Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo

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1 Título: Límites de funciones continuidad Autor: c Juan José Isach Mao Fecha:04 Septiembre del 007

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3 Contents Límites 5. Conceptos previos Límites de una función en un punto a)función convergente en 0 (Puede o no ser continua en o ) b) Función continua en c) Función presenta en 0 una discontinuidad evitable d) Función presenta en 0 una discontinuidad de salto nito..5 e) Función presenta en 0 una discontinuidad de salto in nito e) Ineistencia del límite Algebra de los límites Técnicas de cálculo de límites a) Técnicas de cancelación b) Técnicas de racionalización b) Técnicas de cálculo Ejercicios de límites de una función en un punto Teoremas para calcular límites: Función convergente a cero por función acotada en un punto 5.5. Criterio del emparedado In nitésimos Límites en el in nito Continuidad 45. De niciones Discontinuidades Operaciones con funciones continuas Discontinuidad de algunas funciones Propiedades de las funciones continuas en un punto Propiedades de las funciones continuas en un cerrado Problemas continuidad

4 4 CONTENTS

5 Chapter Límites. Conceptos previos De nition Entorno abierto de centro o radio r E r ( o ) = f Rd(; o ) < rg = f R j o j < rg = f R r < o < rg = f R o r < < o + rg = ] o r; o + r[ De nition Entorno abierto reducido de centro o radio r E r ( o ) = f R0 < d(; o ) < rg = f R0 < j o j < rg = f R f o g r < o < r g = f R f o g o r < < o + rg = ] o r; o + r[ f o g. Límites de una función en un punto Estudiar el límite de una función en un punto o es lo mismo que estudiar el comportamiento de dicha función en un entorno reducido de centro o radio,r; tan pequeño como deseemos (E r ( o ) =.] o r; o + r[ f o g) Las situaciones que se pueden presentar son las siguientes:.. a)función convergente en 0 (Puede o no ser continua en o ) Si 9 f() = l (un numero real) diremos que la función es convergente en o De nition f() = l, " > 0 9 > 0 /si 4 0 < j oj < 5 ) D(f) jf() lj < ", " > 0 9 > 0 /si 4 ( o ; o + ) f o g D(f) 5 5 ) f() (l "; l + ")

6 6 CHAPTER. LÍMITES Condición necesaria su ciente para que una función sea convergente en f()! + o f() = l, B 9 f() A! + o f() = f() = l Nota : De nition 4 jf() lj < " f() = l (un numero real)! + o f() = l, " > 0 9 > 0 /si! + o 4 0 < o < D(f), " > 0 9 > 0 /si 4 ( o; o + ) 5 ) f() (l "; l + ") D(f) Nota : f() = l (un numero real) De nition 5 jf() lj < " f() = l, " > 0 9 > 0 /si, " > 0 9 > 0 /si 4 ( o d; o ) D(f) 4 0 < o < D(f) 5 ) f() (l "; l + ") 5 ) 5 ) Ejemplos de funciones convergentes en 0 Eample 6 Demuestra que! ( + ) = 9 Proof. Dado un " > 0 para qué se veri ca quejf() 9j < " siempre que 0 < j j <? Fíjate que: j + 9j < ", j( )j < ", j j < " Por lo tanto; bastaría con escoger como el valor " Observa que! ( + ) = 9 = f() < Eample 7 Demuestra que dada la función f() = 6= 0 : = 0 veri ca que =!0 se

7 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 Proof. Dado un " > 0 para qué se veri ca quejf() j < " siempre que 0 < jj <? Fíjate que jf() j < ", < ", < " Y como ha de ser no nulo; entonces :jf() j < ", jj < " Por lo tanto; bastaría con escoger como el valor " Luego, la función dada veri ca que!0 f() =.Este límite no coincide con f(0) = La grá ca de la función f() coincide con la de la recta g() = si a esta última le quitamos el punto de coordenadas (0; ) le añadimos el punto de coordenadas (0; ) < Grá ca de f() = : 6= 0 = 0 Eample Dada la función f() = f() = 5! + < + > comprueba que

8 CHAPTER. LÍMITES f() = ( + ) = 5 f() = ( + ) = 5! +! +!! Es digno de resaltar, que eiste f() = 5 no eiste f()! Eample 9 Dada la función f() = f() = 5 = f()!! < : +f() =! +( + ) =! Es digno de resaltar, que eiste + = + 5 > f() =! ( + 5) = f() = que f() =! comprueba que

9 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 9 Eample 0 Dada la función f() = f() = 5! 6 > comprueba que ! +f() =! +( ) = 0! Es digno de resaltar, que eiste f() =! ( 6) = 0 f() = 0 además coincide con f()!.. b) Función continua en 0 Un tipo mu particular de funciones convergentes en un punto 0, son las funciones continuas. Su de nición es la siguiente: De nition Sea f una función de nida en un intervalo I sea 0 I: Diremos que la función f es continua en un punto 0 si f() = f( 0 )! 0 Nota : Las funciones elementales son continuas en todo punto de su dominio. Así pues; para calcular el límite de una función elemental en un punto de su dominio, bastará con sustituir la por el punto 0. Nota: Si una función f es continua en 0 ) f es convergente en 0 Nota: Si una función f es convergente en 0 ;f sea continua en 0 : Eisten funciones convergentes en 0 sin embargo no continuas en él. Eample La función f() = pero no es continua en = 0) en el punto = 0 (Es convergente El dominio de de nición de esta función es < f0g. Luego f a no puede ser continua en = 0, sin embargo; si que es convergente en = 0 a que = como hemos comprobado con anterioridad!0

10 0 CHAPTER. LÍMITES.. c) Función presenta en 0 una discontinuidad evitable Si f() = l 6= f( o ) diremos que la función no es continua en = o. Diremos que para dicho valor la función presenta una discontinuidad evitable. < + < Eample Un ejemplo de esta situación es la función f() = = : + > Esta función veri ca que! f() = 5 6= f() =. Esta función no es continua para = ;presentando en dicho punto una discontinuidad evitable Si f() = l no eiste f( o ) la función tampoco es continua en = o. Diremos que para dicho valor la función presenta una discontinuidad evitable. Eample 4 Un ejemplo de esta situación es la función f() = + < + >

11 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Esta función veri ca que! f() = 5 no eiste f(). Esta función no es continua para = ;presentando en dicho punto una discontinuidad evitable..4 d) Función presenta en 0 una discontinuidad de salto nito Nota 6: Si no eiste f() porque sus límites laterales son diferentes nitos; aunque eista o no f( o ) la función tampoco es continua en = o. Diremos que para dicho valor la función presenta una discontinuidad inevitable de salto nito. Eample 5 Un ejemplo de esta situación es la función f() = < +

12 CHAPTER. LÍMITES Como ) f() = ( + ) = 5! +! + f() = ( ) =!!!No eiste! f() f() = 5 La función no es continua para = : Presenta para = una discontinuidad inevitable de salto nito..5 e) Función presenta en 0 una discontinuidad de salto in nito ) Función divergente a + en 0 f() = + Si f() = +,La recta = 0 es una asíntota vertical, de ramas convergentes, de la grá ca de la función f() Si f() = + )La función presenta para = o una discontinuidad de salto in nito De nition 6 f() = +, k > 0( tan grande como queramos) 9 > 0 /si 4 0 < j oj < 5 ) f() > k D(f), k > 0( tan grande como queramos) 9 > 0/si ( o ; o + ) f o g ) f() (k; +) Eample 7 = + (La recta = es una asíntota vertical ( ) (ramas convergentes) de la grá ca de la función )! 7 Proof. Dado un K > 0 para qué se veri ca quef() > K siempre que 0 < j j <?

13 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Fíjate que: 7 ( ) > K, ( ) < 7 q k, j j < Por lo tanto; bastaría con escoger como el valor Observa que si K es un número positivo dado, cada vez maor; entonces el encontrado será cada vez más pequeño q 7 k 7 k ) Función divergente a - en 0 f() = (Función divergente a en 0 ) Si f() =,La recta = 0 es una asíntota vertical (ramas convergentes) de la grá ca de la función f(), Si f() = )La función presenta para = o una discontinuidad de salto in nito De nition f() =, k > 0( tan grande como queramos) 9 > 0 /si 0 < j o j < ) f() < k, k > 0 ( tan grande como queramos) 9 > 0/si ( o ; o + ) f o g ) f() ( ; k) Eample 9! 7 ( ) = (La recta = es una asíntota vertical, de ramas convergentes, de la grá ca de la función f() = 7 ( ) Proof. Dado un K > 0 para qué se veri ca quef() < K siempre que 0 < j j <? Fíjate que: 7 ( ) < K, ( ) < 7 q k, j j < 7 k Por lo tanto; bastaría con escoger como el valor Observa que si K es un número positivo dado cada vez maor; entonces el encontrado será cada vez más pequeño q 7 k

14 4 CHAPTER. LÍMITES Asíntota vertical de una función De nition 0 Si alguno de los límites laterales siguientes f() ó f()! + 0! 0 da + ó diremos que la recta = 0 es una asíntota vertical de la función = f() Nota: Pueden eistir las siguientes asíntotas verticales:. De ramas divergentes f() = + f() = (o f() =! + 0! 0! + 0 f() = +)! 0 La función = presenta en = una discontinuidad de salto in nito. La recta vertical = es una asíntota vertical de ramas divergentes ! + = 0 = + +! = 0 = La función = + presenta para = una discontinuidad de salto in nito. La recta vertical = es una asíntota vertical de ramas divergentes

15 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ! + + = 0 = +! + = 0 = +. De ramas convergentes f() = + f() = +(o f() =! + 0! 0! + 0 f() = )! 0 La función = presenta en = una discontinuidad de salto ( ) in nito (La función f es divergente a + en = ). La recta vertical = es una asíntota vertical de ramas convergentes =! + ( ) 0 = + +! ( ) = 0 + = + La función = presenta para = una discontinuidad de salto (+) in nito (La función f es divergente a en = ). La recta vertical = es una asíntota vertical de ramas convergentes

16 6 CHAPTER. LÍMITES =! + (+) 0 = +! = (+) 0 = +. Como también pueden eistir asíntotas verticales, solamente por un lado (Por ejemplo: f() = + f() = l )! + 0! 0 Dada la función f() = si < 4 si =! + (+) 0 = +! = (+) 0 = + En todas estas situaciones donde = o sea una asíntota vertical de la función, diremos que la función para = o presenta una discontinuidad inevitable de salto in nito Intenta considerar tú, todas las opciones posibles para que la recta = 0 sea una asíntota vertical..6 e) Ineistencia del límite Puede ocurrir que :

17 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7. No eista f(); debido a que sus límites laterales sean diferentes (Discontinuidad de salto nito) f() = < Como! +f() = ( + ) = 5! +! Entonces; no eiste f() aunque f() = 5! f() =! ( ) = : La función no es continua para = : Presenta para = una discontinuidad inevitable de salto nito No eista f();debido a que la recta = o sea asíntota vertical (al menos por un lado) ( f() = >

18 CHAPTER. LÍMITES Como f() =!! +f() =! + f() =! 9 = + >= ( ) = >;!No eiste f() aunque! La recta = es una asíntota vertical por la derecha de la función. La función presenta para = una discontinuidad inevitable de salto in nito. No eista f() debido al comportamiento de la función en un entorno reducido de centro 0 radio tan pequeño como deseemos (Oscilación brusca) No eiste sin( ):Fíjate como oscila la función en ] ; [!0

19 .. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Grá ca de la función en ] ; [ Fíjate como oscila la función en ] 0:5; 0:5[ Grá ca de la función en ] 0:5; 0:5[

20 0 CHAPTER. LÍMITES. Algebra de los límites Como las funciones se pueden operar entre sí utilizando las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división potencia; pueden darse situaciones en las que el límite se puede calcular directamente; para lo cual tendrás que recordar: Límites de sumas,restas, multiplicación división de funciones f() = a g() = b ) >< =) >: f() = a (a 6= 0) g() = + f() = a g() = ) >< =) f() = a (a 6= 0) g() = 0 (f() g()) = a b (f() g()) = a b f()! g() o ) >< =) ) >: >: = a siempre que b 6= 0 b (f() g()) = (f() g()) = f()! g() = a o + = 0 g()! f() = + = o a + si a > 0 si a < 0 + si a > 0 si a < 0 (f() g()) = si a > 0 (f() g()) = + si a < 0 f()! g() = a o = 0 g()! f() = si a > 0 = o a + si a < 0 entonces f()! g() = a o 0 :Diremos que la función presenta para = o una discontinuidad de salto in nito. La recta = o es una asíntota vertical de la grá ca de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales para determinar como son las asíntotas verticales (ramas convergentes, ramas divergentes, etc...) Las situaciones que se pueden dar en los límites laterales son: a + si a > = si a > 0 a si a > 0 = 0 + si a > 0 f() = 0 g() = 0 f() = 0 g() = + o ) entonces f() g() = 0 0 es una indeterminación ) entonces f() g() = 0

21 .. ALGEBRA DE LOS LÍMITES f()g() = 0 (+) es una inde- f() = +( o ) g() = 0 terminación f() = +( o ) g() = 0 ) ) entonces entonces f()! g() o = + 0 :Diremos que la función presenta para = o una discontinuidad de salto in nito. La recta = o es una asíntota vertical de la grá ca de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales para determinar cómo son las asintotas verticales (ramas convergentes, ramas divergentes etc.) Las situaciones que se pueden dar en estos límites laterales son: = + + = 0 f() = + g() = + f() = g() = + ) >< =) >: ) >< =) >: (f() + g()) = + (f() g())=+ (+) es indeterminación (f() g()) = + f()! g() o = + + es indeterminación (f() g()) = (f() + g())= (f() g()) = f()! g() o + ) es indeterminación = + es indeterminación Límites de potencias de funciones f() = a si a R + f0; g g() = b Recordando la grá ca de = a cuando a > ) 0 =) [f()] g() = a b

22 CHAPTER. LÍMITES Si a > ) Podemos deducir fácilmente que: f() = a si a > g() = + f() = a si a > g() = ) ) a + = + a = 0 =) [f()] g() = a + = + =) [f()] g() = a = 0 Si ahora recordamos la grá ca de = a cuando 0 < a < Podemos deducir que: f() = a si 0 < a < g() = + f() = a si 0 < a < g() = f() = 0 + g() = + f() = 0 + g() = ) ) f() = 0 + g() = k siendo k > 0 Si 0 < a < ) ) ) a + = 0 a = + =) [f()] g() = a + = 0 =) [f()] g() = a = + =) [f()] g() = 0 + = 0 + =) [f()] g() = (0 + ) = (0 + ) + = 0 = + + ) =) [f()] g() = (0 + ) k = 0 +

23 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES f() = 0 + g() = k siendo k < 0 + f() = + g() = k siendo k > 0 f() = + g() = k siendo k < 0 + = 0 f() = g() = + o f() = 0 + g() = 0 f() = + g() = 0 ) ) ) ) ) =) [f()] g() = (0 + ) k = (0 + ) k = 0 = + =) [f()] g() = (+) k = + =) [f()] g() = (+) k = < ) [f()] g() = : =) =) [f()] g() = 0 0 indeterminación (+) k = + o indeterminación =) [f()] g() = (+) 0 indeterminación Las únicas situaciones en las que no podemos a rmar el valor del límite, son las indeterminaciones siguientes: 0 0 ; 0 ; ; ; ; El objetivo de estos apuntes es saber como einar esas indeterminaciones calcular el correspondiente límite.4 Técnicas de cálculo de límites Theorem (Funciones que coinciden en todos sus puntos menos en uno) Sea 0 un número real sean f g dos funciones que coinciden en todos los puntos de un entorno de 0, salvo quizás en 0. Entonces, si eiste el ite de una de ellas en 0, también eiste el) límite de la otra además son iguales f() = g() para todo E ( 0) 9 f() (o g())! 0! 0 =)! 0 f() =! 0 g() Proof. [Demostración] Supongamos que eiste el! 0 f() = l. Entonces, por la de nición, se tiene que para cada " > 0 eiste un > 0 (depende de ") tal que: f() E " (l) siempre que E ( 0 ) m jf() lj < " siempre que 0 < j 0 j <

24 4 CHAPTER. LÍMITES Ahora bien, como f() = g() para todo E ( 0) =] 0 ; 0 + [ f 0 g : Entonces resulta que: g() E " (l) siempre que E ( 0 ) m jg() lj < " siempre que 0 < j 0 j < Por lo tanto;! 0 g() = l Utilizando el teorema anterior vamos a eplicar algunas técnicas de cálculo de límites..4. a) Técnicas de cancelación Se aplica en las funciones racionales cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo 0 0 Sea f() = P () P () supongamos que Q()! 0 Q() = P ( 0) Q( 0 ) = 0 0 P ( Al ser 0 ) = 0 () P () = ( 0 ) P () =) Por el teorema anterior, podemos cancelar el factor ( 0 ) en el numerador denominador Q( 0 ) = 0 () Q() = ( 0 ) Q () aplicar la sustitución directa. Pudiendose presentar las siguientes posibilidades Si Q ( 0 ) 6= 0 P () f() =! 0! 0 Q() = ( 0 ) P ()! 0 ( 0 ) Q () = P ()! 0 Q () = P ( 0 ) Q ( 0 ) Fíjate, que para = 0 la función f presenta una discontinuidad evitable; a que no eiste f( 0 ) sin embargo si que 9 f(): La grá ca de la función! 0 = f() coincide con la de la función = P () si a ésta le quitamos el punto Q () P ( 0 ; P ( 0 ) Q ( 0 ) ): Si P ( 0 ) 6= 0 Q ( 0 ) = 0 P () f() =! 0! 0 Q() = ( 0 ) P ()! 0 ( 0 ) Q () = P ()! 0 Q () = P ( 0 ) 0 Procederemos a estudiar los límites laterales; a que la recta = 0 es una asíntota vertical siempre nos interesa conocer el comportamiento de la función en un entorno reducido de centro 0 radio tan pequeño como deseemos. En esta situación, diremos que la función f presenta en 0 una discontinuidad de salto in nito Si P ( 0 ) = 0 Q ( 0 ) = 0 Volveremos a factorizar cancelar, pudiéndose dar cualquiera de las dos situaciones anteriores

25 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES 5 Eample Calcula! ! Sea f() = como + + = ( + ) ( + ) entonces su dominio de de nición ( de continuidad) es: D(f) = < ; + + )! + + = ! + + = ( + ) ( + )! ( + ) ( + ) = ( + )! ( + ) = La función presenta para = una discontinuidad evitable. La grá ca de ( + ) la función = f() coincide con la de la función = si le quitamos a ( + ) ésta el punto de coordenadas P ( ; ): + + ) + + = = 0 0! Sabemos que la función presenta para = una discontinuidad de salto in nito. Además la recta = es una asíntota vertical. Nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido de : Para lo cual, tendremos que estudiar sus límites laterales = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = = +!! =!! Eample Calcula! 9, ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = 4 0! 9 ;! 9 = Sea f() = 9 como 9 = ( ) ( + ) entonces su dominio de de nición ( de continuidad) es: D(f) = < f ; g )! 9 = 0 0! 9 =!( ) ( + ) =! + = 6 La función presenta para = una discontinuidad evitable. La grá ca de la función = f() coincide con la de la función = si le quitamos a + ésta el punto de coordenadas P (; 6 ): )! 9 = 6 0

26 6 CHAPTER. LÍMITES Sabemos que la función presenta para = una discontinuidad de salto in nito. Además la recta = es una asíntota vertical. Como nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido de : Tendremos que estudiar sus límites laterales.!( ) + 9 =!( ) + ( ) ( + ) = =!( ) 9 =!( ) + ( ) ( + ) = 6 = + 0 Mira ahora su grá ca )! 9 = 5.4. b) Técnicas de racionalización Se aplica en las funciones irracionales cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo 0 o del tipo : 0 En el caso de que aparezcan raíces cuadradas, multiplicaremos numerador denominador por el conjugado. En el caso de que aparezcan raíces de índice distinto de, utilizaremos la relación: A n B n = (A B)(A n + A n B + ::::: + AB n + B n ) que nos permite epresar A B de la siguiente manera: A n B n A B = A n + A n B + ::::: + AB n + B n 5 Ejemplos: p = 5p 4 + 5p + 4 5p + 5p + 6 4p = 4p + 4p + 9 4p + 7 p = p p + + p +

27 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES 7 p p + + Eample 4 Calcula ;!!( ) + p + Dada la función = su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = f <= + 0 6= 0g = [ ; ) [ (; +) p + ) = 0! p 0 p p =!! ( ) p + + =!( ) p + + Al sustituir nos vuelve a salir 0 pero podemos utilizar la técnica de la cancelación por lo tanto: 0!( ) p + + = p =! La función presenta p para = una discontinuidad evitable. La grá ca de + la función = coincide con la de la función = p si le + + quitamos a ésta el punto de coordenadas P (; p 4 ): + ) =!( ) + p + Mira la grá ca de la función = p Eample 5 Calcula! p Dada la función = Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = < fg p! = 0 0

28 CHAPTER. LÍMITES p! =! ( p ) + p + 4 = = p Eample 6! p! = 0 0 p =! p ( ) + p + Cancelando el factor tendremos! p ( ) + p = +! p + p = +! Eample 7 5p! 5p! = 0 0 5p! =! 5p ( ) 4 + 5p + 4 5p + 5p + 6 Cancelando el factor tendremos! 5p 4 + 5p + 4 5p + 5p = np Eample Calcula tú el siguiente! n n comprueba que da n n p Eample 9 p!4 + 5 p p = 0! p5 p 4 4 ( p 5 4 4)( p 5 4+4)( p +5+)!4 +5 =!4 ( p +5 )( p +5+)( p 5 4+4) =!4 (5 0)( p +5+) ( 4)( p 5 4+4) = 6!4 5( p +5+) ( p 5 4+4) = 5 6 = 5 4 Nota: Como A n B n = (A B)(A n + A n B + ::::: + AB n + B n ) entonces: A n B n A B = A n + A n B + ::::: + AB n + B n En particular, la epresión p ( ) = p p Con lo que, la función quedará así: p = = ( ) p p ( ) = p = 5 p = p + p + 5p 4 + 5p + 4 5p + 5p + 6 p p siendo 6= + + 4

29 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES 9.4. b) Técnicas de cálculo Es útil cuando tengamos resta o productos de funciones Eample 0 Calcula p p! ( ) Dada la función = p q ( ) Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = (; +) Fíjate que =! p ( ) p q( ) = 4 p ( ) p Eample Calcula!! 4 = p =! + ( ) 0 + =! ( ) Dada la función = ( ) Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = < fg Fíjate que = ( ) = 4 ( )! 4! ( ) = =! ( ) 0 + = La recta = es una asintota vertical de ramas convergentes hacia Eample Calcula!! ( )

30 0 CHAPTER. LÍMITES Dada la función = ( ) Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = < fg!! ( ) = 7 6 +! ( ) = 0 La recta = es una asíntota vertical. La función = presenta para = una discontinuidad de salto in nito Calculemos los límites! laterales 6 +! + ( ) = 0 + =! 6 +! ( ) = = + 0 La recta = es una asíntota vertical de ramas divergentes! + Eample Calcula! ( )! + Dada la función = ( ) Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = < fg Si calculamos por separado cada límite tendremos: + = 0! 0 + ( ) = ( ) = 0!!!!! ( ) = 0 + = + = + + Con lo cual, el límite! ( ) presenta la indeterminación 0 Para einarla que nos aparezca la indeterminación 0 0 calcular la epresión contenida en el límite:!! ( ) tendremos que! ( ) ( ) = +! ( ) = 9 ( )!! ( ) ( ) + +! ( ) = =! ( ) 0 La recta = es una asíntota vertical de la función. La función presenta en = una discontinuidad de salto in nito. 7 Fíjate que = + = ( ) 9 Fíjate que = + ( ) = 6+ ( ) ( ) = + + ( )

31 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES Si calculamos ahora los límites laterales, podremos determinar si es una asíntota de ramas convergentes o divergentes! + + +! + ( ) = =! + ( ) 0 + = +! + + +! ( ) = = =! ( ) 0 = es asíntota vertical de ramas divergentes Eample 4 Calcula p p!4 + 4 Su dominio de de nición (o de continuidad) es: D(f) = f <= > 4g = (4; +) Si calculamos por separado cada límite tendremos: p =! = p = 7!4 + 9 >= p 4 + p = 0 + = + >;!!4 + Para einar la indeterminación, reduciremos a común denominador la función.!4 + p 4 + p = 0 p+ Eample 5 p p!4 +5!4 + ( p (+)) p ( 4) = 7p 0 + = p + Dada la función = p + 5 p su dominio de de nición o continuidad es: D(f) = [0; 4) [ (4; +) p p + ( + 5) p p =!4 + 5!4 p( + 5) ( p = 0 ) Fíjate que = p p coincide con 4 = ( p p (+)) ( 4)

32 CHAPTER. LÍMITES :!4 p( + 5) p ( + 5) + p p( ( + 5) + 5) + p( + 5) + ( p ) ( p + ) 4 p ( + 5) + ( p + )!4 ( 4) + p = ( + 5) p( ( + ) + 5) + ( p + ) =!4 ( 4) + p = 0 ( + 5) 0 La recta = 4 es una asíntota vertical. La función = presenta para = 4 una discontinuidad de salto in nito. Calculemos los límites laterales p( ( + ) + 5) + ( p + )!4 + ( 4) + p = 0 ( + 5) 0 + = + p( ( + ) + 5) + ( p + )!4 ( 4) + p = 0 = ( + 5) 0 p( ( + ) + 5) + ( p + ) ( 4) + p ( + 5) ( p + ) + p ( + 5) p + p + 5 p = La recta = 4 es una asíntota vertical de ramas divergentes. 4 ( 4) = + 4

33 .4. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LÍMITES.4.4 Ejercicios de límites de una función en un punto + 7 Eercise.4.! + 7! = Eercise.4.! 4 +! 4 + = 0 0 Como = ( ) = ( + ) ( ) + +! 4 + =! Eercise.4.!a n a n!a n a =!a a n a = 0 0 ( )( ++) (+)( entonces )( ++) =! (+) = ( a)( n +a n +::::+a n +a n ) a = =!a ( n + a n + :::: + a n + a n ) = n a n Eercise.4.4!0 ( + ) n ( + ) n =!0 n (+ )((+) +(+) n ++:::+(+) +)!0 = n ((+) +(+) n ++:::+(+) +)!0 = = n Eercise.4.5! m = 0 0 = ( + ) n + ( + ) n + +::: + ( + ) +!0 = m! m =! ( )( m + m +:::::: ++) =! ( m + m +::::::+ ++) = Eercise.4.6! m n = 0 0 m n m! n =! ( )( m + m +:::::: ++) ( )( n + n +:::::: ++) =! ( m + m +:::::: ++) ( n + n +:::::: ++) = Eercise.4.7!a (a + ) + a a = 0 0 A n B n = (A B)(A n + A n B + ::::: + AB n + B n )

34 4 CHAPTER. LÍMITES!a (a + ) + a a =!a ( )( a) ( a)( + a + a ) = ( ) =!a ( + a + a ) = a a Eercise.4.! = Como ( ) = ( )( + + ) entonces: = ( )( )! =! p p + Eercise.4.9 = 0!0 0 ( )( ) ( )(++ ) = ( )(++ ) ( )(++ ) = (++ ) =! ( ) p p + ( = p +) ( p )!0!0 p(+) + p + p + p ( ) = = p(+) + p + p + p ( ) = p(+) + p + p + p ( ) =!0 p Eercise.4.0!!0 p Eercise.4.!a p a a p p a + a + Eercise.4. a a + p p!0 a + a + p p + Eercise.4.! p p + Eercise.4.4 p! (a + ) + a = a + a = ( a) ( a) = ( )( a) a = ( a)( + a + a )

35 .5. TEOREMAS PARA CALCULAR LÍMITES: 5.5 Teoremas para calcular límites:.5. Función convergente a cero por función acotada en un punto Theorem 6 Si f() = 0 g es una función acotada en un entorno reducido de centro o radio tan pequeño como queramos. Entonces, se veri ca que (f() g()) = 0 aunque g( o ) no eista. Si g está acotada en ( o ; o ) f o g, 9k > 0 tal que jg()j < k siempre que 0 < j o j < Como f() = 0 =)Para cada " > 0 9 > 0 tal que jf()j < " k siempre que 0 < j o j < >< Dado " > 0 9 = min f; g > 0 tal que >: jf()j < " k jg()j < k 9 >= siempre que >; 0 < j o j < : Con lo que: Dado cualquier " > 0 9 > 0 = jf()g()j < " jg()j < " siempre que k 0 < j o j <, (f() g()) = 0 Eample 7 Calcula cos!0 Sea h() = cos Su dominio de de nición (o de continuidad) es D(h) = < f0g Como = 0 )!0 =) cos cos 5 < f0g!0 = 0 Eample Calcula sin!0 Sea h() = sin Su dominio de de nición (o de continuidad) es D(h) = < f0g Como = 0 )!0 =) sin sin 5 < f0g!0 = 0 Otros límites se pueden resolver utilizando el criterio del emparedado, que a continuación se eplica:.5. Criterio del emparedado Theorem 9 Hipótesis: a)sean f; g h tres funciones de nidas en un intervalo abierto I sea o I de tal manera que f() 6 g() 6 h() I ^ 6= o : b) Si f() = h() = l Tesis: g() = l

36 6 CHAPTER. LÍMITES Demostración: Para todo 6= o ^ I; se tiene que jg() lj = jg() f() (l f())j 6 jg() f()j + jf() lj 6 jh() f()j + jf() lj pues jg() f()j 6 jh() f()jhipótesis a 6 jh() l (f() l)j + jf() lj 6 jh() lj + jf() lj () Sea " > 0; por ser f() = l ; 9 >o tal que si : 0 < j o j < entonces jf() lj < " 4 (*) por ser h() = l ; 9 >o tal que si : 0 < j o j < entonces jh() lj < " (**) o j < entonces de () ten- luego, tomando = min f ; g ; si 0 < j dremos que: jg() lj 6 jh() lj + jf() lj < " + " 4 = " de donde: g() = l sin Eample 40 Demuestra que!0 = Demostración: Si > 0! 0 < sin < < tan! tan < < sin Multiplicando esta desigualdad por sin (sin > 0) tendremos: sin tan < sin < m cos < sin < Si < 0! tan < < sin! sin < < tan Multiplicando esta desigualdad por sin (sin < 0) tendremos: sin tan < sin < m cos < sin < En de nitiva; hemos comprobado que en un entorno abierto reducido del cero, la función f() = sin veri ca que g() < f() < h() siendo g() = cos h() =

37 .6. INFINITÉSIMOS 7 Como además g() =!0 cos = h() = ; entonces podemos!0 a rmar que : sin!0 =!0 tan Eample 4 Demuestra que =!0 Demostración: Si > 0! 0 < sin < < tan! tan < < sin Multiplicando esta desigualdad por tan (tan > 0) tendremos: < tan m < tan < tan sin < cos Si < 0! tan < < sin! sin < < tan Multiplicando esta desigualdad por tan (tan < 0) tendremos: < tan m < tan < tan sin < cos En de nitiva; hemos comprobado que en un entorno abierto reducido del cero, la función f() = tan veri ca que g() < f() < h() siendo g() = h() = cos : Como además h() =!0!0 cos = g() = ; entonces podemos!0 a rmar que : tan =!0.6 In nitésimos De nition 4 Una función, f; se dice que es un in nitésimo en un punto o ; si su límite en dicho punto es cero. f in nitésimo en 0 () f() = 0 Eample 4 f() = sin es un in nitésimo en = 0; a que sin = 0!0 f() = tan es un in nitésimo en = ; a que 4 4 tan = 0 4! 4 f() = cos es un in nitésimo en = 0; a que f() =!0 ( cos ) = 0 es un in nitésimo en = 0; a que!0 ( ) = 0

38 CHAPTER. LÍMITES f() = p + es un in nitésimo en = 0; a que p + = 0!0 f() = arctan es un in nitésimo en = ; a que arctan = 0 4! 4 f() = es un in nitésimo en = 0; a que = 0!0 De nition 44 Dos in nitésimos f g;en un mismo punto o,se dice que son f() in nitésimos del mismo orden, cuando g() = k 6= 0 Nota: La función f() = n con n N f0g es un in nitésimo de orden n Eample 45 f () = ; f () = = 0,de orden 5 ; f () = son in nitésimos, en f () = ; f () = 5 ; f () = son in nitésimos, en = 0; de orden De nition 46 Dos in nitésimos f g;en un mismo punto o,se dice que son f() in nitésimos equivalentes, cuando g() = f() g() = 0 = () f() g() 0 Eample 47 f () = ; f () = sin son in nitésimos equivalentes, en = 0 a que sin!0 = f () = ; f () = tan son in nitésimos equivalentes, en = 0 a que tan =!0 Theorem 4 Cuando, en un límite, un in nitésimo esté multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente. f() Proof. Supongamos que, en 0 f() g(), g() = Y supongamos que deseamos calcular un límite en el que aparece f() multiplicando o dividiendo: f()h() = f() g() f() g()h() = g() (g() h()) = (g() h()) Esto es, hemos sustituido f() sea más sencillo de calcular por g() probablemente el nuevo límite Proposition 49 La suma de varios in nitésimos de distinto orden se puede reducir al de menor orden ( )f() f() =!0 g()!0 g()

39 .6. INFINITÉSIMOS 9 Ejemplo: Calcular!0 cos cos!0 = Como cos = sin sin cos!0 =!0 sin cuando! 0 Entonces, sin cuando! 0 Con lo que:!0 =!0 6 = 6 Otra manera de calcular este límite cos!0 = 0 0 cos ( cos ) ( + cos ) cos!0 =!0 = ( + cos )!0 ( + cos ) = sin!0 ( + cos ) = =!0 ( + cos ) =!0( + cos ) = = 6 In nitésimos más frecuentes cuando z! 0 sin z z arcsin z z tan z z arctan z z cos z z Eponenciales, logarítmicos, potencias raíces z ln( + z) e z z a z z ln a np + z n z ( + z) n n z Trigonométricos 4 sin cuando! 0 Entonces, sin cuando! 0

40 40 CHAPTER. LÍMITES Ejercicios de límites por in nitésimos Eercise.6.!0 sin 5 = 0 0 sin cuando! 0. Por lo que: sin () 5 =!0 5!0 9 =!0 5 = 9 5 cos 5 Eercise.6.!0 7 = 0 0 cos A = sin A 5 cos 5 = sin 5 sin cos 5!0 7 =!0 7 sin 5 5 cuando! 0. Por lo que: 5 5 sin 5!0 7 =!0 7 =!0 4 = 5 4 p + 7 Eercise.6. = 0! 0 Realizamos un cambio de variable Si = z;entonces = + z Además (! ), (z! 0) Con lo que: p + 7 p + z = =! r z!0! z + z r = z!0 r + z r z = z!0 z!0 + z z p + z z cuando z! 0. Con lo que: + z z!0 z = z z z!0 z = z!0 z = Nota: Otra manera de calcular este límite sin utilizar in nitésimos. p + 7 = 0! 0 p + 7 ( = p +7) p!! ( ) (+7) + p = p +7+4 ( ) Utilizando el teorema de cancelación, tendremos: p! (+7) + p = +7+4 p + p + 4 = z =! (+7) + p +7+4

41 .6. INFINITÉSIMOS 4 ln( ) Eercise.6.4! = ln 0 = 0 0 Realizamos un cambio de variable Si = z;entonces = + z Además (! ), (z! 0) Con lo que: ln( ) ln( + z) =! z!0 z Como z ln( + z) cuando z! 0; entonces: ln( + z) z = z!0 z z!0 z = Eercise.6.5 = 0!0 0 Como ln cuando! 0 ln =!0!0 =ln p Eercise.6.6 p = 0! 0 Si = z;entonces = + z Además (! ), (z! 0) Con lo que: p p + z p = p! z!0 + z p z + z p + z z cuando z! 0 z p + z p = z z!0 + z z!0 z = z!0 z = Eercise.6.7 = 0! 0 Si = z;entonces = + z Además (! ), (z! 0) Con lo que: z =! z!0 z Como z ln cuando z! 0: Entonces: z z ln = =ln z!0 z z!0 z = ln ( + ) n Eercise.6. = 0!0 0 Como ( + ) n n cuando! 0 ( + ) n n =!0!0 = n

42 4 CHAPTER. LÍMITES.7 Límites en el in nito a) f() = l (un numero real)!+ " De nición!+, " > 0 9k > 0 /si 4 Si!+ f() = l, " > 0 9k > 0 /si (k; +) D(f) 4 > K D(f) 5 ) f() (l "; l + ") 5 ) jf() lj < f() = l la recta = l es una asíntota horizontal de la función (por la derecha) b) f() = l (un numero real)! " De nición!+, " > 0 9k > 0 /si 4 Si! la izquierda) c) f() = +!+ De nición K ) f() > M f() = l, " > 0 9k > 0 /si ( ; k) D(f) 4 < K D(f) 5 ) f() (l "; l + ") 5 ) jf() lj < f() = l la recta = l es una asíntota horizontal de la función (por f() = +, M > 0 9k > 0 /si!+, M > 0 9k > 0 /si 4 d)!+ f() = De nición f() < M f() =!+, M > 0 9k > 0 /si 4 e) f() = +! De nición f() > M (k; +) D(f) 4 5 ) f() (M; +), M > 0 9k > 0 /si (k; +) D(f) 5 ) f() ( ; M) f() = +, M > 0 9k > 0 /si!, M > 0 9k > 0 /si 4 f)! f() = ( ; k) D(f) > K D(f) 4 > K D(f) 5 ) f() (M; +) 4 < K D(f) 5 > 5 ) 5 )

43 .7. LÍMITES EN EL INFINITO 4 De nición f() < M f() =, M > 0 9k > 0 /si!, M > 0 9k > 0 /si 4 g) No eistan! ( ; k) D(f) f() o!+ f() 5 ) f() ( ; M) 4 < K D(f) 5 )

44 44 CHAPTER. LÍMITES

45 Chapter Continuidad. De niciones De nition 50 Función continua a la izquierda de un punto Sea f una función de nida en un intervalo I sea 0 I:Diremos que la función f es continua a la izquierda de 0 si f() = f( 0 )! 0 De nition 5 Función continua a la derecha de un punto Sea f una función de nida en un intervalo I sea 0 I:Diremos que la función f es continua a la derecha de 0 si f() = f( 0 )! + 0 De nition 5 Función continua en un punto Sea f una función de nida en un intervalo I sea 0 I:Diremos que la función f es continua en un punto 0 si f lo es a la izquierda a la derecha de 0 : Esto equivale a a rmar que se veri can las siguientes condiciones: ) 0 D(f) (9 f( 0 )) ) 9! 0 f() )! 0 f() = f( 0 ) De nition 5 Función continua en un punto (topológica) Decir que f es continua en 0 es equivalente a las siguientes de niciones f es continua en 0 ()! 0 (f() f( 0 )) = 0 Si = 0 + h entonces decir que! 0 () h! 0; por lo que otra de nición equivalente sería: f es continua en 0 () h!0 (f( 0 + h) f( 0 )) = 0 45

46 46 CHAPTER. CONTINUIDAD ) > 0 9 > 0 si 4 j 0j < 5 entonces jf() f( 0 )j < D(f) ) > 0 9 > 0 si E ( 0 ) \ D(f) entonces f() E (f( 0 )) ) > 0 9 > 0 si ] 0 ; 0 + [\D(f) entonces f() ]f( 0 ) ; f( 0 ) + [ De nition 54 Función continua en un intervalo cerrado [a; b] f es continua en [a; b] si f lo es en ]a; b[ ; además lo es a la derecha de a a la izquierda de b Remark Función discontinua en un punto Es evidente que una función no será continua cuando fallen alguna de las tres condiciones dadas en la De nition 5. Según esto; vamos a clasi car las discontinuidades de una función en un punto. Discontinuidades De nition 55 Discontinuidad de primera especie (salto nito) Diremos que una función presenta para 0 una discontinuidad de primera especie cuando se veri que f() sea distinto del f() (independientemente de que eista o no! 0! + 0 f( 0 )) También se dice que la función presenta una discontinuidad de salto nito en 0 : De nition 56 Discontinuidad evitable Diremos que una función presenta para 0 una discontinuidad evitable en los siguientes casos:. 9f( 0 ) 9! 0 f() pero no coinciden. No eiste f( 0 ) 9! 0 f() Se denominan así, porque asignando a f( 0 ) el valor del! 0 f() la función a sería continua en 0 De nition 57 Discontinuidad de segunda especie (salto in nito) Si al menos uno de los límites f(), f() no eiste o es! 0! + 0

47 .. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS 47. Operaciones con funciones continuas Theorem 5 Si f g son continuas en 0 entonces:. f + g es continua en 0 ; R (cualquier c. lineal de funciones continuas es continua). f g es continua en 0 Theorem 59 Si f g son continuas en 0 además g( 0 ) no es nula entonces f g es continua en 0 Theorem 60 Si f es continua en 0 g es continua en f( 0 ) entonces g f es continua en 0.4 Discontinuidad de algunas funciones. Las funciones polinómicas son continuas en R. Las funciones racionales (cociente de polinomios) son discontinuas en los puntos que no pertenecen a su dominio de de nición (los que anulan el denominador). Las funciones irracionales son discontinuas en los puntos que no pertenecen a su dominio 4. Las funciones de la forma = a f() son continuas para aquellos valores que pertenezcan al D(f) 5. Las funciones de la forma = Ln f() son continuas en el conjunto f R = f() > 0g 6. las funciones de la forma = sin f() son continuas para aquellos valores que pertenezcan al D(f) 7. Las funciones de la forma = tan f() son discontinuas en el siguiente conjunto n D(f) / f() = + k siendo k Z o.5 Propiedades de las funciones continuas en un punto Theorem 6 Teorema del signo. Si una función es continua en un punto 0 además f( 0 ) es no nula; entonces, siempre podremos encontrar un entorno abierto de centro 0 radio tan pequeño como queramos en el que la función tenga el mismo signo que f( 0 ) Demostración Casos: f( 0 ) > 0

48 4 CHAPTER. CONTINUIDAD Por ser f continua en 0 ;sabemos que dado cualquier > 0 (tan pequeño como queramos) siempre podemos encontrar un > 0(que depende del elegido) de tal manera que si ] 0 ; 0 + [ entonces f() ]f( 0 ) ; f( 0 ) + [ Al ser f( 0 ) > 0, siempre podremos considerar el de tal manera que f( 0 ) > ; con lo que 0 <f( 0 ) < f() < f( 0 ) + Así pues, queda demostrado que eiste un entorno de centro 0 radio en el cual f() es positiva (basta con considerar el / f( 0 ) > ) f( 0 ) < 0 Demuéstralo tú como ejercicio Theorem 6 Relación entre continuidad acotación (localmente). Si una función es continua en un punto 0 entonces, siempre podremos encontrar un entorno abierto de centro 0 radio tan pequeño como queramos en el que la función esté acotada Demostación Por ser f continua en 0 ;sabemos que dado cualquier > 0 (tan pequeño como queramos) siempre podemos encontrar un > 0(que depende del elegido) de tal manera que si ] 0 ; 0 + [ entonces f() ]f( 0 ) ; f( 0 ) + [ En particular, si consideramos =, entonces f( 0 ) < f() < f( 0 ) + si ] 0 ; 0 + [ Acabamos de demostrar que f( 0 )+ es cota superior de f en ] 0 ; 0 + [ que f( 0 ) es cota inferior de f en ] 0 ; 0 + [ : Por lo tanto, f está acotada en ] 0 ; 0 + [ Theorem 6 Si f es continua en 0 toma valores de distinto signo en todo entorno de 0, entonces f( 0 ) = 0 Demuestra como ejercicio este teorema.6 Propiedades de las funciones continuas en un cerrado Theorem 64 de Bolzano Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a; b] toma valores de distinto signo en los etremos (f(a) f(b) < 0), entonces eiste, al menos, un punto 0 ]a; b[ tal que f( 0 ) = 0 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si una función es continua en [a; b] toma valores de distinto signo en los etremos, entonces podemos garantizar la eistencia de un punto de la grá ca (cua abcisa pertenece al ]a; b[), al menos, que corta al eje de las abcisas Theorem 65 de los valores intermedios (Teorema de Darbou) Por su complejidad, no lo demostraremos

49 .6. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN CERRADO49 Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a; b] f(a) es distinta de f(b), entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre f(a) f(b) al menos una vez en ]a; b[ Demostración Sea k R tal que f(a) < k < f(b). De nimos la función H() = f() k que es continua en [a; b] por ser combinación lineal de dos funciones continuas Como H(a) = f(a) k < 0 H(b) = f(b) k > 0; se puede aplicar el Teorema de Bolzano a la función H; por lo que podemos a rmar que eiste, al menos, un 0 ]a; b[ tal que H( 0 ) = 0. Esto es H( 0 ) = f( 0 ) k = 0! f( 0) = k INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si una función es continua en [a; b] k es tal que f(a) < k < f(b) (ó f(b) < k < f(a) ) entonces podemos garantizar la eistencia de un 0 ]a; b[ tal que f( 0 ) = k (su imagen coincide con k) Theorem 66 de acotación en [a; b] Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a; b], entonces f está acotada en [a; b] Theorem 67 de Weierstrass Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a; b],entonces. 9 0 [a; b] = f( 0 ) f() [a; b] (P( 0 ; f( 0 )) máimo absoluto de f en [a; b]). 9 [a; b] = f( ) f() [a; b] (P( ; f( )) mínimo absoluto de f en [a; b]) Demostración Como f es continua en [a; b], entonces por el teorema anterior f está acotada en [a; b]. Casos: Sea M = sup ff()= [a; b]g 4! f() M ; [a; b] Supongamos que el máimo de f en [a; b] no se alcanza en el susodicho intervalo, entonces se veri cará f() < M ; [a; b] De nimos la función H() = ; por de nición H() > 0 [a; b] M f() Además H es continua en [a; b] por ser división de funciones continuas (a que el denominador no se anula). En virtud del teorema de acotación, podemos a rmar que H está acotada en [a; b] : Si está acotada, lo estará superiormente por consiguiente: 9 k R + / H() < k =) M f() < k =) f() < M k Por su complejidad, no lo demostraremos 4 Eiste por el aioma del supremo, que dice: Todo subconjunto de números reales acotado superiormente tiene supremo ( la más pequeña de las cotas superiores)

50 50 CHAPTER. CONTINUIDAD Luego M es una cota superior de f en [a; b] además menor que M. k Esto contradice la hipótesis de que M es el supremo Así pues, lo que hemos supuesto es falso por lo tanto podemos a rmar que 9 0 [a; b] = f( 0 ) = M!(P( 0 ; f( 0 )) máimo absoluto de f en [a; b]) Sea m = inf ff()= [a; b]g 5! f() m ; [a; b] Supongamos que el mínimo de f en [a; b] no se alcanza en el susodicho intervalo, entonces se veri cará f() > m ; [a; b] De nimos la función H() = ; por de nición H() < 0 [a; b] m f() Además H es continua en [a; b] por ser división de funciones continuas (a que el denominador no se anula).en virtud del teorema de acotación, podemos a rmar que H está acotada en [a; b] : Si está acotada, lo estará inferiormente por consiguiente 9 k R / H() > k =) m f() > k =) f() > m k Luego m es una cota inferior de f en [a; b] además maor que m. Esto k contradice la hipótesis de que m es el ín mo. Así pues, lo que hemos supuesto es falso por lo tanto podemos a rmar que 9 [a; b] = f( ) = m!(p( ; f( )) mínimo absoluto de f en [a; b]) Remark Toda función continua f en [a; b] tiene la propiedad siguiente: transforma intervalos cerrados en intervalos cerrados f([a; b]) = [m; M] donde m = min ff()= [a; b]g M = ma ff()= [a; b]g Corollar 6 Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a; b] ;m no coincide con M 6 además k R / m < k < M, entonces podemos garantizar la eistencia de, al menos, un 0 [a; b] tal que f( 0 ) = k (su imagen coincide con k) Este corollar se puede demostrar facilmente utilizando los teoremas de Darbou Weierstrass. Demuéstralo 5 Eiste por el aioma del ín mo, que dice: Todo subconjunto de números reales acotado inferiormente tiene ín mo ( la más grande de las cotas inferiores) 6 m = min ff()= [a; b]g M = ma ff()= [a; b]g

51 .7. PROBLEMAS CONTINUIDAD 5.7 Problemas continuidad Eercise.7. Halla el dominio de continuidad de la siguientes funciones: = + + = jj = 5 + = jj = = cos = p 5 = ln r + = = cos Eercise.7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones f() = f() = ln(cos ) sen f() = tan f() = p 4 f() = f() = si 6= = j 9j si 6= 0 = f() = tan( 5 + 4) f() = E [] f() = E >< Eercise.7. Dada la función f() = >: tipos de discontinuidad indicando de qué tipo son si < si < si = 7 si >. Halla sus Eercise.7.4 Estudia la continuidad de la función f() = E() ( e Eercise.7.5 Estudia la continuidad de la función f() = e si si > 0 Eercise Estudia la continuidad de la función f() = tan en el + tan intervalo ] ; [. Rede ne la función para que sea continua en ese intervalo 7 Este ejercicio lo podrás resolver cuando estudies L Hopital

52 5 CHAPTER. CONTINUIDAD Eercise.7.7 Cuáles de las siguientes funciones son continuas en el entorno de = 0? si 0 a) f() = b) f() = ln si > 0 demuestra, utilizando la de ni- Eercise.7. Dada la función f() = ción topológica, que es continua para = Eercise.7.9 Dada la función f() = + demuestra, utilizando la de nición topológica, que es continua para = Eercise.7.0 Dada la función f() = determina los valores + para los cuales es continua. Clasi ca las discontinuidades Eercise.7. Sea una función f() continua para = a tal que f(a) = 0 sea g() una función que está acotada en un entorno reducido de a. Demuestra que si eiste g(a) entonces la función producto( f g) es continua para = a si Eercise.7. Sea f() = Determinar si la función es + si > continua, para = ; calculando sus límites laterales su imagen + Eercise.7. Dada la función f() =, determina si es continua para = calculando (f( + h) f()) + h!0 + 4 si < >< Eercise.7.4 Sea f() = si < 0 >: si 0 Clasi ca las discon- Determinar los valores para los cuales es continua. tinuidades Eercise.7.5 Dada la función f() = k para que la función sea continua para = si no es cero si = 0 k determina Eercise.7.6 Dada la función f() = si < m + 5 si determina m para que la función sea continua para = Eercise.7.7 Dada la función f() = Hallar m sabiendo que + m la función no es continua para =. Después clasi ca sus discontinuidades >< Eercise.7. Hallar a b de modo que la siguiente función f() = >: sea continua (f g)() = f() g() a( ) para < 0 sin(b + ) para 0 < < para >

53 .7. PROBLEMAS CONTINUIDAD 5 < si < 0 Eercise.7.9 Dada la función f() = a + b si 0 < : si a b para que la función ssea continua : Hallar ln si 0 < < Eercise.7.0 Se considera la función f() = a + b si Determina los valores de a b para que la función sea continua f() =. Eercise.7. Calcula los valores que deben tener a b para que f() = sin >< si < 0 a si = 0 sea continua en < >: cos b si > 0 Eercise.7. Dada la función f() = el intervalo I =] ; [. + Halla f(i) f (I) Eercise.7. Dada la función f() = +6 los intervalos I =] ; [ I = [ ; ]. Determina : f(i) 6 ; f(j); f (4) f(]0; 4[) Eercise.7.4 Dada la ecuación 0 = + 5, demuestra que eiste al menos una solución real comprendida entre :Determínala con una cifra decimal eacta (Aplica el teorema de Bolzano a la función f() = + en el intervalo[; ]; después divide este intervalo en diez partes iguales...) Eercise.7.5 Si f() = + +. Eiste un entorno de = en el que la función esté acotada por 5 7? Eercise.7.6 Dada la ecuación 0 = +, demuestra que eiste una solución real comprendida entre 0 :Determínala con una cifra decimal eacta (Aplica el teorema de Bolzano a la función f() = + en el intervalo[0; ]; después divide este intervalo en diez partes iguales...) Eercise.7.7 Dada la ecuación = + ;demuestra que eiste una solución, al menos, en el intervalo [; ] :Determínala con dos cifras decimales eactas (Aplica el teorema de Bolzano a la función f() = en el intervalo [; ] ;después divide este intervalo en...) Eercise.7. h Demuestra que la ecuación cos = solución en 0; i tiene al menos una Eercise.7.9 Demuestra que la ecuación cos = tiene al menos una solución en [0; ]. Determínala con dos cifras decimales eactas Eercise.7.0 La función f() = + toma todos los valores comprendidos entre 7 4?. Y entre -4?. Indica en qué teoremas te basas

54 54 CHAPTER. CONTINUIDAD Eercise.7. Invéntate una función que sea continua en ]0; ] que sin embargo no tenga máimo en ese intervalo. Contradice este ejemplo el teorema de Weierstrass Eercise.7. Invéntate una función que sea continua en ]a; b[ que sin embargo no tenga máimo ni mínimo en ese intervalo. Contradice este ejemplo el teorema de Weierstrass Eercise.7. Sean f g dos funciones continuas en [a; b], tales que f(a) > g(a) f(b) < g(b):demuestra que 9c [a; b]=f(c) = g(c) Eercise.7.4 Sea f una función continua en [0; ] 0 f(). Demuestra que eiste al menos un punto 0 [0; ] tal que f( 0 ) = 0 Eercise.7.5 Sea f una función continua en [0; ], tal que f() es racional f( ) =. Demuestra que la función f es constante, siendo f() = [0; ] < + < Eercise.7.6 Dada la función f() = 5 = : + 4 > Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es + < Eercise.7.7 Dada la función f() = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo + 4 > + Eercise.7. Dada la función f() = + 4 > Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es < + 6= Eercise.7.9 Dada la función f() = : 5 = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es < + 6= Eercise.7.40 Dada la función f() = : 0 = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es Eercise.7.4 Dada la función f() = ( ) Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es Eiste alguna asíntota vertical?

55 .7. PROBLEMAS CONTINUIDAD 55 Eercise.7.4 Dada la función f() = ( ) Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es Eiste alguna asíntota vertical? >< < 0 Eercise.7.4 Dada la función f() = >: > 0 Estudia su continuidad para = 0. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es Eiste alguna asíntota vertical? >< < Eercise.7.44 Dada la función f() = >: > Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es Eiste alguna asíntota vertical? < Eercise.7.45 Dada la función f() = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es + > < < Eercise.7.46 Dada la función f() = 5 = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es : + > < < 5 Eercise.7.47 Dada la función f() = 5 Estudia su continuidad para = 5. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es : + 5 < < 5 Eercise.7.4 Dada la función f() = 5 Estudia su continuidad para = 5. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es : + 5 < 4 Eercise.7.49 Dada la función f() = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo es : > < Eercise.7.50 Dada la función f() = Estudia su continuidad para =. En caso de ser discontinua, clasi ca de qué tipo : > es Eercise.7.5 De las funciones dadas estudia su continuidad. Clasi ca sus discontinuidades

56 56 CHAPTER. CONTINUIDAD f() = 5 f() = + 5 Eercise.7.5 De las siguientes funciones f() = 9 f() = + f() = f() = Estudia su dominio de de nición, el dominio de continuidad, puntos de corte con los ejes de coordenadas además la grá ca con la información obtenida f()!+! f(): Intenta dibujar

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