TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD"

Transcripción

1 Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos, que llmremos conjunto inicil y conjunto finl, respectivmente, un función, f, de A en B, f: A B,relcion cd elemento de A con un único elemento de B. Si A está relciondo con b B se escribe f() b y se dice que b es l imgen de y que es l ntiime de b. Se llm dominio de un función f, y se represent por Dom(f), l conjunto formdo por los elementos de A que tienen imgen: Dom(f) { A / f() B} Un elemento culquier del conjunto Dom(f) se represent por l letr y se denomin vrible independiente. Cd elemento de Dom(f) tiene por imgen, medinte l función f, un elemento de B que se represent por y, que es l vrible dependiente. Esto se epres escribiendo y f(). Se llm recorrido o imgen de un función, se represent por Im f, l conjunto formdo por ls imágenes de los elementos del dominio Im f {f() / Dom(f)} Si en un función el conjunto inicil y conjunto finl están formdos por números reles, entonces se dice que es un función rel de vrible rel, f: R R, f: D R R yf() L representción gráfic de un función permite visulizr de un modo clro y preciso su comportmiento. El conjunto de los pres de números (, y) determindos por l función recibe el nombre de grfo o gráfic de l función. Pr obtener los pres bst con dr vlores l vrible independiente, y obtener los correspondientes de l vrible dependiente y, formndo sí un tbl de vlores de l función. Un vez obtenidos los pres de números, se representn en un sistem de ejes crtesinos, que consiste en dos ejes perpendiculres que se cortn en un punto, llmdo origen de coordends, y representdo por O ; el eje horizontl recibe el nombre de eje de bsciss, y en él se representn los vlores de l vrible independiente; el eje verticl recibe el nombre de eje de ordends, y en él se representn los vlores de l vrible dependiente. Cd pr de números corresponde l un punto del plno. Uniendo todos los puntos, se obtiene l gráfic de l función. b f(l)

2 Funciones elementles. Funciones polinómics: Tienen por epresión lgebric un polinomio, es decir: f() n n n- n- El dominio de culquier función polinómic siempre es R, Dom(f) R Dentro de ls función polinómics tienen especil importnci ls funciones lineis y ls funciones cudrátics.. Función linel: Tiene por epresión y f() m n, (en sentido estrico, cundo n, se llmrí función fín) Su gráfic es un rect, que por el origen si n es m es l pendiente de l rect, tngente del ángulo que form l rect con l prte positiv del eje de bsciss n es l ordend en el origen, es el punto donde l gráfic cort l eje de ordends Se m, se reduce y n, se trt de un función constnte cuy gráfic es un rect horizontl Dos rects que sen prlels tienen l mism pendiente Se dos rects son perpendiculres, sus pendientes verificn que m -/m Ls rects verticles, prlels l eje de ordends, tienen por ecución, y no son funciones. Función cudrátic: Tiene por epresión un polinomio de segundo grdo, y f() b c Su gráfic es un prábol con eje de simetrí prlelo l eje OY Si >,l prábol es conve ( bre hci rrib ) y si < l prábol es cóncv ( bre hci bjo ) Cort l eje OX en ls soluciones de l ecución b c Cort l eje OY en el punto (,c) Vértice será el punto V(V, V y ), con V -b/,y pr clculr V y se sustitue V en l epresión de l función Eje de simetrí es l rect -b/ Ejemplo: y -

3 . Funciones rcionles: Su epresión lébric es el cociente de dos polinomios P( ) y f() Q( ) El dominio de un función rcionl está formdo por todos los números reles ecepto los que nuln el denomindor: Dom(f) R { / Q() } Un cso prticulr de ests funciones son ls funciones de proporcionlidde invers, yk/, cuy gráfic son hipérbols equiláters > <. Funciones irrcionis: L epresión es y f() n g ( ) El dominio será: Dom(f) R en cso de que n se impr Dom(f) R { / g() < } en cso de que n se pr 4. Función epoñencil: L epresión es y f(), donde es positivo y distinto de Dom(f) R Im(f) R, (ls imágenes son siempre positivs) Se > l función crece l medid que ument Se < l función decrece l medid que ument

4 5. Función logrítmic:l epresión es y f() log, donde es positivo y Dom(f) (, ), (el logritmo de los negtivos y del no son números reles) Im(f) R Se >es creciente Si l <es decrecente Cort l eje OX en el punto (,) L función logrítmic de bse es l función invers de l epoñencil de bse Funciones trigonométrics Función seno: y f() sen Función coseno: y f() cos Función tngente: y f() tg El dominio de ls funciones seno y coseno es R π El dominio de l función tngente es R { ± kπ, k Z }

5 Ejercicios: ) Clculr el dominio de ls siguientes funciones: ) f () b) f () 4 c) f () 4 d) f () e) f () 4 f ) f () 4 g) f () h) f () 4 i) f () j) f () k) f () sen cos l)f () ln 4 ) Clculr el dominio y l imgen: y

6 IDEA DEL CONCEPTO DE LÍMITE El concepto de límite de un función en un punto es uno de los más importntes en mtemátics, sirve pr responder l pregunt: A que vlor se proim l vrible dependiente cundo l vrible independiente se proim un cierto vlor?. Como por ejemplo: Considermos l función y f(), queremos sber que vlor se proim l vrible y cundo l vrible se proim. Si hcemos uns tbls de vlores tenemos: f()? f()? De l primer tbl, deducimos que cuándo nos proimmos por l izquierd l función tom vlores próimos 7, esto quiere decir que el límite lterl por l izquierd de l función f en el punto es 7, y se escribe: f ( ) 7 De l segund tbl, deducimos que cuándo nos proimmos por l derech l función tom vlores próimos 7, esto quiere decir que el límite lterl por l derech de l función f en el punto es 7, y se escribe: f ( ) 7 Por lo tnto, podemos decir que cuándo nos proimmos l función tom vlores próimos 7, es decir, el límite de l función en el punto es 7 f ( ) 7 L epresión f ( ) b, que se lee el límite de f() cundo tiende es b, quiere decir que si tom vlores próimos l número entonces los correspondientes vlores de f() se proimn l número b. Evidentemente, pr que eist el límite en un punto tienen que eistir los límites lterles y ser igules y el límite de un función en un punto, si eiste, es único Ejemplo: Considermos l función prte enter de, y f() E() (myor de los números enteros menores o igules que )

7 f()... f() Por tnto: f() y f() luego no eiste f() Es importnte comprender que pr que el límite de un función en se b, no hce flt sber lo que ocurre ectmente en el punto y sí lo que ocurre su lrededor. De hecho, un función puede no estr definid en el punto y sí tener límite en ese punto. Límites infinitos y límites en el infinito Diremos que el límite de un función en el punto es, f(), cundo los vlores de l vrible independiente se cercn l vlor entonces los correspondientes vlores de f() se hcen cd vez más grndes. E: f() / f() Por lo tnto: f() De form nálog se define f(), cundo los vlores de l vrible independiente se cercn l vlor entonces los vlores correspondientes de f() se hcen cd vez más grndes en vlor bsoluto pero negtivos. Diremos que el límite de l función f() cundo tiende l es b, f() b, si cundo los vlores de l vrible independiente se están hciendo cd vez myores entonces los correspondientes vlores de f() se cercn l vlor b

8 li m f ( ) De mner nálog se definen: f() b,, f() y f() por ejemplo: f() f().... Entonces: f() Ejercicio: Dd l función: y Clcul f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 f ( ) 7 f ( ) 7 f ( ) f ( ) f ( )

9 Propieddes de los límites Sen f y g dos funciones tles que: f() A e g() B, entonces (siempre que tengn sentido los resultdos obtenidos) se verific que: Operciones con epresiones infinits ( ) l ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ± l) ± ( ) ( ) ( ) ( ± l) ( ) ( ) l ± ± ± ± ( ) ( ) ( ) ( ) l > ( ) ( ) ( l) ( l) l l ( ) ( ) < l < l l ( ) ( ) Ests igulddes solo tienen sentido entendiéndols cómo límites Indeterminciones,,,,,,, En generl, pr clculr el límite de un función en un punto, se estudi hci que vlor tienden los vlores de l función en ls cercnís del punto. Si l sustituir el vlor de por el vlor l que tiende se obtienen resultdos con sentido, estremos en un cso de un

10 límite determindo y el proceso concluirá; si l relizr l sustitución se obtiene lgún tipo de indeterminción, estremos nte un cso indetermindo y deberá mnipulrse l epresión pr conseguir otr epresión equivlente en l que ls operciones que prezcn tengn sentido. Vemos como se pueden resolver lgunos csos:. Pr clculr límites cundo tiende l -, y con el fin de evitr confusiones de signo, se pode utilizr l siguiente iguldd: f() f( ). Polinomios en el infinito: Pr clculr el límite en el infinito de un polinomio, bst con considerr el término de myor grdo (el resultdo será ± dependiendo del signo del coeficiente principl). Rcionles en el infinito: En este cso resultrá l indeterminción, pr deshcerl se pode dividir numerdor y denomindor por l máim potenci de que prece en l frcción. El cálculo del límite pode relizrse más rápido considerndo sólo los términos de myor grdo del numerdor y denomindor, sí: El resultdo será, si el grdo del denomindor es myor El resultdo será ±, si el grdo del denomindor es menor ( el signo dependerá de los signos de los coeficientes principles) El resultdo será el cociente de los coeficientes principles, si los grdos son igules 4. Indeterminción, con. Se clculn los límites lteris y el resultdo será ±, si los dos límites lteris dn el incluso, o que no eiste si los límites lteris no son igules. 5. Diferenci de epresiones infinits. Cundo result l epresión hy ocsiones en que se pode operr l epresión y otrs en que conviene multiplicr y dividir por l epresión conjugd. 6. Indeterminción. Pr resolver est indeterminción utilizremos l definición del número e: e f () f() Trnsformndo l epresión que tengmos podemos llegr l un epresión dier tipo. Tmbién se pode utilizr l siguiente regl: f() f() g() g() (f() ) e

11

12

13 ASÍNTOTAS Ls síntots de un función son rects ls que se proim l función cundo tiende un vlor rel o ±,es decir, son rects tles que l distnci entre l gráfic de l función y l rect tiende l cero cundo l distnci l origen de coordends tiende infinito. Pueden ser horizontis, verticles u oblicus. Asíntots horizontis L rect y k es un síntot horizontl de l función f se eiste lguno de los límites siguientes: f() k ± Pr sber si l proimción l síntot es por rrib o por bjo se estudi el signo de f() k cundo ± Asíntots verticles A rect l es un síntot verticl de l función f se eiste por lo menos lguno de los siguientes límites: f() ±, f() ±, f() ± L situción de l gráfic de l función con relción l síntot se obtiene clculndo los límites lteris y viendo sí vlen ou Asíntots oblicus L rect y m n es un síntot oblicu de l función f se eiste lguno de los siguientes límites: (f() m n) Pr clculr m y n:. ± m n f() ± (f() ± m)

14 Pr sber si l proimción es por rrib o por bjo se estudi el signo de f() (m n) cundo ± Observciones: - Un función no puede tener más de dos síntots horizontis u oblicus, es decir, A.H. A.O. - Un función puede tener infinits síntots verticles - L gráfic de l función puede cortr ls síntots horizontis y oblicus en un o vrios puntos - En ls funciones rcionles simplificds, ls síntots verticles se clculn tomndo los vlores que nuln el denomindor - Pr que un función rcionl teng síntots oblicus es necesrio que el grdo del numerdor se un unidd myor que el grdo del denomindor. En este cso, pr clculr l síntot bst con hcer l división enter Ejercicio: Estudir ls síntots y l posición de l gráfic respeto de ells de: 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ).

15 CONTINUIDAD L ide de que un función es continu en un punto cundo se pode dibujr sin levntr el lápiz del ppel l psr por ese punto, o cundo es un función que no present sltos ni gujeros en ese punto, son proimciones intuitivs l concepto de continuidd. Ests primers proimciones pueden clrr ides y fcilitr l decisión sobre si un función cumple o no est propiedd, pero es preciso definir de form mtemátic el concepto de continuidd. Un función f es continu en un punto l de su dominio si f() f() L definición implic que se tiene que cumplir que: - Eiste límite de l función en el punto - L función está definid en, eiste f() - Ambos vlores son igules Cundo solo eist o coincid el límite por l derech, diremos que es continu por l derech. Anlogmente pr l izquierd. Un función es continu en el intervlo (, b) cundo lo es en cd uno de sus puntos y es continu en el intervlo [, b] cundo lo es en (, b) y demás es continu por l derech en y continu por l izquierd en b Cundo un función no es continu en un punto diremos que es discontinu en ese punto, y podemos distinguir distintos tipos de descontinuidde: Ej:. Discontinuidd evitble: eiste el límite pero no coincide con f(l) f() f(). Discontinuidd de ª especie o de slto: Eisten los límites lteris, pero no son igules l f() f() l En este cso se llm slto de l función l l. Si los dos límites lteris son finitos se dice que es un discontinuiddei de slto finito, y si lguno de ellos es infinito, se dice que es un discontinuidd de slto infinito. Ej: f() se se <

16 . Discontinuidd de ª especie: Cundo lguno (o mbos) de los límites lteris no eiste Ej: f() sen se se Propieddes de ls funciones continus. Si f() y g() son funciones continus en, entonces tmbién son continus en ls funciones: f g, f g, f g y f/g (si g() ). L función polinómic, y P(), es continu en todo R P(). L función rcionl, y, es continu en todo R ecepto los puntos que Q() nuln el denomindor 4. L función irrcionl, y n P (), es continu en su dominio 5. L función eponencil, y, es continu en todo R 6. L función logritmo, y log, es continu en (, ) 7. En generl, ls funciones elementles son continus en su dominio 8. Si f() es continu en y g() es continu en el punto f() entonces l función compuest g o f es continu en

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bch 1 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de un función en un punto f () l Se lee: El

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones

Límite y Continuidad de Funciones CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse

Más detalles

1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor? En generl, pr tener un ide de l respuest

Más detalles

Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í

Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Autoevlución Págin Clcul los siguientes lmites: ) b) e log( ) 6 5 c) ) ` j 6 5 ( ) ( ) 6 ( 5 ) 6 5 6 6 ( 5 )( 5 ) 6 5 b) e log( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 c) k ( ) ( ) ( )(

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Introducción Ide de ite Propieddes de los ites Operciones con. Indeterminciones Regls práctics pr l obtención del ite Asíntots horizontles y verticles Continuidd

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl CONCEPTOS BÁSICOS Se llm función rel de vrible rel culquier plicción f : D R con D Œ R, es decir, culquier

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

Límite - Continuidad

Límite - Continuidad Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

a) Determínense los valores de a y b que hacen que f sea continua en x = 1 y que f = ( ) ( ) ( ) 1 b

a) Determínense los valores de a y b que hacen que f sea continua en x = 1 y que f = ( ) ( ) ( ) 1 b Modelo 4. Problem B.- (Cliicción máim: puntos) Se b > ) Determínense los vlores de y b que hcen que se continu en y que 4. Pr que l unción se continu en, se debe cumplir: ( ) ( b) b b : b b Además, b 4

Más detalles

Funciones trascendentes

Funciones trascendentes Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) = f ( ), lo que se

Más detalles

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b. TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II Alfonso González I.E.S. Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) CONCEPTO DE FUNCIÓN: Un función es un plicción que hce corresponder

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Límite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1

Límite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor 0? En generl, pr tener un ide de l respuest

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0 FUNCIONES FUNCIÓN: RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN ÚNICO VALOR DE Y X: vrible independiente Y: vrible dependiente f()= Notción: f(2)=4, si =2, entonces =4

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I I) IDEA INTUITIVA DE L Ejemplo : L función no está definid

Más detalles

Funciones Algebraicas

Funciones Algebraicas 1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión

Más detalles

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍITE DE UNA FUNCIÓN. Limite de un unción en un punto.. Límites lterles.. Limites ininitos.. Límites en el ininito.. Propieddes de los límites. 6. Operciones con ininito. 7. Cálculo de límites. 8. Cálculo

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número

Más detalles

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2. FUNCINES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2.. Límite de un unción en un punto 2.2. LÍMITES Se = () un unción deinid en un entorno del punto R (unque

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005

La Hipérbola. César Román Martínez García  Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005 L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS. TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

lím 1 si x=0 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π/2: sen x y = arc tg 1+cos x

lím 1 si x=0 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π/2: sen x y = arc tg 1+cos x CURSO 4-5. de myo de 5. ) Clcul los siguientes ites: (+e ) / sen(/) ) Estudi l continuidd de l siguiente función: +e/ f() -e / si si ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l siguiente función en

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1.

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1. 1) NÚMEROS NATURALES Son números que sirven pr contr. Descomposición polinómic de un número. Ej : 1.34.567 1: Uniddes de millón : Centens de millr 3: Decens de millr 4: Uniddes de millr 5: Centens 6: Decens

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes.

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes. Integrción El cálculo integrl es de grn importnci en muchs áres de estudio, como l economí, l biologí, l químic, l físic y l mtemátic en generl. Ls plicciones más conocids del cálculo integrl son en: 1.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Circunferencia y elipse

Circunferencia y elipse GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles