LA DEMOGRAFÍA EN LA FORMACIÓN DEL ACTUARIO material de apoyo didáctico

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1 LA DEMOGRAFÍA EN LA FORMACIÓN DEL ACTUARIO material de apoyo didáctico Alejandro Mina Valdés 1 septiembre de Profesor de asignatura de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México

2 Índice general Prólogo 5 Introduccción 7 1 Construcción de una tabla abreviada de mortalidad Definición Infromación de las estadísticas vitales Información Censal Evaluación de la Información Índice de Whipple Índice de Naciones Unidas Índice de Myers Corrección de la estructura por edad de la población censada Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año censal Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos quinquenales de edades Estimación de las tasas de mortalidad específicas por grupos quinquenales de edades, a partir de 5 a 9 años cumplidos Estimación de la tasa de mortalidad infantil ( 1 M 0 ) y la del grupo de uno a cuatro años cumplidos ( 4 M 1 ) Factores de Separación Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabilidades de muerte Las series l x,d x,x+n, n L x,t x,e x de la tabal de mortalidad Simulación de fenómenos demográficos 43 3 Las funciones actuariales Gomperz y Gomperz-Makeham en la descripción de fenómenos demográficos Hipótesis Criterio de mínimos cuadrados Poblaciones teóricas de Alfred J. Lotka Teoría analítica de las asociaciones biológicas Mínimos Cuadrados y Promedios Móviles Función Gompertz-Makeham Modelo de fecundidad basado en la relación de Gompertz propuesto por Brass 88 2

3 4 Funciones polinomiales en el ajuste de datos demográficos Introducción El análisis numérico Ley de Mortalidad Mexicana Funciones de supervivencia Las funciónes Gompertz-Makeham estimadas para México Conclusiones Las causas de muerte en México y sus ganancias en las esperanzas de vida Introducción Impacto de la mortalidad por causas en México Metodología empleada en la estimación de las ganancias de vida Procedimiento de cálculo Principales causas de muerte en México Clasificación de las causas de muerte La Contribución de las causas de muerte al cambio en la esperanza de vida en un período 127 Tablas 131 Anexo Anexo Anexo Anexo Anexo Anexo Anexo Anexo Anexo Referencias históricas Anexo Conceptos básicos Definición y objeto de estudio de la demografía Componentes de la dinámica poblacional Fuentes de datos Censo demográfico Estadísticas vitales

4 Encuestas demográficas El diagrama de Lexis La pirámide de edades Índice de masculinidad El análisis longitudinal y el transversal Intensidad y calendario Tasa Cocientes Relación entre tasas y cocientes Tablas Mortalidad Tasa bruta y tasas específicas de mortalidad Tasa de mortalidad infantil Tasas de mortalidad infantil neonatal y posneonatal Tablas de mortalidad Tablas abreviadas de mortalidad La esperanza de vida Fecundidad Tasa bruta de natalidad Tasas de fecundidad general Tasas especificas de fecundidad Tasa global de fecundidad o descendencia final Tasas bruta y neta de reproducción Edad media a la fecundidad Relación entre las tasas bruta y neta de reproducción Nupcialidad Tasa bruta de nupcialidad Tasa específica de nupcialidad Tablas de nupcialidad Migración El método de la tasa de supervivencia Fórmula avanzante Fórmula de retroceso Fórmula promediada Relación entre los métodos de tasas de supervivencia Estimación directa de la migración interna empleando información censal Población activa El modelo simplificado de una población Tablas de entrada Tablas de salida Educación Proporciones de escolaridad por edad Análisis de un sector con datos sobre flujos Tablas de vida escolar

5 Prólogo Con este trabajo se espera cubrir una de las deficiencias en la materia de Demografía I, en cuanto material didáctico se refiere; ya que comúnmente el estudiante de Actuaría se le remite a bibliografía que trata superficialmente, en algunos casos, y suponiendo un dominio del Análisis Demográfico, en otros, el tema que aquí se tratará: la elaboración de la tabla abreviada de mortalidad. Es importante señalar que el curso de demografía para estudiantes de Actuaría tiene características muy peculiares, dada la formación estadística y matemática que previamente al curso ha tomado el estudiante. El tema aquí presentado toma en cuenta los antecedentes del estudiante. Si bien es cierto que el tema ha sido tratado por otros profesores en México y en el resto del mundo, la presentación que aquí se hace tiene algunas modalidades que se han podido cristalizar, en este documento, gracias a la experiencia alcanzada en los años de impartición del curso de Demografía I en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y al apoyo que la facultad otorgó al autor en su año sabático, en el cual tuvo el tiempo para reflexionar y plantear sus puntos de vista sobre el tema aquí tratado. Ha sido la elaboración o construcción de la tabla de vida o de mortalidad el tema central en el curso de Demografía I, perteneciente al sexto semestre en la carrera de Actuaría, sin embargo, dada la amplitud y complejidad del tema, el estudiante con mucha facilidad se confunde sobre alguno o algunos pasos a seguir para captar, evaluar o corregir la información necesaria para lograr su fin, o bien en la elaboración de alguno o algunos índices que conforman a la tabla abreviada de mortalidad. Si a lo anterior aunamos que un alto porcentaje de los egresados de la carrera se Actuaría, al asentar mal el tema en sus apuntes, se ven imposibilitados en elaborar en su vida profesional una tabla de vida acorde a las poblaciones que estén analizando en ella, se hace fundamental el tener, lo más claramente posible un manual que le indique, por una parte, la fuente de datos necesaria para elaborar la tabla abreviada de mortalidad, señalando sus alcances y limitaciones, y por otra parte la técnica propiamente dicha para obtener la tabla. En la vida profesional del actuario, la tabla de mortalidad con frecuencia se toman con experiencia que no reflejan el impacto del fenómeno mortalidad en la población que él está analizando, por ejemplo una población asegurada que tiene condiciones de vida por arriba de la media nacional no debe ser afectada, para el cálculo actuarial de primas, seguros, etc., por la tabla de mortalidad estimada para la población mexicana a nivel nacional, ni incluso la obtenida para la entidad en que se tiene inmersa a la población asegurada en estudio. El actuario debe enfrentar el reto de estimar, lo mejor posible, el impacto de la mortalidad para poblaciones específicas, calculando en cada caso su tabla de vida; lo que conllevará a una mejor estimación de las primas que la población en general tiene que pagar y que comúnmente serán menores a las que actualmente se cobran, pudiendo ampliar la cobertura social de los seguros. Las aplicaciones que se le pueden dar a la tabla de mortalidad son diversas, y en este trabajo se presentan algunas de ellas en los anexos. 5

6 El que el estudiante tenga sistematizado el tema central y que lleva el mayor tiempo de la materia de demografía, sin duda le permite, además de apoyo para dominarlo mejor, darle mayor tiempo de reflexión sobre el tema en clases, ya que en ello se empleará el tiempo que antes se usaba en describir cada paso de manera exhaustiva en el pizarrón, teniendo en algunos casos, dudas los estudiantes en pizarrones ya borrados y no reproducidos correctamente por ellos, por las varias explicaciones que se tienen que ir dando conforme el tema avanza. No se pretende tener concluido el tema de la construcción de la tabla abreviada de mortalidad con el trabajo aquí presentado, sin embargo, se espera tenga una adecuada divulgación para poder aportar las inquietudes en cuanto a modificaciones que superen el conocimiento sobre el tema aquí tratado, y en el futuro ampliarlo. 6

7 Introducción Uno de los temas básicos que todo actuario y demógrafo debe dominar, es sin duda la elaboración o comúnmente llamado construcción de una tabla de mortalidad o de vida abreviada en grupos quinquenales de edad, a excepción del primero y último grupos de edad. Con frecuencia se incurre en errores en la construcción de la tabla de mortalidad, por no tener con claridad dominados algunos de los pasos a seguir para construirla. Es por ello que se ha hecho necesario tener de manera explícita, cada uno de dichos pasos para elaborar correctamente una tabla de mortalidad. Las notas que a continuación se presentan tienen la finalidad de presentar al estudiante de la carrera de actuaría y al estudiante de la maestría en demografía, el procedimiento completo para obtener una tabla de mortalidad. Sin que esto quiera decir que es el único procedimiento para elaborar una tabla de mortalidad, sin embargo, el que aquí se presenta es el tradicional y el que por mínimo debe conocer y dominar el estudiante de demografía y actuaría. Debe resaltarse que el procedimiento presentado está basado en los estudios y aplicaciones que el autor ha venido desarrollando en los últimos años, impartiendo clases en el Centro de Estudios Demográficos y de Desarrollo Urbano de El Colegio de México A.C. y en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Así, el presente trabajo únicamente organiza de manera didáctica, lo hecho por otros demógrafos y actuarios al construir tablas abreviadas de mortalidad. Finalmente se desea recomendar al lector, dominar en su conjunto el procedimiento de elaboración de la tabla abreviada de mortalidad y posteriormente aplicarlo. 7

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9 Capítulo 1 Construcción de una tabla abreviada de mortalidad 1.1. Definición La tabla abreviada de mortalidad es el cuadro estadístico que resume el impacto de dicho fenómeno demográfico, tenido por una población determinada, en un año o periodo de años. Es abreviada porque la estructura por edad de la población se agrupa en quinquenios de edades; esto a partir del grupo de edad de 5-9 años cumplidos. La excepción la constituyen el primer grupo de edad y el último; los que se toman de cero años cumplidos, de 1 a 4 años cumplidos y de 80 a 85 años y más cumplidos (tomaremos en está presentación como último grupo de edad el constituido por las edades 85 y más). Así los grupos de edades en una tabla abreviada de mortalidad son: Supongamos que se desea calcular la tabla abreviada de mortalidad a nivel nacional, para ambos sexos, caso de México y para el año de La información necesaria para la construcción de la tabla será tomada de las estadísticas vitales y de los X y Xl Censos Nacionales de población y vivienda, los cuales se levantaron el 4 de junio de 1980 y supondremos que el de 1990 será levantado el 10 de junio de Infromación de las estadísticas vitales Los nacimientos registrados a nivel nacional, ambos sexos, en los años de 1985 a Las defunciones de individuos de cero años cumplidos, desagregadas en días, a partir de cero días cumplidos hasta 6 días cumplidos, semanas, de la primera a la tercer semana cumplida y meses, del primero a l octavo mes cumplido. Todas ellas para cada uno de los años de

10 a 1990, teniéndose que captar para el año de 1991 el total de definiciones de individuos de cero años cumplidos sin desagregarlas. Para los grupos de edades 5 a 9 años cumplidos al 85 y más las definiciones registradas en los años 1989, 1990 y Información Censal La estructura por edad desplegada (individual), por sexo y para cada uno de los censos (X y Xl) sin olvidar a los no especificados en cuanto a edad y sexo Evaluación de la Información Dado que la información de las estadísticas vitales como la censal adolecen de fallas, como son: el subregistro de los nacimientos y de las defunciones, y la mala declaración de edad, como las más importantes; es inicialmente necesario evaluar la información para posteriormente corregirla. Para evaluar la información censal, en cuanto a su estructura por edad, se emplean los índices de Whipple, de naciones unidas y el de Myers. Una presentación de ellos a continuación se da: Índice de Whipple Estima el grado de preferencia hacia los dígitos 0 y 5 por la población censada que declaró su edad entre 23 y 62 años. El supuesto que se maneja es el de distribución uniforme en cada una de las edades individuales y para el grupo de edad asociado, así por ejemplo cinco veces la población censada que declaró tener treinta años cumplidos de edad, debe ser aproximadamente igual a la suma de las personas que declararon tener 28, 29, 30, 31 y 32 años cumplidos de edad en el censo. El índice de Whipple I w se define como: I w = 12 i=15 P 5i 62 i=23 P i (1.1) donde P 5i y P i son las poblaciones censadas que declararon tener las edades cumplidas 5i e i respectivamente. El criterio para evaluar el tipo de información con la que trabajaremos está basado en la siguiente tabla, la que esta en base al valor que toma el índice de Whipple. Rango de I w Clasificación de la información 100 a 104 muy precisa 105 a 109 precisa 110 a 124 aproximada 125 a 174 deficiente 175 a más muy deficiente 10

11 Índice de Naciones Unidas Su aplicación requiere tener agregada su aplicación en grupos quinquenales de edad, de 0 a 4 años cumplidos, al 65 a 69 años cumplidos, por sexo y para el total de la población. La hipótesis que se maneja en este índice es la linealidad en los efectivos, en el grupo anterior y posterior al grupo de edad considerado. Así por ejemplo: si se toman los grupos de edad 35 39, y años cumplidos, entonces: P P P debe tender a la unidad ya que la población de años cumplidos más la población de 45 a 49 años cumplidos censada dividida entre dos debe ser aproximadamente igual a la población que declaró tener entre 40 y 44 años cumplidos; esto bajo la hipótesis de linealidad. A continuación se construyen los índices por sexo, los que se definen como L H (G) para los hombres e I F (G) para las mujeres, donde: (1.2) 13 2P H (5i) (51+4) I H i=1 P(5i 5) (5i) H (G) = + P 1 (5i+5) (5i+9) H (1.3) 13 e (1.4) 13 2P F (5i) (51+4) I F i=1 P(5i 5) (5i) F (G) = + P 1 (5i+5) (5i+9) F (1.5) 13 El índice para ambos sexos se definen a partir de los índices de masculinidad y del hecho de que no deben tener variaciones sustanciales de grupo a grupo; por ejemplo, si se consideran los grupos de edad y años cumplidos, entonces la diferencia de los índices de masculinidad deben tender a cero, es decir: P25 29 H P H tiende a cero (1.6) P M P M Por tanto el índice de ambos sexos I(S) se define como: P(5i) (5i+4) H P H (5i+5) (5i+9) P(5i) (5i+4) M P(5i+5) (5i+9) M I(S) = 100 (1.7) 13 Basándose en la experiencia mundial, los especialistas de las naciones unidas ponderan con tres unidades al índice de ambos sexos I(S), quedando definido el índice de naciones unidas como: I Nu = I H (G) + IM (G) + 3I(S) (1.8) Es obvio que I Nu = 0 ya que para que I Nu = 0 los efectivos en cada grupo de edad deben ser iguales, Para países donde las hipótesis se han cumplido y se tienen censos de alta calidad en su control de declaración de edad, I Nu se encuentra alrededor de 9 unidades, teniéndose que en la medida que se aleje de este número, en esa medida se acentúa la mala declaración de edad. 11

12 Índice de Myers Este índice (IM 1 ) se define a partir de la suma de los valores absolutos de los índices individuales para cada dígito M j con j = 0, 1, 2,..., 8, 9, los que estiman la atracción de rechazo de cada uno de los dígitos en la declaración de edad. Para definir IM y los valores M j es necesario definir la siguiente notación: P x Número de personas que declaran la edad x cumplida. V x Número de personas que realmente tienen la edad x cumplida. P j = i 1 P 10i+j Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el dígito j y dentro de la población de diez años y más cumplidos. P j = i>1 P 10i+j Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el dígito j y dentro de la población de veinte años y más cumplidos. V j = i 1 V 10i+j Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dígito j dentro de la población de diez años y más cumplidos. = i>1 V 10i+j Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dígito j dentro de la población de veinte años y más cumplidos. V j Por ejemplo: P 5 = i 1 P 10i+5 (1.9) = P 10(1)+5 + P 10(2)+5 + P 10(3) (1.10) = P 15 + P 25 + P (1.11) V 5 = i>1 V 10i+5 (1.12) = V 10(2)+5 + V 10(3)+5 + V 10(4) (1.13) = V 25 + V 35 + V (1.14) De ser posible el conocer los valores de V j y V j, esto de tener entrevista repetida, (hecho prácticamente imposible de tener en un censo nacional), un adecuado índice de atracción o rechazo para el dígito j sería: (P j P j ) (V j V j ) (P j P j ) = 1 V j V j P j P j (1.15) Debido a la imposibilidad de tener los valores V j y V j, Myers supone linealidad en la tendencia de los valores V j y V j, ponderándolos y suponiendo que en cada uno de los diez dígitos debe haber un diez por ciento de la población, así: a j v j a j v j a j=0 (a jv j a j v j ) (1.16) 1 La presentación de Índice se basa en el volumen XLI de la revista Actuarial Society of America Transcaction, publicada en Nueva York en 1940 y en artículo que bajo el título. Er ror and bias in the reporting of age census data que fue publicado en dicha revista. También en el libro de Joaquin Leguina Fundamentos de Demografía, tercera edición, Siglo Veintiuno editores, México D.F.,

13 donde a j y a j toman los valores: j a j a j Por ejemplo: a 5 V 5 a 5V 5 = 6V 5 + 4V 5 (1.17) = 6(V 15 + V 25 + V ) + 4(V 23 + V 35 + V ) (1.18) Suponiéndose que: = 6V V V (1.19) 6V 15 = V 10 + V 11 + V 12 + V 13 + V 14 + V 15 (1.20) 10V 25 = V 16 + V 17 + V 18 + V 19 + V 20 + V 21 + V 22 + V 23 + V 24 + V 25 (1.21) etc. (1.22) Teniéndose que en el mejor de los casos: 9 j=0 (a j V j a jv j ) = miden el sesgo en la declaración de edad en términos absolutos. Por lo que Myers define el índice M j : 9 a j P j a jp j (1.23) j=0 y la diferencia: (1.24) (a j P j a jp j)(a j V j a jv j ) (1.25) M j = a jp j a j P j + (a j V j a j V j ) 9 j=0 a jp j a j P 100 (1.26) j ( a j P j a j = P ) j 9 j=0 (a jp j a j P j ) 0, (1.27) 13

14 teniéndose que el dígito j es de atracción si M j > 0 y de rechazo si M j < 0. Finalmente Myers define su índice como: 9 I M = M j (1.28) j=1 Si se cumplieran las hipótesis entoncesb I M = 0 de centrarse en un solo dígito la declaración de edad, entonces I M = 180. Entre 0 y 180 se definieron los siguientes rangos para clasificar a la concentración de la población en cuanto a la preferencia de dígitos. Rango de I M Clasificación 0 a 4.99 Baja concentración en algún dígito 5 a Baja concentración en algún dígito 15 a Mediana concentración en algún dígito 30 a más Muy alta concentración en alún dígito Corrección de la estructura por edad de la población censada La corrección de la información captada en los censos nacionales de población y vivienda, para fines de elaborar una tabla de mortalidad, se lleva a cabo empleando diversos métodos, en este caso se presentará el método de ajuste llamado fórmula de graduación de un dieciseisavo 2. Dicha fórmula se basa en el ajuste de la estructura de la población, agrupada en grupos quinquenales de edad convencionales (0-4, 5-9,..., y 85 y más), suponiendo que cada cinco grupos de edades sucesivos estimados se distribuyen adecuándose a un polinomio de grado tres y que los efectivos observados por grupo quinquenal de edad contienen un error (e), de magnitud constante, el cual incide en alternativamente en los valores estudiados, teniéndose que: donde: ˆS j es el efectivo de población estimado en el grupo de edad j. S j es el efectivo de población observado en el grupo de edad j. ˆS j = S j ( 1) j 1 (1.29) j = i 2, i 1, i, i + 1, i + 2 por ejemplo si tenemos los primeros cinco grupos de edad y sus respectivos efectivos de población observada, que se declaró en el censo en estudio con esas edades y llamamos a S 0 a la población censada en el grupo de edad 0 4 años cumplidos, S 1 a la población censada en el grupo de edad 5 9 años cumplidos, S 2 a la población censada en el grupo de edad años cumplidos, S 3 a la población censada en el grupo de edad años cumplidos y S 4 a la población censada en el grupo de edad años cumplidos entonces: 2 La presentación se basa en el material compilado por los autores Corona V. Rodolfo y Minunjin Z. Alberto, en su libro Manual de Técnicas de Evaluación y Ajuste de información Estadística. ed itado por Fondo de Cultura Económica en México D.F. 14

15 ˆS 0 = S 0 + ( 1) i 2 = S 0 + ( 1) 2 e = S 0 + e (1.30) ˆS 1 = S 1 + ( 1) i 1 = S 1 + ( 1) 1 e = S 1 + e (1.31) ˆS 2 = S 2 + ( 1) i i = S 2 + ( 1) 0 e = S 2 + e (1.32) ˆS 3 = S 3 + ( 1) (i+1) i = S 3 + ( 1) 1 e = S 3 + e (1.33) ˆS 4 = S 4 + ( 1) (i+2) i = S 4 + ( 1) 2 e = S 4 + e (1.34) Ahora bien, de acuerdo a la hipótesis de que se ajusta a un polinomio de tercer grado a los valores de ˆS j, entonces Δ 4 ˆSj = 0. Ilustrando este hecho, supongamos el polinomio de tercer grado, Ψ = x 3 + x 2 + 2x 1 entonces: H Ψ ΔΨ Δ 2 Ψ Δ 3 Ψ Δ 4 Ψ (-1)=4 (12)-(4)= (3)=12 (26)-(12)= (15)=26 (46)-(26)= (41)=46 (72)-(46)= (87)=72 (104)-(72)= (159)= Haciendo la analogía para los valores ˆS j : por tanto j ˆSj Δ ˆS j Δ 2 ˆSj Δ 3 ˆSj i 2 S i 2 ˆ S i 1 ˆ ˆ i 1 S i 1 ˆ ˆSi S ˆ i 1 i ˆSi S i+1 ˆ ˆS i i + 1 S i+1 ˆ S i+2 ˆ ˆ i + 2 ˆ S i+2 S i 2 S i+1 ˆSi 2S ˆ i 1 S ˆ i 2 S i+1 ˆ 2 ˆS i S ˆ i 1 S i+2 ˆ 2S ˆ i+1 ˆS i S i+1 ˆ 3 ˆS i + S ˆ i 1 S i+2 ˆ 3S ˆ i ˆS i ˆ ˆ S i 2 S i 1 Por Hipótesis Δ 4 ˆSj = S ˆ i+2 4S ˆ i ˆS i 4S ˆ i 1 + S ˆ i 2 = 0 (1.35) S i 2 ˆ = S i+2 ˆ + e (1.36) S i 1 ˆ = S i+1 ˆ e (1.37) ˆS i = ˆS i + e (1.38) S i+1 ˆ = S i+1 ˆ e (1.39) S i+2 ˆ = S i+2 ˆ + e (1.40) Δ 4 ˆSj = 0 (1.41) = S i+2 ˆ + e 4S ˆ i+1 + 4e6 ˆS i + 6e 4S ˆ i 1 + 4e + S ˆ i 2 + e (1.42) = S i+2 ˆ 4S ˆ i ˆS i 4S ˆ i 1 + S ˆ i e (1.43) 15

16 Despejando el valor de e También por la hipótesis 16e = S ˆ i+2 + 4S ˆ i+1 6 ˆS i + 4S ˆ i 1 S ˆ i 2 (1.44) e = 1 ( S 16 ˆ i+2 + 4S ˆ i+1 6 ˆS i + 4S ˆ i 1 S ˆ ) i 2 (1.45) ˆS i = S i + ( 1) i 1 e = S i + e (1.46) sustituyendo el valor de e (1.47) ˆS i = S i + 1 ( S 16 ˆ i+2 + 4S ˆ i+1 6 ˆS i + 4S ˆ i 1 S ˆ ) i 2 (1.48) simplificando queda: (1.49) ˆS i = 1 ( S 16 ˆ i+2 + 4S ˆ i ˆS i + 4S ˆ i 1 S ˆ ) i 2 (1.50) La cual es la fórmula de graduación de un dieciseisavo Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año censal Una vez evaluada y corregida la estructura por edad de la población censal, es necesario para tener los denominadores de las tasas de mortalidad, la estimación de la población a mitad del año, es decir, al 30 de Junio del año censal. Antes de indicar como se lleva a cabo la proyección, se hace notar la razón por la cual esto es indispensable. Una tasa de mortalidad para el grupo quinquenal de edades cumplidas entre X y X +4 se define como la división del número de defunciones registradas en el año Censal (supongamos 1990) y los años-persona vividos por la cohorte en estudio entre las edades X y X + 4 cumplidos. Entendiendo por cohorte al número de personas que comparten un mismo evento origen, que en este caso es el estar vivo a edad X. Los años persona son las unidades de tiempo, medida en años, que aportó cada individuo de la cohorte en cuanto a años vividos entre las edades X y X + 4 años cumplidos. Por ejemplo: Supongamos 48 personas que llegan con vida a los 20 años y que 5 de ellas mueren entre los 20 y 24 años cumplidos; y supongamos que 1 de ellas murió a los 20 años 4 días, 3 de ellas a los 22 años, 10 meses, 8 días y la otra a los 24 años, 1 mes 28 días, entonces la tasa de mortalidad específica para esta cohorte y para el grupo quinquenal de edad años será: donde: 5M 20 = D R,1990 (20,25) a nos persona (20 25) (1.51) 5M 20 Denota la tasa de mortalidad específica para el grupo de edad y 5 años exactos más, es decir, entre 20 y 24 años cumplidos. 16

17 D R,1990 (2,25) Denota a las definiciones registradas en el año 1990 de personas entre las edades exactas años, en este ejemplo son 5. años persona (20,25) Denota los años persona que aportaron las 48 personas en los 5 años correspondientes entre las edades exactas 20 y 25, con vida, es decir, para los que fallecieron, antes de hacerlo, y para los que sobrevivieron, en este caso 43 personas, con 5 años cada uno de ellos. Dado que difícilmente se tendrán estadísticas vitales que permitan estimar los años-persona vividos siguiendo la definición de manera puntual, se utiliza la hipótesis de distribución uniforme o lineal de las definiciones, lo que es válido para todos los grupos de edad excepto el primero (0-4 años cumplidos), el cual será tratado más adelante. Siguiendo el ejemplo planteado y suponiendo distribución uniforme o lineal de las defunciones tendremos que la aproximación que empleamos para la estimación de los años-personas vividos por la cohorte de 48 personas a edad exacta 20 años será: Ilustrado en un diagrama de Lexis: 5(43) Nótese que en el diagrama de Lexis la población representada por los años persona vividos es la de 20 a 24 años cumplidos al final del año Sin embargo las defunciones registradas no se tienen clasificadas por generaciones 3 sino por año de ocurrencia, así el diagrama de Lexis sería: 3 Se llama generación a la cohorte que comparte el evento origen nacimiento 17

18 Teniéndose a los años persona asociados al número de personas entre 20 y 24 años cumplidos a mitad del año, es decir, al 33 de Junio de Ya que los años persona vividos se pueden estimar con la población al 30 de Junio del año considerado, para los grupos de edades quinquenales a partir de 5 a 9 años cumplidos, es necesario proyectar la estructura por edad de la población censada del día que fue censada al 30 de Junio del año Censal. Supongamos que se tienen la población P 0 origen, en el año inicial que llamaremos cero. Un año después tendremos P 1 que será igual a P 0 más un porcentaje de P 0, el cual en general es positivo, el cual denotaremos con r, y que comúnmente se le llama tasa de crecimiento. Así: supóngase r constante en el tiempo, entonces: P 1 = P 0 + P 0 r = P 0 (1 + r) (1.52) P 2 = P 1 + P 1 r = P 1 (1 + r) (1.53) = P 0 (1 + r)(1 + r) = P 0 (1 + r) 2 (1.54) No es difícil ver que la población t años después es función de la población de origen P 0, guarda la relación: Demostración por inducción matemática. Para t=1 tenemos: Suponemos válido para t=k, ésta es la hióteisi de inducción Lo demostramos apra k+1 P t = P 0 (1 + r) t (1.55) P 1 = P 0 + P 0 r = P 0 (1 + r) 1 (1.56) P k = P 0 (1 + r) k (1.57) P k+1 = P k + P k r = P k (1 + r) (1.58) = P 0 (1 + r) k (1 + r) = P k (1 + r) k+1 (1.59) El problema se centra ahora en estimar a la tasa de crecimiento r. Para ello tomamos la información en cuanto al total de la Población censada en dos censos sucesivos. Sea P t la población total censada en el primer censo y P t+n la población total censada en el segundo censo; n en el caso de México es aproximadamente igual a 10. Conociendo P t, P t+n y n aplicamos la relación obtenida bajo la hipótesis de r constante en el tiempo y despejamos su valor, es decir: P t+n = P t (1 + r) n (1.60) entonces ( Pt+n ) 1 n = (1 + r) (1.61) P t 18

19 finalmente r = ( Pt+n P t ) 1 n 1 (1.62) Una vez estimado el valor de la tasa de crecimiento r podemos proyectar la estructura por edad de la población censada, esto al 30 de Junio del año censal. Por ejemplo: Dada la población censada, evaluada y corregida con edad entre x y x + 4 años cumplidos (X = 5, 10, 15,...) al 4 de Junio de 1980 (año en que se levantó el X Censo Nacional de Población y C.P,4,06,80 vivienda en México), la que denotamos Px,x+4 ; la población estimada al 30 de Junio de 1980, que denotamos será estimada con la siguiente relación: ˆP 30,06,08 x.x+4 ˆ P 20,06,80 C.P,4,06,80 x.x+4 = Px,x+4 (1 + r) (1.63) donde denotan los días entre la fecha del levantamiento del censo y el 30 de Junio del año censal. Hasta aquí se puede ya tener los denominadores de las tasas específicas de mortalidad por grupos quinquenales de edad ( 5 M x ) para X = 5, 10, 15,...; las estimaciones de los denominadores de la tasa de mortalidad infantil ( 1 M 0 )y del grupo de edad 1 a 4 años cumplidos ( 4 M 1 )se verán mas adelante, con la presentación de los factores de separación Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos quinquenales de edades Se tienen actualmente métodos que miden con cierta precisión e1 grado de subregistro de las defunciones, tanto en el primer grupo de edad (0-4 años cumplidos) como para el resto de los grupos 4. Dado que dichos métodos requieren de un mayor conocimiento del Análisis Demográfico y manejo de la información, aquí se presentará un método sencillo y eficaz para estimar el grado de subregistro de las defunciones, tanto del primer grupo de edad, el que se divide en dos grupos (cero años cumplidos y 1 a 4 años cumplidos) y para el resto de los grupos (5-9, 10-14,..., 85 y más). Inicialmente se vera la estimación del grado de subregistro de las defunciones para los grupos de edad 5-9, 10-14, hasta el 85 y más años cumplidos de edad. Para ello suponemos tener para dos censos sucesivos, las estructuras por grupos quinquenales de edad, evaluadas, corregidas y proyectadas al 30 de Junio de cada uno de los dos años censados; ellas para los grupos de edades 5-9 años cumplidos en adelante. Se debe tener las defunciones registradas para dichos grupos quinquenales de edad, en tres años, uno anterior, otro posterior y para el año en que se esta calculando la tabla. Por ejemplo; si se esta calculando la tabla para el año 1990 entonces hay que captar la información de las defunciones registradas en 1989, 1990 y 1991 por grupos quinquenales de edad a partir del grupo 5 a 9 años cumplidos. La razón de captar la información anterior, es el tener el promedio de defunciones registradas en esos tres años y reducir el sesgo por subregistro de las defunciones. El promedio de las defunciones será aritmético, es decir: i=1989 DR.i. x,x+4 donde DR.i x,x+4 representa las defunciones registradas en el año i de personas que fallecieron entre las edades cumplidas x y x + 4 años. 4 Ver Bibliografía 19

20 El método que se describe a continuación, para estimar el grado de subregistro de las defunciones, se basa en la hipótesis de población cerrada a la migración y que las estructuras al 30 de Junio de cada uno de los dos años censales sucesivos es, con alta precisión, la real y en la estabilización en los afectivos de defunciones en los diez años considerados (entre el primero y el segundo censo). La población que al 30 de Junio del año 1980 (año del primer censo) tenía entre las edades cumplidas x y x + 4, al 30 de Junio del año 1990 (año del segundo censo) la población sobreviviente será igual a la que tiene entre x + 10 y x + 14 años cumplidos. Si denotamos a dichas poblaciones como P 30,06.t 30,06.t+10 x,x+4 y Px+10,x+4+10 respectivamente, entonces bajo los supuestos antes citados: 1 ( P 30,06,1990 x+10,x ) 30,06,1980 Px,x+4 (1.64) debe ser aproximadamente igual a { ( D R.i x,x+4 + Dx+5,x+9 R.i + D 3 x+10,x+14) } R.i (1.65) i=1989 Ya que la décima parte de la diferencia entre las dos poblaciones al 30 de Junio de sus respectivos años censales, se debe a las defunciones que anualmente se debieron registrar en personas que al fallecer tenían entre las edades cumplidas x y x + 4 años, o que debe de coincidir, de no existir subregistro de las defunciones y de cumplirse las hipótesis del método con el promedio de las defunciones registrar entre 1989 y 1990 (siguiendo el ejemplo) y que tenían entre x y x + 14 años cumplidos. Dado que generalmente se tendrá un subregistro: a = 1 10 ( P 30,06,1990 x+10,x+14 por lo que existirá un número K tal que: { ) 30,06,1980 Px,x+4 > ( D R.i x,x+4 + Dx+5,x+9 R.i + D 3 x+10,x+14) } R.i (1.66) i=1989 a = (1 + K) b (1.67) donde K mide el grado de subregistro de las definiciones en los grupos de edad (x, x + 4), (x + 5, x + 9) y (X + 10, X + 14) años cumplidos, y (1 + K) será el factor de corrección que se debe aplicar a dichas defunciones. 20

21 Estimación de las tasas de mortalidad específicas por grupos quinquenales de edades, a partir de 5 a 9 años cumplidos Una vez estimada, por un lado, la estructura por grupos quinquenales de edad, para el año censal asociado al año de referencia de la tabla; evaluada, corregida y proyectada para el 30 de junio del año censal, y por otro lado, la estructura promedio corregida de las defunciones, para los mismos grupos quinquenales de edades; se pueden estimar las tasas de mortalidad especificadas para dichos grupos de edad; los pasos a seguir se resumen en el siguiente cuadro: 1.5. Estimación de la tasa de mortalidad infantil ( 1 M 0 ) y la del grupo de uno a cuatro años cumplidos ( 4 M 1 ) Dado que la estructura de la población censada no es confiable para el grupo de edad 0 4 años cumplidos, sobre todo por la no declaración de los niños menores de un año, se hace necesario estimar la población al 30 de Junio del año censal con un tratamiento de la información diferente al que se uso para los grupos quinquenales de edad a partir del 5 a 9 años. El grupo quinquenal inicial, 0-4 años cumplidos, se divide en dos grupos, el de cero años cumpli- 21

22 dos y el de uno a cuatro años cumplidos, esto por la importancia del indicador 1 M 0 y su asociación a aspectos sociales, económicos y de salud pública. Inicialmente se presentará la estimación de los denominadores de las tasas de mortalidad 1 M 0 y 4 M 1 es decir la población estimada al 30 de Junio del año censal de cero años cumplidos y de uno a cuatro años cumplidos respectivamente. Para ilustrar el método a seguir supóngase que deseamos los poblaciones al 30 de Junio de Para ello requerimos de la siguiente información: Los nacimientos registrados en los años de 1985 a 1990, los que denotaremos N R.i, (i = 1985, 1986,..., 1990). Para el grupo de edad cero anos cumplidos, las defunciones registradas de 1985 a 1990, desagregadas, en cuanto a la edad del infante al momento de la muerte, en días, de cero a seis días cumplidos, en semanas, de una a tres semanas cumplidas y en meses, de uno a once meses cumplidos. La notación que se empleará se resume en el siguiente cuadro: Edad al momento de la muerte (días cumplidos) D R1985 (0/365) D R1990 (0/365) 1 D R1985 (1/365) D R1990 (1/365) 2 D R1985 (2/365) D R1990 (2/365) 3 D R1985 (3/365) D R1990 (3/365) 4 D R1985 (4/365) D R1990 (4/365) 5 D R1985 (5/365) D R1990 (5/365) 6 D R1985 (6/365) D R1990 (6/365) Semanas cumplidas 1 D R1985 (1/52) D R1990 (1/52) 2 D R1985 (2/52) D R1990 (2/52) 3 D R1985 (3/52) D R1985 (3/52) Meses cumplidos 1 D R1985 (1/12) D R1990 (1/12) 2 D R1985 (2/12) D R1990 (2/12) 3 D R1985 (3/12) D R1990 (3/12) 4 D R1985 (4/12) D R1990 (4/12) 5 D R1985 (5/12) D R1990 (5/12) 6 D R1985 (6/12) D R1990 (6/12) 7 D R1985 (7/12) D R1990 (7/12) 8 D R1985 (8/12) D R1990 (8/12) 9 D R1985 (9/12) D R1990 (9/12) 10 D R1985 (10/12) D R1990 (10/12) 11 D R1985 (11/12) D R1990 (11/12) 22

23 Para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos, las defunciones registradas de 1986 a 1990 de un año de edad cumplido por el infante al morir, de 1987 a 1990 de dos años cumplidos, de 1988 a 1990 de tres años cumplidos, y de 1989 y 1990 de cuatro años cumplidos. En el siguiente cuadro se resume y denota la información, en cuanto a las defunciones registradas requeridas para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos. Edad al momento de la muerte (años cumplidos) D1 R1986 D1 R1987 D1 R1988 D1 R1989 D1 R D1 R1987 D1 R1988 D1 R1989 D1 R D1 R1988 D1 R1989 D1 R D1 R1989 D1 R1990 Se presenta a continuación la información en un diagrama de Lexis, denotando con D Ri 0, (i = 1985,...,1990) al total de defunciones registradas de infantes de cero años cumplidos al momento de la muerte en el año registrado i. En el anterior diagrama de Lexis se observa con claridad que las defunciones no están registradas por generación o cohorte, es decir, las definiciones registradas en el año i con x años cumplidos al momento de la muerte, pertenecen a dos generaciones; ejemplo las D2 R1988 son defunciones de infantes que al morir tenían dos años cumplidos de edad, registradas en 1989 y de niños nacieron en 1986 y El problema se centra en separar las definiciones por generación y poder llenar los espacios en el siguiente diagrama de Lexis 23

24 Supóngase que ya se tienen divididas las defunciones por generación; para ilustrar su utilidad tomemos las cohortes o generaciones de 1985 y 1986, entonces se puede estimar la población de cuatro años cumplidos al 30 de Junio de 1990, la explicación se da con la ayuda del siguiente diagrama de Lexis. Una vez divididas por cohorte las defunciones, se estima la población de 4 años cumplidos, viva al (1 de enero de 1990) como N R i=1 a i y la población con los mismos años al 31 de diciembre de 1990 como N R j=1 b j ; siendo la estimación de la población de 4 años cumplidos, viva al 30 de Junio de 1990 P 30,06,90 4 el promedio aritmético de las poblaciones estimadas al principio y al final de 1990, es decir: 24

25 P 30,06,90 4 = 1,01,90 P4 + P 31,12, (1.68) donde (1.69) 9 P 1,01,90 4 = N R1985 a i (1.70) i=1 y (1.71) 9 P 31,12,90 4 = N R1986 b j (1.72) j=1 Una vez vista la importancia de separar las defunciones, se verá a continuación el cálculo de los factores de separación que servirán para lograr dicho objetivo: separar el total de defunciones por cohorte o generación Factores de Separación En principio se verá para el primer grupo de edad (cero años cumplidos), la manera en que se pueden separar las defunciones registradas en cada año, por generación o cohorte. Para ello ya se deben tener las defunciones desagregadas en días, semanas y meses cumplidos, de acuerdo a la desagregación antes ndicada. La hipótesis con la que se trabajará es la de distribución uniforme o lineal de las muertes, en cada uno de los intervalos de tiempo en que se desagregaron las defunciones, así las personas que fallecieron teniendo cero días cumplidos, supondremos que vivieron en promedio medio día, es decir de año; los que murieron teniendo un día cumplido, supondremos que en promedio vivieron 1 uno y medio día, es decir, de año, y así sucesivamente. En la siguiente tabla se presentan el tiempo que en promedio aportó cada persona que murió en el grupo de edad cero años cumplidos, por intervalo de edad, de acuerdo a la desagregación antes indicada. 25

26 Edad (días cumplidos) Edad promedio al morir Notación ( 0 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) ( g ( 365) + 1 ) ( 1 ) g 7 Semanas cumplidas ( 1 1 ( 52) + 1 ) ( 1 ) ( 2 52 g ( 52) + 1 ) ( 1 ) ( 2 52 g ( 52) + 1 ) ( 1 ) 2 52 g 10 Meses cumplidos ( 1 1 ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) ( 2 12 g ( 12) + 1 ) ( 1 ) 2 12 g 21 26

27 Para estimar el factor de separación, el cual corresponde al triángulo superior de cada año, como se observa en los anteriores diagramas de Lexis. Aplicamos los valores a las correspondientes defunciones, multiplicándolos y sumando los 21 productos, el resultado representa la cantidad total que en tiempo aportaron con vida las personas que murieron en el año considerado y que pertenecen a la generación, o cohorte, un año anterior al año de registro de la defunción. Ahora, bien, si deseamos el promedio de año que vivieron las personas de la generación un año anterior al año de registro es necesario dividir la suma de lo 21 productos entre el total de defunciones registradas en el año en consideración. Denotando dicho valor como K t el cual además de ser la fracción de año que en promedio vivieron los niños de la cohorte anterior al. año de registro y que murieron en dicho año, es el factor que separa a las defunciones registradas en el año de registro, es decir, el porcentaje de defunciones pertenecientes a la cohorte o generación un año anterior al año de registro de ellas. Por tanto: donde: K t = 21 i=1 g idi Rt D0 Rt (1.73) D Rt i Son las defunciones registradas en el asño t asociadas al intervalo de edad cumplida g i. 27

28 D Rt 0 Son las defunciones registradas en el año t de personas con edad al morir de cero años cumplidos. Así, por ejemplo, si tenemos el total de defunciones registradas en 1987 de personas que al morir tenían cero años cumplidos (D R ) entonces: K 1987 D R (1.74) representa el porcentaje de dichas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en 1986 y que murieron en 1987 y: ( 1 K 1987 ) D R (1.75) representa el porcentaje de las mismas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en 1987 y que murieron en el mismo año. Representando lo anterior en un diagrama de Lexis se tiene: Pasando a la estimación de los factores de separación, para 1 s defunciones registradas de niños entre 1 y 4 años cumplidos de edad, se debe decir que el procedimiento es análogo al que se empleo en el caso de las defunciones de infantes de cero años cumplidos. Sin embargo, debido a que los valores de dichos factores no difieren de los que se muestran en el siguiente cuadro: Edad (años cumplidos) Factores de Separación Se han tomado como los factores de separación para las defunciones registradas en el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos. Naturalmente que si se desea verificar la validez o precisión delos factores de separación dados, el investigador tendría que obtenerlos, desagregando en semanas o 28

29 meses las defunciones registradas en esos cuatro años de vida, y posteriormente estimar los factores de separación. En el siguiente diagrama de Lexis se indican en que espacio son empleados los factores de separación para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos, esto siguiendo el ejemplo de la construcción de una tabla de mortalidad para el año 1990 Teniéndose finalmente en el siguiente cuadro las expresiones que resumen a la población al principio y al final de Las que sirven para estimar la población al 30 de junio de 1990 y con ello los denominadores de las tasas de mortalidad 1 M 0 y 4 M 1. Edad Población al 1 de enero de 1990 Población al 31 de diciembre de N R1989 ( 1 K 1989) D R = ˆP 1,01,90 N R1990 ( 1 K 1990) D R = 1 N R1988 ( 1 K 1988) D R K 89 D R89 0,59D R89 1 = ˆP 1,01, N R1988 ( 1 K 1988) D R K 89 D R89 0,59D R89 1 = ˆP 1,01, N R1987 ( 1 K 1987) D R K 88 D R88 0,59D R88 1 0,41D R89 1 0,57D 2R89 = ˆP 1,01, N R1986 ( 1 K 1986) D0 R1986 K 87 D R87 0,59D1 R87 0,41D1 R88 0,57D 2R88 0,43D R89 0,55D R89 3 = ˆP 1,01, N R1985 ( 1 K 1985) D R K 86 D R86 0,59D1 R86 0,41D R87 0,55D3 R88 0,45D3 R89 0,53D R ,57D 2R87 0,43D R88 4 = ˆP 1,01, ˆP 31,12,90 N R1989 ( 1 K 1989) D0 R1989 K 89 D R90 0,59D 1R90 = ˆP 31,12, N R1989 ( 1 K 1989) D0 R1989 K 89 D R90 0,59D 1R90 = ˆP 31,12, N R1988 ( 1 K 1988) D R K 88 D R89 0,59D 1R89 0,41D R90 1 0,57D R90 2 = ˆP 31,12, N R1987 ( 1 K 1987) D0 R1987 K 88 D R88 0,59D 1R88 0,41D1 R89 0,57D2 R89 0,43D R90 0,55D R90 2 = ˆP 31,12, N R1986 ( 1 K 1986) D R K 87 D R87 0,59D 1R87 0,41D R88 1 0,57D R88 0,55D R89 3 0,45D R90 3 0,53D R ,43D R89 4 = ˆP 31,12,90 4

30 Por lo tanto las poblaciones estimadas al 30 de junio de 1990 con cero años cumplidos ( y de uno a cuatro años cumplidos ( ) se estima de la siguiente manera: ˆP 30,06, ˆ P 30,06,90 0 ) ˆP 30,06,90 0 = ˆP 30,06, = 1 2 ˆ P 1,01,90 ˆ 0 P 31,12,90 0 [( 2 ˆ P 1,01, ˆP 1,01, ˆP 1,01, ) ( 1,01,90 ˆP 4 ˆP 31,12, ˆP 31,12, (1.76) )] ˆ 31,12,90 ˆP 3 + P 31,12,90 4 Así las tasas de mortalidad 1 M 0 y 4 M 1 quedan finalmente definidas como: 1M 0 = (( ) ( 1 3 D R D0 R90 + D0 R91 ) 4M 1 = (( 1 3 ˆP 30,06,90 0 ) ( D R DR DR ˆP 30,06, ) (1.77) (1.78) Cabe señalar que las defunciones registradas de cero años cumplidos y de uno a cuatro años cumplidos, se encuentra subregistradas, sobre todo las de cero años cumplidos. Para corregirlas es necesario dominar técnicas avanzadas de análisis demográfico 5. El subregistro a nivel Nacional, esperado para 1990, de las defunciones de cero años cumplidos oscila entre un 15 y 20 por ciento y para las defunciones entre uno y cuatro años cumplidos entre un 8 y un 10 por ciento. Recomendando incrementar el valor de 1 M 0 en un 18 por ciento y el de 4 M 1 en un 9 por ciento. Hasta aquí se tienen ya presentada la manera de evaluar, corregir y proyectar la información censal, y evaluar y corregir la información de las estadísticas vitales, esto con el fin de obtener las tasas especificas de mortalidad, para cada uno de los 19 grupos de edades cumplidas; las que se denotan en el siguiente cuadro: 5 Ver Mina Valdés Alejandro. Es timación de los niveles y tendencias de la mortalidad infantil y en los primeros años de vida en México, en Lecturas sobre temas demográficos, compilación del mismo autor, editorial El Colegio de México, 1983, pp

31 Grupo de edad Tasa de mortalidad 0 1M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 85 Lo que resta hacer es generar a partir de las tasas específicas de mortalidad, las otras seis series de ella, a saber: n q x,l x,d x,x+n, n L x,t x,e x Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabilidades de muerte Supóngase valida la hipótesis de distribución uniforme de las defunciones, esto para edades por encima de los cinco años de edad, que deseamos estimar la tasa de mortalidad entre la edad x y la x + l exacta. Entonces la tasa especifica de mortalidad 1 M x seria igual a: 1M x = d x l x dx 2 (1.79) donde: = = d x l x+1 dx 2 (1.80) d x l x+0,5 (1.81) = d x (1.82) L x = d x l x l x+1 2 (1.83) d x representa a las defunciones de la tabla de mortalidad (no las defunciones observadas), entre las edades exactas x y x + l o la edad cumplida x. 31