Algunas aplicaciones de la ecuaciones diferenciales de primer orden
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- Lorena Hernández Salas
- hace 8 años
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1 GUIA 4 Algunas aplicaciones de la ecuaciones diferenciales de primer orden 1. Procesos de crecimiento y declinación. Primero estudiaremos el modelo dx dt = a x, con a constante. La cantidad x puede ser El tamaño de una polación que varía según una ley de Malthus dx dt = a x. La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espontáneamente según la ley dx = a x, (a < 0). dt La cantidad de dinero en una cuenta sore la cual se paga interés compuesto continuo a una tasa anual de interés a (En este caso el tiempo t se mide en años). 1. La polación de Cali era de 200 mil haitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millón en 1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la polación existente en ese instante, en qué año la polación de Cali excederá los 5 millones de haitantes? Respuesta: En el año Una polación duplica su tamaño en 10 años y la triplica en 20. Puede seguir una ley de Malthus de crecimiento? Justifique su respuesta. 3. Según una teoría cosmológica, en el instante inicial del Universo haía igual cantidad de átomos de uranio 235 (U 235 ) y de uranio 238 (U 238 ). Se estima que en la actualidad la relación de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de años y la del U 235 en 0,707 mil millones de años, estime la edad del Universo. Respuesta: La edad el universo es 5,96 mil millones de años. 1
2 4. Supóngase que una isla es colonizada por inmigración desde el continente. Supóngase que hay un número constante S de especies en el continente mientras que en la isla existen N(t) especies en el tiempo t. La rapidez con la cual nuevas especies inmigran a la isla y la colonizan es proporcional al número S N(t) de especies del continente que no se han estalecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Además, en la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al número de especies de la isla, con constante de proporcionalidad k. Escria la ley de variación de N. Calcule lím t N(t). 2. El modelo de Verhulst Tal como se discutió en la Guía 1, la variale fundamental en la descripción del tamaño 1 dx x = x(t) de una polación en el tiempo t es la tasa relativa de crecimiento (t). El x(t) dt modelo más sencillo es el modelo de Malthus que supone una tasa de crecimiento constante. En esta sección consideraremos un modelo postulado por el matemático Belga Pierre François Verhulst ( ), que supone una tasa de creciemiento que disminuye con el aumento de la polación de acuerdo con la regla 1 dx (t) = a x(t), x(t) dt que conduce a la ecuación diferencial dx dt a, constantes positivas, = x (a x), (1) la cual puede verse como una corrección del modelo de Malthus tratado en la Guía 1 en el siguiente sentido. Para valores pequeños de x(t), x 2 (t) es despreciale comparado con a x(t), así que dx dt = a x(t); para x(t) grande, x 2 (t) no es despreciale y la disminución x 2 (t) en la tasa de crecimiento dee considerarse. Si ien podemos resolver (1) mediante separación de variales, el punto es que podemos otener información importante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas explícitamente. Primero que todo oservamos que la función f(t,x) = x (a x), definida para todo t R y todo x R, satisface las hipótesis C1 y C2 del Teorema Fundamental (ver Guía 1), por lo que para cada t 0 R y x 0 R existen un intervalo aierto I R que contiene a t 0, y una función x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la única solución de (1) definida en I que satisface la condición inicial x(t 0 ) = x 0. Ahora notamos que las funciones constantes x E (t) = y x a I(t) = 0 son soluciones de (1). Estas soluciones tienen una interpretación demográfica interesante: si una polación en un cierto tiempo empieza con tamaño x = 0 ó x = a, entonces la polación está en equilirio demográfico, es decir, su tamaño no camia con el tiempo. Por eso se les denomina soluciones de equilirio. Los gráficos de x E y x I (ver figura 1) son rectas horizontales que dividen al plano tx en tres regiones R 1 = {(t,x) a } { < x, R 2 = (t,x) 0 < x < a }, R 3 = {(t,x) x < 0}, 2
3 R 1 x E = a R 2 x I = 0 R 3 Figura 1: Soluciones de la ecuación (1) tales que el gráfico de cualquier solución no constante x = x(t) de (1) permanece confinado en una y sólo una de estas regiones. De lo contrario, el gráfico de una solución no constante intersecaría el gráfico de una solución constante de (1) lo que sería una contradicción al Teorema Fundamental. Aordaremos ahora el prolema de determinar cuándo las soluciones de (1) son crecientes. Recordaremos que una función derivale es estrictamente creciente cuando su derivada es positiva. De otro lado, la ecuación diferencial (1) da una relación entre la derivada dx y los dt valores que toma la función x(t). Como toda solución no constante permanece en alguna de las regiones R 1, R 2 o R 3 es natural estudiar cada caso por separado. Oservamos que la solución permanece en la región a la que pertenece la condición inicial (t 0,x 0 ). En consecuencia, esta región está determinada por el valor de x 0. Si a < x 0, entonces el gráfico de la solución x = x(t), t I estará contenido en R 1. Por tanto, a dx < x(t), y por eso = x(t) (a x(t)) < 0 para todo t I, con lo que la dt solución x = x(t) será estrictamente decreciente en todo su dominio. Si 0 < x 0 < a, entonces el gráfico de la solución x = x(t), t I, está en R 2. Por eso x(t) (0, a dx ), y por ende = x(t) (a x(t)) > 0 para todo t I. Es decir, la solución dt x = x(t), t I, será estrictamente creciente en todo su dominio. Análogamente se demuestra que si x 0 < 0, la solución x = x(t), t I, será estrictamente decreciente en todo su dominio y su gráfico estará contenido en R 3. La figura 1 resume el análisis de crecimiento de las soluciones de (1). Vale la pena mencionar algunas interpretaciones demográficas de los resultados otenidos. La polación de equilirio x E (t) = a da un número que puede interpretarse como el tamaño máximo de la polación que un ecosistema dado puede sostener. Si una polación, por alguna razón, tiene un tamaño inicial x 0 > a, la polación disminuirá con el tiempo, y la disminución será asintótica hacia el estado de equilirio a. Si por el contrario, el tamaño inicial no supera el tamaño máximo a, la polación aumentará asintóticamente con el tiempo hacia el estado de equilirio a. Desde luego, un tamaño inicial x 0 < 0 no tiene sentido demográfico. No ostante, la solución de la ecuación diferencial (1) para el dato inicial x(t 0 ) = x 0 existe y tiene sentido hacer consideraciones matemáticas sore dicha solución. 3
4 Mediante separación de variales se puede hallar explícitamente la solución de (1). En efecto, integrando por partes se tiene 1 x (a x) dx = dt, 1 a ln x a x = t + c, donde c es una constante cualquiera. Despejando x otenemos x(t) = a c ea t 1 + ce a t. Si imponemos la condición x(t 0 ) = x 0 resulta x 0 = a c ea t 0 su valor en la expresión para x(t) se otiene x(t) = 1+ c e a t 0. Despejando c y reemplazando a x 0 x 0 + (a x 0 )e a(t t 0). (2) Esta es la única solución de (1) que satisface la condición x(t 0 ) = x 0. El intervalo de definición I de x = x(t) depende de x 0. Invitamos al lector a que halle I explícitamente. 1. Halle el intervalo de definición de la solución x = x(t) de (1) en los siguientes casos: i) x 0 ( > a, ii) 0 x ) 0 a. Respuesta I = R si 0 x 0 a. Si x 0 > a se tiene 1 I = ln x 0 a a x 0,. 2. Suponga que el tamaño x = x(t) de una polación oedece al modelo de Verhulst (1). Sea x 0 el tamaño cuando t = t 0. Muestre que si x 0 > 0, se tiene lím t x(t) = a Tiene sentido considerar el límite anterior si x 0 < 0? 3. Bajo las hipótesis del prolema anterior, suponga que la tasa relativa de crecimiento es del 2 % cuando el tamaño de la polación es 0, Si lím t x(t) = 10 7 halle las constantes a y en el modelo de Verhulst y determine la solución x = x(t) teniendo en cuenta que x(0) = Ley de Newton de enfriamiento La ley de Newton de enfriamiento estalece: La rapidez de camio de la temperatura T(t) de un cuerpo respecto del tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura T a del medio amiente y la temperatura T(t) del cuerpo. 4
5 Expresado en términos de ecuaciones diferenciales equivale a dt dt = a(t a T) donde a > 0 es la constante de proporcionalidad. 1. Un termómetro que está inicialmente en el interior de una haitación se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15 0 C. Después de un minuto marca 30 0 C y después de 10 minutos marca 20 0 C. De acuerdo a la ley de Newton Cuál era la temperatura de la haitación? Respuesta: 31,95 0 C. 2. Una masa de metal se extrae de un horno a C y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30 0 C. Después de 10 horas su temperatura desciende a C Cuánto tardará en llegar a 31 0 C? Llegará en algún instante la temperatura a ser igual a la temperatura amiente de 30 0 C? Justifique su respuesta. Respuesta: Para t = 39,49 horas la temperatura es de 31 0 C. 4. El modelo del tanque Algunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual entra y del cual sale una corriente de un fluído portador de una o varias sustancias disueltas. El proceso total tiene lugar deido a la interacción, es decir, a los intercamios de fluído de las sustancias entre sí y con el exterior. Traajaremos con los siguientes supuestos: Una solución con una concentración de entrada c e (masa/volumen) de cierta sustancia X entra al tanque que puede contener X y otras sustancias a una razón de entrada v e (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de entrada. La mezcla es agitada instantáneamente dentro del tanque de forma que en cada punto del tanque la concentración es la misma. A continuación la mezcla sale del tanque a una razón v s (t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida. La pregunta que se quiere responder es: Cuál es la cantidad x = x(t) de la sustancia X en el tanque, en cada instante? Formulación: Sean x = x(t) cantidad de sustancia X en el instante t, V = V (t) volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t, c = x V concentración de X en el tanque en el instante t. Puesto que la mezcla es agitada instantáneamente, para la concentación de salida c s = c s (t) se tiene c s (t) = c(t). 5
6 Bajo el supuesto de que la sustancia X no se crea ni se destruye en el proceso, y como c s (t) = c(t) = x(t), tenemos que V (t) dx dt = v e(t)c e (t) v s (t)c s (t) = v e (t)c e (t) v s (t) x(t) V (t) De lo cual se deduce la siguiente ecuación diferencial para x = x(t) En cuanto al volumen V = V (t) tenemos dx dt + v s(t) V (t) x = v e(t)c e (t). Integrando a amos lados se tiene dv dt = v e(t) v s (t). V (t) = V (0) + t 0 (v e (ξ) v s (ξ)) dξ. 1. A un tanque que contenía 400 litros de agua pura se omea una solución de aguasal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una razón de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cao de 50 minutos y a continuación se omea agua pura a la misma razón de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine: a) La cantidad de sal en el tanque al cao de los primeros 50 minutos. ) La cantidad de sal al cao de 100 minutos. c) Esoce la gráfica de la solución. Respuesta: La cantidad de sal en el tanque al cao de 50 minutos es 20(1 e 1 ) y la cantidad de sal al cao de 100 minutos es 20e 1 (1 e 1 ). 2. Una sala con un volumen de 32 metros cúicos está inicialmente llena de aire lire de monóxido de carono. A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de 0,002m 3 /min con un 4 % de monóxido de carono. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0,002m 3 /min. a) Cuánto tardará la concentración de monóxido de carono en la sala en alcanzar el nivel del 0,0012 %, peligrosa para seres humanos? ) Si la situación persistiera, qué pasaría cuando t? Respuesta: (a) En t = 4, 8 minutos la concentración de monóxido de carono será del 0,0012 % () Si t entonces c(t) 4 %. 6
7 3. Considérese un tramo del Río Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa) hasta un punto después de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millones de metros cúicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc.) del 0,00001 %. Supóngase que a partir de t = 0 hay una entrada de 1200m 3 /seg con una concentración de contaminantes del 0,001 % y que hay una salida de igual cantidad de agua ien mezclada. Cuál será la concentración de contaminantes después del tiempo t? Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0,0001 %? Si las condiciones persistieran, qué pasaría cuando t? Respuesta: La concentración es c(t) = 10 7 (100 99e 0,00002 t ). En t = 4765,51 la concentración será del 0,0001 %. Si t entonces c(t) 0,001 %. 4. Una fárica está situada cerca de un río con caudal constante de 1000m 3 /seg que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m 3. Suponga que la fárica empezó a funcionar el 1 0 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, omea contaminantes al río a razón de 1m 3 /seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m 3 /seg de agua ien mezclada. Esoce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de: un día, un mes (30 días), un año (365 días). Respuesta: Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos omeos diarios de contaminación) tenemos: La concentración en un día es 0,0014 %, en un mes 0,012 % y en un año 0,146 % 5. Caída de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra. En la Guía 1 discutimos algunos modelos para la caída de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra. En la discusión definimos un eje vertical de coordenadas con dirección positiva apuntando hacia arria y supusimos que sólo actuaan la fuerza de la gravedad f W = m g y una fuerza de fricción f R que se opone al movimineto. Si v = v(t) es la velocidad del cuerpo en el tiempo t concluimos que m dv dt = m g + f R. (3) Si el cuerpo se mueve en un medio fluído como aire o agua, entonces la dirección de la fuerza de fricción que ejerce el medio es opuesta a la dirección de la velocidad v, mientras su magnitud depende de la rapidez. Se tiene entonces que (ver figura 2) < 0 si v > 0 f R (v) : = 0 si v = 0 > 0 si v < 0 Además, en general, entre más grande sea la rapidez del cuerpo que cae mayor será la magnitud de la fuerza de fricción. Con frecuencia se toma, en lugar de f R (v), su aproximación lineal f R (v) f R (0) + f R (0)v = f R (0)v. 7
8 Escriiendo γ = f R (0) se tiene, como caso particular, la ley de fricción viscosa f R (v) = γ v, que da lugar a la ecuación diferencial lineal otenida en la Guía 1. dv dt + γ v = g (4) m γ v f R (v) v Figura 2: f R y su linealización Ejemplo 1. Un homre salta en paracaídas desde el reposo a una gran altura. La masa cominada del homre y del paracaídas es de 80 kilogramos. Sea v(t) su velocidad t segundos después de empezar a caer. Durante los primeros 10 segundos la resistencia del aire es 15v. Después, al arirse el paracaídas la resistencia es 240 v. Considerando al homre y al paracaídas como una masa puntual, y suponiendo que las únicas fuerzas que actúan en el movimiento son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia al movimiento ejercida por el aire, determinar la velocidad v(t) en cualquier instante t. En particular determine v(10) y v(20). Solución. Tomamos el origen de coordenadas en la superficie de la Tierra. Para 0 < t < 10 tenemos dv dt v = g. Como además v(0) = 0 concluimos que v(t) = 16g 3 ( ) 1 e 3t 16, 0 t 10. Tenemos entonces v(10) = 16g ( ) 1 e ,25. 3 Consideremos ahora t 10. Para esos valores de t la función v = v(t) satisface la ecuación dv dt v = g. 8
9 0,0 10 t 44,25 Figura 3: v(t) durante el descenso en paracaídas Como además v(10) 44,25 concluimos que v(t) = g 3 + ( g 3 44,25 ) e 3(t 10), 10 t. Entonces v(20) 3,26. En la figura 2 osqueja la solución v(t) para t Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arria con una velocidad inicial de 20 m/s. Sea v = v(t) la velocidad en el instante t. Determine el tiempo de ascenso del cuerpo suponiendo que las únicas fuerzas que actúan son la fuerza de la gravedad y la fuerza de fricción ejercida por el aire que es igual a 5v. Cuál es la altura máxima a la que sue el cuerpo? 2. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 g de masa satisface la ecuación diferencial (4). Halle la constante γ suponiendo que lím t v(t) = 400 cm/s. 3. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que opone una fuerza de fricción proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir, f R (v) = k v 2 para alguna constante de proporcionalidad k. Plantee y resuelva el prolema de valor inicial para la velocidad v = v(t) y halle además lím t v(t). Principio de Arquímedes. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arria igual al peso del volumen del fluido desalojado por el cuerpo. Esta fuerza es conocida como fuerza arquimediana de oyancia o empuje. 1. Una esfera de masa 5000 kg y volumen 4π 3 m3 y un cilindro de 4000 kg y π m 3 se sueltan desde el reposo sore la superficie de un lago. Las fuerzas de fricción ejercidas por el agua sore la esfera y el cilindro son respectivamente λv e y λv c, donde v e y v c son las velocidades respectivas y λ > 0 es una constante. Suponiendo que las únicas fuerzas que oran son la fuerza de la gravedad, la fuerza de fricción y la fuerza arquimediana de oyancia ejercida por el agua, determine las ecuaciones diferenciales para v e = v e (t) y v c = v c (t) cuál de los dos ojetos llega primero al fondo? 9
10 6. Caida en potencial gravitatorio variale Un cuerpo de masa m es lanzado verticalmente hacia arria desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v 0. Tómese el eje z orientado positivamente hacia arria con el origen sore la superficie de la Tierra. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional terrestre con la altura, se otiene donde R es el radio de la Tierra. m dv dt = m g R2 (R + z) 2, 1. Sea v(z) = v(z(t)) la velocidad de la masa cuando su altura con respecto a la superficie de la Tierra es z. Halle una ecuación diferencial para v(z). Sug: dv = dv dz. Respuesta: dt dz dt v dv = gr2. dz (R+z) 2 2. Determine la velocidad inicial mínima v 0 para la cual el cuerpo no retorna a la Tierra. Esto es lo que se llama la velocidad de escape, que se determina exigiendo que v(z) permanezca estrictamente positiva. Respuesta: La velocidad mínima de escape es de 11,1 km/s. 7. Trayectorias ortogonales En algunos prolemas geométricos y en algunos prolemas físicos se plantea la cuestión siguiente: Dada una familia de curvas planas diferenciales descrita por f (x,y,c) = 0 (5) donde c representa una constante aritraria, hallar las curvas que, en cada punto, intersecan ortogonalmente a las curvas de la familia dada. Tales curvas se denominan trayectorias ortogonales a (5). El prolema puede resolverse así. Si y = y(x) es una curva de la familia descrita por (5), entonces para alguna constante c fija dee tenerse f (x,y(x),c) = 0, (6) para todo x en el domio de y. En este caso, derivando (6) con respecto a x otenemos f x + f y dy dx = 0. 10
11 Geométricamente la interpretación de la anterior identidad es que la pendiente de la recta tangente a la curva y = y(x) en el punto (x,y(x)), está dada por m = dy f dx = (x,y(x),c) x (7) (x,y(x),c). f y Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (5), en términos de x y y. En ese caso, reeplazando en (6), se otiene una expresión para la pendiente m, que depende unicamente del punto (x,y) y no de la constante c. Figura 4: Curvas que se intersecan ortogonalmente Ahora ien, si y = y(x) es una curva que interseca ortogonalmente a un miemro de la familia (5) en el punto (x,y), entonces la pendiente m de la recta tangente a y = y(x) en el punto (x,y(x)) satiface m m = 1. Es decir, dy = dx m = 1. Con lo cual otenemos la m siguiente ecuación diferencial para la las trayectorias ortogonales: f dy dx = (x,y,c(x,y)) y (8) (x,y,c(x,y)). f x Ejemplo 2. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia de paráolas x cy 2 = 0. Se tiene sucesivamente (derivando, despejando c, etc.): 1 2cy dy dx = 0, c = x y 2, dy dx = y 2x (ecuación diferencial de las paráolas). La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es dy dx = 2x y. 11
12 Figura 5: Ejemplo de familias de curvas ortogonales Una integral general de esta ecuación es la familia de elípses: y 2 + 2x 2 = k 2. Estas son las trayectorias ortogonales uscadas. 1. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da (c denota una constante cualquiera): (a) y 2 x 2 = c, () x 2 + y 2 = c x, (c) y = c e x, (d) e x cos y = c. Respuestas: (a) xy = k, () x 2 + y 2 = k y, (c) y 2 = 2x + k, (d) e x sen y = c. 2. En cada caso hallar las curvas que cumplen la condición dada. a) La normal en un punto cualquiera pasa por el origen. Respuesta: x 2 + y 2 = c. ) La longitud del arco desde el origen a un punto variale es igual al dole de la raíz cuadrada de la ascisa del punto. Respuesta: y = ±(arc sen x + x x 2 ) + c. 12
164 Ecuaciones diferenciales
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