On Air Traffic Flow Management with Rerouting. Part I: Deterministic case

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1 On Air Traic Flow Management with Rerouting. Part I: Deterministic case A. Agustín 1 A. Alonso-Ayuso 2 L.F. Escudero 3 and C. Pizarro 4 1 Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad Rey Juan Carlos Móstoles Madrid Spain 2 Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad Rey Juan Carlos Móstoles Madrid Spain 3 Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad Rey Juan Carlos Móstoles Madrid Spain 4 Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad Rey Juan Carlos Móstoles Madrid Spain corresponding author Abstract. In this paper a deterministic mixed 0-1 model or the air traic low management problem is presented. The model allows or light cancelation and rerouting i necessary. It considers several types o objective unctions to minimize namely the number o lights exceeding a given time delay that can be zero separable and non-separable ground holding and air delay costs penalization o alternative routes to the scheduled one or each light time unit delay cost to arrive to the nodes i.e. air sectors and airports and penalization or advancing arrival to the nodes over the schedule. The arrival and departure capacity at the airports is obviously considered as well as the capacity o the dierent sectors in the airspace being allowed to vary along the time horizon. So the model is aimed to help or better decision-making regarding the ground holding and air delays imposed on lights in an air network on a short term policy or a given time horizon. It is so strong that there is no additional cut appending nor does it require the execution o the branch-and-bound phase to obtain the optimal solution or the problem in many cases o the testbeds with which we have experimented. In the other cases the help o the cut identiying and heuristic schemes o the state-o-the art optimization engine o choice is required in order to obtain the solution o the problem and the branch-and-bound phase is not required either. An extensive computational experience is reported or large-scale instances some o which have been taken rom the literature and some others were coming rom industry. Keywords: air traic low management ground holding and air delays mixed 0-1 optimization model 1. Introduction Air traic in Europe and the USA has undergone a spectacular growth during recent years and a 50% traic increase is expected by 2018 above the traic in 1999 see [? ]. The objective o light delays on the ground is to avoid delays expected in the air by transerring them to the ground. It is not always possible to predict the total delay especially in the case o long-haul lights as changes in conditions en route can occur once the light has begun. That is the reason 1

2 or monitoring the occupation o each airspace at each time period. Furthermore owing to the act that many o the aircrat are used or consecutive lights whatever delay is incurred in a particular light aects all the ollowing lights scheduled or the same aircrat. It is well known that European and US airports are congested. As an example about 30% o the jet-operated light legs o one major US airline were delayed in 2000 and about 3.5% o these light legs were canceled see [? ]. There is extensive literature on the subject. Seminal work is presented in [? ] on light planning to minimize congestion costs. The conceptualization o this irst methodology in airport planning modeling is undamental to the methodologies developed subsequently. The works on Mathematical Optimization published in the open literature on the subject can be classiied according to the ollowing categories: Single Airport Ground Holding Problem SAGHP see [? ] and reerences therein Multiple Airports Ground Holding Problem MAGHP see [? ] and reerences therein Air Traic Flow Management Problem ATFMP and Air Traic Flow Management Rerouting Problem ATFMRP. The last two methodologies attempt to solve real situations that are much more complex than those which can be dealt with using other methodologies. We draw attention to the work presented in [? ] in which a mathematical model is proposed or the study o ATFMP. However the ATFMRP is the most realistic o the methodologies. Within this ield o study a dynamic network low approach that addresses the problem o dynamically rerouting aircrat is presented in [? ]. A two-level hierarchical architecture or air traic management problems to be solved by mathematical models is presented in [? ]. Additionally an ATFMRP or the European environment is proposed in [? ] where critical dierences are emphasized between the European environment and the current systems in USA. Consequently it becomes a more diicult problem since it is more important to consider sector capacities in Europe than the USA. Thereore a deterministic and dynamic model is presented to minimize the cost o ground holding and air delays o the lights. Moreover all these lights are scheduled as the sectors they visit en route by assuming equal speed travel through each sector. Recently a model has been proposed in [? ] that covers all the phases o each light say ground holding and air delay rerouting continued lights etc. Routes are given by the order o cross sectors the travel time units in a sector only being considered as lower bounds and the ormulation is perormed on the nodes only instead o perorming it on the links o the routes. Problems o a size comparable to the entire USA are addressed and the computational time is reported. Additionally a work is proposed in [? ] based on [? ] where airspace volumes are included in place o sectors and a more extensive method or enorcing aircrat connectivity is presented. Unortunately aircrat connectivity adds an additional set o decision variables to the base model. An extensive state-o-the art survey on the subject has been presented in [? ]. The main contributions o our paper consist o presenting a deterministic mixed 0-1 model or air traic low management with rerouting and light continuation and cancelation considering bounds and penalization or the deviations air delay and advance in the current travel time rom that scheduled or the arrival o the lights to the nodes in the sectors. The aircrat speed across the sector is also considered. The dynamic structure o the sectors along the time horizon can easily be included in the model as well. The main reason or the crucial dierence between our approach and existing models in the literature is that our model is designed based on the links o the routes and not solely on the nodes. It results in a more diicult ormulation and implementation but it opens up new possibilities or the object modeling. The proposed 2

3 model is so tight that it does not require the execution o the branch-and-bound phase to obtain the optimal solution or the problem in any o the cases rom the testbeds with which we have experimented. In some cases the help o the cut identiying and heuristic schemes o the stateo-the art optimization engine o choice is required to obtain the solution o the problem. An extensive computational experience is reported or large-scale instances some o which have been taken rom the literature in particular the big instances presented in [? ] and some others coming rom industry. The computing time in a PC is very impressive or the broad set o cases that have been considered. The remainder o the paper is organized as ollows. Section 2 gives a brie description o the ATFMRP and the types o objective unctions to be minimized in our model. Section 3 presents the sets and parameters as well as the variables o the mixed 0-1 model. Section 4 introduces some additional opportunities whose ormulation can be included in the model. Section 5 is devoted to presenting our computational experience with large-scale instances. Finally section 6 concludes and outlines uture work. 2. On ATFMRP description The objective o our Air Traic Flow Management Rerouting Problem ATFMRP consists o developing a mathematical optimization model to allow better decision-making regarding the ground holding and air delays imposed on the lights in an air network on a short term policy or the time horizon say 24 hours. In particular we present a model that considers capacity bounds on departures and arrivals at the airports and bounds the number o lights in the sectors or each time period. These capacities are uncertain parameters mainly due to the variability o the meteorological conditions. In any case we only consider in this paper the deterministic version o the problem reserving the stochastic version or its sequel [? ]. Additionally there are numerous logical constraints on single lights and those that belong to a company as a whole. As known airspace is divided into sectors o light inormation that control the air low and also airport capacity is limited by the size o the runway / landing strips. Mathematically we consider airspace as a network and we divide it into a set o sectors. Each light will pass through several continuous sectors when is en route towards its inal destination. Then the nodes o the network are the airports each one with two independent operations: taking o and landing and the waypoints where each light passes through the sectors. Based on the idea o making the restrictions above milder we consider alternative routes or the lights and so a broader set o easible solutions is provided. We will deine rerouting in the same way as scheduled routes i.e. we deine the link that joins two nodes but when a node has dierent possible links we will orce it to take just one and go on the chosen route penalizing the alternatives. Continued lights are also allowed. Finally an instance can be ineasible when ground holding or air delay time units are over the maximum allowed or the light. Flight cancelation is allowed to ease this restriction by paying a penalization in the objective unction. There are several objectives whose unctions are to be minimized in a weighted composite way namely: 1. Cost o canceled lights. 2. Cost o the use o alternative routes to that scheduled or each light. 3

4 3. Cost o the lights or arriving to the nodes at given time periods. 4. Cost o the deviation o the actual travel time rom that scheduled at each link in the route that the light has ollowed. 5. Cost o the deviation o the actual air trip length rom that scheduled. 6. Total number o lights exceeding the number o delay time units that are allowed as a given maximum without being penalized. 7. Separable and non-separable ground holding and air delay costs. 3. Problem ormulation 3.1. Introduction The airspace can be represented as a directed graph G = NA where N is the set o nodes airports waypoints on the border in-between two air sectors and intermediate waypoints inside the sectors needed to consider en-route decisions and A is the set o arcs interconnecting the nodes. The airspace can also be represented as a collection o subgraphsg = N A wheren is the set o nodes airports and waypoints or light anda is the set o arcs interconnecting the nodes or light. Since we are taking into account rerouting i.e. light could have more than one route rom which to choose we denote the nodes and arcs in the scheduled route as N N anda A respectively. Note that bothn = N anda = A when light has only the scheduled route to ollow. And since we deal with subgraphs we can deine the sets o incidence arcs or a given pair noden light as ollows: In-going incidence set: Γ n = {m/mn A } Out-going incidence set: Γ + n = {m /nm A }. Also since the airspace is divided into sectors we can also deine N j as the set o nodes in sector j or light. Also note that there is always at least one border node in-between two consecutive sectors say j and j. Thereore we deine N j+ N j and Nj N j as the sets o the incoming border nodes to sectorj and the outgoing border nodes rom sectorj or light respectively as ollows: In-coming border node set: N j+ = {m/n N j Γ n / Nj } Out-going border node set: N j = {n/m N j Γ+ n / Nj }. Notice that Γ n / Nj means the set o arcs mn whose ending node is node n Nj and the origin nodes do not belong to the same sectorj i.e. the set o in-going arcs in the sector to whom node n belongs to; in other words n is a border entering node in sector j and mn is an in-coming arc to sector j. Similarly notice also that Γ + n / Nj means the set o arcs nm whose starting node is node n and the ending nodes do not belong to the same sector j 4

5 which it belongs to i.e.n N j i.e. the set o in-going arcs in a dierent sector to which node n belongs; in other words n is a border exit node rom sectorj. As stated above the problem is modeled as a large-scale mixed 0-1 model where the deterministic version is considered in this paper. Thereore the data related to the airport capacity air sector capacity and light plan demand are assumed to be known or the scenario under consideration. The mathematical model o the Air Traic Flow Management Rerouting Problem TFMRP deined above is presented below. It is inspired in the models presented in [? ] and [? ] but there are signiicant dierences. The proposed model has some eatures that can be included in the existing models in the literature e.g. [? ] such as the penalization o the number o lights exceeding the number o delay time units that are allowed as a maximum without being penalized the constraints that ensure that the ground holding delay and air delay or the lights operated by a given airline do not exceed a given maximum light cancelation etc. In any case the model presented in [? ] can handle penalization o the arrival times to dierent sectors. However our approach additionally irst considers upper bounds on the air delay and advance or each link o the routes in each sector. Second it considers the penalization o the positive and negative dierence between the current and the scheduled arrival time to the dierent waypoints through the light routes as well as the penalization o the positive and negative deviation o the total trip length rom that scheduled and the positive and negative deviation o the actual travel time rom that scheduled or each light. Very requently in light planning the structure o the sectors change along the time horizon; this dynamic structure o the sectors can easily be included in our model as well. Given the design o previous works none o these types o eatures can be included in the related models as ar as we know. As we pointed out above the main reason or the crucial dierence is that our ormulation is perormed based on the links o the routes rather than only on the nodes namely airports and sectors. We should point out that the interest in solving the deterministic version o the problem as addressed in this work lies in simulating the behavior o the system or given scenarios on the airport and sector capacities independently as well as simulating the light demand. See the companion paper [? ] or the stochastic version where we treat simultaneously the scenarios represented in an appropriate tree Model deinition and notation Input sets K set o airports by independency K = K d K a where K d is the set o departure airports and K a is the set o arrival airports. Note: An airport usually belongs to both sets. J set o air sectors. F set o lights. T set o time periods. And so T is the last time period. C = { is continued by light } set o continued lights i.e. traic sequencing enroute. N set o nodes that deine all the available routes or light F. Note: N N includes the nodes that deine the scheduled route or light. 5

6 A = { mn mn N } set o arcs that deine all the available routes i.e. traic sequencing or light F. Note: A A includes the arcs that deine the scheduled route or light. N j set o nodes that belongs to sectorj j J. A j set o arcs mn A that belongs to sectorj j J. Calculated sets in preprocessing The preprocessing scheme is very important or any optimization model. Moreover given the high combinatorial character o ATFMRP here it has considerable importance. In this phase the ollowing sets and parameters are considered see the computation details [? ] in order to ix variables and eliminate redundant constraints without weakening the LP relaxation o the model. T mn set o easible time periods or light to arrive at node n through arc m n such that = max{t t T mn T mn }. T mn the smallest interval containingt mn. T n set o easible time periods or light to arrive at node n through any easible arc such that T n = max{t t T n }. T n n the smallest interval containingt. Input parameters d T scheduled departure time or light F. r T scheduled arrival time to its destination or light when it ollows its scheduled route F. k d departure airport or light F. qk node rom the boundary o airport k or the departure o any light k K d. k a arrival airport or light F. pk node rom the boundary o airport k or the arrival o any light k K a. l mn : mn A scheduled travel time i.e. number o time periods or light to arrive at nodenthrough linkmn in the air sector Fmn A. Note 1: l k d qk d = 0 and l pk a k a = 0 Note 2: r = d + l mn. mn A l mn and l mn minimum and maximum travel time i.e. number o time periods that is allowed or light to arrive at node n through link mn in the air space respectively F mn A. Note that l mn l mn l mn but also l k d qk d = l k d qk d = l k d qk d = 0 and l pk a k a = l pk a ka = l pk a ka = 0. 6

7 G maximum ground holding time units delay or light F. A maximum air time units delay or light F. Notice that the maximum time allowed or light to be in the air has the expressionr d +A. M maximum allowed number o time units delay due to ground holding and air delays and the use o alternative routes or light to arrive to its destination without being penalized F. It can be zero. s turnaround time o the aircrat ater light F. Dk t departure capacity o airport k at time period t k Kt T or the given scenario. Rk t arrival capacity o airport k at time period t k Kt T or the given scenario. S t j capacity o sectorj at time period t j Jt T or the given scenario. c c cancelation cost o light F. c mn cost due to using arc mn in a route o light Fmn A. Note: c mn = 0 or the scheduled routemn A. c n t cost o light to arrive to nodenat time periodt Fn N \{k d}t T n. Note: It is zero i the arrival is on schedule. Additionally it can accommodate the objective unction coeicients rom [? ] sincec ka t can denote the delay cost o light or the total numbert r o time units ground holding air rerouting delay. A scheme is proposed in that paper or obtaining this cost such that it is t r 1+ǫ 2 where ǫ 2 > 0 is a given parameter being c ka t = 0 or t r. Additionally c kd t can denote the reduction cost o ground holding delay o light or the numbert d o time units delay. A scheme is also proposed or obtaining this reduction cost such that it ist d 1+ǫ 2 t d 1+ǫ 1 where 0 < ǫ 1 < ǫ2 is a given parameter being c kd t = 0 or t d. Notice that by combining both costs it results the cost o the total time units delay minus the ground holding reduction cost. In this way both costs are not accounted or separately as occurs in alternative schemes. See below the objective unction o7. c n andc n+ time unit cost due to the use o any arc romnless time periods and more time periods than its scheduled travel timel nm respectively Fn N \{k d pka ka }. c a andc a+ time unit cost o light in case it is in the air less and more time periods than the scheduled time respectively F. Let us consider the example shown in Figure 1 where a graph G is represented. Thereore the example includes dierent types o nodes: airports A B C light waypoints in-between two sectors a b c d e i.e. limited airspaces IIIIIIIV waypoints inside a sector as x and y and waypoints within the boundary o the respective airports qa qb pb pc. So graphg is deined as ollows: N = { AqABqBpBCpCabcdexy } 7

8 I II A qa III e a c pb x B qb d y b pc C IV Figure 1: Illustrative example with three airports and our limit airspaces A ={ AqA qaa qae BqB qby pbb pcc ax ac bpc cd db epb pc xb y }. 4. Dynamic network low model El problema se puede modelas como un problema de lujo dinámico en una red. Para ello para cada vuelo F podemos deinir un grao multiperiodog = N A de la siguiente orma: N = Nt t dondent = {n n N t T n } Es decir cada nodo del conjunto N se replica tantas veces como periodos tenga el conjunto T n Ėntre cada par de nodos m N t y n N t habrá un arco si y sólo si: mn N y t T mn. Adicionalmente para el aeropuerto de salida del vuelo k d hay un nodo por cada t {d...d +G } y para cada uno de estos nodos se deinen dos arcos: uno que une este nodo con el nodok d asociado al periodo siguiente y otro con el nodoqkd asociado al mismo periodo de tiempo. Adicionalmente se añade un nodo icticio inal un arco para cada cada nodo asociado a k a que le une con este nodo icticio. Por último la cancelación de un vuelo se representa mediante un arco que une el nodo asociado ak d y el periodod con el nodo iciticio 4.1. Vuelos continuados Si entendemos los vuelos continuados como vuelos realizados con el mismo aeronave se puede extender esta representación para recoger en un mismo graos todos los vuelos asociados al mismo aeronave. Los nodos de este nuevo grao serían todos los nodos NO icticios asociados a los vuelos asignados al avión más el nodo iciticio inal del último vuelo. 8

9 El conjunto de arcos estaría deinido por todos los arcos que unen nodos NO icticios de los vuelos asignados al avión los arcos que llegaban al nodos icticio del último vuelo. Adicionalmente para cada par de vuelos continuados hay un arco que une un nodo asociado al aeropuerto de llegada del primer vuelo con un nodo asociado al aeropuerto de salida del segundo vuelo si es actible que el avión aterrice en el periodo del nodo de llegada y despegue en el periodo del nodo de salida. Por último la cancelación de un vuelo se representa mediante un arco que une el nodo asociado a k d y el periodo d del primer vuelo con el nodo icticio inal. Las cancelaciones también se pueden producir en la mitad de la ruta esto es cuando el avión ya ha realizado alguno de los vuelos. Esta situación se puede representar añadiendo un arco desde el nodo asociado ak d y el periodod de cada vuelo con el nodo icticio inal. Nótese que con esta coniguración es trivial representar los distintos costes del modelo: Retraso en la salida: asignar un coste a los arcos que unen los nodos asociados a k d. Retraso en la llegada: asignar un coste a los arcos que unen los nodospk a yka. El coste del retraso en aire se obtiene restando al coste de llegada el coste de salida. Cancelación: asignar el coste a los arcos que representan la cancelación Adelanto o retraso en un arco: como cada arco del nuevo grao está asociado a una duración concreta es inmediato asignar este coste de orma exacta. Coste de llegada a cada nodo de la ruta: igual que en el modelo original cada arco está asociado a un instante de llegada. Uso de un arco: asignar ese coste a cada arco replicado. La ormulación matemática incluiría una variable para cada arco el nuevo grao: 1 si el arco se usa y 0 en caso contrario. Las restricciones incluirían las de capacidad el mismo estilo que las del modelo original y las de estructura. En este caso las de estructura corresponden con las restricciones de conservación del lujo y por tanto estas restricciones deinen una matriz totalmente unimodular en la que todos los vértices tienen coordenadas enteras y por tanto son acetas. Si se pone límite al retraso en aire además variables anteriores hay que añadir dos variables más por vuelo que recogen el retraso o adelanto en aire y una restricción adicional que limite el tiempo en aire la suma de todas las variables multiplicadas por un coeiciente igual la tiempo de vuelo asociado a cada variable menor o igual que el tiempo máximo en tierra. Por último es importante reseñar que a partir de una solución actible para la relajación lineal de este problema es trivial construir una solución actible para el modelo original y aunque no está demostrado es prácticamente seguro que se puede hacer el camino inverso. Si así uera quedaría demostrado que las restricciones de estructura del modelo original deinen acetas Ejemplo Retomemos en la igura 2 el vuelo 1 de la igura 1 en el que se han añadido los tiempos mínimo propuesto y máximo en recorrer cada arco del vuelo 1. Si el instante de salida es el 9

10 I II A qa III a 111 c x 223 d 122 b 111 pc IV C Figure 2: Illustrative example with three airports and our limit airspaces 1 y el retraso máximo en aire y tierra es de 1 unidad en cada caso los intervalos de tiempo asociados a cada arco son: T AqA ] = {12} T qaa ] = {234} T ax ] = {34567} T ac ] = {345} T xb ] = {4...9} T cd ] = {5...8} T db ] = {6...10} T bpc ] = {5...11} T pcc ] = {5...11} El nuevo grao asociado a este vuelo es se marca en grueso la ruta establecida inicialmente se muestra en la igura Variables Las deiniciones de variables utilizadas en los modelos que comparamos son: BLO Bertsimas Lulli y Odoni: w n t = { 1 si el vueloj llega al nodonen el periodotoantes 0 en otro caso Fn N t T n 10

11 pc11 C11 b10 pc10 C10 b9 pc9 C9 b8 pc8 C8 x7 b7 pc7 C7 x6 b6 pc6 C6 x5 b5 pc5 C5 a4 x4 b4 a3 x3 A2 qa2 a2 d8 A1 qa1 d7 d6 c5 d5 c4 c3 Figure 3: Illustrative example with three airports and our limit airspaces 11

12 AAEP-S Alba Alonso-Ayuso Escudero Pizarro version Step: 1 si el vueloj llega al nodondesde x mn t = el nodomen el periodotoantes Fn N m Γ nt T mn 0 en otro caso AAEP-I Alba Alonso-Ayuso Escudero Pizarro version Impulse: 1 si el vueloj llega al nodo n desde y mn t = el nodomen el periodot Fn N m Γ nt T mn 0 en otro caso NEW: z mnτ t = 1 si el vueloj llega al nodondesde el nodomen el periodotinvirtiendo un tiempoτ 0 en otro caso Fn N m Γ nt T mn τ l mn l mn : t τ T m Si nos ijamos en el nodo b y el periodo de tiempo 6 los arcos que llegan a este nodo o a los nodos asociados a b y los periodos anteriores periodos 4 y 5 la igura 4 muestra con distintos colores las variables asociadas a ese nodo según los cuatro modelos BLO AAEP-S AAP-I y NEW. Vemos que la nueva necesita más variables que no es tan inmediato construir un modelo con variables de salto pero que es inmediato reproducir los tres modelos anteriores a partir de cualquier solución del modelo nuevo por tanto es al menos tan uerte como los anteriores. Creo que sin demostrarlo el camino inverso también es posible sobre todo con las ormulaciones asociadas a arcos no con la BLO peor no he podido mostrarlo. Si lo demostráramos quedaría demostrado que las restricciones edstructurales del modelo anterior son acetas. A partir de este gráico es ácil obtener algunas relaciones entre las variables: BLO como unción de las demás: w n t = w n t = w n t = m Γ n x mn t y mn t m Γ nt T mn :t t m Γ nt T mn :t t τ l mn l mn :t τ T m z mnτ t Como se puede ver las variables BLO se pueden poner como unción del resto lo que a priori permite obtener mejores resultados con el resto de variables ya que cualquier solución actible obtenida con el uso de las otras variables proporciona una solución 12

13 b6 b6 b6 b6 x5 b5 x5 b5 x5 b5 x5 b5 x4 b4 x4 b4 x4 b4 x4 b4 x3 x3 x3 x3 d5 d5 d5 d5 BLO 1 var AAEP-S 2 var AAEP-I 2 var NEW 3 var Figure 4: Illustrative example with three airports and our limit airspaces actible con variables BLO. Sin embargo la relación inversa no es posible obtenerla de orma inmediata ya que las variables BLO pierden inormación sobre la ruta por la que se ha llegado a cada nodo. AAEP-S como unción de las demás: x mn t = x mn t = AAEP-I como unción de las demás: t T mn y mn t = x mn y mn t = :t t y mn t t T mn :t t τ l mn l mn :t τ T m t x mn t 1 τ l mn l mn :t τ T m z mnτ t z mnτ t Las variables AAEP-S y AAEP-I son equivalentes y las ormulaciones basadas en ellas proporcionan el mismo conjunto de soluciones lineales y enteras aunque las variables de impulso proporcionan ventajas computacionales en el Branch and Bound. Es cierto que los primeros modelos que utilizaban las variables de impulso eran más débiles pero esto era debido a la ecuación utilizada para la representación de las precedencias entre sectores y entre vuelos continuados. Pero actualmente hay modelos totalmente equivalentes que utilizan los dos tipos de variables. Sin embargo no es posible hallar una expresión sencilla de las variables NEW respecto del resto de variables ya que las variables NEW tienen más inormación. 13

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