2. MAGNITUDES FÍSICAS

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1 . MAGNITUDES FÍSICAS Cundo físic estudi gún specto de nturez o primero que hce es desindr o más crmente posibe cuá es prte de nturez que e interes, seprándo de resto. L prte que está bjo estudio se m sistem. Qué es o que form prte de sistem y qué es o que no o integr es un cuestión que se debe decidir crmente desde e comienzo. Est decisión está ibrd criterio de estudioso y es en grn medid rbitrri. Aunque muchs veces se tom por rzones práctics o de convenienci, un decisión juicios sobre est cuestión es fundment pr que e trtmiento se sencio y vez úti. Como veremos, en muchos csos definición de sistem qued impícit y que es bstnte obvi, pero esto no debe evr ector creer que e tem se pued sosyr: un firmción puede ser ciert o fs según como se hy definido sistem. Por ejempo si firmmos que chocr un boch contr otr se conserv energí mecánic, t firmción es ciert 1 si se entiende que e sistem (cuy energí mecánic decimos que se conserv) es e conjunto de s dos bochs, pero es fs si se consider que e sistem está formdo por primer (o segund) de s bochs. A estudir un sistem físico estmos interesdos en un o vris de sus crcterístics, s que denominmos sus propieddes físics, cuy descripción se hce en términos de o que mmos mgnitudes. Por ejempo si e sistem que considermos es un gs encerrdo en un recipiente s mgnitudes físics que o describen serán presión p de gs, e voumen V que ocup, su cntidd (o se su ms m, o bien e número n de moes), su tempertur T, etc. E objeto de s eyes físics es estbecer reciones entre s mgnitudes que crcterizn sistem, de modo t que conocidos os vores de guns de es se puedn ccur o predecir os vores de s otrs y su evoución con e correr de tiempo. En e cso de un gs en un recipiente citdo ntes, p, V, T y n están recionds, en e equiibrio, por medio de fórmu proximd pv = nrt (.1) donde R es un constnte univers. Est fórmu expres un ey físic 3, md ecución de estdo de os gses idees. Otro ejempo de ey físic es ey de resorte (ec. (1.1)) que presentmos en e Cpítuo nterior y más dente se verán muchs otrs. L Físic es un cienci experiment y esto quiere decir que sus eyes se obtienen de observción y experimentción. Fue por medio de experimentción que se encontrron s eyes que se cbn de mencionr. Ls eyes que rigen e comportmiento de sistems compejos son ógicmente compicds, o que hce difíci tre de físico. Sin embrgo hy un estrtegi extrordinrimente úti y fructífer que permite tcr ests dificutdes. Consiste en dividir un sistem compejo en prtes más simpes, estudir cd prte por seprdo, y deducir s propieddes de conjunto prtir de s propieddes de s prtes que o componen y de sus intercciones. Por ejempo, si se consi- 1 Con buen proximción. L constnte univers de os gses, cuyo vor es de joue/ K (e significdo de s uniddes joue y K se verá más dente). 3 Notr que hemos definido e significdo de os símboos que figurn en (.1). Si no se hicier esto fórmu crecerí de contenido físico. 17

2 der e gs de ntes como un conjunto de moécus, se puede deducir ey (.1) prtir de s propieddes de s moécus 4. L importnci de este enfoque no es sóo práctic (porque permite bordr probems que se presentn como summente compicdos) sino tmbién conceptu, y que permite un enorme síntesis de conocimiento porque condens muchs eyes y reciones en pocs eyes más fundmentes referids sistems simpes, prtir de s cues se deducen tods s demás medinte procedimientos ógicos y picndo fórmus mtemátics. Se tiene sí un poderos herrmient que permite tcr un número muy grnde de probems. Eso es o que estudiremos en ests págins. Vemos sí que os eementos básicos con que trbj e físico pr construir su estructur de eyes son s mgnitudes físics. Ls mgnitudes físics son os dtos que vienen de observción y experienci. De o dicho se desprende que e concepto de mgnitud está íntimmente reciondo con ide de medición. Más precismente, un mgnitud físic qued definid cundo se conocen s prescripciones pr medir, es decir socire vores numéricos comprándo con otr de mism cse tomd como unidd. Por ejempo ongitud (de un objeto) es un mgnitud que qued definid cundo se especific e procedimiento seguir pr medir. Este procedimiento puede ser, verbigrci, comprr ongitud en cuestión con un reg grdud y contr cuánts veces unidd en que está dividid reg entr en ongitud que se está midiendo. Uniddes y dimensiones de s mgnitudes físics De o expuesto debe quedr cro que hy muchs cses de mgnitudes físics, crcterizds de diferente mner. Aguns de es se pueden comprr entre sí: por ejempo tods s ongitudes se pueden medir con un reg (por o menos en principio) y se pueden expresr en términos de mism unidd. Se dice entonces que tienen mism dimensión, que en este cso es dimensión de ongitud y se indic con e símboo de ongitud encerrdo entre corchetes: [] dimensión de ongitud (.). L unidd de ongitud, es decir unidd en que se expresn s medids de ongitud qued eección de físico: puede ser e centímetro (cm), e metro (m), o cuquier otr que resute conveniente según e cso. Si considermos hor otr mgnitud como superficie o e áre de un objeto, vemos que un áre no se puede comprr con un ongitud 5. Se trt en este cso de mgnitudes de dimensiones diferentes. Sin embrgo hy un reción de crácter geométrico entre mbos conceptos, y que podemos medir un áre viendo cunts veces entr en e un áre unidd definid (por ejempo) como un cudrdo cuyos dos miden un unidd de ongitud. Así es que un áre se puede medir en centímetros cudrdos o metros cudrdos. Esto se expres diciendo que s dimensiones de áre son [ áre ] = [ ] = [ ] (.3) 4 Esto se verá más dente. 5 Es decir, no se puede medir un áre con un reg, pues pr medir es preciso comprr con otr áre. 18

3 En gener entre s dimensiones de mgnitudes físics de diferente dimensionidd se pueden estbecer reciones que expresn s dimensiones de un mgnitud en términos de s dimensiones de otrs, de mner náog que estbecimos en (.3) entre s dimensiones de áre y de ongitud. Según su origen hy reciones dimensiones que provienen de: Reciones geométrics como que y vimos entre áre y ongitud. Tmbién es de est cse reción entre s dimensiones de voumen y de ongitud: [ voumen] [ V] = [ ] = [ 3 ] (.4) Definiciones. Podemos definir densidd de un cuerpo (que indicmos con ρ) como e cociente entre su ms m y su voumen V, esto es ρ = m/ V. De est definición resut que [ ρ ] = [ m]/[ V] = [ m/ 3 ]. (.4) Si eegimos e grmo (g) y e centímetro (cm) como uniddes de ms y de ongitud unidd de densidd es e g/cm 3 y densidd se expres en grmos por centímetro cúbico. Leyes físics. De ey de resorte F = kx (ec. (1.1)) surge un reción dimension entre s mgnitudes F, k, x. De mism se obtiene que s dimensiones de k son [ k] = [ F]/[ ] = [ F 1 ] (.5) o se son s de fuerz dividid por ongitud. Si fuerz se mide en kiogrmos-fuerz (kgf), y x en cm, k se medirá en kiogrmos-fuerz/cm. De mner náog prtir de otrs eyes se pueden tmbién deducir reciones dimensiones. Debido s reciones dimensiones entre diferentes mgnitudes físics se suee decir que guns de es son fundmentes y otrs derivds, porque se pueden expresr dimensionmente en términos de s primers. Correspondientemente s respectivs uniddes se dicen fundmentes en un cso y derivds en e otro. Así, por ejempo, ongitud es fundment y e áre derivd. Sin embrgo se debe notr que est distinción es totmente rbitrri, y que no hy ningun rzón de principio pr considerr que un mgnitud es más fundment que otr. Con igu derecho se podrí hber procedido revés, tomdo e áre como fundment y ongitud como derivd. Es práctico sin embrgo fijr gun convención, tomndo cierts mgnitudes y sus uniddes como fundmentes y considerr s demás como derivds. Ests convenciones dn ugr os diferentes sistems de uniddes que se empen en físic. Los sistems más usdos (y que nosotros emperemos) son e sistem cgs (centímetro, grmo, segundo) y e MKS (metro, kiogrmo, segundo). Ambos tomn como fundmentes ongitud ( ), ms (m) y e tiempo (t) sí como sus respectivs dimensiones [ ], [ m ], [ t ] y os resumimos en Tb.1. Tb.1. Sistem de uniddes. Mgnitudes Uniddes fundmentes cgs MKS cm m = 100 cm m g kg = 1000 g t s s 19

4 A fin de evitr confusiones (y errores) se debe siempre expicitr e sistem de uniddes que se está empendo. Recordemos tmbién que por rzones histórics, técnics y tmbién práctics, en muchs picciones se empen uniddes que no pertenecen os sistems ntes menciondos. Cundo veng cso introduciremos ess uniddes y dremos su equivenci en términos de s uniddes cgs y MKS. Mgnitudes sin dimensiones Si se define un nuev mgnitud físic prtir de cociente entre dos mgnitudes de mism dimensionidd se obtiene un mgnitud dimension, esto es un número puro que no tiene dimensiones (se dice que tiene dimensión cero). Crmente s mgnitudes dimensiones tienen e mismo vor en cuquier sistem de uniddes. Ls mgnitudes dimensiones pueden provenir de: Reciones geométrics. Un ejempo de est cse es reción entre circunferenci C y e diámetro D de un círcuo (Fig..1). Evidentemente C D = π = , [ π ] = [] [] =[ 0 ] (.7) Como todos sben π es un número puro. Los ánguos son otro ejempo de mgnitudes sin dimensiones. Si, b son os ctetos y c hipotenus de un triánguo rectánguo (Fig..1b) y α es e ánguo opuesto, se tiene que α = rcsen( / c) = rctn( / b ) (.8) C D c b () (b) Fig..1. Mgnitudes sin dimensiones provenientes de reciones geométrics: () C/ D= π, (b) α = rcsen( / c) = rctn( / b ). Reciones físics. Un ejempo de mgnitud físic dimension es e número de Mch M, que jueg un ro importnte en erodinámic. Pr un vión que vue en e ire se define como M = veocidd de vueo de vión veocid de sonido en e ire (.9) 0

5 1. Mgnitudes físics Cundo M < 1 tenemos vueo subsónico mientrs que si M > 1 tenemos vueo supersónico. E probem físico es muy distinto en un cso que en e otro y de resuts de eso os criterios de diseño son diferentes, según si se proyect e vión pr vueo subsónico o supersónico. Ls mgnitudes dimensiones originds en reciones físics tienen grn importnci porque sueen servir como prámetros que determinn regímenes físicos diferentes, debido que dn condiciones pr que determindos fctores sen o no importntes en e probem. Veremos en ests págins otros ejempos de mgnitudes dimensiones, entre eos e número de Reynods, de grn importnci en mecánic de fuidos. Mgnitudes extensivs e intensivs Como y dijimos es muy común en físic considerr un ddo sistem como compuesto de dos o más prtes, cd un de s cues constituye un subsistem. Cd subsistem estrá crcterizdo por determinds mgnitudes físics que o describen. Es importnte sber que reción hy entre s mgnitudes físics correspondientes os subsistems y homóog mgnitud pr e sistem compuesto. Se pueden dr quí dos csos diferentes que permiten csificr s mgnitudes en dos ctegorís: extensivs e intensivs. Ls mgnitudes extensivs se crcterizn porque integrrse os subsistems prtes pr formr e sistem que os engob, sus vores se sumn. Un ejempo de est cse es e voumen: si V1, V, V3,... son os voúmenes de os subsistems S1, S, S3,..., e voumen tot de sistem conjunto S = S1+ S + S es V = V1+ V + V3... (.9) Otrs mgnitudes extensivs son ms, cntidd de movimiento, energí, etc. No tods s mgnitudes tienen un comportmiento tn simpe. Mgnitudes como densidd, tempertur, presión, etc. no se obtienen como sum de os correspondientes vores pr os subsistems de un sistem. Tes mgnitudes se mn intensivs. Propieddes geométrics de s mgnitudes físics Hy mgnitudes físics que quedn competmente especificds dndo su vor en un unidd conveniente, esto es un número (que expres e vor) y unidd (que expres dimensionidd). Ejempos de este tipo de mgnitudes son: distnci, voumen, ms, tempertur, presión, etc. Ls mgnitudes que tienen est propiedd se mn escres porque tienen s misms propieddes geométrics que os entes mtemáticos de mismo nombre. Otrs mgnitudes requieren dtos diciones pr su especificción compet, demás de un vor en oportun unidd. Por ejempo pr especificr un despzmiento no bst dr distnci recorrid, sino que hce ft conocer e punto de prtid y dirección y sentido de mismo. Otro ejempo es veocidd, que pr estr competmente determind requiere conocer, demás de su mgnitud, dirección y e sentido de movimiento. Mgnitudes de este tipo, que tienen s misms propieddes geométrics y gebrics que os entes mtemáticos denomindos vectores, se mn mgnitudes vectories y se representn medinte vectores. Con os escres y os vectores no se gotn s posibiiddes en o referente s propieddes geométrics y gebrics de s mgnitudes físics. En reidd, escres y vectores son prte de un cse más mpi de entes mtemáticos, mdos tensores. Los tensores se crcterizn por su rngo que es un número entero que puede ver 0, 1,, 3, etc. Los tensores de rngo 0 coinciden con os escres y os tensores de rngo 1 son os vectores, pero tmbién hy tensores

6 de myor rngo 6. En gener s mgnitudes físics se representn mtemáticmente medinte tensores y como csos prticures tenemos s mgnitudes escres y vectories. Pero hy otrs mgnitudes cuy representción requiere tensores de myor rngo. Por ejempo e momento de inerci de un cuerpo rígido y os esfuerzos y deformciones en un medio continuo, son tensores de rngo. En ests págins no hremos uso expícito de os tensores, pr mntenernos en un nive mtemático sencio. Simetrí de esc L simetrí de os sistems físicos, esto es propiedd de permnecer sin cmbios cundo se reizn determinds trnsformciones (invrinci) tiene importntes consecuencis que se trducen en conservción de determinds mgnitudes. De punto de vist práctico esto fciit soución de ciertos probems. Por ejempo homogeneidd de espcio impic que un sistem isdo es invrinte bjo trsciones y debido eo se conserv cntidd de movimiento de sistem; este hecho simpific e estudio de movimiento de un conjunto de prtícus que interctún, porque se puede nizr e movimiento de centro de ms independientemente de movimiento de s prtícus con respecto de dicho centro 7. De mner semejnte isotropí de espcio impic que un sistem isdo es invrinte bjo rotciones y en consecuenci se conserv su momento ngur; es bien sbido que est circunstnci simpific e estudio de movimiento pnetrio 8. Se podrín citr otros ejempos y todos eos nos enseñn que e náisis de s propieddes de simetrí es un uxiir poderoso en e estudio de os fenómenos físicos. Ls simetrís que cbmos de mencionr se originn en propieddes geométrics, tnto generes de espcio-tiempo como propis de os sistems mismos. Pero no tods s simetrís que precen en Físic son purmente geométrics. En efecto, como se cb de ver s mgnitudes físics se crcterizn por tener dimensiones, demás de tributos geométricos. Debido este hecho os sistems físicos tienen simetrís que provienen de que eección de s uniddes de medid es rbitrri y no gurd reción con sustnci de os fenómenos. Est es esenci de simetrí de esc, cuy mnifestción consiste en que descripción de os fenómenos físicos debe ser invrinte respecto de cmbios en s uniddes de medid, o o que es equivente, frente cmbios de esc de s mgnitudes misms. Presentremos hor e concepto de simetrí de esc en form simpe e intuitiv y nizremos guns de sus consecuencis. Semejnz geométric L semejnz en físic es un generizción de semejnz geométric. Comenzremos recordndo este concepto y uego nos referiremos semejnz físic. En su form más simpe, noción de semejnz geométric se expres diciendo que dos figurs son semejntes si s rzones entre tods s correspondientes ongitudes son idéntics. Es sí que os poígonos de Figur. son semejntes, y que 1 = = = r 1 (.11) 6 En e Apéndice se resumen s principes propieddes de escres y vectores. E ector que quier conocer más puede consutr e exceente ibro de L. Sntó Vectores y tensores con sus picciones (EUDEBA 1976). 7 Ver e Cpítuo 8. 8 Esto se verá en e Cpítuo 7.

7 L rzón r se m rzón de semejnz, fctor de esc, o simpemente esc.. Mgnitudes físics 1 ' 1 ' F F' 3 ' 3 Fig... Dos poígonos semejntes. Un trnsformción de semejnz entre s figurs F y F : se efectú medinte un cmbio de esc de form F F (.1) = r, = r, (.13) 1 1 o se, tods s ongitudes i de F se obtienen mutipicndo s correspondientes ongitudes i de F por e fctor de esc r. Un concepto reciondo pero más gener es e de semejnz fín, o finidd. Se hb de finidd cundo existe semejnz, pero referid sóo un prticur sistem de prámetros. y F' F P (x, y ) P' (x', y' ) x Fig..3. Dos eipses son fines. Vemos un ejempo. Supongmos hber eegido en e pno de Fig..3 un prticur sistem de ejes crtesinos (x, y). Si P ( x, y) es un punto de un figur F, y P ( x, y ) es e correspondiente punto P de figur F, se dice que F y F son fines (o que tienen semejnz fín) si se cumpe que x y = rx = cte. x, = ry = cte. y (.14) x y pr todo pr de puntos correspondientes de F y F. Se ve de Fig..3 que todo pr de eipses es fín si s referimos un sistem de ejes con origen en e centro de s figurs y orientdos 3

8 o rgo de sus semiejes. Est eección respecto de cu se define finidd es e prticur sistem de prámetros que nos referímos ntes. Recordemos que un método sencio pr construir eipses se bs precismente en finidd entre eipse y e círcuo. Un importnte concepto reciondo con tod cse de trnsformciones (y en prticur con s de semejnz y finidd) es e de invrinte. Un invrinte es un entidd que no cmbi si se reiz trnsformción (en nuestro cso un semejnz o un finidd). Por ejempo: A A O r s B O r r' s' s B () (b) Fig..4. Invrinci de esc de os ánguos. Consideremos e ánguo α de vértice O que tiene por dos s semirects OA y OB (Fig..4). Se s e rco de un circunferenci con centro en O y rdio r subtendido por α. Reicemos hor trnsformción de semejnz (,) rs ( r, s ) (.15) que hce corresponder s y r un nuevo rco s' y un nuevo rdio r' (Fig..4b). Es evidente que e cociente entre e rco y e rdio (e ánguo subtendido por e rco) es un invrinte: s s α = = r r = invrinte (.16) Luego os ánguos son invrintes de esc. Por otr prte es fáci ver que no son invrintes fines. ds dy ds ' dy ' dx dx ' Fig..5. L reción entre e áre y s dimensiones inees. Consideremos reción entre e áre y s dimensiones inees de os eementos rectngures de Fig..5. Crmente ds σ = = dx dy ds dx dy (.17) y entonces σ es un invrinte de esc, pero en este cso es tmbién un invrinte fín. 4

9 ' S S' Fig..6. L ey de esc de s áres. Leyes de esc L existenci de invrintes frente cmbios de esc permite obtener eyes de esc. Por ejempo, si S y S son s superficies de dos figurs semejntes F y F, y si y ' son dos ongitudes correspondientes cuesquier socids F y F (Fig..6), tendremos que S S = = Π = invrinte (.18) y prtir de est reción obtenemos ey de esc: S = Π (.19) que expres que e áre de un figur geométric cuquier vrí en proporción cudrdo de s dimensiones inees de mism. Aquí Π soo puede depender de otros invrintes que determinn form de figur (pr un poígono esos invrintes serán ánguos y cocientes entre s ongitudes de os dos). Como picción de ey de esc de s áres vmos obtener e Teorem de Pitágors y fórmu que expres e áre de un eipse. Fig..7. E Teorem de Pitágors. c 1 b Teorem de Pitágors Se e triánguo rectánguo de dos, b, c de Fig..7. Bjndo perpendicur hipotenus desde e vértice opuesto o dividimos en os triánguos 1 y. E áre de triánguo origin es igu sum de s áres de os triánguos 1 y : 5

10 Sbc = S1 + S (.0) Nótese que os triánguos (bc), 1 y son semejntes. Ahor, en virtud de (.19) pr todo triánguo rectánguo de hipotenus h se debe cumpir que S = Π h, donde e invrinte Π soo puede depender de otros invrintes que determinn form de triánguo rectánguo. Por o tnto tendremos que Π = f ( α ) donde α indic uno de os ánguos dycentes hipotenus y entonces S = f( α) h. Usndo est expresión en (.0) resut y quitndo e fctor común se obtiene e resutdo buscdo: f( α) = f( α) b + f( α) c (.1) = b + c (.) Dejo como ejercicio pr e ector expicr porqué no se puede obtener e mismo resutdo si e triánguo no es pno (por ejempo, si se trt de un triánguo sobre superficie de Tierr). b S e Fig..8. E áre de eipse. E áre de un eipse como consecuenci de semejnz fín L Fig..8 muestr un eipse de semiejes, b, y cuy áre es S e. Por o dicho ntes (ec. (.17)) reción Se b = Π e (.3) es un invrinte fín, que en este cso es un número puro pues eipse qued definid por sus semiejes. Ve entonces ey de esc Se = Π eb. Aquí Π e es e mismo pr tods s eipses y por o tnto se puede determinr de un vez y pr siempre usndo que más conveng. En prticur e círcuo es un eipse cuyos semiejes son igues. Luego Π e = π = y entonces fórmu buscd es Psmos hor discusión de semejnz físic. Se = π b (.4) 6

11 Semejnz físic L semejnz físic es náog semejnz geométric con svedd de que debe tomr en cuent que s mgnitudes físics se crcterizn por otrs dimensiones, demás de ques de crácter geométrico. Se dice que dos fenómenos físicos son semejntes cundo s crcterístics de uno se pueden obtener prtir de s crcterístics de otro por medio de un simpe cmbio de esc 9. Dicho cmbio de esc es náogo trnsformción de un sistem de uniddes de medid otro. q g m Fig..9 E pénduo. Nd mejor que estudir un cso concreto pr crr ide de semejnz físic. Se, por ejempo, e movimiento pendur. Un pénduo simpe (Fig..9) es un prtícu de ms m suspendid por medio de un hio inextensibe de ms desprecibe y ongitud y cuyo otro extremo está fijo. En e Cpítuo 6 mostrremos que e movimiento de pénduo está regido por ecución d θ g = sen θ (.5) dt donde θ es e ánguo que form e pénduo con vertic y g 980 cm/ s es ceerción de grvedd. Se puede observr que ms de pénduo no interviene 10 en (.5). Veremos que e movimiento de pénduo form prte de un cse de fenómenos semejntes, o cu es consecuenci de invrinci de esc de ecución de movimiento (.5). Dich 9 Pr evr cbo trnsformción se deben conocer os fctores de esc. L semejnz físic es bse de empeo de modeos esc de bortorio pr estudir e comportmiento de sistems y dispositivos de grn tmño. 10 Que e movimiento de pénduo no depend de ms es un hecho experiment cuy rzón se verá más dente. 7

12 invrinci se puede verificr expícitmente: si escmos tods s ongitudes por un fctor r y todos os tiempos por un fctor r t resut (indicmos con ' s mgnitudes escds) que y sustituyendo en (.5) obtenemos = r, t = rt, θ = θ, g = rr g (.6) t t d θ dt g = sen θ (.7) Puesto que s mgnitudes escds stisfcen mism ecución que ques sin escr ecución de movimiento es invrinte. En consecuenci s crcterístics de movimiento de un pénduo se pueden obtener prtir de s crcterístics de movimiento de otro pénduo medinte un simpe cmbio de esc 11. L simetrí de esc qued en evidenci si se escribe ecución de movimiento en términos de os invrintes de esc donde T es e período de oscición. Se obtiene entonces θ, τ = t/ T, Π = T g/ (.8) d θ = Π sen θ (.9) dτ En est ecución somente figurn invrintes y por o tnto es mnifiestmente invrinte. A prtir de invrinte Π se obtiene ey de esc de período T = ( Π / g) 1 /. Aquí Π puede depender tn soo de invrintes constntes y os únicos invrintes constntes de probem son θ 0, mpitud de oscición, y φ 0, fse inici. Como e período no puede depender de fse inici, podemos poner Π 1 / = f ( θ 0) y resut T = g f ( θ 0 ) (.30) Est ey de esc permite expresr e período en términos de os prámetros de probem, menos de función f ( θ 0 ) cuy form no conocemos. Se puede notr sin embrgo que en e ímite de pequeñs osciciones (θ 0 0), Π debe ser independiente de θ 0 y en consecuenci ƒ debe tender un vor constnte, pero es obvio que dicho vor no se puede deducir medinte considerciones purmente dimensiones 1. A prtir de este ejempo podemos hcer guns generizciones que son consecuenci de que eección de sistem de uniddes es rbitrri y no tiene conexión con sustnci de fenómeno, como dijimos ntes: 11 Nótese que s condiciones inicies, que no precen en ecución de movimiento, tmbién se deben incuir entre s crcterístics cuy esc se cmbi. 1 E vor de est constnte es 1/ π, como veremos en e Cpítuo 6. 8

13 Los invrintes de esc son siempre mgnitudes sin dimensiones, cuyo vor es independiente de sistem de uniddes eegido. Se construyen combinndo s vribes, prámetros y constntes físics de probem. Tod reción físic correspondiente un ddo probem (ecuciones de movimiento, condiciones de equiibrio, condiciones inicies y de contorno, etc.) se puede expresr como un reción entre invrintes de esc. Dos fenómenos son semejntes si, y soo si, tods sus vribes y prámetros dimensiones tienen os mismos vores numéricos. E Anáisis Dimension nos permite genermente (existen guns imitciones) determinr s combinciones dimensiones decuds cd probem en prticur. E Teorem Pi de Buckinghm permite determinr e número de combinciones dimensiones independientes que se pueden formr prtir de s cntiddes dimensiones correspondientes un probem ddo: Teorem Pi: Si n es e número de prámetros crcterísticos de probem (constntes o vribes), y entre eos hy k que tienen dimensiones independientes, cntidd de combinciones dimensiones independientes que se pueden formr es igu n k. L simetrí de esc y sus consecuencis son siempre muy úties. Cundo se conocen s ecuciones que rigen e probem, os prámetros, vribes y constntes se determinn por inspección y son bse pr discutir semejnz, efectur s considerciones dimensiones y obtener s eyes de esc. En estos csos simetrí de esc simpific investigción reducir e número de prámetros y restringir s dependencis funciones. A veces es imposibe resover e probem por e proceso de náisis y cácuo debido dificutdes mtemátics demsido grndes, o que e probem no se puede formur mtemáticmente porque e fenómeno bjo estudio es muy compejo, o, finmente, porque nuestro conocimiento es incompeto. En estos csos simetrí de esc y s considerciones dimensiones sirven igumente, porque permiten investigr e probem medinte modeos esc o bien porque proporcionn en form simpe y direct respuests teórics proximds y/o cuittivs. A veces esto puede ser todo o que se requiere, o que se puede tener espernz de obtener. Finmente, este tipo de náisis sugiere nturez de conocimiento que está ftndo y sí indic dirección en que se debe seguir investigndo. L rbitrriedd de eección de s mgnitudes y dimensiones fundmentes Un crcterístic de Mecánic Newtonin es que en su formución mtemátic no prece ningun constnte fundment propi de teorí. Por consiguiente tods sus eyes escn perfectmente nte cmbios de mgnitud rbitrri de os prámetros. Es usu, unque no obigtorio, formur mecánic en términos de tres mgnitudes dimensiones: ms (m), ongitud ( ) y tiempo (t) y esto es o que hemos supuesto impícitmente en este Cpítuo. Cbe observr, sin embrgo, que se trt de un eección rbitrri. En efecto, e número de mgnitudes se puede umentr o disminuir. Consideremos por ejempo reción (.4) entre e voumen y ongitud. Est reción se fund en ey de esc de origen geométricov ~ 3 entre e voumen de un cuerpo y sus medids inees. A prtir de mism se obtiene reción dimension [ V] = [ K 3 ] donde K es un constnte. Pr egr (.4) hemos eegido K = 1. Pero con igu derecho podrímos hber hecho un eección diferente, en cu K difiere de unidd y tiene 9

14 dimensiones. De hcer sí, nuestr teorí se formurí en términos de cutro mgnitudes (m,, t y V) en vez de s hbitues tres y contendrí demás constnte dimension K. Esto es perfectmente egítimo y os efectos prácticos no ter s concusiones de náisis dimension. En prticur en e Teorem Pi tendrímos hor n = n+ 1 prámetros crcterísticos (os nteriores más K) y tendrímos entre eos k = k + 1 que tienen dimensiones independientes pues hbrí un dimensión independiente más. Pero cntidd de combinciones dimensiones en cuquier probem seguirí siendo mism pues n k = n k. Tmbién se puede proceder invers, y disminuir e número de dimensiones (y uniddes) fundmentes, suponiendo rbitrrimente que cierts constntes son dimensiones y su vor es 1. Un ejempo de este tipo es convención usd frecuentemente en Mecánic Cuántic que consiste en suponer que veocidd de uz en e vcío (c) y constnte de Pnck (h) son igues 1. Con est eección se tiene que [ ] = [] t = [ m 1 ]. Mencionmos estos ejempos con e único fin de mostrr ector que e número de dimensiones independientes es rbitrrio incuso en Mecánic Newtonin, unque convenienci sugiere un determind eección. En gener, cunto myor se e número de dimensiones que se eijn, tnto más grnde será e número de uniddes independientes que se pueden eegir de mner que su tmño resute conveniente os fines prácticos. Es importnte recordr, sin embrgo, que cmbir s uniddes e incuso e número de dimensiones no fect e contenido físico de s fórmus que se obtengn de teorí, siempre y cundo se s interprete correctmente. En mecánic Newtonin se us siempre (por convención) e sistem m,, t, por o tnto o que se cb de comentr no reviste myor interés. Pero cuestión es reevnte en otrs teorís, en cuy formución precen constntes fundmentes. Un ejempo es e Eectromgnetismo, en e cu c figur como constnte fundment de teorí. En este cso s eyes físics escn correctmente sóo si se mntienen constntes s rzones entre ongitudes y tiempos. En e Eectromgnetismo, demás, se usn distintos sistems que difieren en e número de dimensiones fundmentes, que pueden ser tres (m,, t) como ocurre en e sistem Gussino o cutro como en e sistem MKSI. 30

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