Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación

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1 Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación de Septiempbre, 00 Cuestiones 1h C1. El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y Expλ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico Xt) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos. a) Determina E[Xt)], V ar[xt)], E[Xt) ]. Xt) Y t, Y Expλ) E[Xt)] E[Y ] t 1 λ t V ar[xt)] V ar[y ] 1 λ E[Xt) ] E[Y + t ty ] E[Y ] + t t/λ /λ + t t/λ b) Indica si cada una de las funciones del aparatado anterior depende del tiempo e interpreta el resultado. Todas dependen del tiempo excepto la varianza. Al desplazar la variable aleatoria Y en t unidades se ven afectados los parámetros de localización, pero no los de dispersión. C. Tres estudiantes A, B y C comparten un piso con un telefono fijo. De las llamadas que llegan, / son para A, / para B y 1/ para C. Los tres pasan parte de sus tiempos fuera de la casa. Se estima que A esta fuera el 0 % de su tiempo, B el % y C el %. Calcular la probabilidad de que: 1) No esté ninguno para responder a una llamada. P rno esté ninguno para responder a una llamada) P rno esté A y no esté B y no esté C) ) Esté la persona a la que se llama. P resté la persona a la que se llama) P rno esté A)P rno esté B)P rno esté C) P rse llama A y A está, o se llama B y B está, o se llama C y C está) 0,,0, 0,031 por independencia.) P rse llama A y A está) + P rse llama B y B está) + P rse llama C y C está) P rllamar a A)P restar A) + P r llamar a B.)P testar B) + P rllamar a C)P restar C) 1 0,) + 1 0,) ,) 0,6 3) Haya tres llamadas seguidas para una persona. P rllama a A 3 veces o llamar a B 3 veces o llamar a C 3 veces) ) 3 ) 3 ) ,136 1

2 ) Haya tres llamadas seguidas para tres personas diferentes. El número de posibilidades es el número de permutaciones posibles de A, B y C : 3!. La probabilidad de cada permutación es de 1 ) ) ) C3. El porcentaje de batería recargada por un cargador X) sigue aproximadamente una distribución normal, de la cual se sabe que la probabilidad de recargar más del 9 % es 0, y la probabilidad de recargar menos del 90 % es 0,01. 1) Calcular los parámetros de la distribución de la variable X. y P X < 0,9) 0,01 Por tanto, X N 0,9, 0,03). P X > 0,9) 0, µ 0,9 0,9 0,9 σ z 0,98,17 σ 0,03 ) Si una batería se carga menos del 9 %, se enciende la luz roja. Tras cargar 00 baterias, cuál es el número de veces que se espera que se encienda la luz roja? Cuál es la probabilidad de que en más de la cuarta parte de las cargas se encienda la luz? 3) Definimos Y número de veces que se enciende la luz roja. Tenemos que Y Binomial 00, 0,) El número de veces que se espera que se encienda la luz roja es 0 ya que E Y ) n p 00 0, 0. Nos piden también P Y > 00 1 ). Teniendo en cuenta que Y puede aproximarse por la siguiente normal N µ np 0, σ np 1 p) ) 1 entonces ) 1 0 P Y > 1) 1 φ 1 φ 11,18) 1 1 Es decir, la probabilidad de que en más de la cuarta parte de las recargas se encienda la luz roja es 1. ) Se utiliza otro cargador para recargar un tipo de baterías diferente del anterior y se mide de nuevo el porcentaje de recarga Y ). Se sabe que éste sigue una distribución normal de media 9 % y desviación típica 3 %. Qué distribución sigue X+Y? Tenemos Y N 0,9, 0,03). Por las propiedades de la normal X + Y N 0,9, 0,0189) ya que ) X + Y var 1 var X) + var Y )) 1 0,03 + 0,03) 0,00037 C. Un programa se divide en tres bloques que se compilan simultáneamente e independientemente por tres ordenadores en paralelo. El tiempo en minutos requerido por cada ordenador es una variable aleatoria con función de distribución F x) 1 e x para x > 0). El programa está completo cuando los tres bloques están compilados.

3 1) Calcular la función de distribución del tiempo necesario para compilar el programa completo. Cuál es la probabilidad de que este tiempo esté comprendido entre 6 y 7 minutos?. T Tiempo necesario para compilar el programa T 1 Tiempo necesario para compilar el bloque 1 T Tiempo necesario para compilar el bloque T 3 Tiempo necesario para compilar el bloque 3 F t) P rt t) P rt 1 t)p rt t)p rt 3 t) 1 e t ) 3 t > 0 P r6 T 7) F 7) F 6) 1 e 3 ) 3 1 e 30 ) 3 0 ) Sabemos que un ordenador lleva compilando 1 segundos, cuál es la probabilidad de se tarde en compilar el programa menos de 30 segundos? P tt < 0, T > 0,) P r0, < T < 0,) P rt > 0,) F 0,) F 0,) 1 F 0,) 1 e, ) 3 1 e 1, ) e 1, ) 3 0,1 0,636 0,6 3

4 Problemas 1h 30 P1. La producción de artículos defectuosos en cierta línea de producción contínua no debe exceder nunca el 3 %, ya que esto la haría inviable e imposibilitaría la continuidad del proceso. Por ello se quiere implemetar un procedimiento estadístico que permita decidir acerca de la viabilidad de este proceso productivo. El procedimiento, en general, se basará en la toma de n artículos al azar, cuantificar el número de defectuosos y someter esta cantidad a determinado criterio, con un nivel de significación lo más cercano posible a ) En un día determinado se opta por seleccionar aleatoriamente 00 unidades de este artículo, encontrándose entre ellas 11 defectuosas. Diseña el procedimiento para este caso y, a la luz de los resultados, qué decisión tomarías? H 0 : p 0, 03 El proceso cumple con lo requerido H 1 : p > 0, 03 El proceso no se costea El estadístico de contraste es: Z 0 ˆp p 0 p0 q 0 /n 0, 0 0, 03, 08 0, 03)0, 97)/00 La región de rechazo es: Z 0 > Zα 1, 67 como, 08 > 1, 67 rechazo H 0 ) Considerando la información obtenida en la muestra del apartado anterior, realiza una estimación para la proporción de defectuosos mediante un intervalo de confianza. El intervalo de confianza para la proporción es: ˆp±Z α/ ˆpˆq/n 0, 0±Z0,0 0, 0)0, 9) 00 0, 0±1, 96 0, 016 [0, 0, 0, 086] 3) Si se desea aumentar la precisión de la estimación realizada en el intervalo de confianza del apartado anterir, limitando la amplitud del mismo a 0.0, qué tamaño de muestra sería necesario tomar? A L L A/ 0, 0/ 0, 0 Entonces busco n tal que, Zα/ ˆpˆq n L ) 1, 96 ) 0, 0)0, 9) 319, 30 0, 0 P. Un transmisor emite impulsos de dos tipos. La amplitud de los impulsos de tipo I tiene como función de densidad: fx) xe x / x > 0; y la amplitud de los impulsos de tipo II es una N,). Un receptor decide el tipo de impulso transmitido comparando la amplitud de cada impulso recibido con un umbral U. Si la amplitud del impulso es mayor que U, se decide que el impulso transmitido fue de tipo II, en caso contrario se decide que fue de tipo I.

5 1) Determinar el umbral U de forma que la probabilidad de equivocación al transmitir un impulso de tipo II sea de 0.1. Amplitud transmisor tipo I X Amplitud transmisor tipo II Y Equivocarse haber transmitido un impulso de tipo II, pero haber recibido una amplitud < U P ry < U) P r Z < U ) 0,1 P r Z < U ) 0,9 U 1,9 U, ) Para el umbral obtenido en el apartado anterior, obtén la probabilidad de equivocación al transmitir un impulso de tipo I. Equivocarse haber transmitido un impulso de tipo I, pero haber recibido una amplitud > U P rx >,),,) / xe x / dx haciendo el cambio u x / du xdx e u du e u],) / 0,03 3) Si se transmiten N impulsos sucesivos de tipo II, cuál es la probabilidad de que al menos M de ellos superen el umbral U?. Obtén dicha probabilidad para N, M y el valor del umbral U.. Sea W número de de impulsos de tipo II que supera en umbral U de entre los N enviados W BN, p), donde p P ry > U) Concretando para N, M y U,: p P ry >,) P r Z >, ) P rz > 1,9) P rz < 1,9) 0,9 ) ) P rw ) P rw ) + P rw ) 0,9 0,1 + 0,9 0, ,909 0,918