CRECIMIENTO ECONÓMICO Ejercicios. 3 o Licenciatura en Economía. Profesor: Mikel Casares Departamento de Economía UNIVERSIDAD PÚBLICA DE NAVARRA

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1 CRECIMIENTO ECONÓMICO Ejercicios 3 o Licenciatura en Economía Profesor: Mikel Casares Departamento de Economía UNIVERSIDAD PÚBLICA DE NAVARRA Curso 2011/2012

2 EJERCICIOS TEMA 1 Introducción. 1. En el año 1900 existían 3 países A, B y C cuyo PIB anual tenía un valor de 1 millón de $ y cuya población era de 1000 habitantes. Durante todo el siglo XX la tasa de crecimiento anual acumulada del PIB fue un 2% cada año en el país A, un 1.5% en el país B y un 1% en el país C. Al mismo tiempo la población aumento a una tasa anual acumulada del 0.5% en los 3 países. Se pide: i) Calcular el PIB, la población y el PIB per capita en el año 2000 en los 3 países. ii) Calcular la tasa de crecimiento anual acumulada del PIB per capita durante el siglo XX en los tres países. iii) Cuántas veces el PIB del año 1900 está contenido en el PIB del año 2000 en cada uno de los tres países? Y en términos per capita? iv) Cuántas veces el PIB del país C en 2000 está contenido en el PIB del país A en 2000? Y en términos per capita? 2. La tasa de crecimiento instántanea de la variable temporal x t se de ne como x xt = =. Comprobar el cumplimiento de las siguientes propiedades x t x t i) xt log ii) Siendo z t = x t :y t =) zt = xt + yt iii) Siendo z t = xt y t =) zt = xt yt 3. Existen dos variables A t y B t que están creciendo con el paso del tiempo. Los procesos de crecimiento que describen son respectivamente A t = e xt A 0 y B t = (1 + x) t B 0. i) Calcular las tasas de crecimiento instantáneas de las dos variables At y Bt. Son idénticas? ii) Supongamos que A 0 = B 0 = 1 y x = 0:02. Calcula los valores de A 10 y B 10. Cuánto han crecido estas variables en el transcurso de los 10 periodos considerados? Ahora, calcula los valores de A 100 y B 100 : Comenta los resultados. 4. (Junio 2002) El producto per capita de una economía evoluciona de acuerdo al siguiente proceso temporal y t = 5t 2 y 0 : Calcular su tasa de crecimiento instantánea yt = : y t y t. A qué tasa crecerá el producto per capita en el periodo 20? Y en el 100? 1

3 Representar grá camente la evolución de la tasa de crecimiento instantánea a lo largo del tiempo. 5. Hallar y representar grá camente la tasa de crecimiento instántanea de las siguientes series temporales: i) x t = 0:04 ii) y t = 0:04y t iii) w t = 0:04 0:01w t iv) z t = 0:01z t 0:04 Discutir la existencia o no de estado estacionario en cada uno de los procesos. 6. Funciones de producción. Estudiar propiedades de distintas funciones de producción. Determinar si tienen o no rendimientos constantes a escala, si su productividad marginal es decreciente en el trabajo L y en el capital K, y si satisfacen las condiciones de Inada: i) F (K t ; L t ) = p K t L t ii) G(K t ; L t ) = K t L t iii) H(K t ; L t ) = K t + L t iv) I(K t ; L t ) = p K t + p 2 L t 7. (Septiembre 2002) Determinar si la siguiente función de producción es neoclásica: F (K t ; L t ) = 10 + p K t L t : Justi ca tu respuesta comprobando si la función satisface las tres propiedades de la función de producción neoclásica. 8. (Septiembre 2003) i) Hallar la tasa de crecimiento instantánea de la siguiente serie temporal y t = (1 + t) 2 y 0 ii) Existe un estado estacionario para la variable y? Describirlo si la respuesta es a rmativa y razonar porqué no existe si la respuesta es negativa. 9. (Junio 2004) De nir estado estacionario y poner un ejemplo. 2

4 10. (Septiembre 2007) Un sistema formado por dos variables temporales que siempre toman valores positivos, x t > 0; y t > 0; evoluciona de acuerdo a las siguientes dos ecuaciones x t = y t e 0:02t y t = 0:2 p y t 0:5y t Hallar las tasas de crecimiento de x t y de y t en el estado estacionario. 11. (Septiembre 2008) Discutir si la siguiente función de producción es neoclásica o no: 13. (Junio 2010) Hallar la tasa de crecimiento instantánea del siguiente proceso temporal F (K t ; L t ) = A p K t + B p L t 12. (Junio 2009) Razonar si la siguiente función de producción es neoclásica o no: Y t = K0:2 t L 0:8 t 5 x t = 4e0:05t t 2 : Hacia que tasa de crecimiento se aproxima en el (posible) estado estacionario? 3

5 EJERCICIOS TEMA 2 Modelos con tasa de ahorro constante y exógena Modelo de Solow-Swan. 1. (Junio 2011) Se conocen los siguientes datos de una pequeña economía de Solow- Swan con función de producción Cobb-Douglas: s = 0:18, = 0:05, n = 0:02, = 0:4. Además, se conocen el capital agregado y la población en 2010: K 2010 = 8500 unidades y L 2010 = 4500 habitantes. Hallar el consumo agregado en La función de producción de una economía es F (L t ; K t ) = p L t K t. La tasa de ahorro de sus familias es constante e igual a s. Del mismo modo el capital se deprecia a una tasa constante y la población crece también a una tasa constante e igual a n. Se trata, además, de una economía cerrada sin sector público. i) Obtener la variación instantánea del capital per capita k t en esta economía como una función del capital corriente per capita k t (Ecuación Fundamental): Interprete el resultado y represente grá camente la función obtenida. ii) Tras un análisis estadístico se ha concluído que la tasa de ahorro es s = 0:25, su tasa de depreciación del capital es del 10% ( = 0:10), y la población crece al 2.5% (n = 0:025). Suponiendo que en este momento inicial k 0 = 1 determinar si el capital per capita del siguiente periodo k 1 será mayor o menor que el actual. iii) Qué va a ocurrir con el capital per capita desde el momento actual hasta que se alcance una situación de equilibrio? De nir el estado estacionario y calcular el valor numérico del capital per capita k, el producto per capita y, y el consumo per capita c de equilibrio. A que tasa estarán creciendo estas tres variables en el estado estacionario? A qué tasa lo harán el capital agregado K, el producto agregado Y, y el consumo agregado C? 3. Con los datos del ejercicio anterior, i) calcule el capital per capita de la regla de oro, k oro : Por qué decimos que k oro es el stock de capital per capita óptimo? ii) Obtenga la tasa de ahorro con la que se alcanzaría el nivel de capital per capita de la regla de oro k oro en estado estacionario: Represente grá camente el resultado obtenido. iii) Podría sugerir alguna medida de política económica encaminada a la consecución de la regla de oro? 4

6 4. (Septiembre 2004) i) Calcular el capital de la regla de oro en el modelo de Solow- Swan con función de producción Cobb-Douglas. ii) Qué valor debería de tener la tasa de ahorro s en función de algún parámetro del modelo para que el capital per capita del estado estacionario cumpliese la regla de oro? 5. (Junio 2002) La función de producción en una economía de Solow es F (L t ; K t ) = p Lt K t. La tasa de ahorro de sus familias es siempre el 25% de su ingreso (s = 0:25). En esta economía el capital se deprecia a una tasa constante del 8% ( = 0:08) y la población crece también a una tasa constante e igual al 2% cada periodo (n = 0:02). i) Hallar la ecuación fundamental, interpretarla y representarla grá camente. ii) Calcular el estado estacionario de esta economía. Qué nivel tienen el capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita? A que tasa estarán creciendo estas tres variables en el estado estacionario? A qué tasa lo harán el capital agregado K, el producto agregado Y, y el consumo agregado C? iii) Hallar el capital per capita de la regla de oro k oro para esta economía: 6. (Septiembre 2009) Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb- Douglas se encuentra en el estado estacionario. Supongamos que en un momento dado se produce un aumento de la tasa de depreciación del capital, de tal forma que a partir de entonces 0 >. Describir sus consecuencias a corto y largo plazo sobre el capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita. Justi que su respuesta apoyándose en grá cos explicativos. 7. Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb-Douglas se encuentra en el estado estacionario. Supongamos que en un momento dado se produce una disminución de la tasa de crecimiento de la población n, de tal forma que a partir de entonces n 0 < n. Describir sus consecuencias a corto y largo plazo sobre el capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita. Justi que su respuesta apoyándose en grá cos explicativos. 8. (Junio 2005) Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb- Douglas F (K t ; L t ) = K t L 1 t se encuentra en el estado estacionario. Supongamos que en un momento dado se produce un aumento del coe ciente, de tal forma que a partir de entonces 0 >. Si asumimos que el capital per capita es superior a la unidad y que 0 < < 1: 5

7 i) Describir las consecuencias a corto plazo sobre el capital per capita. Justi car la respuesta apoyándose en un grá co explicativo. ii) Describir las consecuencias a largo plazo sobre el capital per capita, el producto per capita, el consumo per capita, y el capital de la regla de oro. iii) Representar grá camente la evolución a lo largo del tiempo del producto per capita desde el estado estacionario inicial hasta el estado estacionario nal. Comentar el (posible) crecimiento económico. iv) Cómo se va a ver afectada la tasa de crecimiento del producto agregado a corto plazo? Y a largo plazo? 9. Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb-Douglas Y t = Kt L 1 t viene caracterizada por los siguientes parámetros s = 0:32, = 0:5, y = 0:065. Además, en el momento actual se conoce que la economía se encuentra en estado estacionario y el capital per capita es k = 16. i) Calcular la tasa de crecimiento de la población n en esta economía. ii) Hallar el producto per capita y consumo per capita en el estado estacionario. iii) En el momento actual, la población es L 0 = 1000 habitantes. Hallar el producto agregado en el momento actual Y 0 y el producto agregado dentro de 70 periodos Y En una economía de Solow-Swan conocemos que en los mercados competitivos de trabajo y de capitales la retribución a los factores es igual a su productividad marginal. La función de producción es F (K t ; L t ) = K t L 1 t. Representar grá camente las rentas laborales per capita y las rentas del capital per capita pagadas en esta economía. Qué ocurriría con la composición de la renta per capita si se produjera un aumento de? 11. Una economía dispone de una tecnología de producción recogida a través de la función de producción F (L t ; K t ) = L t K t. Asumiendo la existencia de una tasa de ahorro constante s, una tasa de depreciación del capital constante, una tasa de crecimiento de la población constante n, y que toda la población está empleada: i) Obtener la tasa de crecimiento del capital per capita kt = k t k t : Interprete el resultado y represente grá camente la función obtenida. ii) La tasa de ahorro es s = 0:20, la tasa de depreciación del capital es del 15% ( = 0:15), y la población crece al 2% (n = 0:02): Comenta la dinámica de transición hacia el estado estacionario del capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita. Existe realmente un estado estacionario? 6

8 12. Demostrar que f(kt) k t es una función decreciente en k t asumiendo que f(k t ) = K F t L t ; Lt L t y F (K t ; L t ) es una función de producción neoclásica. 13. (Junio 2003) i) De nir el capital de la regla de oro, k oro. ii) Hallar su valor para una economía Solow-Swan con función de producción Cobb- Douglas Y t = K t L 1 t con = 0:5, tasa de ahorro s = 0:2, tasa de crecimiento de la población n = 0:02, y tasa de depreciación del capital = 0:10: iii) Qué le ocurriría a k oro si la tasa de ahorro aumentase a s 0 = 0:3? Aumentaría, disminuiría ó permanecería igual? 14. (Septiembre 2003) Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb- Douglas Y t = Kt L 1 t viene caracterizada por los siguientes parámetros = 0:5, = 0:065, y n = 0:015. Además, en el momento actual se conoce que el capital per capita es k 0 = 4 y su tasa de crecimiento instantánea es k0 = 0:02. i) Calcular la tasa de ahorro s en esta economía. ii) Hallar el capital per capita, producto per capita y consumo per capita en el estado estacionario. iii) En el momento actual, esta economía se encuentra ya en el estado estacionario? Razonar la respuesta y representar grá camente el estado estacionario y la posición que ocupa el capital per capita en el momento actual, k (Junio 2004) Una economía se comporta según el modelo de Solow-Swan con función de producción Cobb-Douglas F (K t ; L t ) = K t L 1 t con = 0:5. El ahorro de esta economía es el 16% del valor de su producto (s = 0:16), la población crece un 3% por periodo (n = 0:03), y el capital se deprecia un 7% cada periodo ( = 0:07). Se conoce que en el momento actual la economía se encuentra en el estado estacionario. i) Calcular el capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita en el actual estado estacionario. ii) Supongamos que esta economía recibe en el momento actual (periodo 0) una transferencia de capital físico exógena cifrada en una unidad de capital por persona. Por tanto, el capital per capita del periodo 0, k 0, es igual al del estado estacionario más una unidad. Hallar la variación instantánea para el siguiente periodo : k 0 y representarla grá camente. Además, calcular el capital per capita, el producto per capita, y el consumo per capita que tendrá esta economía un periodo después de recibir la ayuda (periodo 1). 7

9 iii) Representar grá camente la evolución del producto per capita a lo largo del tiempo. Comentar los efectos que la ayuda externa provoca a corto plazo y largo plazo. 16. (Junio 2009) Una economía se comporta de acuerdo al modelo Solow-Swan con función de producción Cobb-Douglas. La tasa de ahorro es del 18%, el coe ciente de la función de producción es = 0:5, la tasa de depreciación del capital es del 7% cada año y la población crece un 2% cada año. En el año 2008, el PIB total era de 48 millones de unidades y la población se situó en 24 millones de personas. i) Escribir la ecuación fundamental y calcula la variación del capital per capita para La economía se encuentra en estado estacionario? ii) Representa grá camente la ecuación fundamental y la situación en la que se encuentra la economía. iii) Las autoridades económicas desean alcanzar un PIB total de 75 millones de unidades en Para ello, se desea conocer la tasa de ahorro que permitiría generar este aumento del PIB total. Asumiendo que en menos de doce años se alcanzaría el nuevo estado estacionario, cuál debería de ser la tasa de ahorro para alcanzar el objetivo marcado? 17. (Septiembre 2004) Una economía evoluciona de acuerdo al modelo de Solow- Swan con función de producción Cobb-Douglas. La tasa de ahorro es siempre del 25% (s = 0:25), la población crece un 3% por periodo (n = 0:03), el capital se deprecia un 12% cada periodo ( = 0:12), y la función de producción Cobb-Douglas se parametriza con = 0:4. i) Calcular el consumo per capita y el ahorro per capita en el estado estacionario. ii) Calcular la tasa de crecimiento del consumo agregado en el estado estacionario. Si en el momento actual nos encontramos en el estado estacionario y la población es L 0 = 4000 habitantes, calcular el consumo agregado dentro de 24 periodos; C 24. iii) Calcular la productividad marginal del capital neta de depreciación en el estado estacionario de esta economía. Cómo le afectaría una caída de la tasa de crecimiento de la población? 18. (Septiembre 2005) Una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb- Douglas F (K t ; L t ) = Kt L 1 t tiene dos unidades de capital per capita en el año 2005 (k 2005 = 2). Los parámetros de la estructura de esta economía toman los siguientes valores numéricos = 0:5, s = 0:2, = 0:08, y n = 0:03. 8

10 i) Calcular el capital per capita, el consumo per capita y el producto per capita que tendrá esta economía en el año ii) Hallar el capital per capita del estado estacionario. Representarlo grá camente junto a la posición que ocupa la economía en iii) Si la población de esta economía en el año 2005 es de 2.4 millones de habitantes, hallar el producto agregado que se obtendrá en el año (Septiembre 2007) Una economía se comporta tal y como describe el modelo de Solow-Swan sin progreso tecnológico con función de producción Cobb-Douglas Y t = K t L 1 t con = 0:5, tasa de ahorro constante en s = 0:18, tasa de depreciación del capital constante en = 0:10, y tasa de crecimiento de la población constante en n = 0:02. Se ha comprobado que esta economía se encuentra en estado estacionario. i) Hallar el capital per capita, producto per capita y consumo per capita. Cuál es su tasa de crecimiento? Y la de las variables agregadas? ii) Supongamos que se desea alcanzar un producto per capita a largo plazo de 2 unidades, y = 2:0. De nir el valor de la tasa de ahorro que permitiría conseguir ese objetivo y poner un par de ejemplos de políticas que permitieran alcanzar esa tasa de ahorro. iii) Cuál será la evolución del consumo per capita a corto y largo plazo si se modi ca la tasa de ahorro tal y como plantea el apartado anterior? 20. (Septiembre 2008) El capital per capita de una economía de Solow-Swan con función de producción Cobb-Douglas F (K t ; L t ) = Kt Lt 1 en el año 2007 ha sido k 2007 = 2:25. Los parámetros de la estructura de esta economía tienen los siguientes valores numéricos = 0:5, s = 0:2, = 0:08, y n = 0:02. i) Escribir la ecuación fundamental, interpretarla económicamente y calcular el capital per capita, el consumo per capita y el producto per capita que tendrá esta economía en el año ii) Hallar el capital per capita del estado estacionario. Representarlo grá camente junto a la posición que ocupó la economía en Comenta la evolución que se espera para el capital per capita en futuros años. iii) Si la población de esta economía en el año 2007 fue de 2.4 millones de habitantes, hallar el consumo agregado que se obtendrá en el año (Junio 2010) El capital per capita de una economía de Solow con función de 9

11 producción Cobb-Douglas tiene una tasa de crecimiento del 2% para el siguiente periodo. Su tasa de ahorro se situa en el 16%, el capital se deprecia un 8% cada periodo, el coe ciente es igual a 0.5 y no hay crecimiento de la población. i) Hallar el capital per capita del periodo actual ii) Representar grá camente la situación en la que se encuentra la economía a través de su ecuación fundamental y describir la evolución que seguirá hasta alcanzar el estado estacionario. iii) Si la población se situa en 12 millones de habitantes, hallar los niveles del capital agregado, producto agregado, y consumo agregado en el estado estacionario. Modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico. 22. (Mayo 2010) Una economía evoluciona según establece el modelo Solow-Swan con una función de producción Cobb-Douglas a la que se le incorpora progreso tecnológico potenciador del trabajo y está caracterizada por los siguientes valores numéricos de sus parámetros: = 0:5, s = 0:25, = 0:05, n = 0:03, x = 0:02. En el momento actual, se conoce que esta economía tiene 8 millones de habitantes, un consumo agregado de 16 millones de unidades y su variable tecnológica tiene un valor igual a 1.5. i) Escribir la ecuación fundamental y hallar la variación del capital por unidad de trabajo efectivo para el siguiente periodo. ii) Calcular el consumo agregado para el periodo siguiente y su tasa de crecimiento. iii) Hallar el capital por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario. Se encuentra esta economía en estado estacionario? Representar gra camente la situación actual y describir la evolución que tendrá esta economía en el futuro. A qué tasa crecerá el consumo agregado en el estado estacionario? 23. (Junio 2009) Se sabe que una economía evoluciona segun establece el modelo Solow-Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo con los siguientes valores numéricos de sus parámetros: = 0:5, s = 0:24, = 0:08, n = 0:025; x = 0:015. El capital per capita inicial es k 0 = 2:94 y la variable tecnológica toma un valor A 0 = 1:5: i) Escribir la ecuación fundamental, hallar la variación del capital por unidad de trabajo efectivo para el siguiente periodo y representar el resultado grá camente. ii) Obtener los valores del capital por unidad de trabajo efectivo y consumo por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario. 10

12 iii) Hallar el producto per capita en los periodos 0 y 1: A qué tasa está creciendo? A qué tasa crecerá a largo plazo? Representar grá camente la evolución esperada para la tasa de crecimiento del PIB per capita a lo largo del tiempo y comentar el grá co. 24. Existen dos economías que comparten las características propias del modelo de Solow-Swan (tasa de ahorro constante s, tasa de depreciación del capital constante, tasa de crecimiento de la población constante n) junto con una función de producción de tipo Cobb-Douglas con progreso tecnológico potenciador de trabajo F (K t ; A t L t ) = K t (A t L t ) 1. Su única diferencia es que en el primer país la tecnología se mantiene constante a lo largo del tiempo A t = A 0 mientras que en el segundo país la tecnología crece a una tasa positiva y constante x, A t = e xt A 0. Se pide: i) Calcular la tasa de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo bkt = en las dos economías. Represéntalas grá camente. (Recuerda que el capital por unidad de trabajo efectivo es b k t = Kt A tl t ). ii) Calcula y compara el capital por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario b k para las dos economías. Representa grá camente el estado estacionario. A qué tasa estarán creciendo en el estado estacionario? A qué tasa lo harán el capital per capita k, el capital agregado K, el producto por unidad de trabajo efectivo by, el producto per capita y, y el producto agregado Y en cada una de las economías?? 25. Existe una economía que disfruta de un crecimiento económico descrito por el modelo de Solow-Swan con crecimiento tecnológico. F (A t L t ; K t ) = p A t L t K t. b kt b kt Su función de producción es Se conoce también que la tasa de ahorro es s = 0:20, la depreciación del capital es del 8% ( = 0:08) y la población crece a un ritmo del 2% en cada periodo (n = 0:02). En cuanto a la tecnología, crece a una tasa constante del 1% por periodo (x = 0:01): Se sabe que en el momento actual A 0 = 4 y k 0 = 9. i) Calcular el capital por unidad de trabajo efectivo en este periodo b k 0, su incremento : b b k0, y su tasa de crecimiento bk0 = k0 b k0. (Pista: acuérdate que b k 0 = K 0 A 0 L 0 = k 0 A 0 ) ii) Calcular el capital y el producto por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario. Representa grá camente el estado estacionario y haz referencia a la situación actual de la economía. Comenta el proceso de convergencia hacia el estado estacionario. iii) Calcular la variación del capital per capita en este periodo k 0, y su tasa de crecimiento k0 = k 0 k 0. Comprobar que k0 = A + bk Dos países, el país i y el país j, un crecimiento económico descrito de acuerdo 11

13 al modelo de Solow-Swan con una función de producción Cobb-Douglas con tecnología potenciadora de trabajo. Ambos países tienen la misma tasa de ahorro s, el mismo crecimiento de la población n; la misma tasa de depreciación del capital, y la misma tasa de crecimiento del componente tecnológico x. Además tienen la misma población L it = L jt. Su unica diferencia radica en que su nivel inicial tecnológico es distinto. En concreto, el país i tiene un nivel tecnológico igual a dos veces el del país j con lo que los productos agregados de los dos países serán Y it = K it (A it L it ) 1 e Y jt = K jt (A jt L jt ) 1 donde A it = 2A jt. Sabiendo que ambos países se encuentran en el estado estacionario i) Calcular los ratios k it e y it : k jt y jt ii) La retribución a los factores productivos (trabajo y capital) es igual a su productividad marginal. Suponiendo que exista libertad de movimiento de trabajadores y capitales, existe algún incentivo a mover mano de obra o capitales de un país a otro? Qué consecuencias pueden tener estos movimientos a corto y largo plazo? 27. (Junio 2008) Una economía se encuentra en un estado estacionario en el que crece a una tasa constante, periodo tras periodo, tal y como se establece en el modelo Solow-Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo y función de producción Cobb-Douglas, Y t = K t (A t L t ) 1. Los valores numéricos de los parámetros que describen esta economía son s = 0:20, n = 0:02, = 0:07, = 0:40 y la tecnología mejora a una tasa constante e igual al 1.5% (x = 0:015). Actualmente la variable tecnológica toma el valor A 0 = 5. i) Hallar el capital per capita y el producto per capita del momento actual. De repente, esta economía sufre un desgraciado terremoto con efectos muy devastadores que provocan la destrucción del 20% del stock de capital. ii) Calcular la tasa de crecimiento del producto per capita para el periodo siguiente a partir del terremoto. iii) Representar grá camente los efectos del terremoto sobre la variación del capital por unidad de trabajo efectivo, b k. Comentar el grá co. 28. (Septiembre 2002) Existe una economía caracterizada por el modelo de Solow- Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo. Su función de producción es F (A t L t ; K t ) = K t (A t L t ) 1. En esta economía sabemos que la tasa de ahorro es s = 0:15, la depreciación del capital es del 4% por periodo ( = 0:04) y la población crece a un ritmo constante del 2% en cada periodo (n = 0:02). En la función de producción, se conoce que = 0:5. En cuanto a la tecnología, crece a una tasa constante del 1.5% por 12

14 periodo (x = 0:015). i) Calcular el capital por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario. Representa grá camente el estado estacionario. ii) Hallar el valor numérico de las tasas de crecimiento en el estado estacionario del capital, el producto, y el consumo por unidad de trabajo efectivo, del capital, el producto, y el consumo per capita, y del capital agregado, el producto agregado, y el consumo agregado. iii) Si en el momento actual b k 0 = 1 y A 0 = 1:5, Qué valor tendrá el capital por unidad de trabajo efectivo del periodo siguiente, b k 1? Y el capital per capita del periodo siguiente, k 1? Qué valores toman las tasas de crecimiento bk0 y k0? 29. (Junio 2003) Una economía evoluciona de acuerdo al modelo Solow-Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo incorporado. Su función de producción es Cobb-Douglas Y t = K t (A t L t ) 1 con = 0:5. La tasa de ahorro es del 20% (s = 0:2), la tasa de depreciación del capital es del 6% ( = 0:06), la población crece al 3% (n = 0:03) y la tecnología tiene un crecimiento constante del 1% (x = 0:01). i) Hallar el capital per capita en unidades de trabajo efectivo en el estado estacionario b k. Representar grá camente el estado estacionario. ii) En el momento actual se conoce que el nivel tecnológico es A 0 = 1:2, y el capital per capita es k 0 = 4:8. Hallar el capital per capita del siguiente periodo k 1 Está economía se encuentra ya en el estado estacionario? iii) Sabiendo que en el momento actual el consumo agregado es C 0 = 860, hallar el consumo agregado dentro de 5 periodos, C (Mayo 2011) Una economía evoluciona según se establece en un modelo Solow- Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo. Tanto la variable tecnológica como la población crecen a una tasa del 2%, el capital se deprecia a una tasa del 6% y la función de producción es Cobb-Douglas con = 0:5. En el momento actual (periodo 0) se conoce que la variable tecnológica tiene un valor A 0 = 1:4, el capital per capita es k 0 = 3:15, y el capital por unidad de trabajo efectivo tiene una variación positiva de 0.08 unidades para el siguiente periodo. i) Calcular la tasa de ahorro de esta economía. ii) Hallar el valor númerico del capital por unidad de trabajo efectivo en el estado estacionario. Representar grá camente el estado estacionario y la situación actual en la que se encuentra la economía. Describir el proceso de transición hacia el estado estacionario. 13

15 iii) Hallar la tasa de crecimiento del producto per capita en el momento actual y describir grá camente la evolución que va a seguir esta tasa de crecimiento a lo largo del tiempo. Qué determina el crecimiento económico a largo plazo en esta economía? 31. (Septiembre 2005) Dos economías, A y B, son muy parecidas y están caracterizadas por el modelo de Solow-Swan con la misma función de producción Cobb-Douglas con progreso tecnológico potenciador del trabajo, F (K t ; A t L t ) = K t (A t L t ) 1. Su única diferencia se encuentra en la tasa de crecimiento de la población. La economía A tiene una tasa de crecimiento de la población mayor que la de la economía B, n A > n B. Suponiendo que ambas economías se encuentran actualmente en su equilibrio a largo plazo (estado estacionario): i) Comparar el nivel del producto per capita de ambas economías en el periodo actual. Son iguales?. Tienen la misma tasa de crecimiento? ii) La diferencia entre los dos productos per capita y A t mantiene a lo largo del tiempo? y B t, crece, decrece ó se 32. (Junio 2007) Una economía se comporta de acuerdo al modelo Solow-Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo recogido por la función de producción Cobb- Douglas F (K t ; A t L t ) = K t (A t L t ) 1 con = 0:5. Se conoce que la población crece un 2% por periodo (n = 0:02), el capital se deprecia un 8% cada periodo ( = 0:08) y la variable tecnológica mejora crece un 2% por periodo (x = 0:02). También se conoce que en el estado estacionario de esta economía el producto por unidad de trabajo efectivo es by = 1:5. i) Hallar la tasa de ahorro, s. ii) En la actualidad, el capital per capita tiene un valor de k 0 = 6 unidades mientras que la variable tecnológica toma un valor A 0 = 3. Hallar la variación del capital por unidad de trabajo efectivo, b ko, y mostrarla grá camente comparándola con la obtenida en el estado estacionario. Qué evolución cabría esperar a corto y largo plazo para b k? iii) Calcular la tasa de crecimiento del producto per capita para el siguiente periodo, yo, y compararla con la del estado estacionario. 33. Suponed que la función de producción de una economía de Solow-Swan con progeso tecnológico potenciador del trabajo es F (K t ; A t L t ; T t ) = K t (A t L t ) T 1 t ; ; 1 > 0, y + < 1. La cantidad producida depende del número de máquinas con 14

16 (K t ), el trabajo efectivo (A t L t ), y la cantidad de metros cuadrados de tierra en la que producir (T t ). i) Estudiar si la función de producción es neoclásica. ii) Supongamos que la tierra es una cantidad constante (T t = T ), supuesto razonable mientras el ser humano no encuentre otro planeta en el que producir, y la variable tecnológica crece a la misma tasa constante At Obtener la Ecuación Fundamental e interpretarla. = x > 0 durante todos los periodos. iii) Es posible alcanzar un estado estacionario? En caso a rmativo, a qué tasa crecería el producto per capita? Modelo de Harrod-Domar. 34. (Septiembre 2009) Una economía sin sector público ni resto del mundo tiene una función de producción Y t = minfk t ; 3L t g, una tasa de ahorro siempre al 15%, tasa de depreciación constante en el 5%, la población siempre trabaja y el número de habitantes crece un 2% cada perido. i) Si el stock de capital per capita en el momento actual es k 0 = 2, hallar el capital per capita, producto per capita y el consumo per capita alcanzados en el siguiente periodo. ii) Representar grá camente la situación actual, mostrando como se obtiene la variación del capital per capita. 35. En una economía que se comporta según el modelo de Harrod-Domar la función de producción es F (K t ; L t ) = min(ak t ; BL t ). La tasa de ahorro s es constante, la población crece a una tasa constante n, y el capital se desprecia a una tasa constante. En un momento inicial se sabe que sa < n +. i) Representa grá camente la tasa de crecimiento del capital per capita de esta economía. Con estos datos, qué va a ocurrir con el stock de capital per capita k, crecerá o decrecerá? Hacia que situación se tiende en el estado estacionario? ii) Ahora supongamos que la tasa de ahorro cambia de tal forma que sube hasta s 0 con lo que la desigualdad anterior pasa a ser s 0 A > n +. Describe lo que crees que va a ocurrir en esta economía (en términos del capital y el producto per capita) a corto y largo plazo. 36. Una economía de Harrod-Domar tiene una función de producción de proporciones jas F (K t ; L t ) = min(ak t ; BL t ) que determina la relación capital trabajo de e ciencia k = B. Se conoce que para esta economía sa > n +. A 15

17 i) Comenta los efectos a corto y largo plazo de un aumento de A hasta A 0 > A, manteniendo B constante: Aumentará el número de máquinas ociosas o el de trabajadores desempleados? 37. (Junio 2011) Existe una economía que evoluciona de acuerdo al modelo de Harrod- Domar con una función de producción de coe cientes jos de Leontief F (K t ; L t ) = min(ak t ; BL t ). Se sabe que esta economía tiene una tasa de ahorro del 20% (s = 0:2), su tasa de depreciación del capital es del 10% ( = 0:10), y la población crece al 2.5% (n = 0:025). Además las constantes de la función de producción son A = 1 y B = 2. i) Representar grá camente el estado estacionario. Calcular el capital, el producto y el consumo per capita. Existe alguna situación ociosa de los factores productivos, capital y trabajo? ii) Supongamos que hay una mejora tecnológica por la que cambian las constantes de la función de producción a A 0 = 2 y B 0 = 4. Escribe la ecuación fundamental y describe los efectos que observaremos a corto plazo. iii) Tras la mejora tecnológica, qué niveles se alcanzarán para el el capital, el producto y el consumo per capita en el nuevo estado estacionario? Representar grá camente el viejo y nuevo estado estacionario en función del capital per capita y describir cómo será la transición entre uno y otro. 38. Pensemos en una economía representada por el modelo de Harrod-Domar y donde sa = n+. Caracteriza las posibles situaciones de equilibrio a largo plazo apoyándote en algún tipo de representación grá ca. Qué determina el estado estacionario? Crees que el estado estacionario es un equilibrio estable? Razona tus respuestas (Septiembre 2002) En una economía de Harrod-Domar con función de producción de Leontief Y t = min(ak t ; BL t ) y con sa > n + se produce un aumento del coe ciente B en la función de producción, de tal forma que ahora B 0 > B. Comenta los efectos que este cambio provoca sobre el capital per capita k, el producto per capita y, y el consumo per capita c en el estado estacionario. 40. (Junio 2003) En una economía de Harrod-Domar con función de producción de Leontief Y t = min(ak t ; BL t ) y con sa > n + se produce una disminución en la tasa de crecimiento de la población, de tal forma que ahora n 0 < n. Comenta los efectos en el estado estacionario sobre el capital per capita k, el número de máquinas ociosas per capita k k, el producto per capita y, y el consumo per capita c. 16

18 41. (Junio 2008) Pensemos en una economía representada por el modelo de Harrod- Domar con función de producción Y t = minf4k t ; 3L t g en la que casualmente se cumple la siguiente relación entre sus parámetros sa = n +. La dotación inicial de capital per capita es igual a la unidad, k 0 = 1. i) Representa grá camente la situación actual y describe como será la transición hacia el estado estacionario. ii) Qué valores numéricos tendrán el capital per capita, el producto per capita y el número de máquinas ociosas per capita en el estado estacionario? 42. Un país africano (de cuyo nombre no quiero acordarme) se encuentra sumido en el subdesarrollo. Su PIB en 2004 fue de 8000 millones de $ y su población en ese momento era de 5 millones de personas. La población crece a una tasa constante del 3% cada año. Pensemos que somos gestores del Banco Mundial y deseamos ayudar al progreso económico de este país. Para ello utilizamos el modelo de Harrod-Domar con su hipótesis del acelerador (como vino siendo práctica habitual en el Banco Mundial). El acelerador para este país africano se calcula que es A = 0:25. El gasto en inversión (asumiendo que no hay depreciación del capital) estimado para 2005 es de 640 millones de $. i) Calcular el producto per capita esperado para el año Ahora supongamos que conseguimos nanciación para incrementar la inversión llevada a cabo en este país. Tenemos que determinar la cuantía de la ayuda extranjera destinada a aumentar la inversión en este país. Nuestro objetivo es cubrir el dé cit nanciero existente para que el producto per capita crezca al 2% cada año. ii) Cual es la inversión requerida? Qué parte de la inversión provendrá de la ayuda extranjera? iii) Si el modelo funcionara y las condiciones se mantuvieran durante 10 años, cuál sería el producto per capita en 2015? iv) Atendiendo a la realidad, esperas que esta política de ayuda al desarrollo sea efectiva? 43. (Junio 2005) Una organización gubernamental internacional va a decidir la ayuda destinada al desarrollo de un país pobre aplicando el enfoque del de cit nanciero. Se desea que la tasa de crecimiento del producto per capita para el año que viene sea del 3%. La población crece un 5% cada año, el producto agregado (PIB) de este año es de 2300 millones de euros y la inversión nacional esperada para el año que viene es de 17

19 200 millones de euros. La productividad marginal del capital (acelerador) es igual a la constante A = 0:32. i) Calcular la tasa de inversión requerida. ii) Calcular la inversión requerida. iii) Hallar el de cit nanciero que determinará la ayuda concedida a este país. iv) Comentar las implicaciones que ha tenido la utilización de este enfoque en la e cacia de los programas de ayuda al desarrollo. 44. (Mayo 2010) Hallar el de cit nanciero en una economía con una inversión esperada de 250 millones de dólares, una tasa de crecimiento deseada del PIB per capita del 2%, un crecimiento de la población del 4% cada año, un coe ciente de aceleración A = 0:4 y un PIB del año precedente igual 3000 millones de dolares. (Asumir que la tasa de depreciación del capital es cero). 18

20 EJERCICIOS TEMA 3 Modelos neoclásicos de optimización: El modelo de Ramsey. 1. (Junio 2010) Una economía evoluciona según establece el modelo de Ramsey con familias productoras, horizonte temporal in nito, función de utilidad isoelástica y función de producción Cobb-Douglas. En el momento actual el consumo per capita es de c 0 = 2 unidades y el capital per capita alcanza el nivel k 0 = 9 unidades. Los parámetros estructurales de esta economía tienen los siguientes valores numéricos: n = 0:02, = 0:06, = 0:04, = 0:6 y = 2:0. i) Calcular el capital per capita y el consumo per capita para el siguiente periodo. ii) Obtener el capital per capita y el consumo per capita en el estado estacionario hacia el que se dirige la economía. iii) Dibujar el diagrama de fases y explicar la evolución que va a seguir la economía a corto y largo plazo. 2. (Septiembre 2005) Cambio de la tasa de depreciación del capital,. En una economía de Ramsey con familias productoras, horizonte temporal in nito, función de producción Cobb-Douglas F (L t ; K t ) = K t L 1 t 1 t y función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c1, se produce una disminución en la tasa de depreciación 1 del capital de tal forma que a partir de ahora ésta vale 0 <. i) Hallar los posibles estados estacionarios que se obtienen con 0 y con. Representarlos en el diagrama de fases. ii) Comentar los efectos de la disminución en la tasa de depreciación del capital sobre el capital y el consumo per capita en el nuevo estado estacionario al que se aproxima la única trayectoria óptima. iii) Cómo afecta la disminución de la tasa de depreciación del capital a la tasa de ahorro en dicho estado estacionario? (Asumir > n). 3. (Junio 2002) Cambio de la tasa de crecimiento de la población, n. En una economía de Ramsey con familias productoras, función de producción Cobb- Douglas F (L t ; K t ) = Kt L 1 t y función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c 1 t 1 1, se produce un incremento en la tasa de crecimiento de la población desde n hasta n 0 de tal forma que a partir de ahora ésta vale n 0 > n. i) Representar el diagrama de fases y las posiciones de los estados estacionarios que se obtienen con n y con n 0. 19

21 ii) Comentar los efectos del aumento de la tasa de crecimiento de la población sobre el capital y el consumo per capita en el nuevo estado estacionario al que se aproxima la única trayectoria óptima. iii) Cómo afecta el aumento de la tasa de crecimiento de la población a la tasa de crecimiento del producto per capita en dicho estado estacionario? Y a la del producto agregado? iv) Cómo afecta el aumento de la tasa de crecimiento de la población a la tasa de ahorro en dicho estado estacionario? 4. (Septiembre 2002) En una economía de Ramsey con familias productoras, con función de producción Cobb-Douglas F (L t ; K t ) = K t L 1 t 1 t y con función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c1 : 1 i) Hallar las ecuaciones dinámicas del consumo y el capital per capita. ii) Representar el diagrama de fases. iii) Asumiendo el valor de los siguientes parámetros: = 0:5, = 2:0, = 0:04, n = 0:02 y = 0:06, calcular los valores numéricos de los tres estados estacionarios resultantes e introducirlos valores en el diagrama de fases. iv) En el momento actual se conoce que k 0 = 1 y c 0 = 0:6, Qué valor tendrán el capital y el consumo per capita en el siguiente periodo? A qué tasa estarán creciendo (o decreciendo)? 5. (Junio 2003) Una economía con mercados competitivos, función de producción Cobb-Douglas F (L t ; K t ) = Kt L 1 t y función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c 1 t 1 1, se comporta de acuerdo al modelo de Ramsey con horizonte temporal in nito. i) A partir del comportamiento optimizador de la empresa competitiva que maximiza bene cios, hallar las ecuaciones dinámicas que de nen la demanda de capital y la demanda de trabajo. capita. ii) A partir de los supuestos del modelo, hallar la ecuación dinámica del capital per iii) A partir del comportamiento optimizador de la familia consumidora que maximiza utilidad, hallar la ecuación dinámica del consumo per capita. iv) Relacionar las ecuaciones dinámicas obtenidas en los apartados anteriores con aquellas resultantes de una economía con familias productoras. 6. (Septiembre 2003) En una economía de Ramsey con familias productoras, hori- 20

22 zonte temporal in nito, función de producción Cobb-Douglas, y función de utilidad de t 1 elasticidad constante U(c t ) = c1, se conoce que la tasa de preferencia intertemporal 1 es del 4% ( = 0:04), la tasa de crecimiento de la población es el 3% (n = 0:03), y la tasa de depreciación del capital es del 6% ( = 0:06). También se conoce que = 0:5 en la función de producción y = 2 en la función de utilidad. i) A partir de las ecuaciones dinámicas del capital per capita y el consumo per capita, hallar los tres estados estacionarios (con sus valores numéricos) y representar grá camente el diagrama de fases. ii) Las dotaciones iniciales de capital per capita y consumo per capita son k 0 = 49 y c 0 = 2. Calcular k 1 y c 1. iii) El punto que representa la dotación inicial (k 0 ; c 0 ), se encuentra en la única trayectoria óptima de aproximación al estado estacionario? Razonar la respuesta. 7. Mejora tecnológica (Septiembre 2007). En una economía de Ramsey con familias productoras la función de utilidad es de t 1 elasticidad constante U(c t ) = c1 y la función de producción es F (K 1 t ; L t ) = AKt L 1 t. En un momento dado del tiempo se produce un aumento del valor de A hasta un nivel superior A 0 > A, que se mantiene de forma inde nida en el tiempo. i) Escribir las ecuaciones dinámicas, representar el diagrama de fases y la posición del estado estacionario al que se aproxima la única trayectoria óptima para los niveles inicial A y nal A 0. ii) Hallar el valor del capital per capita en el estado estacionario al que se aproxima la única trayectoria óptima en función de los parámetros del modelo. Hallar también el producto per capita y el consumo per capita que se obtienen en este estado estacionario. Comparar los niveles obtenidos con la tecnología inicial A y con la tecnología nal A 0. iii) Cómo afecta la mejora del parámetro tecnológico A a la productividad marginal del capital en dicho estado estacionario? Y a la tasa de ahorro? 8. Trayectorias dinámicas óptimas. Para una economía de Ramsey con los siguientes datos = 0:25, n = 0:02, = 0:05 y con la ayuda de un ordenador, i) Calcular las trayectorias dinámicas del capital per capita k t y del consumo per capita c t a partir de un momento inicial en el que toman los valores k 0 = 1 y c 0 = 0:5 (tomar el valor exacto de = 0: ). Qué ocurrirá al cabo de 100 periodos 21

23 con sus valores k 100 y c 100? A que estado estacionario nos aproximamos? Represéntalo grá camente. (Pista: recuerda que k t+1 = k t + k : t y c t+1 = c t + c : t ). ii) Ahora partamos de unos valores iniciales k 0 = 1 y c 0 = 0:4. Donde acabaremos al cabo de 100 periodos? Ocurrirá esto mismo si tuviéramos en cuenta la condición de transversalidad? iii) Finalmente supongamos que los valores iniciales fueran k 0 = 1 y c 0 = 0:6. Hacia donde se moverá la economía con el paso del tiempo? Cambiaría este resultado si nuestro horizonte temporal fuera nito? 9. Problema de función de utilidad logarítmica. En una economía de Ramsey existen mercados competitivos de trabajo, capital y bonos. La función de producción de las empresas es neoclásica del tipo Cobb-Douglas F (K t ; L t ) = K t L 1 U(c t ) = log(c t ): t y la función de utilidad de la familia representativa es logarítmica i) Hallar las ecuaciones de demanda de trabajo y demanda de capital de la empresa competitiva representativa maximizadora de bene cios. Expresar estas ecuaciones dependiendo de variables per capita. ii) Hallar las ecuaciones dinámicas de capital y consumo per capita que se obtienen al resolver el problema de optimización de la familia representativa con horizonte temporal in nito. iii) Representar el diagrama de fases utilizando conjuntamente los resultados de i) y ii) (asumir > n). iv) Comparar el resultado con el que se obtiene para la economía competitiva con t 1 función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c1. 1 v) Observando la ecuación que representa la evolución dinámica del consumo, qué valor del parámetro en la función de utilidad con elasticidad constante nos permite obtener esa misma ecuación? Cómo afecta la función de utilidad logarítmica a la evolución dinámica del consumo? vi) Hallar el valor del capital per capita que se obtiene en el estado estacionario al que se aproxima la única trayectoria óptima en función de los parámetros del modelo. Hallar también el producto per capita y el consumo per capita que se obtienen en este estado estacionario. Cómo afecta la función de utilidad logarítmica a este estado estacionario? 10. (Junio 2005) Una economía de Ramsey con mercados competitivos de trabajo, capital y bonos, función de producción Cobb-Douglas y función de utilidad de elasticidad 22

24 constante con horizonte temporal in nito está caracterizada por los siguientes valores de sus parámetros: = 0:35, = 0:06, = 0:04, n = 0:02 y = 2:0. i) Hallar los valores del capital per capita y el consumo per capita del estado estacionario hacia el que se aproxima la única trayectoria óptima. Representar el diagrama de fases. ii) En el momento actual, el consumo per capita es c 0 = 1 y el capital per capita es k 0 = 5. Hallar el consumo per capita y el capital per capita del siguiente periodo, c 1 y k 1. Representa la situación de la economía en el diagrama de fases e indica como va a evolucionar. iii) Utilizar la condición de arbitraje y la de demanda de capital de la empresa para calcular el tipo de interés de los bonos, r 0, y la productividad marginal del capital, f 0 (k 0 ). Comprobar que la rentabilidad del activo físico coincide con la del activo nanciero (condición de arbitraje). 11. (Junio 2004) Se desea estudiar una economía de Ramsey con familias productoras, t 1 función de utilidad de elasticidad constante U(c t ) = c1 con = 4 y función de 1 producción Cobb-Douglas F (K t ; L t ) = Kt L 1 t con = 0:5. Esta economía queda caracterizada además por los siguientes valores de sus restantes parámetros: la tasa de crecimiento de la población es del 1% por periodo (n = 0:01), la tasa de depreciación del capital es del 6% por periodo ( = 0:06), y la tasa de preferencia intertemporal es el 5% ( = 0:05). i) Calcular los tres puntos (k; c) candidatos a estados estacionarios y explicar porqué la única trayectoria óptima se dirige exclusivamente hacia uno de ellos. ii) Representar el diagrama de fases en el que aparezcan representados los resultados del apartado anterior y la única trayectoria óptima. Explicar la evolución esperada para el capital y el consumo per capita. iii) Calcular el rendimiento neto del activo físico en el estado estacionario medido como la productividad marginal del capital menos su tasa de depreciación. De qué parámetros depende? 12. (Septiembre 2004) En el modelo de Ramsey decimos que la trayectoria óptima describe una continua aproximación hacia el estado estacionario, pero sin llegar a entrar en él. Explicar por qué. 13. (Junio 2009) Una economía de Ramsey evoluciona por su trayectoria óptima y se 23

25 encuentra tan cerca del estado estacionario que, en la práctica, es como si estuviera en él. El producto per capita en este estado estacionario es y = 2:0. La función de producción es Cobb-Douglas con = 0:5, la tasa de depreciación del capital es = 0:20, la población crece a una tasa constante del 1%, n = 0:01, y el parámetro de elasticidad de la función de utilidad es = 1:5. i) Hallar el valor numérico de la tasa de preferencia intertemporal,, de esta economía. ii) Obtener los niveles del capital per capita y el consumo per capita en el estado estacionario. Representar el diagrama de fases y describir los elementos que aparecen en él. iii) Supongamos que los habitantes de esta economía se enteran de que en diez periodos serán teletransportados a otro planeta donde las condiciones de vida sean mejores. Su reacción es abandonar la zona del estado estacionario al transformar 0.25 unidades de capital en consumo (es decir, se reduce en 0.25 el capital per capita para aumentar en 0.25 el consumo per capita). Utilizando las ecuaciones dinámicas del modelo, hallar las variaciones esperadas para el capital per capita y el consumo per capita en el periodo posterior. Representar la situación en el diagrama de fases y la nueva trayectoria óptima. Cuál será el nivel del capital per capita en el momento de abandonar este planeta? 14. (Junio 2007) Una economía de Ramsey con mercados competitivos de trabajo, capital y bonos, función de producción Cobb-Douglas, F (K t ; L t ) = K t L 1 t 1 t, y función de utilidad de elasticidad constante, U(c t ) = c1, con horizonte temporal in nito está 1 caracterizada por los siguientes valores de sus parámetros: = 0:40, = 0:14, = 0:06, n = 0:02 y = 2:0. i) Hallar los valores del capital per capita, y el consumo per capita del estado estacionario hacia el que se aproxima la única trayectoria óptima. Dibujar el diagrama de fases de esta economía, y describir los elementos que aparecen en él. ii) En el momento actual, el consumo per capita es c 0 = 0:8 y el capital per capita es k 0 = 2:5. Hallar el consumo per capita y el capital per capita del siguiente periodo, c 1 y k 1. Representa la evolución de la economía en el diagrama de fases dibujado en el apartado anterior. Sospecharías que la dotación inical ya se encuentra en la única trayectoria óptima? iii) Calcular el salario, el tipo de interés del capital y el tipo de interés de los bonos en el periodo 0. Qué evolución esperarías para los tipos de interés a corto plazo y a qué tasas se aproximan a largo plazo? 24