TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos, que llmremos conjunto inicil y conjunto finl, respectivmente, un función, f, de A en B, f: A B,relcion cd elemento de A con un único elemento de B. Si A está relciondo con b B se escribe f() b y se dice que b es l imgen de y que es l ntiime de b. Se llm dominio de un función f, y se represent por Dom(f), l conjunto formdo por los elementos de A que tienen imgen: Dom(f) { A / f() B} Un elemento culquier del conjunto Dom(f) se represent por l letr y se denomin vrible independiente. Cd elemento de Dom(f) tiene por imgen, medinte l función f, un elemento de B que se represent por y, que es l vrible dependiente. Esto se epres escribiendo y f(). Se llm recorrido o imgen de un función, se represent por Im f, l conjunto formdo por ls imágenes de los elementos del dominio Im f {f() / Dom(f)} Si en un función el conjunto inicil y conjunto finl están formdos por números reles, entonces se dice que es un función rel de vrible rel, f: R R, f: D R R yf() L representción gráfic de un función permite visulizr de un modo clro y preciso su comportmiento. El conjunto de los pres de números (, y) determindos por l función recibe el nombre de grfo o gráfic de l función. Pr obtener los pres bst con dr vlores l vrible independiente, y obtener los correspondientes de l vrible dependiente y, formndo sí un tbl de vlores de l función. Un vez obtenidos los pres de números, se representn en un sistem de ejes crtesinos, que consiste en dos ejes perpendiculres que se cortn en un punto, llmdo origen de coordends, y representdo por O ; el eje horizontl recibe el nombre de eje de bsciss, y en él se representn los vlores de l vrible independiente; el eje verticl recibe el nombre de eje de ordends, y en él se representn los vlores de l vrible dependiente. Cd pr de números corresponde l un punto del plno. Uniendo todos los puntos, se obtiene l gráfic de l función. b f(l)

2 Funciones elementles. Funciones polinómics: Tienen por epresión lgebric un polinomio, es decir: f() n n n- n- El dominio de culquier función polinómic siempre es R, Dom(f) R Dentro de ls función polinómics tienen especil importnci ls funciones lineis y ls funciones cudrátics.. Función linel: Tiene por epresión y f() m n, (en sentido estrico, cundo n, se llmrí función fín) Su gráfic es un rect, que por el origen si n es m es l pendiente de l rect, tngente del ángulo que form l rect con l prte positiv del eje de bsciss n es l ordend en el origen, es el punto donde l gráfic cort l eje de ordends Se m, se reduce y n, se trt de un función constnte cuy gráfic es un rect horizontl Dos rects que sen prlels tienen l mism pendiente Se dos rects son perpendiculres, sus pendientes verificn que m -/m Ls rects verticles, prlels l eje de ordends, tienen por ecución, y no son funciones. Función cudrátic: Tiene por epresión un polinomio de segundo grdo, y f() b c Su gráfic es un prábol con eje de simetrí prlelo l eje OY Si >,l prábol es conve ( bre hci rrib ) y si < l prábol es cóncv ( bre hci bjo ) Cort l eje OX en ls soluciones de l ecución b c Cort l eje OY en el punto (,c) Vértice será el punto V(V, V y ), con V -b/,y pr clculr V y se sustitue V en l epresión de l función Eje de simetrí es l rect -b/ Ejemplo: y -

3 . Funciones rcionles: Su epresión lébric es el cociente de dos polinomios P( ) y f() Q( ) El dominio de un función rcionl está formdo por todos los números reles ecepto los que nuln el denomindor: Dom(f) R { / Q() } Un cso prticulr de ests funciones son ls funciones de proporcionlidde invers, yk/, cuy gráfic son hipérbols equiláters > <. Funciones irrcionis: L epresión es y f() n g ( ) El dominio será: Dom(f) R en cso de que n se impr Dom(f) R { / g() < } en cso de que n se pr 4. Función epoñencil: L epresión es y f(), donde es positivo y distinto de Dom(f) R Im(f) R, (ls imágenes son siempre positivs) Se > l función crece l medid que ument Se < l función decrece l medid que ument

4 5. Función logrítmic:l epresión es y f() log, donde es positivo y Dom(f) (, ), (el logritmo de los negtivos y del no son números reles) Im(f) R Se >es creciente Si l <es decrecente Cort l eje OX en el punto (,) L función logrítmic de bse es l función invers de l epoñencil de bse Funciones trigonométrics Función seno: y f() sen Función coseno: y f() cos Función tngente: y f() tg El dominio de ls funciones seno y coseno es R π El dominio de l función tngente es R { ± kπ, k Z }

5 Ejercicios: ) Clculr el dominio de ls siguientes funciones: ) f () b) f () 4 c) f () 4 d) f () e) f () 4 f ) f () 4 g) f () h) f () 4 i) f () j) f () k) f () sen cos l)f () ln 4 ) Clculr el dominio y l imgen: y

6 IDEA DEL CONCEPTO DE LÍMITE El concepto de límite de un función en un punto es uno de los más importntes en mtemátics, sirve pr responder l pregunt: A que vlor se proim l vrible dependiente cundo l vrible independiente se proim un cierto vlor?. Como por ejemplo: Considermos l función y f(), queremos sber que vlor se proim l vrible y cundo l vrible se proim. Si hcemos uns tbls de vlores tenemos: f()? f()? De l primer tbl, deducimos que cuándo nos proimmos por l izquierd l función tom vlores próimos 7, esto quiere decir que el límite lterl por l izquierd de l función f en el punto es 7, y se escribe: f ( ) 7 De l segund tbl, deducimos que cuándo nos proimmos por l derech l función tom vlores próimos 7, esto quiere decir que el límite lterl por l derech de l función f en el punto es 7, y se escribe: f ( ) 7 Por lo tnto, podemos decir que cuándo nos proimmos l función tom vlores próimos 7, es decir, el límite de l función en el punto es 7 f ( ) 7 L epresión f ( ) b, que se lee el límite de f() cundo tiende es b, quiere decir que si tom vlores próimos l número entonces los correspondientes vlores de f() se proimn l número b. Evidentemente, pr que eist el límite en un punto tienen que eistir los límites lterles y ser igules y el límite de un función en un punto, si eiste, es único Ejemplo: Considermos l función prte enter de, y f() E() (myor de los números enteros menores o igules que )

7 f()... f() Por tnto: f() y f() luego no eiste f() Es importnte comprender que pr que el límite de un función en se b, no hce flt sber lo que ocurre ectmente en el punto y sí lo que ocurre su lrededor. De hecho, un función puede no estr definid en el punto y sí tener límite en ese punto. Límites infinitos y límites en el infinito Diremos que el límite de un función en el punto es, f(), cundo los vlores de l vrible independiente se cercn l vlor entonces los correspondientes vlores de f() se hcen cd vez más grndes. E: f() / f() Por lo tnto: f() De form nálog se define f(), cundo los vlores de l vrible independiente se cercn l vlor entonces los vlores correspondientes de f() se hcen cd vez más grndes en vlor bsoluto pero negtivos. Diremos que el límite de l función f() cundo tiende l es b, f() b, si cundo los vlores de l vrible independiente se están hciendo cd vez myores entonces los correspondientes vlores de f() se cercn l vlor b

8 li m f ( ) De mner nálog se definen: f() b,, f() y f() por ejemplo: f() f().... Entonces: f() Ejercicio: Dd l función: y Clcul f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 f ( ) 7 f ( ) 7 f ( ) f ( ) f ( )

9 Propieddes de los límites Sen f y g dos funciones tles que: f() A e g() B, entonces (siempre que tengn sentido los resultdos obtenidos) se verific que: Operciones con epresiones infinits ( ) l ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ± l) ± ( ) ( ) ( ) ( ± l) ( ) ( ) l ± ± ± ± ( ) ( ) ( ) ( ) l > ( ) ( ) ( l) ( l) l l ( ) ( ) < l < l l ( ) ( ) Ests igulddes solo tienen sentido entendiéndols cómo límites Indeterminciones,,,,,,, En generl, pr clculr el límite de un función en un punto, se estudi hci que vlor tienden los vlores de l función en ls cercnís del punto. Si l sustituir el vlor de por el vlor l que tiende se obtienen resultdos con sentido, estremos en un cso de un

10 límite determindo y el proceso concluirá; si l relizr l sustitución se obtiene lgún tipo de indeterminción, estremos nte un cso indetermindo y deberá mnipulrse l epresión pr conseguir otr epresión equivlente en l que ls operciones que prezcn tengn sentido. Vemos como se pueden resolver lgunos csos:. Pr clculr límites cundo tiende l -, y con el fin de evitr confusiones de signo, se pode utilizr l siguiente iguldd: f() f( ). Polinomios en el infinito: Pr clculr el límite en el infinito de un polinomio, bst con considerr el término de myor grdo (el resultdo será ± dependiendo del signo del coeficiente principl). Rcionles en el infinito: En este cso resultrá l indeterminción, pr deshcerl se pode dividir numerdor y denomindor por l máim potenci de que prece en l frcción. El cálculo del límite pode relizrse más rápido considerndo sólo los términos de myor grdo del numerdor y denomindor, sí: El resultdo será, si el grdo del denomindor es myor El resultdo será ±, si el grdo del denomindor es menor ( el signo dependerá de los signos de los coeficientes principles) El resultdo será el cociente de los coeficientes principles, si los grdos son igules 4. Indeterminción, con. Se clculn los límites lteris y el resultdo será ±, si los dos límites lteris dn el incluso, o que no eiste si los límites lteris no son igules. 5. Diferenci de epresiones infinits. Cundo result l epresión hy ocsiones en que se pode operr l epresión y otrs en que conviene multiplicr y dividir por l epresión conjugd. 6. Indeterminción. Pr resolver est indeterminción utilizremos l definición del número e: e f () f() Trnsformndo l epresión que tengmos podemos llegr l un epresión dier tipo. Tmbién se pode utilizr l siguiente regl: f() f() g() g() (f() ) e

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13 ASÍNTOTAS Ls síntots de un función son rects ls que se proim l función cundo tiende un vlor rel o ±,es decir, son rects tles que l distnci entre l gráfic de l función y l rect tiende l cero cundo l distnci l origen de coordends tiende infinito. Pueden ser horizontis, verticles u oblicus. Asíntots horizontis L rect y k es un síntot horizontl de l función f se eiste lguno de los límites siguientes: f() k ± Pr sber si l proimción l síntot es por rrib o por bjo se estudi el signo de f() k cundo ± Asíntots verticles A rect l es un síntot verticl de l función f se eiste por lo menos lguno de los siguientes límites: f() ±, f() ±, f() ± L situción de l gráfic de l función con relción l síntot se obtiene clculndo los límites lteris y viendo sí vlen ou Asíntots oblicus L rect y m n es un síntot oblicu de l función f se eiste lguno de los siguientes límites: (f() m n) Pr clculr m y n:. ± m n f() ± (f() ± m)

14 Pr sber si l proimción es por rrib o por bjo se estudi el signo de f() (m n) cundo ± Observciones: - Un función no puede tener más de dos síntots horizontis u oblicus, es decir, A.H. A.O. - Un función puede tener infinits síntots verticles - L gráfic de l función puede cortr ls síntots horizontis y oblicus en un o vrios puntos - En ls funciones rcionles simplificds, ls síntots verticles se clculn tomndo los vlores que nuln el denomindor - Pr que un función rcionl teng síntots oblicus es necesrio que el grdo del numerdor se un unidd myor que el grdo del denomindor. En este cso, pr clculr l síntot bst con hcer l división enter Ejercicio: Estudir ls síntots y l posición de l gráfic respeto de ells de: 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ).

15 CONTINUIDAD L ide de que un función es continu en un punto cundo se pode dibujr sin levntr el lápiz del ppel l psr por ese punto, o cundo es un función que no present sltos ni gujeros en ese punto, son proimciones intuitivs l concepto de continuidd. Ests primers proimciones pueden clrr ides y fcilitr l decisión sobre si un función cumple o no est propiedd, pero es preciso definir de form mtemátic el concepto de continuidd. Un función f es continu en un punto l de su dominio si f() f() L definición implic que se tiene que cumplir que: - Eiste límite de l función en el punto - L función está definid en, eiste f() - Ambos vlores son igules Cundo solo eist o coincid el límite por l derech, diremos que es continu por l derech. Anlogmente pr l izquierd. Un función es continu en el intervlo (, b) cundo lo es en cd uno de sus puntos y es continu en el intervlo [, b] cundo lo es en (, b) y demás es continu por l derech en y continu por l izquierd en b Cundo un función no es continu en un punto diremos que es discontinu en ese punto, y podemos distinguir distintos tipos de descontinuidde: Ej:. Discontinuidd evitble: eiste el límite pero no coincide con f(l) f() f(). Discontinuidd de ª especie o de slto: Eisten los límites lteris, pero no son igules l f() f() l En este cso se llm slto de l función l l. Si los dos límites lteris son finitos se dice que es un discontinuiddei de slto finito, y si lguno de ellos es infinito, se dice que es un discontinuidd de slto infinito. Ej: f() se se <

16 . Discontinuidd de ª especie: Cundo lguno (o mbos) de los límites lteris no eiste Ej: f() sen se se Propieddes de ls funciones continus. Si f() y g() son funciones continus en, entonces tmbién son continus en ls funciones: f g, f g, f g y f/g (si g() ). L función polinómic, y P(), es continu en todo R P(). L función rcionl, y, es continu en todo R ecepto los puntos que Q() nuln el denomindor 4. L función irrcionl, y n P (), es continu en su dominio 5. L función eponencil, y, es continu en todo R 6. L función logritmo, y log, es continu en (, ) 7. En generl, ls funciones elementles son continus en su dominio 8. Si f() es continu en y g() es continu en el punto f() entonces l función compuest g o f es continu en

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