Econometría II. Ejercicios propuestos

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1 Econometría II Ejercicios propuestos Román Salmerón Gómez Multicolinealidad 1. En el modelo de regresión Y t = β 1 + β 2 X t + β 3 Z t + u t se verifica que X t = 1 2 Z t. Qué parámetros son estimables? 2. En el modelo de regresión Y t = β 1 + β 2 X t + β 3 Z t + u t se verifica que X t = 2 Z t. Qué parámetros son estimables si se sabe que β 3 = 1? 3. En el modelo en el que se explica el reparto de dividendos de una empresa, D, a partir del endeudamiento a corto plazo de la misma, EC, del endeudamiento a largo plazo, EL, y del número de ventas anulaes, V, se sospecha que pueda existir multicolinealidad debido a la similitud de las variables EC y EL. Por tal motivo se realiza: la regresión de la variable EC sobre el resto de variables independientes del modelo, obteniéndose un coeficiente de determinación de la regresión de la variable EL sobre el resto de variables independientes del modelo, obteniéndose un coeficiente de determinación de la regresión de la variable V sobre el resto de variables independientes del modelo, obteniéndose un coeficiente de determinación de Existe multicolinealidad en el modelo? En caso afirmativo, como lo solucionaría? 4. En el modelo C t = β 1 + β 2 R t + β 3 H t + u t donde C es el consumo familiar, R es la renta familiar y H el número de hijos, se ha obtenido que el autovalor más grande de X t X es , mientras que el más pequeño es 2 2. Existe multicolinealidad en el modelo? Si al modelo anterior se le añade una nueva variable que mida el número de miembros de la familia con trabajo, el autovalor máximo pasa a ser y el mínimo a Qué ocurre ahora? Indique qué ocurre con las estimaciones obtenidas en un modelo en el que exista multicolinealidad y cómo resolvería este problema. Modelos de Ecuaciones Simultáneas 1. Escribir matricialmente, identificando para ello las variables endógenas y predeterminadas, las formas estructural y reducida de los siguientes modelos de ecuaciones simultáneas. Además, estudiar la identificabilidad de cada ecuación combinando el método del rango y del orden. a) y i1 = γ 21 y i2 + γ 31 y i3 + β 11 x i1 + β 31 x i3 + β 41 x i4 + ɛ i1, y i2 = γ 32 y i3 + β 22 x i2 + β 42 x i4 + ɛ i2, y i3 = γ 23 y i2 + β 13 x i1 + β 23 x i2 + β 43 x i4 + ɛ i3. 1

2 b) y i1 = γ 21 y i2 + β 11 x i1 + β 21 x i2 + ɛ i1, y i2 = γ 12 y i1 + β 12 x i1 + β 22 x i2 + β 32 x i3 + ɛ i2, y i3 = γ 13 y i1 + γ 23 y i2 + β 33 x i3 + +ɛ i3. c) y 1t = γ 21 y 2t + β 11 x 1t + β 21 x 2t + ɛ 1t, y 2t = γ 12 y 1t + β 32 x 3t + ɛ 2t. 2. Se considera un modelo del mercado de dinero en el que la demanda de dinero depende del tipo de interés y de la población, mientras que el tipo de interés depende de la cantidad del dinero, el tipo de descuento y el exceso de reservas. Además, se supone que las relaciones son lineales pero no tienen término constante, y que el modelo está en equilibrio, es decir, la demanda de dinero es igual a la cantidad del dinero. a) Formular el modelo y clasificar las variables. b) Obtener la forma estructural y reducida, y expresarlas en términos matriciales. c) Estudiar la identificación de las relaciones del modelo. 3. Dado el siguiente modelo de ecuaciones simultáneas escrito matricialmente en su forma estructural: ( ) y1t y 2t y 3t ( ) x 1t x 2t x 3t x 4t x 5t a) Obtener la forma reducida del mismo. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. + ( u 1t u 2t u 3t ) = ( ). 4. Escribir matricialmente, identificando para ello las variables endógenas y predeterminadas, las formas estructural y reducida de los siguientes modelos de ecuaciones simultáneas. Además, estudiar la identificabilidad de cada ecuación combinando el método de restricciones lineales y del orden. a) y i1 = γ 21 y i2 + β 11 x i1 + β 31 x i3 + β 41 x i4 + ɛ i1, y i2 = γ 12 y i1 + γ 32 y i3 + β 22 x i2 + β 42 x i4 + ɛ i2, y i3 = γ 13 y i1 + β 13 x i1 + β 23 x i2 + β 33 x i3 + β 43 x i4 + ɛ i3, sujeto a las restricciones β 11 + β 21 = 0 y γ 13 2β 23 = 0. b) y i1 = γ 21 y i2 + γ 31 y i3 + β 11 x i1 + β 21 x 12 + β 31 x i3 + β 41 x i4 + ɛ i1, y i2 = γ 12 y i1 + γ 32 y i3 + β 32 x i3 + β 42 x i4 + ɛ i2, y i3 = γ 13 y i1 + β 13 x i1 + β 23 x i2 + β 33 x i3 + ɛ i3, 2

3 sujeto a las restricciones β 11 β 31 = 0 y γ 13 β 33 = 0. c) y i1 = γ 21 y i2 + γ 31 y i3 + β 11 x i1 + β 31 x i3 + β 41 x i4 + ɛ i1, y i2 = γ 12 y i1 + γ 32 y i3 + β 22 x i2 + β 32 x i3 + β 42 x i4 + ɛ i2, y i3 = γ 13 y i1 + γ 23 y i2 + β 13 x i1 + β 23 x i2 + β 33 x i3 + β 43 x i4 + ɛ i3, sujeto a las restricciones γ 21 β 31 = 0, γ β 23 = 0 y γ 23 β 33 + β 43 = 0. d) sujeto a la restricción lineal β 22 2β 32 = 0. e) f) 5. Considerando el siguiente modelo: y 1t = γ 21 y 2t + β 11 x 1t + β 21 x 2t + ɛ 1t, y 2t = γ 12 y 1t + β 12 x 1t + β 22 x 2t + β 32 x 3t + ɛ 2t, y 3t = γ 13 y 1t + γ 23 y 2t + β 33 x 3t + ɛ 3t, y 1t = γ 21 y 2t + β 11 x 1t + ɛ 1t, y 2t = γ 12 y 1t + β 22 x 2t + β 32 x 3t + ɛ 2t. y 1t = γ 11 y 2t + β 11 x 1t + ɛ 1t, y 2t = γ 21 y 1t + β 21 x 2t + ɛ 2t. β 11 p t + β 12 q t = γ 11 x 1t + γ 12 x 2t + u 1t, β 21 p t + β 22 q t = γ 21 x 1t + γ 22 x 2t + u 2t, a) Obtener la forma estructural y reducida del mismo en términos matriciales. b) Estudiar la identificación de cada ecuación del modelo bajo las siguientes condiciones: i) γ 11 = γ 12 = 0. ii) γ 11 = γ 21 = 0. iii) γ 11 = 0. iv) β 21 = γ 21 = 0. v) γ 12 = γ 21 = 0. vi) γ 12 = γ 21 = γ 22 = Estudiar la identificabilidad del siguiente modelo, dado en su forma reducida, mediante el método del rango: y 1t = π 11 x 1t + π 21 x 2t + π 31 x 3t + u 1t, y 2t = π 12 x 1t + π 22 x 2t + π 32 x 3t + u 2t, y 3t = π 13 x 1t + π 23 x 2t + π 33 x 3t + u 3t, sabiendo que Γ = 1 γ 12 γ 13 γ 21 1 γ , B = β 11 β 12 0 β 21 β β 32 β 33. 3

4 7. Sea el siguiente modelo de oferta y demanda en el mercado de trabajo: Nt s = γ 11 W t + β 11 Nt 1 s + β 21 T t + β 31 P t + ɛ 1t Nt d = γ 12 W t + β 32 P t + β 42 Y t + ɛ 2t Nt s = Nt d, donde Nt s = Nt d = N t es el volumen de empleo en el periodo t. W t es el salario nominal en el periodo t. T t es el tipo medio impositivo en el periodo t. P t es el nivel de precios. Y t es el nivel de producción. Además se posee la siguiente información: N t W t N t 1 T t P t Y t N t W t N t T t P t Y t a) Escribir la forma estructural y reducida en su forma matricial. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. c) Estimar los coeficientes de la forma reducida del modelo. d) Estimar la forma estructural del modelo por el procese que se considere más oportuno. 8. Sea el siguiente modelo: y i1 = γ 21 y i2 + β 11 x i1 + u i1 y i2 = γ 12 y i1 + β 22 x i2 + β 32 x i3 + u i2, para el cual se posee la siguiente información para 25 observaciones: y 1 y 2 x 1 x 2 x 3 y y x x x a) Escribir la forma estructural y reducida en su forma matricial. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. c) Estimar los coeficientes del modelo por MCO. d) Estimar la forma estructural del modelo por el procese que se considere más oportuno. 4

5 9. Sea el siguiente modelo: y 1t = γ 11 y 2t + β 11 x 1t + u 1t y 2t = γ 21 y 1t + β 22 x 2t + β 23 x 3t + u 2t, siendo y 1 e y 2 las variables endógenas y x 1, x 2 y x 3 variables exógenas. La matriz de las sumas de productos cruzados es la siguiente: y 1 y 2 x 1 x 2 x 3 y y x x x a) Escribir la forma estructural y reducida en su forma matricial. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. c) Estimar la primera ecuación utilizando MCO. d) Estimar la la segunda ecuación utilizando MCI. e) Estimar ambas ecuaciones por MC2E. f) Estimar todo el modelo utilizando MC3E. 10. Consideremos el siguiente modelo de ecuaciones simultáneas: Y 1t = γ 21 Y 2t + β 11 X 1t + β 21 X 2t + u t1, Y 2t = γ 12 Y 1t + β 32 X 3t + u 3t. Y supongamos que se han obtenido las siguientes momentos muestrales respecto a la media: Y 1 Y 2 X 1 X 2 X 3 Y Y X X X a) Escribir la forma estructural y reducida en su forma matricial. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. c) Estimar los coeficientes del modelo por MCO. d) Estimar la forma estructural del modelo por el procese que se considere más oportuno. 11. Para estimar el comportamiento del mercado de automóviles propulsados por motor de gasolina se dispone del siguiente modelo: donde q d = a 0 + a 1 p + a 2 y + ɛ 1, q s = b 0 + b 1 p + b 2 z + ɛ 2, q d = q s 5

6 q d es el número de unidades demandadas medidas en miles, q s es el número de unidades ofrecidas medidas en miles, y es la renta familiar media en millones de pesetas, p el precio medio en millones de pesetas del vehículo propulsado con motor de gasolina, y z es el precio relativo del litro de gasolina respecto del gasóleo. Se pide, a partir de los siguientes datos muestrales: q p y z tr u donde tr es el precio medio por trayecto en el transporte público y u es el precio medio en millones de pesetas de los vehículos usados. a) Escribir la forma estructural y reducida en su forma matricial. b) Estudiar la identificabilidad de cada ecuación. c) Estimar la forma estructural del modelo por MCI. d) Estimar los coeficientes del modelo por MC2E. e) Estimar los coeficientes del modelo por MC3E. f) Ofrecer una estimación del modelo mediante variable instrumental, justificando la selección de la misma. 12. Se pretende estimar el siguiente modelo de comportamiento agregado de una economía: c t = α 0 + α 1 y t + α 2 c t 1 + ɛ 1t, i t = β 0 + β 1 r t + β 2 (y t y t 1 ) + ɛ 2t, y t = c t + i t + g t Para ello se cuenta con los siguientes datos anuales en miles de millones de unidades de cuenta: 6

7 año c t i t y t r t g t c t 1 y t a) Escribir la forma estructural del modelo. b) Escribir la forma reducida del modelo. c) Discutir la identificabilidad de cada una de las ecuaciones. d) Estimar la forma reducida. e) Estimar el modelo por MC2E. f) Estimar el modelo por MC3E. Modelos no lineales 1. Obtener una aproximación lineal de Taylor de los siguientes modelos no lineales: a) y t = x β t + ɛ t. b) y t = αe βxt + ɛ t. 2. Cómo estimaría el modelo y t = αx β t + ɛ t, para t = 1, 2,..., T? 3. Obtener la aproximación lineal mediante el desarrollo en serie de Taylor del modelo y t = α + x β t + ɛ t. 4. Obtenga la expresión linealizada del modelo y t = β 0 + β 1 e β2xt + ɛ t, aplicando el desarrollo en serie de Taylor en el entorno del punto (β 0, β 1 ) = (1, 0, 0). 5. Dados los siguientes datos: x y a) Ajustar un modelo doblemente logarítmico de la forma y = Ax β e ɛ. b) Ajustar un modelo de la forma y = Aβ x e ɛ. c) Representar los datos de las transformaciones realizadas al linealizar los modelos. 7

8 d) Usar el coeficiente de determinación para indicar el mejor ajuste. 6. En cuatro regiones dedicadas al cultivo de cacao se observó que el área cultivada en hectáreas, X, y la producción obtenida en cientos de kg, Y, obteniéndose los siguientes datos: X Y Ajustar un modelo doblemente logarítmico que permita conocer la producción a partir del área cultivada. 7. Obtener el sistema de ecuaciones normales de los siguientes modelos no lineales: a) y t = αe βxt + ɛ t. b) y t = β 0 + β 1 e β2xt + ɛ t. c) y t = β 0 e β1xt + ɛ t. d) C t = β 1 + β 2 Y β3 t e) y t = β 1 + x β2 t + ɛ t. + ɛ t (función de consumo agregado). 8. Obtenga las ecuaciones normales resultantes al aplicar máxima verosimilitud al siguiente modelo y t = β 0 1 β 1 x 1t + β 2 e β3x2t + ɛ t, donde se supone la hipótesis de normalidad en el término de error. 9. Dados los modelos no linelaes y t = x β t + ɛ t, y t = β xt + ɛ, obtener la expresión analítica de los algoritmos de Newton-Raphson y Gauss-Newton 10. Dado el modelo no lineal y t = β 0 β xt 1 + ɛ t, obtener la expresión analítica de los algoritmos de Newton-Raphson y Gauss-Newton. Además, mostrar cual sería la primera iteración del algoritmo a partir de las condiciones iniciales β 0 = 1 y β 1 = Dado el modelo y t = β 1 e β2xt + ɛ t, obtener la estimación iterativa proporcionada por el algoritmo de Newton Raphson. Mostrar cual sería la primera iteración de los algoritmos a partir del valor inicial β = (β 1 β 2 ) = (y 0). 12. Dado el modelo y t = β x1t 1 + β x2t 2 + ɛ t, obtener la estimación iterativa proporcionada por el algoritmo de Gauss-Newton. Modelos de elección discreta 1. Estamos interesados en analizar el efecto de algunos de los determinantes de la decisión de acudir a una consulta médica en el último mes (VIS). El objetivo es cuantificar la relación entre las características individuales y la probabilidad de realizar alguna consulta médica. Se consideran como factores explicativos el género (S2=1 si es mujer), la edad (EDAD), el estado de salud autopercibido (ES=1 es bueno) y la presencia de enfermedades crónicas (CR=1 si están presentes). Se han obtenido los resultados de aplicar estimaciones de Modelo de Probabilidad Lineal (MPL), modelo LOGIT y modelo PROBIT a una muestra de 1597 individuos y son las siguientes: 8

9 Coeficiente Estimación del MLP ˆβ Error Típico p valor Constante (***) S (***) EDAD (***) ES (***) CR (***) Estimación del Modelo Logit Coeficiente ˆβ Error Típico p valor Constante (***) S (***) EDAD (**) ES (***) CR (***) Estimación del Modelo Probit Coeficiente ˆβ Error Típico p valor Constante (***) S (***) EDAD (**) ES (***) CR (***) Se pide interpretar los coeficientes estimados en los tres modelos y el cálculo de odd-ratios. 2. Una empresa de seguros encuentra que la probabilidad de poseer un seguro de hogar frente a no poseerlo, puede escribirse mediante una relación lineal definida por el siguiente modelo: ŝ i = 0,07 + 0,0002y i + 0,004E i donde s i es una variable dicotómica que vale 1 si el individuo i-ésimo posee un seguro y cero en caso de no poseerlo; y i es la renta y E i es la edad del asegurado. Si la renta bruta mensual fuese de euros y la edad del asegurado de 30 años, entonces: a) Cuál es la probabilidad de NO poseer un seguro?. b) Cuál es el incremento de probabilidad, si la renta de dicho individuo aumentase en 200 euros?. 3. Se ha estudiado la posibilidad de que el hecho de que una familia tenga la vivienda en propiedad o no (Y ) dependa de variables como los ingresos de los individuos (INGRESOS); si trabaja (TRABFIJO), que es una variable dicotómica que toma el valor uno si el cabeza de familia trabaja y cero en caso contrario; el sexo (SEXO), que también es dicotómica, tomando valor 1 si es hombre y cero si es mujer; y la edad (EDAD), que representa la edad del cabeza de familia. El siguiente cuadro recoge los valores de dichas variables para dos individuos elegidos al azar de la muestra: i Y Sexo Edad Ingresos Trabfijo Además, se recogen los siguientes resultados de la estimación de un modelo logit y probit: 9

10 Variable Logit Probit Constante Sexo Edad Ingresos Trabfijo a) Calcular la probabilidad de tener vivienda en propiedad en los dos modelos y para los dos individuos. b) Calcular los Odds de cada individuo y para cada variable, solo para el modelo logit. c) Calcular los efectos marginales para el individuo 9 en el modelo logit y para el individuo 18 en el modelo probit. 4. En una encuesta realizada en junio de 2001 a diez alumnos de cuarto curso se les preguntó si aprobaron o no la asignatura de Macroeconomía, así como la calificación que obtuvieron en la asignatura de Econometría, con los siguientes resultados: Aprobaron Macroeconomía Calificación Econometría Sí 8 Sí 8 No 6 Sí 6 No 6 No 5 Sí 5 Sí 4 No 4 No 4 a) Especificar y estimar por mínimos cuadrados ordinarios un modelo lineal que evalúe el efecto que la calificación de Econometría tiene sobre la probabilidad de aprobar Macroeconomía. b) Interpretar los valores estimados para cada uno de los coeficientes del modelo. Cuál es la calificación que debe alcanzarse en Econometría para tener una probabilidad de 0.80 de aprobar Macroeconomía?. c) Si un alumno obtuvo 9.5 en Econometría, cuál es la probabilidad de aprobar Macroeconomía?. 5. Supongamos que la decisión de comprar (Y = 1) o no (Y = 0) una vivienda depende únicamente del nivel de renta (ingresos de la familia medidos en decenas de miles de euros) de una familia. Si dicho modelo se estima mediante un modelo lineal de probabilidad, un modelo logit y un modelo probit se obtienen los siguientes resultados: Estimación MLP Estimación Logit Estimación Probit Variable β V ar( β) β V ar( β) β V ar( β) cte Renta a) A partir de que renta se obtienen probabilidades superiores a 1 en el MLP? 10

11 b) Cuál es la probabilidad de que una familia compre una vivienda con una renta de euros? Y de una familia sin renta? (usar los tres modelos). c) Cómo incrementa la probabilidad de comprar una vivienda de una familia que pasa de unos ingresos de euros a 70000? Y de a 80000? (usar los tres modelos). d) Qué coeficientes son significativamente distintos de cero? (usar los tres modelos). e) Interpretar los efectos marginales, coinciden en los tres modelos? f ) Calcular los odd-ratio en los modelos Logit y Probit. g) Se verifican las siguiente relaciones?: β Logit 4 β MLP. β P robit 2 5 β MLP. β Logit 1 6 β P robit. Modelos de datos de panel 1. Para analizar un modelo de demanda de tabaco se consideran los precios del tabaco y el PIB per cápita, obteniéndose los siguientes resultados al estimar un modelo de efectos fijos con 85 observaciones (17 individuos y 5 unidades temporales): ln(tabaco t ) = ln(precio it ) ln(p IB it ), R 2 = 0,8478, R 2 = 0,7938 (6.85) (0.115) (0.679) Adviértase que entre paréntesis se tienen las desviaciones típicas estimadas robustas a heteroscedasticidad y autocorrelación. a) Interpretar la influecia de las variables con coeficientes significativamente distintos de cero en el consumo de tabaco. b) Contrastar la hipótesis de que el coeficiente del precio sea igual a -1. Qué información se obtiene de este contraste? 2. A partir de de los datos anuales de renta y consumo de los hogares entre 1997 y 2010 (ambos inclusive) para 22 paises europeos se obtiene la siguiente estimación para la función de consumo a partir de un modelo de efectos fijos: ln(consumo t ) = ln(renta it ) R 2 = 0,8598, R 2 = 0,8418 (0.001) (0.048) Adviértase que entre paréntesis se tienen las desviaciones típicas estimadas robustas a heteroscedasticidad y autocorrelación. a) Interpretar la influecia de las variables con coeficientes significativamente distintos de cero en el consumo. b) Para contrastar si los efectos fijos individuales son significativos se obtiene el valor experimental F exp = 0,453. Si la distribución teórica tiene 21 y 272 grados de libertad, se rechaza H 0 : α 1 = α 2 = = α n = 0? Qué indica el resultado del contraste? 3. Con datos de la encuesta anual de presupuestos familiares para cada comunidad autónoma y los años comprendidos entre 2009 y 2013 (ambos inclusive) se estima un modelo de demanda de cerveza a partir de un modelo de MCO agrupados, de efectos fijos y de efectos aleatorios. Los resultados obtenidos son los siguientes: 11

12 Var. Dep ln(cerveza it ) MCO agrupados Efectos fijos Efectos aleatorios cte (3.192) (4.907) (2.079) ln(precio it ) (0.552) (0.181) ( 0.155) ln(renta it ) (0.328) (0.486) (0.208) Contrastes Grados de libertad Valor experimental Sig. conj. efectos fijos 16, Breusch-Pagan Hausman La variable cerveza corresponde a los litros consumidos al año por persona y comunidad autónoma, precio es el precio medio por persona y comunidad por litro en euros de 2013 y renta es la renta disponible por persona y comunidad anual en euros de a) Es la relación entre el consumo de cerveza y el precio elástica, inelástica o unitaria? (usar los tres modelos). b) Cuál de los tres modelos es el idóneo? c) Interpretar los coeficientes significativamente distintos de cero del modelo seleccionado. 4. A partir de los 629 egresados de cierta facultad durante un periodo de 6 años se ha obtenido la siguiente estimación: Variable Fixed effects Random effects Age 1 (20 35) (0.0042) (0.0033) Age 2 (35 45) (0.0051) (0.0036) Age 3 (45 55) (0.0055) (0.0042) Age 4 (55 65) (0.0078) (0.0060) Age 5 (65 ) (0.0155) (0.0121) Unemployed previous year (0.0153) (0.0151) Self-employment (0.0297) (0.0263) South (0.0656) (0.0333) Rural (0.0317) (0.0237) R Donde entre entre paréntesis se tienen las desviaciones típicas estimadas robustas a heteroscedasticidad y autocorrelación, y: La variable dependiente, lwage, es el logaritmo del salario. Las variables independientes son la edad, Age (dividida en 5 grupos); desempleo en el año anterior; auto empleo; residencia en el sur del país; y residencia en zona rural (las 4 últimas variables toman el valor 1 en caso afirmativo). a) Realizado el contraste de Hausman se tiene un p-valor asociado de Qué modelo elegirías? b) Para el modelo seleccionado, interpretar los coeficientes significativamente distintos de cero. 12

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