Concurso Garcilaso 2009 Categoría científica

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1 Concurso Garcilaso 2009 Categoría científica El arte en las matemáticas Viktor Danko 3 er curso, Gymnázium Park mládeže 5, Košice

2 Introducción En este trabajo quiero hablar sobre la unión del arte y la matemática. La solución de eso es hablar sobre los recubrimientos del plano. Lo que más me fascina es ver el arte desde un punto de vista científico. M.C. Escher veía los mosaicos como un poema matemático. Escher sacó su inspiración de los mosaicos de la Alhambra y pintó muchas obras muy bonitas. Pues en este trabajo voy a hablar sobre los recubrimientos del plano, sobre Escher quien veía los mosaicos desde un punto de vista artístico y matemático. También quiero hablar sobre los mosaicos de la Alhambra, porque en ellos se puede demostrar el punto de vista matemático en el arte. No sería fácil comprender el arte de estos mosaicos sin un poco de explicación matemática. Por eso he incluido aquí un pequeño resumen de los movimientos en el plano. Al final de este trabajo quiero explicar la magia que hay en todos los diseños y trabajos de la Alhambra. 1. Teselaciones, frisos y mosaicos 1.1 Teselaciones Imaginemos a nuestra disposición un conjunto infinito de piezas de rompecabezas, pero todas iguales. Se dice que las piezas son teselantes cuando es posible acoplarlas entre sí sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo todo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de teselación. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Las teselaciones las empezaron a utilizar los sumerios. Estos mosaicos contenían regularidades geométricas. Durante años había mucha gente que estudiaba el proceso del recubrimiento del plano como Arquímedes, Johannes Kepler o el artista más interesado en este tema: Maurits Cornelis Escher. Hay cuatro tipos básicos de teselaciones: teselación regular, semi-regular, no regular e isometría. Las teselaciones regulares están formadas por polígonos regulares (sólo existen: el 1

3 triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono) y la unión de ángulos en un vértice es 360º. Existen sólo tres tipos de teselaciones regulares. Las teselaciones semi-regulares son aquellas que contienen dos o más polígonos regulares (diferentes entre sí) en su formación y el arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. Existen sólo ocho tipos de teselaciones semi-regulares. Las teselaciones no regulares son formadas por polígonos no regulares (cuadriláteros, triángulos, hexágonos y polígonos cóncavos). Existen seis tipos de teselaciones no regulares. 1.2 Frisos Hay muchas definiciones de friso. En la lengua matemática el friso es un cubrimiento en la región del espacio limitada por dos rectas paralelas. Los frisos son cubrimientos de regiones de longitud infinita pero de anchura finita. En la lengua artística y arquitectura el friso es la parte ancha de la sección central de un entablamiento. Por extensión, un friso es una larga 2

4 banda decorativa pintada, esculpida o incluso caligrafiada en ese lugar, por encima del nivel de los ojos. El material del que se fabrica el friso puede ser escayola, madera tallada o algún otro medio decorativo. Los movimientos en el plano que forman los frisos en las matemáticas y en la arquitectura son los mismos: translación, simetría y giro. Usando combinaciones de estos movimientos podemos formar siete tipos de frisos diferentes: friso de traslaciones, friso de las traslaciones y la simetría horizontal, friso de las traslaciones y la simetría vertical, friso de las traslaciones y del deslizamiento, friso de las traslaciones y del giro de 180º, friso de las traslaciones, el giro de 180º y las simetrías horizontales, y friso de las traslaciones, la simetría vertical y el deslizamiento. Friso 1.3 Mosaicos El mosaico es una técnica artística que consiste en encajar sobre una superficie pequeñas piezas de materiales diversos cuyo conjunto forma un dibujo. En matemáticas un mosaico es un recubrimiento de todo el plano mediante figuras planas que no dejan huecos entre ellas. Dentro de un mosaico se realizan diversos movimientos. Los movimientos, iguales que en frisos y teselaciones, son: giros, traslaciones y simetrías. Para formar un mosaico en realidad tenemos que colocar polígonos iguales o distintos, uno al lado del otro, de manera que no quedan huecos. El matemático Fedorov en 1891 demostró que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones geométricas que recubren el plano. Los 17 tipos de mosaico se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros y los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden de los giros. 3

5 ejemplo de un mosaico 1.4 Tipos de movimientos en el plano Los movimientos en el plano se usan para generar los mosaicos, las teselaciones o los frisos y por eso quiero explicarlos un poco. Existen cuatro tipos de movimientos en el plano, la traslación, el giro o rotación, la simetría axial y la simetría con deslizamiento. La traslación es un movimiento en el que los segmentos se unen en un punto cualquiera y son transformados siempre en la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado para asignarle un sentido, se denomina vector de traslación. El giro de centro P y ángulo α es un movimiento en el que los segmentos que unen P con un punto cualquiera y con su transformado son de la misma longitud y forman un ángulo igual a α. Las traslaciones y giros se conocen como movimientos directos por conservar la orientación de la figuras. La simetría axial de eje la recta r es un movimiento en el que el eje r es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. 4

6 Diremos que un punto A y su transformado A son simétricos respecto de r. La simetría con deslizamiento es un movimiento que se compone de una simetría axial y de una traslación de vector paralelo al eje de simetría, es decir para transformar un punto determinamos su simétrico respecto de un eje y a continuación trasladamos el simétrico en dirección paralela al eje. Las simetrías axiales y las simetrías con deslizamiento se conocen como movimientos inversos por no conservar la orientación de la figuras. 2. Maurits Cornelius Escher Maurits Cornelis Escher fue un personaje clave en el tema de teselaciones, quien, por sugerencia de un amigo, aprendió las teselaciones hiperbólicas (una teselación hiperbólica es una forma de recubrir perfectamente o dividir el espacio hiperbólico a través de elementos geométricos.), lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Mauritis Cornelius Escher nació en Leeuwarden, Holanda, en el año Estudio en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem. Durante el año 1924 se trasladó a Roma donde permaneció hasta Más tarde viajó por Suiza y Bélgica hasta que en el año 1941 se instaló definitivamente en Baarn, Holanda, donde moriría en el año Quizá, su exposición más importante se organizó en 1954 en la Whyte Gallery de Washington. Escher hizo sobre dibujos y borradores. De muchos existen decenas de reproducciones, cientos e incluso miles. Al final de su carrera destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran más reproducciones de originales. Escher con sus trabajos no quería dar mensajes, sino que básicamente pintaba lo que le gustaba. La base de sus trabajos consta de juegos visuales y guiños al espectador. Él mismo reconocería que no le interesaba mucho la realidad, ni la humanidad en general, las personas o 5

7 la psicología, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza. Las principales características de sus obras son la dualidad y la búsqueda del equilibrio y de la armonía del conjunto (también la principal característica de los mosaicos de la Alhambra), la utilización del blanco y el negro, la simetría y el infinito frente a lo limitado. Las obras más conocidas de Escher son probablemente las figuras imposibles, seguidas de los ciclos, metamorfosis y, directa o indirectamente, sus diversos trabajos sobre la estructura de la superficie y el recubrimiento del plano. La mejor explicación de los trabajos de Escher es coger un ejemplo de ellos y explicar con el dibujo (cuadrado) inicial cómo lo hizo y cómo funcionan las teselaciones y movimientos en él. En este dibujo tenemos que encontrar el cuadrado inicial. Cuadrado inicial es una figura que se repite infinitamente, cubre toda la superficie del dibujo final. Cómo se obtiene el cuadrado inicial? La cantidad de superficie sacada en este lado se añade al lado superior. Sacamos este trozo de superficie. Hacemos una simetría axial de este trozo. Lo que nos queda añadimos al lado del cuadrado. Así obtenemos la figura teselante. Si unimos más figuras teselantes obtenemos el dibujo final. 6

8 Lo más difícil y lo más importante es encontrar una figura teselante magnífica. Escher lo sabía y por esto es famoso en esta parte del arte y la matemática. 3. Los mosaicos de la Alhambra Si buscamos en un diccionario, encontraremos que los mosaicos son dibujos o pinturas creados al introducir pequeñas piezas de vidrio, piedra o terracota en una base de cemento u otro material de fijación y que se han usado desde tiempos inmemoriales en la decoración de los suelos y paredes, tanto en construcción civil como administrativa o religiosa. Durante el imperio romano su uso estaba muy extendido. Estos mosaicos generalmente representaban escenas de la vida cotidiana con un colorido sorprendente y un nivel artístico muy alto. Sin embargo no es este el tipo de mosaicos del que quiero hablar. Los que están en la Alhambra son un poco diferentes, están formados por piezas más grandes, con formas más regulares y no intentan reproducir una escena, sino repetir un patrón geométrico a lo largo y ancho de una pared. Todos los mosaicos de Alhambra fueron construidos por los árabes. Los motivos son del carácter fundamentalmente religioso. El Corán prohíbe representar (en dibujos) a Alá y también el número 1, la singularidad, que representa a la Divinidad. Si analizamos cualquiera de los mosaicos de la Alhambra no podemos ver ningún punto que es singular y más importante que los demás. Lo más importante que podemos ver en estos mosaicos es la armonía. El arte de llenar el plano por repetición de figuras alcanzó su máxima expresión en la España musulmana, durante el siglo XIII, bajo el reinado de la Dinastía Nazarí. La Dinastía Nazarí fue la última dinastía musulmana que dominó el Reino de Granada. Durante el reinado de esta dinastía se edificó el palacio de la Alhambra considerado el máximo exponente del arte nazarí y una de las joyas del arte musulmán de todos los tiempos. En la Alhambra de Granada se encuentran los mejores mosaicos de esta época. Las cinco 7

9 baldosas que más se repiten en los mosaicos de La Alhambra se llaman el hueso, el pez volador, el avión, la pajarita y el sello del Salomón. Antes he dicho que existen 17 tipos de mosaicos. Lo que más me fascina es que en la Alhambra están representados todos los 17 tipos de mosaicos y la Alhambra fue construida en el siglo XIII, mucho antes que Fedorov demostrara su teorema y los árabes ya conocían estos 17 tipos de mosaicos. Todos los mosaicos de Alhambra están formados por polígonos regulares con respeto al Islam. El hueso se obtiene durante una deformación del cuadrado. Las partes que se quitan de los dos lados del cuadrado se pegan en los otros dos lados del cuadrado. La pajarita nazarí se obtiene durante el mismo proceso de deformación de un triángulo equilátero. El pétalo se obtiene de la deformación de un rombo. 8

10 El pez volador se obtiene de la deformación de un cuadrado. El avión se obtiene de la deformación de un cuadrado. El sello de Salomón o lazo hispano-musulmán se obtiene de otra técnica bastante frecuente y más elaborada que es el solapamiento (unión de cuerpos) de cuadrados que da origen a este tipo de mosaico. A primera vista tienen estas figuras una estructura geométrica tremendamente compleja. De hecho predomina la simetría de orden 4, 8 ó 16. En algunos casos podemos encontrar la simetría de orden 3,6 y 12. Estos mosaicos tienen una expresión de arte matemático infinito e inmortal, que durante años han fascinado a la gente desde un punto de vista matemático y artístico, también. Toda la 9

11 magia de estos mosaicos está encerrada en su armonía, su belleza y en la inteligencia de la gente quien las proyectó. Al final de este trabajo quiero poner un intento mío de hacer un mosaico (con ayuda de mi ordenador). 10

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