Teoría de la Comunicación

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1 Teoría de la Comunicación Enero 2009 Realice cada ejercicio en hojas separadas. No se permite uso de teléfono móvil. Escriba su nombre en todas las hojas. Indique claramente el apartado al que está respondiendo. Lee bien todo el enunciado del problema. Tiempo: 2 horas 30 min Problema 1 (25 p.) Sea una señal analógica siempre positiva con un ancho de banda de 4 khz, definida entre [x min,x max ] V, con una función de densidad de probabilidad uniforme y una media de valor 1 V, cumpliéndose que: xmax 2 xmin. Esta señal se muestrea a la frecuencia mínima para que no haya aliasing y posteriormente se desea cuantificar la señal, de forma que el error de cuantificación sea menor o igual que 0.01 V. Para ello se disponen de cuantificadores uniformes de 6, 8 y 10 bits que operan entre [-2,2] V. a) Elegir el cuantificador que con el menor número de bits, que cumpla con los requisitos. b) Calcular la relación (S X /N Q ), siendo S X la potencia total de la señal de entrada y N Q la potencia del ruido de cuantificación. c) Qué tipo de distribución de probabilidad tiene el error de cuantificación? Dibujarla. Problema 2 (25 p.) Un enlace de comunicaciones digitales utiliza las siguientes formas de onda equiprobables: Bit 1 Bit 0 s1 ( t) cos(2 ( fc 0.5 rb ) t) 0 t Tb s2( t) cos(2 ( fc 0.5 rb ) t) 0 t Tb f donde c r b r bps y b Las señales transmitidas se transmiten por un canal que introduce ruido gaussiano blanco con 5 Densidad Espectral de Potencia 4 10 w / Hz. 2 a) Diseñar el receptor óptimo indicando el valor del umbral. b) Calcular la probabilidad de error.

2 Problema 3 (35 p.) El siguiente esquema permite realizar la medida de la potencia de un proceso estacionario. En el esquema, el primer módulo es un dispositivo no lineal con función caracterísica: y 2 f ( x) x. x(t) y(t) z(t) ( ) 2 E{ } En este ejercicio vamos a analizar el funcionamiento de este esquema. Considere el proceso de entrada al sistema x(t) real, estacionario, de media cero y gausiano, con varianza 2. a) Calcule la media del proceso de salida y(t) del dispositivo cuadrático. b) Calcule la función de autocorrelación del proceso y(t) en función de R x ( ) (función de autocorrelación del proceso x(t)). Utilice para ello el hecho de que siendo X i, X j, X k y X l variables aleatorias gaussianas de media cero, se cumple que: E X X X X C C C C C C i j k l ij kl jk il ik jl En donde los C ij son las covarianzas cruzadas de las variables X i y X j. c) Calcule la DEP de y(t), G y (f), en función de G x (f). d) Calcule la autocovarianza C y ( ) del proceso y(t). e) Calcule la varianza del proceso y(t). Suponga que para la implementación del segundo módulo se utiliza un filtro con respuesta al impulso h T (t). Vamos a llamar a la salida que obtenemos de este filtro z T (t). Una condición necesaria para que este filtro realice la función deseada (es decir para que z T (t) se aproxime a z(t)) es que E{ z T ( t)} E{ y( t)}. f) Cuánto debe valer H T (0) para que se cumpla dicha condición? g) Escriba la expresión de la potencia de z T (t) en función de G x (f) y de H T (f). h) Escriba la expresión de la varianza de z T (t) en función de G x (f) y de H T (f). Considere ahora que el filtro h T (t) es un promediador temporal: 1 zt ( t) T t t T y( ) d i) Cuál es la respuesta al impulso h T (t)? Cumple la condición calculada en el apartado f)? j) Si el proceso x(t) es estacionario y ergódico, al crecer T, y para que z ( ) x 2 T t E ( t) cuánto debe valer la varianza del proceso zt(t)? k) Dibuje H T (f). Estimar el valor de la varianza de z T (t) cuando T es grande (recuerde la condición del apartado f)). Si T, se cumple la condición del apartado anterior? Nota: Si le sirve de ayuda, suponga que el proceso x(t) es un proceso paso bajo limitado en banda a BHz.

3 Problema 4 (15 p.) Ua señal x(t)=cos200 t modula a una portadora de 1kHz y amplitud 1v para formar una señal AM, con índice de modulación m. En esta señal AM se elimina mediante filtrado ideal la banda lateral inferior (manteniendo totalmente la portadora). a) Escriba la expresión de la señal obtenida b) Cuánto vale m si la potencia de la señal resultante es de 0.58w?

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