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1 9.6 PROBLEMS RESUELTOS DE HIDRODINÁMIC.- Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,5 litros por cada segundo. Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de,0 cm de diámetro interior. Cuál es la velocidad de salida del agua? Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,5 Lt/s, de tal manera que según la ec (7): v b V m m G = = b b cm 0,5x0 cm vb = s = 6,5,4x0, 5 cm s Este ejemplo es interesante, puesto que muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que permite regar a distancias convenientes. Note que ha disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a la relación cuadrática de las áreas. por lo que : G = v.- Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m /min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 0 cm y la presión cm 0,5x0 G = = s cm vm = 79,6 s (,4x cm ) es de Kf/cm. Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 5 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a? hora, la ecuación (8) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla. Es decir, se debe cumplir la relación: m v m = b v b de donde se tiene: 66

2 Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que:.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es,0 X 0 Kg/m es horizontal en h 0 = 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, v = B v B = G hasta alcanzar una altura de h =,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la de donde se pueden calcular las velocidades en a y en b : presión en la sección inferior es P 0 =,50 atm, calcule la presión P en la parte superior. 9m G m cm v = = 60s =,4 = 4,4x0,5 m s s 9m G m cm vb = = 60s = 8, = 8,4x0,075 m s s B Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v 0 = v = v También se puede ocupar la ecuación de Bernouilli para relacionar ambos puntos, de la que se puede calcular la presión en b: En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene : P + ρ g h + ½ ρ v = P B + ρ g h B + ½ ρ v B P 0 + ρ g h 0 + ½ ρ v = P + ρ g h + ½ ρ v P B = P + ρ g [h - h B ] + ½ ρ [v - v B ] P 0 + ρ g h 0 = P + ρ g h 6 Dinas g cm PB = cm + cm cm s g cm + ( ) cm s Dinas PB = 7495,5 cm P = P 0 + ρ g [h 0 - h ] P =,5 [,0 X 0 5 Pa] + [,0X0 Kg/m ] [9,8 m/s ][0 m -.0 m] P = Pa Pa 67

3 P = Pa =,8 atm La presión se puede encontrar mediante la La presión bajó desde,5 atm hasta,8 atm!. ecuación de Bernouilli ; sin embargo, previamente necesitaremos calcular la Esta conclusión parece contradecir lo velocidad v con la ecuación de continuidad : encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a 0 v 0 = v las velocidades. Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energía potencial del fluido en movimiento. 4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a v v v v = 0 = π r0 = r0 πr r m ( 0 x0 m),5 = s m v = 0,7 7,5x0 4 m s derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la hora, según Bernouilli : sustancia es de 05 utm/m. Su velocidad en el extremo de entrada es v 0 =,5 m/s, y la P 0 + ρ g h 0 + ½ ρ V 0 = P + ρ g h + ½ ρ V presión allí es de P 0 =,75 Kgf/cm, y el radio de la sección es r 0 = 0 cm. El extremo de P = P 0 + ρ g [h 0 - h ] + ½ ρ [V 0 - V ] salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí, es r = 7,5 cm. Encontrar la presión P en ese extremo. 4 Kf utm m P =,75x ,8 4,5m + m m s utm m + 05 (,5 0,7 ) m s Kf Kf P = 67,9 =,6 m cm B Note que si ponemos una válvula y cortamos el flujo de agua, P =, Kgf/m : sube! 68

4 5.- Un tanque cilíndrico de,80 m de diámetro descansa sobre una plataforma de una torre a 6 m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque está lleno de agua, no trata de conceptos directamente considerado en la teoría aquí expuesta, contiene otros elementos que son relevantes para los alumnos. hasta la profundidad h 0 = m. l soltar el tapón, se tiene una situación De un orificio que está al lado del tanque y en la parte baja del mismo, se quita un tapón que cierra el área del orificio, de 6 cm. Con qué velocidad fluye inicialmente el agua regulada por la ec de Bernouilli; de tal manera que se puede calcular la velocidad con que sale inicialmente el agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora : del orificio?. Cuánto tiempo necesita el tanque para P + ρ g h + ½ ρ V = P + ρ g h + ½ ρ V, vaciarse por completo?. P v Consideraremos la referencia en el piso; además tanto en como en la presión es la atmosférica, y V = 0, puesto que la relación h 0 h dh entre las áreas del tanque y del orificio permite despreciarlo a través de la ecuación de continuidad. P v (Note que: πr = = 49, 6cm H la velocidad en será 49 veces mayor que la velocidad en! ). y=0 P v De lo anterior : P 0 + ρ g [H + H 0 ] + ½ ρ [0] = P 0 + ρ g H + ½ ρ V Este problema es muy importante, puesto que por una parte revisaremos numéricamente algunos conceptos y por otra parte, aún cuando 69

5 ½ ρ V = ρ g [H + H 0 ] - ρ g H Hasta aquí, el problema es resuelto como ha predicho la teoría expuesta. Sin embargo, V = g H 0, calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse requiere de consideraciones distintas, tal como lo habíamos previsto según Torricelli. puesto que la profundidad no será constante, como en los casos anteriores. Esto producirá Es interesante esta expresión, puesto que la velocidad no depende de la densidad del líquido, tal como la caída de un objeto no depende de su masa en ausencia de aire. que la velocidad con que baja el fluido en el tanque, así como la velocidad con que sale el líquido por el orificio, no sean constantes en el tiempo. Por lo tanto : Para resolver esto, consideraremos que la altura h del líquido disminuye en dh durante un m m v = 9,8 ( m) = 7,7 s s Luego, aplicando nuevamente Bernouilli para los puntos y, podemos calcular la velocidad con que llega el agua al suelo : intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el fluido en el tanque V, queda determinada por la expresión: dh v = dt P + ρ g h + ½ ρ V = P + ρ g h + ½ ρ V negativa puesto que h disminuye en el tiempo. con P = P = P 0 : dicionalmente, se tiene que P 0 + ρ g H + ½ ρ V = P 0 + ρ g [0]+ ½ ρ V V = V V = V + g H V = 58.8 m /s + [9,8 m/s ][ 6 m] V =, m/s como ya sabemos, expresión que es cierta para todo t, v v = al igualar ambas expresiones, se tiene: 70

6 dh = v dt h h t = g 0 además, según torricelli como hemos visto : cuando el tanque se vacíe, h = 0, por lo que : por lo que : v = gh h t = g 0 dh = gh dt πr h t = g 0 que se puede expresar como : remplazando valores : dh = g dt h t = ( )( ) ( ),4 0,9m m m 9,8 0,0006m s ( ) integrando la expresión para el intervalo entre t = 0, donde la profundidad es h 0 y el tiempo t = t, donde la profundidad es h, se tiene : = h dh g dt t = 6, segundos Se recomienda revisar con especial cuidado la lógica seguida en la solución de este problema. integrando : = h h0 g t despejando t : 7

7 6.- Un tanque cilíndrico de, m de diámetro se llena hasta 0, m de profundidad con agua. El espacio encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de,06 X 0 5 N/m. De un orificio en el fondo se quita un Justo al ser soltado la cantidad de movimiento del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, habrá sido expulsado un elemento de líquido de masa dm, que tendrá una velocidad v en dirección hacia abajo. tapón que cierra un área de,5 cm. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a En consecuencia: través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque dp = v dm = v [ρ dv] = v ρ [ dy] cuando se quita el tapón. dp = v ρ [v dt] = v ρ dt P v Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba será la comunicada al tanque, la que debe ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre h él, de modo que : P v F dt = v ρ dt F = v ρ Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al La velocidad de salida puede calcularse con la ecuación de Bernouilli: tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual P + ρ g h + ½ ρ v = P + ρ g h + ½ ρ v magnitud, pero de dirección opuesta a la fuerza con que es expulsado. Por otro lado, el segundo principio de Newton pero podemos suponer v = 0 por continuidad y h = 0, usándola como referencia : establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en de aquí : su cantidad de movimiento. 7

8 v ( P) P = + gh ρ por lo que : ( P) P F =ρ + gh ρ reemplazando : 6 6 ( ),06x0,0x0 F = ( )(,5) + ( 980)( 0) F = D = 5, Newton Cuando la presión P es suficientemente grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete 7

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