Estimación de modelos ARIMA: Paro y empleo registrado

Transcripción

1 Eqipo docene de Esimación de modelos ARIMA: El objeivo de ese rabajo es realizar n repaso de la meodología ARIMA de series emporales aplicándola a dos variables económicas fndamenales, empleo y paro. En general se considera qe esos modelos predicen my bien a coro plazo, pero es discible qe pedan hacerlo de forma acepable a medio y largo plazo. Al no ener relación algna con la eoría económica difícilmene peden capar el efeco de las nevas condiciones de la coynra económica, sobre odo cando se prodcen cambios o pnos de inflexión del ciclo económico, como ocrre en la economía española acalmene. El análisis de los modelos ARIMA exige no sólo n conocimieno eórico sficiene y na desreza prácica, sino ambién la posibilidad de disponer de algún programa de ordenador para la realización de los cálclos necesarios. Nosoros ilizaremos el programa GREL, programa de economería graio qe se pede bajar de Inerne. En el crso viral (presenación de la asignara) se pede descargar el programa. Iremos viendo paso a paso como se iliza el programa y repasando la eoría de los modelos ARIMA, es decir repasaremos lo esdiado en los seis primeros capílos del libro. En general, para idenificar, esimar y validar n modelo ARIMA se deben segir los sigienes pasos:

2 Eqipo docene de Recomendamos qe el almno vaya sigiendo mediane el programa GREL los disinos pasos qe vamos realizando para adqirir compeencia en el manejo del programa y obener, de esa manera, na mayor comprensión eórica y prácica. ambién recomendamos qe al analizar los disinos correlogramas de las series se enga a mano el anexo I de ese docmeno (forma qe oma el Correlograma para la idenificación de modelos ARIMA) de manera qe peda comprender por qé se elije n ipo de modelo deerminado y no oro. El anexo II mesra como se calcla el correlograma (Fnciones de Aocorrelación oal y Parcial) de calqier serie de iempo, los almnos deben de comprender y saber calclarlas manalmene. Analizaremos las variables paro y empleo en España drane los úlimos 27 años (hasa diciembre de 2009, es decir, esimaremos el modelo ARIMA enre enero 982 y diciembre de 2009 y haremos na predicción para 200). La acalidad del ema es evidene, la coynra económica mesra na acividad económica caracerizada por na grave crisis del secor financiero inernacional qe en España se ha manifesado esencialmene en na fere crisis de liqidez. El panorama nacional se agrava con el fere endedamieno de las familias y las empresas, el exraordinario défici por cena corriene y la caída de la acividad en general (ameno del paro y disminción del empleo) pero especialmene del secor de la consrcción. Primero nos planeamos qé daos ilizar. radicionalmene se ha ilizado el paro y el empleo regisrado. Pero acalmene se iliza la Encesa de Población Aciva (EPA) qe para algnos aores son de mayor calidad. Aqí ilizaremos las fene de la Segridad Social (paro y afiliaciones regisradas en la Segridad Social) qe ienen la venaja de ener periodicidad mensal, la EPA es rimesral, y ambién de ser na esadísica cyos daos se pblican con anerioridad, es decir, enemos daos más acalizados para el análisis de coynra. El almno ineresado en el ema pede realizar el análisis de las series de la EPA qe ambién se peden descargar de la misma base de daos qe ilizaremos. La base de daos ilizada es la del Banco de España ( Enrando en Boleín esadísico y Series emporales compleas, grabamos en disco la carpea be.zip, qe coniene mlid de ficheros de daos. ambién la carpea coniene el fichero denominado Caálogo en el qe se describen odas las series de iempo qe coniene la base de daos y los ficheros donde se encenran cada na de ellas. Los ficheros son del ipo.csv qe se peden leer mediane Excel. Para visalizar los daos correcamene (en Excel) seleccionamos, en el fichero caalogo y la primera colmna complea, enramos en el menú daos exo en colmnas y seleccionamos la opciones delimiados coma finalizar. Los Afiliados a la Segridad Social, es decir el empleo regisrado, se encenra en el fichero be249.csv y el paro regisrado en be245.csv. Las afiliaciones comienzan en enero de 982, el paro en 939. Para ener ambas variables en el mismo fichero ilizaremos el periodo qe va de enero de 982 a febrero de 200. Para ilizar esos daos en el programa Grel primero crearemos n fichero Excel con ambas series emporales, ello se consige simplemene creando n fichero nevo de Excel con los daos de afiliaciones y paro en las dos primeras colmnas (desde enero de 982 hasa febrero de 200, mediane el procedimieno de copiar y pegar) además en la primera fila de ambas colmnas pondremos los nombres de ambas colmnas ( afiliados y paro 2

3 Eqipo docene de en nesro caso, qe lego ilizaremos como nombre de las variables) y finalmene grabamos el fichero para lego ilizarlo (afiliados.xls). Grel Al abrir el programa Grel aparece s venana principal, en la opción Archivo del menú podemos seleccionar la opción Nevo conjno de daos si qeremos grabar los daos manalmene o Abrir daos si qeremos rabajar con daos grabados aneriormene en ora sesión o imporar daos. Peso qe vamos a imporar los daos de Excel, seleccionamos en el menú: Archivo Abrir daos Imporar Excel bscamos el fichero Afiliados.xls Afiliados.xls. El programa pregna si comenzar a copiar en la fila y colmna ok Los daos han sido inerpreados como sin fecha Desea inerprearlos como serie de iempo Mensal inrodcir la fecha de la primera observación (en ese caso enero de 982) y finalmene en la venana aparecerán las dos variables. Con el objeivo de poder realizar predicción hisórica redzco el rango de daos hasa diciembre de 2009 (GREL: en el menú Mesra Esablecer rango redcir final hasa ok ) para realizar la esimación enre enero de 982 y diciembre de 2009, es decir, como si sólo viéramos daos hasa diciembre de Paro regisrado El Gráfico mesra el paro regisrado (GREL: en el menú seleccionar Ver Gráficos Gráfico de series emporales elegir Paro ok ) Gráfico Paro regisrado ( ) Se aprecia el fere crecimieno del paro hasa la segnda miad de los ochena (crisis del peróleo y reconversión indsrial); la caída hasa el novena y dos (obras de infraesrcras para las Olimpiadas y la Exposición Universal de Sevilla); la crisis del novena y res, con amenos del paro hasa mediados de los novena; la fere caída del 3

4 Eqipo docene de paro hasa principios del nevo milenio (enrada en el Ero, ipos de inerés bajos, desarrollo de odos los secores y especialmene de la consrcción); el nevo milenio presena nos niveles de paro esables hasa el comienzo de la crisis acal donde el paro se dispara desde el enorno de los dos millones de parados en 2008 a los caro millones de 200. Para poder aplicar la meodología ARIMA la serie debe ser esacionaria:. Bajo el speso de qe na series hisórica esá compesa por «n» variables aleaorias. En senido esrico esa serie es esacionaria si y sólo si las fnciones de disribción de frecencias de esas «n» variables son igales, es decir, si para disinos momenos de iempo se cmple qe: F( )=F( ), represenando y dos momenos diferenes de iempo ( ). 2. En senido amplio, sin embargo, basa con qe se cmplan las sigienes condiciones: a. Media consane: E( ) = b. Varianza consane: var( ) = σ 2 De manera qe lo primero qe hay qe hacer es ver si la serie del paro regisrado es esacionaria, el menos en senido amplio. En el gráfico se aprecian ciclos qe, en principio, y peso qe esos movimienos parecen sisemáicos, difícilmene son compaibles con la definición de esacionaridad («n» variables aleaorias con igal Fnción de Disribción). Una forma prácica de ver si na serie es esacionaria o no, es calclar las Fnción de Aocorrelación oal y si los valores decrecen rápidamene, la serie es esacionaria. El Correlograma del paro en niveles se reprodce en el gráfico 2 (GREL: en el menú seleccionar la variable Paro con el raón en el menú pinchar en Variable Correlograma ). 4

5 Eqipo docene de Gráfico 2 Correlograma del Paro en niveles Donde la Fnción de Aocorrelación decrece lenamene (pare sperior del gráfico 2, denominado FAC ), consecenemene el paro en niveles no es esacionario. La meodología ARIMA asme qe la forma de consegir series esacionarias consise en diferenciar reglar y/o esacionalmene. Una serie es inegrada de orden cero si es esacionaria [I(0)] e inegrada de orden no [I()] si es necesario na primera diferencia reglar para consegirlo y así scesivamene. Si consideramos la pare reglar y esacional conjnamene enonces na serie por ejemplo I(,) es aqella qe se hace esacionaria, o inegrada de orden cero [I(0)], realizando na primera diferencia reglar [d( )= - ] y ora esacional [d 2 ( )= -2 ]. Peso qe el paro regisrado no es esacionario en niveles probamos la primera diferencia reglar, es decir, comprobamos si el paro es inegrado de orden no [I()] calclando la primera diferencia reglar para ver si es esacionaria (GREL: seleccionar la variable Paro y en el menú seleccionar Añadir Primeras diferencias de las variables seleccionadas en la venana se mesra la neva variable en diferencias d_paro ). El gráfico 3 mesra el paro en primeras diferencias (GREL: en el menú selecinar Ver Gráficos Gráfico de series emporales elegir d_paro ok ). 5

6 Eqipo docene de Gráfico 3 Paro regisrado en diferencias Cyo Correlograma se mesra en el sigiene gráfico (GREL: seleccionar la variable d_paro con el raón en el menú Variable Correlograma ). Gráfico 4 Correlograma del paro en diferencias (d_paro) 6

7 Eqipo docene de La Fnción de Aocorrelación del paro regisrado en diferencias decrece rápidamene en los desfases reglares (primeros desfases) pero de forma lena en los reardos esacionales (2, 24, 36 y 48), de manera qe no es esacionario en la pare esacional, o dicho de ora forma, el paro regisrado no es na serie inegrada de orden no [I()]. De manera qe diferenciamos esacionalmene para comprobar si el paro es inegrado de orden no esacional [I(0,)]. Calclamos na diferencia esacional del paro reprodcida en el gráfico qe se mesra a coninación (GREL: seleccionar la variable Paro y en el menú Añadir Primeras diferencias esacionales de las variables seleccionadas en la venana aparece la neva variable en diferencias esacionales sd_paro ). Gráfico 5 Diferencia esacional del paro (sd_paro) Donde se observa con claridad las crisis del periodo (máximos relaivos): principios de los ochena, crisis del novena y res, crisis del novena y seis, del dos mil res y sobre odo la acal. S Correlograma (GREL: seleccionar la variable sd_paro con el raón y en el menú Variable Correlograma ) es el sigiene. 7

8 Eqipo docene de Gráfico 6 Correlogarama del paro en diferencias esacionales (sd_paro) Presena na Fnción de Aocorrelación oal (FAC) qe decrece lenamene en la pare reglar, la serie en diferencias esacionales no es esacionaria, el paro regisrado no es inegrado de orden no esacional [I(0,)]. De manera qe probamos si el paro es inegrado de orden no reglar y esacional [I(,)] calclando na diferencia esacional a parir de la serie en diferencias reglares (GREL: seleccionar la variable d_paro y en el menú Añadir Primeras diferencias esacionales de las variables seleccionadas en la venana aparece la neva variable en primeras diferencias reglares y esacionales sd_d_paro ), cyo gráfico se reprodce a coninación (GREL: Ver Gráficos Gráfico de series emporales elegir sd_d_paro ok ). 8

9 Eqipo docene de Gráfico 7 El paro en diferencias reglares y esacionales (sd_d_paro) Cyo correlograma es (GREL: seleccionar la variable sd_d_paro con el raón y en el menú Variable Correlograma ). Gráfico 8 Correlograma del paro diferenciado reglar y esacionalmene (sd_d_paro) 9

10 Eqipo docene de La pare reglar se asemeja a n AR(2) peso qe la Fnción de Aocorrelación oal presena dos valores significaivamene disinos de cero mienras qe la Fnción de aocorrelación parcial decrece rápidamene. En los desfases esacionales la cesión es diferene: el primer desfase esacional es significaivo, la Fnción de Aocorrelación Parcial esacional decrece rápidamene. De manera qe el paro en diferencias reglares y esacionales es esacionario [I(,)] y parece responder a n modelo AR(2) reglar y MA() 2 esacional, es decir, n SARIMA(2,,0)(0,,) qe se pede escribir de las sigiene forma: (-B)(-B 2 )W = = a - + a bv -2 + V [] Cya forma compaca es, ( - a B - a 2 B 2 ) =(+bb 2 )V [2] La esimación del modelo se reprodce en el cadro (GREL: en el menú seleccionar Modelo Series de iempo ARIMA seleccionar como variable dependiene sd_d_paro seleccionar en la pare no esacional: orden AR = 2, diferencia = 0 y orden MA = 0. Y en la pare esacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y orden MA =. Maneniendo la consane y seleccionar ok apareciendo na venana con la esimación del modelo). ARMA, sando las observaciones 983: :2 ( = 323) Esimado sando el filro de Kalman (MV exaca) Variable dependiene: sd_d_paro Desviaciones ípicas basadas en la mariz de prodcos exernos Coeficiene Desv. ípica Esadísico Valor p cons phi_ e-05 *** phi_ *** hea_ e-04 *** Media de la vble. dep D.. de la vble. dep media innovaciones D.. innovaciones Log-verosimilid Crierio de Akaike Crierio de Schwarz Cri. de Hannan-Qinn Cadro Esimación del modelo SARIMA(2,,0)(0,,) del paro odos los parámeros son significaivos: a (phi_), a 2 (phi_2) y b (hea_), el érmino independiene se sele manener por cesiones de ajse aún cando en ese caso no es significaivo. La validación del modelo se realiza comprobando qe los En ese senido hay qe recordar qe anqe la pare reglar parece qe se ajsa más a n AR(2) eso no qeda claro y podía ambién corresponder a n ARMA(,) reglar, de manera qe se recomienda esimar ambién ese modelo, y elegir el qe mejor ajsa sigiendo el crierio de Akaike, eso es lo qe se ha hecho sigiendo el crierio de parsimonia (libro de exo pág. 43), reslando qe el qe mejor ajsa es el AR(2) reglar. 2 Para la idenificación de los modelos ARIMA hay qe ener siempre en cena la forma qe oma el Correlograma para cada modelo eórico, en el ANEXO I de ese rabajo se mesra la forma eórica qe oman los disinos modelos ARIMA y en el ANEXO II se mesra como se calcla el Correlograma (Fnción de Aocorrelación oal y Parcial). 0

11 Eqipo docene de residos son RB (Rido Blanco). El gráfico 9 mesra el Correlograma de las discrepancias (GREL: en el cadro de la esimación del modelo (cardo ) seleccionar Gráficos Gráficos de residos Correlograma de los residos ). Gráfico 9 Correlograma de los residos de modelo SARIMA(2,,0)(0,,) del paro. Qe presena na Fnción de Aocorrelación ( FAC ) con sólo n valor significaivo, mayor de ( ) = 0.0, en el reardo 8 (0,46), el esadísico Box- Pierce 3 en el reardo 50 es 36, con n p-valor del 0.932, lo qe mesra nos residos cercanos a la imagen empírica de RB. De manera qe podemos considerar el modelo SARIMA(2,,0)(0,,) para el paro regisrado como validado. Una vez esimado el modelo realizamos la predicción para 200, para ello calclamos, a parir de la serie original la serie esacionaria en Excel. El cadro 2 reprodce la serie original del paro a parir de enero de 2009 (se pede calclar en Excel o a parir de la serie calclada por GREL sd_d_paro ), la colmna V es la qe calcla por GREL como residos del modelo (GREL: en la venana de esimación del modelo elegir Gardar Residos se genera na serie denominada haxx qe es la serie V del cadro 2). 3 Ver pp del libro de exo.

12 Eqipo docene de Obs. W Paro Cadro 2 Predicción 200 de la serie esacionaria Paro regisrado SARIMA(2,,0)(0,,) dparo dw =(W -W - ) dd2paro (dd 2 W =dw -dw -2 ) V Predicción 2 dd W ene feb ,2 0 mar , abr , may , jn , jl ago , sep , oc , nov ,3-924 dic , ene , feb ,3-507 mar abr may jn jl ago sep oc nov dic La úlima colmna es la predicción qe hemos calclado aplicando la ecación del modelo esimado, es decir, a parir de [] enemos qe, = 56, , , ,85765V -2 [3] Como sólo disponemos de daos de enero y febrero de 200, sólo podemos comparar la predicción en esos dos meses, en ambos la predicción sbesima el paro. La predicción en niveles se realiza a parir de [], el modelo esimado es (-B)(-B 2 )W = = 56, , , ,85765V -2 +V operando en la pare izqierda de la ecación enemos, (-B 2 -B+B 3 )W = =56, , , ,85765V -2 +V W W -2 W - +W -3 = =56,235+0, , ,85765V -2 +V el paro en niveles a parir de es, W = + W -2 + W - W -3 [4] 2

13 Eqipo docene de De manera qe podemos calclar, a parir de [4], la predicción del paro en niveles hasa diciembre de 200 qe se reprodce en el cadro 3. Para ello recrrimos a Excel. La segnda colmna mesra el paro regisrado (W ) en niveles hasa febrero de 200, la ercera es la predicción de la serie esacionaria (úlima colmna del cadro 2) hasa diciembre de 200, aplicando la ecación [4], se llega a la predicción del paro en niveles hasa diciembre de 200. Cadro 3 Predicción 200 del paro en niveles Paro regisrado SARIMA(2,,0)(0,,) Obs W W Paro esimada esimada ene feb mar abr may jn jl ago sep oc nov dic Podemos calclar, a parir de la ecación [], el paro esimado en niveles hasa diciembre de 2009 (GREL: en el menú seleccionar Modelo Series de iempo ARIMA seleccionar como variable dependiene Paro seleccionar en la pare no esacional: orden AR = 2, diferencia = y orden MA = 0. Y en la pare esacional: orden AR = 0, diferencia = y orden MA =. Maneniendo la consane y seleccionar ok apareciendo na venana con la esimación del modeloen la venana de esimación del modelo seleccionar Gráficos gráfico de la variable esimada y observada). El gráfico mesra el paro regisrado y esimado en niveles. 3

14 Eqipo docene de Gráfico Paro regisrado y esimación [modelo SARIMA(2,,0)(0,,)] Donde se observa a simple visa el ben ajse del modelo. El gráfico 2 mesra la predicción del paro en 200 y los observados. Gráfico 2 La predicción sbesima el paro efecivo hasa abril (anqe se pede considerar na predicción acepable hasa ese mes), a parir de mayo la predicción sobresima lo realmene scedido. En ese senido hay qe recordar qe los modelos ARIMA son especialmene adecados para predecir a coro plazo, lo qe ocrre en ese caso si consideramos sólo los 4 primeros meses. 4

15 Eqipo docene de Empleo (Afiliaciones a la Segridad Social) Los economisas consideramos, en general, qe el empleo es más adecado para el análisis de la evolción de la economía qe el paro peso qe mayor empleo implica necesariamene mayor prodcción, mienras qe en el paro inflyen oras circnsancias no relacionadas direcamene, como la incorporación de la mjer al mercado de rabajo, la emigración, ec. El gráfico 2 mesra el empleo regisrado (GREL: en el menú seleccionar Ver Gráficos Gráfico de series emporales elegir Afiliaciones ok ). EL gráfico 2 mesra na endencia creciene si consideramos odo el periodo. ambién se aprecia la ralenización de la primera miad de la década de los ochena (crisis del peróleo), la crisis del novena y res y la crisis acal. Gráfico 2 Empleo (afiliaciones a la Segridad Social) Peso qe la serie no es esacionaria [I(0)], Calclamos s primera diferencia para ver si es inegrada de orden no [I()], s gráfico se mesra a coninación (GREL: seleccionar la variable Afiliados y en el menú Añadir Primeras diferencias de las variables seleccionadas en la venana principal aparece la neva variable en diferencias d_afiliados ). 5

16 Eqipo docene de Gráfico 4 Primera diferencia del empleo Qe presena na varianza creciene a lo largo del periodo (heerocedasicidad), en definiiva la serie en primeras diferencias no es esacionaria. En mchas ocasiones aplicando logarimos se consige eviar la heerocedasicidad. De manera qe ransformamos la serie original en logarimos (GREL: seleccionar la variable Afiliados y en el menú Añadir Logarimos de las variables seleccionadas en la venana principal aparece la neva variable en logarimos l_afiliados ). El sigiene gráfico mesra el empleo en logarimos. Gráfico 5 Empleo en logarimos 6

17 Eqipo docene de Del qe se peden hacer los mismos comearios qe de la serie en niveles (gráfico 4): endencia creciene, crisis de la primera miad de los ochena, crisis del novena y res y ralenización acal. Peso qe la serie no es esacionaria en media calclamos s primeras diferencias con el objeivo de conrasar si la primera diferencia del empleo regisrado en logarimos es inegrado de orden no [I()] (GREL: seleccionar la variable l_afiliados y en el menú Añadir Primeras diferencias de las variables seleccionadas en la venana principal aparece la neva variable en diferencias d_l_afiliados ). Cyo gráfico se mesra a coninación. Gráfico 6 Primeras diferencias del empleo en logarimos Donde no se aprecia exisencia de heerocedasicidad ni endencia, s Correlograma se mesra en a coninación (GREL: seleccionar la variable d_l_afiliados con el raón y en el menú Variable Correlograma ). 7

18 Eqipo docene de Gráfico 7 Correlograma de las primeras diferencias reglares del empleo en logarimos Cya Fnción de Aocorrelación oal (FAC) cae rápidamene en los primeros desfases reglares pero ambién se observa na caída lena en los reardos esacionales. De manera qe no es esacionaria en la pare esacional, el empleo en logarimos no es inegrado de orden no [I()]. Ensayamos na diferencia esacional para ver si el empleo en logarimos es inegrado de orden no esacional [I(0,)]. Calclamos la primera diferencia esacional del empleo en logarimos (GREL: seleccionar la variable l_afiliados y en el menú Añadir Primeras diferencias esacionales de las variables seleccionadas en la venana principal aparece la neva variable en diferencias esacionales sd_l_afiliados ). Cya gráfica se mesra a coninación. 8

19 Eqipo docene de Gráfico 8 Primera diferencia esacional del empleo en logarimos Se observa, a parir de ss mínimos relaivos la crisis de la primera miad de los ochena, la del novena y res, y la acal. S Correlograma (Seleccionar la variable sd_l_afiliados con el raón y en el menú Variable Correlograma ) se mesra a coninación. Gráfico 9 Correlograma de la primera diferencia esacional del empleo en logarimos 9

20 Eqipo docene de Qe presena na Fnción de Aocorrelación oal qe disminye lenamene, de manera qe la primera diferencia esacional del empleo en logarimos no es esacionaria. Calclamos la primera diferencia reglar y esacional del empleo en logarimos con el objeivo de ver si el empleo en logarimos es inegrado de orden no reglar y esacional [I(,)] (GREL: seleccionar la variable d_l_afiliados y en el menú Añadir Primeras diferencias esacionales de las variables seleccionadas en la venana principal aparece la neva variable en diferencias esacionales sd_d_l_afiliados ). Cyo gráfico se mesra segidamene. Gráfico 20 Primeras diferencias reglares y esacionales del empleo en logarimos Cyo Correlograma (GREL: seleccionar la variable sd_d_l_afiliados con el raón y en el menú Variable Correlograma ) se reprodce segidamene. 20

21 Eqipo docene de Gráfico 2 Correlograma de las primeras diferencias reglares y esacionales del empleo en logarimos Correlograma qe no es fácil de inerprear (sorprende qe sea creciene los res primeros reardos ano de la fnción de aocorrelación parcial como oal), en odo caso el empleo en logarimos es inegrado de orden no reglar y esacional [I(,)]. El primer desfase no es significaivo mienras qe el segndo y ercero si lo son. Los desfases esaciones son significaivos al menos los dos primeros (desfases 2 y 24) ano en la aocorrelación parcial como oal. Hemos llegado, mediane esimaciones ieraivas de diferenes especificaciones alernaivas, sigiendo el crierio de Akaike (pág. 78), al modelo SARIMA(3,,)(0,,2) qe se reprodce a coninación (GREL: en el menú seleccionar Modelo Series de iempo ARIMA seleccionar como variable dependiene sd_d_l_afiliados seleccionar en la pare no esacional: orden AR = 3, diferencia = 0 y orden MA =. Y en la pare esacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y orden MA = 2. ambién eliminar la consane y seleccionar ok apareciendo na venana con la esimación del modelo). 2

22 Eqipo docene de ARMA, sando las observaciones 983: :2 ( = 323) Esimado sando el filro de Kalman (MV exaca) Variable dependiene: sd_d_l_afiliado Desviaciones ípicas basadas en la mariz de prodcos exernos Coeficiene Desv. ípica Esadísico Valor p phi_ *** phi_ ** phi_ e-06 *** hea_ *** hea_ e-5 *** hea_ *** Media de la vble. dep D.. de la vble. dep media innovaciones 8.46e-06 D.. innovaciones Log-verosimilid Crierio de Akaike Crierio de Schwarz Cri. de Hannan-Qinn Cadro 5 Esimación del modelo SARIMA(3,,)(0,,2) del empleo en logarimos Cyos parámeros son significaivos. La validación del modelo, a parir del Correlograma de los residos se mesra a coninación (GREL: en el cadro de la esimación seleccionar Gráficos Gráficos de residos Correlograma ). Gráfico 22 Correlograma de los residos del modelo SARIMA(3,,)(0,,2) del empleo en logarimos 22

23 Eqipo docene de Presena valores significaivos (mayores de 0.0 en érminos absolos) en la Fnción de Aocorrelación oal en los desfases 4, 23, 28, 32, 33, 39 y 45. El esadísico Box-Pierce en el reardo 50 es 72, de manera qe a pesar de qe los primeros reardos no son significaivos el esadísico Box-Pierce indica qe los residos no son RB. Speso qe los residos se pdieran considerar RB, el modelo en noación compaca es, ( a B a 2 B 2 a 3 B 3 )( B)( B 2 )Ln(W ) = (+b B+b 2 B 2 +b 3 B 24 )V operando enemos, ( B)( B 2 )Ln(W ) = = V +b V - +b 2 V -2 +b 3 V -24 +a - +a 2-2 +a 3-3 ( B 2 B + B 3 )Ln(W ) = = V +b V - +b 2 V -2 +b 3 V -24 +a - +a 2-2 +a 3-3 y el modelo esimado es, ( B 2 B+B 3 )Ln(W )= =V -0,40V - -0,48V -2-0,9V , ,3-2 +0,30-3 Esimado el modelo realizamos la predicción para 200, para ello calclamos, a parir de la serie original, la serie esacionaria en Excel, el cadro 7 reprodce la serie original del empleo a parir de enero de 2009 (se pede calclar en Excel o a parir de la serie calclada en GREL sd_d_l_afiliado ), la colmna V es la qe calcla GREL como residos del modelo (GREL: en la venana de esimación del model elegir Gardar Residos se genera na serie denominada haxx qe es la serie V del cadro 7). Obs. W Afiliados Ln(W ) Cadro 7 Predicción 200 de la serie esacionaria Afiliados regisrado SARIMA(2,,0)(0,,) dln(w ) dln(w )=ln(w )- -ln(w -) dd 2 Ln(W ) dd 2 Ln(W )=dln(w )- -dln(w -2) 23 V Predicción dd W 2 ln ene , , , , , feb , , , , , mar , , , , , abr , , , , , may ,7439 0, , , , jn , ,0067 0, , , jl , , , , , ago , , , , , sep , , , , , oc , , , , , nov , , , , , dic , , , , , ene , , , , , feb , , , ,0008 0, mar-0 0, abr-0 0, may-0 0, jn-0 0, jl-0 0, ago-0-8,375e-05 sep-0 0, oc-0-0, nov-0 0, dic-0 0,

24 Eqipo docene de podemos calclar la serie en niveles a parir de la serie esacionaria Ln(W ) Ln(W -2 ) Ln(W - ) + Ln(W -3 ) = Ln(W ) = + Ln(W -2 ) + Ln(W - ) Ln(W -3 ) [5] W = exp[ + Ln(W -2 ) + Ln(W - ) Ln(W -3 )] [6] A parir de [6] calclamos la predicción del empleo en niveles hasa diciembre de 200. Para ello recrrimos a Excel. La segnda colmna del cadro 8 mesra los afiliados regisrados (W ) en niveles hasa febrero de 200, la ercera la predicción de la serie esacionaria (úlima colmna del cadro 7), hasa diciembre de 200. Calclando [6] se llega a la predicción de los afiliados regisrados en niveles (úlima colmna del cadro 8). Cadro 8 Predicción 200 del empleo en niveles Afiliados SARIMA(3,,)(0,,2) Obs W W Afiliados esimada esimada ene , feb , mar-0 0, abr-0 0, may-0 0, jn-0 0, jl-0 0, ago-0-8,375e sep-0 0, oc-0-0, nov-0 0, dic-0 0, Podemos mosrar los afiliados observados y esimados en logarimos, hasa diciembre de 2009 (GREL: en el menú seleccionar Modelo Series de iempo ARIMA seleccionar como variable dependiene l_afiliados seleccionar en la pare no esacional: orden AR = 3, diferencia = y orden MA =. Y en la pare esacional: orden AR = 0, diferencia = y orden MA = 2. Eliminando la consane y seleccionando ok aparece la venana con la esimación del modeloen la venana de esimación seleccionar Gráficos gráfico de la variable esimada y observada). El gráfico 23 mesra el empleo regisrado y esimado en logarimos. 24

25 Eqipo docene de Gráfico 23 Empleo regisrado y esimación en logarimos, modelo SARIMA(3,,)(0,,2) Qe mesra n ben ajse, de manera qe anqe no esá claro si los residos son RB, podemos ilizar el modelo para predecir. El gráfico 24 mesra la predicción del empleo para 200 y el empleo observado en enero y febrero. Cadro 24 Predicción del empleo en niveles para 200 SARIMA(3,,)(0,,2) Se planea na coynra en la qe el empleo ermina el año en los mismos niveles en qe empezó, comparando la predicción con lo efecivamene ocrrido la conclsión es qe la predicción en s conjno se pede considerar adecada sobresimado el empleo pero en na canía acepable. 25

26 Eqipo docene de El almno debe observar qe en la pare reglar de ese modelo ARIMA(3,,), la sma de los componenes aorregresivo y medias móviles es 4, my alejado de la recomendación de Anderson (p + q 2) (pág. 43 del libro). Hbiera sido mejor esimar el modelo SARIMA(0,,0)(0,,2) y añadir dos aorregresivos de orden 2 y 3. En ese caso el crierio de Akaike mejora (-2742,589) y por ano ambién el ajse. El correlograma de los residos presena valores significaivos (mayores de 0.0 en érminos absolos) de la Fnción de Aocorrelación oal en los mismos desfases qe el modelo anerior y el esadísico Box-Pierce en el reardo 50 es ambién 72, de manera qe ampoco en ese modelo qeda claro si los residos son RB. En odo caso la predicción es my parecida y desde el pno de visa didácico consideramos mejor el modelo esimado aneriormene. Conclsiones Las evidencias empíricas mesran qe ambas variables son inegradas de orden no reglar y esacional [I(,)]. El paro se ajsa bien el modelo SARIMA(2,,0)(0,,), es decir n AR(2) en la pare reglar y n MA() en la esacional cyos residos son na imagen empírica cercana a rido blanco. La predicción es adecada en los primeros 4 meses, alejándose a parir del mes mayo de lo efecivamene ocrrido. El modelo del empleo qe mejor se ajsa es n SARIMA(3,,)(0,,2). Los residos del modelo presenan ddas respeco a s validación. El pronósico sobresima las cifras de empleo pero se compara basane bien, el pronósico de esancamieno del empleo ha reslado ciero. 26

27 Eqipo docene de ANEXO I (forma qe oma el Correlograma para la idenificación de modelos ARIMA) 27

28 Eqipo docene de 28

29 Eqipo docene de 29

30 Eqipo docene de 30 ANEXO II (CÁLCULO DEL CORRELOGRAMA) Como sabéis, los modelos ARIMA ilizan como herramiena para idenificar y validar ss modelos el Correlograma. A coninación se mesra como se calclan las Fnciones de Aocorrelación oal y Fnción Aocorrelación Parcial de calqier serie emporal. Fnción de Aocorrelación. En el libro de se ilsra el proceso de cálclo de la fnción de aocorrelación referida a los 2 números de la serie original de manchas solares pág. 85 y sigienes. La fnción de aocorrelación se pede calclar a parir de los sigienes esadísicos:. C C R C C R C C R donde:, y Asínóicamene los res esadísicos son igales, pero cando se rabaja con pocas observaciones pede haber diferencias significaivas. Realizando la fnción de aocorrelación a parir del esadísico. C C R 2 0, y eniendo en cena los cálclos inermedios qe se reprodcen en el cadro.

31 Eqipo docene de Cadro Obs. ( - 43,28) ( ( -43,28) - 43,28) 2 - (--43,28) ( --43,28) -2 ( -2-43,28) ( -43,28) ( -2-43,28) -3 ( -3-43,28) ( -43,28) ( -3-43,28) -0 ( -0-43,28) ( -43,28) ( -0-43,28) ,90 37,62 45, ,40 40,2 609,35 80,90 37,62 509, ,70 4,42 9,5 83,40 40,2 77,8 80,90 37,62 66, ,80 4,52 20,40 47,70 4,42 9,95 83,40 40,2 8,9 80,90 37,62 69, ,70-2,58 58,34 47,80 4,52-56,83 47,70 4,42-55,58 83,40 40,2-504, ,20-3,08 966,7 30,70-2,58 39,3 47,80 4,52-40,39 47,70 4,42-37, ,60-33,68 34,57 2,20-3,08 046,99 30,70-2,58 423,85 47,80 4,52-52, ,20-33,08 094,5 9,60-33,68 4,36 2,20-3,08 028,34 30,70-2,58 46, ,40-0,88 8,45 0,20-33,08 360,06 9,60-33,68 366,59 2,20-3,08 338, ,60 4,32 8,63 32,40-0,88-46,98 0,20-33,08-42,8 9,60-33,68-45, ,00 0,72 4,85 47,60 4,32 46,26 32,40-0,88-6,63 0,20-33,08-354,54 80,90 37,62 403, ,90 9,62 384,8 54,00 0,72 20,23 47,60 4,32 84,68 32,40-0,88-23,49 83,40 40,2 786,96 Sma 59, ,60 477,39 795,38-583,7 90,08 Media 43,28 587,88 3

32 En definiiva ilizando ese esadísico, la Fnción de Aocorrelación es: Desfase R C R 2 477, ,60 C C R C 7054, C ,7 R3-0,083 C 7054, C R3 0,69 C 7054,60 0 Fnción de Aocorrelación Parcial La Fnción de Aocorrelación Parcial coincide con el parámero mínimo cadráico aorregresivo de orden «q», así el valor de la Fnción de Aocorrelación Parcial de la serie en desviaciones a las medias será: = a - [], donde «a» es el valor de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden no. = a - +a 22-2 [2], donde «a 22» es el valor de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden dos, obsérvese qe «a» es disino qe «a»... = a - + a a pp -p [3], donde «a pp» es el valor de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden «p». De manera qe se pede calclar la Fnción de Aocorrelación parcial por MCO. ambién es posible calclar la Fnción de Aocorrelación Parcial a parir de la Fnción de Aocorrelación (ecaciones de Yle-Walker). 32

33 Cálclo de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden no (a). Mliplicando [] por «-»en ambos lados se iene, - = a - -, y aplicando esperanzas, E ( - ) = a E( - - ) C = a C 0, y dividiendo por «C 0», R = a, de manera qe el Fnción de Aocorrelación y la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden no coinciden. Cálclo de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden 2 (a 22 ) Mliplicando [2] por «-» en ambos miembros se iene, - = a a , y aplicando esperanzas, E ( - ) = a E( - - ) + a 22 E( - -2 ) C = a C 0 +a 22 C, y dividendo por «C 0», R = a R 0 +a 22 R [4] mliplicando [2] por «-2»en ambos miembros, -2 = a a , y aplicando esperanzas, E ( -2 ) = a E( - -2 ) + a 22 E( -2-2 ) C 2 = a C +a 22 C 0, y dividendo por «C 0», R 2 = a R +a 22 R 0 [5] De manera qe enemos dos ecaciones [4] y [5] y dos incógnias («a» y «a 22») sisema de ecaciones qe en forma maricial se: R R R R a 0 R R a enemos,, premliplicando por la mariz inversa del segndo miembro a a R R R [6] R R R de manera qe podemos calclar a 22 conociendo «R» y «R 2». Cálclo de la Fnción de Aocorrelación Parcial de orden p (a ) Mliplicando [3] por «-» en ambos miembros se iene, - = a a a pp -p -, y aplicando esperanzas, E ( - ) = a E( - - ) + a 2 E( - - )+ + E(a pp -p - ) 33

34 C = a C - +a 2 C a pp C -p, y dividendo por «C 0», R = a R - +a 22 R a pp R -p [7] Dando valores a se obienen las ecaciones de Yle-Walker. a R R R R 0 a22 R R0 R 2 R2, qe permien calclar la Fnción de a R R R R 2 0 Aocorrelación parcial de orden. Cálclo de la Fnción de Aocorrelación Parcial de las manchas solares Fnción de Acorrelación Parcial de orden se calcla a parir de [] a = R ; a =0.676 La fnción de Acorrelación parcial de orden 2 se calcla a parir de [6] a R0 R R a22 R R0 R Valores qe coinciden con los del Correlograma calclado por el ordenador. Sample: Inclded observaions: 2 Aocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. *****. ***** **..*** *.. * ***..*** **** ****.. ** **.. * ** *.. * *.. *