APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS

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1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS 0 Considérs un anqu qu in un volumn inicial V 0 d solución (una mzcla d soluo y solvn). Hay un flujo ano d nrada como d salida y s quir calcular la canidad d soluo () qu hay n l anqu n cualquir insan d impo, n función d la canidad inicial d soluo 0 al impo d iniciar l procso d mzclado. C Concnración d nrada Q razón d nrada V o Volumn Inicial C 0 Concnración inicial 0 Canidad inicial d soluo C () Concnración d salida (varía n función d ) Q razón d salida Supóngas qu la solución qu s inyca al anqu in una concnración d C gramos d soluo por liro, y fluy al mismo con una asa d Q liros por sgundo, n ano qu la susancia connida n l anqu s manin bin mzclada por agiación y fluy hacia fura d s a una asa d Q liros por sgundo. OBSERVACIÓN: Es imporan qu qud claro qu la canidad d soluo n l anqu, una vz iniciado l procso, va a variar n la mdida n qu ranscurr l impo; s dcir, la concnración d sal n l anqu s una función dl impo. Sa () la canidad d soluo n l anqu n un insan d impo. La canidad d soluo qu fluy hacia l anqu duran sgundos s (Q C ) gramos. La canidad d soluo qu fluy hacia fura dl anqu duran l mismo inrvalo d impo, dpnd d la concnración d soluo C () n l anqu al insan.

2 La concnración d soluo n l anqu n cualquir insan d impo, () vin dada por la cuación: C (), dond () s la canidad d soluo n V () cualquir insan d impo y V() dnoa volumn d líquido n l anqu n cualquir insan d impo. Si la asa d nrada d líquido al anqu s igual a la asa d salida d líquido dl anqu (Q Q ) noncs l volumn n cualquir insan d impo s l mismo, s dcir, l volumn s manin consan (V() V 0, con V 0 volumn inicial). Si la asa d nrada d líquido al anqu s mayor a la asa d salida d líquido dl anqu (Q > Q ) noncs l volumn n cualquir insan d impo s mayor qu l volumn inicial V 0 (V() > V 0 ). Si la asa d nrada d líquido al anqu s mnor a la asa d salida d líquido dl anqu (Q < Q ) noncs l volumn n cualquir insan d impo s mnor qu l volumn inicial V 0 (V() < V 0 ). El volumn d líquido n l anqu, n cualquir insan d impo, vin dado por la cuación V() V 0 (Q Q ) Por ora par, la variación d la canidad d soluo n un insan, s igual a la difrncia nr la canidad d líquido qu fluy hacia l anqu (Q C ) y la canidad d líquido qu fluy fura dl anqu (Q C ): ya qu 0, dividindo nr ( gramos qu ingrsan) - (gramos qu saln) (Q C ) - (Q C ) (Q C - Q C ) (Q C - Q C ) calculando l lími d cuando 0 lim (Q C Q C) 0 () Por la dfinición d drivada, lim 0 () Comparando las cuacions () y () dond Q, C y Q son consans Q C - Q C ()

3 Susiuyndo n la cuación () C () () V () V () (Q Q 0 () Q C Q V0 (Q Q) cuación ésa, qu pud scribirs Q () Q C V (Q Q ) 0 ) La cuación difrncial asociada a problmas d mzclas s la cuación difrncial linal Q () Q C V (Q Q ) 0 Al rsolvr sa cuación, suja a la condición (0) 0, s obndrá la ly d variación d la canidad d soluo () n un insan d impo UNIDADES Y NOTACIONES Elmno Noación Unidads Volumn V() l gal pis cm Soluo () gr-kg lb lb gr-kg Timpo min min min min Caudal d Enrada Caudal d Salida Concnración d Enrada Concnración d Salida Q Q l/min gal/min pis /min cm /min C gr/min lb/min lb/min gr/min C () kg/min kg/min

4 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS. Un anqu conin originalmn 00 galons d agua frsca. S vir dnro dl anqu, agua qu conin ½ libra d sal por galón a una vlocidad d gal/min y s prmi qu salga la mzcla con la misma rapidz. Dspués d 0 min s para l procso y s vir agua frsca dnro dl anqu a la vlocidad d gal/min, djando salir la mzcla a la misma vlocidad. Enconrar la canidad d sal n l anqu al final d los 0 min. SOLUCIÓN: El problma db rsolvrs n dos pars. Para l impo 0 0 min la canidad inicial d líquido n l anqu s V 0 00 gal; como lo qu conin l anqu s agua, la concnración inicial s C 0 0 lb/gal. Ya qu, 0 C 0 V 0 0, noncs la canidad inicial d sal n l anqu para l impo 0 0 min s 0 0 lb. Como a los 0 min d iniciado l procso d mzclado s s din, db noncs drminars la concnración d sal n l anqu para 0 min C ½ lb/gal Q gal/min V 0 00 gal C 0 0 lb/gal 0 0 lb La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V0 ( Q Q ) () simplificando dspjando Q gal/min Susiuyndo los daos n la cuación () 00 ( ) () Ya qu la difrncial d la canidad d sal s, susiuyndo dada por la cuación () ()

5 La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s muliplica la cuación () por l facor ingrando () Ambas ingrals son inmdiaas ln C C susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ln C () Para drminar l valor d la consan C d ingración, s uiliza la condición inicial, 0 0 min, 0 0 lb; sos valors s susiuyn n la cuación (), obniéndos C ln. El valor obnido para C s susiuy n la cuación () muliplicando por aplicando propidads d logarimo aplicando muliplicando por dspjando sacando facor común ln ln agrupando los logarimos a un solo lado d la igualdad ln ln ln

6 () () La cuación () rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu, para l inrvalo d impo 0 < < 0 D aquí qu, la canidad d sal n l anqu a los 0 min, s obin susiuyndo 0 min n la cuación () 0 (0) ( - 0,8) 9 Por lo ano, la canidad d sal n l anqu al cabo d 0 min s (0) 9 lb. Juso a los 0 min s para l procso d mzclado. A parir d s momno s cominza un nuvo procso d mzclado, por lo ano, las condicions inicials dl problma cambian. Ahora, s vir al anqu agua frsca, s dcir la concnración dl líquido qu s inyca al anqu s C 0 lb/gal y s inyca a una razón Q gal/min. Como s dja salir a l a misma razón, Q gal/min, l volumn d líquido n l anqu no varía, V 0 00 gal y la canidad d sal qu hay n s momno n l anqu, s la canidad d sal qu s obuvo para l impo 0 min n l primr procso d mzclado; así 0 9 lb. Es nuvo procso s musra n la siguin figura C 0 lb/gal Q gal/min sal s V 0 00 gal C 0 9/00 lb/gal 0 9 lb Q gal/min Susiuyndo los daos n la cuación () 00 ( ) 0 simplificando 0 dspjando, susiuyndo dada por la cuación (7) (7) Ya qu la difrncial d la canidad d (8) La cuación (8) s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls, s muliplica la cuación (8) por l facor

7 ingrando (9) Ambas ingrals son inmdiaas ln l l C C susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación (9) ln l l K (0) Para drminar l valor d la consan K d ingración, s uiliza la condición qu para l impo n qu s inicia l nuvo procso d mzclado 0 min, la canidad d sal n l anqu s 9 lb. Susiuyndo n la cuación (0) rsula K ln 9. Es valor d K, s susiuy n la cuación (0) ln l l ln 9 agrupando los logarimos a un solo lado d la igualdad aplicando propidads d logarimo aplicando dspjando ln l l ln 9 ln 9 9 () 9 () La cuación () rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu una vz riniciado l procso (lugo d habrs dnido a los primros 0 min). Para drminar la canidad d sal n l anqu al final d los 0 min, como ya habían ranscurrido 0 min d la primra par dl procso noncs para complar los 0 minuos, ranscurrn 0 minuos más. Por lo ano, susiuyndo 0 min n la cuación () (0) 9 7,7

8 Por lo ano, la canidad d sal n l anqu al final d los 0 min s d 7,7 lb. Un anqu con capacidad d 0 galons conin inicialmn 00 galons d agua con 00 lb d sal n solución. S inyca al anqu agua qu cuya concnración d sal s d lb/gal, a razón d gal/min. La mzcla dbidamn agiada y homognizada sal dl anqu a razón d gal/min. a) Encunr la canidad d sal y la concnración d sal n l anqu para cualquir impo b) Drmin la concnración d sal n l insan juso n qu la solución alcanza l volumn oal dl anqu SOLUCIÓN: a) El volumn oal dl anqu s V 0 gal; sin mbargo, ans d iniciar l procso d mzclado, l anqu no sá oalmn llno, l volumn inicial d liquido n l anqu s V 0 00 gal y hay disulos 0 00 lb d sal. 7 C lb/gal Q gal/min V 0 gal V 0 00 gal 0 00 lb Q gal/min El líquido qu s inyca al anqu in una concnración C lb/gal, y s inyca a razón d Q gal /min. La mzcla dbidamn agiada y homognizada sal dl anqu a razón d Q gal /min La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V0 ( Q Q ) () Susiuyndo los daos n la cuación () () 00 La cuación () s una cuación difrncial linal, d la forma () F() G(). Para F() rsolvrla db drminars un facor ingran µ() 00 ln 00 µ () ( 00 ) Muliplicando la cuación () por l facor ingran µ () ( 00 ) dspjando ( 00 ) ( 00 ) ( 00 )

9 ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) Ya qu la difrncial d la canidad d sal s, susiuyndo dada por la cuación () ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) muliplicando por ( 00 ) y rordnando los érminos d la cucaión ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) () 8 () Puso qu susiuyndo n la cuación () ingrando [ ] ( 00 ) ( 00 ) d ( 00 ) [ ] d ( 00 ) [( 00 ) ] d ( 00 ) ( 00 ) () Ambas ingrals son inmdiaas d [( 00 ) ] ( 00 ) k 00 ) ( 00 ) k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ( 00 ) ( 00 ) k () Para drminar l valor d la consan d ingración k, s uiliza la condición inicial para l impo 0 min, la canidad d sal n l anqu s 00 lb. Susiuyndo sos valors n la cuación () (00) 00 (00) k dspjando k k (00) 00 (00) (00) (00 00) 00 (00) s valor d k s susiuy n la cuación () ( 00 ) ( ) muliplicando por ( 00 ) (00) 00 () ( 00 ) (7) La cuación (7) rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n función dl impo.

10 9 Para drminar la ly d variación d la concnración d sal n l anqu n cualquir insan, s db rcordar qu la concnración n cualquir insan s obin como l cocin nr la canidad d sal n cualquir insan y l volumn n cualquir insan () C() (8) V() dond V() V 0 ( Q Q ) 00 (9) susiuyndo las cuacions (7) y (9) n la cuación (8) C() ( ) ( 00 ( 00) ) ( 0) ( 00 ) (0) La cuación (0) rprsna la ly d variación d la concnración d sal n l anqu n cualquir insan b) Puso qu la razón d salida Q s infrior a la razón d nrada Q, l volumn d líquido n l anqu va a aumnar Q < Q V o aumna El volumn d líquido n l anqu, n cualquir insan dl procso, s obin por mdio d la cuación V() V 0 (Q Q ) () Así, para drminar l impo qu dmora n alcanzars l volumn oal d líquido n l anqu, s susiuyn los daos n la cuación () 0 00 ( ) dspjando 00 min h s dcir, qu acamn a las horas, s alcanza l volumn oal d líquido n l anqu. Para drminar la canidad d sal y la concnración juso n l insan qu l anqu llga a su volumn máimo, s susiuy n las cuacions (7) y (0) l impo 00 min (qu s cuando alcanza l volumn oal) (00) ( ) 00 C(00) ( ( 0) ( 0) 0 ) ( 0) ,98 Lugo, al cabo d horas la canidad d sal n l anqu s 8 lb y la concnración s 0,98 lb/gal

11 . Un anqu conin l d líquido n l qu s disulvn 0 gr d sal: Una salmura qu conin gr/l s bomba al anqu con una innsidad d l/min, la solución adcuadamn mzclada s bomba hacia fura con una innsidad d 8 l/min. Encunr l númro d gramos d sal y la concnración d sal, qu hay n l anqu n un insan cualquira SOLUCIÓN: El volumn inicial d líquido n l anqu s V 0 l y la canidad inicial d sal n l anqu s 0 0 gr. La salmura qu s bomba al anqu in una concnración C gr/l y s bomba a una razón Q l/min. La solución, dbidamn agiada y homognizada, s ra dl anqu a razón Q 8 l/min 0 C gr/l Q l/min dspjando V 0 l 0 0 gr Q 8 l/min La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q V0 ( Q Q ) Q C () Susiuyndo los daos n la cuación () 8 ( 8 ) 8 simplificando 8 8 () Ya qu la difrncial d la canidad d sal s por la cuación () rordnando la cuación 8, susiuyndo dada 8 ()

12 F() La cuación () s una cuación difrncial linal d la forma F() G(), dond, G() 8. Para rsolvr la cuación () db drminars un facor ingran µ F() F() µ ln ( ) Muliplicando la cuación () por l facor ingran ( ) ( ) 8 ( ) () Puso qu ( susiuyndo n la cuación () ingrando [ ] ) ( ) d ( ) [ ] d ( ) 8 ( ) d [( ) ] 8 ( ) () Ambas ingrals son inmdiaas d [( ) ] ( ) ( ) ( k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ( ) k () ( ) Para drminar l valor d la consan k d ingración s uiliza la condición inicial (0) 0, so s, 0 0 min y 0 0 gr s susiuyn n la cuación () dspjando k k ( 0 ( ) ) ) ( ) 0 ( ) ( ) k k ( 0 - ( ) 0 s valor obnido para k s susiuy n la cuación () ( muliplicando por ( ) k ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) 0 ( 0 - )

13 () ( ) - 0 (7) La cuación (7) rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n cualquir insan. Para drminar la concnración d sal n l anqu n un insan cualquira, s db rcordar qu la concnración C() s l cocin nr la canidad d sal y l volumn d líquido n l anqu, n un insan cualquira, s dcir () C() (8) V() dond V() V 0 ( Q Q ) ( ) (9) susiuyndo las cuacions (7) y (9) n la cuación (8) C() ( ) 0 ( ) C() ( ) ( ) 90 ( ) ( ) 90 (0) La cuación (0) rprsna la ly d variación d la concnración d sal n l anqu n cualquir insan.. Un gran dpósio sá llno d 0 gal d agua pura. Una salmura qu conin lb/gal s bomba al anqu a razón d gl/min. La salmura, adcuadamn mzclada, s bomba hacia fura con la misma rapidz. a) Hall l númro d libras d sal y la concnración d sal n l anqu n un insan cualquira b) Drmin la canidad d sal y la concnración al cabo d hora y mdia d iniciado l procso d mzclado c) Cuáno impo db ranscurrir para qu la canidad d sal n l anqu sa d, lb? SOLUCIÓN: C lb/gal Q gal/min V 0 0 gal 0 0 lb Q gal/min a) El volumn inicial d líquido n l anqu s V 0 0 gal y como lo qu conin s agua pura, la canidad inicial d sal n l anqu s 0 0 gr. La salmura qu s inyca al anqu in una concnración C lb/gal y la razón d nrada s Q gal/min. La mzcla, una vz agiada y homognizada, s ra dl anqu a la misma razón d

14 nrada, so s, Q gal/min. Puso qu, las razons d nrada y salida son iguals, l volumn d líquido n l anqu n cualquir insan prmancrá consan igual al volumn inicial V() V 0 0 gal La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V0 ( Q Q ) () susiuyndo los daos n la cuación () simplificando dspjando 0 ( ) () 00 La difrncial d la canidad d sal n l anqu s, susiuyndo dada por la cuación () 0 00 () La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls basa muliplicar la cuación () por l facor ingrando () 0 00 Ambas ingrals son inmdiaas

15 ln 0 k k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () 00 ln 0 k () 00 Para drminar l valor d la consan k d ingración, s uiliza la condición inicial: para l impo 0 min, la canidad d sal s 0 lb (s agua pura lo qu hay n l anqu); sos valors s susiuyn n la cuación (), obniéndos k 00 ln0. Es valor consguido para k s susiuy n la cuación () 00 ln 0 00 ln0 00 muliplicando por 00 ln 0 ln agrupando los logarimos a un solo lado d la igualdad ln 0 ln aplicando propidads d logarimo 0 00 ln ln aplicando dspjando () () La cuación () rprsna la ly d variación d la canidad d la canidad d sal n l anqu n cualquir insan. Para drminar la concnración d sal n l anqu n un insan cualquira, s db rcordar qu la concnración C() s l cocin nr la canidad d sal y l volumn d líquido n l anqu, n un insan cualquira, s dcir

16 dond C() () V() V() V 0 ( Q Q ) 0 (8) (7) Susiuyndo las cuacions () y (8) n la cuación (7) C() 0 00 (9) La cuación (9) rprsna la ly d variación d la concnración d sal n l anqu n cualquir insan. b) Para drminar la canidad d sal y la concnración ranscurrida hora y mdia, so s 90 min, s susiuy n las cuacions () y (9) 90 min 9 (90) , C(90) 9 0,9 Lugo, a los 90 min d iniciado l procso d mzclado, la canidad d sal n l anqu s d 9, lb y la concnración d sal s d,9 lb/gal c) A fin d sablcr cuano impo db ranscurrir para qu la canidad d sal n l anqu sa, lb, s susiuy, n la cuación (), dspjando 00 aplicando ln dspjando 00 ln 00, 000 7, ,97 00 ln 00 (-0,9999) 00 Por lo ano, para qu la canidad d sal n l anqu sa d, lb dbrán ranscurrir 00 min, so s, h y 0 min.

17 . Efcuar l jrcicio anrior suponindo qu la solución s ra a razón d 0 gal/min Cuáno impo dmorará l anqu n vaciars? SOLUCIÓN: El volumn inicial d líquido n l anqu s V 0 0 gal y como lo qu conin s agua pura, la canidad inicial d sal n l anqu s 0 0 gr. La salmura qu s inyca al anqu in una concnración C lb/gal y la razón d nrada s Q gal/min. La mzcla, una vz agiada y homognizada, s ra dl anqu y la razón d salida s, Q 0 gal/min. Puso qu, la razón d nrada s mnor qu la razón d salida, l volumn d líquido n l anqu va disminuyndo (V() < V 0 ). La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s C lb/gal Q gal/min V 0 0 gal 0 0 lb Q 0 gal/min Q Q C V0 ( Q Q ) () susiuyndo los daos n la cuación () simplificando ( ) 00 dspjando 0 00 () 0 0 La difrncial d la canidad d sal n l anqu s, susiuyndo dada por la cuación () 0 00 rordnando los érminos d la cuación 0 () 00 La cuación () s una cuación difrncial linal d la forma () F() G(), dond F() y G() 0. Para rsolvrla db drminars un facor ingran 00 F() µ

18 7 00 F() µ ln 00 ( 00 ) Muliplicando la cuación () por l facor ingran ( ) 00 ( 00 ) 0 ( 00 ) () Puso qu ( 00 susiuyndo n la cuación () ingrando [ ] ) ( 00 ) d ( 00 ) [ ] d ( 00 ) 0 ( 00 ) d [( 00 ) ] 0 (00 ) () Ambas ingrals son inmdiaas d [( 00 ) ] ( 00 ) (00 ) ( 00 ) k k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ( ) ( 00 ) 00 0 k () Para drminar l valor d la consan k d ingración s uiliza la condición inicial (0) 0, so s, 0 0 min y 0 0 lb s susiuyn n la cuación () rsulando k 0 Es valor obnido para k s susiuy n la cuación () ( ) 00 0 ( 00 ) 0 muliplicando por ( 00 ) () 0 ( 00 ) ( 00 ) (7) 0 La cuación (7) rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n cualquir insan. Ahora db drminars l impo v qu dmora l anqu n vaciars. Si l anqu sá vacío, significa qu no hay líquido n él, por lo ano l volumn s cro, s dcir V( v ) 0

19 Puso qu l volumn d liquido n l anqu n cualquir insan vin dado como V() V 0 ( Q Q ) al valuar n v susiuyndo los daos V( v ) V 0 ( Q Q ) v 0 0 ( 0) v 0 v 8 dspjando v 0 v 00 Por lo ano, l anqu dmora n vaciars 00 min, s dcir, hora y 0 min. Un anqu d 0 galons, conin inicialmn 90 libras d sal disulas n 90 galons d agua. Hacia l anqu fluy, a razón d galons por minuo, una salmura qu conin libras d sal por galón y la mzcla dbidamn agiada y homognizada s ra dl anqu a razón d Q galons por minuo. Si s sab l anqu cominza a dsbordars juso a los 0 min drmin a) La razón Q d salida b) La canidad d sal cuando l anqu s llna SOLUCIÓN: a) La canidad inicial d líquido n l anqu s d 90 l, lo qu corrspond al volumn inicial, so s V 0 90 l. La canidad inicial d sal disula n los 90 gal d agua s 0 90 lb Al anqu fluy una salmura d concnración C lb/gal y lo hac a una razón Q gal/min. La mzcla dbidamn agiada y homognizada s dja salir dl anqu a una razón Q Q gal/min. C lb/gal Q gall/min V 0 gal V 0 90 gal 0 90 lb Q Q gal/min La cuación difrncia asociada a los problmas d mzcla s Q V0 ( Q Q ) Q C () Obsrv qu l caudal d salida Q s dsconoc. Es s drminara por mdio d la cuación dl volumn n cualquir insan V() V 0 ( Q Q ) () D acurdo con l nunciado, l anqu cominza a dsbordars para 0 min, s dcir, n s insan alcanza l volumn oal V(0) V 0 gal Evaluando la cuación () para 0 min V (0) V 0 ( Q Q ) 0 susiuyndo V(0), V 0 y Q

20 rsolvindo dspjando Q 0 90 ( - Q ) Q Q gal/min 9 b) Para drminar la canidad d sal cuando l anqu s llna s db drminars la ly d variación d la canidad d sal n l anqu, n cualquir insan. Para llo, s susiuyn odos los daos n la cuación () 8 90 simplificando dspjando ( ) 90 8 Ya qu, la difrncial d la canidad d sal s por la cuación () quivalnmn 8 () , susiuyndo dada 8 () 90 La cuación () s una cuación difrncial linal, d la forma () F() G(), dond F() y G() 8. Para rsolvrla db drminars un facor ingran 90 F() µ () 90 F() µ () ln 90 ( 90 ) Muliplicando la cuación () por l facor ingran Puso qu ( 90 ) ( 90 ) 8 ( 90 ) ()

21 susiuyndo n la cuación () ingrando () ( 90 ) ( 90 ) [ ] d ( 90 ) 8 ( ) [ Ambas ingrals son inmdiaas [ ] d ( 90 ) 90 8 d ( 90 ) ] ( 90 ) d [( 90 ) ] ( ) 90 k ( 90 ) ( 90 ) k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ( 90 ) ( 90 ) k (7) Para drminar l valor d la consan k d ingración s uiliza la condición inicial (0) 90, so s, 0 min y 90 lb s susiuyn n la cuación (7) rsulando ( ) ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) muliplicando por ( 90 ) k 90 ; s valor obnido para k s susiuy n la cuación (7) () ( 90 ) (8) La cuación (8) rprsna la ly d variación d al canidad d sal n l anqu n cualquir insan. Puso qu l anqu s llna juso a los 0 min, susiuyndo 0 min n la cuación (8) ( 0 ) (0) ,0 Lugo, la canidad d sal n l anqu n l momno d alcanzar su volumn máimo s 0,0 lb 7. Un anqu cuyo volumn s d 000 l sá inicialmn llno hasa la miad d su capacidad, con una solución n la qu hay disulos 00 kg d sal. S bomba agua pura al anqu a razón d Q l/min y la mzcla, qu s manin homogéna mdian agiación, s ra a razón d l/min. Si s sab qu al cabo d horas y 0 min hay 800 l más d solución n l anqu, drmin a) El caudal d nrada Q b) Canidad d sal n l anqu al cabo d horas

22 c) Canidad d sal y concnración d sal al momno juso d comnzar a dsbordars SOLUCIÓN: a) La canidad inicial d líquido n l anqu s la miad d su capacidad oal, por lo ano, l volumn inicial d líquido s V l y la canidad inicial d sal disula n los 000 l d solución s 0 00 kg Al anqu fluy agua pura, por lo qu la concnración d nrada s C 0 kg/l y lo hac a una razón d nrada Q Q l/min. La mzcla dbidamn agiada y homognizada s dja salir dl anqu a una razón Q l/min. C 0 Kg/l Q Q l/min V 000l V l 0 00 kg La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q V0 ( Q Q ) Q C () Obsrv qu l caudal d nrada Q s dsconoc. Es s drminara por mdio d la cuación dl volumn n cualquir insan V() V 0 ( Q Q ) () Q l/min D acurdo con l nunciado, lugo d horas y 0 min, hay 800 l más d líquido n n l anqu. Es dcir, para l impo 00 min l volumn d líquido s V(00) 800 l; susiuyndo sos valors n la cuación () V (00) 000 ( Q ) 00 rsolvindo dspjando Q Q 7 l/min Q b) Para obnr la canidad d sal n l anqu al cabo d horas db drminars la ly d variación d la canidad d sal n l anqu, n cualquir insan. Para llo, s susiuyn odos los daos n la cuación () simplificando dspjando ( ) 000 0

23 () 000 Ya qu, la difrncial d la canidad d sal s por la cuación (), susiuyndo dada 000 () La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s muliplica la cuación () por l facor ingrando 000 () 000 Ambas ingrals son inmdiaas ln l l k ln 000 k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ln l l ln 000 k () Para drminar l valor d la consan k d ingración s uiliza la condición inicial (0) 00, so s, 0 min y 00 gr s susiuyn n la cuación () ln l 00 l ln 000 k dspjando k ln 00 ln 000 k por propidads d logarimo k ln 00 ( 000) Susiuyndo l valor obnido para k n la cuación ()

24 ln l l ln 000 ln 00 ( 000) aplicando propidads d logarimo ln l l 0 ln 00 0 aplicando () (7) La cuación (7) rprsna la ly d variación d al canidad d sal n l anqu n cualquir insan. La canidad d sal, lugo d horas s obin susiuyndo 0 min n la cuación (7) (0) , Lugo la canidad d sal n l anqu, ranscurridas horas, s 7, kg b) Ahora db drminars l impo qu ha ranscurrido para qu n l anqu qudn kg d sal. Para llo s susiuy n la cuación (7) y s busca l valor d Muliplicando por 00 Muliplicando por (0 ) dspjando y lvando a la / ( ) ( ) Lugo, dbrán ranscurri 70 min horas 0 min. Para qu qudn n l anqu kg d sal c) A fin d sablcr la canidad d sal y la concnración d sal n l anqu, juso al momno d dsbordars, db drminars l impo para l cual l anqu cominza a dsbordars. Es dcir, db drminars l impo m para l cual l volumn d líquido n l anqu s acamn l volumn oal V( m ) V 000 l

25 Rcurd qu l volumn d líquido n l anqu n cualquir insan sa dado por la cuación V () V 0 ( Q - Q ) Así, para l impo m susiuyndo los daos Dspjando m V( m ) V 0 ( Q - Q ) m m m 0 min 8h 0 min Una vz drminado l impo juso n qu s alcanza l volumn oal d líquido n l anqu, 0 min, s s susiuy n la cuación (7) () , ( ) Por lo ano, la canidad d sal n l anqu juso al momno d dsbordars ( 0min) s 9, kg La concnración d sal n l anqu n cualquir insan s igual al cocin nr la canidad d sal y l volumn d sal n cualquir insan C() () V() susiuyndo 0 min C(0) ( 0 ) ( 0 0 ) ( ) 7 ( 0 ) ( 0 ) ( ) 7 ( 0 ) 7 ( 0 ) 0, 08 7 ( 0 ) 0 ( ) Por lo ano, la concnración d sal n anqu juso al momno d dsbordars ( 0 min) s 0, 08 kg/l 8. Considérs un sanqu con un volumn d 8 mil millons d pis cúbicos y una concnración inicial d conaminans d 0, %. Hay un ingrso diario d 0 millons d pis cúbicos d agua con una concnración d conaminans d 0,0 % y un drram diario d igual canidad d agua bin mzclada n l sanqu Cuáno impo pasará para qu la concnración d conaminans n l sanqu sa d 0,0%? SOLUCIÓN: La canidad inicial d líquido n l sanqu s V pis, y la concnración inicial d conaminans n l sanqu s C 0 0, % 0,

26 La canidad inicial d conaminans 0 sa dada como 0 C 0 V así, la canidad inicial d sal n l anqu s lb Al anqu fluy agua a una razón d nrada Q pis /día y la concnración d conaminans d l agua qu s inyca al anqu s C 0,0 % El agua bin mzclada n l sanqu sal a la misma razón nrada Q Q C 0,0 % V pi Q. 0 8 pi /día C 0 0, % dspjando Q. 0 8 pi /día La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V0 ( Q Q ) () Susiuyndo los daos n la cuación () simplificando () Puso qu la difrncial d la canidad d conaminans s, susiuyndo dada por la cuación ().0 () La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls s muliplica la cuación () por l facor.0 ingrando Ambas ingrals son inmdiaas.0.0 ()

27 ln.0 k.0.0 k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ln.0 k () Para drminar l valor d la consan k d ingración s db uilizar la condición inicial, so s, para l impo 0 0 día, la canidad d conaminans s Susiuyndo n la cuación () 0 0 día y k ln.0.0 ln.0 (0 0) ln s valor consguido para k s susiuy n la cuación () quivalnmn aplicando propidads d logarimo ln.0 ln.0 ln.0 ln.0.0 ln.0.0 muliplicando por y aplicando muliplicando por (.0 ) dspjando quivalnmn (). 0 () (7) La cuación (7) rprsna la ly d variación d la canidad d conaminans n l sanqu n un insan cualquira

28 Para podr drminar cuando la canidad d conaminans srá d 0,0 %, db comnzars por sablcr la ly d variación d la concnración d conaminans n l sanqu. 7 La concnración n un insan cualquira d impo, sá dada por la cuación () C() V() (8) Puso qu l razón d nrada Q coincid con la razón d salida Q y como V() V 0 (Q Q ) noncs V() V pi (9) Susiuyndo las cuacions (7) Y (9) n la cuación (8) para C() 0,0% 0 - muliplicando por. 0 fcuando opracions muliplicando por aplicando logarimo dspjando C() ln.0 ln (,9), D aquí qu, dbn ranscurrir, días, so s, días, horas, min y sg para qu la concnración d conaminans n l sanqu llgu a 0,0 %

29 9. Un anqu d 00 galons conin la cuara par d su capacidad d salmura, con una concnración d sal d kg/gal. S inyca salmura al anqu con concnración d kg/gal y a razón d gal/min. La salmura, dbidamn agiada y homognizada n l anqu, fluy a razón d Q gal /min. Si s sab qu al cabo d dos horas y mdia l anqu alcanza su máima capacidad, drmin a) El caudal d salida Q b) La canidad d sal cuando alcanza su máima capacidad SOLUCIÓN: a) El anqu in una capacidad oal V 00 gal, pro solo sa llno hasa un cuaro d su capacidad, s dcir. l volumn inicial d líquido n l anqu s V 0 00 gal. La concnración d sal n sos 00 gal d líquido s C 0 kg/gal. Puso qu la canidad inicial d sal n l anqu sá dada por 0 C 0 V 0 0 (00) 0 s dcir, la canidad inicial d sal n l anqu s 0 0 kg Al anqu s inyca una salmura d concnración C kg/gal a una razón Q gal/min y la mzcla dbidamn agiada y homognizada s ra a razón d Q Q gal/min; admás al cabo d dos horas y mdia, so s min, l volumn s V() 00. Para drminar l valor d Q s uiliza la cuación dl volumn n cualquir insan : V() V 0 ( Q Q ). Susiuyndo n la cuación dl volumn V() 00, V 0 00, Q y ( Q) dspjando Q Q D aquí qu, l caudal d salida s Q gal/min 8 C kg/gal Q gal/min V 00 gal V 0 00 gal C 0 kg/gal 0 0 kg Q gal/min La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V Q Q () 0 ( ) Susiuyndo los daos n la cuación () 00 ( ) Simplificando 00 () La cuación () s una cuación difrncial linal d la forma () F() G(), dond F() F() y G(). Db buscars un facor ingran µ () 00

30 µ () ln 00 (00 ) / Dspjando d la cuación () () 00 Ya qu la difrncial d la canidad d sal s, susiuyndo dada por la cuación () 00 quivalnmn () 00 Muliplicando la cuación () por l facor ingran µ () (00 ) / (00 ) / (00 ) / (00 ) / () Puso qu susiuyndo n la cuación () ingrando (00 ) / (00 ) / / d[ (00 ) ] / d [(00 ) ] (00 ) / [ ] d ( 00 ) / ( 00 ) / () Ambas ingrals son inmdiaas / d [( 00 ) ] (00 ) / k / / ( 00 ) (00 ) k susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () / (00 ) / ( 00 ) k (7) Para obnr l valor d k s uiliza la condición (0) 0, s dcir, s susiuy 0 min y 0 kg n la cuación (7) (00) / 0 (00) / k dspjando k

31 k (00) / 0 - (00) / (00) / (0 00) 00 (00) / s valor d k s susiuy n la cuación (7) muliplicando por ( 00 ) / (00 ) / ( 00 ) 00 (00) / () (00 ) 00 / / 0 (8) La cuación (8) rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n un insan cualquira. Para drminar la canidad d sal prsna n l anqu cuando s alcanza su volumn oal, basara con susiuir n la cuación (8), l impo qu dmora n alcanzar la capacidad oal, so s min s susiuy n la cuación (8) () (00 00) 00 / / Por lo ano la canidad d sal prsn n l anqu, cuando alcanza su máima capacidad s kg 0. Considr dos anqus con capacidad d 0 gal. El primr anqu con volumn inicial V 00 gal y l sgundo anqu con volumn inicial V 00 gal. Cada anqu conin inicialmn lb d sal. Enra agua pura al anqu a razón d gal/min y la mzcla bin agiada y homognizada fluy al anqu a razón d gal/min. D igual manra una vz qu la mzcla s agiada y homognizada n l anqu, fluy fura d s a razón d gal/min a) Encunr la canidad d sal () n l anqu n un insan cualquira b) Encunr la canidad d sal y() n l anqu n un insan cualquira c) Encunr la canidad máima d sal qu llga a nr l anqu SOLUCIÓN: Tanqu C 0 lb/gal Q gal/min V 00 gal 0 lb Q gal /min Tanqu ( ) C () V ( ) V 00 gal y 0 lb Q gal/min y ( ) C () V ( )

32 a) S rabajará primro con l anqu. El volumn inicial s V 00 gal; la concnración d nrada s C 0 lb/gal, puso qu lo qu fluy hacia l anqu s agua pura; l caudal d nrada s Q gal/min; l caudal d salida s Q gal/min admás para l impo 0 min s in qu la canidad d sal n l anqu s 0 lb La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V Q Q susiuyndo los daos simplificando dspjando 00 ( ) 00 ( ) () Puso qu la difrncial d la canidad d sal prsn n l anqu, n cualquir insan s, susiuyndo dada por la cuación () () 0 La cuación () s una cuación difrncial d variabls sparabls. Para sparar las variabls, s muliplica la cuación () por l facor ingrando 0 0 () Ambas ingrals son inmdiaas ln l l k k 0 0 susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación ()

33 ln l l k () 0 Para drminar l valor d la consan k d ingración s uiliza la condición inicial (0), so s, s susiuyn n la cuación () o y l rsulando k ln l l. Es valor obnido para k s susiuy n la cuación () ln l l ln l l 0 agrupando los logarimos a un solo lado d la igualdad ln l l - ln l l 0 aplicando propidads d logarimo ln 0 aplicando y muliplicando por () 0 () La cuación () rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n un insan cualquira. La concnración d salida dl anqu s obin a parir d la cuación () C () (7) V () pro V () s obin por mdio d la cuación V () V ( Q Q ) susiuyndo los valors d V, Q y Q V () 00 (8) Susiuyndo las cuacions () y (8) n la cuación (7) 0 C () 00 0 (9) La cuación (9) rprsna la ly d variación d la concnración d sal dl anqu n un insan cualquir, s dcir la concnración d sal dl líquido qu fluy dl anqu hacia l anqu b) Para l anqu s inn noncs los siguins daos: la concnración d nrada s la concnración dl líquido qu sal dl anqu C () 0, l caudal d nrada s Q gal/min; l caudal d salida s Q gal/min; l volumn inicial d líquido s V 00 gal; admás para l impo 0 la canidad d sal n l anqu s y 0 lb, s in qu la cuación difrncial asociada al anqu s dy Q y Q C V ( Q Q )

34 susiuyndo los daos simplificando dy 0 00 y ( ) dy y 0 0 (0) La cuación (0) s una cuación difrncial linal d la forma y () F() y G(), dond F () y G() 0 0. Para rsolvr la cuación (0) db drminars un F () facor ingran µ () F () µ () 0 0 / 0 dy Dspjando d la cuación (0) 0 0 y () ya qu, la difrncial d la canidad y d sal prsn n l anqu n cualquir insan dy dy s dy, susiuyndo dada por la cuación () dy 0 rordnando los érminos d la cuación dy 0 muliplicando por l facor ingran µ () / 0 dy / 0 y 0 0 y 0 / 0 y / 0 0 () Puso qu / 0 dy susiuyndo n la cuación () ingrando / 0 / 0 d [ y] 0 y / 0 d [ y] / 0 0

35 d / 0 [ y ] / 0 / 0 () Ambas ingrals son inmdiaas d / 0 [ y ] / 0 y h / 0 / 0 / 0 0 / 0 0 / 0 0 h Susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () / 0 / 0 y ( 0 ) h fcuando las opracions () / 0 / 0 y 00 h Para drminar l valor d la consan h d ingración, s uiliza la condición inicial, so s, s susiuy n la cuación () 0 min, y lb 00 h h s valor consguido para h s susiuy n la cuación () muliplicando por / 0 / 0 / 0 y 00 / 0 y() 00 / () 0 La cuación () rprsna la ly d variación d la canidad d sal n l anqu n cualquir insan. c) Para drminar la canidad máima d sal qu llga a nr l anqu, lo qu s db s aplicar a la función y() los cririos sudiados n análisis I para maimizar una función. Lo primro s drivar la función y() y drminar los punos críicos, so s, los valors d dond la primra drivada s anula y dond y() pud sr máima Drivando y() / 0 y () 00 0 igualando a cro la drivada y () / 0 / 0 0 / 0 0 / 0 / 0 muliplicando por / 0

36 aplicando logarimo dspjando 0 0 / ln 0 0 ln 0 ln 0 ln Una vz consguido l valor d dond la primra drivada s anula, s db drminar la drivada sgunda d y / 0 y () / 0 / 0 / sa drivada sgunda s valúa n y ln 0 0 ln 0 0 ln 0 ln 0 ln ln Puso qu la drivada sgunda d y() rsuló mnor qu cro n l puno críico 0 ln alcanza un valor máimo. susiuy y 0 ln min, (dond la primr s anuló), rsula qu para s valor d la función y() Lugo para drminar l valor máimo d sal qu llga a nr l anqu s 0 ln n la cuación () 0 ln 0 0 ln ln ln

37 Por lo ano, cuando ha ranscurrido un impo 0 ln, min dl procso s alcanza n l anqu la canidad máima d sal y, lb. S bomba crvza con un connido d % d alcohol por galón, a un anqu qu inicialmn conin 00 gal d crvza con % por galón d alcohol. La crvza s bomba hacia l inrior con una rapidz d gal/min n ano qu l líquido mzclado s ra con una rapidz d gal/min. a) Obnga l númro d galons d alcohol qu hay n l anqu n un insan cualquira b) Cuál s l porcnaj d alcohol n l anqu lugo d 0 min? c) Cuáno dmorará l anqu n vaciars? SOLUCIÓN: L C % alch/gal Q gal/min V 0 00 gal C 0 % alch/gal a) El volumn inicial d crvza n l anqu s V 0 00 gal y la concnración inicial d alcohol s C 0 % alch / gal, so s C 0 0,0; la concnración d crvza qu nra al anqu s C % alch/gal so s, C 0,0; la razón d nrada s Q gal /min. Lal crvza una vz mzclada y homognizada, sal dl anqu con una razón d salida Q gal/min Q gal/min La canidad inicial d alcohol n l anqu s 0 V 0 C 0 00 (0,0) lb La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V Q Q () 0 ( ) Susiuyndo los daos n la cuación () 9 () 00 La cuación () s una cuación difrncial linal d la forma F() G(), dond 9 F() y G(). Para rsolvr la cuación () db drminars un facor 00 ingran µ () F ( )

38 7 µ () 00 F( ) 00 ln 00 ( 00 ) Dspjando d la cuación () 9 00 () puso qu, la difrncial d la canidad d crvza s, susiuyndo dada por la cuación () 9 00 rordnando los érminos d la cuación 9 00 () Muliplicando la cuación () por l facor ingran µ () ( 00 ) simplificando ( 00 ) ( 00 ) ( ) ( 00 ) ( 00 ) 9 ( 00 ) 9 () Puso qu ( 00 susiuyndo n la cuación () ingrando [ ] ) ( 00 ) d ( 00 ) d d [( 00 ) ] 9 ( 00 ) [( 00 ) ] ( ) 9 00 () Ambas ingrals son inmdiaas ( ) 9 00 d [( 00 ) ] ( 00 ) k 9 ( 00 ) ( 00 ) 9 susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () k ( 00 )

39 8 00 ( 00 ) k (7) ( ) Para drminar l valor d la consan k d ingración db uilizars al condición inicial: para l impo 0 min, gal; sos valors s susiuyn n la cuación (7) ( 00 ) ( 00 ) k dspjando k k ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) d aquí qu ( 00 ) k 00 s valor qu s obuvo para k, s susiuy n la cuación (7) muliplicando por ( ) simplificando so s ( 00 ) ( 00 ) 00 () ( 00 ) ( 00 ) () ( 00 ) () ( 00 ) ( 00 ) 00 ( 00 ) ( 00 ) (00) La cuación (8) rprsna la ly d variación d la canidad galons d alcohol n l anqu n un insan cualquira. b) Para podr sablcr cuál s l porcnaj d alcohol qu hay n l anqu dspués d 0 min d iniciado l procso, dbrá drminars la concnración d alcohol al cabo d 0 min. Primro s busca la canidad d alcohol n l anqu lugo d 0 min. Para llo s susiuy 0 min n la cuación (8) (0) ( 00 0 ) ( 0 ) 0,,, La concnración d alcohol a los 0 min sa dada por 0 00 (8)

40 C(0) (0) V(0) 9 (9) Ya qu l volumn d crvza n cualquir insan sa dado por la cuación V() V 0 ( Q Q ) noncs V(0) 00 ( ) gal (0) Susiuyndo (0), y V(0) 0 n la cuación (8) (0), C(0) 0,0 V(0) 0 D aquí s in qu, la concnración d alcohol n l anqu s 0,0, s dcir, l porcnaj d alcohol n l anqu al cabo d 0 min s,% c) Para sabr cuano dmorará l anqu n vaciars, lo qu s db s drminar l impo para l cual l volumn d líquido n l anqu V() s igual a cro, s dcir, V() V 0 ( Q Q ) min Por lo ano, dbrá ranscurrir un impo 00 min horas y 0 min para qu l anqu s vací.. Un anqu con capacidad d 0000 l sa llno hasa la miad d su capacidad, con agua salada n la cual hay disulos 0 kg s sal. S inyca agua salada con Kg d sal por liro y a razón d Q l/min. La mzcla dbidamn agiada y homognizada, s ra dl anqu a razón d l /min. Si s sab qu al cabo d horas y 0 min l volumn d líquido n l anqu s igual a las rs cuaras pars d su capacidad, drmin: a) El caudal Q b) La canidad d sal y la concnración d sal n l anqu n cualquir insan c) Timpo qu db ranscurrir para qu l anqu cominc a dsbordars d) La canidad d sal y la concnración cuando l anqu alcanza su capacidad máima SOLUCIÓN: a) El volumn oal d líquido n l anqu s V 0000 l, pro sólo sá llno hasa la miad, so quir dcir qu l volumn inicial d líquido s V l y la canidad inicial d sal disula s 0 0 kg; la concnración dl líquido qu nra al anqu s C kg/l; l flujo d nrada s Q Q l/min y l flujo d salida s Q l/min. S sab qu para l impo h y 0 min so s, min l volumn d líquido n l anqu s / dl volumn inicial C kg/l Q Q l/min V T 0000 l V l 0 0 kg noncs, V() VT (0000) 00 susiuyndo sos daos n la Q l/min

41 cuación dl volumn n un insan cualquira V() V 0 (Q Q ) s in (Q ) dspjando Q 00 Q D aquí qu l caudal d nrada s Q l/min b) La cuación difrncial asociada a los problmas d mzcla s Q Q C V0 ( Q Q ) () Susiuyndo los daos n la cuación () 0000 ( ) () () simplificando 000 () S db rsolvr la cuación difrncial () suja a la condición (0) 0 La cuación () s una cuación difrncial linal, d la forma () F() G(), dond F(). Para rsolvr la cuación () db drminars un facor 000 F( ) ingran µ () F( ) µ () ln ( ) ln Dspjando d la cuación () () 000 Puso qu la difrncial d la canidad d sal s dada por la cuación () 000, susiuyndo

42 rordnando los érminos d la cuación 000 muliplicando la cuación () por l facor ingran µ () ( ) simplificando ( 000 ) ( ) Puso qu () 000 ( ) ( 000 ) ( 000 ) ( ) () ( ) 000 ( 000 ) d ( 000 ) susiuyndo n la cuación () d 000 ingrando ( ) ( ) d Ambas ingrals son inmdiaas 000 ( 000 ) ( 000 ) ( 000 ) ( 000 ) d () k ( 000 ) ( 000 ) ( 000 ) ( ) ( ) 000 k Susiuyndo los rsulados d las ingrals n la cuación () ( 000 ) ( ) 000 k (7) A fin d drminar l valor d la consan k d ingración, la condición inicial (0) 0, s dcir, s susiuy n la cuación () 0 min y 0 kg dspjando k 000 ( 000) 0 ( ) k ( 000) 0 ( ) k ( 000)

43 ( 000) [ 0 00] ( ) Susiuyndo l valor obnido para k n la cuación (7) ( 000 ) muliplicando por (000 ) 000 ( ) ( 000) () ( ) 0 7 (8) La cuación (8) rprsna la ly d variación d la canidad d sal n un insan cualquira. La concnración d sal n l anqu n un insan cualquir vin dada por la cuación () C() (9) V() El volumn d líquido n l anqu n un insan cualquira vin dado por V() V 0 ( Q Q ) 0000 ( ) (0) Susiuyndo las cuacions (8) y (0) n la cuación (9) C() (000 ) 0 / ( 000) ( 000 ) C() / / ( 000) ( ) 000 / () La cuación () rprsna la ly d variación d la concnración d sal n l anqu n un insan cualquira. c) Para drminar l impo n qu l anqu cominza a dsbordars s uiliza la cuación d volumn d líquido n l anqu s un insan cualquira V() V 0 ( Q Q ) () Susiuyndo V() 0000, V , Q y Q n la cuación () ( )

44 dspjando Por lo ano, dbrán ranscurrir 0 min, s dcir, 8 horas y 0 min para qu l anqu cominc a dsbordars. d) Para sablcr la canidad d sal y la concnración d sal n l anqu, n l momno n qu cominza a dsbordars, basa con susiuir n las cuacions (8) y () l impo n qu l anqu s dsborda, so s 0 min (0) noncs ( 000) (0) 97, kg (0,8) C(0) (0,8) 0.0 (0,08) (0,8 ) 0.0 (0,08) (0,8) 0,88 0 noncs C(0) 0,0 kg/l D aquí qu la canidad d sal y la concnración d sal n l anqu n l momno n qu s cominza a dsbordars s, rspcivamn, (0) 97, kg y C(0) 0,0 kg/l

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