Tema 4: Potencial eléctrico

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1 1/38 Tem 4: Potencil Eléctico Fátim Msot Conde Ing. Industil 2007/08 Tem 4: Potencil Eléctico 2/38 Índice: 1. Intoducción 2. Enegí potencil eléctic 1. de dos cgs puntules 2. de un sistem de cgs 3. Intepetción de l Ep 3. Potencil eléctico 4. Cálculo del potencil eléctico 5. Cálculo del cmpo pti del potencil. Gdiente 6. Supeficies equipotenciles

2 Intoducción 3/38 ~Fe Hemos hldo de l fuez eléctic y del cmpo ~E (fuez eléctic po unidd de cg). Aho nos peguntmos: Cuál es el el tjo que eliz es fuez? Análogmente l cso gvittoio, l fuez eléctic es CONSERVATIVA, y veemos que ese tjo se puede expes en téminos de Enegí Potencil (eléctic) o simplemente Potencil (enegí potencil po unidd de cg) 4/38 Intoducción Igul que en el cso gvittoio, el potencil se define especto de un nivel de efeenci itio, dándose entonces un similción de potencil lo que en elidd son difeencis de potencil ente un punto y el de efeenci. A ls difeencis de potencil tmién se se les llm voltje

3 Enegí Potencil Eléctic 5/38 Recodmos: F T ~F d ~ l ~ F Cuál es el tjo elizdo po un fuez culquie p llev l ptícul desde hst? fuez W = Z ~F d ~ l = poducto escl elemento de longitud tngente l cmino = Componente tngente de l fuez Z Z F T dl = velocidd Enegí cinétic m dv dt dl = E k, E k, El tjo que eliz un fuez culquie es el incemento de enegí cinétic escles F T Enegí potencil 6/38 Recodmos: Cuál es el tjo elizdo po un fuez consevtiv p llev l ptícul desde hst? ~F c Si l fuez es consevtiv, l enegí totl se consev en cd punto del cmino: d ~ l c ~ F E totl =(E K + E P ) A =(E K + E P ) B W = Z Z F~ C d ~ l = de P = E P,A E P,B Este signo es necesio p otene este oden El tjo que eliz un fuez consevtiv (demás de se el incemento de Enegí Cinétic) es igul l menos incemento de Enegí Potencil

4 7/38 Enegí potencil eléctic en un cmpo unifome Análogo gvittoio ~g m E p,mx ~E q + E p,mx E K,mx ef. 0 ef. 0 E K,mx L ms, siguiendo l diección del cmpo, ument su E K y disminuye su E p L cg positiv, siguiendo l diección del cmpo, ument su E K ydisminuyesue p 8/38 Enegí potencil eléctic en un cmpo unifome Desplzmientos espontáneos (Tjo positivo elizdo po el cmpo) ~E q - ~E q + Cso nteio L cg negtiv espontánemente sigue l diección conti ~ E (umentndo su E K ) ydisminuyendosue p

5 Enegí potencil eléctic en un cmpo unifome 9/38 Desplzmientos no espontáneos (inducidos o fozdos) El tjo positivo es elizdo po un gente exteio cont el cmpo Análogo gvittoio ~E q + ~g m ~E q - Lcgpositiv(oms) se mueve cont el cmpo, umentndo su E p ef. 0 L cg negtiv se mueve fvo del cmpo, umentndo su E p Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules 10/38 Clculemos el tjo p llev un cg pue q 0 desde hst en el cmpo de ot cg fij q. Tenemos lietd p elegi l tyectoi, poque l fuez eléctic es consevtiv y el tjo lo lgo de culquie de ells es el mismo: W = d = E E = 0 FC l PA, PA, W = W = = W = E E C,, 1 C 2 Culquie cmino P A P B

6 Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules 11/38 Así que elegimos l tyectoi más conveniente: l c, compuest po dos tmos: co de cicunfeenci c c + yo (segmento) c W = F dl = F dl + F dl = c c C C c C q ~E + q 0 + c poque F es dl = W c + W co (=cte) c yo ( θ =cte) 0 poque F es d 1 qq0 qq Wc = F yo ( =cte) d d θ = = 2 4πε 0 4πε 0 F 12/38 Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules El tjo totl en todo el ecoido: qq = c + c = 4πε 0 W W W Identificndo con W = E E P, A P, B Podemos defini l enegí potencil como un función de punto: E p ()= 1 qq 0 4πε 0 Popiedd comptid po ms cgs Enegí potencil eléctic p dos cgs puntules

7 13/38 Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules L enegí potencil eléctic es positiv p dos cgs del mismo signo Y es negtiv p cgs de signo opuesto 14/38 Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules L E p es ceo en el infinito (p distnci infinit ente cgs). Peo ese nivel de efeenci es itio, siempe se puede ñdi un constnte, tl que E p = 0 en un punto elegido po convenienci. En genel: P distiuciones de cgs finits, l efeenci se tomá en el infinito. P distiuciones de cg infinits, l efeenci se elegiá en lgún punto conveni.

8 15/38 Intepetción de l Enegí potencil eléctic Qué epesentle p? E p () = 1 qq 0 4πε 0 q q 0 ~E Puesto que: Según l definición de W en función de E p E p () =E p () E p ( ) cmpo W =0 L E p () epesent el tjo que tiene que hce el cmpo de q p llev q 0 desde un distnci hst el infinito. 16/38 Intepetción de l Enegí potencil eléctic Análogo gvittoio ~g m E p,mx Análogo gvittoio ~g m F ext E K,mx ef. 0 Tjo elizdo po el cmpo desde A hst B: cmpo W = d d = E l = E l ( E) dl = F dl = W ext Fz exten = ef. 0 Tjo elizdo po el gente exteno cont el cmpo L fuez exten es igul y opuest l cmpo (condiciones estcionis p que no se celee l ptícul), y el ecoido es opuesto. Desde B hst A.

9 17/38 Intepetción de l Enegí potencil eléctic Qué epesentle p? E p () = 1 qq 0 4πε 0 ~E q q 0 E p () epesent el tjo que tiene que hce el cmpo p llev l cg q 0 desde hst el, peo tmién el que tendí que hce el gente exteno cont el cmpo p te q 0 desde el hst. 18/38 Enegí potencil eléctic de un sistem de cgs puntules Si el cmpo, en lug de po un sol cg q, estuvie genedo po un sistem de cgs {q 1,q 2,q 3,...} distncis { 1, 2, 3,...} de nuest cg test q 0

10 19/38 Enegí potencil eléctic de un sistem de cgs puntules L fuez totl soe q 0 es l sum vectoil de ls fuezs deids cd cg individul (teoem de supeposición) F = F i i El El tjo tjo totl totl que que se se eliz eliz soe soe q 0 es l sum q 0 es de l sum ls contiuciones de ls contiuciones individules individules L enegí potencil del sistem es igul l tjo: W = F dl = F dl = W i donde i qq 0 i Wi = 4πε i i 0 i E P q 0 q1 q2 q 3 q0qi = W = = 4πε 4πε i 0 i 20/38 Enegí potencil eléctic de un sistem de cgs puntules Ot expesión p l Ep del sistem: P te l pime cg desde el infinito, no hy que hce ningún tjo (ún no hy cmpo ni fuez que vence) Consideándol como tjo de ensmlje ente cgs P te l segund, hy que vence l fuez que pece ente ells: 12 q 1 q 1 q 2 W = 0 1 W 2 = q 1q 2 4πε 0 12

11 21/38 Enegí potencil eléctic de un sistem de cgs puntules P te l tece 12 q 1 q q 3 Y sí sucesivmente p i tyendo un un cgs desde el infinito hst un punto Pi del espcio qq 1 3 qq 2 3 W3 = W13+ W23= + 4 πε 4 πε /38 Enegí potencil eléctic de un sistem de cgs puntules P ensml el sistem completo: W = 0 tjo 1ª cg 1 W = 2 qq 1 2 4πε 0 12 tjo 2ª cg q 1 12 q 2 13 qq 1 3 qq 2 3 W3 = + 4πε 4πε qq qq q q Wn = πε 4πε 4πε 1 n 2 n n 1 n 0 1n 0 2n 0 n-1,n tjo 3ª cg + tjo n-sim cg q 3 3n q n E p () =W = 1 4πε 0 X i<j q i q j ij W = Wi El tjo de ensmlje totl es l sum de los tjos de ensmlje p i ñdiendo l sistem cgs sucesivs. i L sum se extiende todos los pes de cgs i<j p no inclui l intección de un cg consigo mism y p segu que cd p sólo se cuente un vez.

12 Potencil Eléctico 23/38 Definición: Es l enegí potencil po unidd de cg: V = E p V A V B = V AB = E p,a q 0 q 0 ( E p,b ) q 0 Potencil de un cg puntul: ~E q q 0 E p () = qq 0 1 4πε 0 V () = q 1 4πε 0 Potencil cedo cedo po po un un cg cg qq un un distnci.. No No depende de de q 00 (cg test): sólo sólo de de l l cg que que oigin el el cmpo. Potencil Eléctico Popieddes: Función escl de punto, continu y univlud 24/38 Uniddes: UNIDADES: V = E p q = [Julios] [Coulomio] Voltio = V (S.I.) Resultdos p Ep, extendidos ho l potencil: V V = o ien Z ~E d ~ l es es el el tjo elizdo po po el el cmpo p p desplz un un unidd de de cg desde hst.. Z V V = ~E d ~ l gente exteno es es el el tjo elizdo cont el el cmpo (po (po un un gente exteio) p p desplz un un unidd de de cg desde hst.. cmino inveso

13 Potencil Eléctico Potencil deido un cg puntul: V () = E p q 0 = 1 4πε 0 q q ~E 25/38 Potencil deido un un sistem de de cgs puntules: V () = E p q 0 = 1 4πε 0 X Potencil deido un distiución continu de de cgs: V () = 1 4πε 0 Z dq i q i i q 1 12 q 2 13 q 3 3n q n dq P Cálculo del Potencil Eléctico 26/38 Hy dos vís p clcul el potencil eléctico: q() Conocid l distiución de cg Integción diect V = 1 Z dq 4πε 0 V Como tjo del cmpo ~E() Conocido el cmpo V V ef =+Z ef ~E d ~ l Es necesio he elegido un potencil de efeenci en lgún lug conveniente.

14 Cálculo del cmpo pti del potencil 27/38 Igul que el potencil se puede detemin pti del cmpo eléctico, l inves, tmién se puede detemin el cmpo, conocido el potencil Cómo? Pimeo, deivemos l expesión del potencil en fom difeencil: V V = V V = Z Z Z ~E d ~ l = ~E d ~ l Igulndo Z dv Z dv = ~E d ~ l P P que que sen sen igules, sus sus integndos tienen que que se se igules dv = ~ E d ~ l 28/38 Cálculo del cmpo pti del potencil Aho, teniendo en cuent ls componentes: Cmpo eléctico: Vectoes unitios en ls ~E = E x ~ i + Ey ~ j + Ez ~ espcio k d ~ l =dx ~ i +dy ~ j +dz ~ k Vecto desplzmiento en un diección culquie tes dimensiones x,y,z del Componentes de ~ E en l se { ~ i, ~ j, ~ k} Otenemos: dv = ~ E d ~ l = E x dx + E y dy + E z dz

15 29/38 Cálculo del cmpo pti del potencil Esto nos pemite defini: E x = dv dx dy=dz=0 E y = dv dy E z = dv dz eje x dx=dz=0 eje y dx=dy=0 eje z Cminos lo lgo de ls línes coodends x z y 30/38 Cálculo del cmpo pti del potencil O se: E x = V x E y = V y E z = V z Deivd pcil especto x ~E = Deivd totl especto x mnteniendo ls ots viles constntes GRADIENTE de V µ ~ i V x +~ j V y + ~ k V z Opedo nl: ~ µ ~ ~ i x +~ j y + ~ k z E = V El El cmpo eléctico es es el el menos gdiente del del potencil.

16 31/38 Cálculo del cmpo pti del potencil Not soe el gdiente de un función escl ~ f = µ ~ i x +~ j y + ~ k f z gdiente de f Su Su diección es es l l diección en en l l que ff ument con myo pidez l l cmio de de posición E = V ~E punt en l diección en que V disminuye más ápidmente. 32/38 Cálculo del cmpo pti del potencil

17 33/38 Cálculo del cmpo Resumen: Foms de clcul el cmpo 1)A pti de l distiución de cg, po integción diect. 2)Po l ley de Guss, en lts condiciones de simetí 3)Clculndo pimeo el potencil, y tomndo su gdiente. Tem nteio Este tem Supeficies equipotenciles 34/38 Supeficies de igul potencil : lug geomético de los puntos que tienen el mismo potencil. V( x, y, z) = cte Equivlente gvittoio: Cicuitos de igul elevción (cuvs de E potenc gvittoi constnte) Montñ Vistos Vistos desde desde i: i:

18 Supeficies equipotenciles 35/38 Popieddes: Como en el cso gvittoio: Si un cg q 0 se tsld lo lgo de un supeficie equipotencil, su enegí potencil eléctic q 0 V no cmi. El tjo p tsldl de un punto oto soe l supeficie equipotencil es NULO. V = cte dv = 0 soe l equip. tjo p.u.c. soe l equip. Ningún punto puede tene dos potenciles difeentes. Ls supeficies equipotenciles nunc se cuzn ni se tocn. El potencil es un función univlud y continu. Supeficies equipotenciles 36/38 Ls supeficies equipotenciles son pependicules ls línes de cmpo: Como el potencil es constnte soe un supeficie equipotencil: dv soe l equip. = E d = 0 soe l equip. Como ~ E yd ~ l 6= 0 E d soe l equip. El cmpo es pependicul l supeficie equipotencil.

19 Supeficies equipotenciles 37/38 Línes de cmpo y supeficies equipotenciles p divess configuciones 38/38 Biliogfí Tiple & Mosc Físic p l cienci y tecnologí Ed. Reveté (vol. II) Sewy & Jewett, Físic, Ed. Thomson (vol. II) Hllidy, Resnick & Wlte, Físic, Ed. Addison- Wesley. Ses, Zemnsky, Young & Feedmn, Físic Univesiti, Ed. Peson Eduction (vol. II) Fotogfís y Figus, cotesí de Tiple & Mosc Físic p l cienci y tecnologí Ed. Reveté Ses, Zemnsky, Young & Feedmn, Físic Univesiti, Ed. Peson Eduction