UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA

2 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS JURÍDICAS SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA CURSO DE NIVELACION 0 MÓDULO DE MATEMATICA DESTINADO A LAS CARRERAS DE: CONTADOR PÚBLICO NACIONAL LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN TÉCNICO UNIVERSITARIO EN GESTIÓN FINANCIERA PROGRAMA ANALITICO UNIDAD I NUMEROS: Clsificción: Nturles, crcterístics. Enteros, propieddes. Rcionles, crcterístics, frcciones, epresión deciml de un número frccionrio. Operciones con frcciones, irrcionles, números reles, propieddes: sum, diferenci, producto, cociente, potencición, rdicción. Ejercicios comindos. Rdicles, simplificción, etrcción, sum rest multiplicción división de rdicles, rcionlizción.logritmos, propieddes uso de l clculdor. Ecuciones logrítmics Conjunto: operciones. Pr Ordendo. Producto crtesino. Relciones inris. UNIDAD II EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Operciones con epresiones lgerics enters. Polinomios. Operciones con Polinomios. Vlor Numérico de un Polinomio. Teorem del Resto. Fctoreo, distintos csos. Operciones con epresiones lgerics frccionris. UNIDAD III ECUACIONES: Identidd. Ecución de primer grdo. Inecuciones de primer grdo. Sistems de ecuciones lineles, distintos métodos de solución, uso de l clculdor. Ecución de segundo grdo. Discriminnte. Fctoreo del trinomio de segundo grdo. BIBLIOGRAFÍA I, II, III. Polimodl. Editorl Sntilln s Bchillerto I, II, III. Miguel de Guzmán.- Editoril An.,,, Editoril AZ. Álger Trigonometrí. Stnle A. Smith- Rndll I. Chrles- John A. Dosse- Mervin L. Keed- Mrvin L. Bittinger. Ed. Addison Wesle Longmn. Curso de Nivelción 0

3 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES. El ojetivo en est unidd es que conozcmos mnejemos con sencillez ls operciones entre números reles sus propieddes. Por ejemplo, si queremos medir el perímetro de un terreno pr lmrr, o el gsto mensul en trnsporte, indicr l velocidd de nuestr coneión Internet, necesitmos números. Quizá h sido est, l necesidd de contr, l que h desrrolldo l primer mtemátic, l del homre prehistórico, l de los egipcios (que conocín el concepto de frcción.entonces podemos decir que l noción de números nció con el homre. El homre primitivo teni l ide de número prtir de llí, lo lrgo de todo el tiempo, se h llegdo l desrrollo que ctulmente posee el concepto de número. Números Nturles (N Los Números Nturles fueron los primeros que utilizó el ser humno pr contr ojetos de l nturlez:,,,, 00, n,.etc. Se denot con N. Es posile representrlos en un rect, que poseen ntecesor (ecepto el sucesor. El número cero se puede incluir en este conjunto de números Nturles constituendo sí el conjunto de números nturles incluido el cero N 0. Con los cules contmos, ordenmos relizmos operciones de sum multiplicción, siendo el resultdo de ests operciones tmién un número nturl, sin emrgo no ocurre lo mismo con l rest división. Crcterístics de los números nturles: Es un conjunto infinito, totlmente ordendo por l relción Tiene primer elemento, no tiene último elemento. Todo número nturl tiene un sucesor, es decir, cd número nturl, tiene un consecutivo. Todo número nturl, slvo el uno, tiene ntecesor. Entre dos números nturles consecutivos, no eiste otro número nturl, por eso se dice que el conjunto es discreto o ien entre dos nturles eiste un número finito de números nturles. Curso de Nivelción 0

4 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Cundo decimos que los números nturles pueden sumrse multiplicrse, el resultdo es nuevmente un número nturl es por que ests operciones se sn en propieddes, como ser: Donde, c son números nturles. Propieddes ásics. L relción de orden entre números nturles son: Propieddes de orden. Ddos Si Si, es o necesrimente c entonces c Y ls propieddes de vínculo con ls operciones: Si Si Conmuttivs Asocitivs: Distriutividd entonces c c entonces. c. c.. c ( c (.. c.(. c (. c. c. c Necesidd de su creción. Números Enteros (Z Y ls ntigus civilizciones hindú áre oservron que lgunos prolems numéricos no tenín solución entre los números conocidos (nturles.esto ocurrí por ejemplo con ls deuds monetris ls cules representn con el signo (- delnte del número, por ejemplo -00, indic un deud de 00 moneds. Antes l necesidd de poder resolver situción prolemátics donde el minuendo es menor que el sustrendo, fue necesrio mplir el cmpo de los números nturles, creándose sí los números negtivos. Por lo tnto, medid que ps el tiempo, estos números continuron preciendo en innumerles situciones dndo pso sí l formción de un conjunto numérico, conocido como los números enteros, se simoliz con Z 0 (Nturles positivos (cero (Números negtivos Curso de Nivelción 0

5 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Crcterístics del conjunto de números enteros. Es un conjunto infinito. El conjunto Z no tiene ni primer ni último elemento. En efecto todo número entero tiene un ntecesor un sucesor. El conjunto Z es un conjunto ordendo, se puede definir un relción de mor, menor o igul. El conjunto Z es un conjunto discreto. Entre dos enteros no siempre eiste otro número entero. Opuesto de un número Cd número entero tiene un opuesto, que se encuentr igul distnci del origen, de modo que + (-=0.Los números opuestos tienen el mismo módulo. Actividd N º Completen l siguiente tl Número -0 0 Opuesto - -8 Anterior - - Siguiente + Actividd Nº Representr en l rect rel los siguientes números: -; ; 0; 8 Actividd Nº Completen colocndo <, > o = según correspond ( (8 - + c -(+. - d ( - 8 Actividd Nº Escrin en cd igulddes dds. el número entero que hg verdder cd un de ls Curso de Nivelción 0

6 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. +8 = += c - + = -9 d - = + e -9 - = - f - = -8 Actividd Nº Completen ests igulddes: el opuesto el sucesor de es el sucesor del opuesto de es c el ntecesor del opuesto de es d el opuesto del ntecesor de es e el ntecesor del sucesor del opuesto de 0 es f el ntecesor de 9 es g el opuesto del opuesto de es h el opuesto del sucesor de 0 es i el sucesor del sucesor de es Actividd Nº Escriir cd enuncido usndo desigulddes. X es positivo. Y es negtivo. c T es menor que d U es menor o igul que e Z es mor que Actividd Nº Completen. Relice tods ls operciones. A -. : - ( Curso de Nivelción 0

7 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Actividd Nº 8 Coloquen en cd el signo <, > ó = según correspond: +. (- (+. (- -: (- (-: (- c (-:. : d -8+- ( e ( - Números Rcionles (Q Nº Nturles (N Cero Nº Negtivos Enteros (Z Rcionles (Q Frcciones /o Decimles El conjunto Q de los números rcionles está formdo por todos los números que pueden epresrse como frcción. Todos los números Enteros, por lo tnto los Nturles, pueden escriirse como frcciones. Crcterístics. Los números rcionles son infinitos. El conjunto de los rcionles no tiene primer ni ultimo elemento. El conjunto del cmpo de los rcionles es denso, porque siempre puedo encontrr entre dos números otro numero rcionl. Tod epresión del tipo, en l cul son números enteros 0, se llm frcción o epresión frccionri. Se puede considerr un frcción un prte de un todo. Numerdor: indic el número de prtes que se tomn. Denomindor: indic en cuánts prtes igules se divide el todo. Curso de Nivelción 0

8 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Cundo en un frcción, el numerdor el denomindor son números primos entre si, decimos que l frcción es irreducile. Qué signific ser denso? Ddos dos números rcionles, siempre es posile encontrr otro entre ellos. Un mner sencill de determinrlo es l semisum: En este conjunto, ls cutros operciones son cerrds, es decir, el resultdo otenido es siempre un número rcionl. Frcciones equivlentes. Dos frcciones son equivlentes o igules si representn l mism cntidd. Ejemplo.,,, Ests epresiones son Equivlentes entre sí, puedes otener epresiones equivlentes si un número lo multiplics divides por l mism cntidd. Dos frcciones Ejemplo: verifiquemos que Comprción de frcciones. c d 0 Definición: Dds dos frcciones orden en el conjunto de los números rcionles: son equivlentes si solo si. d. c son equivlentes, pues.=0. c, tl que 0 d 0 d c d Si solo si,. d. c En form nálog se definen los símolos >,, se define el siguiente Actividd Nº 9 En cd un de ls figurs pinten l prte correspondientes l frcción indicd. 8 Curso de Nivelción 0 8

9 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. c d Actividd Nº 0 De l siguiente frcción escrie: 8 Un frcción equivlente con denomindor : Un frcción equivlente con numerdor 9: c Un frcción equivlente con numerdor : d Un frcción equivlente con denomindor 0: Actividd Nº Complet pr que resulten frcciones equivlentes: c... d e f... 8 Actividd Nº Represent en rect numéric, ls siguientes frcciones ordénl de menor mor. ; ; ; 8 Actividd Nº Represent en rect numéric ls siguientes series frcciones, uscndo frcciones equivlentes ordenrls de mor menor. ; ; ; 0 0 ; ; ; ; ; c ; ; ; ; d ; ; ; ; ; ; Curso de Nivelción 0 9

10 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Actividd Nº Completen con <, > o =, según correspond c... d e... f... g... h i... j k... l... 8 Epresión deciml de los números frccionrios. Epresr un número frccionrio en deciml, es dividir numerdor por denomindor, se otiene epresiones decimles ects periódics. EXPRESIONES DECIMALES PURAS EXACTAS PERIÓDICAS MIXTAS Ejemplos: 0, 0 deciml ecto, que su resto es cero, el denomindor es un 000 potenci de 0, en este cso es 0 9. deciml ecto, puesto que le resto de l división es cero. 80 c,..., ˆ deciml periódico puro. 8 d , 8 deciml periódico mito 8 Actividd Nº Psr frcción ls siguientes epresiones decimles. 0,=,= c,89 = d 0,008 = e -, = f 8, = Curso de Nivelción 0 0

11 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. g, = h,8= i 0,= j 0,0000= k,= l 0,= m,0= n 8,9= Actividd Nº Psr frcción los siguientes números decimles periódicos., =, c 0, ˆ = d 8, = e 0, 00= f 0, 00 g, = h 8, = i 0, 8 j 0, ˆ = k, = l, 98 Actividd Nº Otener l epresión deciml correspondiente clsificrl en ect (E, periódic purs (PP periódics mits (PM c. d. e. f Actividd Nº 8 Otener l epresión deciml correspondiente clsificrl en ect (E, periódic purs (PP periódics mits (PM c. d. e. f g. h i 9 Operciones con frcciones. Curso de Nivelción 0

12 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Sum /o rest de frcciones. c d. d c. d. d Multiplicción de frcciones: c. d. c. d División de frcciones: Dos frcciones c d, son reciprocs o inverss si su producto es igul. c d Es decir:. De l definición otenemos el siguiente resultdo. Un frcción tiene invers si solo si 0. L frcción invers de es l frcción En generl: c d d. c Actividd Nº 9 Resolver los siguientes ejercicios c = d e f 8 8 g 8 h i 8 Actividd Nº 0 Plnter resolver ls siguientes situciones prolemátics. Pr llenr los / 8 de un cmión cistern con idones de cpcidd equivlente / 0 de l cpcidd totl del cmión, cuántos idones se necesitn?. toneld de zúcr se envs en pquetes de / Kg. Cuántos pquetes se necesitn?. c Cuánto vlen los / 8 de un terreno de m si se piden $ por m?. Actividd Nº Reemplz cd epresión deciml por su frcción equivlente resolver: Curso de Nivelción 0

13 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. 0, 0, 0,8ˆ 0, 0, c 0,ˆ 0, d.. 0, Números Irrcionles (I Un número se llm irrcionl si no es posile escriirlo como un frcción. L epresión deciml de un número irrcionl es infinit no es periódic. Un ejemplo de irrconl es ; oserv sus primers cifrs:, , otro numero irrcionl es el número que se us en geometrí, el numero que se us pr clculr longitudes de circunferencis áres de círculos, pr el cul l proimción más usul es.. L representción deciml de este número continú interminlemente sin repetición. Grcis l tecnologí que hor tenemos, un computdor clculó como deciml hst cien cifrs, he quí lguns: =, Con el siguiente Digrm podemos representr los conjuntos de números vistos N Z Q I R Números Reles ( R Los Números Reles se pueden representr sore un rect numéric, que es un líne mrcd intervlos igules. Un de ls mrcs se llm origen, indicd con el 0, ls mrcs l derech del origen representn los enteros positivos ls mrcs l izquierd del origen representn los enteros negtivos, entre los números enteros se uicn los otros conjuntos numéricos. En síntesis: Los números irrcionles son quellos que no pueden ser epresdos por medio de un frcción, o se que sus epresiones decimles tienen infinits cifrs no periódics. Son ejemplos de números irrcionles el número, ls ríces de orden pr de números nturles que no sen números nturles (ejemplo, ls ríces de Curso de Nivelción 0

14 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. índice impres de números enteros pres tnto positivo como negtivo. (Ejemplo 8. Con los números irrcionles se complet l rect numéric Actividd Nº : Mrcr con un cruz ( l cmpo numérico que pertenece cd número. Número N Z Q I R -8-0,ˆ Al operr con números reles dees tener en cuent lguns Lees Básics: ٠ Le Conmuttiv Se plic ls operciones sum multiplicción, estlece que no import el orden en que se sumen o multipliquen dos números. Est le grntiz que: Le socitiv Se plic ls operciones sum multiplicción, estlece que no import el orden en que se sumen o multipliquen tres números. Es decir que: ( c ( c ( c ( c ٠ Le distriutiv Asoci ls operciones de sum producto de l siguiente mner ( c c Curso de Nivelción 0

15 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. ٠ Orden de ls operciones Pr resolver prolems de cálculo eiste un orden que deemos seguir pr llegr l resultdo: Operciones dentro de préntesis (llves o corchetes deen relizrse siempre comenzndo desde el préntesis más interno trjr hci fuer Elevción un potenci Multiplicción o división en el orden en que prezcn de izquierd derech Sums rests en el orden que prezcn de izquierd derech ٠ Elementos identidd Eisten elementos identidd pr l sum pr el producto 0, el 0 es el elemento identidd pr l sum, el es el elemento identidd pr el producto ٠ Elemento inverso Pr l sum: es quel número tl que sumdo otro número d como resultdo el elemento identidd del producto + (- = 0, el elemento inverso pr l sum es - Pr el producto: es quel número tl que multiplicdo otro numero d como resultdo el elemento identidd de l sum El elemento inverso pr el producto es / Actividd Nº : Complet el cudro escriiendo los inversos ditivos los multiplictivos de los siguientes números rcionles. Inverso Aditivo Inverso Multiplictivo 0 - / -/ -/ / -/ Potencición Multiplicr un número por sí mismo vris veces, puede indicrse como n, que es lo mismo que multiplicr, n veces: n =..... Curso de Nivelción 0

16 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. El número se llm se el n se llm eponente decimos que n es l n-esim potenci de. Regls de los eponentes ٠ Producto de potencis de igul se Pr multiplicr dos o más potencis que tienen l mism se st con sumr los eponentes plicrlo l se; m. n (n + m = ٠ Producto de cocientes de igul se Pr dividir dos o más potencis que tienen l mism se st con restr los eponentes plicrlo l se; m / n = n-m si es distinto de cero Potenci de Potenci Pr resolver l potenci de un potenci se multiplicn los eponentes se plicn l se ( n m = n.m n n ٠ Le distriutiv respecto del producto n.. ٠ Le distriutiv respecto del cociente n cero n / / si es distinto de ٠ Potenci cero: Por convención 0 = A qué será igul 0 0? Eiste? n / ٠ Eponente Negtivo: n Lees de los signos Si l se es positiv el resultdo es positivo culquier se el eponente..... Si l se es negtiv, el resultdo es negtivo si el eponente es impr ( (.(.( Si l se es negtiv, el resultdo es positivo si el eponente es pr ( (.(.(.( Curso de Nivelción 0

17 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Curso de Nivelción 0 Rdicción L operción de rdicción es l invers de l potencición, si n = entonces diremos que n, donde es el rdicndo, n es el índice de l ríz es ríz de. ٠ l ríz es positiv si es positivo ٠ es negtiv si es negtivo n es impr Lees de l rdicción ٠ Distriutiv respecto del producto respecto del cociente n n n.. n n n : : ٠ Potenci de un ríz / ( n m m n Esto implic que todo índice de un rdicción puede escriirse como un potenci de eponente frccionrio POTENCIACION Y RADICACION Actividd Nº Aplicr propieddes.. c d e. f. g 0 h 8 i

18 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Curso de Nivelción 0 8 j k l m n ñ Actividd Nº Complet con = o según correspond, eplic el cso en que se distinto c d 00 : 00: e ( f g ( h Actividd Nº. Simplifiquen plicndo propieddes de l potencición, con distinto de cero : : :... : :. c Actividd Nº Resolver utilizndo ls propieddes de l potencición cundo se posile c.( d.(. e 0 f 0 0,ˆ g.0, 0,ˆ h Actividd Nº 8. Ejercicios comindos:

19 UNIDAD Nº. Seprr en términos, plicr resultdo: NÚMEROS REALES. propieddes cundo se conveniente, simplificr. Respuest:, 0, Respuest: c 0,ˆ. Respuest: d,ˆ 0,8ˆ 0,ˆ Respuest: e Respuest: 0, f (0,ˆ 0,8ˆ Respuest: 9, 9 g (. Respuest: 0 h 0,99 0, Respuest: Rdicles Los rdicles son los números irrcionles como por ejemplos: ; ; ; El índice de l ríz indic el grdo de un rdicl. Así grdo es un rdicl de grdo tres. es un rdicl de segundo Rdicles semejnte: Dos rdicles son semejntes cundo tiene el mismo rdicndo el mismo grdo. Ejemplos. ; 0 En cmio no son semejntes. Curso de Nivelción 0 9

20 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Alguns propieddes de rdicción. n n Si eisten en el cmpo de los números Reles, entonces se cumplen ls siguientes propieddes: Distriutividd respecto l multiplicción. Ejemplo: 8. 8 Distriutividd respecto l división: n Ejemplo: n n n n. n, siempre que 0 c Simplificción de índices: siempre que l potenci el índice sen múltiplos. Ejemplo: Simplificr rdicles. Pr simplificr rdicles su más simple epresión se descompone en sus fctores primos. Ejemplo. Descomponer luego 8 9. Entonces: = Actividd Nº 9 Descomponer simplificr c 00 d 0 e f. 88 Etrcción de fctores fuer del rdicl. Pr l etrcción de fctores fuer del rdicl h que tener en cuent l propiedd de distriutividd con respecto l multiplicción división. Curso de Nivelción 0 0

21 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Ejemplo: Siempre pr etrer fctores fuer del rdicl l potenci dee ser igul o mor l índice. Siempre los vlores numéricos se deen descomponer. Actividd Nº 0 Etrer fctores. 8 c 9 d 0 c d = 8 0 = e 9 = c 00 d = 00. c. 8. f 8. c.. m Operciones con rdicles. Sums rests con rdicles. Pr sumr restr rdicles, h que simplificr los rdícles ddos, (si esto es posile, efectur ls operciones indicds Ejemplo : Efectur 80 Primero se descomponen en fctores primos Luego se escrie: 80.. c Etrcción de fctores Curso de Nivelción 0

22 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Ejemplo. Relizr l siguiente sum 8 0 Descomponer 8, Escrio: Etrcción. c = Actividd Nº Efectur ls siguientes sums rests lgerics. 00 c e 80 f d g i ( 0 h j 8 0 k m n ñ 8 0 Curso de Nivelción 0

23 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Multiplicción División De Rdicles. I En el producto en el cociente de rdicles con el mismo índice, se tiene en cuents l propiedd distriutiv. Ejemplo II Pr poder efectur l multiplicción l división de rdicles con distinto índice, primero se dee trnsformr en rdicles equivlentes (del mismo índice. Pr ello se utiliz el múltiplo común menor entre los índices se plicn, convenientemente, ls propieddes. Ejemplo.. el m. c. m es..... L división se reliz en form similr. Actividd Nº. Relizr ls siguientes multiplicciones divisiones c c 00. c = d 8 8 c 9 d 0 f. 0 e 0 g. 8 h 0 i 8 8 c c Rcionlizción. Curso de Nivelción 0

24 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. L Rcionlizción consiste en eliminr l ríz de denomindor (en lgunos csos del numerdor.en ese cso se relizn ls trnsformciones necesris de mner de otener epresiones equivlentes con denomindor (numerdor rcionl. I Si el denomindor tiene un solo término con un rdicl de índice, se multiplic tnto ese numerdor como el denomindor por ese rdicl, se relizn tods ls operciones simplificciones necesris pr otener un denomindor rcionl. Ejemplo n m II Pero si se tiene un rdicl con índice mor que de l form ( n m, se multiplic numerdor denomindor por un rdicl de l form n operndo simplificndo hst otener un denomindor rcionl. n m, pr seguir Ejemplo.... III Si el denomindor tiene dos términos l menos uno es rdicl, se multiplicn numerdor denomindor por su conjugdo, se reliz ls operciones simplificciones necesris. Siempre tiene que quedr en el denomindor (numerdor un epresión sin rdicles. Ejemplo. (. ( ( 9 Actividd Nº. Rcionlizr ls siguientes epresiones. c d = e Curso de Nivelción 0 f 9 g h

25 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. i j k Logritmo En ciencis como iologí, Químic Economí se estudin mgnitudes que tienen un porcentje fijo de crecimiento o decrecimiento cd cierto periodo. Ests situciones se modelizn trvés de funciones eponenciles o logrítmics. Logritmo: Definición. El Logritmo en se de un numero es el numero c, sí solo sí elevdo l eponente c d como resultdo. En símolos log c c Se lee: logritmo en se de es l se del logritmo dee ser un numero rel positivo. es el rgumento del logritmo dee ser un numero rel positivo. Ejemplo. log 8 8 log Actividd Nº Hllen verifiquen los siguientes logritmos plicndo l definición. log log c log d log9 e log0 0, 00 8 Actividd Nº Dds ls siguientes potencis, escriir los logritmos que se derivn de ells como operción invers. 0 = =.. Curso de Nivelción 0

26 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. c = d 0 =. e =. f - =.. Cmio de se: El cmio de se se us pr clculr el vlor del logritmo. Cundo no se especific el, se entiende que se est trjndo con se 0, nuestrs clculdor trjn en es se. Como se reliz el cmio de se: Ejemplo log log log, log log log Actividd Nº Resolver ls siguientes operciones plicndo l definición de logritmo: log log Rt=0 (log 9 log Rt= 0 log000 log Rt= log 8 log Rt= log log log 8 Rt=- log log 8 log Rt= Propieddes de los logritmos. El logritmo de, en culquier se es 0 Ejemplo. log 0 En símolos log 0 El logritmo de un número de igul se, d por resultdo. Ejemplo. log En símolos log El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores. Curso de Nivelción 0

27 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Ejemplo:. log log log En símolos: log (. c log log c El logritmo de un cociente, es igul l rest entre los logritmos. Ejemplo: log log log En símolos. log ( c log log c El logritmo epresdo como potenci de un número es igul l potenci por el logritmo de ese número. Ejemplo: log log En símolos n log n log Ejemplo: Aplicr ls propieddes del logritmo pr clculr :, Solución: log.log,.(,8..,9 nt log(,9 9 Actividd Nº Clculr plicndo ls propieddes de logritmos. 0, 098,,, 8 Logritmos decimles logritmos nturles. Cundo l se es 0, los logritmos se llmn decimles, e ello no es necesrio indicr l se, es decir que: log log0 Otros logritmos que se utilizn con frecuenci son los logritmos nturles (ln. Este numero tiene como se especil, el numero e. en símolos. ln loge Curso de Nivelción 0

28 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Alguns propieddes. e ln ln 0 clne dlne El número e, es un número irrcionl equivle, Ecuciones eponenciles: Ls ecuciones eponenciles son quells en ls que l incógnit prece en un eponente o en más de uno. Pr resolverls, h que tener presente que. Siempre que se posile, es conveniente epresr mos miemros como potencis de un mism se. Pr despejr ls incógnits que precen en el eponente, es posile usr el logritmo. Ejemplo:.( plico 8.( resulevo el 8. 8 log log8 plico log8 log 8 pso plico 8 fctor dividiendo logritmo propieddes prentesis comun de potencis Ecuciones logrítmics. Ls ecuciones logrítmics son ls que tienen l incógnit de lgún logritmo. Tener en cuent: Se plic l definición de logritmo. Curso de Nivelción 0 8

29 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Ejemplo: Siempre que se posile grupr los logritmos, plicr lgun propiedd. Verificr. log log log ( log descrtmos. resulevo dentro del plico l deficion de 0 resulevo plico propiedd de multipliccion prentesis log Actividd Nº 8 Resuelvo ls siguientes ecuciones:. log log 8 c, e f,0 d g9 h i j 0,88 0,0 0,8 k.log 8 0. log Conjuntos Conjuntos es un concepto primitivo que no definimos. Pero convencionlmente podemos decir que un conjunto es un grupción o colección de ojetos perfectmente distinguidos determindos. A continución se dn lgunos ejemplos de conjuntos: - conjunto de ls vocles V = {, e, i, o, u} - conjunto de los números reles R - conjunto de lgunos triángulos ( no es conjunto Los conjuntos se denominn con letr múscul de imprent. Los ojetos que componen un conjunto ddo se colocn entre llves seprds por com, cd uno de Curso de Nivelción 0 9

30 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. estos ojetos se denominn elementos se dice que pertenecen l conjunto por medio del signo. Los conjuntos se pueden definir de dos forms: Por Etensión: Cundo se dn conocer eplícitmente todos cd uno de los elementos que lo componen. Ejemplo: A = {,,, } Por comprensión: cundo se indic l propiedd que cumplen todos los elementos del conjunto solo ellos. Ejemplo: A = N / Conjunto universl o de referenci Es el conjunto formdo por todos los elementos del tem trtr, o se con el universo que trjmos. Lo indicmos con U Iguldd de conjuntos Dos conjuntos son igules si tienen los mismos elementos sin importr el orden A = {,,, } B = {,,, } A = B Conjunto vcío Se denomin sí l conjunto que no posee elementos. Se indic de l siguiente mner 0= { } Conjunto unitrio Es el conjunto formdo por un único elemento A = { } Representción gráfic de conjuntos Los conjuntos se representn gráficmente por medio de un líne curv cerrd que determin un zon pln denomind digrm de Venn. El conjunto universl se represent medinte un digrm de rectngulr. Ejemplo: U = {,,,,,,, 8, 9, 0} A ={,, } B = {,, } Curso de Nivelción 0 0

31 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. A B U Inclusión de conjuntos Un conjunto B está incluido o lo sumo es igul l conjunto A sii pr todo elemento, si ese elemento pertenece l conjunto B entonces tmién pertenece l conjunto A. Todo conjunto está incluido o es igul si mismo por lo tnto todo conjunto es suconjunto de si mismo. Por definición el conjunto vcío es suconjunto de todo conjunto. A,,c,d,e B,c,d B A B A B c d e A Fmili de prtes de un conjunto: El conjunto de prtes de un conjunto está formdo por todos los suconjuntos que se otienen prtir del conjunto ddo. A,, P A =,, ;, ;, ;, ; ; ; ; 0 El número de suconjuntos de un conjunto es igul : conjunto. En el ejemplo nterior tenemos: 8, = Nº de elementos del conjunto A n con n =Nº de elementos del Crdinlidd: A, es el número de elementos de un conjunto ddo. Operciones con Conjuntos: Curso de Nivelción 0

32 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Unión: Ddos dos conjuntos A B, definimos unión entre mos conjuntos un tercer conjunto C formdo por los elementos de A /o de B. A B / A B ( =/o Ejemplo: A,,c B, p,q A B,,c, p,q A c p q B Intersección: Ddos dos conjuntos A B se define como intersección entre mos un tercer conjunto C formdo por los elementos comunes mos conjuntos. A B / A B Ejemplo: A,, B,,, A B, A B A Diferenci: Ddos dos conjuntos A B se llm diferenci A-B l conjunto formdo por los elementos que pertenecen A no pertenecen B. A B A B B A / B A / A B,,c,,c,d,e B d,e, f B A f A A d d f B f B e e c c A-B B-A Complementción: El conjunto complementrio de un conjunto culquier A est formdo por todos los elementos del referencil que no pertenecen A U,e,i,o,u i u U A,e A U A i,o,u o e A Curso de Nivelción 0

33 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Pr ordendo: Es un conjunto de dos elementos no necesrimente distintos considerdos en un cierto orden,, primer componentedel pr segund componente del pr, c,d c d Producto Crtesino: Ddos dos conjuntos A B, se denomin producto crtesino de AXB un nuevo conjunto cuos elementos son pres ordendos tles que l primer componente de cd pr pertenece l conjunto l segund componente pertenece l conjunto B.,, B AX B,;,;,;,;, ;, AX B, / A B A, Simólicmente: El producto crtesino NO es conmuttivo: AXB BXA Gráficmente: A Relción Binri: Ddos dos conjuntos A B se define como relción inri entre los elementos del conjunto A B un suconjunto del producto crtesino AXB tl que eist un propiedd que vincule los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B R, /, AXB : R Ejemplo: A,, B,, AX B, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, R, /, AX B :, ;, Dominio de un Relción: es el conjunto formdo por ls primers componentes de los pres de l relción B Curso de Nivelción 0

34 UNIDAD Nº. D R / A B : R En el ejemplo nterior tenemos: D R, NÚMEROS REALES. Recorrido de l Relción: es el conjunto formdo por ls segunds componentes de los pres de l relción R R / B A : R En el ejemplo nterior tenemos: R R, Representción Gráfic en el sistem de coordends crtesins El sistem de coordends crtesins ortogonles, está formdo por dos ejes que intersecn perpendiculrmente en un punto denomindo origen de coordends. El eje horizontl llmdo eje o eje de ls sciss, en el se representn ls sciss de un punto (primer componente del pr. El eje verticl llmdo eje o eje de ls ordends, en el se representn ls ordends de un punto (segund componente del pr. Ejemplo: Representr los pres ordendos, ;,, En mtemátic, de tods ls relciones inris ls más importntes son quells en ls que cd elemento del dominio le corresponde de lgún modo uno solo un elemento del recorrido, ésts relciones se ls denomin relciones funcionles Actividd Nº9 Definir por etensión, los siguientes conjuntos formdos por: los colores del rco iris. Los meses del ño. c Los números impres comprendidos entre d Los múltiplos de mores que menores que. e Los múltiplos de mores que menores que 8. f / signos del zodico g Los números primos menores de Curso de Nivelción 0

35 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. Actividd Nº0 Definir por comprensión, cd uno de los siguientes conjuntos. A 0,,,,,,,,8,9 B,,,,9 c C zul, rojo, mrillo d D pulgr, indice, mor, nulr, meñique e E MercurioVenus,, Tierr, Mrte, Jupiter, Sturno, Urno, Nepturno Actividd Nº: Ddos los siguientes conjuntos. A,,,,9 B,9 C,,,,9 Decir cules de ls siguientes relciones son verdders o flss por que. B A B C c C A Actividd Nº Indicr Si ls siguientes firmciones son verdders o flss. A B c C B e B B A d B C f B Actividd Nº Colocr V o F.,,,,,8 r o, p, r, s, t c Brsil pises de Afric Curso de Nivelción 0

36 UNIDAD Nº. d Prná rios de Americ NÚMEROS REALES. Ejercion Nº : Cuáles de los siguientes conjuntos son vcíos, unitrios, finitos, infinitos? A meses del ño B vocles de l plrtz c C los numeros pres d D N / 8 e E / es presidentedel océno Atlántico f F N / Actividd Nº.:Ddo B,,, B, B c, B qué firmciones son corrects por qué? Actividd N º. Decir cul es el conjunto complementrio de:,, A con respecto l conjunto de todos los números de un cifr B, u con respecto l conjunto de ls vocles. c C / color primrio Actividd N º. Ddos los conjuntos. con respecto l conjunto de los colores del rco iris. A,,,8 B,,,, C,,9 Hllr: AUB AUC c BUC Actividd N º 8 :Ddos los conjuntos. M 0,,,,8 N,,9, P 0,,,,,8 Hllr: M N M P N M N P c M N P d M N e Actividd N º 9 Decir si son verdderos o flsos los resultdos, destcdos en color, de cd un de ls siguientes operciones indicds. Curso de Nivelción 0

37 UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. A C B A BC A B C Actividd N º0 Determinr l intersección de: El conjunto de ls cpitles de todos los píses con el conjunto de ls ciuddes de l Repulic Argentin. Actividd N º En un encuests 0 persons, se otuvo que 8 de ells lee el dirio El Sur, que leen un dirio de El Norte que 9 leen de los tipos. Cuánts persons no leen ningún dirio?, Cuántos leen sólo el dirio El Sur?, Cuántos sólo leen un dirio de El Norte. Represente lo nterior en un digrm de Venn. Actividd Nº Un encuest de 00 lumnos sore idioms etrnjeros, rrojó el siguiente resultdo: pueden leer inglés, 0 pueden leer frncés, pueden leer lemán, 9 pueden leer Inglés Frncés, pueden leer frncés lemán pueden leer los idioms. Cuántos pueden leer solmente inglés?, Cuántos no pueden leer ninguno de los idioms?, Cuántos pueden leer sólo un idiom?. Resolver representndo los conjuntos en un digrm de Venn. Actividd N º Dds ls siguientes relciones inris, indicr dominio recorrido de ls misms: Curso de Nivelción 0

38 UNIDAD Nº. R = M = c P = d S = e Q =,,,,,,, c, c, d,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, / N N NÚMEROS REALES. Actividd N º Con los elementos del conjunto A,,,, escriir los pres de l relción R, /. Actividd Nº : Ddos los conjuntos A,, 8 B =,, ls relciones. R, /, A B R, /, A B R, /, Completr con A B o según correspond:, d, g 8,, e, h 8,, f, i 8,... R... R... R... R... R... R c... R... R... R Curso de Nivelción 0 8

39 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS En el lenguje mtemático es frecuente representr trvés de letrs, números operciones lguns epresiones de l vid cotidin o generlizciones. Dichs epresiones son llmds epresiones lgerics. Ls letrs pueden representr cntiddes conocids constntes o desconocids vriles. Ls constntes se representn con ls primers letrs del lfeto (,, c, d, e, f ls vriles se representn con ls últims letrs del lfeto (s, t, u, v, w,,, z. Entonces ls epresiones lgerics es un cominción de letrs números, ligdos entre si con ls operciones mtemátic (sum, rest, multiplicción división. Ejemplo: Ls epresiones lgerics pueden escriirse en lenguje simólico o lgerico, o en lenguje coloquil. En form simólic signific escriirlo medinte símolos signos. En form coloquil es escriir en form de orción. Ejemplo: Lenguje coloquil. L sum de los cudrdos de dos números Lenguje Simólico: + Actividd Nº Escrin en lenguje lgerico cd uno de los siguientes enuncidos. El dole de un número C El triple de un número A c L mitd de un número P d L curt prte de un número Q e El siguiente de un número entero X f Un número pr g L set prte de un número D ms ls quint prte de un número E h El cudrdo de un número X i El cudrdo del siguiente de un número Y jl diferenci entre un número entero A su consecutivo. k El producto entre un número A B Actividd Nº. Curso de Nivelción 0

40 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Si es l edd de Inés, epres en lenguje lgerico. L edd que tendrá Inés dentro de 0 ños. L edd que tení hce ños. Actividd Nº Une con flech. El cudrdo de l diferenci entre dos números A B. A B El dole del siguiente de un número A..( A c Al cuo de un número A se lo ument en B uniddes.. A d L diferenci entre los cudrdos de dos números A B. A B e L sum entre el dole de A. A f El cuo de l sum entre A B. A B B Actividd Nº Trduce ests epresiones l lenguje coloquil. :. c.. d (. e ( f Actividd Nº Si es l edd ctul de Mri, Pedro tiene ños más que ell, contest ests pregunts utilizndo epresiones lgerics. Cuál será l edd de Mri dentro de 0 ños?... Qué edd tení Mri hce ños?... c Cuándo tendrá Mri el dole de l edd que tiene hor?... d Cuál es l edd ctul de Pedro?... e Cuál será l edd de Pedro dentro de ños?... Curso de Nivelción 0 8

41 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ls epresiones lgerics se pueden clsificr en: Epresiones lgerics enters: no tienen vriles en el denomindor o jo el signo rdicl. Ej: Epresiones lgerics frccionris: cundo tiene vriles en el denomindor. Ej: Epresiones lgerics irrcionles: cundo tiene vriles jo el signo rdicl o como potenci de eponente frccionrio. Ej: Actividd Nº Puedes clsificr ls siguientes epresiones? z Términos Algericos Cd un de ls prtes de un sum lgeric, junto con el signo que l precede, se le llm término lgerico. Ejemplo: Los términos lgericos de l sum lgeric son: ; ; z z Prtes de un Término Algerico Cd término const de dos prtes. Un de ells es el coeficiente l otr contiene ls vriles. El coeficiente es el producto de ls constntes.(son los números que compñn los términos. Un vrile sin coeficiente visile, se entiende que posee coeficiente uno. Ejemplo: El coeficiente del término es El coeficiente del término es Curso de Nivelción 0 9

42 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS El coeficiente del término z es Términos Semejntes Los términos en que intervienen ectmente ls misms vriles elevds ectmente l mism potenci se llmn términos semejntes. Ejemplo: z es semejnte z Ls epresiones lgerics entern se denominn Polinomios (poli: muchos monios: términos. Se clsificn en: Monomios Un epresión lgeric con un solo término es un monomio. Ejemplos: ; 8 z, Grdo del monomio: L sum de los eponentes de l prte literl se llm grdo del monomio. Ejemplos: tiene grdo -8 z tiene grdo 0 tiene grdo POLINOMIOS Un polinomio es un epresión de l form P n n ( n n... 0 n 0 Donde..., 0 n,, son números reles que se llmn coeficientes del polinomio es indetermind. Ls potencis de l indetermind son nturles. Entonces, llmremos polinomios l sum de monomios en los que, ls vriles estén elevds potencis nturles o cero. Ejemplos:, se lo escrie P(, ( vriles:, se lo escrie z P(, ( vriles,, z se lo denot P(,, z z Ejemplos: Un polinomio con ectmente dos términos se lo denomin inomio. P(, ; P( Curso de Nivelción 0

43 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un polinomio con ectmente tres términos es un trinomio. Ejemplos: P ( ; P(,, z, w 8z w Grdo del polinomio: es el mor de los grdos de los monomios que lo formn. Ejemplos: P( tiene grdo cutro. P (, tiene grdo curto P(,, z z tiene grdo Coeficiente principl: El coeficiente que multiplic l vrile de mor eponente en un polinomio. Ejemplo: P( coeficiente principl es Polinomio ordendo: Un polinomio está ordendo si sus términos están ordendos en form creciente o decreciente respecto de los eponentes de ls vriles. Ejemplo: M( Polinomio Completo: Un polinomio está completo si tiene tods ls potencis decrecientes del grdo. Pr completr un polinomio se gregn los términos que fltn con coeficientes cero. Ejemplo: Polinomio completo: P( N( Completo N( 0 0 Actividd Nº Completr los siguientes polinomios en form descendente. R ( T ( c M ( Actividd Nº8 Indique el grdo, nomre, coeficiente principl coeficiente independiente de los siguientes polinomios. Polinomio Grdo nomre Coef. principl Coef. independiente Curso de Nivelción 0

44 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Q ( P ( R ( S ( 9 8 T ( 8 Actividd Nº9 Mrquen con un X el polinomio que cumple con ls siguientes condiciones. Binomio de tercer gdo. c. d. Trinomio de segundo grdo. c. d. Cutrinomio de tercer grdo.. c. Actividd Nº0 Relcionen con un flech cd polinomio con los dtos que le correspondn. - Cutrinomio de quinto grdo coeficiente principl igul 8 8 -Binomio de tercer grdo coeficientes c-binomio de segundo grdo coeficiente principl igul - d-trinomio de segundo grdo coeficiente principl igul e-binomio de curto grdo coeficientes - Curso de Nivelción 0

45 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS f-cutrinomio de quinto grdo coeficiente principl igul OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS Sum Rest Pr sum o restr dos polinomios, se sumn o se restn los coeficientes de términos semejntes. Ejemplo : m 0m 0m m m 8m = m m 8m Ejemplo : Ddos P( ; Q( Su sum es: P( = Q( = 0 P(+Q( = Su rest es: P( = Q( = 0 P(- Q( = Dees tener en cuent que: En cso que, se sumn dos polinomios de distinto grdo, l sum es un polinomio que tiene el grdo del mor grdo de los polinomios sumdos. En cso que, se sumn dos polinomios de igul grdo, l sum es un polinomio que tiene el grdo menor o igul l grdo de los polinomios sumdos. Actividd Nº. Ddos los siguientes polinomios. C ( D 9 ( R( 8 Hcer: 8 Curso de Nivelción 0

46 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Curso de Nivelción 0 ( ( ( R D C ( ( ( R C D c ( ( C R d ( ( ( C D R Actividd Nº. Resolver ls siguientes sums lgerics. ( 8 ( (

47 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicción Pr multiplicr un polinomio por otro, cd término de un polinomio se multiplic por cd término del otro polinomio. Es decir se us l propiedd distriutiv. Ejemplo: ( + = ( ( + ( ( = + 8. ( + ( + c = ( + c + ( + c = + c + + c Actividd Nº. Resolver los siguientes productos..(.( c ( 9.( d (.( e. f (.( División de Polinomios L división de polinomios se reliz de cuerdo con ls regls propieddes de l división de números de vris cifrs, unque en polinomios tenemos vriles cómo se reliz l división de polinomios? Se disponen como en l división de números nturles se ordenn por sus potencis de mor menor. Los términos del cociente se otienen en vrios psos, precidos l división numéric. Pr comprender cómo se hce, vemos el siguiente ejemplo: Divide 8 por ( Escriimos el dividendo el divisor ordendos en potencis decrecientes: Dividendo: 8 divisor: ( Luego oservemos. Fltn lgunos términos en el dividendo? En ese cso, completemos con coeficientes de cero. En nuestro prolem, el dividendo no tiene coeficiente en en, en consecuenci el dividendo nos qued de l siguiente mner: Curso de Nivelción

48 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ahor estmos en condiciones de relizr l división! Dividmos el primer término del dividendo por el primer término del divisor: 8 : = El término del cociente se multiplic por el divisor. El producto se le rest l dividendo (o se le cmi el signo se sum. Con como nuevo dividendo se repiten los psos. Así, se otiene otro término del cociente de menor grdo: : = El proceso continú hst que no se pueden otener más términos del cociente. Resto: Cociente: + + Grdo(resto < Grdo(divisor IMPORTANTE! L división está ien hech si se cumple que: Dividendo = divisor cociente + resto Grdo (resto < Grdo (divisor División Ect de polinomios. Múltiplos divisores L división entre polinomios es ect si el resto es cero. L división ( Se otiene: = : ( ( Curso de Nivelción 0 es ect. es divisile por por son divisores de ( es múltiplo de de

49 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Regl de Ruffini: Cundo el divisor es un polinomio de l form, se puede plicr el método prendido o l regl de Ruffini, que prescinde de ls vriles. por ( Ejemplo: Pr dividir Los psos son los siguientes: En l primer fil del cudro nterior se colocn los coeficientes del polinomio completo ordendo según ls potencis decrecientes de. En l segund fil, l izquierd se escrie, en este cso, En l tercer fil, se j el coeficiente del término de mor grdo: (éste será el coeficiente del º término del cociente. Los otros números de l º º fil se vn oteniendo de l siguiente mner: multiplicmos = que v dejo del coeficiente del º término en l º fil luego se sumn, es decir, ( + =. Así otenemos el º coeficiente del cociente, uicdo en l º fil Actividd Nº. Clculr el cociente determinr el resto en ls siguientes divisiones de polinomios (8 0 ( ( 0 9 ( c 9 d 0 e 0 0 f = Actividd Nº Aplicr l regl de Ruffini en ls siguientes divisiones: Indicr cociente resto. 0 ( ( c ( d ( Curso de Nivelción 0 Coeficientes del cociente Resto

50 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS e 9 0 : Vlor Numérico de un polinomio. El vlor numérico de un polinomio en = es el vlor que se otiene de sustituir l vrile por el número efectur ls operciones indicds. Se otiene un número l que denominremos como P( en Ejemplo: El vlor numérico de 9 El vlor numérico del polinomio en = ( un número rel, es: P(- = ( - ( - + (- -9 P(- = -9 Actividd Nº Ddo L ( Hllr L ( L ( c L ( Cundo el vlor numérico del polinomio en = es cero se dice que es ríz del polinomio o cero del polinomio. Teorem del Resto El resto de dividir un polinomio p ( de grdo mor o igul uno, por otro de l form es el vlor numérico del polinomio p ( pr cmido de signo. Actividd Nº 0 c Potenci de un inomio: Cudrdo del inomio.. Cuo del inomio..... Actividd Nº8 Desrrollr ls potencis de los siguientes inomios. Curso de Nivelción 0

51 UNIDAD Nº ( ( c EXPRESIONES ALGEBRAICAS c d ( : Actividd Nº9 Ddos los polinomios. P ( Q ( R( T ( Hllr:. P( Q( R( (. Q( P( R( c (. P( Q( T( FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Fctorer un polinomio es trnsformrlo en un producto de epresiones lgerics CASOS DE FACTOREO Primer cso: Fctor común Si en todo los términos de un polinomio figur un fctor común (se letr o número, dicho polinomio es igul l producto de ese fctor por el polinomio que result l dividir cd termino por ese fctor. Ejemplo: ٠ c.( c ٠ mn 9m n ( mn m n Actividd Nº0 Scr fctor común en ls epresiones siguientes: 0 c mn mp m q Curso de Nivelción 0 8

52 UNIDAD Nº 0 EXPRESIONES ALGEBRAICAS m m m 8 c c 9 c 8 c z z z Segundo Cso: Fctor por grupo. Si los términos de un polinomio pueden gruprse o dividirse en sugrupo, en el cul en esos sugrupos tienen l mism cntidd de términos demás en esos sugrupos deen tener lgo en común, entonces si qued l mism epresión en cd uno de los sugrupos, entonces se lo puede escriir como producto del fctor común por lo que qued dentro del préntesis. Ejemplo: ٠ n n Puedo hcer sugrupos con Puedo hcer sugrupos con términos cd uno términos cd uno ( n ( n ( ( n n ( ( n ( n ( n( ( (.( n ( n.( Luego n n (.( n Actividd Nº Fctore los siguientes polinomios: m n n cn m cm c m m m m m Curso de Nivelción 0 9

53 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS z z Tercer cso: Trinomio Cudrdo perfecto Se llm trinomio cudrdo perfecto l trinomio tl que dos de sus términos son cudrdos perfectos el otro término es el dole producto de ls ses es esos cudrdos. Ejemplo Ejemplo 0 ( 9 ( 9 0.(.(.(.( Actividd Nº Indic cuáles de los siguientes trinomios son cudrdos perfectos, en tl cso fctorerlos como tles c 9 d 9 e 8 9 f m m 9 g m n mn Curto cso: Cutrinomio cuo perfecto Todo cutrinomio en el cul dos de los términos son cuo perfecto ( (, un tercer término es el triplo del cudrdo de l se del primer cuo por l se del segundo(.., el curto término es el triplo de l pse del primer cuo por el cudrdo de l se del segundo(... Curso de Nivelción 0 0

54 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: 8 ( 8 ( 8 8.(.(.(.(.(.(.(.( Actividd Nº Fctore usndo el curto cso = = 9 c 08 d e 9 Quinto cso: Diferenci de cudrdo. L diferenci de cudrdo es igul l producto de l sum por l diferenci de ls ses de dichos cudrdos. Ejemplo: ( (00 (.( (0.(0 Actividd Nº Fctore ls siguientes diferencis de cudrdos. 9 m n c 9 d m d e 9c z 9 9 f 0,m 0,09 Seto cso: Sum o Diferenci de potenci de igul grdo. Curso de Nivelción 0

55 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS A Sum de potencis de igul grdo con eponente impr L sum de dos potencis de igul grdo, de eponente impr, es igul l producto de l sum de ls ses por el cociente que result de dividir l primer sum por l segund. Ejemplo: ( 8 ( Vo hllr el cociente de ( 8 lo divido por ( 0 0 8, plico Ruffini Cociente Luego: ( 8 ( ( B Sum de potenci de igul grdo con eponente pr L sum de potenci de igul grdo de eponente pr, no es divisile ni por l sum ni por l diferenci de sus ses, dich sum no se puede fctorer Ejemplo: ( No se puede Fctorer C Diferenci de potenci de igul grdo con eponente pr L diferenci de dos potencis de igul grdo, de eponente pr, es igul l producto de l sum o de l diferenci de sus ses por el respectivo cociente que result de l primer diferenci dividid por l sum o diferenci de ls ses. Ejemplo: ( ( Aplico Ruffini pr hllr el cociente entre ( ( Cociente Luego: ( (.( 8 Curso de Nivelción 0

56 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS D Diferenci de potenci de igul grdo con eponente impr L diferenci de potenci de igul grdo con eponente impr, es únicmente divisile por l diferenci de ls ses. Ejemplo: ( 8 (.( Actividd Nº Fctore ls siguientes sums diferencis de potenci de igul grdo. ( ( c ( 8 d ( e (8 Actividd Nº Fctore ls siguientes epresiones, cominndo los distintos csos de fctoreo. 0 Rt: Rt: ( ( c m m n n d Rt: (.(.( m n Rt:.(.(.( Rt:.( z.( e z z SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Pr simplificr un frcción lgeric, se fctoren el numerdor el denomindor se suprimen todos los fctores comunes mos. Ejemplo :Simplificr l siguiente frcción. Se fctoriz el numerdor el denomindor.(.( Curso de Nivelción 0

57 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Luego:.(.( Actividd Nº Simplific ls siguientes epresiones m m c d 9 m m m 8 e f (.( SUMAS Y RESTAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL DENOMINADOR Pr operr con igul denomindor, se reliz lo mismo que con ls operciones con frcciones con igul denomindor, se escrie el mismo denomindor se sum o rest los numerdores. Ejemplo: ( ( m m ( m m Actividd Nº8 Efectú ls siguientes sums rests con igul denomindor c ( 8 8 d e Curso de Nivelción 0

58 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS 0 0 f SUMAS Y RESTAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR Cundo los denomindores son distintos. Ls frcciones se reducen previmente mínimo común denomindor se procede como en el cso nterior. Ejemplo: ( Se fctoriz los denomindores: ( ( ( Común denomindor (.( (.( Luego, se escrie con los denomindores fctorizdos se resuelve igul que ls operciones con frcciones con distintos denomindor. ( (.( (.(.(.(.( (.(.(.(.(.(.( (.(.( ( (.( Actividd Nº9 Resuelve ls siguientes operciones lgerics con distintos denomindores 8 Curso de Nivelción 0

59 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS ( c d MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS El producto de vris epresiones lgerics es otr frcción lgeric, se fctore previmente los numerdores denomindores con el fin de simplificr ls epresiones, l simplificción del producto de frcciones lgerics se reliz igul que l simplificción del producto de frcciones numérics. El cociente entre dos frcciones lgerics es l frccion que result l multiplicr el dividendo por l frcción reciproc del divisor. Se fctore previmente cd epresión pr luego simplificr. L simplificción de cociente de frcciones lgerics se reliz igul que l simplificción de cociente entre frcciones numérics. Ejemplo: m ( m Se fctoriz tods ls epresiones m.( m ( (.( ( (.( m.( m Luego se escrie tods ls epresiones fctor izds. ( m ( ( (.(.( m Luego se simplific ( m ( ( (.(.( m Ejemplo de división: 8 : Se fctoriz tods ls epresiones Curso de Nivelción 0

60 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Curso de Nivelción 0.( 8.( 8.(.( ( Se escrie tods ls epresiones fctorizd, pero l frcción divisor se invierte.( (.(.( : 8 Luego se simplific.( (.(.( Actividd Nº0 Resuelve ls siguientes multiplicciones divisiones lgerics c 9 9 d. 9. e 8 f.. g h Resuelve plicndo operciones cominds...

61 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS DE REPASO UNIDAD II Epresiones Algerics Actividd Nº: Reliz ls siguientes operciones: z z z. z ( 0, +.( 0, + 0, 0, = c m mn n. m n d m n p m n p m n p : m np e ( + + 8:( = Actividd Nº: Clcul el resto de ls siguientes divisiones: (m m + m m + 0:( m = ( 8:( + = Actividd Nº: Resuleve ls siguientes divisiones, cundo se posile plic Ruffini: ( : ( - + = ( - : ( - = c ( - : ( + = d ( w - z : ( w - z = e ( : ( + -= f ( + : ( + = g ( : ( + = h ( : ( - = Curso de Nivelción 0 8

62 UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS Actividd Nº: Responde: El áre de un rectángulo está definid por ( + - l longitud de un ldo del rectángulo es +. Qué epresión lgeric descrie el ncho de éste rectángulo? c Si = cm, Cuáles son el lrgo, el ncho el áre de este rectángulo? Actividd Nº: Fctore ls siguientes sums diferencis de potenci de igul grdo ( ( Actividd Nº: Simplific: Actividd Nº: Resuelve ls siguientes operciones lgerics con distintos denomindores ( 0 Actividd Nº8: Señl l respuest correct: I tiene por resultdo :. (.(9 c.(9 d.(9 II Al grupr l epresión otenemos: (.( c.( d ( III 9 d por resultdo.(.( c d ningun Curso de Nivelción 0 9

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

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