MODELIZACIÓN FINANCIERA CON EXCEL

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1 MODELIZACIÓN FINANCIERA CON EXCEL SÁNCHEZ ALVAREZ, ISIDRO LAFUENTE ROBLEDO, MANUEL LÓPEZ ARES, SUSANA Departamento de Economía Cuantitativa Universidad de Oviedo La enseñanza de la Matemática de las Operaciones Financieras ha experimentado durante la década de los noventa una transformación profunda como consecuencia de la progresiva introducción de los programas informáticos. Las hojas de cálculo, dada su gran facilidad de uso, su flexibilidad y su utilización generalizada, han sido una de las herramientas disponibles más potentes para el tratamiento de problemas financieros. De ahí que su incorporación a los programas docentes de esta disciplina se hayan convertido en una norma casi obligada para garantizar la calidad de la enseñanza en esta materia. No obstante, es preciso tener en cuenta que para aplicaciones de alto nivel se requieren programas más especializados (por ejemplo, para gestión de carteras) y que cada vez están más extendidas otras herrramientas informáticas de cálculo avanzado como los programas de cálculo numérico (por ejemplo, las aplicaciones financieras específicas de Matlab) o de cálculo simbólico (Mathematica, Maple, Matlab, Derive, etc.). De ahí que la hoja de cálculo haya dejado de ser el único programa informático de uso generalizado para el tratamiento de operaciones financieras, y que progresivamente sea preciso incorporar las nuevas aplicaciones en los curricula del alumno. La utilización de las hojas de cálculo en la modelización de problemas de matemática financiera representa importantes ventajas didácticas: Dado el carácter eminentemente práctico de la misma, simplifica en gran medida la materia a impartir, ya que con los principios y razonamientos elementales permite prescindir del desarrollo de buen número de las fórmulas que la matemática financiera plantea para realizar valoraciones. Como consecuencia se produce un gran ahorro de tiempo en cuanto a las necesidades de clases magistrales, lo cual permite dedicar más tiempo a la explicación detallada y pormenorizada de los conceptos fundamentales. Desde el punto de vista puramente didáctico facilita la comprensión y el estudio del alumno, el cual se tiene que centrar en los aspectos básicos de la asignatura, reduciéndose de forma muy importante la memorización de conceptos. Permite determinar de manera rápida y exacta los distintos valores que sea necesario obtener y, consecuentemente, comparar entre distintas operaciones financieras planteadas al alumno de forma inmediata.

2 Operaciones con cálculos numéricos importantes, como la realización de cuadros de amortización de préstamos y empréstitos, también se pueden realizar con gran rapidez, y llevar a cabo un análisis de sensibilidad del mismo. En general, permite resolver el problema hasta la solución final y extraer las conclusiones operativas, fase que en los cálculos manuales es muchas veces soslayada. Consecuentemente, facilita la detección de posibles inconsistencias y datos erróneos en los planteamientos y resultados. La utilización de herramientas informáticas ayuda por otra parte a motivar a los alumnos como consecuencia del atractivo generalizado del soporte informático. No obstante, este aspecto no se puede generalizar a todos los alumnos, y además tiene un efecto que se diluye con el tiempo. A continuación, se desarrollan una serie de modelos de matemática financiera con hoja de cálculo con el objeto de ilustrar de forma clara y precisa como se pueden implementar dichos problemas financieros en Excel. Los tres primeros casos corresponden a la matemática financiera clásica y consideramos que deberían representar las aplicaciones informáticas mínimas de cualquier curso de esta disciplina en la Facultades y Escuelas Universitarias de Ciencias Empresariales. I. VALORACIÓN DE RENTAS. La función VNA(tasa; capitales) permite obtener el valor actual de cualquier renta, sean cuales sean sus capitales, incluso si carecen decualquier tipo de periodicidad. Así pues, la teoría de rentas, que constituye una de las partes básicas del cuerpo de la matemática financiera se puede analizar con el planteamiento adecuado del problema con esta función. Las rentas en progresión aritmética y geométrica, las rentas fraccionadas y las rentas plurianuales, que normalmente solían plantear dificultades de comprensión para el alumno, se reducen así a una estructura ssencilla en las hojas de cálculo. Respecto al empleo de esta función es preciso señalar los siguientes aspectos pedagógicos: La función VNA calcula el valor actual de la renta considerada como postpagable, con lo cual es preciso indicar al alumno las posibles opciones para valorar las rentas prepagables, y el cálculo de los valores finales. Al igual que en los cálculos manuales, el alumno tiene dificultades para aplicar adecuadamente los tipos de interés, por lo cual éste deberá ser un aspecto a resaltar. En el caso de una renta que incluya tramos de periodicidad distinta en el pago o pagos de cuantía o variabilidad diferente, lo más adecuado es plantear toda la renta como un solo

3 problema cuyo valor actual se desea calcular. Para ello será preciso imaginar que cada celda representa el periodo de tiempo más pequeño de todos los considerados en la renta. Las celdas que representen periodos donde no venzan capitales aparecerán con un cero (algunas hojas de cálculo consideran la celda vacía como un cero; no es el caso de Excel). Existen otras funciones predefinidas que permiten calcular valores actuales y finales de rentas constantes (VA y VF, respectivamente). Para rentas en progresión aritmética y geométrica se pueden definir mediante funciones en Visual Basic. No obstante, la función VNA permite valorar de forma más genérica todas las rentas. Por otra parte, la hoja Excel permite instalar más funciones de las que inicialmente aparecen disponibles. En el menú de Herramientas se puede ejecutar la opción Complementos e instalar las Herramientas para análisis. Con esta opción se dispone de un mayor número de funciones, y entre ellas una que permite mejorar las utilidades de la función VNA. Se trata de la función VNA.NO.PER(tasa;capitales;fechas) que permite calcular el valor actual de una renta con capitales y vencimientos cualesquiera y no periódicos. En Capitales se introduce el rango de celdas con los flujos y en Fechas el rango de celdas con los vencimientos asociados, tal como se ilustra en el gráfico I. Con ello se evita construir los esquemas de rentas elaborados que exige la función VAN. N La función implícita en VAN.NO.PER es Pi i= 1 (1 + tasa) ( di d1) 365 donde d i es la i-ésima fecha de pago, d1la fecha de pago 0 (del primer capital) y P i el i-ésimo pago. La tasa deberá ser por tanto un tipo de interés efectivo anual. GRÁFICO I

4 II. TASAS INTERNAS DE RENTABILIDAD Las tasas internas de rentabilidad se pueden obtener fácilmente con la función TIR(capitales;estimar) donde Capitales recoge el rango de celdas donde se hallan los flujos de caja y Estimar es un argumento opcional que indica el tipo de interés a partir del cual comienza el método iterativo de aproximación. El método utilizado por Excel para aproximar las raíces es el de Newton. En relación con los argumentos de la función hay tres aspectos sobre los cuales es preciso insistir al alumno: El rango de capitales debe incluir al menos un capital de cada signo. Si no se indica ninguna estimación, el método parte del 10 por ciento. Normalmente, esta estimación es suficiente para los tipos de interés anuales habituales. No obstante, se deberá modificar cuando el resultado sea erróneo, debiendo introducirse un tipo de interés más próximo al exacto (por ejemplo, cuando se trata de tipos mensuales bajos). El tipo de interés resultante no siempre es anual, sino que estará referido al periodo que indica el salto de celda a celda. En el caso de que existan varias tasas internas de rentabilidad, la aproximación requiere cambiar el argumento Estimar al valor preciso, normalmente valores cercanos a la raíz que se desea conocer. Para sugerir la posibilidad de múltiples tasas internas de rentabilidad es aconsejable representar o calcular el VAN para un intervalo amplio de valores del tipo de interés y observar los cambios de signo. GRÁFICO II 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00-10,00 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% 24% 26% 28% 30% 32% -20,00-30,00 Ahora bien, cuando existen múltiples tasas de rentabilidad internas, la convergencia a unas u otras raíces no se produce en intervalos definidos del parámetro Estimar. Ilustremos este hecho con un ejemplo. Supongamos que se desea calcular la TIR de un proyecto de inversión con los siguientes flujos de caja: en 0 de 365; de 1 a 5 de 200; de 6 a 10 de 200; de

5 11 a 19 de 0; en 20 de 400. Si se representa gráficamente el VAN, se observa que la ecuación financiera de la TIR tiene tres raíces reales (gráfico II). Aplicando la función TIR(capitales; estimar) para tres valores de estimar diferentes y cercanos visualmente a las raíces, la hoja de cálculo proporciona las tres TIRs: 1,54%; 16,79% y 26%. Sin embargo, si se analiza el cuadro siguiente se observa que, para valores muy próximos del punto de inicio de las iteraciones, la raíz hacia la que converge puede ser distinta. Incluso converge hacia cualquiera de las tres con muy ligeras modificaciones de la estimación inicial. Por tanto, iniciar el proceso en un punto cercano a la posible raíz no siempre permite converger hacia dicha raíz, sino que el método sigue un comportamiento caótico que impide asegurarlo. No obstante, la regla general para hallar tales aproximaciones debe ser la de iniciar el proceso en puntos próximos a la raíz que se desea aproximar. Estimar TIR Estimar TIR Estimar TIR Estimar TIR 0% 1,54% 5,0% 1,54% 5,70% 16,79% 5,740% 16,79% 1% 1,54% 5,1% 1,54% 5,71% 16,79% 5,741% 16,79% 2% 1,54% 5,2% 1,54% 5,72% 16,79% 5,742% 16,79% 3% 1,54% 5,3% 1,54% 5,73% 16,79% 5,743% 16,79% 4% 1,54% 5,4% 1,54% 5,74% 16,79% 5,744% 1,54% 5% 1,54% 5,5% 1,54% 5,75% 1,54% 5,745% 16,79% 6% 16,79% 5,6% 16,79% 5,76% 16,79% 5,746% 16,79% 7% 26,00% 5,7% 16,79% 5,77% 16,79% 5,747% 16,79% 8% 16,79% 5,8% 26,00% 5,78% 26,00% 5,748% 1,54% 9% 16,79% 5,9% # DIV/0! 5,79% 26,00% 5,749% 1,54% 10% 16,79% 6,0% 16,79% 5,80% 26,00% 5,750% 1,54% De forma similar a lo que ocurre con la función VNA, existe la posibilidad de calcular la TIR sin necesidad de que los pagos sean periódicos, relacionando directamente los capitales y sus vencimientos con la función TIR.NO.PER(capitales; fechas). Esta función también debe ser activada incorporando las Herramientas de análisis. Esta opción es especialmente útil para calcular los rendimientos al vencimiento de los bonos cuyo primer vencimiento no coincide con un periodo de devengo completo. III. OPERACIONES DE CONSTITUCIÓN Y AMORTIZACIÓN Dado que las operaciones de constitución y amortización constituyen un bloque temático de la matemática financiera con aplicaciones empresariales muy relevantes, la mayor parte de los modelos desarrollados desde los inicios han sido dirigidos a cubrir estos aspectos. Un conjunto de aplicaciones dirigidas a modelizar y automatizar no sólo este tipo de tareas sino también otros amplios campos de la matemática financiera se pueden consultar en Medina(1993). Desde el punto de vista docente, el cálculo de términos amortizativos de

6 préstamos y operaciones de leasing, el cálculo de imposiciones para planes de ahorro y la elaboración de cuadros de amortización y constitución son contenidos mínimos a considerar en cualquier programación docente. Las hojas de cálculo disponen siempre de funciones predefinidas para la obtención de términos amortizativos por el método francés, pero cuando los términos son variables es preciso crear una función en Visual Basic o bien utilizar la macro «buscar objetivo» sobre un modelo de renta predefinido. La función básica para el cálculo de términos constantes tanto en préstamos como leasing y constitución - es PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo). Su manejo requiere la consideración de varios aspectos: La hoja Excel considera con signo contrario los capitales de la prestación y de la contraprestación, lo cual implica que se cambie el signo del valor obtenido o de «va» si se desea manejar cifras positivas. Al igual que el resto de funciones financieras, es preciso tener en cuenta que los tipos de interés y los plazos deben ser coherentes. IV. SIMULACIÓN DE PRECIOS DE TÍTULOS Una de las estrategias más recomendables para explicar al alumno el comportamiento de los precios de los títulos es la construcción de una representación gráfica que simule su evolución. Dado que una de las hipótesis centrales del modelo de Black-Scholes es que los precios se distribuyen según una lognormal, su simulación gráfica permite al alumno intuir el carácter de esta hipótesis. Si se representa por S t el precio de un título en el momento t, la distribución lognormal asume que el logaritmo natural de uno más el interés de mantener el título entre t y t+ t se distribuye según una normal de media µ y desviación estándar σ. Como consecuencia, el precio del activo S t en el momento t se puede describir a través de la expresión: S t = S 0 exp( µ t + σz t ) donde Z es una variable normal estándar. A modo de ejemplo, supongamos el precio simulado en la celda E7 con los datos de entrada del rango B6:B9. Para simular el precio en el momento 1 se toma un número aleatorio distribuido según una normal (celda D7) y se sustituye en la expresión anterior: 5000 *exp(0,12*0,004+ 0,2*(-0, )* 0,004) = 4.976,5436. El proceso de simulación y representación gráfica se presenta en el gráfico III. Para generar los números aleatorios según una distribución normal se deberá ejecutar la opción Herramientas/Análisis de datos/generación de números aleatorios. Esta opción sólo está disponible si se han incorporado las Herramientas de análisis. En el ejemplo citado se generan

7 los precios durante un periodo de 250 días, que representa aproximadamente el número de días anuales de cotización. De ahí que al tomar t=1/250=0,004 se esté simulando el precio diario del título a lo largo de un año GRÁFICO III A B C D E F G H I J SIMULACIÓN LOGNORMAL Tiempo Desviaciones Precio del normales título Media 12% ,0000 Sigma 20% 1-0, ,5436 Delta t 0, , ,2066 Precio del título , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2970 precio del título =B9 =E6*EXP($B$6*$B$8+$B$7*D7*RAIZ($B$8)) =E7*EXP($B$6*$B$8+$B$7*D8*RAIZ($B$8)) Simulación día V. VALORACIÓN DE OPCIONES GRÁFICO IV

8 La fórmula de Black-Scholes es fácil de automatizar en una hoja de cálculo. En el gráfico IV se presenta un ejemplo de valoración de una opción de compra europea. De forma similar se pueden automatizar aproximaciones a los valores put y call de opciones americanas. En algunos casos interesará disponer de una función predeterminada para calcular el valor de la opción directamente. Para ello se puede crear un módulo en Visual Basic como el que se presenta a continuación. Function Call(Precio, Ejercicio, Tiempo, Interes, sigma) Call= Precio * Application.NormSDist(d1(Precio, Ejercicio, _ Tiempo, Interes, sigma)) - Ejercicio * Exp(-Tiempo * Interes) * _ Application.NormSDist(d1(Precio, Ejercicio, Tiempo, Interes, sigma) _ - sigma * Sqr(Tiempo)) End Function 'La opción de compra se valora a través de la paridad put-call Function Put(Precio, Ejercicio, Tiempo, Interes, sigma) Put= Call(Precio, Ejercicio, Tiempo, Interes, sigma) _ + Ejercicio * Exp(-Interes * Tiempo) - Precio End Function Function d1(precio, Ejercicio, Tiempo, Interes, sigma) d1= (Log(Precio / Ejercicio) + Interes * Tiempo) / (sigma * Sqr(Tiempo)) _ * sigma * Sqr(Tiempo) End Function VI. VALORACIÓN DE UNA OPCIÓN ASIÁTICA MEDIANTE SIMULACIÓN Como combinación de los problemas planteados en los dos epígrafes anteriores, se puede ilustrar la valoración de una asiática mediante simulación. En este tipo de opciones, el payoff no depende del precio del activo subyacente al expirar el plazo, sino del precio medio del activo a lo largo del periodo de vida de la opción. En este ejemplo se obtiene el precio de una opción de compra asiática como el valor descontado esperado del payoff de la opción, para lo cual es necesario aproximar este valor esperado previamente mediante simulación. En la celda E6 (gráfico V) se introduce la expresión: =E5*EXP(($B$8-0,5*$B$7^2)*(1/52)+$B$7*gen_normal(0;1)*RAIZ(1/52)) que permite simular el precio semanal del título a lo largo del año al copiarlo en el rango correspondiente. En esta expresión se ha introducido la función gen_normal(0;1) definida por el usuario, que genera un número aleatorio normal. En la celda B12 se ha introducido la expresión: =PROMEDIO(E5:E57) que calcula el precio semanal medio. A partir de este resultado, en B13 se calcula el cash flow final: =MAX(B12-B5;0) y en la celda B14 el valor descontado del mismo: =EXP(-B9*B8)*B13. Los resultados medios de la simulación se recogen en el rango A52:B54, y se obtienen a partir de los resultados de las simulaciones realizadas (columnas G y H) a través del módulo que se recoge a continuación.

9 GRÁFICO V Function Simular() 'Borrar rango de salida Filas = 0 For i = 1 To Contenido = Worksheets("Opciones_2").Cells(i + 2, "G").Value If Contenido = 0 Then Exit For Else Filas = Filas + 1 End If Next i Set RangoOcupado = Worksheets("Opciones_2").Range("G3", Worksheets("Opciones_2").Cells(Filas + 2, "H")) RangoOcupado.ClearContents 'Simulaciones Simulaciones = InputBox("Número de simulaciones: ") For i = 1 To Simulaciones Worksheets("Opciones_2").Calculate Worksheets("Opciones_2").Cells(i + 2, "G").Value = i Worksheets("Opciones_2").Cells(i + 2, "H").Value = Worksheets("Opciones_2").Range("B14").Value Next i Worksheets("Opciones_2").Range("B52").Value = Simulaciones Set rango = Worksheets("Opciones_2").Range("H3", Worksheets("Opciones_2").Cells(Simulaciones + 2, "H")) Worksheets("Opciones_2").Range("B53").Value = Application.Average(rango) Worksheets("Opciones_2").Range("B54").Value = Application.StDevP(rango) End Function

10 VII. ANÁLISIS DE DURACIÓN Dentro de las herramientas de análisis, se pueden incorporar también dos funciones para realizar el análisis de duración: DURACION(liq; vto; cupón; rto; frec; base) Devuelve la duración de Macauley de un bono de valor nominal supuesto de 100 unidades monetarias. Cada uno de los argumentos de la función representan los siguientes parámetros del bono: Liq es la fecha de liquidación o adquisición del bono. Vto es la fecha de vencimiento del bono. Cupón es la tasa de interés nominal anual del bono. Rto es el rendimiento al vencimiento del bono (interés noiminal). Frec es el número de cupones que se pagan por año. Base determina el cálculo de días: 0 u omitida (USA 30/360); 1 (Actual/Actual); 2 (Actual/360); 3 (Actual/365); 4 (Europea 30/360). DURACION.MODIF(liq; vto; cupón; rto; frec; base) Devuelve la duración modificada de un valor bursátil, a través de la expresión: Duración modificada = Duración Rendimient o al vencimien to 1 + Número de cupones anuales Los argumentos y funcionamiento son similares a los de la función DURACION. Dado que ambas funciones son relativamente complejas de manejar, puede ser recomendable la creación de una función definida por el usuario que calcule la duración con los siguientes argumentos: pagos, cupón, rendimiento al vencimiento y tiempo hasta el primer pago. Otras aplicaciones clásicas de problemas financieros como la gestión de carteras, también desarrollados desde los primeros pasos de la hoja de cálculo pueden analizarse en Medina(1993) y en la mayoría de los textos de programación no lineal de los últimos años. Destacar por último el gran número de funciones financieras que las Herramientas de análisis hacen disponibles, y que en muchos caso resultan opacas al usuario. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS FERNÁNDEZ, P. (1996): Opciones, futuros e instrumentos derivados. Deusto. Bilbao. MEDINA, A.(1993): 50 Modelos financieros con Excel. Anaya Multimedia. Madrid. LÓPEZ, S. y SÁNCHEZ, I.(1997): Modelización financiera con Maple V, en

11 Byana, A. y otros: Matemática de las Operaciones Financieras 97, Universitat de Barcelona.