DISTRIBUCION DE COSTOS EN EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISION USANDO EL VALOR BILATERAL DE SHAPLEY.

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1 Ing EDGAR M. CARREÑO * M.Sc ANTONIO ESCOBAR ** Ph.D. HERMAN J. SERRANO ** Ph.D. RAMON A. GALLEGO ** Unversdad Tecnológca de Perera Grupo de Investgacón en Planeamento de Sstemas Eléctrcos Perera Colomba. DISTRIBUCION DE COSTOS EN EL PLANEAMIENTO DE LA TRANSMISION USANDO EL VALOR BILATERAL DE SHAPLEY. Resumen: Este trabao muestra la aplcacón de un método de dstrbucón de costos en el proceso del planeamento estátco de la expansón de la transmsón, aplcando conceptos de teoría de uegos. Se emplea un algortmo de formacón de coalcones basado en el uso del Valor Blateral de Shapley. Como sstema de prueba se utlza el sstema colombano de 93 nodos y 155 líneas correspondente a 230/500 KV [9], y los resultados obtendos se comparan con los que se encuentran al aplcar el método del Kernel [7]. Palabras Clave: Teoría de Juegos, Valor Blateral de Shapley, Juegos Cooperatvos, Planeamento de sstemas de transmsón, Optmzacón, Smulated Annealng. 1. INTRODUCCIÓN En un esquema de mercado de electrcdad, donde varos agentes nteractúan con el msmo sstema eléctrco, las metodologías de planeamento exstentes para esquemas regulados deben evoluconar para adaptarse a las nuevas condcones de los esquemas compettvos. En el esquema desregulado, una decsón tomada por un agente produce efectos sobre las decsones de los demás. En el caso partcular del planeamento de la expansón, en la toma de decsones para adconar nuevos elementos al sstema deben partcpar todos los agentes y los costos de nversón deben ser dstrbudos entre ellos. * La Teoría de Juegos aplcada al problema de planeamento determna las nversones más convenentes así como la manera de dstrbur los costos de nversón entre los * Estudante Maestría en Ingenería Eléctrca ** Profesores Unversdad Tecnológca de Perera partcpantes. Esta metodología postula una forma de nteraccón entre los ugadores (agentes) con el propósto de alcanzar un obetvo común. Uno de los aspectos más mportantes del proceso es el procedmento de formacón de coalcones en los algortmos de negocacón entre ugadores. En esta parte se aplca la Intelgenca Artfcal Dstrbuda. En este artículo se presenta un método que combna la Teoría de Juegos con la Intelgenca Artfcal Dstrbuda, aplcado al planeamento estátco de la expansón de la transmsón. Las decsones de nversón que se analzan consderan adcones, que un planeamento ndcatvo consdera mprescndbles para el sstema, en el largo plazo. A través del proceso de solucón se agrupan ugadores con ntereses comunes por medo de propuestas seguras para el sstema eléctrco, desde el punto de vsta de la operacón, y atractvas desde el punto de vsta de la nversón, al tempo que establece la dstrbucón de costos de nversón entre los agentes. Exsten otros métodos para dstrbur los costos, como el método del Kernel [7,10], el cual se usará en este trabao con fnes de comparacón. La estructura de este artículo es la sguente: en la seccón 2 se descrbe el modelamento matemátco del problema de la expansón de la transmsón, en la seccón 3 se descrben los uegos cooperatvos, en la seccón 4 se analza el concepto del Valor Blateral de Shapley (BSV) y el algortmo de asgnacón de costos, en la seccón 5 se muestran los resultados obtendos usando el algortmo de negocacón descentralzado en el sstema Colombano, fnalmente, en la seccón 6 se hace una comparacón entre los métodos BSV y Kernel.

2 2. PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN El planeamento a largo plazo de redes de transmsón, debe decdr que, cuanto y donde se deben adconar nuevos elementos al sstema con el fn de satsfacer la demanda futura, cumplendo crteros tanto técncos como económcos. En la solucón se consdera la red exstente en el año ncal y un conunto de nversones canddatas predefndas. El modelo matemátco usado para representar la red de transmsón es el denomnado modelo DC, el cual es formulado de la sguente manera: de expansón será más económco s en él partcpan todos los agentes y no lo será cuando cada agente nverte ndvdualmente en su área de nfluenca. 4. VALOR BILATERAL DE SHAPLEY (BSV) El Valor de Shapley [1] es un concepto de la teoría de uegos que calcula una dvsón usta de una utldad común entre los membros de una coalcón. Es un promedo ponderado de las contrbucones margnales de un membro a todas las coalcones en las cuales puede partcpar. Este asume que el uego es superadtvo y que se forma la coalcón entre todos sus membros. Mn s.a. (1) v= cn (, ) Ω Sf + g = d (2) 0 ( )( ) 0 ( ) f γ n + n θ θ = 0 (3) (4) f n + n f 0 g g 0 n n n Entero, f, (, ) Ω θ Irrestrctos El cálculo de este valor es un problema de compledad exponencal, por lo tanto es preferble reducrse a calcular el Valor Blateral de Shapley [6], el cual puede ser adaptado para un proceso de negocacón entre agentes raconales. Este valor se defne para dos coalcones C y C, que se unen para formar una más grande C C A. El Valor Blateral de Shapley para la coalcón C en la coalcón blateral C se defne como: La funcón obetvo (1) contempla la construccón de elementos entre y con un costo c, la restrccón (2) modela la prmera ley de Krchhoff en el modelo DC (LCK). La restrccón (3) relacona los ángulos de los voltaes de nodo con la reactanca y el fluo de potenca de los elementos (LVK). La descrpcón completa del modelo así como su metodología de resolucón puede ser encontrada con detalle en [8] y [9]. 3. JUEGOS COOPERATIVOS La teoría de uegos estuda las stuacones en las que ntervenen varos agentes, posblemente con obetvos dstntos, y trata de optmzar el resultado para cada uno de estos agentes. En algunas de estas stuacones los agentes obtenen un meor resultado s actúan en coalcón con otros que s actúan solos. A estos uegos se les llama cooperatvos. Con frecuenca este es el caso en mercados. Por su naturaleza, el resultado optmo se obtene cuando todos los agentes actúan en coalcón, y el trabao es repartr esta utldad de modo que todos los agentes obtengan lo usto. En consecuenca, el plan { } ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( )) C, C bsv C = 2 v C + 2 v C v C (5) Las coalcones C y C son las fundadoras de C y vc ( ) es el valor del uego para la coalcón C. En la formulacón matemátca se puede observar que los fundadores obtenen la mtad de lo que obtendrían solos mas la mtad de lo que se obtene de la cooperacón con la otra entdad. El segundo térmno del BSV reflea la fuerza de cada agente de acuerdo con su contrbucón, evtando el hecho de que los nuevos agentes tomen ventaa de lo realzado por los demás sn pagar compensacón, problema común en los esquemas de dstrbucón de costos en la expansón de la transmsón. El BSV es un caso partcular del concepto del Valor de Shapley que crea una dstrbucón usta de recursos úncamente entre dos agentes. Para el proceso de la formacón de coalcones se usa el algortmo de Klusch and Shehory [2] que consste en:

3 Algortmo de Klusch and Shehory 1. Incalmente cada agente calcula el costo de su propo plan de expansón, como s estuvera desconectado del sstema, consderando todos los elementos establecdos para formar las coalcones[6]. 2. Cada agente calcula el valor de su plan de expansón asumendo que forma parte de cada una de las coalcones posbles en el momento. Para este paso es necesaro un coordnador que se encargue de reunr toda la nformacón necesara y de hacer el plan de manera que se garantce la ntegrdad del sstema. 3. Cada agente calcula todos los valores BSV para cada una de las coalcones posbles, estos valores son organzados en una lsta de preferencas. 4. Se procede a la fase de negocacón, donde cada agente enva propuestas de coalcones a los otros agentes de acuerdo a los valores obtendos en el paso 3. La oferta consste en envar al posble asocado, el valor que obtendría s colaboraran. S ambos agentes encuentran que es benefcoso formar una coalcón, la forman, sendo de ahora en adelante consderados como un solo agente. utldad usando la relacón dada por el BSV, donde vc ( ) es el valor de la coalcón resultante. Como estas coalcones fundadoras tambén fueron formadas a partr de otras, se repte el proceso, tenendo en cuenta que el nuevo valor de vc ( ) para estas, es el obtendo en la separacón anteror, de esta forma se contnua hasta llegar a los agentes ndvduales. 5. PRUEBAS Y RESULTADOS El método se ha aplcado al sstema colombano, cuyo esquema se presenta en la fgura 1. Los datos se encuentran en [9] y se ha consderado un horzonte de planeamento entre los años El sstema se ha dvddo en 6 áreas/agentes consderando la geografía del país sendo estas: 1. Norte, 2. Nor-Occdente, 3. Nor- Orente, 4. Centro, 5. Sur-Occdente, 6. Sur- Orente (Esta dvsón es solo para fnes académcos y no reflea la realdad actual del Sstema de Transmsón Naconal (STN)). 5. Esta decsón es comuncada a los demás agentes para que estos borren de sus lstas de preferencas a los agentes en cuestón. El Proceso se repte de nuevo desde el paso 2 hasta que se forme la gran coalcón o hasta que en la fase de negocacón nngún agente acepte nnguna oferta y no se puedan formar más coalcones. Dstrbucón de costos: Para dstrbur los costos, se emplea un algortmo de nduccón haca atrás [6] que aprovecha los valores BSV calculados en cada uno de los pasos, y tene en cuenta la hstora de la formacón de las coalcones. Este algortmo consdera que en cada paso cada agente contrbuye en la nversón total. Puesto que en cada paso se unen dos agentes, la utldad se dstrbuye con base en la proporcón dada por el BSV. Comenzando por la coalcón que reúne a todos los agentes o por las coalcones fnales, se conforman las dos coalcones fundadoras entre los cuales se dvde la Fgura 1. Areas/Agentes Sstema Colombano A cada agente, y a las coalcones posbles, se les calcula el valor de su plan de expansón (a 2012) como s estuveran aslados, retrando las líneas que las nterconecta con los demás agentes y reemplazando estas por generadores o cargas, según sea el caso, basados en un fluo de carga eecutado sobre el sstema completo. Esto se hace con el fn de

4 conservar el equlbro de potencas. Los generadores y las cargas son consderados como lucro cesante de la capacdad nstalada de generacón o como plantas generadoras que deben ser construdas respectvamente. Los resultados de estos planes se presentan en la tabla 1. Tabla 1. Valores de los planes de expansón(u$x10 6 ) Coalcón Valor Coalcón Valor Coalcón Valor {1,2,3} {1,2,4,6} {1,2,4} {1,2,5,6} {1,2,6} {1,3,4,6} {1,3,6} {1,3,5,6} {2,3,4} {2,3,4,5} {2,3,6} {2,3,4,6} {1,2} {2,4,5} {2,3,5,6} {1,3} {2,4,6} {2,4,5,6} {2,3} {2,5,6} {3,4,5,6} {2,4} {3,4,6} {1,2,3,4,5} {2,6} {3,5,6} {1,2,3,4,6} {3,6} {4,5,6} {1,2,3,5,6} {4,5} {1,2,3,4} {1,2,4,5,6} {4,6} {1,2,3,6} {1,3,4,5,6} {5,6} {1,2,4,5} {2,3,4,5,6} Para dstrbur los costos, se aplca el algortmo de nduccón haca atrás, comenzando por la gran coalcón, dvdendo su utldad entre los fundadores que son el agente 4 y la coalcón formada por de la sguente manera. bsv{ } ( 12356) = v( ,4 ) + ( v( ) v( 4) ) = bsv{ }( 4) = v( ,4 ) + ( v( ) v ( 12356) ) = El msmo procedmento se realza para la coalcón formada por 12356, cuyos fundadores son 13 y 256, usando como valor vc el obtendo de , de la msma de ( ) manera se contnua hasta hallar todos los valores. Incalmente cada coalcón calcula el valor de su plan de expansón con cada una de las coalcones que le es posble formar con los demás agentes. El agente 1 solo puede formar coalcón con el agente 2 o con el agente 3, o en su defecto, quedarse solo. Los valores de los planes de expansón para cada una de estas coalcones están en la tabla 1. Con estos valores se calcula el BSV. Costo del plan para el área 1 solo = Costo del plan para el área 1 y 2 bsv{ } ( 1) = v( 1 1,2 ) + ( v( 12) v ( 2) ) = Costo del plan para el área 1 y 3 bsv{ } ( 1) = v( 1 1,3 ) + ( v( 13) v ( 3) ) = 159 De gual manera cada agente hace sus cálculos. El agente 1 organza las ofertas de acuerdo a su raconaldad ndvdual, es así como la únca coalcón que se podría aceptar es con 3, con 2 el agente 1 no meora su utldad. El agente 1 envía la oferta al agente 3 y esta es aceptada por que meora ambas utldades. De gual manera cada uno de los agentes realza sus ofertas hasta que no sea posble formar más coalcones, el proceso total de formacón de coalcones es el sguente [ ] [{13} {26} 4 5] [{13} {256} 4] [{12356} 4] {123456}. Fgura 3. Proceso de Dstrbucón de Costos La dstrbucón de costos fnal para el sstema Colombano es: (21.4, , -61.1, 188.2, 414.4, 274.9) En esta dstrbucón, un valor postvo representa una nversón que debe hacer el correspondente agente, y un valor negatvo, representa un benefco que debería recbr un agente. 6. COMPARACIONES CON EL MÉTODO DEL KERNEL Otro método empleado para la dstrbucón de costos usando la teoría de uegos, es el denomnado método del Kernel [7] que se aplcó al sstema colombano para comparar resultados. BSV: (21.4, , -61.1, 188.2, 414.4, 274.9) Kernel:(-78.6,-433.1, 45.6, 202.2, 481.3, 345.9) Esta comparacón permte hacer las sguentes observacones: 1. el método del BSV puede presentar varas solucones, como se puede ver en [6], ya que un agente puede escoger entre uno u otro

5 agente para formar la coalcón, s ambas opcones le brndan utldades. En este caso se escoge aleatoramente un agente. En la medda en que cambe el proceso de formacón de coalcones, la dstrbucón de costos es dferente, hecho que no sucede en el método del Kernel, el cual presenta una solucón únca. 2. El método del Kernel favorece a los agentes que son autosufcentes y no necestan de nuevos equpos. El BSV establece que estos agentes sempre deben nvertr en el plan de expansón. 3. El método BSV es mucho mas smple que el del Kernel. Para el sstema colombano se obtuveron respuestas dferentes con los dos métodos; en el del Kernel hay agentes que deben pagar y otros que deben recbr pagos. En el BSV, las áreas 2 y 3 (Nor-occdente y Nororente) recben pagos a dferenca del Kernel donde recben pagos las áreas 1 y 2 (Norte y Nor-orente). En los dos métodos, las demás áreas deben cubrr tanto el costo del plan de expansón como los pagos a las áreas que recben. De todas maneras el costo que cada área que paga debe cubrr, resulta nferor al costo del plan de expansón que tendría s actuara sola. En ambos métodos, los mayores contrbuyentes al plan son los agentes 4, 5 y 6, y en especal el agente 5 (Sur-occdente), que en ambos casos debe aportar cas la mtad del costo por ser la regón menos atractva para hacer coalcones. 7. CONCLUSIONES Se ha aplcado el algortmo de dstrbucón de costos basado en el concepto del BSV al problema del planeamento estátco de la transmsón para el sstema eléctrco colombano obtenendo resultados satsfactoros. Se han comparado los resultados con los obtendos por el método del Kernel, en el msmo sstema, encontrando que cada uno benefca a dstntos tpos de agentes. En ambos métodos se comprueba la fortaleza de la regón Nor-Occdente, sn embargo, la regón Norte, que presenta superavt de generacón, es benefcada en el Kernel (recbe pago) y penalzada en el BSV, en el cual debe nvertr para poder hacer parte del plan del sstema nterconectado. Aún no exsten conclusones defntvas respecto a cual de los dos métodos es más usto para la dstrbucón de costos, sn embargo, los dos métodos analzados son un buen punto de partda para la dscusón y para explorar nuevos métodos. 8. RECONOCIMIENTOS Los Autores expresan sus agradecmentos a la Unversdad Tecnológca de Perera, Colomba, por su apoyo al grupo de Planeamento de Sstemas Eléctrcos. BIBLIOGRAFÍA [1] Shapley, L.S., The Value of a n-person Game, Contrbutons to the Theory of Games, n H.W. Kuhn and A.W. Tucker, eds., Prnceton Unversty Press, [2] M. Klusch and O. Shehory, Coalton Formaton Among Ratonal Informaton Agents, Proceedngs of MAAMAW-96, Endhoven, LNAI Seres vol. 1038: , Sprnger Verlag. [3] M. Klusch and O. Shehory, A polynomal kernel-orented coalton algorthm for ratonal agents, n proceedngs of the 2nd Internatonal Conference om Mult-Agent Systems. Kyoto, Japan, Dec 9-13, 1996 [4] O. Shehory and S. Kraus, Feasble formaton of coaltons among autonomous agents n non super addtve envronments, n proceedngs of AAAI-99, 1999 [5] J Contreras, A Cooperatve Game Theory Approach to transmsson Plannng n Power Systems, PhD. dssertaton, Department of electrcal engneerng and computer Scences, Unversty of Calforna at Berkeley, May 1997 [6] J. Contreras and F. F. Wu, Coalton formaton n transmsson expanson plannng, IEEE Trans on Power Systems, Vol 14, No [7] J. Contreras and F. F. Wu, A Kernel- Orented Algorthm for transmsson expanson plannng, IEEE Trans on Power Systems, Vol 15, No 4. Nov 2000, pp [8] R. Romero, R. A. Gallego, and A. Montcell, Transmsson System Expansson Plannng by Smulated Annealng, Trans on Power System, Vol 11, No 1, pp , Feb [9] A. Escobar, Planeamento Dnámco de la Expansón de Sstemas de Transmsón Usando Algortmos Combnatorales, Tess de Maestría, FIE, Unversdad Tecnológca de Perera, Feb 2002.