LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS 2. SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA MAURICIO CONTRERAS

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1 LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS 2. SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA MAURICIO CONTRERAS

2 GEOMETRÍA CON CABRI Introducción El estudio de la geometría con Cabri permite introducir los métodos inductivos y deductivos habituales en matemáticas, así como desarrollar la percepción e intuición visual al desarrollar actividades donde hay que imaginar, dibujar, construir, manipular, conjeturar y comprobar. Cabri Geomètre II permite construir y explorar figuras geométricas planas de forma interactiva, de manera que se pueden manipular las construcciones realizadas para formular conjeturas y comprobarlas. Algunas características del programa: Permite la construcción intuitiva de objetos geométricos. Realiza movimientos en el plano (traslaciones, giros, simetrías). Facilita la construcción de cónicas usando cinco puntos. Permite medir y calcular longitudes, áreas y ángulos. Se pueden usar coordenadas polares. Permite obtener ecuaciones de objetos geométricos (rectas, circunferencias, elipses, ) Permite diseñar y construir macros para evitar tareas repetitivas. Permite comprobar propiedades geométricas (paralalelismo, alineación, pertenencia, ) Permite ocultar objetos en la pantalla. Se pueden usar paletas de color diferentes. Halla lugares geométricos Permite hacer simulaciones mediante animaciones de objetos. En las siguientes actividades estudiaremos el manejo básico del programa y sus aplicaciones para la resolución de triángulos, la construcción de curvas, lugares geométricos y cónicas, el estudio de propiedades y transformaciones geométricas. 1. Introducción a Cabri. Menús, comandos y herramientas. Haz clic en el icono de Cabri situado sobre el escritorio o selecciona el comando Inicio / Programas / Cabri Géomètre II / Cabri Géomètre II. De esta forma se inicia el programa. Observa que la pantalla de Cabri consta de una barra de menús, una barra de herramientas y el área de trabajo. En la barra de menús encontramos cinco menús: Archivo, Edición, Opciones, Ventana, Ayuda. Con ayuda del ratón, abre cada uno de ellos y observa las opciones y comandos que contiene. La barra de herramientas consta de 11 botones: Puntero, Puntos, Rectas, Curvas, Construir, Transformar, Macros, Comprobar, Medir, Ver, Dibujo. Haz clic en cada uno de los botones y observa las opciones y comandos que contiene. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 1

3 En las siguientes tablas tienes una descripción de cada uno de los elementos de la barra de herramientas: PUNTERO Puntero Giro Semejanza Giro y semejanza PUNTOS Punto Punto sobre objeto Punto(s) de intersección Selecciona, mueve y manipula objetos. Gira un objeto respecto de un punto seleccionado o el centro geométrico del objeto. Amplia o disminuye el objeto respecto de un punto seleccionado o el centro del objeto. Gira y amplia o reduce simultáneamente un objeto respecto de un punto seleccionado o el centro del objeto. Construye un punto definido en un espacio libre, en un objeto o en la intersección de dos objetos. Construye un punto en un objeto. Construye un punto definido en cada intersección de dos objetos seleccionados. RECTAS Recta Segmento Semirecta Vector Triángulo Polígono Construye una recta a través de un punto con una pendiente definida haciendo clic por segunda vez en un espacio libre o en un punto Construye un segmento, definido por dos puntos, que pueden crearse en un espacio libre o en un objeto Construye una semirecta, definida por un punto y una dirección Construye un vector con una longitud y dirección definidas por dos puntos Construye un triángulo, definido por los tres vértices, que pueden crearse en un espacio libre o en un objeto definido Construye un polígono de n lados, de forma que el último punto ha de coincidir con el primero. Cada punto es un vértice. Polígono regular Construye un polígono regular de n lados, haciendo clic para el centro y el radio, desplazando en sentido de las agujas del reloj (convexo) o en sentido contrario (estrellado) para definir n (n 30). CEFIRE DE GODELLA Pàgina 2

4 CURVAS Circunferencia Construye una circunferencia definida por un centro y un radio. Arco Construye un arco definido por un punto inicial, un punto de radio y un punto final. Cónica Construye una cónica (elipse, parábola, hipérbola) definida por cinco puntos. CONSTRUIR Recta perpendicular Recta paralela Punto medio Mediatriz Bisectriz Suma de vectores Compás Transferencia de medidas Lugar geométrico Redefinir objeto Construye una recta perpendicular a una recta, segmento, semirecta, vector, eje o lado de un polígono seleccionado, pasando por un punto creado o seleccionado. Construye una recta paralela a una recta, segmento, semirecta, vector, eje o lado de un polígono seleccionado, pasando por un punto creado o seleccionado. Construye un punto medio de dos puntos, un segmento o un lado de un polígono. Construye una recta perpendicular por el punto medio de dos puntos, un segmento o un lado de un polígono. Construye una recta que divide en dos partes iguales un ángulo, identificado por tres puntos, de los cuales el segundo es el vértice. Construye la suma de dos vectores especificando los vectores y el punto final del nuevo vector. Construye una circunferencia desde un centro con un radio definido por un segmento o la distancia entre dos puntos seleccionados. Crea puntos en objetos específicos basados en valores numéricos proporcionales o equivalentes. Construye un lugar geométrico de un solo punto u objeto seleccionado definido mediante el movimiento a lo largo de una trayectoria. Redefine en una nueva posición un punto definido previamente. TRANSFORMAR Simetría axial Simetría Traslación Rotación Homotecia Inversión Crea una imagen de un objeto reflejado respecto de una recta, segmento, semirecta, vector, eje o lado de un polígono. Crea la imagen de un objeto que gira 180º respecto de un punto Crea una imagen de un objeto traladado por un vector especificado. Crea una imagen de un objeto que gira alrededor de un punto mediante un valor angular especificado. Crea la imagen de un objeto ampliado desde un punto por un factor especificado. Crea la imagen de un punto reflejándolo de manera inversa respecto al radio de una circunferencia seleccionada. MACRO Objeto inicial Especifica el objeto u objetos iniciales necesarios para definir la macro. Objeto final Especifica el objeto u objetos finales resultantes del objeto u objetos iniciales Definir macro Abre un cuadro de diálogo para dar nombre y guardar la macro definida por los objetos iniciales y finales. La macro se añade al cuadro de herramientas macro. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 3

5 COMPROBAR Alineado Paralelo Perpendicular Equidistante Pertenece Indica si tres puntos seleccionados están o no en la misma recta. Indica si dos rectas, segmentos, semirectas, vectores, ejes o lados de un polígono seleccionados son o no paralelos. Indica si dos rectas, segmentos, semirectas, vectores, ejes o lados de un polígono seleccionados son o no perpendiculares. Indica si tres puntos seleccionados son o no equidistantes. Indica si los puntos seleccionados están o no en un objeto seleccionado. MEDIR Distancia y longitud Área Pendiente Ángulo Ecuación y coordenadas Calcular Tabular Muestra la distancia entre dos puntos seleccionados o la longitud de un segmento, perímetro, longitud de circunferencia o radio. Muestra el área de un polígono, círculo o elipse seleccionado. Muestra la pendiente de una recta, segmento, semirecta o vector seleccionado. Muestra la medida de un ángulo marcado o ángulo definido por tres puntos (el segundo punto es el vértice). Muestra las coordenadas de un punto o la ecuación de una recta, circunferencia o cónica. Abre la calculadora para efectuar cálculos con las medidas, valores numéricos, resultados de cálculos o entradas numéricas del teclado. Recopila en una tabla de datos las medidas, cálculos, valores numéricos o coordenadas seleccionadas de un punto. VER Etiquetas Comentarios Edición numérica Marca de ángulo Fijar/Liberar Traza activada / desactivada Animación Animación múltiple Adjunta a un punto, recta o circunferencia una etiqueta creada por el usuario. Esta etiqueta puede tener texto y números. Introduce un comentario en el dibujo. La ventana de comentarios está definida por la posición y tamaño. Edita cualquier medida, coordenada o ecuación; el valor, precisión, unidades, fuente, tamaño y estilo pueden modificarse. Sitúa una marca de ángulo en un ángulo definido por tres puntos, el segundo de los cuales es el vértice. Fija la posición de un punto. Desbloquea un punto fijo. Traza un objeto seleccionado a lo largo de una trayectoria. Abandona el modo de traza. Automáticamente traslada, gira, amplia o reduce un objeto en la dirección especificada por el soporte de animación. Se ha de hacer clic una vez para interrumpir la animación. Anima varios objetos a lo largo de varias trayectorias. DIBUJO Ocultar / Mostrar Color Rellenar Grosor Modificar apariencia Ocultar / Mostrar ejes Nuevos ejes Definir cuadrícula Oculta o muestra objetos (incluidas etiquetas y medidas). Abre una paleta de colores para cambiar el color de un objeto. Rellena un triángulo, polígono o circunferencia con un color seleccionado. Cambia el grosor de las líneas de un objeto seleccionado. Abre una paleta de atributos para cambiar el aspecto de los objetos. Oculta o muestra el sistema de coordenadas por defecto. Crea un sistema de coordenadas definiendo el punto para el origen, un punto para el eje X y un punto para el eje Y. Muestra una cuadrícula para los ejes seleccionados. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 4

6 ALGUNOS EJEMPLOS Ejemplo 1. Dibuja un polígono regular convexo de 14 lados y un polígono regular estrellado de 10 / 3 lados. Haz clic en el botón Rectas y selecciona el comando Polígono regular. Sitúa el cursor en el área de trabajo, haz clic para señalar el centro y desplaza el ratón. Haz clic para señalar el radio. Desplaza el ratón en sentido contrario al de las agujas del reloj hasta que el indicador central muestre un número de lados igual a 14. Haz clic y se mostrará un polígono regular convexo de 14 lados. Haz clic en el botón Rectas y selecciona el comando Polígono regular. Sitúa el cursor en el área de trabajo, haz clic para señalar el centro y desplaza el ratón. Haz clic para señalar el radio. Desplaza el ratón en el sentido de las agujas del reloj hasta que el indicador central muestre un número de 10 / 3. Haz clic y se mostrará el polígono estrellado. Ejemplo 2. Construye una macro que permita hallar el baricentro de un triángulo. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Triángulo dibuja un triángulo de vértices A,B y C. Haz clic en la herramienta Etiqueta, haz clic en cada uno de los vértices e introduce las etiquetas correspondientes, A, B y C. Haz clic en la herramienta Distancia y longitud y mide cada uno de los lados del triángulo. Para ello sitúa el puntero en un vértice de un lado, haz clic, señala el otro vértice del lado y haz clic. Se mostrará la longitud del lado. Repite el procedimiento con los otros dos lados. Dibuja el punto medio de cada lado. Para ello haz clic en la herramienta Punto medio, sitúa el ratón sobre cada lado y haz clic. Se señalará sobre el dibujo el punto medio de cada lado. Dibuja la mediana correspondiente al vértice C. Para ello haz clic en la herramienta Segmento, sitúa el puntero sobre el vértice C, haz clic y arrastra el puntero hasta el punto medio del lado opuesto. Haz clic y se dibujará la mediana. Dibuja las medianas correspondientes a los otros vértices A y B. Comprueba que las tres medianas se cortan en un punto, llamado baricentro. Selecciona la herramienta Punto y señala al baricentro. Cuando aparezca el texto "Punto en esta intersección", haz clic para marcar el baricentro. Elige la herramienta Etiqueta, sitúa el ratón sobre el baricentro y etiquétalo con la letra O. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 5

7 Utilizando la herramienta Distancia y longitud, calcula la distancia del vértice C al baricentro O. Calcula también la distancia del baricentro O al punto medio del lado opuesto al vértice anterior C. Comprueba la propiedad del baricentro: La distancia del vértice al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto. Es decir, el baricentro divide a la mediana en dos partes que están en la proporción 2:1. Construye una macro que permita dibujar el baricentro de cualquier triángulo. Para ello haz clic en la herramienta Objetos iniciales y haz clic sobre un lado del triángulo ABC. Selecciona la herramienta Objetos finales y haz clic sobre el baricentro O. Haz clic en el botón Definir macro y en el siguiente cuadro de diálogo guarda la macro con el nombre baric.mac. Veamos cómo funciona la macro anterior. Con la herramienta Triángulo, dibuja un triángulo cualquiera. A continuación haz clic en la macro baric y haz clic sobre el triángulo. Repite el procedimiento con otros triángulos y observa el resultado. Ejemplo 3. Crea una macro que permita dibujar el circuncentro y la circunferencia circunscrita a un triángulo. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Triángulo dibuja un triángulo de vértices A,B y C. Haz clic en la herramienta Etiqueta, haz clic en cada uno de los vértices e introduce las etiquetas correspondientes, A, B y C. Selecciona la herramienta Mediatriz, sitúa el ratón sobre el lado AB y haz clic. De esta forma se dibuja la mediatriz del lado AB. Dibuja las mediatrices de los otros dos lados. Comprueba que las tres mediatrices se cortan en un punto, llamado circuncentro. Selecciona la herramienta Punto y señala al circuncentro. Cuando aparezca el texto "Punto en esta intersección", haz clic para marcar el circuncentro. Elige la herramienta Etiqueta, sitúa el ratón sobre el baricentro y etiquétalo con la letra O. Dibuja una circunferencia de centro el circuncentro que pase por los tres vértices del triángulo. Para ello, selecciona la herramienta Circunferencia, haz clic sobre el circuncentro O para señalar el centro y sobre un vértice para indicar el radio. Observa que se dibuja la circunferencia circunscrita. Con la herramienta Pertenece comprueba que los otros vértices están sobre la circunferencia. Haz clic en la herramienta Distancia y longitud y mide cada uno de los lados del triángulo. Para ello sitúa el puntero en un vértice de un lado, haz clic, señala el otro vértice del lado y haz clic. Se mostrará la longitud del lado. Repite el procedimiento con los otros dos lados. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 6

8 Utiliza la herramienta Distancia y longitud para medir el radio de la circunferencia circunscrita. Con la herramienta Ángulo, dentro del bloque Medidas, mide los ángulos del triángulo. Para medir el ángulo con vértice en A, haz clic con el ratón sobre un punto situado en uno de los lados del ángulo, haz clic sobre el vértice A y sobre un tercer punto situado en el otro lado del ángulo. En pantalla aparecerá la medida del ángulo en grados sexagesimales. Usa la misma técnica para medir los ángulos B y C. Haz clic en la herramienta Calcular. Comprueba, con ayuda de la calculadora, que el diámetro de la circunferencia circunscrita cumple la propiedad: a b D = = = sin A sin B Para copiar los valores numéricos en la pantalla de la calculadora, basta hacer clic sobre dichos valores en el área de trabajo. Para hacer operaciones hay que hacer clic sobre los botones correspondientes de la calculadora. Para copiar el resultado en el área de trabajo hay que seleccionarlo de la pantalla y arrastrarlo hasta el área de trabajo. Arrastra el triángulo por la pantalla y observa como la circunferencia siempre está circunscrita al triángulo. Crea una macro que permita dibujar el circuncentro y la circunferencia circunscrita a un triángulo. Para ello, haz clic en Objetos iniciales y selecciona el triángulo. Haz clic en Objetos finales y selecciona el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Haz clic en Definir macro y en el siguiente cuadro de diálogo, guarda la macro con el nombre circunc.mac. Comprueba que la macro funciona. Dibuja varios triángulos y aplícales la macro circunc. Observa los resultados. c sin C Ejemplo 4. Comprueba que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Segmento dibuja un segmento de vértices A y B. Utiliza la herramienta Etiqueta para nombrar dichos vértices. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 7

9 Traza una perpendicular al segmento AB por el punto A. Selecciona la herramienta Recta perpendicular, haz clic con el ratón sobre el vértice A y sobre el segmento. Dibuja un punto C sobre la recta anterior. Utiliza la herramienta Etiqueta para nombrar dicho vértice. Con la herramienta Segmento, dibuja el segmento AC. Haz clic en el botón Ocultar / Mostrar y oculta la recta perpendicular al segmento inicial. Con la herramienta Triángulo, dibuja el triángulo ABC. Utiliza la herramienta Medida y longitud, para medir los lados del triángulo. Utilizando la herramienta Edición numérica, escribe en el área de trabajo 90 y 90. Selecciona la herramienta Rotación, haz clic sobre el segmento AB y sobre el vértice A y haz clic sobre el valor numérico 90. De esta forma se dibuja un segmento de la misma longitud, perpendicular al segmento AB. Utiliza esta técnica para dibujar un cuadrado en cada lado del triángulo rectángulo ABC. Con la herramienta Ocultar / Mostrar, oculta los segmentos de cada cuadrado. Elige la herramienta Polígono y dibuja un cuadrado sobre los extremos de los segmentos anteriores. Elige el comando Área, en el bloque Medidas, para medir el área de cada cuadrado. Comprueba que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ACTIVIDADES INCENTRO Define una macro que permita dibujar el incentro y la circunferencia inscrita de un triángulo. ORTOCENTRO Construye una macro que permita obtener el ortocentro de cualquier triángulo. PITÁGORAS Comprueba si se verifica el teorema de Pitágoras cuando en lugar de cuadrados se construyen triángulos isósceles sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 8

10 2. Resolución de triángulos con Cabri. Ejemplo 1. Resuelve el triángulo ABC conocidos los lados a = 5 cm, b = 4 cm, c = 5 cm Haz clic en Archivo / Nuevo. Con el botón Edición numérica, define el valor de los lados a, b y c. Escribe en el área de trabajo 5, 4 y 5. Dibuja una semirecta r de origen el punto C. Con la herramienta Semirecta, dibuja la construcción y con la herramienta Etiqueta, pon nombre al punto C. Usa el comando Comentarios para poner nombre a la semirecta r. Transfiere la medida a=5 a la semirecta r. Para ello selecciona Transferencia de medidas, haz clic en el número 5, en el punto C y en la semirecta r. Observa como se dibuja un punto sobre la semirecta situado a 5 cm del punto C. Con la herramienta Etiqueta, llama B al punto obtenido sobre la semirecta r. Transfiere la medida b=4 al punto C. Selecciona Transferencia de medidas, haz clic en el número 4, en el punto C y haz clic en una zona libre del área de trabajo. Con la herramienta Etiqueta, llama X al punto obtenido sobre el área de trabajo. Selecciona el comando Circunferencia y dibuja una circunferencia de centro C que pase por el punto X. Transfiere la medida c=5 al punto B. Selecciona Transferencia de medidas, haz clic en el número 5 del área de trabajo, en el punto B y haz clic sobre una zona libre del área de trabajo. Con la herramienta Etiqueta, llama Y al punto obtenido sobre el área de trabajo. Usa el comando Circunferencia para dibujar una circunferencia de centro B que pase por el punto Y. Con la herramienta Punto haz clic sobre los puntos de intersección de las dos circunferencias anteriores. Con el comando Etiqueta, llama A y A' a los puntos de intersección. Selecciona el comando Triángulo y dibuja el triángulo ABC. Haz clic en el botón Ocultar / Mostrar y oculta todos los elementos, salvo el triángulo ABC. Selecciona el comando Ángulo, en el bloque de Medidas, y mide los tres ángulos del triángulo ABC. Para ello, haz clic con el ratón sobre un punto situado en uno de los lados del ángulo, haz clic sobre el vértice y sobre un tercer punto situado en el otro lado del ángulo. En pantalla aparecerá la medida del ángulo en grados sexagesimales. Haz clic en el botón Calcular. Con ayuda de la calculadora, comprueba que se verifica el teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A CEFIRE DE GODELLA Pàgina 9

11 Ejemplo 2. Resuelve el triángulo ABC conocidos los lados a = 2 cm, c = 4 cm y el ángulo A = 15º opuesto a uno de ellos. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con el botón Edición numérica, define el valor de los lados a y c. Escribe en el área de trabajo 2 y 4. Usa el botón Edición numérica para definir el ángulo A = BAC. Escribe en el área de trabajo 15. Dibuja una semirecta r de origen el punto A. Con la herramienta Semirecta, dibuja la construcción y con la herramienta Etiqueta, pon nombre al punto A. Usa el comando Comentarios para poner nombre a la semirecta r. Transfiere el valor c=4 cm a la semirecta. Para ello haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic sobre el número 4 del área de trabajo y sobre el punto A. Haz clic sobre la semirecta. Con la herramienta Etiqueta, llama B al punto obtenido. Haz una rotación de la semirecta r con centro A y ángulo A= BAC. Para ello, selecciona el comando Rotación de la barra de herramientas, haz clic sobre la semirecta, sobre el punto A y sobre el valor del ángulo 15 del área de trabajo. Con la herramienta Comentarios, llama s a la semirecta obtenida. Transfiere el valor a=2 cm al punto B. Para ello, haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic sobre el valor numérico 2 del área de trabajo y sobre el punto B. Haz clic sobre una zona libre del área de trabajo. Obtendrás así un nuevo punto. Con la herramienta Etiqueta, llama N al nuevo punto obtenido. Dibuja la circunferencia de centro B que pasa por el punto N. Usa para ello la herramienta Circunferencia. Halla la intersección de la semirecta s y la circunferencia. Utiliza para ello el botón Punto. Con la herramienta Etiqueta, llama C y C' a los puntos de intersección anteriores. Dibuja los triángulos ABC y ABC ', con ayuda de la herramienta Triángulo. Utilizando las herramientas Distancia y longitud y Ángulo, en el bloque de Medidas, calcula los valores de b=ac, B y C. Utilizando las herramientas Distancia y longitud y Ángulo, en el bloque de Medidas, calcula los valores de b ' = AC ', B ' y C '. Observa que en este caso, el problema tiene dos soluciones. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 10

12 Ejemplo 3. Resuelve el triángulo ABC conocidos dos lados b = 3 cm, c = 4 cm y el ángulo comprendido, A=30º Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Edición numérica, define el valor de los lados b y c. Escribe en el área de trabajo 3 y 4. Usa el botón Edición numérica para definir el ángulo A = BAC. Escribe en el área de trabajo 30. Dibuja una semirecta r de origen el punto A. Con la herramienta Semirecta, dibuja la construcción y con la herramienta Etiqueta, pon nombre al punto A. Usa el comando Comentarios para poner nombre a la semirecta r. Haz una rotación de la semirecta r con centro A y ángulo A = BAC. Para ello, selecciona el comando Rotación de la barra de herramientas, haz clic sobre la semirecta, sobre el punto A y sobre el valor del ángulo 30 del área de trabajo. Con la herramienta Comentarios, llama s a la semirecta obtenida. Transfiere la medida b = 3 a la semirecta r. Para ello selecciona Transferencia de medidas, haz clic en el número 3, en el punto A y en la semirecta r. Observa como se dibuja un punto sobre la semirecta r situado a 3 cm del punto A. Con la herramienta Etiqueta, llama C al punto obtenido. Transfiere la medida c = 4 a la semirecta s. Para ello selecciona Transferencia de medidas, haz clic en el número 4, en el punto A y en la semirecta s. Observa como se dibuja un punto sobre la semirecta s situado a 4 cm del punto A. Con la herramienta Etiqueta, llama B al punto obtenido. Dibuja el triángulo ABC, utilizando la herramienta Triángulo. Utilizando las herramientas Distancia y longitud y Ángulo, en el bloque de Medidas, calcula los valores de a = BC, B y C. Ejemplo 4. Desde dos puntos de una playa, situados a 500 m de distancia uno del otro, se observa un barco. Desde uno de ellos, se mide el ángulo determinado por el otro punto y el barco que resulta ser de 110º. Se repite la operación desde el otro punto y el ángulo es de 40º. A qué distancia de ambos puntos se encuentra el barco?. Para resolver el problema haremos una construcción a escala, utilizando el programa Cabri. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Edición numérica, define el valor del lado a=bc. Escribe en el área de trabajo 5. Por tanto, la escala que utilizamos es tal que 5 cm del dibujo representan 500 metros en la realidad, es decir, se trata de una escala 1: Usa el botón Edición numérica para definir los ángulos B = ABC y C= ACB. Escribe en el área de trabajo 40 y 110. El signo es debido a la orientación de los ángulos en Cabri. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 11

13 Dibuja una recta r con la herramienta Recta. Utiliza la herramienta Etiqueta, para llamar B al punto de referencia utilizado en la construcción. Usa el comando Comentarios para poner nombre a la recta r. Transfiere la medida a=5 cm al punto B sobre la recta. Haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic en el número 5, en el punto B y en la recta r. Observa como se dibuja en dicha recta un punto situado a 5 cm de B. Con la herramienta Etiqueta, llama C al punto obtenido. Haz una rotación de la recta r con centro B y ángulo B = ABC. Para ello, selecciona el comando Rotación de la barra de herramientas, haz clic sobre la recta, sobre el punto B y sobre el valor del ángulo 40 del área de trabajo. Con la herramienta Comentarios, llama s a la nueva recta obtenida. Haz una rotación de la recta r con centro C y ángulo C = ACB. Para ello, selecciona el comando Rotación de la barra de herramientas, haz clic sobre la recta, sobre el punto C y sobre el valor del ángulo 110 del área de trabajo. Con la herramienta Comentarios, llama t a la nueva recta obtenida. Con la herramienta Punto, halla la intersección de las rectas s y t. Con la herramienta Etiqueta, llama A al punto obtenido. Dibuja el triángulo ABC. Con el botón Mostrar / Ocultar, oculta las rectas auxiliares r, s y t. Haz clic en el botón Distancia y longitud y mide las longitudes de los lados AB y AC. Estas son las longitudes que, teniendo en cuenta la escala, darán la solución del problema. Por lo tanto, las distancias del barco a cada uno de los puntos B y C son, respectivamente, 940 m y 643 m. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 12

14 ACTIVIDADES TRIÁNGULO 1 Resuelve el triángulo ABC, conociendo dos ángulos A = 60º y B = 45º y el lado a=5 cm, opuesto a uno de ellos. TRIÁNGULO 2 Resuelve el triángulo ABC, conociendo dos ángulos A = 45º y B = 60º y el lado c=5 cm, común a dichos ángulos. AVIÓN Un avión vuela a una altura de 1000 m. Desde dos puntos, sobre el suelo, separados 400 m, se observa al avión bajo ángulos de elevación respectivos de 15º y 42º. Halla la distancia que separa a ambos observadores. EL ÁRBOL Y EL RÍO Una persona se encuentra en la orilla de un río, desde la que se ve, en la orilla contraria, un árbol bajo un ángulo de 45º. Al alejarse de la orilla, en línea recta con la que determinan su posición inicial y el árbol, una distancia de 30 m, el nuevo ángulo es de 30º. Cuál es la altura del árbol?. Cuál es la anchura del río?. TERRENO Desde uno de los vértices de un campo rectangular de 50 m de largo, se mide el ángulo determinado por el vértice opuesto y el punto medio de la longitud del campo; dicho ángulo mide 40º. Cuál es la anchura del campo?. Cuál es la longitud de la diagonal?. 3. Construcciones geométricas Ejemplo. Construye el triángulo ABC, conociendo los lados a = 3 cm, b = 5 cm y la altura h A = 4 cm, correspondiente al lado a. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Edición numérica, define el valor de los lados a y b. Escribe en el área de trabajo 3 y 5. Usa el botón Edición numérica para definir el valor de la altura h A. Escribe en el área de trabajo 4. Dibuja una semirecta r de origen el punto B. Con la herramienta Semirecta, dibuja la construcción y con la herramienta Etiqueta, pon nombre al punto B. Usa el comando Comentarios para poner nombre a la semirecta r. Transfiere el valor a=3 a la semirecta r. Haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic en el valor 3 del área de trabajo, en el punto B y sobre la semirecta r. Obtendrás un nuevo punto sobre dicha semirecta. Con la herramienta Etiqueta, llama C al punto obtenido. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 13

15 Dibuja la recta s perpendicular a la recta r que pasa por el punto B. Elige el comando Recta perpendicular, haz clic en el punto B y en la recta r. Con la herramienta Comentarios, llama s a la recta obtenida. Transfiere el valor de la altura h A al punto B. Haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic en el número 4 del área de trabajo y sobre el punto B. Haz clic en una zona libre del área de trabajo. Con la herramienta Circunferencia, dibuja la circunferencia C1 de centro B y radio h A. Utiliza la herramienta Etiqueta para nombrar dicha circunferencia. Con ayuda del botón Punto, halla la intersección de la recta s y la circunferencia Etiqueta para llamar D al punto de intersección. C 1. Usa el botón Dibuja la recta t paralela a la semirecta r que pasa por el punto D. Haz clic en el botón Recta paralela, haz clic en la semirecta r y en el punto D. Se dibujará la recta t. Usa la herramienta Etiqueta para llamar t a la recta obtenida. Transfiere el valor b=5 al punto C. Para ello, haz clic en el botón Transferencia de medidas, haz clic en el número 5 del área de trabajo y en el punto C. Haz clic en una zona libre del área de trabajo y obtendrás un nuevo punto. Con la herramienta Etiqueta, llama E al punto obtenido. Dibuja la circunferencia C 2, de centro C que pasa por el punto E (tiene radio b=5 cm). Usa el botón Comentarios para introducir el nombre de la circunferencia. Con ayuda del botón Punto, halla la intersección de la recta t y la circunferencia Etiqueta para llamar A al punto obtenido. C 2. Usa el comando Dibuja el triángulo ABC. Con la herramienta Distancia y longitud, mide el lado c del triángulo. Con el comando Ángulo del bloque de Medidas, mide los ángulos A, B y C del triángulo. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 14

16 ACTIVIDADES DOS ALTURAS Construye el triángulo ABC, conociendo el lado a = 4 cm y las alturas h B = 2 cm, relativas a los lados a y b. h A = 5 cm y 4. Transformaciones geométricas Con Cabri podemos realizar transformaciones geométricas como traslaciones, giros y simetrías; y podemos analizar y estudiar sus propiedades. Estas transformaciones son muy utilizadas en la construcción de mosaicos. Veamos algunos ejemplos. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS Ejemplo 1. A la figura F aplícale dos simetrías de ejes paralelos, primero la de eje l y después la de eje r. Llama F a la figura transformada. Qué movimiento transforma directamente F en F?. Defínelo completamente. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Polígono, dibuja la letra F. Dibuja la recta l. Usa la herramienta Recta y con el botón Etiqueta, llama l a la recta obtenida. Selecciona el comando Recta paralela para dibujar la recta r. Con la herramienta Etiqueta, llama r a la recta obtenida. Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F y sobre la recta l. Con la herramienta Comentarios, llama F' a la imagen obtenida. Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F' y sobre la recta r. Con la herramienta Comentarios, llama F'' a la imagen obtenida. Qué relación hay entre la F inicial y F''? Dibuja un vector que una dos puntos homólogos de F y F''. Selecciona el comando Perpendicular en el bloque Comprobar, haz clic en el vector anterior y en la recta l. Haz clic en una zona libre del área de trabajo. Observa que aparece el mensaje "Los objetos son perpendiculares". CEFIRE DE GODELLA Pàgina 15

17 Halla los puntos de intersección del vector con las rectas l y r. Con la herramienta Etiqueta, llama A y B a dichos puntos. Selecciona el comando Distancia y longitud y mide la longitud del vector y la distancia entre los puntos A y B. Comprueba que la longitud del vector es doble de la distancia AB. Por tanto: "la composición de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación de vector perpendicular a dichos ejes y de longitud igual al doble de la distancia entre dichos ejes". Ejemplo 2. A la figura F aplícale dos simetrías de ejes secantes, primero la de eje l y después la de eje r. Llama F a la figura transformada. Que movimiento transforma directamente F en F?. Defínelo completamente. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Polígono, dibuja la letra F. Dibuja la recta l. Usa la herramienta Recta y con el botón Etiqueta, llama l a la recta obtenida. Dibuja la recta r, de manera que corte a la recta l en un punto O. Usa la herramienta Recta y con el botón Etiqueta, llama r a la recta obtenida. Con el comando Punto, halla la intersección de dichas rectas. Con la herramienta Etiqueta, llama O al punto obtenido. Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F y sobre la recta l. Con la herramienta Comentarios, llama F' a la imagen obtenida. Selecciona la herramienta Simetría axial y haz clic sobre el polígono F' y sobre la recta r. Con la herramienta Comentarios, llama F'' a la imagen obtenida. Qué relación hay entre la F inicial y F''? Con la herramienta Etiqueta llama A a un vértice de la F inicial. Llama B al punto homólogo de dicho vértice en la figura F''. Dibuja el segmento que une O con A. Dibuja también el segmento que une O con el punto B homólogo del vértice anterior en la figura F''. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 16

18 Con la herramienta Ángulo del bloque de Medidas, mide el ángulo AOB y el ángulo que forman las rectas l y r. Comprueba que el ángulo AOB es el doble del ángulo formado por dichas rectas. Por tanto: "La composición de dos simetrías de ejes concurrentes en un punto O, es igual a un giro de centro O, con ángulo de giro igual al doble del ángulo que forman los ejes". CONSTRUCCIÓN DE MOSAICOS Ejemplo. Utilizando las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye diversos tipos de mosaicos. Haz clic en Archivo / Nuevo. Con la herramienta Polígono regular, dibuja un octógono regular. Con la herramienta Etiqueta, llama ABCDEFGH a los vértices de dicho octógono. Con la herramienta Vector, dibuja los vectores GB y HE. Selecciona el comando Traslación, haz clic sobre el polígono ABDCEFGH y sobre el vector GB. Haz clic sobre el polígono ABCDEFGH y sobre el vector HE. Observa el resultado. Procede de la misma forma hasta completar el mosaico semiregular de octógonos regulares y cuadrados. ACTIVIDADES MOSAICO 1 Utiliza las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye un mosaico con hexágonos regulares y triángulos equiláteros. MOSAICO 2 Con las herramientas Traslación, Rotación y Simetría, construye un mosaico con cuadrados y triángulos equiláteros. Hay una única solución?. EL CABALLO Y EL RÍO Cuál es el camino más corto que debe recorrer el caballo para ir de A a B pasando antes a beber agua en el río?. A CEFIRE DE GODELLA Pàgina 17 B

19 5. Lugares geométricos y cónicas Con Cabri podemos construir fácilmente lugares geométricos, incluyendo cónicas y algunas curvas conocidas. Además el programa dispone de la herramienta Animación que permite realizar simulaciones de procesos reales sobre movimientos y trayectorias. Ejemplo 1. Construcción de una parábola. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta denominada directriz. Veamos cómo se puede construir con Cabri. Haz clic en Archivo / Nuevo. Dibuja la recta directriz. Con la herramienta Comentarios, llama d a dicha recta. Dibuja un punto exterior a la recta d. Con la herramienta Etiqueta, llama F a dicho punto. Este punto será el foco. Dibuja un punto sobre la recta d. Con la herramienta Etiqueta, llama H a dicho punto. Dibuja la recta t perpendicular a la recta d que pasa por el punto H. Utiliza para ello la herramienta Recta perpendicular, haz clic sobre la recta d y sobre el punto H. Con la herramienta Comentarios, llama t a dicha recta. Dibuja la recta r mediatriz del segmento FH. Utiliza el comando Mediatriz y haz clic sobre el punto F y sobre el punto H. Con la herramienta Comentarios, llama r a la recta obtenida. Con la herramienta Punto, halla la intersección de las rectas r y t. Con la herramienta Etiqueta, llama X al punto obtenido. Comprueba con la herramienta Distancia y longitud que d(x, F) = d(x, d) = d(x, H). Dibuja el lugar geométrico del punto X al variar H sobre la recta d. Para ello, selecciona el comando Lugar geométrico y haz clic sobre el punto X y sobre el punto H. Observa que se dibuja una parábola de foco F y directriz d. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 18

20 Ejemplo 2. Construcción de cónicas. Con la herramienta Cónica es muy fácil obtener dibujos de elipses, hipérbolas, parábolas y otras cónicas, siempre que señalemos cinco puntos de la curva. Haz clic en Archivo / Nuevo. Haz clic en el botón Cónica. Haz clic sobre el área de trabajo cinco veces para señalar cinco puntos de la cónica. Dependiendo de la distribución de los cinco puntos, obtendrás una elipse, una hipérbola o una parábola. Ejemplo 3. Construcción de una elipse conociendo un foco y el eje mayor. Haz clic en Archivo / Nuevo. Dibuja una circunferencia C 1 de centro O (foco). El radio de esta circunferencia será el eje mayor de la elipse. Usa la herramienta Etiqueta para llamar O al centro y el botón Comentarios para llamar circunferencia. Dibuja un punto F (foco) interior a la circunferencia. Usa el botón Etiqueta para llamar F a dicho punto. Dibuja un punto Q sobre la circunferencia. Usa el comando Etiqueta para nombrar dicho punto. C 1 Dibuja la recta r que pasa por los puntos O y Q. Usa el botón Comentarios para llamar r a dicha recta. Dibuja la mediatriz m del segmento FQ. Usa Comentarios para nombrar la recta obtenida. Halla la intersección de las rectas r y m. Llama P al punto obtenido. C 1 a la CEFIRE DE GODELLA Pàgina 19

21 Dibuja el lugar geométrico del punto P al variar Q sobre la circunferencia. Haz clic en el botón Lugar geométrico, en el punto P y en el punto Q. Dibuja 4 puntos sobre el lugar geométrico. Dibuja la cónica que pasa por los 4 puntos anteriores y el punto P. Usa el botón Cónica. Halla la ecuación de dicha cónica. Para ello, haz clic en el botón Ecuación y coordenadas y haz clic sobre la cónica. Ejemplo 4. La cicloide La clicloide es la curva definida por el lugar geométrico de las posiciones de un punto fijo de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. La recta se denomina directriz y la circunferencia se llama ruleta o generatriz. Haz clic en Archivo / Nuevo. Dibuja la semirecta d (directriz) de origen O. Usa el botón Etiqueta para nombrar al punto y el botón Comentarios para nombrar a la semirecta. Dibuja un punto M sobre la semirecta d. Usa el comando Etiqueta para nombrar al punto. Con la herramienta Distancia y longitud, calcula la distancia OM. Dibuja la semirecta r de origen A. Usa el botón Etiqueta para nombrar el punto y el botón Comentarios para llamar r a la semirecta. Dibuja un punto B sobre la semirecta r. Usa la herramienta Etiqueta para nombrar al punto. Dibuja el segmento AB (radio de la ruleta) y calcula su longitud. Utiliza para ello la herramienta Distancia y longitud. Dibuja la circunferencia D 1 de centro M y radio AB. Para ello, elige el comando Compás, haz clic en el punto A, en el punto B y en el punto M. Verás que se dibuja la circunferencia. Usa el botón Comentarios para nombrar dicha circunferencia. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 20

22 Dibuja la recta m perpendicular a la semirecta d que pasa por el punto M. Usa el botón Recta perpendicular y el comando Comentarios para nombrar dicha recta. Halla la intersección de la circunferencia D 1 y la recta m. Llama P al punto obtenido. Dibuja la circunferencia C 1 de centro P y radio AB (ruleta). Para ello, haz clic en el botón Compás, haz clic en el punto A, en el punto B y en el punto P. Verás como se dibuja la circunferencia. Usa el comando Comentarios para etiquetar a la circunferencia. Transfiere a la circunferencia X al punto obtenido. C 1 desde el punto M el valor OM. Utiliza el comando Etiqueta para llamar Dibuja el punto Y simétrico del punto X respecto de la recta m. Utiliza para ello el comando Simetría axial. Con el botón Etiqueta, llama Y al punto obtenido. Calcula el lugar geométrico del punto Y al variar M sobre la semirecta d. Observa el resultado. ACTIVIDADES HIPÉRBOLA Construye una hipérbola conociendo uno de los focos y el eje mayor. Usa un procedimiento parecido al utilizado para dibujar una elipse conociendo un foco y el eje mayor. La única diferencia es que ahora hay que tomar el foco como punto exterior a la circunferencia auxiliar C 1 que usábamos entonces con la elipse. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 21

23 GEOMETRÍA CON DERIVE Introducción Podemos utilizar el programa Derive para representar gráficamente superficies en el espacio tridimensional. Para ello es necesario expresar las ecuaciones de dichas superficies de forma explícita, es decir, de la forma: z = f(x, y). De esta forma podemos explorar la superficie, estudiando sus características y observando diferentes modos de visualización. Esto supone una enorme ventaja para el estudio de las superficies en el espacio que está presente en el currículum de 2º de Bachillerato, en las opciones Científico técnica sanitaria, ya que ayudan al estudiante a visualizar propiedades de las superficies y a formular conjeturas. También podemos utilizar el programa Derive para representar curvas en coordenadas polares, lo que permite estudiar algunas curvas curiosas. 1. Explorando superficies Ejemplo 1. Representa la superficie de ecuación z(x, y) ( x y xy ) 390 =. Utiliza los botones de zoom para visualizar la gráfica desde distintos puntos de vista. Haz clic en Inicio / Programas / Derive para Windows / Derive para Windows. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la función: ( x 3 y x y 3) 390 z(x, y): =. Haz clic en Sí. Haz clic en el botón Gráficos 3D y haz clic en Representar. Observa cómo se representa gráficamente la superficie. Haz clic en el botón Zoom hacia fuera o pulsa F10. Observa que no se producen cambios. Haz clic en el botón Zoom vertical hacia fuera o pulsa F8. La gráfica cambia, mostrando un punto de vista diferente. Haz clic en el botón Zoom vertical hacia dentro o pulsa F7 para volver al modo de visualización anterior. Haz clic en el botón Zoom horizontal hacia fuera, o pulsa F6. La gráfica cambia, mostrando otro punto de vista de la misma superficie. Haz clic en el botón Zoom horizontal hacia dentro o pulsa F5 para volver al modo anterior. Haz clic en el botón Cuadrícula y en la siguiente ventana introduce los valores x: 40, y: 40 y pulsa ENTER. Observa el resultado. Cambia de nuevo la cuadrícula, introduciendo los valores x: 60, y: 60. Haz clic en el botón [ ] Posición de visualización e introduce los valores x: 80, y: 15 y pulsa ENTER. Observa el resultado. Cambia de nuevo la posición de visualización, introduciendo los valores x: 90, y: 110 Selecciona el comando Set / Length y en la siguiente ventana introduce los valores: x:100, y:20. Pulsa ENTER y observa el resultado. Cambia de nuevo los valores a x: 100, y: 50 y observa como se modifica la imagen de la superficie. Cambia sucesivamente los valores de y a 60, 70, 80, 90, 100, 110 y 120 y observa cómo cambia la visualización de la superficie. Selecciona el comando Set / Length y en la siguiente ventana introduce sucesivamente los valores: x: 100, y: 200; x: 150, y: 400; x: 200, y: 700. Observa los resultados obtenidos al pulsar ENTER cada vez. 3 3 CEFIRE DE GODELLA Pàgina 22

24 Haz clic en el botón Posición Centro e introduce los valores x: 50, y: 20. Pulsa ENTER y observa el resultado. Cambia de nuevo la posición Centro introduciendo los valores x: 70, y:40. Pulsa ENTER y observa como cambia la imagen de la superficie. Selecciona el comando Opciones / Color de Gráfico / Arriba y haz clic en el color verde. Haz clic en Aceptar. Elige el comando Opciones / Color de Gráfico / Debajo y haz clic en el color rojo. Pulsa ENTER y observa el resultado. 2 2 Ejemplo 2. Representa la superficie de ecuación z(x, y) y ( 9 + x + y ) =. Utiliza los botones de zoom y muestra la gráfica desde distintos puntos de vista. Haz clic en Ventana Álgebra. Haz clic en el botón Editar expresión y en la caja de texto introduce la expresión: z(x, y): y ( 9 + x 2 + y 2) =. Haz clic en Sí. Haz clic en el botón Gráficos 3D y en Representar. Observa el resultado. Haz clic en el botón [ ] Posición de visualización e introduce los valores x: 20, y:20. Haz clic en el botón Posición Centro e introduce los valores x: 0, y: 0. Selecciona el comando Set / Length e introduce los valores x: 20, y: 20. Observa el resultado. Utiliza los botones de zoom o pulsa las teclas F5, F6, F7, F8, F10 para modificar la imagen de la superficie. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 23

25 ACTIVIDADES REPRESENTA SUPERFICIES Utiliza la calculadora simbólica TI 89 para representar las siguientes superficies: 2 2 a) z = x + y b) 2 2 z = x + 2y c) z = x 2 2 y d) z = xy e) z = x + 2y f) z = x 2 4 x y g) z = e h) z = i) z = ln ( x + y ) x y y Curvas en coordenadas polares Veamos algún ejemplo de cómo se puede utilizar el programa Derive para representar gráficamente curvas en coordenadas polares. Ejemplo 1. Circunferencia y cardioide. Representa gráficamente la circunferencia de radio 1 y la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 2 cos ( θ ), llamada cardioide. Halla los puntos de corte de dichas curvas. Haz clic en Inicio / Programas / Derive para Windows / Derive para Windows. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la circunferencia en coordenadas polares: r : = 1. Haz clic en Sí. Haz clic en el botón Gráficos 2D. Selecciona el comando Opciones / Sistema de coordenadas y haz clic en Polares. Haz clic en el botón Representar. Aparece una ventana en la que puedes definir las dimensiones de la pantalla gráfica. Pulsa ENTER. Observa que se dibuja una circunferencia de radio 1. Haz clic en el botón Ventana Álgebra para regresar a la pantalla algebraica. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la función: r : 1 2 cos( θ ) Haz clic en Sí. =. Haz clic en el botón Gráficos 2D. Haz clic en Representar. Pulsa ENTER para confirmar las dimensiones de la pantalla gráfica. Observa que se dibuja la cardioide. Observa en la gráfica que la cardioide y la circunferencia se cortan en los puntos A(0, 1), B( 1, 0) y C(0, 1). CEFIRE DE GODELLA Pàgina 24

26 Ejemplo 2. Representa gráficamente la curva r = 2 sen( θ ) en coordenadas polares. Selecciona el comando Edición / Borrar gráficas / Todas. Haz clic en el botón Ventana Álgebra para regresar a la pantalla algebraica. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la función: r : = 2 sin ( θ ) clic en Sí. Haz clic en el botón Gráficos 2D. Haz clic en Representar. Pulsa ENTER para confirmar las dimensiones de la pantalla gráfica. Observa que se dibuja una circunferencia de centro (0, 1) y radio 1.. Haz ACTIVIDADES CURVAS EN POLARES Dibuja las gráficas de las siguientes funciones, dadas en coordenadas polares: a) 2 cos( θ ) r = b) r = 2 c) r 1 + sen( θ ) = d) r = 2 + e) r = 2 cos( 2θ ) f) r = cos( θ ) 2 cos ( θ ) CEFIRE DE GODELLA Pàgina 25

27 3. Curvas en coordenadas paramétricas Veamos algunos ejemplos de cómo usar Derive para dibujar curvas dadas en forma paramétrica. Ejemplo 1 Dibuja la curva de ecuaciones paramétricas x = 4 cos ( t ), y = 4 sen ( t ) Selecciona el comando Edición / Borrar gráficas / Todas. Haz clic en el botón Ventana Álgebra para regresar a la pantalla algebraica. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la función: 4 cos t, 4 sin t. Haz clic en Sí. [ ( ) ( )] Haz clic en el botón Gráficos 2D. Selecciona el comando Opciones / Sistemas de coordenas y haz clic en Rectangular. Haz clic en Representar. Pulsa ENTER para confirmar las dimensiones de la pantalla gráfica. Observa que se dibuja una circunferencia de centro (0, 0) y radio 4. Ejemplo 2. Dibuja la curva de ecuaciones paramétricas x = 4 cos( t ), y = 2 sen( t ) Selecciona el comando Edición / Borrar gráficas / Todas. Haz clic en el botón Ventana Álgebra para regresar a la pantalla algebraica. Haz clic en Editar expresión y en la caja de texto introduce la fórmula de la función: 4 cos t, 2 sin t. Haz clic en Sí. [ ( ) ( )] Haz clic en el botón Gráficos 2D. Haz clic en Representar. Pulsa ENTER para confirmar las dimensiones de la pantalla gráfica. Observa que se dibuja una elipse de centro (0, 0), semieje mayor 4 y semieje menor 2. ACTIVIDADES CURVAS EN PARAMÉTRICAS Dibuja las gráficas de las siguientes funciones, dadas en coordenadas polares: X = 3 cos T X = cos T a) b) c) Y = 3sen T Y = sen T X = 3 cos T Y = 2 sen T CEFIRE DE GODELLA Pàgina 26

28 POLIEDROS CON POLY Introducción Poly es un programa que permite visualizar diferentes familias de poliedros (regulares, semiregulares, platónicos, de Catalán, etc). Este software permite asociar cada poliedro con su desarrollo, lo que supone una ayuda inestimable para el proceso de construcción y para resolver problemas métricos sobre poliedros. En las siguientes actividades veremos cómo utilizar el programa. 1. Sólidos platónicos y sólidos arquimedianos Ejemplo 1. Sólidos platónicos Selecciona el comando Inicio / Programas / Poly / Poly para iniciar el programa. Maximiza la ventana de visualización de poliedros. Selecciona en la lista desplegable la familia Sólidos platónicos y elige el Tetraedro. Arrastra el cuadro de desplazamiento y verás como se transforma el poliedro en su desarrollo plano. Si lo haces lentamente, se activará una animación que convierte el desarrollo plano en poliedro y viceversa. Selecciona sucesivamente el cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Observa los desarrollos planos de cada sólido. Si haces clic sobre el sólido y arrastras el ratón, verás como gira el poliedro. Para mostrar únicamente el desarrollo plano de un poliedro, haz clic sobre el tercer icono de la barra superior. Para mostrar el diagrama de Seigel del poliedro, haz clic sobre el cuarto icono de la barra superior. Para ver el poliedro, sin sus aristas, haz clic en el primer icono. Para ver el poliedro con sus aristas remarcadas, selecciona el segundo icono de la barra superior. Selecciona en la lista desplegable la familia Sólidos de Arquímedes. Elige sucesivamente los poliedros Tetraedro truncado, Cuboectaedro, Cubo truncado, Octaedro truncado, Rombicuboctaedro y el resto de la familia. Cuenta el número de caras, aristas y vértices de cada poliedro. CEFIRE DE GODELLA Pàgina 27