Suponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco.

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1 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA 6?Cuando una ara de fuego se dispara, los gases que se expanden en el cañón epujan el proyectil hacia afuera, de acuerdo con la tercera ley de Newton, el proyectil ejerce tanta fuerza sobre los gases, coo éstos ejercen sobre aquél. ería correcto decir que el proyectil efectúa trabajo sobre los gases? uponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco. Aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de probleas que heos aprendido, pero se encuentra un obstáculo iportante: después de que el arquero suelta la flecha, la cuerda del arco ejerce una fuerza variable que depende de la posición de la flecha. Por ello, los étodos sencillos que aprendios no bastan para calcular la rapidez. No debe teer; nos falta ucho para acabar con la ecánica, y hay otros étodos para anejar esta clase de probleas. El nuevo étodo que vaos a presentar usa las ideas de trabajo y energía. La iportancia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía: la energía es una cantidad que se puede convertir de una fora a otra, pero no puede crearse ni destruirse. En un otor de autoóvil, la energía quíica alacenada en el cobustible se convierte parcialente en la energía del oviiento del auto, y parcialente en energía térica. En un horno de icroondas, la energía electroagnética obtenida de la copañía de electricidad se convierte en energía térica en el aliento cocido. En éstos y todos los deás procesos, la energía total es la sua de toda la energía presente en diferentes foras no cabia. Todavía no se ha hallado ninguna excepción. Usareos el concepto de energía en el resto del libro para estudiar una aplísia gaa de fenóenos físicos. La energía nos ayudará a entender por qué un abrigo nos antiene calientes, cóo el flash de una cáara produce un destello de luz, y el significado de la faosa ecuación de Einstein E 5 c 2. En este capítulo, no obstante, nos concentrareos en la ecánica. Conocereos una iportante fora de energía, la energía cinética o la energía de oviiento, y su relación con el concepto de trabajo. Tabién considerareos la potencia, que es la rapidez con que se realiza trabajo. En el capítulo 7 apliareos las ideas de trabajo y energía cinética, para coprender ás a fondo los conceptos de energía y conservación de la energía. META DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: Qué significa que una fuerza efectúe trabajo sobre un cuerpo, y cóo calcular la cantidad de trabajo realizada. La definición de energía cinética (energía de oviiento) de un cuerpo, y lo que significa físicaente. Cóo el trabajo total efectuado sobre un cuerpo cabia la energía cinética del cuerpo, y cóo utilizar este principio para resolver probleas de ecánica. Cóo usar la relación entre trabajo total y cabio de energía cinética, cuando las fuerzas no son constantes y el cuerpo sigue una trayectoria curva, o abas situaciones. Cóo resolver probleas que iplican potencia (tasa para efectuar trabajo). 8

2 82 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética 6. Trabajo 6. Estos hobres realizan trabajo confore epujan sobre el vehículo averiado, porque ejercen una fuerza sobre el auto al overlo. 6.2 El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa en la isa dirección que el desplazaiento. i un cuerpo se ueve con un desplazaiento s ientras una fuerza constante F actúa sobre él en la isa dirección... F s... el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo es W 5 Fs. x eguraente usted estará de acuerdo en que cuesta trabajo over un sofá pesado, levantar una pila de libros del piso hasta colocarla en un estante alto, o epujar un autoóvil averiado para retirarlo de la carretera. Todos estos ejeplos concuerdan con el significado cotidiano de trabajo: cualquier actividad que requiere esfuerzo uscular o ental. En física el trabajo tiene una definición ucho ás precisa. Al utilizar esa definición, descubrireos que, en cualquier oviiento, por coplicado que sea, el trabajo total realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual al cabio en su energía cinética: una cantidad relacionada con la rapidez de la partícula. Esta relación se cuple aún cuando dichas fuerzas no sean constantes, que es una situación que puede ser difícil o iposible de anejar con las técnicas que estudiaos en los capítulos 4 y 5. Los conceptos de trabajo y energía cinética nos peritirán resolver probleas de ecánica que no podríaos haber abordado antes. En esta sección aprendereos cóo se define el trabajo y cóo se calcula en diversas situaciones que iplican fuerzas constantes. Aunque ya sabeos cóo resolver probleas donde las fuerzas son constantes, el concepto de trabajo nos resultará útil. Más adelante en este capítulo deducireos la relación entre trabajo y energía cinética, y la aplicareos después en probleas donde las fuerzas no son constantes. Los tres ejeplos de trabajo antes encionados over un sofá, levantar una pila libros y epujar un autoóvil tienen algo en coún. En ellos realizaos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo ientras éste se ueve de un lugar a otro, es decir, sufre un desplazaiento (figura 6.). Efectuaos ás trabajo si la fuerza es ayor (epujaos ás fuerte el auto) o si el desplazaiento es ayor (lo epujaos una ayor distancia). El físico define el trabajo con base en estas observaciones. Considere un cuerpo que sufre un desplazaiento de agnitud s en línea recta. (Por ahora, supondreos que todo cuerpo puede tratarse coo partícula y despreciareos cualquier rotación o cabio en la fora del cuerpo.) Mientras el cuerpo se ueve, una fuerza constante F actúa sobre él en la dirección del desplazaiento s (figura 6.2). Definios el trabajo W realizado por esta fuerza constante en dichas condiciones coo el producto de la agnitud F de la fuerza y la agnitud s del desplazaiento: W 5 Fs (fuerza constante en dirección del desplazaiento rectilíneo) (6.) El trabajo efectuado sobre el cuerpo es ayor si la fuerza F o el desplazaiento s son ayores, lo que coincide con nuestras observaciones anteriores. CUIDADO Trabajo 5 W, peso 5 w No confunda W (trabajo) con w (peso). i bien los síbolos son casi iguales, se trata de cantidades distintas. La unidad de trabajo en el I es el joule (que se abrevia J y se pronuncia yul, nobrada así en honor del físico inglés del siglo XIX Jaes Prescott Joule). Por la ecuación (6.), veos que, en cualquier sistea de unidades, la unidad de trabajo es la unidad de fuerza ultiplicada por la unidad de distancia. En el I la unidad de fuerza es el newton y la unidad de distancia es el etro, así que joule equivale a un newton-etro N # 2 : joule 5 newton 2 etro 2 o bien J 5 N # En el sistea británico, la unidad de fuerza es la libra (Ib), la unidad de distancia es el pie (ft), y la unidad de trabajo es el pie-libra ft # lb 2. Estas conversiones son útiles: J ft # lb ft # lb J Coo ilustración de la ecuación (6.), penseos en una persona que epuja un autoóvil averiado. i lo epuja a lo largo de un desplazaiento s con una fuerza constante F en la dirección del oviiento, la cantidad de trabajo que efectúa sobre el auto está dada por la ecuación (6.): W 5 Fs. in ebargo, y si la persona hubiera epujado con un ángulo f con respecto al desplazaiento del auto (figura 6.3)? Entonces F tiene una coponente Fi 5 F cos f en la dirección del desplazaiento y una coponente F ' 5 F sen f que actúa perpendicular al desplazaiento. (Otras fuerzas deben actuar sobre el autoóvil para que se ueva en la dirección de s no,

3 6. Trabajo El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa con un ángulo relativo al desplazaiento. i el autoóvil se ueve con un desplazaiento s ientras una fuerza constante F actúa sobre él, con un ángulo f con respecto al desplazaiento... F ' no efectúa trabajo sobre el auto. F ' 5 F sen f... el trabajo efectuado por la fuerza sobre el auto es W 5 F i s 5 (F cos f)s 5 Fs cos f. F f F i 5 F cos f ólo F i realiza trabajo sobre el auto. s en la dirección de ; sin ebargo, sólo nos interesa el trabajo realizado por la persona, así que sólo considerareos la fuerza que ésta ejerce.) En este caso, sólo la coponente paralela Fi es eficaz para over el auto, por lo que definios el trabajo coo el producto de esta coponente de fuerza y la agnitud del desplazaiento. Por lo tanto, W 5 Fis 5 F cos f 2 s, o bien, F ONLINE 5. Cálculos de trabajo W 5 Fs cos f (fuerza constante, desplazaiento rectilíneo) (6.2) Estaos suponiendo que F y f son constantes durante el desplazaiento. i f50 y F y s tienen la isa dirección, entonces cos f5 y volveos a la ecuación (6.). La ecuación (6.2) tiene la fora del producto escalar de dos vectores (presentado en la sección.0): A # B 5 AB cos f. Quizá usted desee repasar esa definición. Ello nos perite escribir la ecuación (6.2) de fora ás copacta: W 5 F # s (fuerza constante, desplazaiento rectilíneo) (6.3) CUIDADO El trabajo es un escalar Veaos un punto fundaental: el trabajo es una cantidad escalar, aunque se calcule usando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazaiento). Una fuerza de 5 N al este que actúa sobre un cuerpo que se ueve 6 al este realiza exactaente el iso trabajo, que una fuerza de 5 N al norte que actúa sobre un cuerpo que se ueve 6 al norte. Ejeplo 6. Trabajo efectuado por una fuerza constante a) Esteban ejerce una fuerza constante de agnitud 20 N (aproxiadaente 47 lb) sobre el autoóvil averiado de la figura 6.3, ientras lo epuja una distancia de 8. Adeás, un neuático se desinfló, así que, para lograr que el auto avance al frente, Esteban debe epujarlo con un ángulo de 308 con respecto a la dirección del oviiento. Cuánto trabajo efectúa Esteban? b) Con ánio de ayudar, Esteban epuja un segundo autoóvil averiado con una fuerza constante F 5 60 N 2d^ 2 40 N 2e^. El desplazaiento del autoóvil es s 5 4 2d^ 2e^. Cuánto trabajo efectúa Esteban en este caso? OLUCIÓN IDENTIFICAR: En abos incisos, a) y b), la incógnita es el trabajo W efectuado por Esteban. En abos casos, la fuerza es constante y el desplazaiento es rectilíneo, así que podeos usar la ecuación (6.2) o la ecuación (6.3). PLANTEAR: El ángulo entre F y s se da explícitaente en el inciso a), de anera que podeos aplicar directaente la ecuación (6.2). En el inciso b), no se da el ángulo, así que nos conviene ás calcular el producto escalar de la ecuación (6.3), a partir de las coponentes de F y coo en la ecuación (.2): A # s, B 5 Ax B x A y B y A z B z. EJECUTAR: a) Por la ecuación (6.2), W 5 Fs cos f 5 20 N 28 2 cos J b) Las coponentes de son F x 5 60 N y F y 5240 N, en tanto que las coponentes de s son x 5 4 y y 5. (No hay coponentes z para ningún vector.) Así, utilizando las ecuaciones (.2) y (6.3), F W 5 F # s 5 F x x F y y 5 60 N N J EVALUAR: En cada caso, el trabajo que efectúa Esteban es ayor que 000 J. Nuestros resultados uestran que joule es relativaente poco trabajo. Trabajo: Positivo, negativo o cero En el ejeplo 6., el trabajo efectuado al epujar los autos fue positivo. No obstante, es iportante entender que el trabajo tabién puede ser negativo o cero. Ésta es la diferencia esencial entre la definición de trabajo en física y la definición cotidiana del iso.

4 84 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética 6.4 Una fuerza constante F puede efectuar trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del ángulo entre F y el desplazaiento s. a) b) s F f F ' F f F i 5 F cos f La fuerza tiene una coponente en la dirección del desplazaiento: El trabajo sobre el objeto es positivo. W 5 F i s 5 F cos f2 s c) s F f F F ' F i 5 F cos f f La fuerza tiene una coponente opuesta a la dirección del desplazaiento: El trabajo sobre el objeto es negativo. W 5 F i s 5 F cos f2 s Mateáticaente, W, 0 porque F cos f es negativo para 908, f, s F F f La fuerza es perpendicular a la dirección del desplazaiento: La fuerza no realiza trabajo sobre el objeto. De fora ás general, cuando una fuerza que actúa sobre un objeto tiene una coponente F ' perpendicular al desplazaiento del objeto, dicha coponente no efectúa trabajo sobre el objeto. 6.5 Un halterófilo no realiza trabajo sobre una barra si la antiene estacionaria. F El halterófilo ejerce una fuerza hacia arriba sobre la barra pero coo la barra está estacionaria (su desplazaiento es cero), no realiza trabajo sobre ella. i la fuerza tiene una coponente en la isa dirección que el desplazaiento (f entre 0 y 908), cos f en la ecuación (6.2) es positivo y el trabajo W es positivo (figura 6.4a). i la fuerza tiene una coponente opuesta al desplazaiento (f entre 90 y 808), cos f es negativo y el trabajo es negativo (figura 6.4b). i la fuerza es perpendicular al desplazaiento, f5908 y el trabajo realizado por la fuerza es cero (figura 6.4c). Los casos de trabajo cero y negativo aeritan ayor estudio; veaos algunos ejeplos. Hay uchas situaciones donde actúan fuerzas pero no realizan trabajo. Quizás usted piense que cuesta trabajo sostener una barra de halterofilia inóvil en el aire durante cinco inutos (figura 6.5); pero en realidad no se está realizando trabajo sobre la barra porque no hay desplazaiento. Nos cansaos porque las coponentes de las fibras usculares de los brazos realizan trabajo al contraerse y relajarse continuaente. in ebargo, se trata de trabajo efectuado por una parte del brazo que ejerce fuerza sobre otra, no sobre la barra. (En la sección 6.2 hablareos ás del trabajo realizado por una parte de un cuerpo sobre otra.) Aun si usted caina con velocidad constante por un piso horizontal llevando un libro, no realiza trabajo sobre éste. El libro tiene un desplazaiento, pero la fuerza de soporte (vertical) que usted ejerce sobre el libro no tiene coponente en la dirección (horizontal) del oviiento: f5908 en la ecuación (6.2) y cos f50. i un cuerpo se desliza por una superficie, el trabajo realizado sobre él por la fuerza noral es cero; y cuando una pelota atada a un cordón se pone en oviiento circular unifore, el trabajo realizado sobre ella por la tensión en el cordón es cero. En abos casos, el trabajo es cero porque la fuerza no tiene coponente en la dirección del oviiento. Qué significa realente realizar trabajo negativo? La respuesta está en la tercera ley de Newton del oviiento. Cuando un halterófilo (levantador de pesas) baja una barra coo en la figura 6.6a, sus anos y la barra se ueven juntas con el? iso desplazaiento s. La barra ejerce una fuerza F barra sobre anos sobre sus anos en la isa dirección que el desplazaiento de éstas, así que el trabajo realizado por la barra sobre sus anos es positivo (figura 6.6b). in ebargo, por la tercera ley de Newton, las anos del halterófilo ejerce una fuerza igual y opuesta F anos sobre barra 52F barra sobre anos sobre la barra (figura 6.6c). Esta fuerza, que evita que la barra se estrelle contra el piso, actúa opuesta al desplazaiento de la barra. Por lo tanto, el trabajo realizado por sus anos sobre la barra es negativo. Puesto que las anos del halterófilo y la barra tienen el iso desplazaiento, el trabajo realizado por sus anos sobre la barra es justo el negativo del realizado por la barra sobre sus anos. En general, cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro cuerpo, éste realiza una cantidad igual de trabajo positivo sobre el priero. CUIDADO Tenga presente quién hace el trabajo iepre hablaos de trabajo realizado sobre un cuerpo específico por una fuerza deterinada. Nunca olvide especificar exactaen-

5 6. Trabajo Las anos de este halterófilo efectúan trabajo negativo sobre la barra, ientras que la barra realiza trabajo positivo sobre sus anos. a) Un halterófilo baja una barra al piso. b) La barra efectúa trabajo positivo sobre las anos del halterófilo. c) Las anos del halterófilo realizan trabajo negativo sobre la barra. F anos sobre barra s La fuerza de la barra sobre las anos del halterófilo tiene la isa dirección que el desplazaiento de las anos. F barra sobre anos s La fuerza de las anos del halterófilo sobre la barra es opuesta al desplazaiento de la barra. s te qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. i levantaos un libro, ejerceos una fuerza hacia arriba sobre el libro y el desplazaiento de éste es hacia arriba, así que el trabajo realizado por la fuerza de levantaiento sobre el libro es positivo. En cabio, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo, porque tal fuerza es opuesta al desplazaiento hacia arriba. Trabajo total Cóo calculaos el trabajo cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo? Podeos usar las ecuaciones (6.2) o (6.3) para calcular el trabajo realizado por cada fuerza individual. Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total W tot realizado por todas las fuerzas sobre el cuerpo es la sua algebraica de los trabajos realizados por las fuerzas individuales. Otra fora de calcular W tot es calcular la sua vectorial de las fuerzas (es decir, la fuerza neta) y usarla en vez de F en la ecuación (6.2) o en la (6.3). El siguiente ejeplo ilustra abas técnicas. Ejeplo 6.2 Trabajo realizado por varias fuerzas Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 sobre el suelo horizontal (figura 6.7a). El peso total del trineo y la carga es de 4,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a sobre la horizontal, coo se indica en la figura 6.7b. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al oviiento del trineo. Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actúa sobre el trineo y el trabajo total de todas las fuerzas. 6.7 Cálculo del trabajo realizado sobre un trineo de leña que es arrastrado por un tractor. a) OLUCIÓN IDENTIFICAR: Todas las fuerzas son constantes y el desplazaiento es rectilíneo, de anera que podeos calcular el trabajo epleando los conceptos usados en esta sección. Obtendreos el trabajo total de dos aneras:. suando los trabajos efectuados por cada fuerza sobre el trineo, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta que actúa sobre el trineo. PLANTEAR: Puesto que estaos trabajando con fuerzas, los prieros pasos son dibujar un diagraa de cuerpo libre que uestre todas las fuerzas que actúan sobre el trineo, y elegir un sistea de coordenadas (figura 6.7b). Conoceos el ángulo entre el desplazaiento (en la dirección x) y cada una de las cuatro fuerzas: peso, fuerza noral, fuerza del tractor y fuerza de fricción. Por lo tanto, con la ecuación (6.2) calculaos el trabajo realizado por cada fuerza. Coo vios en el capítulo 5, para obtener la fuerza neta suaos las coponentes de las cuatro fuerzas. La segunda ley de Newton nos dice que, coo el oviiento del trineo es exclusivaente horizontal, la fuerza neta sólo tiene una coponente horizontal. EJECUTAR: El trabajo W w realizado por el peso es cero, porque su dirección es perpendicular al desplazaiento. (copare esto con la figura 6.4c) Lo iso sucede con la fuerza noral, el trabajo W n b) Diagraa de cuerpo libre para el trineo f continúa

6 86 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética realizado por la fuerza noral es cero. Entonces, W w 5 W n 5 0. (Por cierto, la agnitud de la fuerza noral es enor que el peso; véase el ejeplo 5.5 de la sección 5.3, donde el diagraa de cuerpo libre es uy siilar.) Nos queda la fuerza F T ejercida por el tractor y la fuerza de fricción f. Por la ecuación (6.2), el trabajo W T efectuado por el tractor es W T 5 F T s cos f N ,000 N # 5 80 kj La fuerza de fricción f es opuesta al desplazaiento, así que f5808 y cos f52. El trabajo W f realizado por la fuerza de fricción es 5270 kj El trabajo total W tot realizado por todas las fuerzas sobre el trineo es la sua algebraica del trabajo realizado por cada fuerza individual: 5 0 kj W f 5 fs cos N ,000 N # W tot 5 W w W n W T W f kj 270 kj 2 Usando la otra estrategia, priero obteneos la sua vectorial de todas las fuerzas (la fuerza neta) y la usaos para calcular el tra- bajo total. La ejor fora de hacerlo es usando coponentes. De la figura 6.7b, a F x 5 F T cos f 2 f N 2 cos N N a F y 5 F T sen f n 2w N 2 sen 36.9 n 2 4,700 N No necesitaos la segunda ecuación; sabeos que la coponente y de fuerza es perpendicular al desplazaiento, así que no realiza trabajo. Adeás, no hay coponente y de aceleración, así que de cualquier fora gf y debe ser cero. Por lo tanto, el trabajo total es el realizado por la coponente x total: W tot 5 a F 2 # s 5 a F x 2 s N ,000 J 5 0 kj EVALUAR: Obteneos el iso valor de W tot con los dos étodos, coo debería ser. Observe que la fuerza neta en la dirección x no es cero, así que el trineo se está acelerando. En la sección 6.2 volvereos a este ejeplo y vereos cóo usar el concepto de trabajo para explorar el oviiento del trineo. Evalúe su coprensión de la sección 6. Un electrón se ueve en línea recta hacia el este con una rapidez constante de >s. Tiene fuerzas eléctrica, agnética y gravitacional que actúan sobre él. Durante un desplazaiento de etro, el trabajo total efectuado sobre el electrón es i) positivo, ii) negativo, iii) cero, iv) no hay suficiente inforación para decidir. 6.2 Energía cinética y el teorea trabajo-energía El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el desplazaiento de éste (los cabios en su posición), pero tabién está relacionado con los cabios en la rapidez del cuerpo. Para coprobarlo, considere la figura 6.8, que 6.8 La relación entre el trabajo total efectuado sobre un cuerpo y la anera en que cabia la rapidez del cuerpo. a) b) c) Un bloque que se desliza hacia la derecha sobre una superficie sin fricción. v i usted epuja a la derecha sobre el bloque en oviiento, la fuerza neta sobre el bloque es hacia la derecha. v i usted epuja a la izquierda sobre el bloque en oviiento, la fuerza neta sobre el bloque es hacia la izquierda. n v i usted epuja directo hacia abajo sobre el bloque en oviiento, la fuerza neta sobre el bloque es cero. n s n s s F F w w w F El trabajo total efectuado sobre el bloque durante un desplazaiento s es positivo: W tot 0. El bloque auenta de rapidez. El trabajo total efectuado sobre el bloque durante un desplazaiento s es negativo: W tot, 0. El bloque se frena. El trabajo total realizado sobre el bloque durante un desplazaiento s es cero: W tot 5 0. La rapidez del bloque peranece igual.

7 6.2 Energía cinética y el teorea trabajo-energía 87 uestra tres ejeplos de un bloque que se desliza sobre una esa sin fricción. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso w, a fuerza noral n y la fuerza F ejercida por la ano. En la figura 6.8a, la fuerza neta sobre el bloque es en la dirección de su oviiento. Por la segunda ley de Newton, ello significa que el bloque se acelera; la ecuación (6.) nos indica tabién que el trabajo total W tot efectuado sobre el bloque es positivo. El trabajo total es negativo en la figura 6.8b porque la fuerza neta se opone al desplazaiento; aquí el bloque se frena. La fuerza neta es cero en la figura 6.8c, así que la rapidez del bloque no cabia y el trabajo total efectuado sobre él es cero. Podeos concluir que, si una partícula se desplaza, se acelera si W tot. 0, se frena si W tot, 0 y antiene su rapidez si W tot 5 0. Hagaos ás cuantitativas tales observaciones. Considere una partícula con asa que se ueve en el eje x bajo la acción de una fuerza neta constante de agnitud F dirigida hacia el eje x (figura 6.9). La aceleración de la partícula es constante y está dada por la segunda ley de Newton, F 5 a x. uponga que la rapidez cabia de v a v 2 ientras la partícula sufre un desplazaiento s 5 x 2 2 x del punto x al x 2. Usando una ecuación de aceleración constante, ecuación (2.3), y sustituyendo v 0x por v, v x por v 2 y (x 2 x 0 ) por s, teneos 6.9 Una fuerza neta constante F efectúa trabajo sobre un cuerpo en oviiento. Rapidez v Rapidez v 2 Fuerza neta F x x s x 2 v v 2 2a x s a x 5 v v 2s Al ultiplicar esta ecuación por y sustituir a x por la fuerza neta F, obteneos v v F 5 a x 5 2s Fs 5 2 v v 2 y (6.4) El producto Fs es el trabajo efectuado por la fuerza neta F y, por lo tanto, es igual al trabajo total W tot efectuado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Llaaos a la cantidad 2 v2 la energía cinética K de la partícula (definición de energía cinética): K 5 2 v2 (definición de energía cinética) (6.5) Igual que el trabajo, la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar; sólo depende de la asa y la rapidez de la partícula, no de su dirección de oviiento. Un autoóvil (visto coo partícula) tiene la isa energía cinética yendo al norte a 0 /s que yendo al este a 0 /s. La energía cinética nunca puede ser negativa, y es cero sólo si la partícula está en reposo. Ahora podeos interpretar la ecuación (6.4) en térinos de trabajo y energía cinética. El prier térino del iebro derecho de la ecuación (6.4) es K v 2 2, la energía cinética final de la partícula (es decir, después del desplazaiento). El segundo térino es la energía cinética inicial, K 5 2 v 2, y la diferencia entre estos térinos es el cabio de energía cinética. Así, la ecuación (6.4) dice: 6.0 Coparación entre la energía cinética K 5 2 v2 de cuerpos distintos. v La isa asa, la isa rapidez, direcciones de oviiento diferentes: la isa energía cinética. v v 2 v El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cabio de energía cinética de la partícula: El doble de asa, la isa rapidez: el doble de energía cinética. 2v W tot 5 K 2 2 K 5DK (teorea trabajo-energía) (6.6) v Éste es el resultado del teorea trabajo-energía. La isa asa, el doble de rapidez: el cuádruple de energía cinética.

8 88 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética El teorea trabajo-energía concuerda con nuestras observaciones acerca del bloque de la figura 6.8. i W tot es positivo, la energía cinética auenta (la energía cinética final K 2 es ayor que la energía cinética inicial K ) y la partícula tiene ayor rapidez al final del desplazaiento que al principio. i W tot es negativa, la energía cinética disinuye (K 2 es enor que K ) y la rapidez es enor después del desplazaiento. i W tot 5 0, la energía cinética peranece igual (K 5 K 2 ) y la rapidez no cabia. Observe que el teorea trabajo-energía sólo indica cabios en la rapidez, no en la velocidad, pues la energía cinética no depende de la dirección del oviiento. Por la ecuación (6.4) o la (6.6), la energía cinética y el trabajo deben tener las isas unidades. Por lo tanto, el joule es la unidad del I tanto del trabajo coo de la energía cinética (y, coo vereos, de todos los tipos de energía). Para verificarlo, observe que la cantidad K 5 tiene unidades de kg # /s 2 2 o kg # 2 /s 2 ; recordaos que N 5 kg # /s 2 2 v2, así que J 5 N # 5 kg # /s 2 2 # 5 kg # 2 /s 2 En el sistea británico, la unidad de energía cinética y trabajo es ft # lb 5 ft # slug # ft/s 2 5 slug # ft 2 /s 2 Puesto que usaos las leyes de Newton para deducir el teorea trabajo-energía, sólo podeos usarlo en un arco de referencia inercial. Adeás, observe que el teorea es válido en cualquier arco inercial; sin ebargo, los valores de W tot y K 2 2 K podrían diferir de un arco inercial a otro (porque el desplazaiento y la rapidez de un cuerpo pueden ser diferentes en diferentes arcos). Dedujios el teorea trabajo-energía para el caso especial de oviiento rectilíneo con fuerzas constantes, y en los siguientes ejeplos sólo lo aplicareos a ese caso especial. En la siguiente sección vereos que el teorea es válido en general, aun si las fuerzas no son constantes y la trayectoria de la partícula es curva. Estrategia para resolver probleas 6. Trabajo y energía cinética IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: El teorea trabajo-energía es extreadaente útil en situaciones donde se desea relacionar la rapidez v de un cuerpo en un punto de su oviiento, con su rapidez v 2 en otro punto. (El enfoque es enos útil en probleas donde interviene el tiepo, coo deterinar cuánto tarda un cuerpo en ir del punto al punto 2. Ello se debe a que en el teorea trabajo-energía no interviene el tiepo. i es preciso calcular tiepos, suele ser ejor utilizar las relaciones entre tiepo, posición, velocidad y aceleración que describios en los capítulos 2 y 3.) PLANTEAR el problea con los pasos siguientes:. Elija las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagraa de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él. 2. Elija un sistea de coordenadas. (i el oviiento es rectilíneo, lo ás fácil suele ser que las posiciones tanto inicial coo final estén sobre el eje x.) 3. Elabore una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, y decida cuáles son las incógnitas. En algunos casos, la incógnita será la rapidez inicial o final del cuerpo; en otros, será la agnitud de una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o sobre el desplazaiento de éste. EJECUTAR la solución: Calcule el trabajo W efectuado por cada fuerza. i la fuerza es constante y el desplazaiento es en línea recta, se puede usar la ecuación (6.2) o la (6.3). (Más adelante en este capítulo vereos cóo anejar fuerzas variables y trayectorias curvas.) Revise el signo del trabajo; W debe ser positivo si la fuerza tiene una coponente en la dirección del desplazaiento, negativo si la fuerza tiene una coponente opuesta al desplazaiento, y cero si la fuerza y el desplazaiento son perpendiculares. ue los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el trabajo total W tot. A veces es ás fácil obtener priero la sua vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) y luego calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta; este valor tabién es W tot. Escriba expresiones para la energía cinética inicial y final (K y K 2 ). Tenga presente que en la energía cinética interviene la asa, no el peso; si le dan el peso del cuerpo, tendrá que usar la relación w 5 g para calcular la asa. Por últio, use W tot 5 K 2 2 K para despejar la incógnita. Recuerde que el iebro derecho de esta ecuación es la energía cinética final enos la energía cinética inicial, nunca al revés. EVALUAR la respuesta: Copruebe que su respuesta sea lógica físicaente. Recuerde sobre todo que la energía cinética K 5 2 v2 nunca puede ser negativa. i obtiene una K negativa, quizás intercabió las energías inicial y final en W tot 5 K 2 2 K o tuvo un error de signo en uno de los cálculos de trabajo.

9 6.2 Energía cinética y el teorea trabajo-energía 89 Ejeplo 6.3 Uso de trabajo y energía para calcular rapidez Veaos otra vez el trineo de la figura 6.7 y las cifras finales del ejeplo 6.2. uponga que la rapidez inicial v es 2.0 /s. Cuál es la rapidez final del trineo después de avanzar 20? OLUCIÓN IDENTIFICAR: Usareos el teorea trabajo-energía, ecuación (6.6) (W tot 5 K 2 2 K ), pues nos dan la rapidez inicial v /s y nos piden calcular la rapidez final. PLANTEAR: La figura 6. uestra nuestro esquea de la situación. El oviiento es en la dirección x. EJECUTAR: Ya calculaos que trabajo total de todas las fuerzas en el ejeplo 6.2: W tot 5 0 kj. Por lo tanto, la energía cinética del trineo y su carga debe auentar en 0 kj. i quereos escribir expresiones para las energías cinéticas inicial y final, necesitaos la asa del trineo y la carga. Nos dicen que el peso es de 4,700 N, así que la asa es Entonces, la energía cinética inicial K es J La energía cinética final K 2 es 5 w g 5 4,700 N kg /s K 5 2 v kg 22.0 /s kg # 2 /s 2 K v kg 2 v Nuestro esquea para este problea. donde v 2 es la rapidez que nos interesa. La ecuación (6.6) da K 2 5 K W tot J 0,000 J 5 3,000 J Igualaos estas dos expresiones de K 2, sustituios J 5 y despejaos v 2 : EVALUAR: El trabajo total es positivo, de anera que la energía cinética auenta (K 2. K ) y la rapidez auenta (v 2. v ). Este problea tabién puede resolverse sin el teorea trabajo-energía. Podeos obtener la aceleración de gf 5 a y usar después las ecuaciones de oviiento con aceleración constante para obtener v 2. Coo la aceleración es en el eje x, a 5 a x 5 a F x /s 2 Entonces, con la ecuación (2.3), /s 2 v /s v / s 5000 N2 cos N kg kg # 2 /s 2, v v 2 2as /s /s Obtuvios el iso resultado con el enfoque de trabajo-energía; no obstante, ahí evitaos el paso interedio de calcular la aceleración. Vereos varios ejeplos ás en este capítulo y en el siguiente que pueden resolverse sin considerar la energía, aunque son ás fáciles si lo haceos. i un problea puede resolverse con dos étodos distintos, resolverlo con abos (coo hicios aquí) es una buena fora de coprobar los resultados. Trineo Ejeplo 6.4 Fuerzas sobre un artillo En un artinete, un artillo de acero con asa de 200 kg se levanta 3.00 sobre el tope de una viga en fora de I vertical, que se está clavando en el suelo (figura 6.2a). El artillo se suelta, etiendo la viga-i otros 7.4 c en el suelo. Los rieles verticales que guían el artillo ejercen una fuerza de fricción constante de 60 N sobre éste. Use el teorea trabajo-energía para deterinar a) la rapidez del artillo justo antes de golpear la viga-i y b) la fuerza edia que el artillo ejerce sobre la viga-i. Ignore los efectos del aire. OLUCIÓN IDENTIFICAR: Usareos el teorea trabajo-energía para relacionar la rapidez del artillo en distintos lugares con las fuerzas que actúan sobre él. Aquí nos interesan tres posiciones: el punto, donde el artillo parte del reposo; el punto 2, donde hace contacto priero con la viga-i; y el punto 3, donde el artillo se detiene (véase la figura 6.2a). Las dos incógnitas son la rapidez del artillo en el punto 2 y la fuerza que el artillo ejerce entre los puntos 2 y 3. Entonces, aplicareos el teorea trabajo-energía dos veces: una al oviiento del punto al 2, y otra al oviiento de 2 a 3. PLANTEAR: La figura 6.2b uestra las fuerzas verticales que actúan sobre el artillo en caída del punto al punto 2. (Podeos ignorar cualesquiera fuerzas horizontales que pudieran estar presentes, pues no efectúan trabajo cuando el artillo se desplaza verticalente.) En esta parte del oviiento, la incógnita es la rapidez del artillo v 2. La figura 6. 2c uestra las fuerzas verticales que actúan sobre el artillo durante el oviiento del punto 2 al punto 3. Adeás de las fuerzas ostradas en la figura 6.2b, la viga-i ejerce una fuerza noral hacia arriba de agnitud n sobre el artillo. En realidad, esta fuerza varía confore el artillo se va deteniendo; pero por sencillez continúa

10 90 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética considerareos n constante. Así n representa el valor edio de esta fuerza hacia arriba durante el oviiento. La incógnita en esta parte del oviiento es la fuerza que el artillo ejerce sobre la viga-i; es la fuerza de reacción a la fuerza noral ejercida por la viga-i, así que por la tercera ley de Newton su agnitud tabién es n. EJECUTAR: a) Del punto al punto 2, las fuerzas verticales son el peso hacia abajo w 5 g 5 (200 kg) (9.8 /s 2 ) N hacia abajo, y la fuerza de fricción f 5 60 N hacia arriba. La fuerza neta es entonces w 2 f N. El desplazaiento del artillo del punto al punto 2 es de s l hacia abajo. El trabajo total sobre el artillo al bajar del punto al 2 es, entonces, W tot 5 w 2 f 2 s N J En el punto, el artillo está en reposo, así que su energía cinética K es cero. De anera que la energía cinética K 2 en el punto 2 es igual al trabajo total realizado sobre el artillo entre los puntos y 2: W tot 5 K 2 2 K 5 K v v 2 5 Å 2W tot J /s Å 200 kg Ésta es la rapidez del artillo en el punto 2, justo antes de golpear la viga-i. b) Mientras el artillo se ueve hacia abajo entre los puntos 2 y 3, la fuerza neta hacia abajo que actúa sobre él es w 2 f 2 n (véase la figura 6.2c). El trabajo total realizado sobre el artillo durante el desplazaiento es W tot 5 w 2 f 2 n 2 s 23 La energía cinética inicial en esta parte del oviiento es K 2 que, del inciso a), es igual a 5700 J. La energía cinética final es K 3 5 0, porque el artillo se detiene. Entonces, por el teorea trabajo-energía, W tot 5 w 2 f 2 n 2 s 23 5 K 3 2 K 2 n 5 w 2 f 2 K 3 2 K 2 s N 2 60 N 2 0 J J ,000 N La fuerza hacia abajo que el artillo ejerce sobre la viga-i tiene esta isa agnitud, 79,000 N (unas 9 toneladas): ás de 40 veces el peso del artillo. EVALUAR: El cabio neto en la energía cinética del artillo del punto al punto 3 es cero; una fuerza neta relativaente pequeña efectúa trabajo positivo durante una distancia grande, y luego una fuerza neta ucho ayor realiza trabajo negativo en una distancia ucho ás corta. Lo iso sucede si usted acelera un autoóvil gradualente y choca contra una pared. La fuerza tan grande necesaria para reducir la energía cinética a cero en una distancia corta es lo que daña el auto (y quizás a usted). 6.2 a) Un artinete clava una viga-i en el suelo. b) Diagraas de cuerpo libre. Las longitudes de los vectores no están a escala. a) b) Diagraa de cuerpo libre del artillo que cae y c) Diagraa de cuerpo libre del artillo al clavar la viga-i y Punto v f 5 60 N x n 3.00 w 5 g Punto c Punto 3 f 5 60 N x w 5 g ignificado de la energía cinética El ejeplo 6.4 ilustra el significado físico de la energía cinética. El artillo se deja caer del reposo y, al golpear la viga-i, su energía cinética es igual al trabajo total realizado hasta ese punto por la fuerza neta. Esto se cuple en general: para acelerar una partícula de asa desde el reposo (cero energía cinética) hasta una rapidez v,

11 6.2 Energía cinética y el teorea trabajo-energía 9 el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cabio de energía cinética desde 0 hasta K 5 2 v2 : W tot 5 K K Así, la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual (figura 6.3). La definición K 5 2 v2, no se eligió al azar: es la única definición que concuerda con esta interpretación de la energía cinética. En la segunda parte del ejeplo 6.4, se usó la energía cinética del artillo para efectuar trabajo sobre la viga-i y clavarla en el suelo. Esto nos brinda otra interpretación: la energía cinética de una partícula es igual al trabajo que puede efectuar una partícula ientras se detiene. Por ello, haceos hacia atrás la ano y el brazo cuando atrapaos una pelota. Al detenerse la pelota, realiza una cantidad de trabajo (fuerza por distancia) sobre la ano igual a la energía cinética inicial de la pelota. Al hacer la ano hacia atrás, auentaos la distancia donde actúa la fuerza y así reducios la fuerza ejercida sobre nuestra ano. 6.3 Cuando un jugador de billar golpea una bola blanca en reposo, la energía cinética de la bola después de ser golpeada es igual al trabajo que el taco efectuó sobre ella. Cuanto ayor sea la fuerza ejercida por el taco y ayor sea la distancia que la bola se ueve ientras está en contacto con el taco, ayor será la energía cinética de la bola. Ejeplo conceptual 6.5 Coparación de energías cinéticas Dos veleros para hielo coo el del ejeplo 5.6 (sección 5.2) copiten en un lago horizontal sin fricción (figura 6.4). Los veleros tienen asas y 2, respectivaente; pero sus velas son idénticas, así que el viento ejerce la isa fuerza constante F sobre cada velero. Los 2 veleros parten del reposo y la eta está a una distancia s. Cuál velero cruza la eta con ayor energía cinética? OLUCIÓN i usaos la definición ateática de energía cinética, K 5 2 v2, [ecuación (6.5)] la respuesta a este problea no es tan evidente. El velero con asa 2 tiene ayor asa, y podríaos suponer que alcanza ayor energía cinética en la línea de eta; no obstante, el velero ás pequeño de asa cruza la eta con ayor rapidez, y podríaos suponer que este velero tiene ayor energía cinética. Cóo decidios? La fora correcta de enfocar el problea es recordar que la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado para acelerarla desde el reposo. Abos veleros recorren la isa distancia s, y sólo la fuerza F en la dirección del oviiento realiza trabajo sobre ellos. Por lo tanto, el trabajo total efectuado entre la salida y la eta es el iso para los dos veleros, W tot 5 Fs. En la eta, cada velero tiene una energía cinética igual al trabajo W tot efectuado sobre él, ya que cada velero partió del reposo. Así, abos veleros tienen la isa energía cinética en la eta! 6.4 Carrera entre veleros en el hielo. F alida F 2 s Meta Quizás el lector piense que se trata de una pregunta capciosa, pero no es así. i usted entiende realente el significado físico de cantidades coo la energía cinética, será capaz de resolver probleas de física con ayor rapidez y coprensión. Observe que no necesitaos encionar el tiepo que cada velero tardó en llegar a la eta. La razón es que el teorea trabajo-energía no hace referencia directa al tiepo, sólo al desplazaiento. De hecho, el velero de asa tarda enos tiepo en llegar a la eta, que el velero ás grande de asa 2, porque aquél tiene ayor aceleración. Trabajo y energía cinética en sisteas copuestos En esta sección nos heos cuidado de aplicar el teorea trabajo-energía sólo a cuerpos que podeos representar coo partículas, esto es, coo asas puntuales en oviiento. En los sisteas coplejos que deben representarse en térinos de uchas partículas con diferentes oviientos, surgen aspectos ás sutiles que no podeos ver con detalle en este capítulo. ólo vereos un ejeplo.

12 92 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética 6.5 Las fuerzas externas que actúan sobre un patinador que se epuja de una pared. El trabajo realizado por estas fuerzas es cero, pero aun así su energía cinética cabia. F r r n r n 2 w r Considere a un niño parado en patines, sin fricción, sobre una superficie horizontal viendo hacia una pared rígida (figura 6.5). Él epuja la pared, poniéndose en oviiento hacia la derecha. obre el niño actúan su peso w, las fuerzas norales n y hacia arriba ejercidas por el suelo sobre sus patines, y la fuerza horizontal F n2 ejercida sobre el niño por la pared. No hay desplazaiento vertical, así que w, n y no efectúan trabajo. F n2 es la fuerza que lo acelera a la derecha, pero el punto donde se aplica (las anos del niño) no se ueve, así que F tapoco efectúa trabajo. De dónde proviene entonces la energía cinética del niño? El asunto es que sipleente no es correcto representar al niño coo una asa puntual. Para que el oviiento se dé coo se describió, diferentes partes del cuerpo deben tener diferentes oviientos; las anos están estacionarias contra la pared y el torso se aleja de ésta. Las diversas partes del cuerpo interactúan y una puede ejercer fuerzas y realizar trabajo sobre otra. Por lo tanto, la energía cinética total de este sistea de partes corporales copuesto puede cabiar, aunque no realicen trabajo las fuerzas aplicadas por cuerpos (coo la pared) externos al sistea. En el capítulo 8 vereos ás a fondo el oviiento de un conjunto de partículas que interactúan. Descubrireos que, al igual que en el niño del ejeplo, la energía cinética total del sistea puede cabiar aun cuando el exterior no realice trabajo sobre alguna parte del sistea. Evalúe su coprensión de la sección 6.2 Clasifique los siguientes cuerpos de acuerdo con su energía cinética, de enor a ayor. i) un cuerpo de 2.0 kg que se ueve a 5.0 >s; ii) Un cuerpo de.0 kg que inicialente estaba en reposo y que luego tiene 30 J de trabajo realizado sobre él; iii) un cuerpo de.0 kg que inicialente estaba oviéndose a 4.0 /s y luego tiene 20 J de trabajo efectuado sobre él; iv) un cuerpo de 2.0 kg que inicialente estaba oviéndose a 0 /s y luego hizo 80 J de trabajo sobre otro cuerpo. 6.6 Cálculo del trabajo efectuado por una fuerza variable F x en la dirección x cuando una partícula se ueve de x a x 2. a) La partícula se ueve de x a x 2 en respuesta a una fuerza cabiante en la dirección x. F x x x 2 b) F x F 2x F x c) Gráfica de fuerza en función de la posición. x x 2 x 2 2 x F x La altura de cada franja representa la fuerza F ex proedio para F dx ese intervalo. F cx F ax F bx F fx x Δx a Δx c Δx e x 2 Δx b Δx d Δx f F 2x x x x 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable Hasta ahora heos considerado sólo trabajo efectuado por fuerzas constantes. Pero, qué sucede cuando estiraos un resorte? Cuanto ás lo estiraos, con ás fuerza debeos tirar, así que la fuerza ejercida no es constante al estirarlo. Tabién analizaos únicaente oviiento rectilíneo. Podeos iaginar uchas situaciones en las que una fuerza que varía en agnitud, dirección o abas cosas actúa sobre un cuerpo que sigue una trayectoria curva. Necesitaos poder calcular el trabajo realizado por la fuerza en estos casos ás generales. Por fortuna, vereos que el teorea trabajo-energía se cuple aun cuando las fuerzas varían y la trayectoria del cuerpo no es recta. Trabajo efectuado por una fuerza variable, oviiento rectilíneo Agregueos sólo una coplicación a la vez. Considereos un oviiento rectilíneo en el eje x con una fuerza cuya coponente xf x varía confore se ueve el cuerpo. (Un ejeplo de la vida cotidiana es conducir un autoóvil en una carretera recta, pero el conductor está acelerando y frenando constanteente.) uponga que una partícula se ueve sobre el eje x de x a x 2 (figura 6.6a). La figura 6.6b es una gráfica de la coponente x de la fuerza en función de la coordenada x de la partícula. Para deterinar el trabajo realizado por esta fuerza, dividios el desplazaiento total en segentos pequeños, Dx a, Dx b, etcétera (figura 6.6c). Aproxiaos el trabajo realizado por la fuerza en el segento Dx a coo la coponente x edia de fuerza F ax en ese segento ultiplicada por el desplazaiento Dx a. Haceos esto para cada segento y después suaos los resultados. El trabajo realizado por la fuerza en el desplazaiento total de x a x 2 es aproxiadaente W 5 F ax Dx a F bx Dx b c

13 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable 93 En el líite donde el núero de segentos se hace uy grande y su anchura uy pequeña, la sua se convierte en la integral de F x de x a x 2 : W 5 3 x 2 x F x dx (coponente x de fuerza variable, desplazaiento rectilíneo) (6.7) Observe que F ax Dx a es el área de la priera franja vertical de la figura 6.6c y que la integral de la ecuación (6.7) representa el área bajo la curva de la figura 6.6b entre x y x 2. En una gráfica de fuerza en función de posición, el trabajo total realizado por la fuerza está representado por el área bajo la curva entre las posiciones inicial y final. Otra interpretación de la ecuación (6.7) es que el trabajo W es igual a la fuerza edia que actúa en todo el desplazaiento, ultiplicada por el desplazaiento. i F x, la coponente x de la fuerza, es constante puede sacarse de la integral de la ecuación (6.7): W 5 3 x 2 x 2 F x dx 5 F x 3 dx 5 F x x 2 2 x 2 x x (fuerza constante) Pero x 2 2 x 5 s, el desplazaiento total de la partícula. Así, en el caso de una fuerza constante F, la ecuación (6.7) indica que W 5 Fs, lo cual coincide con la ecuación (6.). La interpretación del trabajo coo el área bajo la curva de F x en función de x tabién es válida para una fuerza constante; W 5 Fs es el área de un rectángulo de altura F y anchura s (figura 6.7). Apliqueos ahora lo aprendido al resorte estirado. Para antener un resorte estirado una distancia x ás allá de su longitud sin estiraiento, debeos aplicar una fuerza de igual agnitud en cada extreo (figura 6.8). i el alargaiento x no es excesivo, veos que la fuerza aplicada al extreo derecho tiene una coponente x directaente proporcional a x: 6.7 El trabajo realizado por una fuerza constante F en la dirección x confore una partícula se ueve de x a x 2. F O F x El área rectangular bajo la línea representa el trabajo efectuado por la fuerza constante de agnitud F durante el desplazaiento s: W 5 Fs x s 5 x 2 x x 2 x F x 5 kx (fuerza requerida para estirar un resorte) (6.8) donde k es una constante llaada constante de fuerza (o constante de resorte) del resorte. Las unidades de k son fuerza dividida entre distancia, N> en el I y lb>ft en unidades británicas. Un resorte blando de juguete (coo linky ) tiene una constante de fuerza de cerca de N>; para los resortes ucho ás rígidos de la suspensión de un autoóvil, k es del orden de 0 5 N>. La observación de que el alargaiento (no excesivo) es proporcional a la fuerza fue hecha por Robert Hooke en 678 y se conoce coo ley de Hooke; sin ebargo, no debería llaarse ley, pues es una afiración acerca de un dispositivo específico y no una ley fundaental de la naturaleza. Los resortes reales no siepre obedecen la ecuación (6.8) con precisión, aunque se trata de un odelo idealizado útil. Vereos esta ley ás a fondo en el capítulo. Para estirar un resorte, debeos efectuar trabajo. Aplicaos fuerzas iguales y opuestas a los extreos del resorte y las auentaos gradualente. Manteneos fijo el extreo izquierdo, así que la fuerza aplicada en este punto no efectúa trabajo. La fuerza en el extreo óvil sí efectúa trabajo. La figura 6.9 es una gráfica de F x contra x, el alargaiento del resorte. El trabajo realizado por F x cuando el alargaiento va de cero a un valor áxio X es X X W 5 3 F x dx 5 3 kx dx 5 2 kx2 0 Tabién podeos obtener este resultado gráficaente. El área del triángulo sobreado de la figura 6.9, que representa el trabajo total realizado por la fuerza, es igual a la itad del producto de la base y la altura: 0 (6.9) 6.8 La fuerza necesaria para estirar un resorte ideal es proporcional a su alargaiento: F x 5 kx. 2F x x Fx 5 kx 6.9 Cálculo del trabajo efectuado para estirar un resorte una longitud X. El área triangular bajo la línea representa el trabajo realizado sobre el resorte cuando éste se estira de x 5 0 a un valor áxio X: W 5 2 kx 2 F x F x 5 kx kx W 5 2 X 2kX kx2 O X x

14 94 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética 6.20 Cálculo del trabajo efectuado para estirar un resorte desde cierta extensión hasta una extensión ayor. a) Estiraiento de un resorte de un alargaiento x a un alargaiento x 2 Esta ecuación tabién indica que el trabajo es la fuerza edia kx>2 ultiplicada por el desplazaiento total X. Veos que el trabajo total es proporcional al cuadrado del alargaiento final X. Para estirar un resorte ideal 2 c, necesitaos efectuar cuatro veces ás trabajo que para estirarlo c. La ecuación (6.9) supone que el resorte no estaba estirado originalente. i el resorte ya está estirado una distancia x, el trabajo necesario para estirarlo a una distancia ayor x 2 (figura 6.20) es x 5 0 x 5 x x 5 x 2 x x 2 x 2 W 5 3 F x dx 5 3 kx dx 5 x x 2 kx kx 2 (6.0) b) Gráfica de fuerza contra distancia El área trapezoidal bajo la línea representa el trabajo efectuado sobre el resorte para estirarlo de x 5 x a x 5 x 2 : W 5 kx kx F x kx 2 kx x x 5 0 x 5 x x 5 x 2 El lector debería utilizar lo que sabe de geoetría para convencerse de que el área trapezoidal bajo la línea en la figura 6.20b está dada por la expresión de la ecuación (6.0). i el resorte tiene espacios entre las espiras cuando no está estirado, tabién puede copriirse. La ley de Hooke se cuple tabién para la copresión. En este caso, la fuerza y el desplazaiento tienen direcciones opuestas a las de la figura 6.8, así que F x y x en la ecuación (6.8) son abas negativas. Puesto que tanto F x coo x se invierten, de nuevo la fuerza tiene la dirección del desplazaiento y el trabajo realizado por F x otra vez es positivo. El trabajo total sigue siendo el dado por la ecuación (6.9) o por la (6.0), aun si X es negativo o x o x 2, o abos, son negativos. CUIDADO Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorte Observe que el trabajo dado por la ecuación (6.0) es el que usted debe efectuar sobre un resorte para alterar su longitud. Por ejeplo, si estira un resorte que originalente está relajado, x 5 0, x 2. 0 y W. 0. Ello se debe a que la fuerza aplicada por usted a un extreo del resorte tiene la isa dirección que el desplazaiento y a que el trabajo efectuado es positivo. En contraste, el trabajo que el resorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación (6.0). Por lo tanto, cuando estiraos un resorte, éste efectúa trabajo negativo sobre nosotros. Fíjese bien en el signo del trabajo para evitar confusiones ás adelante! Ejeplo 6.6 Trabajo sobre una balanza de resorte Una ujer que pesa 600 N se sube a una báscula que contiene un resorte rígido (figura 6.2). En equilibrio, el resorte se coprie.0 c bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del resorte y el trabajo total efectuado sobre él durante la copresión. OLUCIÓN IDENTIFICAR: En equilibrio, la fuerza hacia arriba ejercida por el resorte equilibra la fuerza hacia abajo del peso de la ujer. Usareos este principio y la ecuación (6.8) para deterinar la constante de fuerza k, 6.2 Copresión de un resorte en una báscula de baño. Por nuestra elección del eje, tanto la coponente de fuerza coo el desplazaiento son negativos. El trabajo realizado sobre el resorte es positivo. x 2.0 c F x, 0 y epleareos la ecuación (6.0) para calcular el trabajo W que la ujer efectúa sobre el resorte para copriirlo. PLANTEAR: Haceos que los valores positivos de x correspondan al alargaiento (hacia arriba en la figura 6.2), de odo que tanto el desplazaiento del resorte (x) coo la coponente x de la fuerza que la ujer ejerce sobre él (F x ) son negativos. EJECUTAR: La parte superior del resorte se desplaza x 52.0 c y la fuerza que la ujer aplica al resorte es F x N. Por la ecuación (6.8), la constante de fuerza es k 5 F x x N N/ Entonces, usando x 5 0 y x en la ecuación (6.0), W 5 2 kx kx N/ J EVALUAR: La fuerza aplicada y el desplazaiento del extreo del resorte tuvieron la isa dirección, así que el trabajo efectuado debe haber sido positivo, tal coo lo calculaos. Nuestra selección arbitraria de la dirección positiva no afecta el valor de W obtenido. (Copruébelo haciendo que la dirección x corresponda a una copresión (hacia abajo). Obtendrá los isos valores de k y W.)

15 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable 95 Teorea trabajo-energía para oviiento rectilíneo, con fuerzas variables En la sección 6.2 dedujios el teorea trabajo-energía, W tot 5 K 2 2 K, para el caso específico de oviiento rectilíneo con fuerza neta constante. Ahora podeos deostrar que dicho teorea se cuple aun si la fuerza varía con la posición. Al igual que en la sección 6.2, considereos una partícula que sufre un desplazaiento x bajo la acción de una fuerza neta F con coponente x, que ahora peritios variar. Coo en la figura 6.6, dividios el desplazaiento total en uchos segentos pequeños Dx. Podeos aplicar el teorea trabajo-energía, ecuación (6.6), a cada segento porque el valor de F x es aproxiadaente constante en cada uno. El cabio de energía cinética en el segento Dx a es igual al trabajo F a Dx a, y así sucesivaente. El cabio total de la energía cinética es la sua de los cabios en los segentos individuales y, por lo tanto, igual al trabajo total efectuado sobre la partícula en todo el desplazaiento. Así, W tot 2DK se cuple para fuerzas variables y tabién para fuerzas constantes. Veaos una deducción alternativa del teorea trabajo-energía para una fuerza que varía con la posición, la cual iplica hacer un cabio de variable usando v x en vez de x en la integral de trabajo. Para ello, recordaos que la aceleración a de una partícula puede expresarse de varias foras. Usando a x 5 dv x >dt, v x 5 dx>dt y la regla de la cadena para derivadas: a x 5 dv x dt 5 dv x dx dx dt 5 v x dv x dx (6.) Con este resultado, la ecuación (6.7) nos dice que el trabajo total efectuado por la fuerza neta F x es (6.2) Ahora, (dv x >dx) dx es el cabio de velocidad dv x durante el desplazaiento dx, así que podeos sustituir dv x por (dv x >dx) dx en la ecuación (6.2). Esto cabia la variable de integración de x a v x, así que cabiaos los líites de x y x 2 a las velocidades correspondientes v y v 2 en esos puntos. Esto nos da W tot 5 3 v 2 v v x dv x La integral de v x dv x es v x 2 >2. ustituyendo los líites, teneos finalente x 2 x 2 dv x W tot 5 3 F x dx 5 3 a x dx 5 3 v x x x x dx dx x 2 W tot 5 2 v v 2 (6.3) Ésta es la ecuación (6.6). Por lo tanto, el teorea trabajo-energía es válido aun sin el supuesto de que la fuerza neta es constante. Ejeplo 6.7 Moviiento con fuerza variable Un deslizador de riel de aire con asa de 0.00 kg se conecta al extreo del riel horizontal con un resorte cuya constante de fuerza es 20.0 N> (figura 6.22a). Inicialente, el resorte no está estirado y el deslizador se ueve con rapidez de.50 >s a la derecha. Calcule la distancia áxia d que el deslizador se ueve a la derecha, a) si el riel está activado, de odo que no hay fricción; y b) si se corta el suinistro de aire al riel, de odo que hay fricción cinética con coeficiente k OLUCIÓN IDENTIFICAR: La fuerza ejercida por el resorte no es constante, así que no podeos usar las fórulas de aceleración constante del capítulo 2 al resolver este problea. En cabio, epleareos el teorea trabajo-energía, en el que interviene la distancia recorrida (nuestra incógnita) a través de la ecuación para el trabajo. PLANTEAR: En las figuras 6.22b y 6.22c, elegios la dirección x a la derecha (la dirección del oviiento del deslizador), con x 5 0 en la posición inicial del deslizador (donde el resorte está relajado) y x 5 d (la incógnita) en la posición donde se detiene el deslizador. En abos casos, el oviiento es exclusivaente horizontal, así que sólo las fuerzas horizontales realizan trabajo. Cabe señalar que la ecuación (6.0) da el trabajo efectuado sobre el resorte al estirarse; no obstante, si quereos usar el teorea trabajo-energía necesitareos el trabajo continúa

16 96 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética 6.22 a) Deslizador sujeto a un riel de aire con un resorte. b) y c) Diagraa de cuerpo libre. a) k v Después, el resorte estirado tira del deslizador hacia la izquierda, así que éste sólo está en reposo oentáneaente. b) i se apaga el aire, debeos incluir el trabajo efectuado por la fuerza de fricción cinética constante. La fuerza noral n es igual en agnitud al peso del deslizador, ya que el riel es horizontal y no hay otras fuerzas verticales. La agnitud de la fuerza de fricción cinética es, entonces, f k 5 k n 5 k g dirigida opuesta al desplazaiento, y el trabajo que efectúa es b) Diagraa de cuerpo libre para el deslizador sin fricción c) Diagraa de cuerpo libre para el deslizador con fricción cinética El trabajo total es la sua de W fric y el trabajo realizado por el resorte, 2 kd 2. Por lo tanto, el teorea trabajo energía indica que 2 W fric 5 f k d cos 80 52f k d 52 k gd 2 k gd 2 2 kd v 2 resorte resorte kg 29.8 /s 2 2 d N / 2 d kg 2.50 /s N/ 2 d N 2 d N # Ésta es una ecuación cuadrática en d. Las soluciones son efectuado por el resorte sobre el deslizador, es decir, el negativo de la ecuación (6.0). EJECUTAR: a) Al overse de x 5 0 a x 2 5 d, el deslizador efectúa sobre el resorte un trabajo dado por la ecuación (6.0): W 5 2 kd2 2 2 k kd2. El resorte efectúa sobre el deslizador un trabajo igual pero negativo: 2 2kd 2. El resorte se estira hasta que el desli- zador se detiene oentáneaente, así que la energía cinética final del deslizador es K u energía cinética inicial es 2 v 2, donde v 5.50 >s es la rapidez inicial del deslizador. Usando el teorea trabajo-energía, teneos 2 2 kd v 2 Despejaos la distancia d que recorre el deslizador: d 5 v Å k kg /s 2 Å 20.0 N/ c d N 2 6 " 0.46 N N/ N # N/ o Usaos d para representar un desplazaiento positivo, así que sólo tiene sentido el valor positivo de d. Así, con fricción, el deslizador se ueve una distancia d c EVALUAR: Con fricción, son enores el desplazaiento del deslizador y el estiraiento del resorte, coo esperábaos. Una vez ás, el deslizador se detiene oentáneaente y de nuevo el resorte tira de él hacia la izquierda; que se ueva o no dependerá de la agnitud de la fuerza de fricción estática. Qué valor debería tener el coeficiente de fricción estática s para evitar que el deslizador regrese a la izquierda? Teorea trabajo-energía para oviientos en una curva Podeos generalizar nuestra definición de trabajo para incluir una fuerza que varía en dirección, no sólo en agnitud, con un desplazaiento curvo. uponga que una partícula se ueve de P a P 2 siguiendo una curva, coo se uestra en la figura 6.23a. Dividios la curva entre esos puntos en uchos desplazaientos vectoriales infinitesiales, siendo d l uno representativo. Cada d l es tangente a la trayectoria en su posición. ea la fuerza en un punto representativo de la trayectoria, y sea f el ángulo entre F F y d l en ese punto. De anera que el eleento pequeño de trabajo dw realizado sobre la partícula durante el desplazaiento d l puede escribirse coo dw 5 F cos f dl 5 Fi dl 5 F # d l

17 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable 97 donde es la coponente de F en la dirección paralela a d Fi 5 F cos f l (figura 6.23b). El trabajo total realizado por F sobre la partícula al overse de P a P 2 es, entonces, 6.23 Una partícula sigue una trayectoria curva de P a P 2 bajo la acción de una fuerza F que varía en agnitud y dirección. W 5 3 P 2 P 2 P 2 F cos f dl 5 3 Fi dl 5 3 F # d l P P P (trabajo en una trayectoria curva) (6.4) Ahora podeos deostrar que el teorea trabajo-energía, ecuación (6.6), cuple aún con fuerzas variables y desplazaiento en una trayectoria curva. La fuerza F es prácticaente constante en cualquier segento infinitesial d l de la trayectoria, así que podeos aplicar el teorea trabajo-energía para oviiento rectilíneo a ese segento. Entonces, el cabio de energía cinética de la partícula en ese segento, K, es igual al trabajo dw 5 Fi dl 5 F # d l realizado sobre la partícula. La sua de estos trabajos infinitesiales de todos los segentos de la trayectoria nos da el trabajo total realizado, ecuación (6.4), que es igual al cabio total de energía cinética en toda la trayectoria. Por lo tanto, W tot 5DK 5 K 2 2 K se cuple en general, sea cual fuere la trayectoria y el carácter de las fuerzas. Esto puede deostrarse con ayor rigor usando pasos coo los de las ecuaciones (6.) a (6.3) (véase el problea de desafío 6.04). Observe que sólo la coponente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, realiza trabajo sobre la partícula, así que sólo dicha coponente puede cabiar la rapidez y la energía cinética de la partícula. La coponente perpendicular a la trayectoria, F ' 5 F sen f, no afecta la rapidez de la partícula; sólo cabia su dirección. La integral de la ecuación (6.4) es una integral de línea. Para evaluar la integral en un problea específico, necesitaos una descripción detallada de la trayectoria y F de cóo varía a lo largo de ésta. Noralente expresaos la integral de línea en térinos de alguna variable escalar, coo en el ejeplo que sigue. Fi, Ejeplo 6.8 Moviiento en una trayectoria curva I En un día de capo failiar, le piden a usted epujar a su odioso prio Morton en un colupio (figura 6.24a). El peso de Morton es w, la longitud de las cadenas es R, y usted lo epuja hasta que las cadenas foran un ángulo u 0 con la vertical. Para ello, usted ejerce una fuerza horizontal variable F que coienza en cero y auenta gradualente apenas lo suficiente para que Morton y el colupio se uevan lentaente y peranezcan casi en equilibrio. Qué trabajo total realizan todas las fuerzas sobre Morton? Qué trabajo realiza la tensión T en las cadenas? Qué trabajo efectúa usted aplicando la fuerza F? (Ignore el peso de las cadenas y el asiento.) OLUCIÓN IDENTIFICAR: El oviiento sigue una curva, así que usareos la ecuación (6.4) para calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta, por la fuerza de tensión y por la fuerza F. PLANTEAR: La figura 6.24b uestra el diagraa de cuerpo libre y el sistea de coordenadas. ustituios las dos tensiones de las cadenas por una sola tensión, T. EJECUTAR: Hay dos foras de obtener el trabajo total efectuado durante el oviiento:. calculando el trabajo efectuado por cada fuerza y suando después las cantidades de esos trabajos, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta. La segunda estrategia es ucho ás fácil. Puesto que en esta situación Morton está siepre en equilibrio, la fuerza neta sobre él es cero, la integral de la fuerza neta de la ecuación (6.4) es cero y el trabajo total realizado sobre él por todas las fuerzas es cero a) Epujando al prio Morton en un colupio. b) Diagraa de cuerpo libre. a) R u F s dl u b) Diagraa de cuerpo libre de Morton (se desprecia el peso de las cadenas y del asiento) sen Tabién es fácil calcular el trabajo efectuado sobre Morton por la tensión de las cadenas, porque esta fuerza es perpendicular a la dirección del oviiento en todos los puntos de la trayectoria. Por lo tanto, en todos los puntos, el ángulo entre la tensión de la cadena y el vector de desplazaiento d l es 908, en tanto que el producto escalar de la ecuación (6.4) es cero. De esta anera, el trabajo realizado por la tensión de la cadena es cero. continúa

18 98 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética Para calcular el trabajo realizado por F, debeos averiguar cóo esta fuerza varía con el ángulo u. La fuerza neta sobre Morton es cero, así que gf x 5 0 y gf y 5 0. De la figura 6.24b obteneos a F x 5 F 2T sen u a F y 5 T cos u 2w Eliinando T de estas dos ecuaciones: F 5 w tan u El punto donde se aplica F describe el arco s, cuya longitud s es igual al radio R de la trayectoria circular ultiplicado por su longitud u (en radianes): s 5 Ru. Por lo tanto, el desplazaiento d l que corresponde al pequeño cabio de ángulo du tiene agnitud dl 5 ds 5 Rdu. El trabajo efectuado por es F W 5 3 F # d l 5 3 F cos u ds Expresando ahora todo en térinos del ángulo u, cuyo valor se increenta de 0 a u 0 : u 0 u 0 W 5 3 w tan u 2 cos u R du 2 5 wr 3 sen u du 0 5 wr 2 cos u 0 2 EVALUAR: i u 0 5 0, no hay desplazaiento; en tal caso, cos u 0 5 y W 5 0, coo esperábaos. i u , entonces, cos u y W 5 wr. Aquí el trabajo que usted realiza es el iso que efectuaría si levantara a Morton verticalente una distancia R con una fuerza igual a su peso w. De hecho, la cantidad R( 2 cos u 0 ) es el auento en su altura sobre el suelo durante el desplazaiento, por lo que, para cualquier valor de u 0, el trabajo efectuado por F es el cabio de altura ultiplicado por el peso. Éste es un ejeplo de un resultado ás general que deostrareos en la sección Ejeplo 6.9 Moviiento en una trayectoria curva II En el ejeplo 6.8, el desplazaiento infinitesial d l (figura 6.24a) Puesto que T # d l 5 0, la integral de esta cantidad es cero y el trabajo tiene agnitud ds, su coponente x es ds cos u y su coponente y efectuado por la tensión de la cadena es cero (tal coo vios en el es ds sen u. Por lo tanto, d l 5 d^ ds cos u e^ ds sen u. Use esta expresión y la ecuación (6.4) para calcular el trabajo efectuado durante el efectuado por la fuerza de gravedad es ejeplo 6.8). Utilizando ds 5 Rdu coo en el ejeplo 6.8, el trabajo oviiento por la tensión de la cadena, por la fuerza de gravedad y por la fuerza F u. 3w # 0 d l 5 3 2w sen u 2 R du 52wR 3 sen u du 0 OLUCIÓN 52wR 2 cos u 0 2 IDENTIFICAR: De nuevo utilizaos la ecuación (6.4), utilizando la ecuación (.2) para obtener el producto escalar en térinos de coponentesra hacia abajo ientras Morton se ueve hacia arriba. Por últio, el El trabajo efectuado por la gravedad es negativo porque la gravedad ti- trabajo efectuado por la fuerza es la integral F # F d l 5 F cos u ds, PLANTEAR: Usaos el iso diagraa de cuerpo libre del ejeplo que calculaos en el ejeplo 6.8; la respuesta es wr 2 cos u (figura 6.24b). EJECUTAR: La figura 6.24b nos indica que podeos escribir las tres fuerzas en térinos de vectores unitarios: T 5 d^ 2T sen u 2 e^t cos u w 5 e^ 2w 2 F 5 d^f Para utilizar la ecuación (6.4), teneos que calcular el producto escalar de cada una de estas fuerzas con d l. Usando la ecuación (.2), T # d l 5 2T sen u 2ds cos u 2 T cos u 2ds sen u w # d l 5 2w 2ds sen u 2 52w sen u ds F # d l 5 F ds cos u 2 5 F cos u ds EVALUAR: Coo coprobación de las respuestas, veos que la sua de las tres cantidades de trabajo es cero. Esto es lo que concluios en el ejeplo 6.8 epleando el teorea trabajo-energía. El étodo de coponentes suele ser la fora ás cóoda de calcular productos escalares. Úselo cuando facilite las cosas! Evalúe su coprensión de la sección 6.3 En el ejeplo 5.2 (sección 5.4), analizaos un péndulo cónico. La rapidez de la lenteja del péndulo peranece constante ientras viaja por el círculo que se uestra en la figura 5.32a. a) En un círculo copleto, cuánto trabajo ejerce la fuerza de tensión F sobre la lenteja? i) una cantidad positiva; ii) una cantidad negativa; iii) cero. b) En un círculo copleto, cuánto trabajo ejerce el peso sobre la lenteja? i) una cantidad positiva; ii) una cantidad negativa; iii) cero.

19 6.4 Potencia Potencia La definición de trabajo no enciona el paso del tiepo. i usted levanta una barra que pesa 00 N a una distancia vertical de.0 con velocidad constante, realiza (00 N) (.0 ) 5 00 J de trabajo, ya sea que tarde segundo, hora o año. No obstante, uchas veces necesitaos saber con qué rapidez se efectúa trabajo. Describios esto en térinos de potencia. En el habla cotidiana, potencia suele eplearse coo sinónio de energía o fuerza. En física usaos una definición ucho ás precisa: potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía, la potencia es una cantidad escalar. i se realiza un trabajo DW en un intervalo Dt, el trabajo edio efectuado por unidad de tiepo o potencia edia P ed se define coo P ed 5 DW Dt (potencia edia) (6.5) La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante. Podeos definir la potencia instantánea P coo el cociente de la ecuación (6.5) cuando Dt se aproxia a cero: DW P 5 lí 5 dw Dt0 Dt dt (potencia instantánea) (6.6) En el I la unidad de potencia es el watt (W), llaada así por el inventor inglés Jaes Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: W 5 J>s (figura 6.25). Tabién son de uso coún el kilowatt ( kw W) y el egawatt ( MW W). En el sistea británico, el trabajo se expresa en pie-libras, y la unidad de potencia es el pie-libra por segundo. Tabién se usa una unidad ayor, el caballo de potencia (hp) (figura 6.26): hp ft # lb/s 5 33,000 ft # lb/in Es decir, un otor de hp que trabaja con carga copleta realiza 33,000 ft # lb de trabajo cada inuto. Un factor de conversión útil es hp W kw El watt es una unidad coún de potencia eléctrica; una bobilla eléctrica de 00 W convierte 00 J de energía eléctrica en luz y calor cada segundo. in ebargo, los watts no son inherenteente eléctricos. Una bobilla podría especificarse en térinos de caballos de potencia; ientras que algunos fabricantes de autoóviles especifican sus otores en térinos de kilowatts. El kilowatt-hora kw # h 2 es la unidad coercial usual de energía eléctrica. Un kilowatt-hora es el trabajo total realizado en hora (3600 s) cuando la potencia es kilowatt (0 3 J>s), así que kw # h J/s s J MJ El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energía, no de potencia. En ecánica, tabién podeos expresar la potencia en térinos de fuerza y velocidad. uponga que una fuerza F actúa sobre un cuerpo que tiene un desplazaiento D s. i es la coponente de F tangente a la trayectoria (paralela a D Fi s), el trabajo realizado por la fuerza es DW 5FiDs, y la potencia edia es 6.25 La isa cantidad de trabajo se efectúa en abas situaciones, pero la potencia (la rapidez a la que se realiza el trabajo) es diferente. t 5 5 s t 5 0 t 5 s t 5 0 Trabajo que efectúa usted sobre la caja para levantarla en 5 s: W 5 00 J u rendiiento de potencia: W t 00 J 5 s P W Trabajo que efectúa usted sobre la isa caja para levantarla a la isa distancia en s: W 5 00 J u rendiiento de potencia: W t 00 J s P W 6.26 El valor del caballo de potencia se dedujo de los experientos de Jaes Watt, quien idió que un caballo podría hacer 33,000 pies-libra de trabajo por inuto, al levantar carbón de una ina abierta. P ed 5 FiDs Dt 5 Fi Ds Dt 5 v Fi ed (6.7) La potencia instantánea P es el líite de esta expresión cuando Dt 0: P 5 Fi v (6.8)

20 200 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética donde v es la agnitud de la velocidad instantánea. Tabién podeos expresar la ecuación (6.8) en térinos del producto escalar: P 5 F # v (rapidez instantánea con que la fuerza sobre una partícula) F realiza trabajo (6.9) Ejeplo 6.0 Fuerza y potencia Cada uno de los dos otores a reacción de un avión Boeing 767 desarrolla un epuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 97,000 N (44,300 lb). Cuando el avión está volando a 250 >s (900 k>h o aproxiadaente 560 i7h), cuántos caballos de potencia desarrolla cada otor? 6.27 a) Avión ipulsado por hélice y b) avión con otor a reacción. a) OLUCIÓN IDENTIFICAR: La incógnita es la potencia instantánea P, que es la rapidez con que el epuje efectúa trabajo. PLANTEAR: Usaos la ecuación (6.8). El epuje tiene la dirección del oviiento, así que Fi es sipleente igual al epuje. EJECUTAR: Con v >s, cada otor desarrolla una potencia: P 5 Fi v N 2250 /s W hp W ,000 hp 746 W EVALUAR: La rapidez de los aviones coerciales odernos depende directaente de la potencia de los otores (figura 6.27). Los otores ás grandes de los aviones de hélice de la década de 950 desarrollaban aproxiadaente 3400 hp ( W) y tenían rapideces áxias del orden de 600 k>h (370 i>h). La potencia de cada otor de un Boeing 767 es casi 20 veces ayor, y perite al avión volar a cerca de 900 k>h (560 i>h) y llevar una carga ucho ás pesada. i los otores están produciendo el epuje áxio ientras el avión está en reposo en tierra, de anera que v 5 0, la potencia desarrollada por los otores es cero. Fuerza y potencia no son lo iso! b) Ejeplo 6. Un potente ascenso Una aratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre ears de Chicago de 443 de altura, el edificio ás alto de Estados Unidos (figura 6.28). Qué potencia edia en watts desarrolla si llega a la azotea en 5.0 inutos? En kilowatts? Y en caballos de potencia? 6.28 Cuánta potencia se necesita para subir corriendo las escaleras de la Torre ears de Chicago en 5 inutos? OLUCIÓN IDENTIFICAR: Tratareos a la corredora coo una partícula de asa. La potencia edia que desarrolla P ed debe ser suficiente para subirla a una rapidez constante contra la gravedad. PLANTEAR: Podeos calcular P ed que desarrolla de dos aneras:. deterinando priero cuánto trabajo debe efectuar y dividiendo luego ese trabajo entre el tiepo transcurrido, coo en la ecuación (6.5); o bien, 2. calculando la fuerza edia hacia arriba que la corredora debe ejercer (en la dirección del ascenso) y ultiplicándola después por su velocidad hacia arriba, coo en la ecuación (6.7). EJECUTAR: Coo en el ejeplo 6.8, para levantar una asa contra la gravedad se requiere una cantidad de trabajo igual al peso g ultiplicado por la altura h que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que la corredora debe efectuar es W 5 gh kg /s J

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