UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN PROYECTO FIN DE CARRERA

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1 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN PROYECTO FIN DE CARRERA SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL AUTOR: MARCOS MARTÍN FERNÁNDEZ TUTOR: ALBERTO IZQUIERDO FUENTE

2 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL II TÍTULO: AUTOR: TUTOR: DEPARTAMENTO: Sistema de localización activo por sonido en tiempo real. Marcos Martín Fernández Alberto Izquierdo Fuente Teoría de la Señal y Comunicaciones e Ingeniería Telemática TRIBUNAL PRESIDENTE: SECRETARIO: VOCAL: Miguel López Coronado Rafael Mompó Gómez Alberto Izquierdo Fuente FECHA DE LECTURA: CALIFICACIÓN: RESUMEN En este proyecto se desarrolla un sistema de localización activo por sonido en tiempo real. Dicho sistema utiliza la teoría general de procesado digital de señal de aplicaciones radar y sonar y la adapta y aplica a unas condiciones acústicas específicas. A partir de un conjunto de módulos hardware que generan, adquieren y procesan la información, se escribe una aplicación en C para Windows dados los resultados de la simulación realizada con MATLAB. ABSTRACT In this project a real-time active localization system by using sound is developed. This system makes use of the general digital signal processing theory from radar and sonar applications, which is adapted and applied to a specific acoustic environment. Taking a set of several hardware boards in order to generate, acquire and process the data, a software application under Windows C (GUI) is written beginning from the MATLAB simulation results. PALABRAS CLAVE Tratamiento digital de señal, conformación de haz, detección umbral, conversores A/D y D/A, circuito S&H, DSP, procesado en tiempo real, GUI.

3 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL III Dedicado a mis padres y hermanos.

4 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL IV Agradecimientos. En primer lugar se agradecen los ratos dedicados por el Doctor Ingeniero Alberto Izquierdo Fuente como tutor de este proyecto al apoyo técnico, así como bibliográfico. También se debe destacar el interés que ha prestado para lograr que este proyecto saliese adelante, no dudando en buscar un despacho adecuado para poder montar el equipo necesario, y realizar las mediciones adecuadas. Fue el encargado de conseguir presupuesto para adquirir el hardware y software necesario, así como de estar en contacto con revistas técnicas para elegir la mejor opción de entre las posibles al mejor precio. También es de destacar las buenas relaciones mantenidas con los proveedores del equipo, principalmente en Madrid, que sirvieron para resolver varios de los problemas surgidos a raíz de los primeros intentos de su uso. Además el estar siempre disponible en el departamento para resolver algunas de las cuestiones que iban surgiendo a lo largo del desarrollo del proyecto, constituye una ayuda inestimable. Por último señalar que el tiempo dedicado a revisar y releer esta memoria así como sus comentarios al respecto sirvieron de gran ayuda para dar los últimos retoques. En segundo lugar se ha de agradecer también los ratos gastados por el Ingeniero Francisco Varona de Miguel que por entonces estaba desarrollando también su proyecto con el mismo tutor. Dado que parte de su proyecto estaba relacionado con éste, inicialmente se siguieron líneas paralelas de desarrollo, dando lugar por lo tanto a ayudas mutuas y puestas en común de dudas y problemas que iban surgiendo, viniendo poco a poco las soluciones. Hay que agradecer especialmente el soporte en programación de la tarjeta DSP bajo entorno Windows, así como el tiempo gastado en los intentos infructuosos realizados con la tarjeta de adquisición de datos A/D y la tarjeta de S&H desde Windows debido a poseer por entonces una versión antigua del software que realmente no funcionaba desde Windows. Por último merece ser tenido en cuenta también el mes gastado en desarrollar conjuntamente un proyecto en colaboración con Siebrandus Borgers y Eelco Noort de Holanda. En tercer lugar agradecer a Siebrandus Borgers y Eelco Noort el tiempo dedicado en realizar numerosas preguntas que valieron para aprender el funcionamiento de parte del equipo, detectar varios problemas y lograr solucionarlos. Además ayudaron a realizar varias de las mediciones en los primeros intentos de una versión simplificada del sistema.

5 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL V En cuarto lugar agradecer a los técnicos del laboratorio Ángel y Julio, por su labor realizada en la parte de transducción, pues fueron los que compraron y montaron el array y el altavoz junto con los amplificadores y conectores requeridos. Ambos también proveyeron gran cantidad del material utilizado como componentes, conectores, parte del software, mantenimiento del equipo, etc. Por último los consejos realizados y las posibles soluciones aportadas a los problemas que fueron surgiendo constituyen una labor a tener en cuenta. Por último hay que agradecer al apoyo y ánimo mantenido por muchas más personas como compañeros de clase, profesores, amigos, familia, etc. Especialmente se agradece a las secretarias de la Escuela Raquel, Ana y Carmen por su paciencia y ayuda prestada. Merece mencionar también a la imprenta por la impecable encuadernación.

6 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL VI Índice de Contenidos. Capítulo primero. Introducción. 1 Capítulo segundo. Bases teóricas Introducción Procesado discreto de señal Secuencias Sistemas discretos LTI Transformada de Fourier discreta Señales aleatorias Tipos de ventanas temporales. Enventanado de señales Teoría de filtros. Transformada de Laplace y z Muestreo. 35

7 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL VII Transformada de Hilbert discreta Teoría radar y sonar Generalidades de radar y sonar Caracterización de la forma de onda de los pulsos Conformación de haz y arrays Teoría de detección Decisión umbral Fundamentos acústicos Generalidades de las ondas acústicas de presión Aproximación de onda plana Propagación en el aire. Atenuación Emisión y recepción. Tipos de transductores. 61 Capítulo tercero. Descripción de hardware Introducción Micrófono y altavoz Amplificadores de audio Tarjeta de S&H Conversor A/D Tarjeta MEGA-FIFO DSP y CODEC PC Generador de funciones arbitrarias. 79

8 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL VIII 3.9. Osciloscopio digital. 79 Capítulo cuarto. Descripción del software Introducción Programa MATLAB Software de apoyo del DSP Universal Library Borland C/C++ para Windows Editor Word para Windows. 86 Capítulo quinto. Descripción de la aplicación. Criterios de diseño Introducción Descripción de la aplicación Elección de la frecuencia de trabajo Elección de la frecuencia de muestreo Elección de la forma de onda del pulso. 91 Capítulo sexto. Descripción general del sistema Introducción Descripción funcional del sistema Módulo de generación de pulsos Módulo de transducción Módulo de adquisición de datos Módulo de procesado. 102

9 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL IX 6.6. Módulo de interfaz gráfico de usuario (GUI) Módulo de control. 108 Capítulo séptimo. Resultados Introducción Simulación en MATLAB Resultados obtenidos para varios escenarios. 117 Capítulo octavo. Presupuesto de realización. Análisis de costos Introducción Coste del material Coste del tiempo empleado en el diseño y realización Coste total. 124 Capítulo noveno. Ampliación y mejoras del sistema Introducción Algoritmos adaptativos de conformación Sistemas de vigilancia y seguimiento Estimación de velocidades Paso de 2D a 3D Migración a bandas ultrasónicas y subsónicas Adaptación del sistema a diversas aplicaciones. 131 Capítulo décimo. Conclusiones. 133

10 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL X Apéndice A. Restricciones del procesado en tiempo real. 134 Apéndice B. Estado de la tecnología en el procesado digital.136 Apéndice C. Aplicaciones en tiempo real sobre un DSP. 138 Apéndice D. Listados de simulación. 156 Bibliografía. 169

11 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 1 Capítulo primero. Introducción. Este primer capítulo sirve como breve introducción a todo lo que se desarrollará en los capítulos siguientes. Primeramente se realizará una aproximación histórica del problema, para posteriormente comentar someramente el propósito de este proyecto, así como de qué tratará cada uno de los nueve capítulos restantes. Desde tiempos inmemorables, el hombre se ha preocupado de caracterizar el mundo que le rodea con fórmulas, teorías, hipótesis y postulados. Ya se parta de la experiencia y por inducción se llegue a teorías generales, o se presupongan a priori una serie de hipótesis y axiomas más o menos razonables y por deducción se llegue hasta su comprobación con experimentos, desde Pitágoras hasta los más modernos matemáticos se ha ido desarrollando toda una teoría de deducción lógica, que si bien podía resolver algunos de los problemas que se le iban planteando al hombre a lo largo de su historia, muchas veces todo se reducía a seguir introduciendo aparatos matemáticos que no llevaban a ningún avance técnico. A partir del siglo XVII el hombre empieza a desarrollar el ámbito de la física y la química. Por medio de experimentos y diversas formulaciones se llegaron a teorías consistentes como por ejemplo la mecánica de Newton. Diversos experimentos y teorías sobre el átomo como son las de Rutherford y Bohr, y sobre todo las ecuaciones de Maxwell, revolucionaron la física, dando lugar que posteriormente se pudiese descubrir la electricidad y toda la teoría sobre los campos electromagnéticos. Así se pueden destacar científicos como Lorentz, Hertz, Planck, Coulomb, Einstein, etc. Por otro lado los matemáticos continuaban desarrollando el cálculo y el álgebra. Así por ejemplo Fourier desarrolló una parte importante que posteriormente en el siglo XX se le va a dar mucha importancia. Inicialmente los matemáticos utilizaban para representar entidades del mundo funciones continuas de variables continuas y ecuaciones diferenciales. Matemáticos destacados son Euler, LaGrange, Cauchi, Bernoulli, etc. Junto con todos estos descubrimientos, el progreso tecnológico que hasta finales del siglo XVIII fue prácticamente nulo comienza a desarrollarse paralelamente al científico. Así desde la máquina de vapor de Watt, durante todo el siglo XIX, todas las teorías de científicos

12 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 2 de los diversos ámbitos comienzan a aplicarse al proceso técnico en la fabricación de bienes de consumo y servicios, haciendo con ello el abaratamiento de su fabricación junto con el facilitar el que se puedan realzar más fácilmente otros descubrimientos para dar lugar a nuevas tecnologías. Así el panorama de mediados del siglo XX, era bastante bueno con el desarrollo de la electrónica con el descubrimiento del transistor. En ese momento todas las tecnologías podían considerarse dentro del ámbito analógico, siendo por entonces el momento en el que se utilizaban todas las teorías matemáticas de funciones continuas y ecuaciones diferenciales. Por otro lado con la primera y segunda guerra mundial, se comienzan a aplicar al ámbito militar los nuevos descubrimientos y tecnologías para las comunicaciones vía radio, surgiendo por entonces los primeros sistemas de radiodeterminación analógicos como es el radar. Posteriormente todos esos avances promovidos por gastos militares, comienzan a ser utilizados también en el ámbito civil. Pero todo este proceso no hubiera continuado avanzando tanto de no ser por la introducción de un nuevo tipo de diseño con la aparición de los ordenadores y el mundo digital. Ya algunos matemáticos del siglo XIX habían comenzado a intuir que muchos de los problemas del mundo real se podrían resolver discretizando las funciones y pasando de las ecuaciones diferenciales a otras en diferencias. Sin embargo esto no era muy factible debido a que estas últimas requerían una capacidad de cálculo numérico muy grande cosa que en el siglo pasado no era posible. En dicho siglo solo había alguna calculadora mecánica que realizaba sumas y multiplicaciones con no mucha rapidez. Fue en la primera mitad del siglo XX cuando a partir del modelo de Von Neumann y el desarrollo de la electrónica de conmutación primero con válvulas de vacío y después con transistores cuando se comenzó a poder utilizar dichas discretizaciones de las ecuaciones pudiéndose realizar los cálculos de manera automática en los primeros superordenadores con programa almacenado. Así en unas tarjetas perforadas se tenían tanto los datos como las ecuaciones que se querían resolver con esos datos y tras un procesado autónomo en otras tarjetas se obtenían los resultados. Con estos primeros pasos se podía decir que había comenzado la era digital. [1] A partir de entonces con el proceso de integración al ir apareciendo los microchips y al ir aumentando la velocidad de proceso, reduciéndose el tamaño y el consumo, se han sustituido todos los viejos procesos analógicos por procesos digitales con características mucho más interesantes. Así centrando el tema en el ámbito del procesado de señal, todo lo que antes se hacía de forma analógica: filtros analógicos, ecualizadores analógicos, sintonizadores, moduladores, etc. se pasan a hacer digitales discretizándolos, desarrollándose para ello toda una teoría alternativa de procesado discreto. La información que de por sí era ya discreta no hace falta modificarla, pero la gran mayoría de información de la naturaleza es analógica y por ello para poderla tratar había que discretizarla. Así se desarrollaron primero en la teoría y después cuando la tecnología lo permitió en la práctica conversores A/D para voz, imagen, etc. Actualmente mediante el uso de ordenadores, microchips y todo un conjunto de circuitos digitales se puede hacer prácticamente todo lo que se pueda imaginar, desde la electrónica de consumo, pasando por las comunicaciones a distancia, hasta los sistemas radar y sonar digitales. En este último campo donde este proyecto está centrado, se

13 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 3 puede tener sistemas de radionavegación de aviones y barcos, localización y detección de blancos, guiado de misiles, fotografías del fondo de un océano, fotografías vía satélite, etc. [4] Una vez comentado los precedentes históricos, se ha partido de la teoría de procesado discreto de señal aplicada a localización de objetos, a partir de las ondas procedentes de éstos, sistemas que normalmente se denominan radar y sonar. El primero de ellos utiliza ondas electromagnéticas en el aire. El segundo ondas acústicas dentro del agua. Este proyecto utiliza parte de la teoría existente para radar y sonar y lo aplica a un nuevo entorno: ondas acústicas en el aire, en la banda de sonidos audibles, para la localización de objetos. Todos estos sistema pueden ser pasivos si únicamente reciben ondas procedentes de emisiones de otros objetos. En este caso un objeto silencioso no será detectado. Pero también pueden ser activos, si emiten ondas y reciben los rebotes que dichas ondas producen en los objetos. En este caso la presencia de cualquier objeto implica rebotes y por ellos todos los objetos del tamaño adecuado serán detectados. El sistema desarrollado será activo. Por último indicar que además será en tiempo real, es decir, el procesado y la presentación de los resultados será de tal forma que se puedan ver inmediatamente dichos resultados e incluso ir modificando la posición de los objetos observando como el sistema responde. Por contrapartida si el sistema fuese en tiempo diferido, a partir de los datos recogidos de un escenario con unos objetos, habría que realizar ciertos procesos con dichos datos que requerirían bastante tiempo y por lo tanto si modificamos la posición de dichos objetos, no vemos inmediatamente la respuesta del sistema, sino que hemos de recoger datos y procesarlos, para posteriormente ver los resultados. La diferencia entre uno y otro a veces el subjetiva y depende de la aplicación en concreto. Por ejemplo procesar televisión en tiempo real, implica poder procesar 50 imágenes por segundo, en cambio para el sistema de localización, con presentar resultados cada medio segundo sería suficiente si la velocidad con que cambian los objetos no es muy grande. [1], [3], [6] Una vez hecha la introducción histórica y presentado el sistema, se va a comentar someramente cual es el cometido principal del resto de capítulos. En el segundo capítulo se establecerán cual son los fundamentos teóricos en los que se basa el sistema: procesado discreto de señal, radar y sonar y fundamentos acústicos. En el tercer capítulo se describen qué elementos hardware utiliza el sistema: micrófonos, altavoz, amplificadores, DSP y CODEC, conversor A/D y S&H, PC, etc. En el cuarto se describe la otra parte de todo sistema, el software utilizado: MATLAB, C, Word, etc. En el quinto capítulo se describe la aplicación, así como algunos compromisos de diseño que hubo que tomar con respecto a alguno de los parámetros. En el sexto capítulo se describen los módulos de que está compuesto el sistema y que corresponden a entidades físicas y/o lógicas de la aplicación. En el séptimo se comentan los resultados obtenidos tanto para la simulación como para la utilización del sistema con diversos escenarios. En el octavo se analizan los costes presupuestarios del sistema tanto de tiempo de diseño y realización como en equipo. En el noveno se presentan mejoras y adaptaciones que se pueden hacer al sistema para otros entornos o aplicaciones, que podría formar parte de un desarrollo posterior como continuación del presente proyecto. Por último el capítulo décimo se presentan unas conclusiones que pueden servir de colofón de esta memoria. Tras de los capítulos se

14 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 4 presentan 4 apéndices en relación al procesado en tiempo real, unos comentarios sobre el estado de la tecnología en el procesado digital de señal, algunos ejemplos sencillos de programación de aplicaciones con restricciones en tiempo real en un DSP y el último apéndice en el que se presentan algunos listados interesantes tanto de la simulación del sistema en MATLAB como de la programación en C++. Al final de la memoria hay un listado de toda la bibliografía que se ha utilizado tanto en el estudio, en el desarrollo e implementación del sistema como para confeccionar esta memoria.

15 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 5 Capítulo segundo. Bases teóricas Introducción. En este segundo capítulo se va a introducir aquellos conceptos teóricos necesarios para el posterior desarrollo del sistema en capítulos posteriores. Así en primer lugar se introduce toda la teoría de procesado de señal en el dominio discreto, en concreto, se presentan los fundamentos de las secuencias y los sistemas discretos LTI, se define el dominio de las frecuencias con ayuda de la transformada de Fourier de secuencias y sistemas discretos, así como la transformada discreta de Fourier DFT y se introducen los algoritmos básicos para calcularla eficientemente: Goertzel y FFT. Después se definen las señales aleatorias y su caracterización mediante estadísticos y se calcula la salida de un sistema discreto cuando se le excita con una secuencia aleatoria (proceso estocástico discreto). A continuación se pasa a describir los tipos más importantes de ventanas temporales y las implicaciones de realizar enventanados temporales. A partir de esto anterior y con ayuda de las transformadas de Laplace y z se expone parte de la teoría de filtros, sobre todo el enventanado de sistemas discretos para la realización de filtros FIR cuya característica lineal de la fase los hace muy aconsejables para su utilización con señales donde parte de la información está en la fase. Otra parte muy importante del procesado discreto de señal sin la cual tendría menos importancia dicho procesado es todo lo relacionado con el muestreo, proceso por el cual se convierte señales continuas en el tiempo en discretas, para su procesado mediante sistemas discretos en ordenadores y microchips digitales. Por último en esta parte se comenta la transformada de Hilbert discreta y las principales aplicaciones del procesado discreto de señal. La transformada de Hilbert es útil para desfasar una secuencia 90º y por lo tanto obtener a partir de una señal en fase limitada en el tiempo su correspondiente en cuadratura. Ahora a partir de la señal en fase y la señal en cuadratura se podrá trabajar en el dominio complejo, lo que presenta bastantes ventajas.

16 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 6 Una vez descrito, eso si con cierta brevedad pues se entiende que son conceptos conocidos y sirve meramente de repaso y para introducir la notación utilizada, los fundamentos teóricos básicos del procesado discreto de señal, se centrará el tema en su aplicación para sistemas radar y sonar. Dentro de este apartado se describirán cualitativamente los tipos de ambos sistemas ampliamente utilizados así como sus principales aplicaciones en el ámbito civil y militar. En concreto se explicará la diferencia entre sistemas activos y pasivos; sistemas de localización y sistemas de seguimiento; sistemas pulsados y de onda continua; sistemas de antena móvil y sistemas de array de antenas fijas; etc. Tras explicar los tipos de sistemas se comentarán aquellas partes de los mismos relacionados con el sistema que se describe en los capítulos posteriores. Básicamente se desarrolla la teoría relacionada con cinco partes: caracterización de las formas de onda de los pulsos emitidos 1, conformación de haz para sistemas de arrays de antenas fijas, detección y decisión umbral. Estos cinco procesos son básicos en sistemas de localización y constituirán el fundamento teórico del presente sistema, basándose eso sí todo ello en la teoría general de procesado discreto de señal. Para acabar el capítulo, debido a que el presente sistema tendrá por entorno el aire y trabajará en un escenario acústico, se introducen, en esta última parte, los fundamentos acústicos útiles para la caracterización del sistema, sobre todo a nivel implementación, y en parte para discernir a partir de los datos obtenidos tras el procesado, que es lo que realmente está ocurriendo. De todo lo que se podría hablar sobre acústica se centrará el estudio únicamente en cuatro puntos necesarios para poder entender algunas de las consideraciones que se harán en capítulos posteriores. Primero se expondrá a nivel general qué es una onda de presión y como queda descrita por la ecuación de onda, para después, tras realizar la aproximación de onda plana, describir son parámetros fundamentales de ésta. A continuación se describe el comportamiento de propagación y atenuación de la onda en el aire. Una vez que se sabe como se propagan las ondas de presión, falta por conocer mediante qué procedimientos se pueden detectar dichas ondas sonoras para su procesado posterior convitiéndolas a ondas eléctricas. Pero también se requiere el proceso inverso, es decir, cómo se podrá a partir de una onda eléctrica que se desee, poderla convertir en onda de presión. Los sistemas físicos que realizan ambos procesos se denominan transductores acústicos, con la descripción de estos se quedará por concluido el capítulo y con ello las bases teóricas que son el fundamento último del sistema descrito. 1 Centrando el tema ya en los sistemas activos pulsados.

17 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL Procesado discreto de señal Secuencias. Una señal es aquella función matemática que representa una información del comportamiento observable o medible de una entidad física. Si la función es de una única variable se denomina señal unidimensional y generalmente la variable independiente representa el tiempo. Si la función es de más de una variable se denomina multidimensional. Por ejemplo para las imágenes se utilizan dos variables independientes que representan las dos dimensiones de la imagen. En este caso se hablaría de señal bidimensional. A partir de ahora se hablará siempre de señales unidimensionales donde la variable independiente representa al tiempo. [1], [2] Una variable, ya sea ésta dependiente o independiente puede tomar valores continuos, es decir puede tomar todos los valores reales o solamente valores discretos, es decir sólo puede tomar valores enteros. La primera se denomina variable continua y la segunda variable discreta. Según esto una señal unidimensional puede ser de cuatro clases: 1. Señal continua 2 y tiempo continuo Señal discreta y tiempo continuo. 3. Señal continua y tiempo discreto. 4. Señal discreta y tiempo discreto. En general a la señal del primer tipo se la llama normalmente señal continua o analógica. Por ejemplo puede representar la variación de la presión acústica de la voz a lo largo del tiempo como puede verse en la figura siguiente: 2 Por señal nos referimos a los valores que toma la función que la representa es decir a la variable dependiente del tiempo o amplitud de la señal. 3 Hemos dicho que la variable independiente será a partir de ahora el tiempo.

18 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 8 16 ms Al tercer tipo de señal se la llama señal discreta o secuencia y corresponde a tomar muestras en determinados instantes de una señal continua. Por ejemplo tras muestrear la señal de voz anterior queda lo que puede verse en la siguiente figura: [1] 128 muestras El cuarto tipo de señal se denomina señal digital y corresponde a cuantizar la amplitud de una señal del tipo tercero. Estos tres tipos de señales se utilizan corrientemente en el procesado de señal, sin embargo el segundo tipo no se utiliza pues el proceso de muestreo siempre se realiza antes que el proceso de cuantificación. A partir de ahora consideraremos señales continuas y secuencias, pues la señal digital puede considerarse como una aproximación a una secuencia introduciendo cierto ruido de cuantificación como se verá posteriormente. Una señal continua se representa por x(t), mientras que una secuencia la representaremos por x[n]. En general en ambas la variable independiente representa el tiempo. En el caso continuo t puede tomar valores reales en el intervalo - < t <, mientras que en el caso discreto n puede tomar valores enteros en el intervalor - < n <.

19 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL Sistemas discretos LTI. Un sistema es un proceso por el que de alguna forma una señal de entrada se transforma en una señal de salida. En general un sistema puede ser de cuatro tipos: 1. Sistema continuo, donde una señal continua a la entrada del mismo da lugar a una señal continua a la salida. 2. Sistema discreto, donde una señal discreta a la entrada da lugar a una señal discreta a la salida. 3. Sistema conversor discreto a continuo o sistema D/C que conviente mediante interpolación una señal discreta a una continua. 4. Sistema conversor continuo a discreto o sistema C/D que convierte mediante muestreo una señal continua a discreta. Igualmente hay sistemas D/A y A/D que incluyen también cuantificación y que convierter señales analógicas a digitales y al revés. Por otro lado un cuantificador es un sistema que convierte una señal discreta en digital. Por ahora nos quedaremos con los sistemas continuo y discreto. Como ya se sabe un sistema continuo general es aquel dado por una transformación o mapeo de la entrada en la salida en cada instante de tiempo: [2] y( t) = T{ x( t)} Dicho sistema puede representarse gráficamente como una caja negra: x(t) T{ } y(t) Sin embargo un sistema así dado en general no es muy útil para describir los sistemas o procesos físicos. Se introduce entonces el concepto de sistema LTI, es decir sistema que es lineal e invariante en el tiempo. Un sistema continuo es lineal cuando cumple la propiedad de aditividad y homogeneidad 4 : 4 Si y 1 (t) es la salida del sistema para x 1 (t), y 2 (t) es la salida del sistema para x 2 (t) y y(t) es la salida del sistema para x(t).

20 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 10 T{ x ( t) + x ( t)} = T{ x ( t)} + T{ x ( t)} = y ( t) + y ( t) T{ a x( t)} = a T{ x( t)} = a y( t) Se pueden combianar ambas propiedades en una sola 5 : T{ a x ( t) + b x ( t)} = a T{ x ( t)} + b T{ x ( t)} = a y ( t) + b y ( t) Esta expresión puede generalizarse para muchas entradas teniendo en cuenta que entonces el sumatorio se convierte en integral. Si: el sistema será lineal si la salida es 6 : x( t) = a( τ ) x ( t) dτ y( t) = a( τ ) yτ ( t) dτ Por otro lado un sistema será invariante en el tiempo si y(t) es la salida para x(t), si para todo t 0 la salida para la señal x 1 (t) = x(t-t 0 ) de entrada es y 1 (t) = y(t-t 0 ). Un sistema que cumpla estas dos propiedades se denomina LTI. Si denominamos h τ (t) a la respuesta del sistema a la entrada δ(t-τ) 7, la salida del sistema, si este es lineal, vendrá dada por: y( t) = x( τ ) hτ ( t) dτ Si además el sistema es invariante en el tiempo, se tendrá que h τ (t) = h(t-τ), entonces la salida vendrá dada por: y( t) = x( τ ) h( t τ ) dτ Esta expresión se denomina convolución continua y se puede poner con el operador *, es decir en un sistema LTI: τ 5 Si y 1 (t) es la salida del sistema para x 1 (t) y y 2 (t) es la salida del sistema para x 2 (t). 6 Donde y τ (t) es la salida del sistema para x τ (t) para cada τ. 7 Donde δ(t) es la función delta de Dirac.

21 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 11 y( t) = x( t) * h( t) donde ahora h(t) es la respuesta del sistema a δ(t) que se denomina respuesta al impulso del sistema. Otra propiedad importante de los sistemas LTI es la causalidad. Un sistema es causal cuando la salida solo depende de lo que hubo a la entrada hasta el momento presente, no dependiendo de lo que tedrá a la entrada en un futuro. Ello en los sistemas LTI se concreta en que h(t) = 0 para t < 0. En general todo sistema debe ser causal, por lo que estaremos interesados solo en los sistemas con dicha propiedad. La conexión en cascada de dos sistemas con respuesta al impulso h 1 (t) y h 2 (t) es equivalente a un único sistema con respuesta h 1 (t)*h 2 (t), como puede verse gráficamente: h 1 (t) h 2 (t) h 2 (t) h 1 (t) x(t) y(t) x(t) y(t) h 1 (t)*h 2 (t) x(t) y(t) La conexión en paralelo de dos sistemas con respuesta h 1 (t) y h 2 (t) es equivalente a otro sistema con respuesta h 1 (t)+h 2 (t), como puede verse gráficamente: h 1 (t) x(t) y(t) x(t) h 1 (t)+h 2 (t) y(t) h 2 (t) Ambas propiedades se derivan directamente de las propiedades de la operación de convolución continua. Igualmente se puede decir de los sistemas discretos. Un sistema discreto general viene dado por: [1] [ ] T x[ n] y n = { } Gráficamente se puede representar del mismo modo que en el caso continuo, por una caja negra:

22 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 12 x[n] T{ } y[n] Un sistema discreto será lineal cuando se cumplan las propiedades de aditividad y homogeneidad 8 : [ ] + [ ] = [ ] + [ ] = [ ] + [ ] T{ a x[ n] } = a T{ x[ n] } = a y[ n] T{ x n x n } T{ x n } T{ x n } y n y n Estas propiedades se pueden combinar 9 : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T{ a x n + b x n } = a T{ x n } + b T{ x n } = a y n + b y n Esta propiedad se puede generalizar para un número indeterminado de superposición de entradas. Si el sistema será lineal si la salida es 10 : [ ] = [ ] x n a x n k [ ] = [ ] y n a y n Además un sistema es invariante en el tiempo si suponiendo que y[n] es la salida para x[n] para todo entero n 0 la salida del sistema para x 1 [n] = x[n - n 0 ] es y 1 [n] = y[n - n 0 ]. Un sistema discreto para el que se cumplan tanto la propiedad de linealidad como la de invarianza temporal será un sistema discreto LTI. Así si h k [n] es la salida del sistema para la entrada δ[n-k] 11, la salida de un sistema que sea lineal será: k k k k k 8 Si y 1 [n] es la salida del sistema para x 1 [n] y y 2 [n] es la salida del sistema para x 2 [n] y y[n] es la salida del sistema para x[n]. 9 Si y 1 [n] es la salida del sistema para x 1 [n] y y 2 [n] es la salida del sistema para x 2 [n]. 10 Si y k [n] es la salida del sistema para x k [n] para todo k entero. 11 δ[n] es la delta unitaria que vale uno para n = 0 y cero en el resto.

23 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 13 [ ] = [ ] k[ ] y n x k h n k= Si además el sistema es invariante en el tiempo es decir es LTI, h k [n] = h[n-k], llamándose entonces a h[n] la respuesta al impulso del sistema, entonces la salida del sistema estará dada por: [ ] = [ ] [ ] y n x k h n k k= Esta operación se la llama convolución discreta y se represanta por el operador *, entonces ahora la salida de un sistema discreto LTI vendrá dada por: y[ n] = x[ n] * h[ n] La otra propiedad que nos queda para los sistemas discretos es la causalidad, que es su versión discreta para sistemas LTI equivale a que h[n] = 0 para n < 0. Dos sistemas en cascada cuyas respuestas al impulso sean h 1 [n] y h 2 [n] es equivalente a un único sistema cuya respuesta al impulso sea h 1 [n]*h 2 [n]. Gráficamente puede verse: h 1 [n] h 2 [n] h 2 [n] h 1 [n] x[n] y[n] x[n] y[n] h 1 [n]*h 2 [n] x[n] y[n] Dos sistemas en paralelo cuyas respuestas al impulso sean h 1 [n] y h 2 [n] es equivalente a un único sistema cuya respuesta al impulso sea h 1 [n]+h 2 [n]. Gráficamente puede verse: h 1 [n] x[n] y[n] x[n] h 1 [n]+h 2 [n] y[n] h 2 [n]

24 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 14 Como se ha podido ver las similitudes entre los sistemas continuos y discretos son muchas. Se centrará el estudio principalmente en los segundos, si bien los continuos servirán para compararlos con los discretos, en el análisis del muestreo y cuantificación Transformada de Fourier discreta. Vamos a ver cual es la respuesta de un sistema a la señal x(t)=e jωt : y( t) = h( τ ) x( t τ ) dτ = jω( t τ ) h( τ ) e dτ y como e jω (t-τ) =e jωt e -jωτ, e jωt sale de la integral, entonces: jωt jωτ y( t) = e h( τ ) e dτ es decir la salida es de la forma y(t)=h(jω)e jωt, por lo que H(jΩ) es el autovalor del sistema h(t) para la señal x(t)=e jωt que es la autofunción. [2] Por ello se puede definir para las señales periódicas la transformada de Fourier. Igualmente teniendo en cuenta la convergencia se puede definir para las que no son periódicas, siendo su definición: jωt X( jω) = x( t) e dt 1 jωt x( t) = X( jω) e dω 2π Así la tranformada de Fourier de x(t)=cos(ω o t) se puede representar por: X(jΩ) π π -Ω Ω Ω o o

25 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 15 La transformada de Fourier cumple la propiedad de linealidad: La FT para x(t-t o ) es: y para e jωot x(t): Otras dos propiedades importantes son: ax( t) + by( t) ax ( jω) + by( jω) 12 e jω o t X( jω) X ( jω jω ) 0 x( t) * y( t) X( jω) Y( jω) 1 x( t) y( t) X( jω) Y( jω) 2π conocidas como propiedades de convolución y modulación respectivamente. Para señales aperiódicas se cumple además la relación de Parseval dada por: x( t) 2 1 dt = X( jω) 2 dω 2π Igualmente que para sistemas se puede calcular la transformada de la señal que representa un sistema LTI, es decir la FT de la respuesta al impulso del sistema. Si h(t) es la respuesta al impulso de un sistema LTI su FT H(jΩ) se denomina respuesta en frecuencia del sistema y cumple las propiedades anteriores igualmente. Así por ejemplo un filtro paso bajo es un sistema cuya respuesta en frecuencia es la siguiente: H(jΩ) -Ω c Ω c Ω Igualmente en el caso discreto se puede ver cual es la respuesta de un sistema a la señal x[n]=e jωn : 12 Donde X(jΩ) es la transformada de Fourier de x(t) y Y(jΩ) la de y(t).

26 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 16 k= y[ n] = h[ k] x[ n k] jω( n k ) = h[ k] e k= y como e jω (n-k) =e jωn e -jωk, e jωn sale del sumatorio y entonces: k= jωn y[ n] = e h[ k] e es decir la salida es de la forma y[n]=h(e jω )e jωn, por lo que H(e jω ) es el autovalor del sistema h[n] para la señal x[n]=e jωn que es la autofunción. [1], [2] Por ello se puede definir para las secuencias periódicas la transformada de Fourier. Igualmente teniendo en cuenta la convergencia se puede definir para las que no son periódicas, siendo su definición: jω X( e ) = n= x[ n] e jωk jωn π 1 jω jωn x[ n] = X( e ) e dω 2π π En el caso discreto, debido a que en general ω puede tomar valores entre -π y π, pues la frecuencia ω+2kπ es la misma que ω. Entonces la FT de una secuencia es 2π periódica, y por lo tanto con representarla desde -π a π es suficiente, sabiendo siempre que el resto es repetición. Así la tranformada de Fourier de x[n]=cos(ω 0 t) se puede representar por: X(e jω ) π π -π -ω o ω o π ω La transformada de Fourier discreta cumple la propiedad de linealidad: La FT para x[n-n o ] es: ax[ n] by[ n] ax e j j + ( ) + by( e ) ω ω Donde X(e jω ) es la transformada de Fourier de x(t) y Y(e jω ) la de y(t).

27 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 17 y para e jωon x[n]: Otras dos propiedades importantes son: e jωn 0 jω X( e ) X( e j ( ω ω 0 ) ) jω jω x[ n] * y[ n] X( e ) Y( e ) 1 jθ j( ω θ ) x[ n] y[ n] X( e ) Y( e ) dθ π 2 2 π Para secuencias aperiódicas se cumple además la relación de Parseval dada por: n= 2 1 jω 2 x[ n] = x( e ) dω 2 π Igualmente que para sistemas discretos se puede calcular la transformada de la señal que representa un sistema LTI, es decir la FT de la respuesta al impulso del sistema. Si h[n] es la respuesta al impulso de un sistema discreto LTI su FT H(e jω ) se denomina respuesta en frecuencia del sistema y cumple las propiedades anteriores igualmente. Así por ejemplo un filtro paso bajo es un sistema cuya respuesta en frecuencia es la siguiente: 2π H(e jω ) -π -ω c ω c π ω Sin embargo aunque en el dominio del tiempo tenemos una secuencia que es discreta, al calcular la FT, ésta es continua y no nos sirve para utilizarla en un procesador digital de señal por ejemplo. Por ello se va a definir la DFT, que es la versión discreta de la FT continua de secuencias. Igual que la FT, la DFT es también 2π periódica y se define únicamente entre -π y π. Se define para secuencias de duración finita en el tiempo y por ello mismo siempre va a tener un número finito de puntos. [1] Sea N el número de puntos de una secuencia, la DFT viene dada por:

28 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 18 N 1 kn x[ n] WN, 0 k N 1, X[ k] = n= 0 0, resto N 1 1 kn X[ k] WN, 0 n N 1, x[ n] = N k= 0 0, resto Como puede verse la DFT de una secuencia de N puntos es otro de N puntos para no perder información. La DFT corresponde a la versión muestreada de la FT de una secuencia. La DFT cumple propiedades parecidas a la FT pero algunas son diferentes. La DFT cumple la propiedad de linealidad: La FT para x[((n-m)) N ] 16 es: ax[ n] + by[ n] ax[ k] + by[ k] W km N X[ k] y para: [ ] [(( )) ] ln W x n X k l N N Otras dos propiedades importantes son: N 1 m= 0 [ ] [ ] [ ] [ ] x m * y (( n m)) X k Y k [ ] [ ] X[ l] Y[ (( k l)) ] x n y n 1 N Para calcular la DFT si se utiliza la fórmula directamente el número de operaciones es del orden de N 2 sin embargo existen algoritmos de decimación en tiempo y en frecuencia llamados normalmente FFT para los que el número de operaciones es del orden de N log 2 N. [1] N 1 l= 0 N N 14 Donde W N =e -j(2π/n). 15 Donde X[k] es la transformada de Fourier de x(t) y Y[k] la de y(t). 16 Donde ((n)) N es equivalente a decir n módulo N.

29 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL Señales aleatorias. Un proceso estocástico es aquel que en cada instante de tiempo se puede considerar una variable aleatoria que puede valer cualquier valor de entre los posibles dependiendo de la distribución. En general las señales aleatorias valen para caracterizar el ruido presente en todo sistema. Nos interesará saber dado un ruido a la entrada de un sistema saber cual es el ruido a la salida de dicho sistema. Una señal aleatoria se caracteriza en general por sus estadísticos como son la media y la autocorrelación. Si x(t) es una señal aleatoria cuya variable aleatoria asociada es x t, y y(t) es la señal de salida de un sistema cuya variable aleatoria asociada es y t, las medias asociadas a estos procesos son: m m xt yt = ξ { x } = ξ { y } t t donde ξ{ } es el valor esperado. En general se va a denotar la variable aleatoria x t como x(t) e y t como y(t), para evitar complicar la notación. En este caso: m ( t) = ξ { x( t)} x m ( t) = ξ { y( t)} y Si x(t) es estacinario, la media no va a depender del instánte de tiempo considerado y se puede denotar como m x. La media a la salida del sistema se puede calcular como: m ( t) = ξ { y( t)} = h( τ ) ξ { x( t τ )} dτ y como la entrada es estacionaria ξ{x(t-τ)}=m x (t-τ)=m x. Entonces: m ( t) = m h( τ ) dτ = m H( j0) = m y x x y por lo que la media del proceso de salida se puede decir que es también estacionaria y su valor es el de la media del proceso de entrada multiplicada por el valor de la FT en el origen. Ahora se definen las funciones de autocorrelación de la entrada y la salida, que vienen dadas por: φ ( t, t + τ ) = ξ { x( t) x( t + τ )} xx φ ( t, t + τ ) = ξ { y( t) y( t + τ )} yy

30 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 20 Si ahora se supone que el proceso de entrada es estacionario respecto a la autocorrelación, ésta depende únicamente de τ, pudiéndose denotar entonces como φ xx (τ). La autocorrelación del proceso de salida será entonces: φ t t yy (, + τ ) = ξ h ( σ ) h ( υ) x ( t σ ) x ( t + τ υ) d σ d υ = h( σ ) h( υ) ξ { x( t σ ) x( t + τ υ)} dυ dσ donde ξ{x(t-σ)x(t+τ-υ)}=φ xx (τ+σ-υ), entonces: φ yy ( t, t + τ ) = h( σ ) h( υ) φ xx ( τ + σ υ) dυ dσ = φ yy ( τ ) Como puede verse el proceso de salida es estacionario en sentido amplio. Haciendo el cambio de variable µ=υ-σ: donde se ha definido: φ yy ( τ ) = φ xx ( τ µ ) h( σ ) h( µ + σ ) dσ dµ = φ ( τ µ ) c( µ ) dµ = φ ( τ ) * c( τ ) xx c( τ ) = h( σ ) h( τ + σ ) dσ = h( τ ) * h( τ ) c(µ) es la autocorrelación de la respuesta al impulso del sistema. Por lo tanto: φ yy ( τ ) = φ xx ( τ ) * h( τ ) * h( τ ) Si se definen ahora las FT de φ xx (τ), c(τ), h(t) y φ yy (τ), como Φ xx (jω), C(jΩ), H(jΩ) y Φ yy (jω) respectivamente, entonces: * C( jω) = H( jω) H ( jω) = H( jω) Φ ( jω) = Φ ( jω) C( jω) = Φ ( jω) H( jω) yy xx xx Por último podemos calcular la correlación cruzada entrada salida como φ xy (t,t+τ), como: xx 2 2

31 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 21 φ xy( t, t + τ ) = ξ { x( t) y( t + τ )} = ξ x( t) h( σ ) x( t + τ σ ) dσ { } = h( σ ) ξ x( t) x( t + τ σ ) dσ = h( σ ) φ ( τ σ ) dσ = h( τ )* φ ( τ ) = φ ( τ ) xx xx xy como puede verse la correlación entrada salida también es estacionaria. Si la FT de φ xy (τ) es Φ xy (jω), valdrá: Φ ( jω) = H( jω) Φ ( jω) xy Una secuencia aleatoria también se caracteriza en general por sus dos estadísticos. Si x[n] es una secuencia aleatoria cuya variable aleatoria asociada es x n, y y[n] es la se cuencia de salida de un sistema cuya variable aleatoria asociada es y n, las medias asociadas a estos procesos son: xx m m xn yn = ξ { x } n = ξ { y } n En general se va a denotar la variable aleatoria x n como x[n] e y n como y[n], para evitar complicar la notación. En este caso: m [ ] [ ] x n = ξ { x n } m [ n] = ξ { y[ n] } y Si x[n] es estacinario, la media no va a depender del instánte de tiempo considerado y se puede denotar como m x. La media a la salida del sistema se puede calcular como: m [ n] = ξ { y[ n] } = h[ k] ξ { x[ n k] } y k= como la entrada es estacionaria ξ{x[n-k]}=m x [n-k]=m x. Entonces: j0 m [ n] = m h[ k] = m H( e ) = m y x k= por lo que la media del proceso de salida se puede decir que es también estacionaria y su valor es el de la media del proceso de entrada multiplicada por el valor de la FT en el origen. Ahora las funciones de autocorrelación de la entrada y la salida, que vienen dadas por: φ φ xx yy [ n n + m] = ξ x[ n] x[ n + m] [ n n + m] = ξ y[ n] y[ n + m], { }, { } x y

32 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 22 Si ahora se supone que el proceso de entrada es estacionario respecto a la autocorrelación, ésta depende únicamente de m, pudiéndose denotar entonces como φ xx [m]. La autocorrelación del proceso de salida será entonces: φ yy [ n, n + m] = ξ h[ k] h[ r] x[ n k] x[ n + m r] k= r= { } = h[ k] h[ r] ξ x[ n k] x[ n + m r] k= r= donde ξ{x[n-k]x[n+m-r]}=φ xx [m+k-r], entonces: [ n, n + m] = h[ k] h[ r] [ m+ k r] = [ m] φ φ φ yy k= r= Como puede verse el proceso de salida es estacionario en sentido amplio. Haciendo el cambio de variable p=r-k: donde se ha definido: φ yy [ m] = φ [ m p] h[ k] h[ p + k] p= xx = φ = * p= xx [ m p] c[ p] φ [ m] c[ m] xx k= c[ m] = h[ k] h[ m+ k] = h[ m] * h[ m] k= c[m] es la autocorrelación de la respuesta al impulso del sistema. Por lo tanto: φ [ m] = φ [ m] * h[ m] * h[ m] yy xx Si se definen ahora las FT de φ xx [m], c[m], h[n] y φ yy [m], como Φ xx (e jω ), C(e jω ), H(e jω ) y Φ yy (e jω ) respectivamente, entonces: j j j j C( e ω * ) = H( e ω ) H ( e ω ) = H( e ω ) jω jω jω jω jω Φ ( e ) = Φ ( e ) C( e ) = Φ ( e ) H( e ) yy xx Por último podemos calcular la correlación cruzada entrada salida como φ xy [n,n+m], como: xx xx 2 yy 2

33 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 23 φ xy ξ ξ [ n, n + m] = { x[ n] y[ n + m] } = x[ n] h[ k] x[ n + m k] k= { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = h[ k] ξ x[ n] x[ n + m k] = h k φ m k = h m * φ m = φ m k= k= como puede verse la correlación entrada salida también es estacionaria. Si la FT de φ xy [m] es Φ xy (e jω ), valdrá: [1] Φ xy xx jω jω jω ( e ) = H( e ) Φ ( e ) xx xx xy Tipos de ventanas temporales. Enventanado de señales. Como las ventanas se utilizan principalmente para realizar sistemas discretos, como por ejemplo filtros, se van a comentar los diferentes tipos de ventanas temporales en su versión discreta. Una ventana en una señal limitada en el tiempo, en general de M puntos. Dependiendo de la forma de dicha ventana tendremos los diferentes tipos de ellas. Normalmente se denota por w[n]. Tipos de ventanas: Rectángular, cuya expresión es: [ ] w n 1, 0 n = 0, resto M gráficamente: siendo su FT:

34 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 24 El ancho de banda del lóbulo principal viene dado por 4π/(M+1) y la amplitud relativa del segundo lóbulo -13 db. Bartlett o triangular, cuya expresión es: gráficamente: [ ] w n 2n M, 0 n M 2 2n M = 2 n M M 2 0, resto siendo su FT:

35 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 25 El ancho de banda del lóbulo principal viene dado por 8π/M y la amplitud relativa del segundo lóbulo -25 db. Hannig, cuya expresión es: [ ] w n 2π n cos( ), = M 0 n 0, resto M gráficamente: siendo su FT:

36 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 26 El ancho de banda del lóbulo principal viene dado por 8π/M y la amplitud relativa del segundo lóbulo -31 db. Hammig, cuya expresión es: [ ] w n 2π n cos( ), = M 0 n 0, resto M gráficamente: siendo su FT:

37 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 27 El ancho de banda del lóbulo principal viene dado por 8π/M y la amplitud relativa del segundo lóbulo -41 db. Blackman, cuya expresión es: [ ] w n 2π n 4π n cos( ) cos( ), = M M 0 n 0, resto M gráficamente: siendo su FT:

38 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 28 El ancho de banda del lóbulo principal viene dado por 12π/M y la amplitud relativa del segundo lóbulo -57 db. Una vez visto los tipos principales de ventanas hay que indicar que interesa aquella ventana con menores lóbulos secundarios, y con menor ancho de banda del lóbulo principal, es decir, que sea lo más parecida a una delta en el origen, sin embargo esto nunca se logra. Si queremos resolución en tiempo, entonces M es pequeño lóbulo principal es muy ancho y no tendramos resolución en frecuencia. Por otro lado si M es grande, no tenemos resolución en tiempo, pero debido a que el lóbulo es muy estrecho tenemos más resolución en frecuencia. Hay que tomar una decisión de compromiso. En general en el procesado discreto, la señal a la señal de entrada se la multiplica por una ventana, se procesa esa ventana y se desplaza la ventana M y se sigue procesando. Por ejemplo se hace la FFT de un trozo, se desplaza la ventana, se hace de otro trozo y así sucesivamente. a: Si un tono lo enventanamos con una ventana corta en frecuencia se tendrá algo similar

39 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 29 donde aunque tengamos mucha resolución en tiempo en frecuencia es mala. En el caso contrario quedaría: como se ve ahora la resolución en frecuencia es peor, pero se mejora la resolución en tiempo. [1] Teoría de filtros. Transformada de Laplace y z. La transformada de Laplace viene dada por la expresión: st H( s) = h( t) e dt que es una generalización de la transformada de Fourier. En concreto: H( jω) = H( s) s = j Ω por: es decir, la FT es el valor de H(s) en el eje vertical. La transformada inversa viene dada 1 Ρ+ jω st h( t) = H( s) e ds 2π j Ρ+ jω Un sistema LTI se puede caraacterizar por una ecuación diferencial: N a d k y t M b d k ( ) x ( t ) k k = k k dt dt k= 0 k= 0 donde y(t) es la salida del sistema para la entrada x(t). Si h(t) es la respuesta al impulso del sistema, H(s) su transformada de Laplace y X(s) e Y(s) las de x(t) e y(t), se tendrá que:

40 SISTEMA DE LOCALIZACIÓN ACTIVO POR SONIDO EN TIEMPO REAL 30 M bk s Y( s) k H( s) = = = 0 N X ( s) a s Es decir la transformada de Laplace permite representar un sistema por un cociente de polinomios en s. [1] Ahora en el dominio discreto se define la transformada z que viene dada por la expresión: H( z) = n= k= 0 k h[ n] z n que es una generalización de la transformada de Fourier de secuencias. En concreto: jω H( e ) H( z) = z e j ω = es decir, la FT es el valor de H(z) en circunferencia unidad, por ello H(e jω ) tiene período 2π. La transformada inversa viene dada por: [ ] h n 1 = 2π j C H( z) z Un sistema LTI discreto puede caracterizar por una ecuación en diferencias: N M k k k= 0 k= 0 n 1 k k dz a y[ n k] = b x[ n k] donde y[n] es la salida del sistema para la entrada x[n]. Si h[n] es la respuesta al impulso del sistema, H(z) su transformada z y X(z) e Y(z) las de x[n] e y[n], se tendrá que: Y( z) H( z) = = X ( z) Es decir la transformada z permite representar un sistema discreto por un cociente de polinomios en z -1. [1], [2] Existen 4 tipos de filtros: M k= 0 N k= 0 b z k a z Filtro paso bajo, que en el caso ideal viene dado por: k k k

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