : : : : Cálulo mentl. Al mismo tiempo, se pueen ejeritr los álulos mentles más simples que vyn onformno proesos lógios mentles onformes ls regls e álulo, meinte ejeriios enminos ello omo puen ser: Operr mentlmente en sums, rests y multipliiones por ompensión en too tipo e números. Ejemplo: Operr mentlmente: 74 8 ( 76 30); 11 x 1 (10 x 1 + 1). Busr mentlmente un número prtir e un ierto número o ellos y meinte ls operiones ásis. Ejemplo: Clul mentlmente los ino primeros números nturles prtir e utro y on ls operiones ásis. 3

24 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Cálulos ontenos on números nturles o enteros. Ejemplo: Clul mentlmente Búsque e oles, triples, quíntuplos, mites, urts prtes, et. e nties s. Ejemplo: Bus mentlmente el ole, el triple, l mit y l terer prte el número 6. Busr múltiplos y ivisores e un número o. Ejemplo: Clul mentlmente ino múltiplos y ino ivisores el número 36. Búsque e números primos hst 100. Ejemplo: Busr mentlmente los números primos que hy entre los 0 primeros números nturles. Desomposiión e números ompuestos en proutos vrios y en prouto e primos. Ejemplo: Desomponer mentlmente en prouto los números 10, 15, 18. Después usr un ftorizión en primos. Cálulo e m... y m..m. e pres e números múltiplos o primos unos on otros. Ejemplo: Clulr mentlmente el m... (6,), m..m.(10, 0) Operiones senills e sum y rest on friones on el mismo enominor Ejemplo: Clulr mentlmente: Cálulo e l frión e un número o. Ejemplo: Clulr mentlmente los /3 e 30 kg. Reoner números eimles y operr estimno meinte ests proximiones. Ejemplo: Clulr mentlmente proximno ls éims: Multiplir o iviir por l uni segui e eros. Ejemplo: Clulr mentlmente : 10000, 6 5 x Estimiones en expresiones eimles: Cifrs signifitivs, notión ientífi y reoneo. Freuentemente un número eiml es lo sufiientemente extenso omo pr que ree serios prolems en los álulos relizr, ien porque proveng e un número irrionl, teng esrrollo eiml perióio o simplemente porque teng un longitu ineu pr poer efetur los álulos on omoi. En osiones ourre que l extitu que esemos pr l uent no oinie on el número totl e ígitos que se nos plnten iniilmente. ) Aproximión por ifrs signifitivs. En etermins situiones se opt por estimr o proximr un número eiml o meinte un número k e ifrs signifitivs etermino. Este proeso onsiste en mntener ls primers k ifrs 4

25 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem el número prtir e l primer istint e ero (empezno por l izquier) y sustituir ls siguientes por ero. Ejemplo 1: L estimión 3 ifrs signifitivs el número es Ejemplo : L estimión por ifrs signifitivs ls éims el número 6 54 es 6 5. Los ígitos no trnsformos se enominn ígitos signifitivos, y en prtiulr l primero e los números sin trnsformr se enomin ígito más signifitivo. Por ejemplo, supongmos el número Dos números proximos porín ser 0,00080 y 0,0008 on el número más signifitivo. En el primero tenemos utro ígitos signifitivos (080), mientrs que en el seguno tenemos sólo tres (08). Osérvese sin emrgo que mos son el mismo número. Pero el primero e ellos ofree un preiión más extens que el seguno, pues proporion un sext ifr que no es por el otro. ) Aproximión meinte notión ientífi. Este proeso se utiliz usulmente uno el número utilizr pr los álulos es emsio grne o emsio pequeño (entenemos por pequeño erno 0). Por lo tnto, otr form e expresr los ígitos signifitivos e un número proximo es esriirlo en notión ientífi, es eir, el moo siguiente: ( p 10 -p ) 10 m, L serie e ifrs elnte e l poteni e 10 se enomin mntis el número y l poteni e 10 se enomin exponente el número. L mntis siempre llevrá omo prte enter un número entre 1 y 9. En operiones e multipliión y ivisión on números extensos, este métoo se vuelve muy útil. Ejemplo 1: Cuno nos ien que l istni e l Tierr l Sol es km., nos están no un número proximo: ( ) 10 9, Ovimente, tl número posee utro ígitos signifitivos. ) Proeso e reoneo Un reoneo e un número eiml hst iert posiión (eens, unies, éims,... ) es un proximión l expresión eiml finit más ern que sólo onteng ifrs hst ih posiión. Pr ello, se onservrán tos ls ifrs el número hst ih posiión pero, en est últim hremos lo siguiente: Añiremos 1 l ifr e últim posiión si su siguiente es myor o igul que 5. Dejremos l mism ifr en l últim posiión si l siguiente es menor que 5. 5

26 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Ejemplo 1: Consieremos π 3, y lulemos reoneos ls iezmilésims, milésims y entésims. 3,1416 (iezmilésims) 3,14 (milésims) 3,14 (entésims) Ejemplo : Consieremos reoneos ls éims e los números siguientes: ) Estimión e ríes. 6,57 6,5, 0,456 0,5,,195,, 1,450 1,5, 0,950 1,0, 4,851 4,9, 0,850 0,9, 0,05 0,1. Por lo tnto, si se trt e estimr el vlor e l ríz n ésim e, es eir n, hst iert posiión (unies, éims, entésims,... ), lulremos quellos os vlores eimles p y q onseutivos en tl posiión tles que p n q n El vlor p nos proporionrá un vlor por efeto e l ríz n ésim mientrs que el vlor q será un vlor por exeso. Ejemplo 1: Pr estimr ls unies 53, oservmos que Por lo que un estimión por efeto ls unies e l ríz pei es 7 y por exeso es 8. Ejemplo : Pr estimr o proximr ls entésims el vlor e 41, primermente estimmos l prte enter e l ríz. Oservmos que el intervlo [6, 7] umple que Por lo tnto, 6 será un ot por efeto pr l prte enter y 7 lo será por exeso. Pr proximr ls éims, lulmos ls potenis siguientes ls éims entre los número 6 y 7, es eir, el uro e 6 1, 6, 6 3,..., 6 9. En este so tenremos que: Por lo tnto, el intervlo en éims l que pertenee nuestr ríz es [6 4, 6 5] por lo que los extremos serán ots por efeto y exeso respetivmente. 6

27 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Pr proximr ls entésims, lulmos ls potenis siguientes: Por lo tnto, el intervlo en éims l que pertenee nuestr ríz es [6 4, 6 41] por lo que los extremos serán ots por efeto y exeso respetivmente Clulor. L lulor es un herrmient e trjo extrorinrimente útil pr llegr on myor rpiez eterminos resultos. Sin emrgo, est herrmient no ee sustituir l álulo esrito y mentl que el lumno ee ejeritr. L utili prinipl e l lulor es el onoimiento e sus priniples tels (euos los onoimientos que se están orno) prtir e ejeriios senillos l vez que puee utilizrse en proesos e úsque, ensyo-error, omproión e un álulo mentl ntes efetuo, et. Pero nun pr operr on mgnitues y tmños que se puen her mentlmente on fili. Los elementos utilizr en un lulor en estos niveles son: Ls tels e operión sum, rest, multipliión, ivisión, exponente, ríz y memori. Es importnte her hinpié en que l jerrquí e operiones l eemos introuir nosotros en l lulor Ejeriios euos porín ser: Ejemplo: Cuál es el myor número que puees onseguir en pntll pulsno os vees un e ests tels? A) +, ) x, ) / x. Ejemplo: Clul mentlmente y espués omprue tus álulos on l lulor: Ejemplo: Bus on l lulor el ígito que hy que poner en espio pr que se verifique l igul Ejemplo: Si en tu lulor no funionse l tel ero, omo onseguirís que preiesen los siguientes números: 180, 108, 1080, Ejemplo: En l pntll e l lulor pree el número 5639, ómo onseguirís vrir el 3 en un 0?, y el 6 en un 8?. 10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA Trtmiento en el urríulo Los iferentes ontenios que se hn esrrollo en est uni son ojeto e prenizje en los tres 7

28 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem ilos e l Euión Primri. Este heho se reoge en el nálisis e los istintos elementos el urríulo el REAL DECRETO 1513/006, e 7 e iiemre, por el que se estleen ls enseñnzs mínims e l Euión Primri. Ojetivos L enseñnz e ls Mtemátis en est etp tenrá omo ojetivo el esrrollo e ls siguientes pies: 1. Utilizr el onoimiento mtemátio pr omprener, vlorr y prouir informiones y mensjes sore hehos y situiones e l vi otiin y reonoer su ráter instrumentl pr otros mpos e onoimiento.. Reonoer situiones e su meio hitul pr uy omprensión o trtmiento se requiern operiones elementles e álulo, formulrls meinte forms senills e expresión mtemáti o resolverls utilizno los lgoritmos orresponientes, vlorr el sentio e los resultos y explir orlmente y por esrito los proesos seguios. 3. Apreir el ppel e ls mtemátis en l vi otiin, isfrutr on su uso y reonoer el vlor e titues omo l explorión e istints lterntivs, l onvenieni e l preisión o l perseverni en l úsque e soluiones. 4. Conoer, vlorr y quirir seguri en ls propis hilies mtemátis pr frontr situiones iverss, que permitn isfrutr e los spetos retivos, estétios o utilitrios y onfir en sus posiilies e uso. 5. Elorr y utilizr instrumentos y estrtegis personles e álulo mentl y mei, sí omo proeimientos e orientión espil, en ontextos e resoluión e prolems, eiieno, en so, ls ventjs e su uso y vlorno l ohereni e los resultos. 6. Utilizr e form eu los meios tenológios tnto en el álulo omo en l úsque, trtmiento y representión e informiones iverss. 7. Ientifir forms geométris el entorno nturl y ulturl, utilizno el onoimiento e sus elementos y propiees pr esriir l reli y esrrollr nuevs posiilies e ión. 8. Utilizr ténis elementles e reogi e tos pr otener informión sore fenómenos y situiones e su entorno; representrl e form gráfi y numéri y formrse un juiio sore l mism. Contenios Los ontenios que se esrrolln en est uni se relionn funmentlmente on el loque e ontenio 1. Números y operiones. L seleión e ontenios e los tres ilos es: 8

29 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Primer ilo Seguno ilo Terer ilo Bloque 1. Números y operiones Números nturles - Reuento, mei, orenión y expresión e nties en situiones e l vi otiin. - Letur y esritur e números. Grfí, nomre y vlor e posiión e números hst tres ifrs. - Utilizión e los números orinles. - Oren y reliones entre números. Comprión e números en ontextos fmilires. Operiones - Utilizión en situiones fmilires e l sum pr juntr o ñir; e l rest pr seprr o quitr; y e l multipliión pr lulr número e vees. - Expresión orl e ls operiones y el álulo. - Disposiión pr utilizr los números, sus reliones y operiones pr otener y expresr informión, pr l interpretión e mensjes y pr resolver prolems en situiones reles. Estrtegis e álulo - Cálulo e sums y rests utilizno lgoritmos estánr. - Construión e ls tls e multiplir el, 5 y 10 poyánose en número e vees, sum repeti, Números nturles y friones - Sistem e numerión eiml. Vlor e posiión e ls ifrs. Su uso en situiones reles. - Oren y relión entre los números. Notión. - Números frionrios pr expresr prtiiones y reliones en ontextos reles, utilizión el voulrio propio. - Comprión entre friones senills: meinte orenión y representión gráfi. Operiones - Utilizión en situiones fmilires e l multipliión omo sum revi, en isposiiones retngulres y prolems omintorios. - Utilizión en ontextos reles e l ivisión pr reprtir y pr grupr. - Interés pr l utilizión e los números y el álulo numério pr resolver prolems en situiones reles, explino orlmente y por esrito los proesos e resoluión y los resultos otenios. Estrtegis e álulo - Desomposiión itiv y multiplitiv e los números. Construión y memorizión e ls tls e multiplir. 9 Números enteros, eimles y friones - Uso en situiones reles el nomre y grfí e los números e más e seis ifrs. - Múltiplos y ivisores. - Números positivos y negtivos. Utilizión en ontextos reles. - Números frionrios. Otenión e friones equivlentes. - Números eimles. Vlor e posiión y equivlenis. Uso e los números eimles en l vi otiin. - Orenión e números enteros, e eimles y e friones por omprión y representión gráfi. - Expresión e prtes utilizno porentjes. Corresponeni entre friones senills, eimles y porentjes. - Sistems e numerión en ulturs nteriores e influenis en l tuli. Operiones - Poteni omo prouto e ftores igules. Curos y uos. - Jerrquí e ls operiones y usos el préntesis. Estrtegis e álulo - Utilizión e operiones e sum, rest, multipliión y ivisión on istintos tipos e números, en situiones otiins y en ontextos e resoluión e prolems.

30 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem isposiión en uríuls... - Desrrollo e estrtegis personles e álulo mentl pr l úsque el omplemento e un número l een inmeitmente superior, pr el álulo e oles y mites e nties y pr resolver prolems e sums y rests. - Cálulo proximo. Estimión y reoneo el resulto e un álulo hst l een más ern esogieno entre vris soluiones y vlorno ls respuests rzonles. - Fmilirizión on el uso e l lulor pr l generión e series y omposiión y esomposiión e números. - Resoluión e prolems que impliquen l relizión e álulos, explino orlmente el signifio e los tos, l situión plnte, el proeso seguio y ls soluiones otenis. - Confinz en ls propis posiilies, y uriosi, interés y onstni en l úsque e soluiones. - Gusto por l presentión oren y limpi e los álulos y sus resultos. - Utilizión e los lgoritmos estánr, en ontextos e resoluión e prolems, e sum, rest, multipliión y ivisión por un ifr. - Utilizión e estrtegis personles e álulo mentl. - Estimión el resulto e un operión entre os números, vlorno si l respuest es rzonle. - Utilizión e l lulor en l resoluión e prolems e l vi otiin, eiieno sore l onvenieni e usrl en funión e l ompleji e los álulos. - Confinz en ls propis posiilies y onstni pr utilizr los números, sus reliones y operiones pr otener y expresr informiones, mnifestno iniitiv personl en los proesos e resoluión e prolems e l vi otiin. - Interés por l presentión limpi, oren y lr e los álulos y e sus resultos. - Disposiión pr esrrollr prenizjes utónomos en relión on los números, sus reliones y operiones. - Utilizión e l tl e multiplir pr ientifir múltiplos y ivisores. - Clulo e tntos por iento ásios en situiones reles. - Estimión el resulto e un álulo y vlorión e respuests numéris rzonles. - Resoluión e prolems e l vi otiin utilizno estrtegis personles e álulo mentl y reliones entre los números, explino orlmente y por esrito el signifio e los tos, l situión plnte, el proeso seguio y ls soluiones otenis. - Utilizión e l lulor en l resoluión e prolems, eiieno sore l onvenieni e usrl en funión e l ompleji e los álulos. - Cpi pr formulr rzonmientos y pr rgumentr sore l vliez e un soluión ientifino, en su so, los errores. - Colorión tiv y responsle en el trjo en equipo, mnifestno iniitiv pr resolver prolems que implin l pliión e los ontenios estuios. 30

31 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem Criterios e evluión Son un referente funmentl pr el esrrollo e l evluión el proeso e enseñnzprenizje que permite vlorr l onseuión e los ojetivos y ompetenis ásis efinis en el urríulo e ls iferentes enseñnzs. En los iferentes ilos son: Primer ilo 1. Formulr prolems senillos en los que se preise ontr, leer y esriir números hst el 999. Este riterio pretene ompror l pi e plir situiones invents los onoimientos quirios sore el uso e los números. Se evlurá l pi pr interpretr y emitir informiones en situiones fmilires empleno números hst el entorno el millr. Igulmente se pretene vlorr el ominio sore el vlor e posiión que tienen los números, en el oren e mgnitu inio, en el sistem eiml e numerión y l pi e soir esritur ifr y enominiones orles. 3. Relizr, en situiones otiins, álulos numérios ásios on ls operiones e sum, rest y multipliión, utilizno proeimientos iversos y estrtegis personles. Este riterio trt e ompror l pi e utilizr en los álulos e sums, rests y multipliiones, l estrutur el sistem eiml e numerión, mostrno flexiili l hor e elegir el proeimiento más onveniente. Dee prestrse espeil tenión l pi pr esrrollr estrtegis propis e álulo mentl en ontextos hitules. Se vlorrá tmién l pliión intuitiv e ls propiees e ls operiones y l pi e explir orlmente los rzonmientos. 8. Resolver prolems senillos relionos on ojetos, hehos y situiones e l vi otiin, seleionno ls operiones e sum y rest y utilizno los lgoritmos ásios orresponientes u otros proeimientos e resoluión. Explir orlmente el proeso seguio pr resolver un prolem. Con este riterio se pretene evlur l pi e seleionr y plir l operión eu l situión prolemáti resolver. Es simismo importnte oservr l pi e empler más e un proeimiento y l murez que se mnifiest en l expresión orl y esrit el proeso e resoluión. Seguno ilo 1. Utilizr en ontextos otiinos, l letur y l esritur e números nturles e hst seis ifrs, interpretno el vlor posiionl e un e ells y omprno y orenno números por el vlor posiionl y en l ret numéri. Este riterio pretene ompror el mnejo, en situiones reles, e l representión e nties e hst seis ifrs, prtieno el onepto e vlor e posiión. Igulmente se trt e verifir, en ontextos e l vi otiin, l pi e interpretr y expresr situiones on nties e l menion mgnitu, e ominr l orgnizión e l serie esrit e ls ifrs e un número y e siturlo en l ret. 31

32 Espeili e Primri MAGÍSTER Tem. Relizr álulos numérios on números nturles, utilizno el onoimiento el sistem e numerión eiml y ls propiees e ls operiones, en situiones e resoluión e prolems. Este riterio trt e ompror l pi e utilizr en los álulos l estrutur el sistem eiml e numerión y ls propiees e ls operiones, mostrno flexiili l hor e elegir el proeimiento más euo, si ien ee prestrse espeil tenión l ominio e los lgoritmos esritos. 3. Utilizr estrtegis personles e álulo mentl en álulos reltivos l sum, rest, multipliión y ivisión simples. Se trt e vlorr l pi pr utilizr on iert gili estrtegis personles e álulo mentl en situiones e álulo senills. Se tenerá espeilmente l expliión que hen sore ls estrtegis plis. No se trt tnto e vlorr l rpiez en el álulo omo e preir si llegn resultos válios, que serán extos o estimos en funión e los números que intervienen y e l situión en que el álulo se proue. 8. Resolver prolems relionos on el entorno que exijn iert plnifiión, plino os operiones on números nturles omo máximo, sí omo los ontenios ásios e geometrí o trtmiento e l informión y utilizno estrtegis personles e resoluión. Este riterio trt e ompror l pi pr utilizr estrtegis personles pr l resoluión e prolems y pr plir los onoimientos quirios. Es simismo importnte oservr l fult e empler más e un proeimiento y l perseverni en l úsque e soluiones, y l expresión, orl y esrit, e form oren el proeso seguio. Terer ilo 1. Leer, esriir y orenr, utilizno rzonmientos propios, istintos tipos e números (nturles, enteros, friones y eimles hst ls entésims). Con este riterio se pretene ompror el mnejo, en situiones toms e l vi rel, e iferentes tipos e números, interpretno su vlor y sieno pes e omprr e interlr números esritos e iferentes mners.. Relizión e operiones y álulos numérios senillos meinte iferentes proeimientos, inluio el álulo mentl, que hgn refereni implíit ls propiees e ls operiones, en situiones e resoluión e prolems. Se trt e ompror l pi e operr on los números y el onoimiento sore l jerrquí e ls operiones. Igulmente, se trt e preir l utilizión e ls propiees e ls operiones, ls estrtegis personles y los iferentes proeimientos que se utilizn según l nturlez el álulo que se h e relizr (lgoritmos esritos, álulo mentl, tnteo, estimión, lulor), eiieno sore el uso más euo. 3. Utilizr los números eimles, frionrios y los porentjes senillos pr interpretr e intermir informión en ontextos e l vi otiin. 3

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